3o a matematico

ESCUELA SUPERIOR DE FORMACIÓN DE MAESTROS

“VILLA AROMA”

RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMATICO

Estudiantes : Mary Panto Virginia Yupanqui Aida Pañuni Calle

Pamela Guarachi Muga Jhoanna Huanca Paco

Especialidad : Educación Inicial en Familia Comunitaria.

Paralelo : “A” tercer año

Unidad de formación: Crecimiento y desarrollo

Docente : Nicolás Arena

Fecha de entrega : 25/02/2013

Lahuachaca, febrero de 2013

La Paz – Bolivia

Lógica matemáticaLa lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.1

La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

I. CARACTERISTICAS DEL PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO DEL NIÑO

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO 2. El pensamiento lógico del niño en e l nivel Inicial nos plantea la interrogante: ¿Cómo son sus procesos de apropiación del mundo exterior? , tiene como intención el poder abordar el tema de las operaciones del pensamiento en todas sus dimensiones 010802 LSG 3. La importancia del pensamiento infantil. E n la actualidad es te tema es importante en el contexto educativo, por cuanto constituye y significa conocer las herramientas cognitivas que el individuo debe desarrollar para desenvolverse en el presente y futuro del ámbito cultural y social. La Educación Preescolar aspira educar a un individuo para que participe y se convierta en factor decisivo en el desarrollo del entorno donde le corresponde actuar y así lograr el propósito social y cultural de la sociedad. 010802 LSG 4. A medida que el ser humano se desarrolla, utiliza esquemas cada vez más complejos para organizar la información que recibe del mundo externo y que conformará su inteligencia y pensamiento. Piaget reconoce tres tipos de conocimiento como son el conocimiento físico, el lógico-matemático y el social . 010802 LSG 5. EL CONOCIMIENTO FÍSICO E s el conocimiento que se adquiere a través de la interacción con los objetos. Este conocimiento es el que adquiere el niño a través de la manipulación de los objetos que le rodean y que forman parte de su interacción con el medio. Ejemplo de ello, es cuando el niño manipula los objetos que se encuentran en el aula y los diferencia por textura, color, peso, etc. 010802 LSG 6. El conocimiento lógico-matemático E s el que construye el niño al relacionar las experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos. Por ej : a l diferencia r una textura áspera con uno textura lisa y establece que son diferentes. Según Piaget s urge de una “ abstracción reflexiva" ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los objetos . De allí que este conocimiento posea características propias que lo diferencian de otros conocimientos. 010802 LSG 7. El conocimiento social E s un conocimiento arbitrario, basado en el consenso social . Es el conocimiento que adquiere el niño al relacionarse con otros niños o con

el docente en su relación niño-niño y niño-adulto. Este conocimiento se logra al fomentar la interacción grupal. 010802 LSG 8. Teoría del Desarrollo de Piaget S e refiere a la evolución del pensamiento en el niño a través de las distintas edades. C oncibe al niño como un "organismo biológico activo que actúa cuando experimenta una necesidad". Esta estructura cognoscitiva del niño se desarrolla a medida que éste interactúa con el ambiente y ha sido representada a través de varios estadios que implican una complejidad creciente de las formas de pensamiento. 010802 LSG 9. El desarrollo de la inteligencia se presenta a través de tres etapas De los cuales nos interesa: Entre 1 y 2 años se desarrolla el pensamiento simbólico y preconceptual con la aparición de la función simbólica y el lenguaje. Entre los 4 y 7 años se presenta el pensamiento intuitivo que conduce a la consolidación de la operación lógica . 010802 LSG 10. El periodo pre-operatorio (2 a 7 años) C orrespondiente al niño de preescolar , se caracteriza por la descomposición del pensamiento en función de imágenes, símbolos y conceptos. El niño adquiere habilidad para representar mentalmente el mundo que lo rodea, ha adquirido la permanencia de los objetos . Piaget atribuye esta nueva capacidad de pensamiento lógico a una maduración creciente y a experiencias físicas y sociales las cuales proporcionan oportunidades para el equilibrio. 010802 LSG 11. ENFOQUES NEUROLÓGICOS DE LOS HEMISFERIOS El cerebro humano se divide en dos hemisferios. Las capacidades propias del hemisferio izquierdo son : la lógica, el análisis, el pensamiento secuencial; Por lo que: procesa y razona linealmente, sin atajos ni caminos laterales; le cuesta captar y aceptar cosas nuevas; rige el tiempo, el orden, los hábitos sociales; y funciona con palabras. 010802 LSG 12. Por el contrario, el hemisferio derecho es creativo, L e gusta la música, la pintura, el arte . N o analiza sino que visualiza globalmente, sin palabras, con imágenes; E n su funcionamiento salta de un punto a otro intuitivamente; N o entiende de normas , ni de tiempo; busca sus propias alternativas y soluciones. 010802 LSG 13. 010802 LSG El cerebro de l niño crece tanto : S u capacidad de crecimiento y el ambiente en el que se mueve. Los conocimientos se aprenden a través del estudio y a través de la experiencia. De a h í nace la importancia de la estimulación adecuada en los primeros años de la vida. Lo más importante no es la suma de conocimientos , s i no el desarrollo mental que se produce cuando se adquieren los conocimientos. 14. . Por eso se debe formar un pensamiento integrador, es decir, aquel que percibe todas las dimensiones de cualquier situación de la vida real. F omenta r el desarrollo correcto y la madurez del sistema nervioso. En la medida en que un niñ o o niña recibe los estímulos necesarios su sistema nervioso madura y se organiza adecuadamente. La actividad principal es la actividad del pensar, ya que no sería posible aprender, saber lo esencial de algo, entenderlo, sin tener un pensamiento ordenado y lógico. Mediante las actividades orientadas a la inteligencia, los niños desarrollan la memoria, la atención, la asociación y la separación visual y auditiva, iniciando a l o s niños y niñas en las habilidades del cálculo mental, en la lectura y escritura ; etc. 010802 LSG 15. De los 3 a los 6 años el desarrollo lógico- matemático se logra mediante la manipulación de objetos y el descubrimiento de las relaciones que existen entre ellos. Un ambiente rico en estímulos favorecerá la observación, manipulación y descripción de objetos que serán la base para pasar más adelante del pensamiento concreto al abstracto. Son las actividades que se decide emprender mediante un conjunto organizado de acciones con el fin de solucionar los problemas o situaciones insastifactorias detectados en el diagnóstico del centro educativo. 010802 LSG

16. E l proceso de clasificación Según las hipótesis y las experiencias de Piaget, el proceso de clasificación atraviesa por tres estadios: Colección Figural (aproximadamente 4 años ); la Colección no figural ; El tercer estadio se denomina la clase lógica o clasificación operatoria . 010802 LSG 17. PRIMER ESTADIO: COLECCIÓN FIGURAL D onde el niño elige un elemento, luego toma otro que encuentra parecido al primero y lo coloca al lado, luego toma un tercero que se parece en algo al segundo y así sucesivamente, sin plan preestablecido ni intenciones de clasificar todos los elementos. Hay tres tipos de colecciones figurales: ALINEAMIENTO: qu e se observa cuando el niño clasifica los objetos de manera lineal, com u nmente horizontal. O BJETOS COLECTIVOS: son agrupaciones que realiza de manera horizontal o vertical que conforman una unidad. O BJETOS COMPLEJOS: son agrupaciones igual a las anteriores pero formadas con elementos heterogéneos. 010802 LSG 18. LA COLECCIÓN NO FIGURAL En la cual el niño empieza a formar pequeñas colecciones separadas en donde toma en cuenta las diferencias entre ellas y las separa. Este estadio a su vez se divide en dos subestadios : E n el primero, el niño agrupa los objetos que tienen características comunes y E n el segundo, ya el niño los distribuye haciendo subclases. 010802 LSG 19. LA CLASE LÓGICA O CLASIFICACIÓN OPERATORIA E n este tercer estadio, e s donde ya el niño ha logrado clasificar objetos por semejanzas, diferencias, pertenencia e inclusión. 010802 LSG 20. LA SERIACIÓN “ E s una operación lógica que permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus diferencias ya sea en forma creciente o decreciente ”. En la operación de seriación, la teoría cognitiva expone la existencia de tres estadios. En el primer estadio, el niño puede alinear objetos por orden de tamaño, pero con pocas cantidades 010802 LSG 21. SEGUNDO ESTADIO El niño construye series pero por el método de ensayo y error. Es en este estadio en donde se encuentra el niño el momento para comenzar a manejar la reversibilidad propia de la seriación (relaciones en sentido inverso) como son la seriación por orden creciente y decreciente . De igual manera se inicia el proceso de transitividad 010802 LSG 22. TERCER ESTADIO E l niño ordena objetos de manera creciente o decreciente de acuerdo a las características que se le presente, bien sea

1.a BASES TEORICAS DEL DESARROLLO COGNITIVO Y LA CONSTRUCCION DEL PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICODESARROLLO COGNITIVOJEAN PIAGETJean Piaget nació el 9 de agosto de 1986 en Neuchatel y murió el 16 de septiembre de 1980 en Ginebra. Es el hijo mayor de Arthur Piaget, profesor de literatura medieval y de Rebecca Jackson. Cuando egresa de la escuela secundaria se inscribe en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Neuchatel en donde obtiene un doctorado en Ciencias Naturales. Durante este período publica dos libros cuyo contenido es filosófico y que, aunque el autor los describirá más tarde como escritos de adolescencia, serán determinantes en la evolución de su pensamiento.Después de haber pasado un semestre en Zurich, donde se inicia al psicoanálisis, va a trabajar durante un año en París, en el laboratorio de Alfred Binet. Allí estudia problemas relacionados con el desarrollo de la inteligencia.Piaget ejerció sucesivamente los cargos de profesor de Psicología, Sociología, Filosofía de las ciencias en la Universidad de Neuchatel (1925 a 1929), de profesor de historia del pensamiento científico en la Universidad de Ginebra de 1929 a 1939, de

director de la Oficina Internacional de Educación de 1929 a 1967, de profesor de Psicología y de Sociología en la Universidad de Lausanne de 1938 a 1951, de profesor de Sociología en la Universidad de Ginebra de 1939 a 1952 y luego de Psicología experimental de 1940 a 1971. Fue el único profesor suizo que se invitó para enseñar en la Sorbonne, de 1952 a 1963.En 1955 Piaget creó el Centro Internacional de Epistemología Genética que dirigió hasta su muerte.Sus trabajos de Psicología genética y de Epistemología buscaban una respuesta a la pregunta fundamental de la construcción del conocimiento. Las distintas investigaciones llevadas a cabo en el dominio del pensamiento infantil, le permitieron poner en evidencia que la lógica del niño no solamente se construye progresivamente, siguiendo sus propias leyes sino que además se desarrolla a lo largo de la vida pasando por distintas etapas antes de alcanzar el nivel adulto.La contribución esencial de Piaget al conocimiento fue de haber demostrado que el niño tiene maneras de pensar específicas que lo diferencian del adulto. Jean Piaget obtuvo más de treinta doctorados honoris causa de distintas Universidades del mundo y numerosos premios.ANTECEDENTES TEORICOSJean Piaget es el principal exponente del enfoque del desarrollo cognitivo. Se interesa por los cambios cualitativos que tienen lugar en la formación mental de la persona, desde el nacimiento hasta la madures. Mantiene que el organismo humano tiene una organización interna característica y que esta organización interna es responsable del modo único del funcionamiento del organismo, el cual es invariante.También sostiene que por medio de las funciones invariantes el organismo adapta sus estructuras cognitivas. Estos tres postulados, organización interna, funciones invariantes e interacción entre el organismo y el entorno, son básicos para Piaget.El desarrollo cognitivo según Piaget no es el resultado solo de la maduración del organismo ni de la influencia del entorno, sino la interacción de los dos. Para piaget la inteligencia es una adaptación. Esta interesado entre el pensamiento y las cosas. Existen las funciones invariables y las estructuras cognitivas variantes, es decir, las estructuras cambian a medida que el organismo se desarrolla. Son las estructuras cognitivas variantes las que marcan la diferencia entre el pensamiento del niño y del adulto.Según se va desarrollando el organismo, sus estructuras cognitivas cambian desde lo instintivo a través de los sensoriomotor a la estructura operativa del pensamiento del adulto y Piaget sostiene que estas tres formas de estructura cognitiva representan tres niveles de conocer. Por lo tanto, el conocimiento es algo que el organismo introduce dentro sino un proceso mediante el cual da un sentido a su entorno, es la adaptación activa al organismo mediante acciones externas evidentes, o internalizadas.Piaget elabora hipótesis sobre como se desarrolla el conocimiento y sostiene que este proceso de desarrollo esta marcado por una serie de etapas cuyo orden es invariable, aunque el tiempo de sus inicio y su terminación pueden variar. Pero cada etapa representa un modo diferente de enfrentarse con un aspecto particular del entorno, y por esto a de esperarse que la mayor parte de la actividad pensante del niño sea característica de la etapa a la que haya llegado.DEFINICIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS TEORÍAS DE PIAGET:

ESQUEMA: Representa lo que puede repetirse y generalizarse en una acción; es decir, el esquema es aquello que poseen en común las acciones, por ejemplo "empujar" a un objeto con una barra o con cualquier otro instrumento. Un esquema es una actividad operacional que se repite (al principio de manera refleja) y se universaliza de tal modo que otros estímulos previos no

significativos se vuelven capaces de suscitarla. Un esquema es una imagen simplificada (por ejemplo, el mapa de una ciudad).

La teoría de Piaget trata en primer lugar los esquemas. Al principio los esquemas son comportamientos reflejos, pero posteriormente incluyen movimientos voluntarios, hasta que tiempo después llegan a convertirse principalmente en operaciones mentales. Con el desarrollo surgen nuevos esquemas y los ya existentes se reorganizan de diversos modos. Esos cambios ocurren en una secuencia determinada y progresan de acuerdo con una serie de etapas.

ESTRUCTURA: Son el conjunto de respuestas que tienen lugar luego de que el sujeto de conocimiento ha adquirido ciertos elementos del exterior. Así pues, el punto central de lo que podríamos llamar la teoría de la fabricación de la inteligencia es que ésta se "construye" en la cabeza del sujeto, mediante una actividad de las estructuras que se alimentan de los esquemas de acción, o sea, de regulaciones y coordinaciones de las actividades del niño. La estructura no es más que una integración equilibrada de esquemas. Así, para que el niño pase de un estado a otro de mayor nivel en el desarrollo, tiene que emplear los esquemas que ya posee, pero en el plano de las estructuras.

ORGANIZACIÓN: Es un atributo que posee la inteligencia, y está formada por las etapas de conocimientos que conducen a conductas diferentes en situaciones específicas. Para Piaget un objeto no puede ser jamás percibido ni aprendido en sí mismo sino a través de las organizaciones de las acciones del sujeto en cuestión.

La función de la organización permite al sujeto conservar en sistemas coherentes los flujos de interacción con el medio.

ADAPTACIÓN: La adaptación está siempre presente a través de dos elementos básicos: la asimilación y la acomodación. El proceso de adaptación busca en algún momento la estabilidad y, en otros, el cambio.

En si, la adaptación es un atributo de la inteligencia, que es adquirida por la asimilación mediante la cual se adquiere nueva información y también por la acomodación mediante la cual se ajustan a esa nueva información.La función de adaptación le permite al sujeto aproximarse y lograr un ajuste dinámico con el medio.La adaptación y organización son funciones fundamentales que intervienen y son constantes en el proceso de desarrollo cognitivo, ambos son elementos indisociables.

ASIMILACIÓN: La asimilación se refiere al modo en que un organismo se enfrenta a un estímulo del entorno en términos de organización actual. "La asimilación mental consiste en la incorporación de los objetos dentro de los esquemas de comportamiento, esquemas que no son otra cosa sino el armazón de acciones que el hombre puede reproducir activamente en la realidad" (Piaget, 1.948).

De manera global se puede decir que la asimilación es el hecho de que el organismo adopte las sustancias tomadas del medio ambiente a sus propias estructuras. Incorporación de los datos de la experiencia en las estructuras innatas del sujeto.

ACOMODACIÓN: La acomodación implica una modificación de la organización actual en respuesta a las demandas del medio. Es el proceso mediante el cual el sujeto se ajusta a las condiciones externas. La acomodación no sólo aparece como necesidad de someterse al medio, sino se hace necesaria también para poder coordinar los diversos esquemas de asimilación.

EQUILIBRIO: Es la unidad de organización en el sujeto cognoscente. Son los denominados "ladrillos" de toda la construcción del sistema intelectual o cognitivo, regulan las interacciones del sujeto con la realidad, ya que a su vez sirven como marcos asimiladores mediante los cuales la nueva información es incorporada en la persona.

El desarrollo cognoscitivo comienza cuando el niño va realizando un equilibrio interno entre la acomodación y el medio que lo rodea y la asimilación de esta misma realidad a sus estructuras. Es decir, el niño al irse relacionando con su medio ambiente, irá incorporando las experiencias a su propia actividad y las reajusta con las experiencias obtenidas; para que este proceso se lleve a cabo debe de presentarse el mecanismo del equilibrio, el cual es el balance que surge entre el medio externo y las estructuras internas de pensamiento.Proceso de Equilibración:Aunque asimilación y acomodación son funciones invariantes en el sentido de estar presentes a lo largo de todo el proceso evolutivo, la relación entre ellas es cambiante de modo que la evolución intelectual es la evolución de esta relación asimilación / acomodación. Para PIAGET el proceso de equilibración entre asimilación y acomodación se establece en tres niveles sucesivamente más complejos: 1. El equilibrio se establece entre los esquemas del sujeto y los acontecimientos externos. 2. El equilibrio se establece entre los propios esquemas del sujeto. 3. El equilibrio se traduce en una integración jerárquica de esquemas diferenciados. PIAGET DISTINGE CUATRO ETAPAS PRINCIPALES:PERÍODO ESTADIO EDAD

ETAPA SENSORIOMOTORALa conducta del niño es esencialmente motora, no hay representación interna de los acontecimientos externos, ni piensa mediante conceptos.

Estadio de los mecanismos reflejos congénitos. Estadio de las reacciones circulares primarias Estadio de las reacciones circulares secundarias Estadio de la coordinación de los esquemas de conducta previos. Estadio de los nuevos descubrimientos por experimentación. Estadio de las nuevas representaciones mentales.

0 - 1mes1 - 4 meses4 - 8 meses8 - 12 meses12 - 18 meses18-24 meses

Etapa PreoperacionalEs la etapa del pensamiento y la del lenguaje que gradúa su capacidad de pensar simbólicamente, imita objetos de conducta, juegos simbólicos, dibujos, imágenes mentales y el desarrollo del lenguaje hablado.

Estadio preconceptual. Estadio intuitivo.

2-4 años4-7 años

Etapa de las Operaciones ConcretasLos procesos de razonamiento se vuelen lógicos y pueden aplicarse a problemas concretos o reales. En el aspecto social, el niño ahora se convierte en un ser verdaderamente social y en esta etapa aparecen los esquemas lógicos de seriación, ordenamiento mental de conjuntos y clasificación de los conceptos de casualidad, espacio, tiempo y velocidad.

7-11 años

Etapa de las Operaciones FormalesEn esta etapa el adolescente logra la abstracción sobre conocimientos

11 años en adelante

concretos observados que le permiten emplear el razonamiento lógico inductivo y deductivo. Desarrolla sentimientos idealistas y se logra formación continua de la personalidad, hay un mayor desarrollo de los conceptos morales.COMO SE LOGRA EL DESARROLLO COGNITIVO:Ningún conocimiento es una copia de lo real, porque incluye, forzosamente, un proceso de asimilación a estructuras anteriores; es decir, una integración de estructuras previas. De esta forma, la asimilación maneja dos elementos: lo que se acaba de conocer y lo que significa dentro del contexto del ser humano que lo aprendió. Por esta razón, conocer no es copiar lo real, sino actuar en la realidad y transformarla.La lógica, por ejemplo, no es simplemente un sistema de notaciones inherentes al lenguaje, sino que consiste en un sistema de operaciones como clasificar, seriar, poner en correspondencia, etc. Es decir, se pone en acción la teoría asimilada. Conocer un objeto, para Piaget, implica incorporarlo a los sistemas de acción y esto es válido tanto para conductas sensorias motrices hasta combinaciones lógicas-matemáticas.Los esquemas más básicos que se asimilan son reflejos o instintos, en otras palabras, información hereditaria. A partir de nuestra conformación genética respondemos al medio en el que estamos inscritos; pero a medida que se incrementan los estímulos y conocimientos, ampliamos nuestra capacidad de respuesta; ya que asimilamos nuevas experiencias que influyen en nuestra percepción y forma de responder al entorno.Las conductas adquiridas llevan consigo procesos auto-reguladores, que nos indican cómo debemos percibirlas y aplicarlas. El conjunto de las operaciones del pensamiento, en especial las operaciones lógico-matemáticas, son un vasto sistema auto-regulador, que garantiza al pensamiento su autonomía y coherencia.La regulación se divide, según las ideas de Piaget en dos niveles: Regulaciones orgánicas, que tienen que ver con las hormonas, ciclos, metabolismo, información genética y sistema nervioso. Regulaciones cognitivas, tienen su origen en los conocimientos adquiridos previamente por los individuos.De manera general se puede decir que el desarrollo cognitivo ocurre con la reorganización de las estructuras cognitivas como consecuencia de procesos adaptativos al medio, a partir de la asimilación de experiencias y acomodación de las mismas de acuerdo con el equipaje previo de las estructuras cognitivas de los aprendices. Si la experiencia física o social entra en conflicto con los conocimientos previos, las estructuras cognitivas se reacomodan para incorporar la nueva experiencia y es lo que se considera como aprendizaje. El contenido del aprendizaje se organiza en esquemas de conocimiento que presentan diferentes niveles de complejidad. La experiencia escolar, por tanto, debe promover el conflicto cognitivo en el aprendiz mediante diferentes Actividades, tales como las preguntas desafiantes de su saber previo, las situaciones desestabilizadoras, las propuestas o proyectos retadores, etc. La teoría de Piaget ha sido denominada epistemología genética porque estudió el origen y desarrollo de las capacidades cognitivas desde su base orgánica, biológica, genética, encontrando que cada individuo se desarrolla a su propio ritmo. Describe el curso del desarrollo cognitivo desde la fase del recién nacido, donde predominan los mecanismos reflejos, hasta la etapa adulta caracterizada por procesos conscientes de comportamiento regulado. En el desarrollo genético del individuo se identifican y diferencian periodos del desarrollo intelectual, tales como el periodo sensorio-motriz, el de operaciones concretas y el de las operaciones formales. Piaget considera el pensamiento y la inteligencia como procesos cognitivos que tienen su base en un

substrato orgánico-biológico determinado que va desarrollándose en forma paralela con la maduración y el crecimiento biológico. En la base de este proceso se encuentran dos funciones denominadas asimilación y acomodación, que son básicas para la adaptación del organismo a su ambiente. Esta adaptación se entiende como un esfuerzo cognoscitivo del individuo para encontrar un equilibrio entre él mismo y su ambiente. Mediante la asimilación el organismo incorpora información al interior de las estructuras cognitivas a fin de ajustar mejor el conocimiento previo que posee. Es decir, el individuo adapta el ambiente a sí mismo y lo utiliza según lo concibe. La segunda parte de la adaptación que se denomina acomodación, como ajuste del organismo a las circunstancias exigentes, es un comportamiento inteligente que necesita incorporar la experiencia de las acciones para lograr su cabal desarrollo. Estos mecanismos de asimilación y acomodación conforman unidades de estructuras cognoscitivas que Piaget denomina esquemas. Estos esquemas son representaciones interiorizadas de cierta clase de acciones o ejecuciones, como cuando se realiza algo mentalmente sin realizar la acción. Puede decirse que el esquema constituye un plan cognoscitivo que establece la secuencia de pasos que conducen a la solución de un problema.Para Piaget el desarrollo cognitivo se desarrolla de dos formas: la primera, la más amplia, corresponde al propio desarrollo cognitivo, como un proceso adaptativo de asimilación y acomodación, el cual incluye maduración biológica, experiencia, transmisión social y equilibrio cognitivo. La segunda forma de desarrollo cognitivo se limita a la adquisición de nuevas respuestas para situaciones específicas o a la adquisición de nuevas estructuras para determinadas operaciones mentales especificas. En el caso del aula de clases Piaget considera que los factores motivacionales de la situación del desarrollo cognitivo son inherentes al estudiante y no son, por lo tanto, manipulables directamente por el profesor. La motivación del estudiante se deriva de la existencia de un desequilibrio conceptual y de la necesidad del estudiante de restablecer su equilibrio. La enseñanza debe ser planeada para permitir que el estudiante manipule los objetos de su ambiente, transformándolos, encontrándoles sentido, disociándolos, introduciéndoles variaciones en sus diversos aspectos, hasta estar en condiciones de hacer inferencias lógicas y desarrollar nuevos esquemas y nuevas estructuras mentales.El desarrollo cognitivo, en resumen, ocurre a partir de la reestructuración de las estructuras cognitivas internas del aprendiz, de sus esquemas y estructuras mentales, de tal forma que al final de un proceso de aprendizaje deben aparecer nuevos esquemas y estructuras como una nueva forma de equilibrio.LOS ESTADOS DE DESARROLLO COGNITIVO:En sus estudios Piaget notó que existen periodos o estados de desarrollo. En algunos prevalece la asimilación, en otros la acomodación. De este modo definió una secuencia de cuatro estadios "epistemológicos" (actualmente llamados: cognitivos) muy definidos en el humano.Estadio senso-motorDesde el nacimiento hasta aproximadamente un año y medio a dos años. En tal estadio el niño usa sus sentidos (que están en pleno desarrollo) y las habilidades motrices para conocer aquello que le circunda, confiándose inicialmente en sus reflejos y, más adelante, en la combinatoria de sus capacidades sensoriales y motrices. Así, se prepara para luego poder pensar con imágenes y conceptos.Reacciones circulares primariasSuceden entre el primer y cuarto mes de vida extrauterina. En ese momento el humano desarrolla reacciones circulares primarias, esto es: reitera acciones casuales que le han provocado placer. Un ejemplo típico es la succión de su propio dedo,

reacción sustitutiva de la succión del pezón, -aunque el reflejo de succión del propio dedo ya existe en la vida intrauterina-.Reacciones circulares secundariasEntre el cuarto mes y el año de vida, el infante orienta su comportamiento hacia el ambiente externo buscando aprender ó mover objetos y ya observa los resultados de sus acciones para reproducir tal sonido y obtener nuevamente la gratificación que le provoca.Reacciones circulares terciarias Ocurren entre los 12 y los 18 meses de vida. Consisten en el mismo proceso descrito anteriormente aunque con importantes variaciones. Por ejemplo: el infante toma un objeto y con este toca diversas superficies. Es en este momento que el infante comienza a tener noción de la permanencia de los objetos, antes de este momento, si el objeto no está directamente estimulando sus sentidos, para él, literalmente, el objeto "no existe".Tras los 18 meses el cerebro del niño está ya potencialmente capacitado para imaginar los efectos simples de las acciones que está realizando, o ya puede realizar una rudimentaria descripción de algunas acciones diferidas u objetos no presentes pero que ha percibido. Está también capacitado para efectuar secuencias de acciones tales como utilizar un objeto para abrir una puerta. Comienzan, además, los primeros juegos simbólicos del tipo juguemos a que....Estadio preoperatorioEl estadio preoperatorio es el segundo de los cuatro estadios. Sigue al estadio sensoriomotor y tiene lugar aproximadamente entre los 2 y los 7 años de edad.Este estadio se caracteriza por la interiorización de las reacciones de la etapa anterior dando lugar a acciones mentales que aún no son categorizables como operaciones por su vaguedad, inadecuación y/o falta de reversibilidad.Son procesos característicos de esta etapa: el juego simbólico, la centración, la intuición, el egocentrismo, la yuxtaposición y la irreversibilidad (inhabilidad para la conservación de propiedades).Estadio de las operaciones concretasDe 7 a 11 años. Cuando se habla aquí de operaciones se hace referencia a las operaciones lógicas usadas para la resolución de problemas. El niño en esta fase o estadio ya no sólo usa el símbolo, es capaz de usar los símbolos de un modo lógico y, a través de la capacidad de conservar, llegar a generalizaciones atinadas.Alrededor de los 6/7 años el niño adquiere la capacidad intelectual de conservar cantidades numéricas: longitudes y volúmenes líquidos. Aquí por 'conservación' se entiende la capacidad de comprender que la cantidad se mantiene igual aunque se varíe su forma. Antes, en el estadio preoperativo por ejemplo, el niño ha estado convencido de que la cantidad de un litro de agua contenido en una botella alta y larga es mayor que la del mismo litro de agua trasegado a una botella baja y ancha (aquí existe un contacto con la teoría de la Gestalt). En cambio, un niño que ha accedido al estadio de las operaciones concretas está intelectualmente capacitado para comprender que la cantidad es la misma (por ejemplo un litro de agua) en recipientes de muy diversas formas.Alrededor de los 7/8 años el niño desarrolla la capacidad de conservar los materiales. Por ejemplo: tomando una bola de arcilla y manipulándola para hacer varias bolillas el niño ya es consciente de que reuniendo todas las bolillas la cantidad de arcilla será prácticamente la bola original. A la capacidad recién mencionada se le llama reversibilidad.Alrededor de los 9/10 años el niño ha accedido al último paso en la noción de conservación: la conservación de superficies. Por ejemplo, puesto frente a cuadrados de papel se puede dar cuenta que reúnen la misma superficie aunque estén esos cuadrados amontonados o aunque estén dispersos.

Estadio de las operaciones formalesDesde los 12 en adelante (toda la vida adulta).El sujeto que se encuentra en el estadio de las operaciones concretas tiene dificultad en aplicar sus capacidades a situaciones abstractas. Si un adulto (sensato) le dice "no te burles de x porque es gordo... ¿qué dirías si te sucediera a ti?", la respuesta del sujeto en el estadio de sólo operaciones concretas sería: "YO no soy gordo".Es recién desde los 12 en adelante que el cerebro humano está potencialmente capacitado (desde la expresión de los genes), para formular pensamientos realmente abstractos, o un pensar de tipo hipotético deductivo.

1.b. CONCEPTO QUE PERMITEN ENTENDER LA RELACION ENTRE ESTRUCTURA COGNITIVA Y DESARROLLO DE LAS HABILIDADES MATEMATICASTEORIAS ACERCA DEL DESARROLLO COGNOCITIVO DEL NIÑO Y SU RELACION CON EL APRENDIZAJE:Es claro que estos elementos nos llevan a hablar acerca del niño y su desarrollo, ya que son ellos los que se verán afectados directamente. Por lo tanto, el contenido y el método de enseñanza-aprendizaje estarán determinados por los intereses y aptitudes propias de cada edad. El desarrollo del niño se ha estudiado a la luz de diferentes enfoques. Cada uno de estos hace hincapié en algún elemento importante que conforma la compleja actividad del ser humano. Debido a esto las corrientes han sido clasificadas de varias formas: por ejemplo, conductistas, psicoanalistas, cognoscitivitas, etc.; o bien, aquellas que hacen énfasis en el aspecto emocional, otras en el desarrollo físico o en las experiencias del individuo, otras más intentan estudiar los tres aspectos básicos de la vida del ser humano, es decir, investigarlo como un ente bio-psicosocial. Ahora bien, todas estas teorías, que por un lado son diferentes, contemplan elementos semejantes que les permiten, muchas veces, complementarse entre sí. A este respecto Henry Maier escribió: "Cada una de ellas (Las teorías) contribuye en algo a la comprensión del individuo como un todo indivisible. Cada una se relaciona con las otras a la manera de un engranaje, sin que ello implique la modificación de las fases secuenciales de desarrollo dentro de su propio marco conceptual". La selección de una de estas teorías como fundamento conceptual para un trabajo de investigación, depende directamente del problema que se quiere estudiar y el enfoque que se le quiera dar. Por esta razón, el fundamento teórico de este trabajo está principalmente basado en las investigaciones de Jean Piaget. La teoría piagetiana explica, esencialmente, el desarrollo cognoscitivo del niño, haciendo énfasis en la formación de estructuras mentales. "La idea central de Piagets en efecto, es que resulta indispensable comprender la formación de los mecanismos mentales en el niño para conocer su naturaleza y funcionamiento en el adulto. Tanto si se trata en el plano de la inteligencia, de las operaciones lógicas, de las nociones de número, de espacio y tiempo, como, en el plano de la percepción de las constancias perceptivas, de las ilusiones geométricas, la única interpretación psicológica válida es la interpretación genética, la que parte del análisis de su desarrollo" Jean Piaget concibe la formación del pensamiento como un desarrollo progresivo cuya finalidad es alcanzar un cierto equilibrio en la edad adulta. El dice, "El desarrollo es... en cierto modo una progresiva equilibración, un perpetuo pasar de un estado de menor equilibrio a un estado de equilibrio superior"

Ahora bien, esa equilibración progresiva se modifica continuamente debido a las actividades del sujeto, y éstas se amplían de acuerdo a la edad. Por lo tanto el desarrollo cognitivo sufre modificaciones que le permiten consolidarse cada vez más. Quiero mencionar, que al decir consolidarse, no me refiero a una estructura rígida, sino por el contrario a una estructura conceptualmente más integradora que, por lo tanto, permite mayor flexibilidad. Piaget, de acuerdo con Claparede, dice que toda actividad es impulsada por una necesidad, y que ésta, no es otra cosa que un desequilibrio, por lo tanto toda actividad tiene como finalidad principal recuperar el equilibrio. Daré un ejemplo con el fin de hacer más clara esta idea. Supongamos que un niño llora porque tiene hambre, y deja de llorar cuando le dan de comer. La actividad desencadenada fue llorar, la necesidad que lo impulsó a llorar fue la falta de alimento. En su organismo había un desequilibrio por falta sustancias nutritivas. Al comer recupera el equilibrio perdido. Este ejemplo es quizá muy burdo, pero considero que ilustra bien la función del equilibrio en el organismo. Es necesario decir que el equilibrio no solo se refiere a cuestiones orgánicas, sino también a factores psicológicos y afectivos. Por ejemplo, puede ser que esta vez el niño llore porque tiene la necesidad de que lo acaricien. Es decir, hay un desequilibrio afectivo que se subsana cuando el niño recibe una caricia. Ahora bien, cada vez que un desequilibrio se presenta, por así decirlo, el niño se ve en la necesidad de "asimilar" aquella situación que produjo el cambio para poder "acomodar" sus estructuras cognoscitivas en forma cada vez más estable, y con esto hacer más sólido el equilibrio mental. En el párrafo anterior mencioné dos conceptos básicos en la teoría piagetiana, que merecen una explicación un poco más detallada: la asimilación y la acomodación. La función de asimilación es semejante a la que realiza el cuerpo humano con los alimentos, es decir toma de ellos las sustancias nutritivas que le sirven y las incorpora al torrente sanguíneo para satisfacer las necesidades fisiológicas. Para Piaget asimilar es: "... incorporar las cosas y las personas a la actividad propia del sujeto y, por consiguiente,... 'asimilar' el mundo exterior a las estructuras ya construidas...". El concepto de acomodación funciona complementariamente al término de asimilación. Una vez que las experiencias han sido incorporadas a las estructuras cognitivas del sujeto, es necesario "hacer" las modificaciones consecuentes en dichas estructuras, es decir, ".-...Reajustar (las estructuras construidas) en función de las transformaciones sufridas, y, por consiguiente, a 'acomodarlas' a los objetos externos". De este modo, la actividad cognoscitiva del sujeto es entendida como un constante reajuste ante situaciones nuevas, que le permiten lograr un mayor equilibrio mental. De acuerdo con Richmond "... los procesos gemelos de asimilación y acomodación son rasgos permanentes del trabajo de la inteligencia, es decir, están presentes en todos los estados de desarrollo de la inteligencia. La adaptación al medio se produce tan solo cuando los dos procesos se hallan en equilibrio y entonces la inteligencia encuentra su equilibrio en el medio". Considero importante aclarar que el desarrollo cognoscitivo, explicado anteriormente, se encuentra en estrecho vínculo con el desarrollo socio-afectivo del niño. Un ejemplo muy claro de esta interrelación es la evolución del lenguaje. Aparece aproximadamente a los dos años y modifica esencialmente las posibilidades de acción del niño. Así mismo, incide directamente en el desarrollo intelectual ya que: permite un intercambio "... entre individuos, es decir, el inicio de la socialización de la acción; una interiorización de la palabra, es decir, la aparición del pensamiento propiamente dicho, que tiene como soportes el lenguaje interior y el sistema de los signos; y, por

ultimo, y sobre todo una interiorización de la acción como tal, ...Desde el punto de vista afectivo, éste trae consigo una serie de transformaciones paralelas: desarrollo de los sentimientos interindividuales (simpatías, antipatías, respeto, etc.) y de una afectividad interior... ". Como vimos en este ejemplo es claro que una conducta incide directamente en todos los aspectos de la vida del niño y más aún, estos se van retroalimentando entre sí. Así se va consolidando un equilibrio mejor, no solo cognoscitivo sino también afectivo. Ahora bien, sería muy ambicioso de mi parte, tratar de abarcar todos Ios aspectos de la personalidad en este trabajo, por esto el aspecto socio-afectivo lo retomaré cuando hable del juego y su relación con el desarrollo integral del niño. Por ahora, únicamente lo he mencionado con el fin de dejar claro que el desarrollo mental se ve afectado directamente por el factor socio-afectivo. Una vez que he explicado los lineamientos generales de la teoría piagetiana con respecto al desarrollo cognoscitivo, pasaré a la explicación detallada de cada una de las etapas marcadas por Piaget, haciendo énfasis en lo que se refiere a las características de la etapa de las operaciones concretas, ya que esta última la considero crucial para llevar a cabo el programa de un curso que propongo en esta tesina, por las razones que en su momento expondré. La teoría piagetiana divide el desarrollo intelectual del niño en cuatro etapas principales. La primera, llamada senso-motriz abarca del nacimiento hasta los dos años aproximadamente. Se caracteriza por el desarrollo de los movimientos. Estos, de reflejos innatos pasan a ser movimientos voluntarios que, le permiten al niño dirigir sus actividades hacia objetivos determinados. Ahora bien, esto da lugar a dos modificaciones importantes. Por un lado, al lograr mayor dominio sobre su cuerpo, el niño se relaciona con el medio que lo rodea como un ser separado de su entorno, es decir le confiere existencia propia a los objetos y personas, ya que al principio no tenía conciencia de sí mismo diferenciado del medio ambiente. Por otro lado, no sólo es el niño quien actúa sobre el medio, sino éste (el medio) influye en las experiencias del niño. Por ejemplo el bebe dirige las manos hasta alcanzar un juguete, se lo lleva a la boca para conocer las características de ese objeto (el niño conoce su entorno). Como resultado de esa actividad asimila nuevas sensaciones como: duro, blando, áspero, etc. y acomoda sus estructuras mentales a esos conocimientos. Es necesario decir que esta forma de relación "voluntaria" con el medio, influye determinantemente, no sólo en el aspecto intelectual, sino de igual manera en el desarrollo socio-afectivo del niño. Todos hemos visto que al nacer un niño dedica la mayor parte de su tiempo a dormir, por esto los padres y/o personas que están en constante relación con él, establecen desde mi punto de vista, un vínculo afectivo unilateral, es decir los padres dan demostraciones de afecto sin que el niño responda, al menos con respuestas evidentes. Pero en la medida que éste va desarrollando habilidades psicomotrices como: balbucear, tomar objetos, reirse, etc., su vínculo se vuelve más afectivo, debido a que éstas son actividades significativas para los adultos. Henry Maier dice: "El aumento del contacto ambiental, particularmente en las acciones que van más allá de las meras expresiones orgánicas introduce una jerarquía de actos potenciales. Los procesos afectivos emergen en relación con estas diferencias de la experiencia. Piaget sitúa aquí las raíces genéticas del interés, que más tarde darán lugar al afecto o la fuerza que confiere dirección a la conducta humana".

Tomando en cuenta que el niño conoce el mundo a través de su cuerpo, podemos concluir que el avance de esta etapa sensomotríz es fundamental para el desarrollo integral del niño. Richmond sintetiza este periodo de la siguiente forma. "Al nacer el niño no tiene conocimiento de la existencia del mundo ni de sí mismo. Sus modelos innatos de conducta se ejercitan en el medio ambiente y son modificados por la naturaleza de las cosas sobre las que el niño actúa. A lo largo de esta actividad van coordinándose sus sistemas sensoriomotrices. El niño va construyendo gradualmente modelos de acción interna con los objetos que lo rodean en virtud de las acciones verificadas sirviéndose de ellos." Una vez que ha adquirido estas habilidades, aproximadamente a los dos años, surge la etapa preoperacional que abarca hasta los siete u ocho años. La adquisición del lenguaje es, quizá, el acontecimiento más importante de este periodo, ya que su desarrollo modifica sustancialmente tanto las estructuras mentales como su relación con las demás personas. A los dos años aproximadamente, cuando el niño empieza a hablar, su mundo se amplía considerablemente, porque le permite evocar acciones pasadas o futuras. Es decir, anteriormente, el niño solo podía manifestar su situación presente a través de movimientos y algunas palabras o frases aisladas. Sin embargo, al llegar a la fase preoperacional puede ligar frases y formar un texto. Es necesario aclarar que en este momento, el lenguaje sufre limitaciones análogas a los movimientos en el periodo sensoriomotriz. Del mismo modo que el niño, al nacer refiere todos los acontecimientos a su propio cuerpo, así en esta etapa, refiere su conversación a su propio punto de vista, es decir no coordina su plática con la de otros niños. Ahora bien, es muy difícil determinar el momento en el cual aparece el pensamiento como tal, sin embargo el hecho de que el niño ya sea capaz de reconstruir situaciones sin necesidad de que estén presentes los objetos y/o personas, o bien que anticipe determinados acontecimientos hace evidente la aparición del pensamiento en el niño. En el plano cognoscitivo tiene tres repercusiones principales. Primera, permite mayor relación entre los individuos y el niño. Segunda, aparece el pensamiento propiamente dicho. Y tercera, estimula la formación del pensamiento intuitivo. El pensamiento da un gran paso en el momento en que el niño, debido a que tiene más experiencias, intenta dar una explicación lógica a los fenómenos que ocurren. Solamente toma en cuenta algunas partes del acontecimiento y no logra ver el todo. Dice Piaget que si un niño ve una carrera de carritos, para él, el auto más veloz es el que llegue primero a la meta, sin tomar en cuenta la distancia recorrida. 0 bien, si a un niño se le dice que escoja entre dos vasos con agua; uno chico que está lleno y otro más grande no tan lleno, él escogerá el vaso chico porque tiene más agua, aunque haya visto que se vertió en ellos la misma cantidad de líquido. El pensamiento intuitivo es en general, una: "...simple interiorización de las percepciones y los movimientos en forma de imágenes representativas y de 'experiencias mentales' que prolongan por tanto los esquemas sensorio motores sin coordinación propiamente racional." En suma, el pensamiento de la etapa preoperacional está limitado a la primacía de la percepción. Quiero mencionar que estas adquisiciones coinciden con el ingreso del niño a preescolar. Esto evidentemente permite qué el niño se relacione con personas de su misma edad, por que sus actividades son más diversas. La principal actividad de los niños en esta edad es: jugar "El juego, con su énfasis en el cómo y el por qué se convierte en el instrumento primario de adaptación, el niño transforma su experiencia del mundo en juego con rapidez."

Las repercusiones del juego en el desarrollo integral del niño las mencionaré en el capítulo correspondiente, retomando esta información en el momento que considere adecuado. Las actividades mencionadas anteriormente dan paso a una nueva etapa que, como las dos precedentes, permiten un mayor equilibrio en las estructuras mentales. Como lo mencione al principio de este capítulo, cada etapa retoma los logros antecedentes y los desarrolla por medio de las actividades y experiencias del sujeto, hasta llegar a un equilibrio más estable que el anterior. A esta edad, siete u ocho años, corresponde la etapa de las operaciones concretas que se prolonga hasta los doce años aproximadamente. Sí bien es cierto que en la etapa preoperacional el pensamiento avanza a pasas agigantados, también es cierto que en esta edad se logra la formación de operaciones, aunque éstas se limiten a situaciones concretas. Resulta necesario definir el elemento que permite al niño llegar a formar operaciones concretas la reversibilidad, que es, por lo tanto, la característica principal de este periodo. La reversibilidad es la capacidad que tiene el niño para analizar una situación desde el principio al fin y regresar al punto de partida, o bien para analizar un acontecimiento desde diferentes puntos de vista y volver al original. La forma de pensamiento que esta nueva habilidad hace posible, es algo más organizado, toma en cuenta todas las partes de una experiencia y las relaciona entre sí como un todo organizado. Ahora el niño puede clasificar y seriar, pero solo cuando tiene los objetos presentes para manipularlos, de ahí el nombre de operaciones concretas. La clasificación consiste básicamente en concebir un objeto con relación a un conjunto más amplio. Es decir, al mismo tiempo que los objetos tienen diferencias, existen características que hacen permanecer cierta similitud. La seriación es la relación que se establece entre varios objetos, en el momento de hacer comparaciones y establecer un criterio de jerarquía. Si analizamos la reversibilidad, que hace posible estos avances en el pensamiento podemos darnos cuenta que esta, la reversibilidad, presupone el concepto de permanencia. Por ejemplo, ya en esta etapa el niño se dará cuenta que si el contenido de un vaso chico lleno de agua se vierte en un vaso más grande, sigue siendo la misma cantidad de líquidos aunque se vea menos lleno, es decir la cantidad permanece. Esto se debe a que ahora el niño piensa en la situación inicial. No puede ser más líquido porque no sé, ha aumentado nada. Más tarde, el niño podrá realizar la misma operación con relación al peso y dimensión, no será sino hasta el final de esta etapa, que obtendrá la capacidad para hacerlo con respecto al volumen de un objeto o líquido. A la vez que el intelecto va cambiando, el factor afectivo se modifica sustancialmente como en etapas anteriores. Se desarrolla principalmente el respeto y la voluntad. El respeto en tanto se inicia un sentimiento de justicia y la voluntad que surge como reguladora de la energía tomando en cuenta cierta jerarquía de valores. "La voluntad es, pues el verdadero equivalente afectivo de las operaciones de la razón" Estos dos elementos repercuten en las relaciones sociales del niño. Se interesan por la existencia de reglas que definan sus actividades. Las respeta y hace respetar, si alguien viola una ley, está cometiendo una injusticia y por lo tanto se merece una sanción. Por último, el desarrollo cognoscitivo del niño llega a la etapa de las operaciones formales.

Esta fase se alcanza entre los once y doce años y coincide con cambios físicos fundamentales. Desde el punto de vista de la maduración sexual el niño pasa a ser adolescente, esto trae como consecuencia grandes diferencias con respecto a las demás etapas, sobre todo en el aspecto emocional. La posibilidad de formular hipótesis, es decir de hacer proposiciones mentalmente, es lo que permite que las operaciones concretas lleguen a ser operaciones formales. En esta edad el niño, que ya está en transición hacia la adolescencia, puede pensar dejando a un lado la realidad concreta. Al principio se produce una especie de "egocentrismo intelectual" debido a que, como en otras etapas, el niño piensa que su punto de vista es el único. Pero en la medida que ejercita su nueva habilidad de reflexión, su punto de vista se amplía en el momento que toma en cuenta a los demás. Hasta aquí he explicado el desarrollo de la inteligencia a la luz del enfoque piagetiano, esto me permite hablar de la forma en que aprende un niño. Tomando en cuenta que las experiencias y la ejercitación de las actividades, es básicamente lo que permite al sujeto llegar al equilibrio intelectual, puedo decir que el aprendizaje se logra cuando el niño realiza actividades significativas para él, es decir actúa de acuerdo a sus intereses y aptitudes. Al principio de este capítulo mencioné que la computación para niños involucra dos premisas básicas: Una acerca del contenido, es decir ¿Qué se va a enseñar? ,y otra acerca del método o sea, ¿cómo lo va a aprender el niño? Para poder contestar estas dos preguntas será necesario hablar del desarrollo infantil y sus características, para así fundamentar mi respuesta a estas dos cuestiones. Primero, ¿Qué se va a enseñar? El contenido de la materia, en este caso la computación, debe ser seleccionado de acuerdo a los intereses del niño y sobre todo a sus habilidades. El funcionamiento de una computadora está vinculado estrechamente con la lógica booleana (condiciones verdaderas y falsas), por lo tanto requiere que el niño pueda manejar los principios de la lógica. Es, en forma muy general, por lo que yo propongo como edad óptima los nueve o diez años, ya que se encuentra en pleno desarrollo de las operaciones concretas, donde puede manejar la reversibilidad, clasificación, seriación, etc. Más adelante daré detalles de esta edad y su relación con el juguete didáctico, núcleo de esta tesina. Ahora bien, es difícil, hablar del contenido separado del método didáctico, porque creo que se complementan recíprocamente. El método que yo propongo es básicamente el juego, ya que considero que es la actividad más importante en la vida de un niño. Esta le permite relacionarse con su medio e incorporarlo a sus experiencias. Sin embargo, al proponer el juego como método didáctico resulta necesario aclarar qué se entiende por éste, para después vincularlo con la actividad lúdica. De acuerdo con Nerici un método de enseñanza es "...el conjunto de momentos y técnicas lógicamente coordinados para dirigir el aprendizaje del alumno hacia determinados objetivos. El método es quien da sentido de unidad a todos los pasos de la enseñanza y del aprendizaje, principalmente a lo que atañe a la presentación de la materia y a la elaboración de la misma. Se da el nombre de método didáctico al conjunto lógico y unitario de los procedimientos didácticos que tienden a dirigir el aprendizaje, incluyendo en el desde la presentación y elaboración de la materia hasta la verificación del aprendizaje" Visto de esta manera, propongo al juego como el medio unificador (técnicas, contenidos) que nos lleve a lograr el aprendizaje de la lógica del funcionamiento de una computadora. Así, el juego puede ser usado como método de enseñanza (el maestro guía el juego) y como método de aprendizaje (el alumno participa jugando en su aprendizaje).

TIPOS DE CONOCIMIENTOS:Piaget distingue tres tipos de conocimiento que el sujeto puede poseer, éstos son los siguientes: físico, lógico-matemático y social.El conocimiento físico es el que pertenece a los objetos del mundo natural; se refiere básicamente al que está incorporado por abstracción empírica, en los objetos. La fuente de este razonamiento está en los objetos (por ejemplo la dureza de un cuerpo, el peso, la rugosidad, el sonido que produce, el sabor, la longitud, etcétera). Este conocimiento es el que adquiere el niño a través de la manipulación de los objetos que le rodean y que forman parte de su interacción con el medio. Ejemplo de ello, es cuando el niño manipula los objetos que se encuentran en el aula y los diferencia por textura, color, peso, etc.Es la abstracción que el niño hace de las características de los objetos en la realidad externa a través del proceso de observación: color, forma, tamaño, peso y la única forma que tiene el niño para descubrir esas propiedades es actuando sobre ellos físico y mentalmente.El conocimiento físico es el tipo de conocimiento referido a los objetos, las personas, el ambiente que rodea al niño, tiene su origen en lo externo. En otras palabras, la fuente del conocimiento físico son los objetos del mundo externo, ejemplo: una pelota, el carro, el tren, el tetero, etc.El conocimiento lógico-matemático es el que no existe por si mismo en la realidad (en los objetos). La fuente de este razonamiento está en el sujeto y éste la construye por abstracción reflexiva. De hecho se deriva de la coordinación de las acciones que realiza el sujeto con los objetos. El ejemplo más típico es el número, si nosotros vemos tres objetos frente a nosotros en ningún lado vemos el "tres", éste es más bien producto de una abstracción de las coordinaciones de acciones que el sujeto ha realizado, cuando se ha enfrentado a situaciones donde se encuentren tres objetos. El conocimiento lógico-matemático es el que construye el niño al relacionar las experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos. Por ejemplo, el niño diferencia entre un objeto de textura áspera con uno de textura lisa y establece que son diferentes. El conocimiento lógico-matemático "surge de una abstracción reflexiva", ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los objetos, desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, teniendo como particularidad que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de su acción sobre los mismos. De allí que este conocimiento posea características propias que lo diferencian de otros conocimientos.Las operaciones lógico matemáticas, antes de ser una actitud puramente intelectual, requiere en el preescolar la construcción de estructuras internas y del manejo de ciertas nociones que son, ante todo, producto de la acción y relación del niño con objetos y sujetos y que a partir de una reflexión le permiten adquirir las nociones fundamentales de clasificación, seriación y la noción de número. El adulto que acompaña al niño en su proceso de aprendizaje debe planificar didáctica de procesos que le permitan interaccionar con objetos reales, que sean su realidad: personas, juguetes, ropa, animales, plantas, etc.El pensamiento lógico matemático comprende: Clasificación: constituye una serie de relaciones mentales en función de las cuales los objetos se reúnen por semejanzas, se separan por diferencias, se define la pertenencia del objeto a una clase y se incluyen en ella subclases. En conclusión las relaciones que se establecen son las semejanzas, diferencias, pertenencias (relación entre un elemento y la clase a la que pertenece) e inclusiones (relación entre una

subclases y la clase de la que forma parte). La clasificación en el niño pasa por varias etapas:

Alineamiento: de una sola dimensión, continuos o discontinuos. Los elementos que escoge son heterogéneos.

Objetos Colectivos: colecciones de dos o tres dimensiones, formadas por elementos semejantes y que constituyen una unidad geométrica.

Objetos Complejos: Iguales caracteres de la colectiva, pero con elementos heterogéneos. De variedades: formas geométricas y figuras representativas de la realidad.

2. Seriación: Es una operación lógica que a partir de un sistema de referencias, permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus diferencias, ya sea en forma decreciente o creciente. Posee las siguientes propiedades: Transitividad: Consiste en poder establecer deductivamente la relación existente entre dos elementos que no han sido comparadas efectivamente a partir de otras relaciones que si han sido establecidas perceptivamente. Reversibilidad: Es la posibilidad de concebir simultáneamente dos relaciones inversas, es decir, considerar a cada elemento como mayor que los siguientes y menor que los anteriores. La seriación pasa por las siguientes etapas:

o Primera etapa: Parejas y Tríos (formar parejas de elementos, colocando uno pequeño y el otro grande) y Escaleras y Techo (el niño construye una escalera, centrándose en el extremo superior y descuidando la línea de base).

o Segunda etapa: Serie por ensayo y error (el niño logra la serie, con dificultad para ordenarlas completamente).

o Tercera etapa: el niño realiza la seriación sistemática. 3. Número: es un concepto lógico de naturaleza distinta al conocimiento físico o social, ya que no se extraer directamente de las propiedades física de los objetos ni de las convenciones sáciela, sino que se construye a través de un proceso de abstracción reflexiva de las relaciones entre los conjuntos que expresan número. Según Piaget, la formación del concepto de número es el resultado de las operaciones lógicas como la clasificación y la seriación; por ejemplo, cuando agrupamos determinado número de objetos o lo ordenamos en serie. Las operaciones mentales sólo pueden tener lugar cuando se logra la noción de la conservación, de la cantidad y la equivalencia, término a término. Consta de las siguientes etapas: Primera etapa: (5 años): sin conservación de la cantidad, ausencia de correspondencia término a término. Segunda etapa (5 a 6 años): Establecimiento de la correspondencia término a término pero sin equivalencia durable. Tercera etapa: conservación del número. El conocimiento social, puede ser dividido en convencional y no convencional. El social convencional, es producto del consenso de un grupo social y la fuente de éste conocimiento está en los otros (amigos, padres, maestros, etc.). Algunos ejemplos serían: que los domingos no se va a la escuela, que no hay que hacer ruido en un examen, etc. El conocimiento social no convencional, sería aquel referido a nociones o representaciones sociales y que es construido y apropiado por el sujeto. Ejemplos de

este tipo serían: noción de rico-pobre, noción de ganancia, noción de trabajo, representación de autoridad, etc. El conocimiento social es un conocimiento arbitrario, basado en el consenso social. Es el conocimiento que adquiere el niño al relacionarse con otros niños o con el docente en su relación niño-niño y niño-adulto. Este conocimiento se logra al fomentar la interacción grupal.Los tres tipos de conocimiento interactúan entre, sí y según Piaget, el lógico-matemático (armazones del sistema cognitivo: estructuras y esquemas) juega un papel preponderante en tanto que sin él los conocimientos físico y social no se podrían incorporar o asimilar. Finalmente hay que señalar que, de acuerdo con Piaget, el razonamiento lógico-matemático no puede ser enseñado.Se puede concluir que a medida que el niño tiene contacto con los objetos del medio (conocimiento físico) y comparte sus experiencias con otras personas (conocimiento social), mejor será la estructuración del conocimiento lógico-matemático

II. RAZONAMIENTO LOGICO MATEMATICO1. Fundamentación teórica 2. Definición de las habilidades del pensamiento lógico 3. Sistemas de acciones para las habilidades del pensamiento lógico 4. Conclusiones 5. Fuentes consultadas

Resumen"La naturaleza humana no produce a todos los hombres exactamente iguales, hay solo un medio de hacer que todos los hombres se asemejen y ese medio es la educación".Fidel Castro.Una de las direcciones fundamentales en la etapa actual de perfeccionamiento continuo de la enseñanza es la búsqueda de los métodos y vías mas adecuados para el desarrollo de las capacidades y habilidades de nuestros alumnos que se revierta en el mejoramiento continuo de las funciones que realiza.Una preocupación de los profesores es la formulación correcta de los objetivos, apareciendo concepciones erróneas como el establecimiento de listados de verbos iniciadores para enunciar los propósitos o los que se refieren al objetivo como aspiración a lograr solo por el profesor.En este sentido ofrecemos un instrumento de consulta para el tratamiento metodológico de los contenidos teniendo por base que el proceso docente-educativo no incluye solo a la clase sino abarca la relación entre objetivo-contenido-método-medios-evaluación y deja una huella en las tareas que desempeñan posteriormente los egresados.El presente trabajo tiene como objetivo proponer y aplicar un sistema de acciones que permita acelerar el proceso de desarrollo de las habilidades del pensamiento lógico de los alumnos y contar con una guía para diseñar nuestros programas.IntroducciónPor lo anterior dedicamos nuestra investigación a estudiar cómo lograr la mejor comprensión por parte de nuestros estudiantes, concluyendo que para lograrlo es imprescindible la preparación metodológica de los docentes.Como parte de esa preparación están las vías de llevar los conocimientos a los alumnos desarrollando en ellos las habilidades del pensamiento necesarias para lograr la solidez en lo que se aprende.Nos proponemos como objetivo:

Ofrecer un instrumento psico-pedagógico que sirva de base para la concepción y materialización del proceso docente-educativo en la Escuela.

El desarrollo de las habilidades del pensamiento lógico abarcan un período mas amplio que el que se utiliza para una clase por lo que no podemos confundir un objetivo con una habilidad del pensamiento a pesar que están muy relacionadas.El objetivo es un elemento rector del proceso docente-educativo y entre sus componentes están las habilidades.Existen habilidades de organización, planificación y autocontrol, las relacionadas con el uso del texto y otras fuentes de información, las relacionadas con el trabajo en bibliotecas y centros de documentación, las comunicativas y las manuales pero todas ellas tienen por base las que operan en el pensamiento de cuya consolidación depende el éxito de su materialización.Dedicamos nuestros esfuerzos al estudio de estas últimas.Fundamentación teórica.El análisis de diferentes definiciones acerca del pensamiento permiten sintetizar los siguientes rasgos:Es el proceso cognoscitivo que está dirigido a la búsqueda de lo esencialmente nuevo, que constituye el reflejo mediato y generalizado de la realidad y que da la posibilidad de valorar aquello que no se observa directamente, de prever el resultado futuro de las acciones humanas y comprender las pasadas.Para un profesor ha de ser un objetivo importante el conocimiento de los procesos del pensamiento, con los cuales tiene que operar para cumplir los propósitos de la actividad que realiza.Actividad: Es la forma esencialmente humana de relación activa hacia el mundo circundante. Su contenido es precisamente el cambio y la transformación del mundo con arreglo a un fin determinado. La actividad del hombre presupone una determinada contraposición del sujeto y el objeto de la actividad: el hombre contrapone el objeto de la actividad como material que debe recibir nuevas formas y propiedades y convertirse de material en producto de la actividad.Por tanto, la actividad es un proceso donde se establece una relación del hombre con el objeto de la realidad, que trae como resultado la transformación del objeto y del hombre mismo.Mediante la actividad de estudio, el alumno asimila de forma subjetiva, ya sea como conceptos, juicios u otras formas del pensamiento, los contenidos de la enseñanza. Una vez formados estos el alumno puede aplicarlos, siempre y cuando las circunstancias lo demanden.Por eso, es necesario detenerse en el análisis de la naturaleza del pensamiento, pues el conocimiento de la realidad objetiva por el hombre en su actividad social comienza a través de las sensaciones y percepciones y hasta el pensamiento.El pensamiento se desenvuelve bajo la acción de ciertas leyes generales de análisis, síntesis, comparación, abstracción, generalización y clasificación, las cuales han de aprovecharse durante el proceso de enseñanza-aprendizaje.En al actividad pensante del hombre se forman representaciones que actúan en calidad de fines conscientes a los que se le subordina todo un proceso encaminado a su obtención que se denomina acción.Las operaciones por su parte son los métodos mediante los cuales la acción transcurre en dependencia de las condiciones en que se debe alcanzar el fin. En este sentido un hombre puede llegar a un mismo objetivo a través de diferentes sistemas de operaciones.Los profesores han de estar preparados para enfrentar un proceso de enseñanza exigente donde se combinen los conocimientos teóricos con los metodológicos y pedagógicos.Para la psicología pedagógica la significación del principio de la dependencia del pensamiento respecto a la práctica se traduce en la consideración de un grupo de factores entre los cuales está el método de enseñanza-aprendizaje que se utilice.

Entre los métodos más utilizados están:a. Las relaciones lógicas posibles entre los datos se comunican con antelación al

alumno en formas de principios generales, fórmulas, etc. Es la vía de enseñanza-aprendizaje de principios.

b. Las relaciones substanciales las ponen al descubierto los alumnos mismos durante la asimilación de los datos y al operar con ellos. Es la vía de enseñanza-aprendizaje con ejemplos.

c. Al alumno se le enseñan los procedimientos para encontrar los indicios con ayuda de los cuales se ponen al descubierto las relaciones lógicas entre las cosas y fenómenos. Es la vía de enseñanza-aprendizaje de los puntos de referencias estructurales del pensamiento.

Conscientes de la necesidad de desarrollar un pensamiento creativo en nuestros alumnos se suscitan en la pedagogía contemporánea dos tendencias, adaptables a nuestro sistema.

1. Por una parte se llevan a cabo búsquedas de los medios más efectivos de dirección de los métodos de aprendizaje de los estudiantes.

2. Por otra se determinan las posibilidades de la actividad cognoscitiva de los alumnos y de la formación en ellos de habilidades para lograr los conocimientos de forma independiente.

Se distinguen dos tipos de dirección del proceso de aprendizaje atendiendo al grado de actividad de los alumnos.

1. Supone la reglamentación rigurosa de las acciones del alumno que garantiza la asimilación del nuevo contenido. El sistema de acciones se da de forma acabada, mediante el modelo sobre cuya base se lleva a cabo la asimilación.

2. Se caracteriza por plantear a los alumnos tareas de tipo problémico que exigen de ellos la búsqueda independiente del modo de resolver el problema.

La teoría de formación por etapas de las acciones mentales caracteriza además el proceso de su asimilación por el hombre, lo cual tiene gran significado para la organización del proceso de aprendizaje en la escuela.En una primera etapa se obtiene el conocimiento previo de la acción y de las condiciones de su cumplimiento, o sea, se elabora el esquema de la base orientadora de la acción.Durante una segunda etapa la acción adopta una forma materializada, es decir, los alumnos la realizan de un modo material externo desplegando aún todas las operaciones que forman parte de ella.La tercera etapa se caracteriza porque media un proceso de generalización de la acción y de sus operaciones que permite su manifestación en una forma verbal externa, pero sigue siendo no automatizada.La cuarta etapa no se distingue inicialmente de la anterior, sin embargo, comienza a formularse mentalmente como un proceso de interpretación para sí. Mediante este lenguaje mental la acción empieza a reducirse y automatizarse muy rápidamente.Una de las formas de asimilación de la actividad por el hombre es la habilidad, esta se refiere siempre a las acciones que el sujeto debe asimilar e incluye tanto elementos que permiten al sujeto orientarse en las condiciones de realización de la actividad, objetivos, fines y resultados a emplear, así como todos los aspectos que permiten su realización y control en la práctica.Resumiendo, las habilidades constituyen el dominio de acciones complejas ( psíquicas y prácticas ) que permiten al hombre la elección y realización de los procedimientos de la actividad en correspondencia con el fin que se propone con ayuda de los hábitos y conocimientos que posee con anterioridad.Desde el punto de vista pedagógico la habilidad es:

Vía de adquisición de conocimientos. Vía de aplicación de conocimientos.

Vía de adquisición de nuevas habilidades.Desde el punto de vista metódico, el aprendizaje de la habilidad se apoya en las siguientes vías:

1. Se le comunica al alumno los conocimientos imprescindibles.2. Enseñar a los alumnos los indicios que permiten conocer el tipo de tarea y las

operaciones que se requieren para la realización de la actividad.3. Al alumno se le enseña la actividad psíquica imprescindible para el empleo de

los conocimientos en la solución de las tareas.A esta concepción se le denomina método de formación por etapas de las acciones intelectuales. De modo que para desarrollar en nuestros alumnos las habilidades del pensamiento lógico es necesario todo un proceso y no reducir su tratamiento a la formulación de un objetivo o a una determinada acción.El sistema de definiciones que a continuación destacamos puede ser de referencia para todos los docentes de nuestro sistema, por cuanto su adaptación es posible es para cada asignatura en dependencia de sus propósitos.Definición de las habilidades del pensamiento lógico.Analizar: Descomposición mental del todo en sus partes o elementos más simples, así como la reproducción de las relaciones de dichas partes, elementos y propiedades.Sintetizar: Es la integridad mental, la reproducción del todo por la unión de sus partes y conexiones, o sea la combinación mental de sus cualidades, características, propiedades, etc, lo que trae como resultado la reunificación del todo.Comparar: Establecimiento mental de analogías y diferencias entre los objetos y fenómenos de la realidad objetiva que sirve para descubrir lo principal y lo secundario en los objetos.Determinar lo esencial: Determinar las facetas que son inherentes a cada objeto de la realidad, precisar sus propiedades más estables, que lo diferencian del resto, lo que si cambia da lugar a la aparición de un objeto distinto.Abstraer: Separar mentalmente determinadas propiedades y cualidades de un objeto o fenómeno para ser examinadas sin tener en consideración sus restantes relaciones y propiedades.Caracterizar: Es una operación en la que se establece una comparación con otros objetos de su clase y de otras para así seleccionar los elementos que lo tipifican y distinguen de los demás objetos.Definir: Operación por medio de la cual se distinguen las características esenciales de objeto o fenómeno y se enuncian en formas de un concepto.Identificar: Operación mediante la cual se determinan los rasgos que caracterizan a un objeto o fenómeno y sobre esa base se descubre su pertenencia a la extensión de un concepto o ley de las conocidas.Clasificar: Distribución de los objetos o fenómenos individuales en el correspondiente género o clase, es decir presentar las características, nexos y relaciones esenciales y generales de los objetos y fenómenos según un criterio adoptado para la clasificación,Ordenar: Se organiza el objeto de estudio a partir de un criterio lógico o cronológico.Generalizar: Es una operación lógica en la que se unifican mentalmente las características, cualidades y propiedades que son comunes a un grupo de objetos y fenómenos, lo cual sirve de base para la formulación de conceptos, leyes y principios.Observar: Percepción sistémica, premeditada y planificada que se realiza en determinado período de tiempo, tiene como objetivo estudiar minuciosamente el curso de los objetos y fenómenos según un plan previamente elaborado, permite determinar las particularidades esenciales del fenómeno de estudio.

Describir: Operación lógica en la que se enumeran y relacionan las características o elementos que se aprecian en el objeto de descripción, es decir, es la verbalización de lo percibido.Relatar: Exposición lógica y coherente de un argumento que sirve de hilo conductor, enriquecido con un contenido concreto acerca de hechos, personajes, épocas, etc, debiendo caracterizarse por su veracidad, colorido y concreción.Ilustrar: Revelar, a través de las características y propiedades concretas de un objeto, fenómeno o proceso, los principios, conceptos o leyes teóricas de una ciencias dada.Valorar: Implica determinar la trascendencia de un objeto o proceso a partir del conocimiento de sus cualidades, y de la confrontación posterior de estas con ciertos criterios o puntos de vista del sujeto.Criticar: Forma lógica de organización de hechos, razonamientos y argumentos que se contrapongan a un juicio y teoría de partida, objeto de crítica.Relacionar: Operación lógica mediante la cual se descubren los nexos de determinación, dependencia, coexistencia u oposición existente entre dos o más objetos, fenómenos o procesos.Razonar: Forma de pensar que permite deducir nuevos conocimientos a partir de otros establecidos anteriormente, es un proceso de mediatización y deducción de juicios, integrado por un sistema de conocimientos.Interpretar: Proceso mediante el cual se descubren los elementos, relaciones o razonamientos que existen en un estudio como vía para obtener el significado de la información que el aporta.Argumentar: Operación lógica en la que se determina la fundamentación de un juicio o razonamiento de partida, mediante el establecimiento de relaciones entre otros conceptos y juicios conocidos anteriormente.Explicar: Ordenamiento lógico de conocimientos ( hechos, conceptos, leyes, experiencias, etc ) acerca de un objeto, fenómeno o proceso determinado, de modo que exprese las relaciones entre todas sus características conocidas.Demostrar: Proceso mental de búsqueda e interrelación lógica de hechos, conocimientos, argumentos y valoraciones que permita fundamentar la veracidad o falsedad de un juicio de partida.Aplicar: Operación lógica de gran complejidad que exige el dominio previo de un amplio sistema de conocimientos para poder enriquecerlo durante su utilización en la explicación de situaciones nuevas.Sistemas de acciones para las habilidades del pensamiento lógico.Analizar:a)Delimitar las partes del objeto a analizar ( todo ).b) Determinar los criterios de descomposición del todo.c) Delimitar las partes del todo.d)Estudiar cada parte delimitada.Sintetizar:

a. Comparar las partes entre sí ( rasgos comunes y diferencias ).b. Descubrir los nexos entre las partes ( causales de condicionalidad ).c. Elaborar conclusiones acerca de la integridad del todo.

Comparar:a. Determinar los objetos de comparación.b. Determinar las líneas o parámetros de comparación.c. Determinar las diferencias y semejanzas entre los objetos para cada línea de

comparación.d. Elaborar conclusiones acerca de cada línea de comparación ( síntesis parcial ).e. Elaborar conclusión de cada objeto de comparación ( síntesis parcial ).

f. Elaborar conclusiones generales.Determinar lo esencial:

a. Analizar el objeto de estudio.b) Comparar entre sí las partes del todo.c)Descubrir lo determinante, fundamental, lo estable del todo.d)Revelar los nexos entre los rasgos esenciales.Abstraer:

a. Analizar el objeto de abstracción.b. Determinar lo esencial.c. Despreciar los rasgos y nexos secundarios, no determinantes del objeto.

Caracterizar:a. Analizar el objeto.

b)Determinar lo esencial en el objeto.c. Comparar con otros objetos de su clase y de otras clases.a. Seleccionar los elementos que lo tipifiquen y distinguen de los demás objetos.

Definir:a. Determinar las características esenciales que distinguen y determinan el objeto

de definición.b. Enunciar de forma sintética y precisa los rasgos esenciales del objeto.

Identificar:a. Analizar el objeto.b. Caracterizar el objeto.c. establecer la relación del objeto con un hecho, concepto o ley de los conocidos.

Clasificar:a. Identificar el objeto de estudio.

b)Seleccionar los criterios o fundamentos de clasificación.c) Agrupar los elementos en diferentes clases o tipos.Ordenar:

a. Identificar el objeto de estudio.b)Seleccionar el o los criterios de ordenamiento (lógicos, cronológicos, etc). .c) Clasificar los elementos según el criterio de ordenamiento.d) Ordenar los elementos.Generalizar:

a. determinar la esencia de cada elemento del grupo a generalizar.b)Comparar los elementos.c)Seleccionar los rasgos, propiedades o nexos esenciales y comunes a todos los elementos.d)Clasificar y ordenar estos rasgos.e) Definir los rasgos generales del grupo.Observar:

a. Determinar el objeto de observación.b)Determinar los objetivos de la observación.c)Fijar los rasgos y características del objeto observado con relación a los objetivos.Describir:

a. Determinar el objeto a describir.b. Observar el objeto.c. Elaborar el plan de descripción.d. Reproducir las características del objeto siguiendo el plan de descripción

elaborado.Relatar o narrar:

a. Delimitar el período temporal del acontecimiento a narrar.

b. seleccionar el argumento de relato ( acciones que acontecen como hilo conductor de la narración en el tiempo).

c. Caracterizar los demás elementos que den vida y condiciones concretas el argumento ( personajes, situación histórica, relaciones espacio-temporales ).

d. Exponer ordenadamente el argumento y el contenido.Ilustrar:

a. Determinar el concepto, regularidad o ley que se quieren ilustrar.b) Seleccionar los elementos factuales ( a partir de criterios lógicos y de la observación, descripción, relato u otras fuentes ).

c. Establecer las relaciones de correspondencia de lo factual con lo lógico.a. Exponer ordenadamente las relaciones encontradas.

Valorar:a. Caracterizar el objeto de la valoración.b. Establecer los criterios de valoración ( valores ).c. Comparar el objeto con los criterios de valor establecidos.d. Elaborar los juicios de valor acerca del objeto.

Criticar:a. Caracterizar el objeto de crítica.b. Valorar el objeto de crítica.c. Argumentar los juicios de valor elaborados.d. Refutar las tesis de partida del objeto de crítica con los argumentos

encontrados.Relacionar:

a. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.b. Determinar los criterios de relación entre los objetos.c. Determinar los nexos de un objeto hacia otro a partir de los criterios

seleccionados.d. Determinar los nexos inversos.e. Elaborar las conclusiones generales.

Razonar:a. Determinar las premisas ( juicios o criterios de partida ).b. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término

medio.c. Elaborar la conclusión ( nuevo juicio obtenido ).

Interpretar:a. Analizar el objeto o información.b. Relacionar las partes del objeto.c. Encontrar la lógica de las relaciones establecidas.d. Elaborar las conclusiones acerca de los elementos, relación y razonamiento que

aparecen en el objeto o información interpretada.Argumentar:

a. Interpretar el juicio de partida.b. Encontrar de otras fuentes los juicios que corroboran el juicio inicial.c. Seleccionar las reglas lógicas que se sirven de base al razonamiento.

Explicar:a. Interpretar el objeto de información.b. Argumentar los juicios de partida.c. Establecer las interrelaciones de los argumentos.d. Ordenar lógicamente las interrelaciones encontradas.e. Exponer ordenadamente los juicios y razonamientos.

Demostrar:a. Caracterizar el objeto de demostración.

b. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboran el objeto de demostración.

c. Elaborar los razonamientos que relacionen los argumentos que demuestren la veracidad del objeto de demostración.

Aplicación:a. Determinar el objeto de aplicación.b. Confirmar el dominio de los conocimientos que se pretenden aplicar el objeto.c. Caracterizar la situación u objeto concreto en que se pretende aplicar los

conocimientos.d. Interrelacionar los conocimientos con las características del objeto de

aplicación.e. Elaborar conclusiones de los nuevos conocimientos que explican el objeto y que

enriquecen los conocimientos anteriores.ConclusionesCon este trabajo ofrecemos una base teórica para el tratamiento de las habilidades del pensamiento lógico durante el proceso docente-educativo teniendo por finalidad el desarrollo de dichas habilidades.Para la formación de una determinada habilidad hay que tener en cuenta diferentes requisitos.

1. Conocer si todos los alumnos saben hacer lo que se les indica; garantizar el carácter activo y consciente de este proceso de aprendizaje donde el estudiante sea capaz de llegar a delimitar los conocimientos, métodos y procedimientos y llevarlos a la práctica, a situaciones nuevas de acuerdo a los objetivos y condiciones de la actividad a desarrollar.

2. No se puede ejercitar una habilidad hasta que no esté correctamente formada, es decir, hay que planificar todo el proceso donde exista sistematización y consolidación de acciones.

3. Dar una ejercitación suficiente a las acciones de acuerdo a las particularidades de los alumnos variando su nivel de complejidad hasta adquirir las cualidades necesarias de una habilidad donde las acciones se generalizan y el sujeto alcanza un gran dominio de estas.

No estaría completo este informe si pretendiéramos darlo como acabado, por lo que resulta un primer paso a una obligada investigación acerca de la factibilidad de esta tesis a la realidad concreta de nuestras aulas, a pesar de haber sido comprobada su validez en otros centros.Hemos querido demostrar que el proceso de desarrollo de las habilidades del pensamiento lógico es complejo y requiere su asimilación consciente por profesores y estudiantes.Fuentes consultadas

1. Concepto de pensamiento. Características Generales. López Hurtado Josefina ( y otros ) en Psicología General. La Habana. Editprial Pueblo y Educación. 1982 p.130-158. 227 p.

1. Conferencia de habilidades en seminario Nacional a dirigentes y metodólogos e inspectores de la Direcciones Provinciales y Municipales de Educación y de los Institutos Superiores Pedagógicos. 2da parte. La Habana, febrero 1980.

2. Cuba, Ministerio de Educación. Selección de lecturas pedagógicas. La Habana, Editorial Pueblo y Educación, 1975. 108 p.

3. Cuellar Antonio L. y Gerardo Roloff. Nociones de Psicología General. La Habana. Editorial Pueblo y Educación 1977p. 129-179.

4. Diccionario Filosófico Enciclopédico Redactor Principal L.F.Llichon, P.N. ( y otros ). Enciclopedia Soviética,1983, 840 p. ( en ruso ).

2.a FUNDAMENTOS TEORICOS PARA LA INICIACION A LOGICADESARROLLO DE LAS HABILIDADES MATEMATICAS

Índice 1 Introducción

o 1.1 Sentido Numérico o 1.2 El Cálculo

2 Desarrollo Evolutivo 3 Neuroanatomía 4 Patologías 5 Referencias 6 Enlaces

IntroducciónEl avance en neurociencias está permitiendo estudiar a fondo y cuestionar los modelos de explicación de procesos de cognición, no solo básicos, sino también complejos como la lectura, la escritura, la música o la habilidad matemática. En lo que respecta a esta última, los estudios de pacientes con lesiones cerebrales, así como la neuroimagen y el uso de aparatos como la Estimulación Magnética Transcraneana, son métodos que hoy por hoy ceden a hipótesis de cómo el encéfalo realiza tareas matemáticas y las rutas neuronales que se encargan de estas funciones. Parece ser que, en general el procesamiento matemático se divide en dos subprocesos que a su vez comparten y difieren en redes neuronales (véase Capitulo de Neuroanatomía), el sentido numérico (llamado también pensamiento numérico) y el cálculo aritmético.Sentido NuméricoEl sentido numérico tiene que ver con una capacidad de determinar cantidades en el entorno, de contar elementos del espacio. Experimentos en psicología evolutiva y psicología cognitiva, demuestran que esta facultad, al menos en su expresión más básica, está presente en los sujetos desde edades muy tempranas. Sugiriendo que nacemos con ciertos módulos preparados para la tarea de contar, y que luego se complejizan con la exposición al aprendizaje. El pensamiento numérico presenta características comunes que dependen, en parte, de la información genética de la especie:

Efecto de distancia: El tiempo en que se tarda en identificar cual es el mayor (o menor) de dos números depende de su diferencia (distancia). A mayor distancia entre ellos menor tiempo.

Efecto de tamaño: Para igual distancia numérica, la discriminación entre dos números empeora conforme aumentan sus valores numéricos. Esto es, en una tarea de comparación de números es más difícil decidir entre 9 y 8 que entre 3 y 2. Ello sugiere que nuestro cerebro maneja los números de forma similar a como lo hace con las cantidades pertenecientes a magnitudes físicas como peso, longitud o volumen.

Efecto SNARC: El efecto SNARC (Spatial-Numerical Association of Response Code) apunta a la fuerte relación que existe entre espacio y procesamiento matemático. Los números parecen representarse en un continuo interno similar a una línea que va de izquierda a derecha en espacio, empezando desde el digito menor desde la izquierda hasta el mayor en el extremo de la derecha, como en la lectura de letras y palabras. Claramente esto depende del aprendizaje, pues para comunidades cuya línea de lectura es de derecha a izquierda, la representación de los números se daría en este sentido.

El CálculoEs la habilidad de interrelacionar las cantidades numéricas, por medio de reglas espaciales y semánticas, en distintas combinaciones y productos. Esta capacidad cognitiva es una de las más evolucionadas en la especie humana, hasta el punto de regir los diseños y patrones de la sociedad contemporánea. Al igual que el sentido numérico, el cálculo se divide en dos sistemas de representación, el logográfico o formato arábigo (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), y el fonográfico o formato verbal-auditivo (cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco..). En lo que respecta a como se realiza la tarea numérica, se han diseñado modelos explicativos, entre lo que se pueden resaltar el modelo cognitivo de McCloskey y el modelo del triple código. A los que posteriormente, se les efectuó diversas críticas (Willmes et al). Sin embargo, aquí se expondrán someramente, más con un fin ilustrativo.

Modelo Cognitivo de McCloskey et al.Propone que el procesamiento matemático se compone de un input (sistemas de procesamiento numérico y de cálculo), una central de representaciones abstractas con dos módulos (logográfico y fonográfico), y un output (producto). Todo esto intervenido por una ruta semántica donde los módulos se encuentran separados.

Modelo de Triple Código.Contrario al anterior propone rutas asemanticas y divide la central en tres códigos, 1) cantidades espaciales, 2) verbal auditivo y 3) Arábigo, que se pueden comunicar entre si y cuyo uso depende de la demanda de la tarea.Desarrollo EvolutivoLa cuantificación de los elementos que forman parte de nuestro entorno, es una capacidad básica no solo del ser humano, sino también de otras especies animales, que contribuye a la adaptación del organismo a su medio. De esta forma parece que es una habilidad que nace con la especie, pero que se desarrolla en patrones más complejos con ayuda del aprendizaje y la exposición al ambiente. En el caso del hombre, habilidad que trasciende la mera adaptación y supervivencia a una manipulación de los elementos del medio para comprender los mecanismos del mismo. La representación de los números y las operaciones aritméticas aparecieron hace apenas 3500-5000 años. Estas habilidades podrían interpretarse como un tipo de cognición que en sus orígenes implica, por lo menos, algún tipo de conocimiento corporal, conceptos espaciales y de lenguaje. Al parecer las habilidades matemáticas se derivan de la secuenciación de los dedos. Contar, reconocer los dedos e incluso el conocimiento espacial lateral pueden presentar un origen histórico común. Prueba de ello es la cooperación de redes neuronales, en una misma región cerebral, para la realización de estos procesos.NeuroanatomíaInvestigaciones recientes realizadas señalan que los circuitos neuronales del procesamiento numérico se localizan principalmente en el lóbulo parietal, específicamente en surco intraparietal y el giro angular (conocida como región parietal izquierda). Aunque otras regiones cerebrales como la corteza prefrontal, la parte posterior del lóbulo temporal, la corteza cingulada y la ínsula, además de distintas regiones subcorticales parecen contribuir al correcto funcionamiento de estas capacidades. En lo que respecta a la región parietal, fue Salomon Heschen quien en 1920 le adjudicó capacidad de representar cantidades y realizar calculos, desde ese entonces, parece haber consenso en que esta zona comporta los principales circuitos concernientes al procesamiento matemático.En 1924 el neurólogo Gertsmann halló en tres pacientes con lesiones en esta región defectos en la escritura (agrafía), el cálculo (acalculia), reconocimiento de los dedos (agnosia digital) e imposibilidad de distinguir entre derecha e izquierda. A este conjunto de trastornos se le llamaría a posteriori síndrome de Gerstmann

(recientemente Síndrome Angular). Aunque estas alteraciones suelen darse de forma conjunta, parece que algunos pacientes pueden mostrarlas selectivamente, esto es, por ejemplo presentar acalculia y agrafia sin los otros dos defectos. Así, se sugiere que la región parietal izquierda se subdivide en microrregiones especializadas en cada una de estas tareas. Por su parte, los estudios de Dehaene y Cohen con el paciente M, ayudaron a corroborar la hipótesis de que el cálculo aproximado y el cálculo por memoria mecánica (tablas de multiplicar y sumar) comportan distintas redes neuronales y sustratos anatómicos.Lóbulo parietal: surco intraparietal, giro angular, región superiorComo se ha mencionado, parece existir consenso que en el lóbulo parietal especialmente su porción inferior se asientan los principales procesos implicados en las tareas matemáticas. Una porción conocida como surco intraparietal se activa cuando los sujetos se representan y/o relacionan cantidades, y la ejecución de cálculos sin intervención lingüística. Aunque bien, esta zona parece estar especialmente diseñada para la lectura espacial de símbolos dispuestos en secuencias lineales, con lo que además de simbolizar cantidades, representa las letras del alfabeto y las palabras. En lo que corresponde al giro angular, su participación se da en el cálculo, en particular, el que se encuentra relacionado con operaciones lingüísticas. Finalmente, y aunque también se le ha relacionado con tareas matemáticas, por el momento la zona parietal superior, se cree, cumple las funciones atencionales y del filtro en dichas tareas.Otras zonas cerebralesEs sabido que para realizar tareas de cálculo, se necesita de la memoria de trabajo para mantener los símbolos en la conciencia, mientras se realizan operaciones. Tal es la función de la zona prefrontal, que además de esto, participa en la planificación del proceso y en el control de errores que se comenten en la actividad matemática. Por su parte el cortez occitotemporal cumple la labor de reconocimiento de cifras arábigas y símbolos verbales de las cantidades.PatologíasLas lesiones del lobulo parietal inferior u otras regiones asociadas provocará potencialmente defectos en las habilidades matemáticas, derivandose en una acalculia, ya sea, diferenciada o asociada a otros defectos. Sin embargo, cabe aclarar que el procesamiento matemático también se puede ver perjudicado por trastornos del desarrollo del sistema nervioso. Según Serra et al. se ha detectado hipodensidad de la sustancia gris del giro angular en sujetos con discalculia o sindromes en los que se incluyen defectos en el calculo y los numeros como el Sindrome de Turner o asociados al cromosoma X.Referencias

Alonso y Fuentes(2001). Mecanismos cerebrales del pensamiento matemático. Revista de neurología, 33, 568-76.

Serra et al. (2010). Bases neuronales del procesamiento numérico y del calculo. Revista de Neurología, 50, 39-46.

Ardila y Rosselli(2007). Neuropsicología Clinica. Mexico: Editorial El manual moderno, 364 p. (ISBN 978-970-729-279-6).

razonamiento logico matemáticoEs la forma de razonamiento basada en la lógica matemática como subcampo de la lógica.

Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.

Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.

Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.

El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).FUNDAMENTOS TEORICOS PARA LA LOGICAGeorg Wilhelm Friedrich Hegel (Stuttgart, 27 de agosto de 1770 – Berlín, 14 de noviembre de 1831), filósofo alemán nacido en Stuttgart, Wurtemberg, recibió su formación en el Tübinger Stift (seminario de la Iglesia Protestante en Wurtemberg), donde trabó amistad con el futuro filósofo Friedrich Schelling y el poeta Friedrich Hölderlin. Le fascinaron las obras de Platón, Aristóteles, Descartes, Spinoza, Kant, Rousseau, así como la Revolución Francesa, la cual acabó rechazando cuando esta cayó en manos del terror jacobino. Se le considera el último de los grandes metafísicos[cita requerida]. Murió víctima de una epidemia de cólera, que hizo estragos durante el verano y el otoño de 1831.Considerado por la Historia Clásica de la Filosofía como el representante de la cumbre del movimiento decimonónico alemán del idealismo filosófico y como un revolucionario de la Dialéctica, habría de tener un impacto profundo en el materialismo histórico de Karl Marx. La relación intelectual entre Marx y Hegel ha sido una gran fuente de interés por la obra de Hegel. Hegel es célebre como un filósofo muy oscuro, pero muy original, trascendente para la historia de la filosofía y que sorprende a cada nueva generación[cita requerida]. La prueba está en que la profundidad de su pensamiento generó una serie de reacciones y revoluciones que inauguraron toda una nueva visión de hacer filosofía[cita requerida]; que van desde la explicación del materialismo Marxista, el pre-existencialismo de Søren Kierkegaard, el escape de la Metafísica de Friedrich Nietzsche, la crítica a la Ontología de Martin Heidegger, el pensamiento de Jean-Paul Sartre, la filosofía nietzscheana de Georges Bataille, la dialéctica negativa de Theodor W. Adorno y la teoría de la deconstrucción de Jacques Derrida, entre otros. Desde sus principios hasta nuestros días, sus escritos siguen teniendo gran repercusión, en parte debido a las múltiples interpretaciones posibles que tienen sus textos.FormaciónHegel asistió al seminario de Tubinga con el poeta épico Friedrich Hölderlin y el idealista objetivo Schelling. Los tres estuvieron atentos al desarrollo de la Revolución francesa y colaboraron en una crítica de las filosofías idealistas de Immanuel Kant y su seguidor, Fichte.ObraSe suele considerar la primera obra realmente importante de Hegel su Fenomenología del espíritu (1807), si bien sus nunca publicados en vida Escritos de Juventud han sido objeto de estudio e interpretación desde su publicación a principios del siglo XX. Otras obras prefenomenológicas, como La Constitución de Alemania

(1802), dan cuenta del triste estado del imperio romano-germánico a comienzos del s. XIX. El sistema que propone para Alemania y el resentimiento que ahí expresa por los demás países de Europa, con excepción de Italia que, según Hegel, comparte el destino de Alemania, hace de esta obra un extraño presagio de la Segunda Guerra Mundial.[cita requerida]. En 1802 aparecen sus primeras publicaciones en la Revista Crítica de Filosofía, en la que trabaja junto a su viejo compañero del Seminario de Tubinga, Schelling.Actualmente, la Fenomenología del espíritu es considerada la más importante obra de Hegel.[cita requerida] Aún en vida, publicó además la Ciencia de la lógica (1812-1816), la Enciclopedia de las ciencias filosóficas (1817, con varias reediciones posteriores) y la Filosofía del derecho (1821). Otras varias obras sobre la filosofía de la historia, la religión, la estética y la historia de la filosofía se recopilaron a partir de los apuntes de sus estudiantes y se publicaron póstumamente.PensamientoLas obras de Hegel tienen fama de difíciles por la amplitud de los temas que pretenden abarcar. Hegel introdujo un sistema para entender la historia de la filosofía y el mundo mismo, llamado a menudo “dialéctica”: una progresión en la que cada movimiento sucesivo surge como solución de las contradicciones inherentes al movimiento anterior. Por ejemplo, la Revolución francesa constituye para Hegel la introducción de la verdadera libertad a las sociedades occidentales por vez primera en la historia.Sin embargo, precisamente por su novedad absoluta, es también absolutamente radical: por una parte, el aumento abrupto de violencia que hizo falta para realizar la revolución no puede dejar de ser lo que es, y por otra parte, ya ha consumido a su oponente. La revolución, por consiguiente, ya no tiene hacia dónde volverse más que a su propio resultado: la libertad conquistada con tantas penurias es consumida por un brutal Reinado del Terror. La historia, no obstante, progresa aprendiendo de sus propios errores: sólo después de esta experiencia, y precisamente por ella, puede postularse la existencia de un Estado constitucional de ciudadanos libres, que consagra tanto el poder organizador benévolo (supuestamente) del gobierno racional y los ideales revolucionarios de la libertad y la igualdad. "En el pensamiento es donde reside la libertad".En las explicaciones contemporáneas del hegelianismo —para las clases preuniversitarias, por ejemplo— la dialéctica de Hegel a menudo aparece fragmentada, por comodidad, en tres momentos llamados “tesis” (en nuestro ejemplo, la revolución), “antítesis” (el terror subsiguiente) y “síntesis” (el estado constitucional de ciudadanos libres). Sin embargo, Hegel no empleó personalmente esta clasificación en absoluto; fue creada anteriormente por Fichte en su explicación más o menos análoga de la relación entre el individuo y el mundo. Los estudiosos serios de Hegel no reconocen, en general, la validez de esta clasificación[cita requerida], aunque probablemente tenga algún valor pedagógico (véase Tríada dialéctica).El historicismo creció significativamente durante la filosofía de Hegel. De la misma manera que otros exponentes del historicismo, Hegel consideraba que el estudio de la historia era el método adecuado para abordar el estudio de la ciencia de la sociedad, ya que revelaría algunas tendencias del desarrollo histórico. En su filosofía, la historia no sólo ofrece la clave para la comprensión de la sociedad y de los cambios sociales, sino que es tomada en cuenta como tribunal de justicia del mundo.La filosofía de Hegel afirmaba que todo lo que es real es también racional y que todo lo que es racional es real. El fin de la historia era, para Hegel, la parusía del espíritu y el desarrollo histórico podía equipararse al desarrollo de un organismo, los componentes trabajan afectando al resto y tienen funciones definidas. Hegel dice que es una norma divina, que en todo se halla la voluntad de Dios, que es conducir al hombre a la libertad; por ello es panteísta. Justifica así la desgracia histórica: toda la

sangre y el dolor, la pobreza y las guerras son "el precio" necesario a pagar para lograr la libertad de la humanidad.Hegel se valió de este sistema para explicar toda la historia de la filosofía, de la ciencia, del arte, de la política y de la religión, pero muchos críticos modernos señalan que Hegel a menudo parece pasar por alto las realidades de la historia a fin de hacerlas encajar en su molde dialéctico. Karl Popper, crítico de Hegel en La sociedad abierta y sus enemigos, opina que el sistema de Hegel constituye una justificación tenuemente disfrazada del gobierno de Federico Guillermo III y de la idea hegeliana de que el objetivo ulterior de la historia es llegar a un Estado que se aproxima al de la Prusia del decenio de 1831. Esta visión de Hegel como apólogo del poder estatal y precursor del totalitarismo del siglo XX fue criticada minuciosamente por Herbert Marcuse en Razón y revolución: Hegel y el surgimiento de la teoría social, arguyendo que Hegel no fue apólogo de ningún Estado ni forma de autoridad sencillamente porque éstos existieran; para Hegel, el Estado debe ser siempre racional. Arthur Schopenhauer despreció a Hegel por su historicismo y tachó su obra de pseudofilosofía.La filosofía de la historia de Hegel está también marcada por los conceptos de las "astucias de la razón" y la "burla de la historia"; la historia conduce a los hombres que creen conducirse a sí mismos, como individuos y como sociedades, y castiga sus pretensiones de modo que la historia-mundo se burla de ellos produciendo resultados exactamente contrarios, paradójicos, a los pretendidos por sus autores, aunque finalmente la historia se reordena y, en un bucle fantástico, retrocede sobre sí misma y con su burla y paradoja sarcástica, convertida en mecanismo de cifrado, crea también ella misma, sin quererlo, realidades y símbolos ocultos al mundo y accesibles sólo a los cognoscentes, es decir, a aquellos que quieren conocer.LógicaEl acto del conocimiento es la introducción de la contradicción. El principio del tercero excluido, algo o es A o no es A, es la proposición que quiere rechazar la contradicción y al hacerlo incurre precisamente en contradicción: A debe ser +A ó -A, con lo cual ya queda introducido el tercer término, A que no es ni + ni - y por lo mismo es +A y -A. Una cosa es ella misma y no es ella, porque en realidad toda cosa cambia y se transforma ella misma en otra cosa. Esto significa la superación de la lógica formal y el establecimiento de la lógica dialéctica.Todas las cosas son contradictorias en sí mismas y ello es profunda y plenamente esencial. La identidad es la determinación de lo simple inmediato y estático, mientras que la contradicción es la raíz de todo movimiento y vitalidad, el principio de todo automovimiento y, solamente aquello que encierra una contradicción se mueve.La imaginación corriente capta la identidad, la diferencia y la contradicción, pero no la transición de lo uno a lo otro, que es lo más importante, cómo lo uno se convierte en lo otro.Causa y efecto son momentos de la dependencia recíproca universal, de la conexión y concatenación recíproca de los acontecimientos, eslabones en la cadena del desarrollo de la materia y la sociedad: la misma cosa se presenta primero como causa y luego como efecto.Es necesario hacer conciencia de la intercausalidad, de las leyes de conexión universal objetiva, de la lucha y la unidad de los contrarios y de las transiciones y las transformaciones de la naturaleza y la sociedad. La totalidad de todos los aspectos del fenómeno, de la realidad y de sus relaciones recíprocas, de eso está compuesta la verdad.La realidad es la unidad de la esencia y la existencia. La esencia no está detrás o más allá del fenómeno, sino que por lo mismo que la esencia existe, la esencia se concreta en el fenómeno. La existencia es la unidad inmediata del ser y la reflexión: Posibilidad

y accidentalidad son momentos de la realidad puestos como formas que constituyen la exterioridad de lo real y por tanto son cuestión que afecta el contenido, porque en la realidad se reúne esta exterioridad, con la interioridad, en un movimiento único y se convierte en necesidad, de manera que lo necesario es mediado por un cúmulo de circunstancias o condiciones.La cantidad se transforma en calidad y los cambios se interconectan y provocan los unos con los otros. Las matemáticas no han logrado justificar estas operaciones que se basan en la transición, porque la transición no es de naturaleza matemática o formal, sino dialéctica.Las determinaciones lógicas anteriormente expuestas, las determinaciones del ser y la esencia, no son meras determinaciones del pensamiento. La lógica del concepto se entiende ordinariamente como ciencia solamente formal, pero si las formas lógicas del concepto fueran recipientes muertos, pasivos, de meras representaciones y pensamientos, su conocimiento sería superfluo; pero en realidad son como formas del concepto, el espíritu vivo de lo real y por tanto se requiere indagar la verdad de estas formas y su conexión necesaria.El método del conocimiento no es una forma meramente exterior, sino que es alma y concepto del contenido. Por lo que se refiere a la naturaleza del concepto el análisis es lo primero, porque debe elevar la materia dada a la forma de abstracciones universales, las cuales, luego, mediante el método sintético son puestas como definiciones. El análisis resuelve el dato concreto, aísla sus diferencias y les da forma de universalidad o deja lo concreto como fundamento y, por medio de la abstracción de las particularidades que aparentan ser inesenciales, pone de relieve un universal concreto o sea la fuerza de ley general. Esta universalidad es luego también determinada mediante la síntesis del concepto en sus formas, en definiciones.La actividad humana une lo subjetivo con lo objetivo. El fin subjetivo se vincula con la objetividad exterior a él, a través de un medio que es la unidad de ambos, esto es la actividad conforme al fin. Así, con sus herramientas, el hombre posee poder sobre la naturaleza exterior, aunque en lo que respecta a sus fines se encuentra con frecuencia sometido a ella.EstéticaHegel estudia el arte como modo de aparecer de la idea en lo bello. En sus lecciones sobre estética define primero el campo en el que esta ciencia debe trabajar. Realiza para ello una distinción entre lo bello natural y lo bello artístico. Lo bello artístico es superior a lo bello natural porque en el primero está presente el espíritu, la libertad, que es lo único verdadero. Lo bello en el arte es belleza generada por el espíritu, por tanto partícipe de éste, a diferencia de lo bello natural que no será digno de una investigación estética, precisamente por no ser partícipe de ese espíritu que es el fin último de conocimiento.Antes de analizar lo Bello artístico, Hegel refuta algunas objeciones que catalogan al arte como indigno de tratamiento científico (con tratamiento científico Hegel se refiere a tratamiento filosófico y no a la ciencia como se entiende hoy).Como primer punto que refutar, habla de la afirmación que vuelve al arte indigno de investigación científica por contribuir a la relajación del espíritu, careciendo así de naturaleza seria. Según esto, el arte, tomado como un juego, emplea la ilusión como medio para su fin y, dado que el medio debe siempre corresponder a la dignidad del fin, lo verdadero nunca puede surgir de la apariencia.También Hegel en este punto se refiere a Kant para criticarlo. Kant viene a decir que el arte sí es digno de una investigación científica, al asignarle el papel de mediador entre razón y sensibilidad. Pero Hegel no solo no cree esto posible, ya que tanto la razón como la sensibilidad no se prestarían a tal mediación y reclamarían su pureza, sino que además aclara que, siendo mediador, el arte no ganaría más seriedad, ya que

este no sería un fin en sí mismo y el arte seguiría estando subordinado a fines más serios, superiores.Dentro del campo de la estética o filosofía del arte, Hegel distingue entre arte libre y arte servil, teniendo este último fines ajenos a él, como por ejemplo el decorar. Es el arte libre el que será objeto de estudio, ya que tiene fines propios, es libre y verdadero, porque es un modo de expresar lo divino de manera sensible. De esta manera el arte se aproxima al modo de manifestación de la naturaleza, que es necesaria, seria y sigue leyes.En su calidad de ilusión, el arte no puede separarse de toda la realidad. La apariencia le es esencial al espíritu, de manera que todo lo real será apariencia de éste. Existe una diferencia entre la apariencia en lo real y la apariencia en el arte. La primera, gracias a la inmediatez de lo sensible, se presenta como verdadera, se nos aparece como lo real. En cambio la apariencia en lo artístico se presenta como ilusión, le quita al objeto la pretensión de verdad que tiene en la realidad y le otorga una realidad superior, hija del espíritu. De manera que aunque la idea se encuentre tanto en lo real como en el arte, es en este último en donde resulta más fácil penetrar en ella.Al tener el arte como esencia el espíritu, se deduce que su naturaleza es el pensar, de manera que los productos del arte bello, más allá de la libertad y arbitrio que puedan tener, en cuanto partícipes del espíritu, éste les fija límites, puntos de apoyo. Tienen conciencia, se piensan sobre sí mismos. El contenido determina una forma.Al serle al arte esencial la forma, el mismo es limitado. Hay un momento en el que el arte satisface las necesidades del espíritu, pero por su carácter limitado esto dejará de ser así. Una vez que deja de satisfacer dichas necesidades, la obra de arte genera en nosotros, además del goce inmediato, el pensamiento y la reflexión; genera en nosotros juicio, y éste va a tener como objetivo el conocer el arte, el espíritu que en él se aparece, su ser ahí. Es por esto que la filosofía del arte es aún más necesaria hoy que en el pasado.Entonces, los productos del arte bello son una alienación del espíritu en lo sensible. La verdadera tarea del arte es llevar a la conciencia los verdaderos intereses del espíritu y es por esto que, al ser pensado por la ciencia, el arte cumple su finalidad.Hegel distingue tres formas artísticas: la forma artística Simbólica, la forma artística Clásica y la forma artística Romántica. Estas marcan el camino de la idea en el arte, son diferentes relaciones entre el contenido y la forma.La forma artística Simbólica es un mero buscar la forma para un contenido que aún es indeterminado. La figura es deficiente, no expresa la idea. El hombre parte del material sensible de la naturaleza y construye una forma a la cual le adjudica un significado. Se da la utilización del símbolo y éste, en su carácter de ambiguo, llenará de misterio todo el arte simbólico. La forma es mayor que el contenido. Hegel relaciona esta forma artística con el arte de la arquitectura, ésta no muestra lo divino sino su exterior, su lugar de residencia. Se refiere a la arquitectura de culto, más específicamente a la egipcia, la india y la hebrea.La forma artística Clásica logra el equilibrio entre forma y contenido. La idea no solo es determinada sino que se agota en su manifestación. El arte griego, la escultura, es el arte de la forma artística clásica. Las esculturas griegas no eran, para los griegos, representaciones del dios sino que eran el dios mismo. El hombre griego fue capaz de expresar su espíritu absoluto, su religión, en el arte. A esto se refiere Hegel cuando habla del carácter pasado del arte. El arte, en su esencia, pertenece al pasado siempre, porque es en él en donde la cumple, es en el arte griego en donde el Arte logra su fin último, la representación total de la idea.Pero precisamente por el carácter limitado del arte, este equilibro tiene que romperse y aquí se da el paso a la forma artística Romántica. Una vez más hay una desigualdad entre forma y contenido, dejan de encastrar de manera perfecta, pero ahora es la forma la que no es capaz de representar el espíritu. El contenido rebasa la forma.

Las artes de esta forma artística son la pintura, la música y la poesía. La idea va de lo más material, la pintura, a lo menos material, pasando por la música, que tiene como materia el sonido, y llega a la poesía, que es el arte universal del espíritu ya que tiene como material la bella fantasía. La poesía atravesará todas las demás artes.Muchos filósofos van a retomar el tema del arte en Hegel, Hans-Georg Gadamer, por ejemplo, hablará de «La muerte del Arte» refiriéndose a la estética hegeliana. Hegel nunca habló de una muerte del arte sino que le otorgó a éste el carácter de pasado, pasado no entendido como algo que ya no existe; el «carácter pasado del arte» esta íntimamente vinculado con el fin de la filosofía hegeliana, conocer al espíritu, que éste sea libre. Dentro de este fin, el arte cumplió su tarea en el pasado, en la época clásica, para luego ser superado por la religión y en última instancia, ésta por la filosofía.Dialéctica históricaHegel expuso extensamente su filosofía de la historia en sus Lecciones sobre la Filosofía de la Historia Universal. Sin embargo, la exposición más notable de su visión dialéctica de la historia es aquella contenida en la obra que, como ninguna otra, encarna y simboliza su filosofía: la Fenomenología del Espíritu. Se trata del análisis presentado en la sección central de la Fenomenología, que lleva por rúbrica El Espíritu (Der Geist) y que trata de la historia europea desde la Grecia clásica hasta la Alemania del tiempo de Hegel.1

En concordancia con su esquema dialéctico, Hegel divide el período a analizar en tres grandes fases: la de la unidad originaria (la polis de la Grecia clásica), la de la división conflictiva pero desarrolladora (Roma, el feudalismo y la edad moderna hasta la Revolución Francesa) y, finalmente, la vuelta a la unidad, pero ahora enriquecida por el desarrollo anterior (el presente de Hegel). El punto de arranque es el momento de lo que Hegel llama el Espíritu verdadero (Der wahre Geist). Este momento, representado por las ciudades estado griegas, nos muestra el Espíritu en su unidad primigenia, aún indiferenciado y no desarrollado. Es un momento de felicidad dada por la armonía entre el todo (la ciudad) y las partes (los ciudadanos), donde los individuos entienden su destino como una expresión directa del destino colectivo y donde, como lo dice Hegel de una manera inspirada por la Antígona de Sófocles, la ley humana y la ley divina coinciden. Los hombres viven aquí de acuerdo a las costumbres heredadas que forman la base de una ética espontánea y evidente, aún muy distante de la moral reflexiva. Este estado o momento representa una especie de infancia de la humanidad: feliz en la inmediatez natural de sus vínculos y en sus certidumbres aún no cuestionadas. Pero esta felicidad de la armonía primigenia no puede durar, ya que su precio es la falta de desarrollo. Por su naturaleza, el Espíritu busca profundizar en su propio contenido y tal como Adán, y con las mismas consecuencias, no puede dejar de comer del fruto del árbol de la sabiduría. De esta manera se rompe el encanto del Jardín del Edén y un abismo se abre entre la ley divina y la ley humana. Los hombres se individualizan y entran en conflicto unos con otros: la comunidad original se quiebra. Así se enfrentan las familias y luego las ciudades entre sí, cada una de las cuales quiere afirmar su ley y sus peculiaridades como universales y busca por ello someter a las demás. La guerra se hace inevitable, pero el Espíritu no retrocede ni ante la guerra ni los sufrimientos. Tanto por las divisiones y desgarramientos internos como por los conflictos externos pierden las viejas costumbres su legitimidad natural y espontánea, su validez evidente e incuestionada. La infancia queda así atrás y se entra en la fase de la juventud, activa, desafiante y conflictiva. De esta manera se adentran los hombres en una larga peregrinación, en un estado social caracterizado por la división y el extrañamiento. El Espíritu entra en el reino de la alienación.El segundo momento del desarrollo del Espíritu es aquel del Espíritu extrañado de sí mismo (Der sich entfremdete Geist). El Espíritu se ha hecho extraño a sí mismo, la

unidad y la totalidad han cedido lugar a la lucha de las partes en un mundo cada vez más atomizado, donde lo particular (los individuos o los grupos) se rebela contra lo general (la sociedad o comunidad). El tejido social se escinde entre una esfera privada y una pública. La vida individual se privatiza y, al mismo tiempo, lo público pasa a ser el dominio o la propiedad de unos pocos: el Estado se separa de la sociedad. La marcha del progreso que resulta de esta división se hace ajena a sus propios creadores. La historia discurre así, como Hegel primero y luego Marx gustaba de decir, a espaldas de los hombres. La pérdida de la unidad primigenia y la división social crean un fuerte sentimiento de infelicidad. Es la época de lo que Hegel llama la “conciencia infeliz” (unglücklige Bewusstsein), la cual encuentra en el cristianismo su expresión religiosa adecuada por medio de la cual reconoce su propio extrañamiento y su incapacidad de comprender su propia obra en la idea de un Dios trascendente, inalcanzable e incomprensible. La vida se hace misterio y el misterio pasa a ser la esencia de Dios. Todo esto es doloroso, pero así es el progreso, la realización de la razón es trágica tal como lo enseña el sacrificio mismo de Cristo.El conflicto entre el todo y las partes alcanza su forma más aguda en la lucha que directamente precede la época de Hegel: la lucha entre la ilustración y la fe (der kampf der Aufklärung mit dem Aberglauben). La fe, el sentimiento religioso, representa lo general, la totalidad, la especie, pero de una manera mística. La Ilustración representa, a su vez, la fuerza analítica del intelecto, la profundización por medio de las ciencias especializadas en las singularidades de la existencia, el dominio ilimitado de lo individual y lo particular. En este enfrentamiento triunfa la Ilustración y la fe se desintegra ante el embate del intelecto. Pero la victoria del intelecto –que es la negación del todo o la unidad– es sólo temporal y prepara la victoria definitiva de la totalidad, bajo la forma del sistema omniabarcante de la razón del mismo Hegel, que no es sino la negación de la negación y con ello la vuelta a la afirmación original, pero ahora enriquecida por el desarrollo intermedio.El último acto en el drama del Espíritu alienado de sí mismo es la Revolución Francesa. En torno a la misma Hegel desarrolla uno de sus análisis más notables. La Revolución Francesa representa para Hegel el intento de instaurar sobre la tierra el reino de lo que él llama “la libertad absoluta” (die absolute Freiheit). Se trata de la razón individual ensoberbecida que se decide a actuar con plena libertad, sin límites, como si el mundo pudiese crearse de nuevo y, además, a su antojo. El cuestionamiento de la fe y la elevación del intelecto humano al sitial de Dios crean la ilusión de que todo puede ser cambiado de acuerdo al plan de los reformadores revolucionarios. Se trata de la hybris de la razón que, de esta manera, se vuelve contra todo lo existente. Pero la revuelta de la razón revolucionaria o de la libertad absoluta no es para Hegel sino un malentendido trágico, que no podía sino terminar en el terror (der Schrecken). Finalmente, cada líder y cada fracción revolucionaria trata de imponerle al resto sus utopías y crear un nuevo mundo a su antojo como si fueran dioses. Y estos nuevos dioses feroces, decididos a hacerle el bien a la humanidad aunque le costase la vida a incontables seres humanos, terminaron necesariamente combatiéndose unos a otros, con aquella ceguera y ensañamiento que sólo aquellos que se creen los portadores de la bondad extrema pueden exhibir. La rivalidad y la sospecha mutua se hicieron así la regla y el reino de la llamada “voluntad general” terminó en el despotismo de Robespierre. Ahora bien, el final trágico de la Revolución Francesa no hace que su evaluación de conjunto sea negativa para Hegel sino muy por el contrario. Fiel a su lógica historicista, donde incluso la violencia más repugnante juega su papel, la ve no sólo como un momento necesario de la realización del Espíritu sino como uno de sus grandes momentos. La revolución fue un intento grandioso de transformar a cada individuo en el dueño del mundo y de su destino, de someter toda objetividad, todo lo dado, a la voluntad transformadora del ser humano. Se cumplía así, radicalmente, el programa de la Ilustración, aquel

que Kant resumió en su famosa definición de la misma como “la salida del hombre de su mayoría de edad”. Pero al cumplirse de una manera tan radical y absoluta, el programa de la Ilustración dejó claramente de manifiesto sus falacias y problemas. El tribunal de la razón se transformó en el tribunal revolucionario, donde no sólo se decapitó al pasado sino también a los propios revolucionarios. En todo caso, el apocalipsis revolucionario fue un hito definitivo para el futuro y posibilitó, como la tormenta que despeja el cielo nublado, el paso del Espíritu a la fase de su reconciliación final.Después del fin sangriento del gran sueño de la libertad absoluta, los individuos volvieron a sus modestos quehaceres cotidianos, pero la Europa posrevolucionaria ya nunca más podría ser la de antes. Un nuevo principio se había plasmado y se transformaría en el eje de un nuevo Estado, el “Estado racional”, que no negaba las distinciones anteriores propias de la sociedad civil ni tampoco al individuo sino que los subordinaba a todos en una nueva unidad orgánica, en una armonía superior que era así la negación de la negación, el fin de la alienación, la reconciliación de las partes con el todo y de los individuos con la comunidad. Con ello se pasaba al momento culminante de la realización del Espíritu, la del Espíritu cierto de sí mismo (Der seiner selbst gewisse Geist) que alcanza su forma más adecuada en la “filosofía absoluta”, que no es otra que la de Hegel. La lección de la gran revolución fue verdaderamente decisiva. Para Hegel significó el abandono definitivo de todo sueño utópico –entre ellos aquellos sueños juveniles de un restablecimiento de aquel supuesto estado de armonía primigenia representado por la polis de la Antigüedad– para transformarse en el pensador profundamente conservador de su edad madura, aquel pensador que ya no es el filósofo de la revolución sino de la restauración. Lo que el fracaso del intento de instaurar el reino de la libertad absoluta mostraba era que los hombres, en realidad, nada tienen que cambiar en lo esencial, que no pueden construir un mundo como les plazca, que el pasado no es una pura sarta de estúpidas irracionalidades, que lo que ha existido tiene un sentido y un contenido duraderos, que se trata nada menos que de las expresiones de la razón en sus distintos momentos, todos ellos necesarios para alcanzar su forma adecuada. Detrás del telón del fin de la historia no hay nada más que la historia misma. Es por ello que lo que resta no es destruir la herencia de los siglos sino reconocerla y darle una forma definitivamente armoniosa o racional, es decir, acorde al conjunto de la Idea ya realizada. Al fin de la historia no queda sino la reconciliación o la vuelta del Espíritu a sí mismo.EurocentrismoHegel fue uno de los promotores más notables de la superioridad europea, más exactamente del norte de Europa, sobre las demás culturas del mundo. Para él, la Historia Universal nace en Asia, y culmina en Europa. La manifestación más alta del pensamiento humano, que aparece con la modernidad, para él, con la Reforma Protestante en Alemania, la Revolución francesa y la Ilustración, también de «cosecha» germánica, son los puntos de referencia en donde la subjetividad se reconoce a sí misma. Hegel recuerda que Inglaterra se otorgó a sí misma la «misión» de expandir la civilización por el resto del mundo.Fue un defensor irrestricto del «Espíritu germánico», que acompañado del cristianismo, sería lo más avanzado de la humanidad:El Espíritu germánico (der germanische Geist) es el Espíritu del Nuevo Mundo (neuen Welt), cuyo fin es la realización de la verdad absoluta, como autodeterminación infinita de la libertad, que tiene por contenido su propia forma absoluta. El principio del imperio germánico debe ser ajustado a la religión cristiana. El destino de los pueblos germánicos es el de suministrar los portadores del Principio cristiano.(Hegel, Vorlesungen über die Philosophie der Geschichte, en Werke, ed. Suhrkamp, Fráncfort del Meno, t. 12, p. 413; ed. española, t. II, p. 258.)

2.b. PROPIEDADES ABSOLUTAS Y RELATIVAS DE LOS OBJETOS

Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemáticoLas dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están íntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:

1. Operaciones orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de argumento o razones que justifican una finalidad práctica o cognoscitiva.

2. Operaciones formales como algoritmo que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbólicos de la interpretación lógico-matemática de dichos datos; las posibles conclusiones, inferencias o deducciones de dicho algoritmo son el resultado de la aplicación de reglas estrictamente establecidas de antemano.Resultado que es: Conclusión de un proceso de razonamiento.Resultado aplicable directamente a los datos iniciales (resolución de problemas).Modelo de relaciones previamente establecido como teoría científica y significativo respecto a determinadas realidades (Creación de modelos científicos).Mero juego formal simbólico de fundamentación, creación y aplicación de las reglas que constituyen el sistema formal del algoritmo (Cálculo lógico-matemático, propiamente dicho).

Dada la importancia que históricamente ha adquirido la actividad lógico-matemática en la cultura humana el presente artículo se refiere a este último sentido. De hecho la palabra, en su uso habitual, casi queda restringida a este ámbito de aplicación; para algunos, incluso, queda reducida a un solo tipo de cálculo matemático, pues en algunas universidades se llamaba "Cálculo" a una asignatura específica de cálculo matemático (como puede ser el cálculo infinitesimal, análisis matemático, cálculo diferencial e integral, etc.).

Ejemplo de aplicación de un cálculo algebraico a la resolución de un problema según la interpretación de una teoría física

La expresión del cálculo algebraico , indica las relaciones sintácticas que existen entre tres variables que no tienen significado alguno.Pero si interpretamos como espacio, como velocidad y como tiempo, tal ecuación modeliza una teoría física que establece que el espacio recorrido por un móvil con velocidad constante es directamente proporcional a la velocidad con que se mueve y al tiempo que dura su movimiento.Al mismo tiempo, según dicha teoría, sirve para resolver el problema de calcular cuántos kilómetros ha recorrido un coche que circula de Madrid a Barcelona a una velocidad constante de 60 km/h durante 4 horas de recorrido.

240 kilómetros recorridos = 60 km/h x 4 h

En un artículo general sobre el tema no puede desarrollarse el contenido de lo que supone el cálculo lógico-matemático en la actualidad. Aquí se expone solamente el fundamento de sus elementos más simples, teniendo en cuenta que sobre estas estructuras simples se construyen los cálculos más complejos tanto en el aspecto lógico como en el matemático.Cálculo lógicoEl cálculo lógico es un sistema de reglas de inferencia o deducir un enunciado a partir de otro u otros. El cálculo lógico requiere un conjunto consistente de axiomas y unas reglas de inferencia y su propósito es poder deducir algorítmicamente proposiciones lógicas verdaderas a partir de axiomas válidos. La inferencia es una operación lógica que consiste en obtener una proposición lógica como conclusión a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicación de reglas de inferencia.15

Informalmente interpretamos que que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V. Sin embargo, en el enfoque moderno del cálculo lógico no es necesario acudir al concepto de verdad, para construir el cálculo lógico.Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, según las leyes de la lógica natural.16

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros -conclusionescon objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusión es necesariamente verdadera.Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolización adecuada de fórmulas o expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo. En ese contexto, las reglas de formación de fórmulas definen una sintaxis de un lenguaje formal de símbolos no interpretados, es decir, sin significado alguno, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de fórmulas bien formadas (fbf), así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías. Un lenguaje formal que sierva de base para el cálculo lógico está formado por varias clases de entidades:

1. Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.

2. Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.

3. Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.

Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático. Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:

1. Es consistente: No es posible que dada una expresión bien formada del

sistema, , y su negación, , sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.

2. Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.

3. Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración matemática o prueba de que es un teorema del sistema.

La misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto "no es posible" (véase el Teorema de Gödel).El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógicoNaturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en qué consisten o cómo se hacen tales aplicaciones?Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.18

Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de formalización de tal forma que podamos reducir las expresiones lingüísticas del lenguaje natural a EBFs de un cálculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lógica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en cálculo lógico.Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingüísticas formalizadas como proposiciones lógicas dan lugar a sistemas diversos de formalización y cálculo:

Cálculo proposicional o cálculo de enunciadosCuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una proposición atómica, como un todo sin analizar.

Cálculo como lógica de clasesCuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la oración como una relación de individuos o posibles individuos que poseen o no poseen una propiedad común determinada como pertenecientes o no pertenecientes a una clase natural o a un conjunto como individuos.

2.c. ESTRUCTURAS Y FUNDAMENTOS LOGICOS MATEMATICOSLógica matemática

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.1

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica#cite_note-1

http://es.wikipedia.org/wiki/Fundamentos_de_las_matem%C3%A1ticas

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http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_computabilidad

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http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_de_la_computaci%C3%B3n

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http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

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La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.Lógica simbólicaLeopold Löwenheim (1915) y Thoralf Skolem (1920) formularon el llamado teorema de Löwenheim-Skolem, que afirma que cualquier sistema axiomático basado en la lógica de primer orden no puede controlar la cardinalidad de la estructuras no finitas que satisfacen los axiomas de dicho sistema. Skolem comprendió que este teoream podría aplicarse para las formalizaciones de primer orden de la teoría de conjuntos, sinedo dicha formalización numerable, existiría un modelo numerable para dicha teoría aun cuando la teoría afirma que existen conjuntos no contables. Este resultado contraintuitivo es la conocida paradoja de Skolem.En su tesis doctoral, Kurt Gödel (1929) demostró el teorema de completitud, que establece una correspondencia entre la sintaxis y la semántica de la lógica de primer orden. Gödel usó dicho teorema de completitud para probar el llamado teorema de comapcidad, demonstrando la naturaleza fintiaria del operador de consecuencia lógica. Estos resultados ayudaron a establecer a la lógica de primer orden como el tipo de lógica dominanteen las matemáticas actual.En 1931, Gödel publicó On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, que pdemostraba la incompletitud (en un sentido diferente del término) de cualquier sistema axiomático suficientemente expresivo, cuyo sistema de axiomas fuera recursivamente enumerable. Este tipo de resultados, conocidos como teorema de incompletitud de Gödel, implica que los sistemas axiomáticos de primer orden tienen severas limitaciones para fundamentar las matemáticas, y supusieron un duro golpe para el llamado programa de Hilbert para la fundamentación de las matemáticas. Uno de los resultados de Gödel estableció que es imposible que pueda formalizarse la consistencia de la artimética una teoría formal en la que se pueda formalizar la propia aritmética. Por otra parte, durante algún tiempo ni Hilbert ni otros de sus colaboradores fueron conscientes de la importancia del trabajo de Gödel para su prentesión de fundamentar las matemáticas mediante el citado "programa de Hilbert".

Concepto de lógica matemáticaLa lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades metalógicas de los mismos.En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. La teoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta. Debe señalarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es método de descubrir verdades del mundo físico real, sino sólo una fuete posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la matemática convencional.La lógica matemática no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento humano general o del proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero hechas usando lenguaje informal

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1tica_inversa&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Hilbert

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_incompletitud_de_G%C3%B6del

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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_comapcidad&action=edit&redlink=1

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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_completitud&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica#CITEREFG.C3.B6del1929

http://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paradoja_de_Skolem&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_primer_orden

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_L%C3%B6wenheim-Skolem

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http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica#CITEREFSkolem1920

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Thoralf_Skolem&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica#CITEREFL.C3.B6wenheim1915

http://es.wikipedia.org/wiki/Leopold_L%C3%B6wenheim

con algunos signos o diagramas, sino sólo de demostraciones y razonamientos que pueden ser completamente formalizados en todos sus aspectos.Sistemas lógicosLa lógica matemática se interesa por tres tipos de aspectos de los sistemas lógicos:

La sintaxis de las lenguajes formales, es decir, las reglas de formación de símbolos interpretables construidos a partir de un determinado alfabeto, y las reglas de inferencia. En concreto el conjunto de teoremas deducibles de un conjunto de axiomas.

La semántica de las lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un conjunto de signos, así como el valor de verdad atribuible a algunas de las proposiciones. En general las expresiones de un sistema formal interpretadas en un modelo son ciertas o falsas, por lo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo es siempre consistente.

Los aspectos metalógicos de las lenguas formales, como por ejemplo la completitud, la consistencia, la compacidad o la existencia de modelos de cierto tipo, etc.

Los diferentes tipos de sistemas lógicos pueden ser clasificados en: Lógica proposicional (Lógica de orden cero): En ella existe símbolos para

variables proposicionales (que pueden ser interpretados informalmente como enunciados que puden ser ciertos o falsos) además de símbolos para diversas conectivas. Estas conectivas permiten formar expresiones complejas a partir de variables proposicionales simples. Un sistema lógico puede incluir diversos tipos de conectivas, entre ellos, la lógica clásica suele hacer uso de los siguientes:¬ se lee “no”∧ se lee “y”∨ se lee “o”→ se lee “…implica…” o “si,…entonces…,”↔ se lee “…equivalente con…” o "…si, sólo sí…"Dentro de la lógica proposicional pueden distinguirse varios tipos, por ejemplo restringiendo las posibilidades de interpretación semántica se obtiene la lógica intuicionista y ampliando la complejidad de las interpretaciones semánticas se obtienen las lógicas modales.

Lógica de predicados : Esta no incluye símbolos para variables proposicionales sino que las proposciones más elementales son predicados atómicos (formados a partir de variables interpretables como objetos singulares, relaciones (entre estas frecuentemente se usan = , <, >, etc), funciones matemáticas. Además símbolos para representar variables, relaciones y funciones este tipo de lógicas incluyen cuantificadores. Dentro de la lógica de precidados se pueden distinguir ciertos tipos:

o Lógica de primer orden que usualmente es finitaria (sólo se admiten proposiciones formadas mediante un número finito de pasos) aunque también existen lógicas infinitarias.

o Lógica de segundo orden que a su vez pueden ser de diferentes subtipos.

Teorías axiomáticasUna teoría axiomática está formada por un conjunto de proposiciones expresables en un determinado lenguaje formal y todas las proposiciones deducibles de dichas expresiones mediante las relgas de inferencia posibles en dicho sistema lógico.El objetivo de las teorías axiomáticas es construir sistemas lógicos que representen las características esenciales de ramas enteras de las matemáticas. Si se selecciona un conjunto más amplio o menos amplio de axiomas el conjunto de teoremas

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_segundo_orden

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http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_primer_orden

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuantificador

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_predicados

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_modal

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_intuicionista


http://es.wikipedia.org/wiki/Conectiva_l%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional


http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_compacidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Consistencia_(l%C3%B3gica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Completitud

deducibles cambian. El interés de la teoría de modelos es que en un modelo que satisfagan los axiomas de determinada teoría también se satisfacen los teoremas deducibles de dicha teoría. Es decir, si un teorema es deducible en una cierta teoría, entonces ese teorema es universalmente válido en todos los modelos que satisfacen los axiomas. Esto es interesante porque en principio la clase de modelos que satisface una cierta teoría es difícil de conocer, ya que las teorías matemáticas interesantes en general admiten toda clase infinita de modelos no isomorfos, por lo que su clasificación en general resulta difícilmente abordable sin no existe un sistema lógico y un conjunto de axiomas que caracterice los diferentes tipos de modelos.ÁreasLa Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:

Filosófica y crítica Lógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa) Teoría de modelos Teoría de la computabilidad Teoría de conjuntos Teoría de la demostración y matemática constructiva algebraica]] Modelos no-estándar

En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking. También el isomorfismo de Churry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas.Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria entre otras han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.

Tipos de sistemas lógicosLógica proposicionalLa lógica proposicional (o lógica de orden cero) es un lenguaje formal en el que no existen variables ni cuantificación, eso implica que cualquier secuencia de signos que constituya una fórmula bien formada de la lógica proposicional admite una valoración en la proposición es cierta o falsa dependiendo del valor de verdad asignado a las proposiciones que la compongan. En otras palabras en la lógica proposicional cualquier fórmula bien formada define una función proposicional. Por tanto, cualquier sistema lógico basado en la lógica proposicional es decidible y en un número finito de pasos puede determinarse la verdad o falsedad semántica de una proposición. Esto hace que la lógica proposicional sea completa y muy sencilla de caracterizar semánticamente.

2.d. ESTRATEGIAS METODOLOGICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICAIntroducciónLa profesión docente siempre ha necesitado de la dotación de un amplio abanico de estrategias y técnicas para el perfeccionamiento de la actividad educativa que les permita facilitar una mejor enseñanza aprendizaje, pero para lograr este

http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_l%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_funcional

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_combinatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_lambda

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http://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Model_checking

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http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguajes_de_programaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Sem%C3%A1ntica

http://es.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing

http://es.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1tica_te%C3%B3rica



http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_computabilidad


http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_borrosa

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_modal

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perfeccionamiento es necesario que los docentes tengan por conocimientos lo que son las estrategias metodologías de las enseñanzas aprendizaje.Sabemos que hay muchas personas que trabajan en el campo de la educación que conocen una gran variedad de estrategias que en muchas ocasiones la aplican sin saber lo que están haciendo.En el presente trabajo partimos de lo que son las estrategias metodologías de enseñanza en el nivel inicial su concepto, definiciones, entre otras estrategias que influyen en el estilo de enseñanza aprendizaje. También partimos de lo que es la personalidad del profesor como variable central de sistema de enseñanza, aquí nos referimos a lo que es el perfil del educador. El educador debe ser dinámico, creativo, alegre, espontánea, comunicativo, organizado, amoroso sobretodo nunca permitir que esa imagen tan linda que pueden ofrecer a sus alumnos se caiga, que den todo lo mejor pero que lo hagan de corazón.Esperamos que todo aquel que tenga la oportunidad de leerlo le saque el mejor provecho, la ponga en practica y pueda ofrecer una amplia variedad de estrategias de enseñanza aprendizaje y técnicas de estudio adaptadas a la situación de cada alumno/a.ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA LA ENSEÑANZA EN EL NIVEL INICIAL

A modo de introducción.Las estrategias metodológicas permiten identificar principios, criterios y procedimientos que configuran la forma de actual del docente en relación con la programación, implementación y evaluación del proceso de enseñanza aprendizaje.En el nivel inicial, la responsabilidad educativa del educador o la educador es compartida con los niños y las niñas que atienden, así con las familias y persona de la comunidad que se involucren en la experiencia educativa.La participación de las educadoras y los educadores se expresa en la cotidianidad de la expresión al organizar propósitos, estrategias y actividades. Las educadoras y educadores aportan sus saberes, experiencia, consecciones y emociones que son los que determinar su accionar en el nivel y que constituyen su intervención educativa.1.1. Conceptos y definición de las estrategias metodológicas de la enseñanza aprendizaje.Estas estrategias constituyen la secuencia de actividades planificadas y organizada sistemáticamente permitiendo la construcción de de conocimiento escolar y en particular intervienen en la interacción con las comunidades. Se refiere a las intervenciones pedagógicas realizadas con la intención de potenciar y mejorar los procesos espontánea de aprendizaje y de enseñanza, como un medio para contribuir a un mejor desarrollo de la inteligencia, la afectividad, la conciencia y las competencias para actuar socialmente.Según Nisbet Schuckermith (1987) estas estrategias son procesos ejecutivos mediante los cuales se eligen, coordinar y aplicar las habilidades. Se vinculan con el aprendizaje significativo y con el aprender a prender. La aproximación de los estilos de enseñanza al estilo de aprendizaje requiere como señala Bernal (1990) que los profesores comprendan la gramática mental de sus alumnos derivada de los conocimientos previos y del conjunto de estrategias, guiones o planes utilizados por los sujetos de las tareas.El conocimiento de las estrategias de aprendizaje empleada por los alumnos y la medida en que favorecen el rendimiento de las diferentes disciplinas permitirá también el entendimiento en las estrategias aquellos sujetos que no las desarrollen o que no las aplican de forma efectiva, mejorando así sus posibilidades de trabajo y estudio. Pero es de gran importancia que los educadores y educadoras tengan presente que ellos son los responsables de facilitar los procesos de enseñanza

aprendizaje, dinamizando la actividad de los y las estudiantes, los padres, las madres y los miembros de la comunidad.Este de su responsabilidad compartir con los niños y niñas que atienden, así como con las familias y personas de la comunidad que se involucren en la experiencia educativa.Educadoras y educadores organizar propósitos, estrategias y actividades aporta sus saberes, experiencia, consecciones y emociones que sola que determinar su acción en el nivel inicial y que constituyen su intervención educativa intencionada. Parten de los intereses de los niños y niñas, identifican y respetan las diferencias y ritmos individuales e integrar los elementos del medio que favorecen la experimentación, la invención y la libre expresión.En esta tarea diferenciadora los niños y niñas reclaman desde lo que sienten y conocen, motivados y motivadas por firma de libertad que se les ofrece. Por su parte, intervienen con sus emociones, saberes y expresiones culturales y comunitarias específicas en el proceso educativo.Los niños y las niñas construyen conocimientos haciendo, jugando, experimentando; estas implican actuar sobre su entorno, apropiarse de ellos conquistarlo en un proceso de Interrelación con los demás.1.2. Propuesta de Estrategia Metodológica En el área Socio emocional.Algunos principios que se consideran orientadores para el desarrollo de estrategias didácticas que favorecen la consecuencia de los propósitos y contenidos propuestos para esta área son:- Comprende las características del desarrollo afectivo social.- Aceptar los sentimientos del niño la niño/a sin prejuicios para ayudar a conocerse asimismo.- Estimular al niño la niña para el logro de una mejor autonomía.- Brindar oportunidades para escoger, decida, emita, opiniones proponga iniciativas.- Utilizar sanciones de reciprocidad cuando resulte necesario sancionar su conducta.- Limitar al mínimo las consecciones, dando oportunidades para que pueda el o ella misma realizar elecciones.- Apoyar al niño y la niña en sus posibilidades para que no se desanime.- Favorece la participación para la construcción y aceptación de normas que regulan el funcionamiento del grupo.- Comprende las características del desarrollo afectivo social de la niña/o.- Aceptar los sentimientos del niño y la niña sin prejuicios, para ayudarle a conocerse asimismo.- Propiciar el desarrollo relaciones cooperativas entre los niños y las niñas.- Facilitar el intercambio de opiniones, expectativas, intereses.- Ayudar para que el grupo coordine puntos de vistas divergentes y resuelve conflictos entre ellos.- Promover el conocimiento y significado social de los comportamientos, normas y valores básicos de la comunidad.- Favorecer el conocimiento respecto de diferentes modalidades culturales que interactúan en la comunidad.- Actual Coherente con las normas, pautas y valores que se pretende transmitir, teniendo en cuenta que la educación es también modelo de identificación muy importante en edad de tres a cinco años.- Marca con claridad los límites que contribuyen a dar seguridad y confianza al niño y la niña.Propuesta de estrategias metodológicas en el área de la comunicación expresión.

La comunicación es entendida como el proceso que posibilita el intercambio significados entre sujetos.Este proceso se da a través de la utilización de sistemas de representación aplicados a determinado medio y semiótico verbal, gestual, plástico, matemático y musical, etc.Se reconocen en el niño y la niña la existencia de una etapa comunicativas pre verbal: la sonrisa, el llanto, los movimientos corporales son expresiones de ella estos comportamientos no verbales y otros que aparecen con posterioridad y comprometen procesos más complejos de abstracción y simbolización (el dibujo, el juego) acompaña luego lenguaje verbal e interactúan con el.Esta área plantea algunos principios que se consideran orientadores para el desarrollo estrategias didácticas para el logro de los propósitos y contenidos propuestos para esta área.- Brindan al niño y la niña un amplio abanico de situaciones y recursos facilitadores de la expresión y comunicación a través de lenguajes verbales y no verbales.- Plantear situaciones que favorezcan la interpretación utilización de lenguaje gestual, corporal y plástico.- Asumir desde el rol docente una actitud abierta, flexible, entusiasta que permita el desarrollo del proceso creativo.- Crear un clima del misivo, flexible irrespetuoso para que el niño la niña se exprese con confianza y seguridad.Lenguaje oral.Conocer el lenguaje infantil la educadora debe recobrar información (registrada situaciones anteriores diversas) acerca de las competencias ling-ísticas del niño y la niña como productor (hablar) ese sector (escuchar), aceptando la lengua de cada uno como punto de partida.Ofrecer a través de toda la situaciones escolares modelos ling-ísticos adecuados no infantilizados, entendibles les para el niño y la niña y que amplíen y desarrollen vocabularios, estructuras y funciones de lenguaje. Frente a los errores del niño y niña que expresa frecuentemente niveles operatorios del pensamiento, la actitud del docente será de registrarlas sin corregir y estimular oportunamente en situaciones significativas para que el niño y la niña el uso correcto de patrones ling-ísticos.Desde una perspectiva pedagógica se le asigna al lenguaje las siguientes acciones:Cognoscitiva: le permite al niño y niña ordenar sistematizar y categorizar la realidad al referirse a hechos, objetos, situaciones, relaciones y reconstruir el pasado.Expresivo comunicativo: le permite al niño y niña la libre expresión y comunicación de sentimientos, deseos y experiencias.Creativa: le permite al niño y la niña desarrollar la creatividad a través del uso e innovador de palabras y estructuras diferentes que no pertenecen a los esquemas lógicos adultos. Los recursos y estrategias didácticas en el aula.La variedad de recursos y que el profesor de este ciclo utilizan en el trabajo cotidiano en el aula. Tres son los que se hallan presentes en todas las secciones.1) El juego en sus múltiples formas.2) Las rutinas.3) La interacción bien con los objetos físicos del entorno o bien con los propios compañeros y con los adultos.1) el juego es un recurso didáctico de primera magnitud en educación infantil. Muy utilizado. (Escuela activa).Supone una actividad o disposición innata que el niño realiza libremente que tienen un fin en sí mismo (actividad autotéctica) y que es en general placentero.En la educación infantil autores como Decroly, Montessori y otros han trazado su metodología en este recurso lúdico.

Su valores pedagógicos han sido resultado desde distintas perspectivas educativas lúdico, creativa, terapéutica, etc. en función de los objetivos, contenidos y de los materiales empleados.2) Las rutinas constituyen otro de los aspectos específicos de singular importancia en la escuela infantil, ya que en opinión generalizada los profesionales de educación una de sus más relevantes finalidades es la consecución progresiva de la autonomía por parte del niño, ayudarle a bastarse asimismo, a ser independientes en la elección a determinadas necesidades como:o Alimentación.o Saber utilizar los utensilios de comida con habilidad.o Saber beber en un vaso sin derramar su contenido de agua de una Jara.- Higiene personal adquisición de control de intereses.- lavarse los manos, colgar la toalla, cepillarse los dientes, etc.1.4. Estrategias a Usar en el Aula.El trabajo autónomoEl maestro le proporción a los niños y las niñas estrategias que le ayudan a expresar sus potencialidades.Favorece la realización de actividades que les permitan conocer sus pensamientos, darse cuenta de sus sentimientos y llevarlos al autoconocimiento que se demuestra en una atención auto dividida, una memoria comprensiva, apreciación de su cuerpo espacio, inteligencia creadora y capacidad perceptiva.Favores que tus niños y niñas piensen.Ayuda a tus estudiantes a recordar.Trabaja con ellos y pregúntales.Motívalos a que...Desarrollo de la creatividad.La creatividad del maestro es promover la inteligencia misma.Puesto que inteligencias resolver situaciones nuevas, inventar soluciones a problemas, es imaginación. La creatividad no está reservada solamente para algunas personas con talento. Como maestro o maestra puedes propiciar un clima de libertad en clases que permita que los estudiantes se expresen creativamente.Crear situación en el aula que tenga que resolverse con los objetos que utiliza los estudiantes diariamente. Pero que sea de distintas formas.Inicia una historia y que la terminen de manera distinta los estudiantes.Motiva a los estudiantes a crear ellos mismos las situaciones pedagógicas.Resolución de conflictosEl maestro o maestra motiva a los niños y las niñas a contar las experiencias vividas en su casa y en su barrio y favorece un ambiente de discusiones y pregunta sobre los sentimientos involucrados.De la misma manera aprovecha las situaciones que sedan en el aula que pueden reconocer el conflicto, tales como un niño que interrumpe a otro cuando está explicando.Favorece la mayor libertad de expresión de tus estudiantes tratando de no dirigir su discusión, de manera que ellos y ellas puedan darse cuenta de la consecuencia de cada una de sus acciones.Habilidades socialesPara el maestro y la maestra.Aprovechar cualquier señal de un niño tímido, retraído que no habla y crear las condiciones para que se exprese.No pierda oportunidades de reconocer el trabajo que esté realizando de manera harmoniosa ese niño niña que le gusta llamar la atención envés de atender su comportamiento negativo.

Aprendizaje cooperativo.Cada aula es un pequeño mundo donde hay niños y niñas grandes, bajitos, gorditos, alegre, tímidos, muy activos.Promueve la formación de grupos de pequeños estudiantes, donde se favorecen en todas y todas con el intercambio de sus habilidades.Herramientas para el aprendizaje significativo.Aprovecha las experiencias que los estudiantes le cuentan en momentos informales para traerlos al aula y trabajar aspectos de las áreas curriculares.A los más pequeños, pídeles que te cuenten una historia y copio en la pizarra palabras y frases de la misma.Promueve juegos para que imiten animales y así se aprenda sus características y conversaciones sobre la comunidad y la familia.Asumimos esta concepción amplia de toma de decisiones como equivalente la del espíritu crítico. El espíritu es un cuestionarse siempre, forma parte de uno mismo.Permite que tus estudiantes se expresen libremente para que puedan conocer sus juicios y sus valores que descienden y que se llegue a elaborar en grupo otros juicios y soluciones.La autoestimaReflexiona sobre el impacto que crea la autoestima el reconocimiento, así como la crítica o ironía que hace a tus estudiantes. Es muy importante rescatar el valor que cada persona tiene a su modo y manera que como hemos dicho conforman la riqueza de los seres humanos.1.5. Tipos de estrategias.a) Estrategia de recuperación de percepción individual.La estrategia permite describir los elementos de la vivencia de los niños y niñas, opiniones, sentimientos, nivel de comprensión, se concretizan mediante:Paseos, excursiones, visitas, encuentro de grupos, juegos, diálogos, experimentación con diferentes texturas, experimentación con diferentes temperaturas, experimentación con diferentes saberes, experimentación con diferentes colores, experimentación con diferentes sonidos, caracterización de los objetos, observación y exploración, juegos simbólicos, etc.b) Estrategia de problematización.En esta estrategia se pone en cuestionamiento lo expuesto, lo percibido, la observación en el entorno y las soluciones propuestas se enfatizan las divergencias a través de debates y discusiones.El juego espontaneo, debates, diálogos, observación y exploración, juego trabajo.c) Estrategia de descubrimiento e indagación.Es utilizada para el aprendizaje de búsqueda e identificación de formación, a través de diferentes medios en especial de aquellos que proporciona la inserción en el entorno.Observación exploración, diálogo, clasificación, juegos didácticos, juego de prácticas y aplicación cuestionamientos, indagaciones en el entorno.d) Estrategias de proyectoProyectos un proceso que conduce a la creación, clasificación o puesta en realización de un procedimiento vinculado a la satisfacción de una necesidad o resolución de un problema se concretizan mediante:Diálogo, juegos plásticos y de aplicación, juego trabajo, juego en grupos, armar y desarmar objetos, observación, experimentación, exploración, clasificación, etc.d) Estrategia de inserción del maestros maestras, alumnos y alumnas en el entorno: se procura que se logre percibir, comprender promover soluciones para los problemas naturales, ambientales y sociales, se concretizan mediante:Paseos

VisitasExcursionesObservaciónExploraciónDiálogo, etc.e) Estrategias de socialización centrada en actividades grupales.Le permite al grupo la libre expresión de las opiniones, la identificación de cooperación y solidaridad.Juegos dramáticosJuegos simbólicosExposicionesDanzasEl juego de práctica y aplicaciónDramatizaciones, etc.ESTRATEGIAS QUE PROPICIAN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVOLas estrategias para promover aprendizajes significativos constituyen una gama de alternativas y opciones para producir intervenciones pedagógicas intencionadas, es decir acciones que los maestros las maestras ponen en práctica con el propósito de garantizar aprendizajes escolares significativos, utilizando materiales adecuados para trabajar contenidos bien seleccionados. Las diferentes estrategias para promover aprendizajes significativos difícilmente se dan puras. Por lo general las mejores planificaciones son aquellas que utilizan todas o algunas combinándolas entre sí, pero siempre pertinentes y adecuadas para los propósitos educativos formulados.3.1. Las propuestas que utiliza el profesorado educación infantil.Los diferentes contenidos y propuestas de motricidad que tienen mayor presencia en el aula del nivel infantil son:A los tres años.- Juegos- Representaciones- Motricidad fina- Seguir ritmos- Desplazarse por circuitos- Movilidad articular- Regulación- Relajación- RespiraciónA los cuatro años:- Juegos- Representaciones- Relajación- Seguir ritmos- Motricidad fina- Desplazarse por circuitos- Movilidad articularA los cinco años.- Juegos- Representaciones- Seguir ritmos- Desplazamiento propuesta por el profesor- Desplazarse por circuitos- Motricidad fina- Respiración

- Movilidad articular- RelajaciónEl uso de estos contenidos que el profesorado convierte en procesos de enseñanza aprendizaje. Estos contenidos ayudan para que el niño y la niña tengan un aprendizaje más efectivo.Algunas estrategias como procedimientos, técnicas e instrumentos que apoya la evaluación en el nivel inicial.La observación.Tiene una gran importancia para el proceso evaluativo en el nivel inicial. La vamos a destacar como una estrategia de valor indiscutible siempre y cuando la misma esté situada en un contexto de intencionalidad pedagógica, coherente con los esfuerzos que se realizan para el logro de los propósitos del nivel.La observación está orientada por criterios que permite al educador y educadora atender manifestaciones, comportamientos, situaciones que desde la dinámica socio educativa cotidiana ocurre durante todo el proceso de desarrollo de los niños y las niñas.Observación a los niños y las niñas.- Cuando juegan exploran, preguntan, razonan, infieren…- Cuando interactúan entre sí.- Cuando establecen relaciones con los materiales, con la naturaleza, con los adultos.- En su medio ambiente familiar.- Observación al medio ambiente, a la dinámica de relaciones que entre adultos, niños y niñas.3.2. Procesos de aprendizajes significativos.El aprendizaje significativo ocurre cuando el alumno o la alumna otorgan sentido a los objetos, hechos y contexto que presentan experiencia educativa.Se otorga sentido a través de una dinámica de intercambio de las estructuras de conocimiento (sentir con la emoción). Es decir, el mundo no absorbe o se capta simplemente, sino que es la persona que da significado las cosas, interpretándolas desde lo que sabe y siente de ellas.Desde el inicio de la vida, el niño y la niña efectúa esa dinámica a través de sus percepciones y acciones.La experiencia educativa que promueve aprendizajes significativos son:Percepción es el proceso donde el niño y la niña a través de los sentidos entra e interacción con el medio ambiente, poniendo en relación su identidad, a la vez que reconocer las características y propiedades de lo que los rodea.Razonamiento.Es una forma superior de entendimiento o conocimiento del mundo en la cual ya podemos establecer relaciones lógicas entre objetos y hechos. Éste razonamiento se expresa a su vez a través de varios, como son:Clasificación: proceso mediante el cual el niño y la niña determinan la inclusión no de objetos y sujetos en una clase determinada atendiendo las características que le son comunes, diferentes o propias.Seriación: en este proceso el niño y la niña recopilan diversos objetos, ya sea atendiendo a las formas, el tamaño, el color, la superficie y las cualidades.Análisis: proceso donde los niños las niñas identifican, describieron como comparan, asocian, disocian, antes de su marco de referencia.Integración o síntesis: proceso mediante el cual se unifica las partes de un todo.Imaginación: capacidad de representar mentalmente la realidad. Una vez que se determina la primera etapa del desarrollo cognoscitivo que es el sensorio motriz y la que aporta una experiencia real del mundo físico social, es posible imaginar la realidad sin tener presente a los sentidos.

Simbolización: es una forma de imaginación o representación mental. Consiste en representar un objeto o hecho por medio de otro. Esta capacidad se expresa en el juego, el dibujo y todas las formas de comunicación, gestual, verbal y gráfica, hasta incluir el lenguaje matemático, como la expresión mas formal, abstracta del pensamiento.3.3. Estrategias pedagógicas.Las estrategias pedagógicas ponen de manifiesto la intencionalidad de los educadores y educadoras del nivel. Se refieren a las diferentes formas como el adulto o la adulta participa en la experiencia educativa de sus niños y niñas, promoviendo el aprendizaje significativo.En este nivel educativo donde existen niños y niñas de corta edad, la estrategia pedagógica están suspendidos a las capacidades de propia de las etapas de desarrollo en que ellos y ellas encuentran. Ahora bien educadores y educadoras aportan direccionalidad al proceso educativo de sus propios saberes y los saberes elaborados, con el fin de generar un espacio social demandante que promueva el desarrollo de sus capacidades y que posibilite una acción comprometida con una sociedad más justa.3.4. Criterios para las estrategias pedagógicas.A continuación presentamos algunos criterios que posibilitarán estrategias pedagógicas capaces de propician aprendizajes significativos en los alumnos y las alumnos del nivel inicial.- Integrar el movimiento de la imaginación en las actividades.- Partir de la espontaneidad que los aportes específicos del niño y de la niña.- Utiliza recursos naturales y materiales del entorno como fuente directa de aprendizaje.- Propiciar el aprendizaje por descubrimiento.- Favorece la experiencia en la comunicación todas sus formas.- Propiciar el trabajo autónomo.- Propiciar un clima cálido y flexible, respetuoso para que el niño y la niña se expresen con seguridad.- Comunicarse claras, sencilla y explícitamente con el niño y la niña.- Crear un clima de goce y disfrute evitando correcciones.- Incorporar al contexto familiar como parte del proceso enseñanza aprendizaje.- Promoverla la observación permanente de los fenómenos y acontecimientos que ocurren en el entorno.- Propiciar la generación de interrogantes y la búsqueda de respuestas a partir de la formulación de hipótesis.- Tomar encuentra el grupo, su situación en la vida cotidiana de los niños y las niñas.- Seguir individualmente los niños y las niñas para el desarrollo armónico e integrar de las capacidades y de sus intereses.- Implícita en todos estos criterios que está la dimensión lúdica el juego como forma de expresión natural que posibilita la conclusión de conocimientos. El sentido de la experiencia educativa en el nivel inicial se encuentra el juego.ESTRUCTURAS Y FUNDAMENTOS LOGICO MATEMATICO4.1. El juego como estrategia de la enseñanza en el nivel inicial.En el nivel inicial escolaridad inicial se privilegia el juego como el recurso más apropiado, dadas las características del momento evaluativo de los educadores.Naturaleza del juego infantil.El juego es la actividad espontanea que desarrolla el niño y la niña. Diversas corrientes psicológicas han analizado su naturaleza funciones. A fin de sistematizar las diferentes teorías se pueden agrupar en:a) Teorías psicogenéticas.b) Teorías compensatorias.

c) Teorías funcionales.Teorías psicogenéticas.Para Piaget el juego consiste en una orientación del individuo hacia su propio comportamiento, un predominio de la asimilación sobre la acomodación. Es el paradigma de la acomodación, el juego, al modificarla realidad externa para adecuar a los propios esquemas, es el paradigma de la asimilación. Desde la perspectiva de esta corriente las funciones y las formas que se adopta a la actividad lúdica están estrechamente vinculadas con los procesos de desarrollo evolutivo del niño y de la niña.Teorías compensatorias.Según la teoría psicoanalítica el juego posibilita a las niñas y los niños la satisfacción de deseos y la resolución de situaciones conflictivas que le producen acontecimiento del mundo externo.Desde esta concepción el niño y la línea a través del juego realizan proyecciones inconscientes, resuelve deseos conflictivos y modifican los aspectos de la realidad que no le satisfacen.Teorías funcionales.Estas teorías asignaron al juego una función adaptativa, como para pre-ejercicios de aquellos instintos desarrollados y necesarios para la supervivencia del hombre.La evolución de los juegos.La evolución de los juegos infantiles se va dando a través de los distintos momentos que se correlacionan con las diversas etapas del desarrollo del pensamiento. Existe un consenso generalizado en reconocer las siguientes fases:Juegos funcionales: se desarrolla durante el primer año de vida del bebé. Consiste en un juego de puros ejercicios de las funciones sensoriomotoras que compromete tan sólo movimientos, acciones y percepciones. Por ejemplo succionar cualquier objeto que tienen a su alcance.Juego de ficción o simbólico: en este juego, que se desarrolla predominantemente entre los 3 a 5 años, interviene el pensamiento. La función noción del juego simbólico es satisfacer el yo mediante la transformación de lo real en función de los deseos del sujeto.En este proceso se realiza una asimilación deformadora del objeto y los esquemas del pensamiento. Por ejemplo: un niño cuando juega a los bomberos transforma un recipiente en el casco de bomberos una caja en el auto bomba, etc.Juego de reglas: comienza alrededor de los 4 a 5 años. Su inicio depende en buena medida de la estimulación y de los modelos que tenga el niño en el medio que los rodea. En estos juegos es necesario aprender y respetan determinadas normas y acciones.Dentro de los juegos reglados se a observado una evolución que expresa el proceso de descentralización paulatina del pensamiento infantil. Esta evolución va de los juegos de reglas arbitrarios, con recurso consenso grupal hasta el juego con reglas convencionales, institucionalizado socialmente pasando una etapa intermedia de juegos con algunas reglas, constituidas y acentuadas como cierto consenso grupal.Juegos de construcciones: éste tipo de juego coexiste con todo los otros y esta presente en toda la fase partir del primer año de vida.En estos juegos se combina con el placer por la manipulación del objeto y el propósito de realizar algo por ejemplo: construir con bloques, moldear con masilla, apilar objetos, coleccionar elementos, etc.4.2. El juego para la acción didáctica.Hay que considerar el juego como el modelo peculiar de interacción del niño y de la niña consigo mismo, los otros y las cosas implica privilegiar las actividades lúdicas

como recursos metodológico más apropiado para la consecuencia de los objetivos y contenidos del nivel inicial.Desde esta perspectiva se consignan algunas las nociones que se describe:Es el vehículo que posibilita la transición de la sensación al pensamiento, de los esquemas sensomotores a la conceptualización.Es un medio de expresión de la personalidad infantil, como tal permite el docente descubrir y comprender las actitudes y comportamiento del niño para intervenir en ellos, ayudando los a superar dificultades y orientándola conclusión de los aprendizajes hacia la consecuencia de los objetivos y contenidos educativos.Es el medio idóneo para favorecer la integración del niño y la niña al contexto sociocultural favoreciendo en la comprensión del mundo que sí mismo y de su relación con los otros.En un medio privilegiado de comunicación expresión y creatividad infantil permite el pasaje de la actividad lúdica al trabajo a partir de la misma experiencia lúdica.4.3. El período del juego trabajo.El juego trabajos es el período didáctico del cual los niños realizan en forma individual grupal distintas actividades que le permite el desarrollar aprendizajes de acuerdo con sus posibilidades, intereses y experiencias previas. Durante el desarrollo de estas actividades el niño tiene posibilidad de crear, expresar, sentir, observar, explorar, relacionar, representar, construir, resolver, proyectar, el hogar, interactuar.Las actividades que se desarrolla en este período pueden surgir a partir de los intereses espontáneos del niño y del grupo.Las concepciones educativas que sirven de base a la propuesta curricular del nivel inicial plantean la necesidad desarrollar procedimientos de trabajos coherentes con requerimientos de niños y niñas en esta etapa.A través de los tiempos se ha diseñado distintos modelos educativos, privilegiando aquellos que toman en cuenta la integridad de los niños y niñas y que rescatan la dimensión lúdica como su forma natural de aprender.Nancy Rudolph resalta el valor educativo del juego al afirmar que no se necesitan grandes dotes psicológicas para reconocer que todo los niños requieren de una oportunidad para jugar sin restricciones, de reflexionar, modelar y remodelar su mundo. Debe contar con sitios donde puedan construir y echar abajo con libertad y el espacio necesario para aprobarse asimismo los y los materiales y herramientas que les rodean.También plantea que los niños necesitan de adultos el empáticos e interesados que le tienen una mano, que medien, modifiquen el ritmo de sus actividades, escuche. Todo niño su descubridor, un explorador un ser únicos y todo niño merece y reclama el derecho de comprometerse en la aventura de la vida a su manera.Esta conceptualización refleja los elementos y los objetos y metodológicos se orientan el juego trabajo como práctica educativa ya que destaca: el juego como necesidad los niños y como mediación educativa.La necesidad de ofrecer espacios materiales que permitan a los niños y las niñas construir transformar.El papel del educador en promoción del aprendizaje que se le genera de manera espontánea.El respeto a la individualidad de cada niño sus condiciones de explorador descubridor.Carl Rogers también enfatiza la importancia del acción y el autodescubrimiento cuando tiene que: me parece que todo lo que por expresarse o diseñar se a otro es relativamente bien oscuro y tiene poca o ninguna influencia en su conducta. He llegado pensar que el único aprendizaje que tiene poca o ninguna influencia en su conducta. He llegado a pensar que el único aprendizaje que tienen influencia

significativa en el comportamiento es el autodescubrimiento y las enseñanzas que cada uno elabora y asimila por sí mismo".El juego trabajo es una de las forma más efectiva para dinamizar el aprendizaje dentro de un ambiente reflexivo, libre y creativo de que experimente, dialogue, interactúe con su grupo de iguales, elabore y resuelva conflictos, construya y cree.Sin duda, es una de las metodologías más apropiadas para promover aprendizajes indicativos en un ambiente cordial y placentero, en el que se respeta la creatividad y el ritmo individual de cada niño y cada niñas, al tiempo que se crea condiciones que se constituyen en retos permanentes para avanzar en el proceso de aprender.¿En cuales aspectos se vincula el juego trabajo a la transformación curricular?El juego trabajo sirve a los propósitos educativos planteado en la propuesta teniendo como finalidad principal el desarrollo integral de los niños y las niñas.Rescata la dimensión lúdica como medio natural de aprendizaje en etapa que corresponde a su educación inicial.Promover aprendizajes significativa a través de experiencias cualitativas y la resolución de problemas, a partir de situaciones de los niños y niñas que laboran en susurros espontáneos.Favorece el autodescubrimiento, el aprendizaje múltiple y el trabajo de niños y niñas como actores de su propio progreso en interacción con su grupo de iguales, con la educadora y con los materiales.Canaliza los ejes transversales a través del juego dramático que se desarrolla las diferentes zonas de juegos y la reflexión que acompañe estas actividades.Integran a los padres, madres y otros familiares y miembro de la comunidad, lo cual aportan elabora materiales, comparten experiencia con los niños y niñas educadores e intercambian informaciones en una interacción permanente.Posibilita la mediación del maestro la maestra su rol de facilitador de procesos de desarrollo de que su papel es el mediar y promover la participación.Concretiza las estrategias que se privilegia en los fundamentos del currículum, ya que el juego trabajo conlleva como parte su progreso de indagación, solución de problemas, descubrimiento, socialización, el rescate permanente de las opciones de los niños y niñas, la creación y la reflexión entre otros.¿Cuáles principios orientan el juego trabajo como práctica educativa?Esta metodología se fundamenta en una serie de principios los cuales refleja la concepción psicológica y pedagógica que lo sustente.El juego como actividad característica de la niñez en su forma natural de aprender es placentera, creador, elaborado de situaciones, por lo tanto la acción educadora debe ser coherente con esta necesidad y desarrollarse a partir de la misma.El niño o niña como integridad y el carácter sintético de las percepciones infantiles. Cuando un niño juega compromete su personalidad total, su capacidad social, física, afectiva e intelectual, por lo tanto los métodos de enseñanza de promover el aprendizaje integrado en múltiples dimensiones.El conocimiento de la resolución de las capacidades intelectuales como base para promover el desarrollo de una personalidad y la sana, independientes, creadora y responsable.La actividad como principio básico de aprendizaje y la experiencia directa en tendido como el mejor camino para manipular, descubrir, transformar y crear.La actividad creadora y las soluciones situaciones problematizante que sabores como medio para promover aprendizajes significativos en interacción con compañeros, materiales, educadores y otros elementos del medio.El respecto a cada niño y niña como ser únicos, que posee unas características particulares y un ritmo de desarrollo que es necesario estimular y respetar.

¿En qué consiste el juego trabajo?El juego trabajo puede definirse como "un momento dentro del período de tareas en el jardín donde se cumplen distintas actividades creadoras en forma individual con pequeños grupos".Permite con jugar lo placentero del juego con intencionalidad del trabajo, en un ambiente flexible participativo en el que los niños y las niñas pueden manipular, crear y transformar en interacción con los compañeros, materiales y con el o la que le acompañe en ese entorno. El acompañante canaliza logro determinados propósitos, sin que los niños lo adviertan.Se trata de canalizar el juegos espontaneo hacia el logro de las finalidades educativas del nivel inicial en una interacción que posibilite respeto a la necesidad de los niños y niñas, a su procesos evolutivos, su ritmo de aprendizaje de su capacidad expresión.Dentro de éstas concepción se valoriza el trabajo como la energía, el esfuerzo activo que conllevan actividad lúdica y tiempos a los niños y niñas a actuar sobre los objetos y a transformarlas. Se rescate el carácter placentero del juego y se promueve trabajo como medio de realización personal y social. Este planteamiento es coherente con el interés manifestado por los niños y las niñas se sus actividades lúdicas, la cual asume como "estar muy ocupados" por "están trabajando" en los diferentes juego de roles que desempeña, interpretando el juego como su trabajo en el cual comprometer su personalidad total.Este es una oportunidad para revalorizar el trabajo como fuente de autorrealización, desde edades tempranas y como una dimensión importante en el desarrollo personal y social.Juego: actividad espontánea natural de los niños y niñas, expresión de la creatividad en individualidad.Trabajo: esfuerzo activo, impulsa energía transformadora, actividad constructiva y significativa.Juego trabajo: interacción entre lo placentero y espontáneo del juego y la intencionalidad del trabajo. Integración.¿Ha cuáles propósitos sirve el juego?Joanny Hendrick planteados objetivos del juego referido cinco categorías básicas.- Fomenta el desarrollo físico.- Fomenta el desarrollo intelectual.- Promoción del desarrollo social.- Fuente de valores emocionales.- Desarrollo aspectos creativos de la personalidad infantil.Las finalidades es promover el desarrollo integral de los niños y niñas mediante el juego y las oportunidades creadoras que esto propicia.¿Qué puede lograr de manera concreta en cada dimensión del desarrollo?Que los niños y niñas puedan dentro de una situación del juego:En la situación social:- Aprender a compartir.- Situación del juego.- Compañeros de juego.- Materiales.- Proyecto de ideas.- Formar hábitos.- Aumentar enriquecer la capacidad de comunicar.- Favorecer la integración progresiva grupo.En la dimensión cognoscitiva:- favorecer el desarrollo las capacidades perceptivas.- Promover la actividad reflexiva frente al mundo natural y social.

- Adquirir de forma progresiva conceptos.- Desarrollar las capacidades críticas resolución de problemas.- Sentar las bases para nuevos y más profundos niveles de aprendizaje.En la dimensión físico motrices:- Favorecer el desarrollo psicofísico mediante un adecuado manejo de su cuerpo en el espacio.- Desarrolla la musculatura gruesa y fina mediante el trabajo gráfico, plástico y las conclusiones libres.- Desarrollar su lateralidad.- Ejercitar el adecuado dominio de postura.En la dimensión emocional:- Favorecer el autoconocimiento.- Fortalecer el desarrollo de la autonomía.- Promover actitudes de responsabilidad.- Ofrecer un medio para canalizar intereses y sentimientos.- Favorecer la sensibilidad estética.- Favorecer el desarrollo paulatino de valores sociales espirituales.En la dimensión creativa:- Fortalecer progresivamente la capacidad auto expresión.- Desarróllala capacidad imaginativa.- Favorecerla capacidad de resolver problemas.- Favorecer el desarrollo del pensamiento divergente, de modelos alternativos de reacción ante situaciones similares.- Favorecer el desarrollo de la expresión por diversos medios gráficos, plástico ser dramáticos.Lugar del juego trabajo dentro del horario actividades que se desarrolla en el centro.- En horario de trabajo con niños y niñas pequeños interesantes actividades:- Ceremonial entradas.- Iniciación.- Juego trabajo.- Expresión y comunicación oral.- Presentación de técnicas.- Festejos, actos patrióticos, a consentimientos comunicativos, personales otros.- Exploración activa.- Educación física expresión corporal.- Experiencia directa.El juego trabajo se considera como parte integral de la dinámica de trabajo diario. Se desarrollan momentos pacíficos entre las actividades del centro. Su duración va a depender de la madurez del grupo, la experiencia acumulada y la riqueza de las horas de juego. La frecuencia dependería de los condiciones del centro, lo ideal es que sea un periodo diario.Los períodos del juego trabajo con los niños y las niñas de tres años suelen ser cortos y bulliciosos dada la brevedad los ciclos de atención concentración, y su necesidad de movimiento para acción. Pueden durar hasta media hora aproximadamente, la idea es ejercitar los para que pueda realizar periodo de juego trabajo más largos en grupos y grados posteriores.

¿Cómo se concretiza el juego trabajo?El juego trabajo como toda actividad educativa requiere de un organización y preparación. En este se pueden advertir cuatro momentos fases de planeamiento preparación, desarrollo ejecución, evaluación de orden.

Momentos en el juego trabajo.Preparación planeamiento.Desarrollo, concreción, ejecución.Evaluación.Orden.

EN QUE CONSISTE CADA MOMENTO.PLANIFICACIÓN DESARROLLO EVALUACIÓN ORDEN.

Pensar en qué hacer donde, con quien y con que.Los si las niños y niñas eligen en que sólo jugarán.Se toman los grupos de juego en cada zona.Éste debe ser un momento cómodo y sencillo.

Es la concreción del que hicieron en el momento de la planifica, es el juego trabajo en sí.Los grupos juegan en las diferentes zonas dispuestas para estos fines.Elaboran proyectos.Construyen y crean.Transforma materiales.Intercambien ideas.Su duración dependerá de cada grupo y del proyecto realice.

Se trata de recordar el pasado.Los niños y las niñas dan cuenta de lo que hicieron.La educadora ayuda proporcionando pautas a través de preguntas abiertas para que describa lo que hicieron y como lo y hicieron.Las críticas deben orientarse preferiblemente los aspectos.

Tratar de ubicar las cosas en el lugar adecuado.Se estimula para un ordenamiento posterior.Los niños y niñas tratan de ordenar los materialesla educadora estimula y toma de iniciativas.Se estimúlala formación de hábitos de orden.El orden debe apreciarse desde el punto de vista del niño o niña no del adulto.

¿En qué consiste cada momento?Planificación, desarrollo, evaluación y orden.

Se trata de recordar el pasado.Trata de ubicar las cosas en el lugar adecuado aquí en este ejemplo se conjuga la planificación, desarrollo, evaluación y orden.Es conveniente aclarar que aunque se forman grupos de trabajo adecuados de un plan, por ejemplo: una construcción cambie se forman su grupo donde cada grupo trabajo su plan de manera individual. Ejemplo al mal rompecabezas, dibujos de pinturas, estructuras, , masilla, etc..¿Donde podría desarrollarse juego trabajo?Este se realice en zonas de juego organizada para tales fines.Esto responde determinada propósitos y criterios de organización dependiendo del tipo de material requerido, tipo de actividades que sea propicia en, tamaño del espacio, condición de denominación de necesidad de movimiento de los niños y niñas entre otros.Si no se pueden establecer las zonas de juego consienta pertinencia se pueden organizar zonas de juegos móviles de acuerdo al espacio hielo materiales que se disponga, lo importante en este caso de que los materiales organizan de manera que favorezcan el logro de los propósitos que se promueve cada zona de trabajo.La iniciativa y creatividad de la educadora son factores importantes en la promoción este protege educativa.Si, pero ¿qué son las zonas de juego?Son espacio donde se organiza los materiales con determinados criterios, con intención de provocar una necesidad del juego los niños y niñas, lo cual conlleva el logro de diferentes propósitos educativos. En otro país se le conoce con el nombre de rincones.Las zonas de juego dependerá en del orden que tenga punto de modo que los niños y las niñas puedan circular con libertad y apreciar visualmente material disponible. Con ambiente desordenados poco favorecedor para el desarrollo del juego.La educadora elegida los lugares que considere más apropiado para establecer las horas de juego.Pueden tener varias secciones que pueden ir estableciendo de acuerdo las posibilidades de cada grupo, entre las que se encuentran las áreas de:- Dramatizaciones (la casita).- Construcciones (bloqueos).- Madurez intelectual y motora (área de pensar).- Plástica (arte).- Ciencias (área de la naturaleza).- Biblioteca.- Carpintería.Se sugieren también.- Pileta de agua.- Pileta de arena.- Área de la patria (rincón patriótico).- Cualquier otra que se desee de acuerdo diferentes realidades, necesidades fechas y motivos.Las familias pueden participar de manera significativas enviando útiles, ropas y todo material que sirva para estimular el juego de los niños las niñas, otras incitaciones y persona de la comunidad aporta materiales de estructuras que enriquecen el juego trabajo.Cada zona de juegos organiza tendiendo determinados criterios espacio iluminación, acceso al exterior, y se dispone dependiendo los propósitos que se persiguen en cada una de ellas.En el siguiente esquema se obsérvala relación entre:

PrincipioPropósitosMomento ejecuciónZonas de juegos.Juego del Trabajo

Principios Propósitos Fases de Ejecución Zonas de Juego

JuegosActividadesLibertadSocializaciónCreatividadritmo individualdesarrollo integral de los niños las niñas

Promover oportunidades en las dimensionesSocialesCognitivasFísicacreativa

Preparación planeamientocon creación, desarrollo o ejecución.Orden de los materiales.Evaluación.

Dramatizaciones.Construcciones.Madurez intelectual.Ciencias.Biblioteca.Carpinterías

¿Cómo se organiza cada zona de juego? ¿Cuáles materiales incluyen?Dramatizaciones: en esta zona los niños juegan edema que son diferentes roles tanto relativo a la vida familiar, su entorno. Éste debe ocupar un espacio melodía puedan movilizarse con libertad.4.4. Generalizaciones sobre juego.Los juegos ejemplifica la creatividad de los interacciones sociales deseables, puede ser estimulados proporcionando los niños materiales, lugares que oportunidades para practicar los. Se ha informado asimismo de que los niños de clases de preescolar en los que predominan las actividades altamente estructuras y dirigidos por el maestro se muestran menos imaginativos en el juego que los niños de clase menos estructuras.El juego está lejos de ser una pérdida de tiempo. Es algo más que los educadores debe respetar y tener en cuenta en los programas.El juego no es propiamente exclusivo del niño en edad preescolar, sino de todos estudiantes que puede servir para descubrir desviaciones sociales.Así como para corregir tales desviaciones. Se revela como un gratificante medio para adquirir habilidades cognitivas y sociales, a fin de sacar el máximo partido del juego, los profesores deben proporcionar contenidos favorables, modelos y demás tipo de estímulos, sobretodo a los estudiantes que no juegan demasiado.En un hogar con una clase que se limita el juego donde se abundan las prohibiciones, donde se escucha menudo "no te atrevas a usar esos sin permiso" no probable que se desarrollen actividades positivas hacia el juego. Consideremos la incongruencia de la siguiente es situación.Durante una elección de creatividad un alumno es recompensado por describir una serie de formas diferentes de utilizar un ladrillo, con un mágico pinchado, excederá. Veinte minutos más tarde se le castiga verbalmente por utilizar un gran vaso de laboratorio para regar las plantas. Las deprimente toma la forma del siguiente reproche: "el matraz no es para eso! Vea buscar la regadora!" Aunque, como es lógico los profesores no pueden conceder permiso los alumno para jugar con los productos cívicos de laboratorio, de para sustituir las estropeada diaria de tiro para a usar pintura al óleo, si está en sus manos crear un entorno en el que se puedan limitar estimular la sustitución de objetos, la creatividad y la disponibilidad del juego.Los propios educadores podrían mostrarse menos de recursos y de capacidad lúdica en el mejor de los sentidos para esta forma servir de modelo.4.5. Los juguetes como medidas didácticas.

Qué duda cabe que el juguete es un elemento clave en el desarrollo y buen éxito de cualquier actividad lúdica. Aunque varía mucho de unos autores a otros la relevancia que se le otorga, parece claro que no se pueden elaborar un discurso sobre juego sin establecer una serie de consideraciones entorno juego.Hay muchas formas de aproximarse el juguete. Por ejemplo puede hacerse desde la perspectiva comercial: son miles de millones de pesos de producción anual es uno de los objetos. De nuestra exportación supone la ocupación laboral de muchas personas. Puede considerarse el juguete de la perspectiva de su dueño (incorporación de nuevas tecnologías al propios juguete y a la fabricación, formas, colores etc.) desde la normativa legal y sanitaria que ríe sus obligaciones y vela desde la perspectiva publicitaria.Realmente a quienes interesa destacar la perspectiva didáctica del juego(Su sentido y uso como material para el aprendizaje) enmarcando dentro de contexto formativo más amplio (aportaciones del juguete el desarrollo personal del niño).Desde esa perspectiva el juguete es abordado como un proyecto educativo concretizado (legrand 1977) es decir en tanto que un instrumento que posibilita un determinado estilo de contacto con el potente en del niño del que se deriva algún tipo de ganancia las formativa para este (y pensemos que el simple hecho de pensar bien manejan del juguete ya es una ganancia formativa tanto directa como en directa)De todas formas la idea de juguete no es uniforme. ¿Qué es el juguete?El juguete lo que se vende compra como tal o simplemente aquello que se usa para jugar. La idea de los adultos con respecto al juguete entra en colisión con la del niño. Los juguetes están caracterizados por el adulto para el estética inestabilidad, y de ellos obtiene un tipo de placeres o al e incluso lógico al propio hecho de conservar costos al niño interesa todo lo contrario y subclase está ligado al dinamismo, a la variación, la excitación producida por el manejo del juguete y a la satisfacción producida por su oso a los resultados logrados.Las modernas técnicas de marketing y publicitaria junto a la progresiva velocidad y autosuficiencia de los juguetes están alternando también en los niños sentido dinámico de imaginativos que caracterizaba su relación con el juguete. Como ha señalado Eartolini (1984) el juego pasó de selección a convertirse en espectáculos.Vamos a recoger a continuación algunos datos y José relaciones entorno los juguetes y cómo inciden el actividad lúdica de los niños.Desarrollo infantil.La naturaleza social del juguete validada los distintos momentos del desarrollo evolutivo del niño.Inicialmente sentido del juguete está en consonancia con el tipo de sensaciones corporales que despierta y de su significado como objetos notorios de la presencia de la madre.El niños escoge aquellos objetos que tiene relación con su madre y que pueden adaptarse a la zona era erógena privilegiada.Posteriormente irá adquiriendo importancia otras características de los juguetes: su potencia, resistencia y sus posibilidades funciones, los juguetes se utilizan ya por lo que representan y por lo que pueden hacer con ellos.En términos generales, por tanto la evolución del juguete, de la perspectiva de algunos es del niño parte de objetos inespecíficos placenteros. Después va limitando y concretando su sentido José unos su simbolismo (lo que representa) y su funcionalidad.Finalmente el niño llegará a prescindir esos juegos de soporte material del juguete y lo reemplazará progresivamente por palabras. La palabra permite disponer soporte y significado del juguete.Características del juguete.

La naturaleza social del juguete validada también a las características materiales de los propios juguetes.Diversas investigaciones han penetrado en el mundo del juguete en su disidencia los actividad lúdica de los niños puntos alguna esos con soluciones pueden ser los de interés al momento didáctico de actividades lúdicas.Un grupo de profesores de 30 y una escuelas infantiles dé la provincia de Bolzono en Italia, se propusieron investigar las característica los juguetes más extendidas es escuelas y sus correspondientes consistencias didácticas.Tratar de identificar las características de dominante de los juguetes. (Aspectos de este libro pueden analizar la solución de los juguetes en la dimensión afectiva motrices, social y comitiva, esto es el mismo modelo que quisiera seguido en el desarrollo curricular) la modalidad sensorial privilegiada por el juguete y finalmente aspectos estructurales.En resumen sus resultados señalan que:A nivel de dominación (esto es el modo preferente de oso para que se crea el juguete) no implica que éste sea la única finalidad de la observación y más allá de sus posibilidades y su oso. Pues bien, entre los juguetes nomás estimulante operaciones cognitivas (13%) frente aquellos otros de dominancia molorica (16%) efectiva (14%) y social (7%) su conclusión es:Sus ya desde los tres años de edad el aspecto intelectual es reconocido como el más importante y cognitivo entendido como la pre Valencia de hombres fue su mental y finalizado hacia la crisis en relaciones lógicas y las distracción.Esto es una imagen Estándar de los cognitivo o didáctico.La modalidad sensorial visual recoge el 52% los juguetes, la táctil el 40% y el 8% restante la auditiva. Absolutamente ausente los materiales lúdicos se hallan el gusto y el olfato.En ausencia de materiales lúdicos que proporcionan unos específico la escuela infantil debe de desarrollar proyectos de trabajo en lo que través de la manipulación de alimentos y esencias naturales y artificiales promueven el niño esa alfabetización perceptiva y sensorial que de otra manera quedará olvidada.En cuanto las características estructurales los resultados indicaban que 95% los juguetes eran pequeños (menores que el niño que las usaba)Jugar, tarea del pequeño dimensión es lo facilite el uso global de la capacidad o sin duda es importante jugar, tarea de pequeño para flores de la manipulación y el contralor movimientos llenos. Sin embargo aquí la desproporción es muy evidente. Tal diferencia lleva a claro menoscabo de las experiencias motrices más globales. Lo juego de equilibrio, de vértigo, de riesgo, todos aquellos juego que normalmente se hacen posible através de las manipulaciones están en el mejor de los casos notablemente disminuidos.Predominan las formas simples (63%) y regulares (56%)Lo juguete tiene en su mayor parte una forma que se refiere las figuras geométricas de base: cuadrado, círculo, triángulo, rectángulos, etc.

III. CONSTRUCCION DEL CONCEPTO DE NUMEROResumen:En el presente trabajo se analiza la apropiación o formación de conceptos como un proceso de internalización de la acción mediada. Entendiendo aquí internalización y acción mediada de acuerdo a los presupuestos de Vigotsky.

Se parte del carácter conceptual de los objetos matemáticos y se hace un análisis del símbolo como mediador, poniendo especial atención al nexo símbolo objeto que es necesario establecer para que el estudiante vea en el símbolo cada uno de los elementos esenciales del concepto.Introducción:Como es usual en gran parte de la literatura sobre conceptos, consideraremos aquí las tres dimensiones del concepto: extensión, propiedad intensiva y el nombre; la extensión de un concepto está determinada por todos los objetos o fenómenos a los que el mismo es aplicable. La propiedad intensiva es el conjunto de características esenciales que tienen en común los objetos o fenómenos agrupados en el concepto. El nombre es una representación semiótica que, convencionalmente, es aceptada como expresión que designa al concepto.El carácter conceptual de los objetos matemáticos determina que la apropiación de los conceptos por parte de los estudiantes sea uno de los aspectos de capital importancia en la didáctica de la Matemática, pero que no obstante el interés del tema para los especialistas de esta materia, los resultados que se obtiene en el trabajo diario en las escuelas están lejos de satisfacer las expectativas de docentes y directivos, e incluso de la sociedad misma.Por lo cual el presente trabajo aspira a brindar una contribución en aras de mejorar los resultados de los estudiantes en los diferentes niveles educativos en el aprendizaje de la Matemática.Desarrollo:Del concepto empírico al teórico:A través de la enseñanza, los conceptos científicos se relacionan con los conceptos cotidianos del aprendiz convirtiéndose en conceptos de ese tipo. Si no se incluyen conceptos científicos en la enseñanza, todo el desarrollo del niño se verá afectado.La tarea de la ESCUELA debería consistir en enseñar a los niños conceptos científicos de manera teórica, aplicando el procedimiento epistemológico teórico. Los conceptos cotidianos de los niños se extienden así hasta incluir conceptos teóricos científicos. Es importante destacar que el trabajo en la escuela debe estar orientado a la perspectiva de que a través de la intervención social los seudo conceptos se transformen en conceptos científicos o conceptos teóricos.Concepto empírico y seudo concepto:Aunque en la literatura especializada se usan los términos concepto empírico y seudo concepto, nosotros consideraremos estas denominaciones equivalentes en lo que respecta a la didáctica de la formación de conceptos en Matemática, por lo cual no estableceremos diferencias entre estos términos, no obstante el término de concepto empírico permite compararlo de una forma más clara con el concepto teórico, el cual significa el concepto en su forma más acabada, o sea el concepto científico.El seudo concepto o concepto empírico permite explicar como el estudiante es capaz de usar los signos (en algoritmos, definiciones, teoremas, resolución de problemas etc.) en forma efectiva y de acuerdo con lo establecido matemáticamente aún sin comprender completamente el objeto matemático. El seudo concepto es una imagen (de aquí la denominación de concepto imagen que hacen Tall y otros) del concepto teórico, pero el conocimiento detrás del mismo es incompleto. Esto se debe a que las conexiones entre los diferentes elementos del seudo concepto son asociativas y experimentales en lugar de lógicas y abstractas, no obstante el aprendiz es capaz de usar el seudo concepto en actividades comunicativas como si fuera un concepto teórico.El uso del seudo concepto es análogo a cuando el niño usa una palabra en conversación con un adulto antes de tener una comprensión completa del significado de dicha palabra. El seudo concepto ocurre siempre que el estudiante usa un objeto

matemático de manera que coincide con el uso del concepto teórico, aunque el estudiante no se ha apropiado todavía del concepto teórico. Por ejemplo un estudiante puede usar la definición de derivada de una función para calcular derivadas antes de comprender la naturaleza de la derivada y sus propiedades.Del concepto empírico al teórico – de lo abstracto a lo concreto:El conocimiento empírico se ocupa de las diferencias y semejanzas entre los fenómenos; surgió a través de la observación y comparación de los fenómenos; se lo puede ordenar jerárquicamente sobre la base de características formales; y el medio por el cual se comunica es la palabra o una expresión determinada. A través del procedimiento epistemológico empírico, el objeto individual es asido, aislándolo de sus relaciones espaciales y temporales para que se le pueda observar, comparar, categorizar y recordar. Las imágenes y el lenguaje son los medios usados para este fin. En esta exposición empírica el objeto individual funciona como realidad independiente.En cambio, el conocimiento teórico que reposa sobre un sistema de fenómenos no aislados, surge a través del desarrollo de métodos para la resolución de contradicciones en un área problemática socialmente central, desarrolla ideas sobre los orígenes, relaciones y dinámicas de los fenómenos, y se comunica por medio de modelos.El conocimiento teórico se debe adquirir a través de la actividad exploratoria. En la ESCUELA, esta actividad es actividad controlada, y consiste en la exploración de problemas que contienen los conflictos fundamentales del fenómeno. Un requisito previo para la adquisición de conocimiento teórico es la actividad de enseñanza basada en tareas que iluminan los contrastes que se hallan en las relaciones fundamentales de un fenómeno. El conocimiento y las habilidades sociales están íntimamente ligados.En el proceso de aprendizaje el estudiante comienza por abstraer o aislar diferentes atributos de un objeto, organiza estas ideas según sus significados particulares en grupos con propiedades comunes; o sea, el aprendizaje se inicia a nivel empírico, aunque a partir del mismo se van creando las bases para una actividad mental más sofisticada la generalización teórica. (Desde luego sin la actividad del estudiante este proceso no existe)La anterior afirmación destaca el desarrollo del conocimiento de lo abstracto a lo concreto, el objeto o fenómeno para ser comprendido tiene que ser visto en primera instancia aislado de todas sus interconexiones (abstracción del objeto), lo cual permite una visión simplificada de dicho objeto laque a su vez resulta asequible al aprendiz y a través de la acción mediada sobre este objeto simplificado se profundiza en su conocimiento y el estudiante lo llega a comprender en la complejidad de todas sus interconexiones (el objeto concreto en el pensamiento). Este análisis explica por qué el concepto en forma acabada no puede ser puesto en la mente del estudiante, el concepto científico representa el objeto en toda su complejidad y sujeto a la red de todas sus interacciones con la realidad.Proceso de formación del concepto.Internalización:El conocimiento no es un objeto que se pasa de uno a otro, sino que es algo que se construye por medio de operaciones y habilidades cognoscitivas que se inducen en la interacción social. Vigotsky señala que el desarrollo intelectual del individuo no puede entenderse como independiente del medio social en el que está inmersa la persona. Para Vigotsky, el desarrollo de las funciones psicológicas superiores se da primero en el plano social y después en el nivel individual. La transmisión y adquisición de conocimientos y patrones culturales es posible cuando de la interacción – plano interpsicológico – se llega a la internalización – plano intrapsicológico - .

Vigotsky concebía a la internalización como un proceso donde ciertos aspectos de la estructura de la actividad que se ha realizado en un plano externo pasan a ejecutarse en un plano interno.El plano interno, esto es, el plano que contiene los resultados de la internalización, no es un espacio vacío donde se puede poner cualquier cosa, al contrario, el plano interno tiene una naturaleza constructiva. Las nuevas acciones se ejecutan únicamente sobre la base de un plano ya desarrollado al cual se unen las nuevas acciones. Durante este proceso, el plano previamente desarrollado se modifica. El pensamiento de cada sujeto es individual, pero la internalización tiene un carácter social.Vigotsky vio la internalización como un mecanismo de transformación dinámica, donde la interacción social se convierte en interiorización individual.El proceso de internalización se produce a través de la acción mediada en la interacción social. Un presupuesto fundamental de la escuela Histórico Cultural es la idea de que la acción humana, tanto en el plano individual como en el social, está mediada por herramientas y signos.La acción mediada:Una aproximación cultural a la mente comienza con el supuesto de que la acción está mediada, y que no puede ser separada del medio en el que se lleva a cabo.Vigotsky consideró que en el caso de los niños el uso de las herramientas y la actividad simbólica dieron lugar a una compleja unidad psicológica. Una vez que el niño asume que todo tiene un nombre, cada nuevo objeto le presenta al niño una situación problémica, que resuelve nombrando al objeto; cuando no encuentra por sí mismo la palabra adecuada al nuevo objeto, la obtiene de los adultos. Esta temprana relación palabra – significado así adquirida es el embrión de la formación de conceptos.Vigotsky, aporta otro supuesto no menos importante: los mediadores verbales deberían ser usados tan amplia y frecuentemente como sea posible.Vigotsky, Bajtín y muchos de sus colegas hicieron una contribución importante al estudio de la mente: la acción mediada es una unidad de análisis irreducible y la/s persona/s que actúa/n con instrumentos mediadores son los agentes irreductibles.La mediación ocurre a través del uso de herramientas y signos de una cultura. Lenguaje y simbolismo son usados inicialmente para mediar, primero, en el contacto con el medio social y después dentro de nosotros mismos; cuando los artefactos culturales son internalizados, la persona adquiere la capacidad de pensar a un nivel superior.Vigotsky, encaró el lenguaje y otros sistemas de signos como parte y como mediadores de la acción humana (de allí su asociación con el término "acción mediada") y consideró de manera especial cómo se relacionan diferentes formas de lenguaje con diferentes formas de pensamiento. Al respecto está su conocida frase: "Una palabra sin pensamiento es cosa muerta, un pensamiento sin palabras permanece en la sombra"Vigotsky entendió toda función mental superior como producto de la actividad mediada. El rol de mediador es ejecutado por instrumentos y signos, el signo el lo consideró como una herramienta psicológica, entendiendo por signo. "palabras, gráficos, símbolos algebraicos, etc.". Estos mediadores, los cuales son ellos mismos producto de contextos socio históricos, no simplemente facilitan la actividad; ellos definen y dan forma a procesos internos. Así Vigotsky vio la acción mediada por signos como el mecanismo fundamental que relaciona el mundo social externo con los procesos mentales humanos internos, y argumentó que es comprendiendo los procesos mediados semióticamente en la inatracción social que se forma la conciencia humana. (Wertsch and Stone, 1985: 166). Berger M. (2005)

En Matemática, el mismo signo matemático media dos procesos: el desarrollo del concepto matemático en el individuo y la interacción del individuo con el ya codificado y socialmente establecido mundo matemático (Radford, 2000). De esta forma, el conocimiento matemático individual es cognoscitiva y socialmente constituido. Berger M. (2005)Es importante también tener en cuenta los trabajos de Vigotsky y sus seguidores, donde se plantea que en la medida en que los símbolos son una creación humana, es obvio que tienen una historia que no se puede pasar por alto, y que juegan un papel fundamental, en la constitución de los procesos psicológicos. Y casi como corolario de lo anterior, si la actividad se constituye a partir del uso de símbolos con historia, es indispensable estudiar los procesos psicológicos a partir de las formas históricamente específicas de actividades prácticas en las que están implicadas las personas.Los seres humanos no están limitados a su herencia biológica, como lo están otras especies, pues nacen en un medio determinado por las actividades de generaciones anteriores. En este medio, los símbolos llevan el pasado al presente y dominando el uso de estos símbolos, los seres humanos asimilan la experiencia de la humanidad. Los seres humanos tienen la capacidad de continuar y desarrollar la inteligencia heredada. Este desarrollo ocurre mediado por el uso de herramientas y símbolos de una cultura. Cuando los símbolos culturales son internalizados, las personas adquieren un pensamiento de mayor profundidad.En un primer estadio, el símbolo sólo representó el objeto, y no sus nexos y relaciones internas; no obstante lo elemental de esta primera relación símbolo objeto, ella fue la premisa imprescindible para el desarrollo del lenguaje, premisa a su vez del desarrollo histórico social del hombre.En su desarrollo histórico cultural el hombre pasó del estudio contemplativo de los objetos y fenómenos de la realidad, a interesarse por los aspectos internos de las cosas que le rodeaban, y los símbolos expresaron también los componentes internos, de estos objetos y fenómenos, y en el curso de este desarrollo, son los símbolos el medio de que dispone el hombre para materializar las relaciones entre objetos y fenómenos, así como sus nexos internos y esenciales. Del análisis realizado sobre la importancia del símbolo en el desarrollo intelectual del hombre, se concluye aquí la necesidad del estudio de la relación símbolo objeto, si se aspira a perfeccionar el proceso enseñanza aprendizaje.El signo como mediador (La mediación semiótica):Un elemento central en la teoría de Vigotsky consiste en notar que no habitamos un mundo simplemente concreto y material, sino un mundo lleno de significados y que estos significados pertenecen al mundo de los signos. El escribió: "junto con los fenómenos naturales, junto con los equipos tecnológicos y con los artículos de consumo existe un mundo especial, el mundo de los signos."El signo siempre está enmarcado en la actividad práctica del individuo, por lo que el signo se concibe como un objeto semiótico funcionando en un medio donde las características específicas de la actividad tienen que ser tomadas en cuenta.En la perspectivas de Vigotsky el proceso mediante el cual se construyen los conceptos requiere de la construcción de un lenguaje especial, un lenguaje semiótico.Dado que es un hecho que los objetos matemáticos, no son objetos los cuales puedan ser directamente percibidos u observados de forma directa o mediante instrumentos, empezando con los números, cuyo acceso está restringido al uso de sistemas de representación que permiten su designación. Se llega a la conclusión de que el aprendizaje de los objetos matemáticos no puede ser más que un aprendizaje conceptual y, por tanto sólo por medio de representaciones semióticas es posible una actividad sobre los objetos matemáticos.Aunque el párrafo anterior plantea la siguiente paradoja epistemológica: De una parte el aprendizaje de los objetos matemáticos no puede ser sino un aprendizaje

conceptual y, de otra parte, es solo mediante representaciones semióticas que es posible una actividad sobre los objetos matemáticos. O como plantea Radford "El problema epistemológico puede resumirse en la siguiente pregunta: ¿cómo llegamos a conocer los objetos generales, dado que no tenemos acceso a éstos sino a través de representaciones que nosotros mismos nos hacemos. (Radford L. 2001).Esta paradoja puede constituir un verdadero círculo vicioso para el aprendizaje. ¿Cómo quienes en esta fase de aprendizaje podrían no confundir los objetos matemáticos con sus representaciones semióticas siendo que ellos no pueden tener relación mas que con las representaciones semióticas?Efectivamente esta paradoja crea uno de los problemas clásicos en el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática, dado que es usual que el estudiante no sólo confunda el objeto con su representación sino que la representación muchas veces sustituye al objeto y el estudiante trabaja solamente a nivel de símbolo y es la causa de respuestas aparentemente absurdas en la solución de problemas, como es el caso cuando el estudiante está calculando un área y acepta como posible respuesta un número negativo o cuando es la respuesta es un número de vacas y el estudiante acepta como posible respuesta un número fraccionario, en estos casos no es que el estudiante sea tan poco lúcido como para no darse cuenta de lo absurdo de su respuesta. El problema está en que desarrolla su trabajo sólo a nivel de símbolo por lo cual cualquier símbolo puede ser una respuesta.El problema anterior se agudiza en la formación de los conceptos, ya que el estudiante usa la representación semiótica del concepto, sin que esta representación contenga para el todos los rasgos esenciales que caracterizan el concepto, o que teniéndolos en un momento los pierda a causa de que en los problemas que se le plantean al estudiante nunca es necesario usar un determinado rasgo esencial del concepto, por ejemplo, cuado algunos maestros sólo plantean tareas a los estudiantes con funciones trigonométricas en el intervalo de 0 a 2п, estos estudiantes asumen que dicho intervalo es el dominio de las funciones trigonomйtricas. Razón por la cual cuando se requiere identificar o aplicar el concepto basado en el rasgo esencial desconectado de su representación semiótica, el estudiante es incapaz de identificar o aplicar dicho concepto adecuadamente.También sucede que en la representación semiótica del concepto el estudiante puede incorporar rasgos no esenciales, como si lo fueran y cuando se enfrenta a un representante del concepto que no tiene alguno o algunos de estos rasgos no esenciales, evidentemente no lo identifica como elemento de dicho concepto; este es el caso del concepto de triángulo rectángulo el cual muchos maestros representan en la escuela, siempre con uno de sus catetos en posición horizontal, por lo que muchos estudiantes terminan por incorporar la posición del gráfico como una parte esencial en la representación gráfica de un triángulo rectángulo y cuando no lo ven en esta posición no lo identifican como tal.Por lo tanto en la formación del nexo símbolo objeto se presentan tres problemas:

1. Cuando se manifiesta esta situación el estudiante está muy limitado para resolver problemas, pues es incapaz de aplicar el concepto, esta situación además propicia las respuestas absurdas de los estudiantes, aunque desafortunadamente es algo que pasa con demasiada frecuencia.

2. El nexo formado no tiene suficiente solidez se debilita al punto que el estudiante trabaja sólo a nivel de símbolo sin considerar lo que el signo representa. González F. (2005) considera este aspecto como "información pertinente y no pertinente" y plantea la necesidad de destacar los atributos esenciales del concepto de los no esenciales. A estos efectos resulta fundamental que atributos no esenciales del concepto no se repitan en el trabajo con el mismo, pues si en la formación de un concepto siempre está presente un atributo no

esencial es muy difícil que el estudiante no lo incorpore como atributo esencial del concepto.

3. El nexo formado incluye elementos no esenciales del concepto, lo cual impide al estudiante identificar representantes del concepto que no contienen los rasgos no esenciales que el ha incorporado indebidamente.

4. El nexo formado incluye el contexto y el estudiante no es capaz de usar el símbolo aprendido para representar el mismo objeto cuando este se encuentra en otro contexto.

Aquí resulta imprescindible lograr un equilibrio entre la enseñanza contextualizada y no contextualizada, ya que si por una parte la enseñanza contextualizada motiva, también limita las posibilidades del estudiante de transferir el conocimiento adquirido a nuevas situaciones. Es conocido que para muchos estudiantes las integrales en Matemática son objetos deferentes a las integrales en Física.Precisiones:

1. El concepto matemático se materializa a través del signo, (representación o registro semiótico). Todo concepto matemático remite a "no-objetos"; por lo que la conceptualización no es y no se puede basar sobre significados que se apoyen en la realidad concreta; en otras palabras en matemáticas no son posibles reenvíos ostensivos.

2. La actividad de aprendizaje es una actividad mediada por el uso del signo como representante semiótico de los conceptos matemáticos.

3. El signo o símbolo, como representante semiótico del concepto, debe se portador para el sujeto de todos los rasgos esenciales del concepto que representa y al propio tiempo, esta representación semiótica no puede incluir ningún rasgo no esencial del concepto.

4. El nexo símbolo objeto aunque se forma de manera individual en cada sujeto, su formación se produce en la interacción social, por lo tanto tiene un carácter social.

5. La internalización se desarrolla en la actividad mediada a través de la interacción social y conduce al establecimiento del nexo símbolo objeto entre el objeto conceptual y su representante semiótico. A partir de las precisiones anteriores, al analizar el proceso de formación de los conceptos se aprecia que en dicho proceso, como componente del proceso enseñanza aprendizaje, se cumplen los principios fundamentales que rigen este último, los que fueron determinados en primera instancia por la Escuela Histórico Cultural, son estos:

o Carácter activo del proceso enseñanza aprendizaje.o Carácter histórico del proceso enseñanza aprendizaje.o Carácter social del proceso enseñanza aprendizaje.o Carácter mediado de la psiquis humana.

Como sabemos gracias a las investigaciones sobre el proceso de formación de los conceptos, un concepto es algo más que la suma de ciertos vínculos asociativos formados por la memoria, es un auténtico y complejo acto de pensamiento que no se puede enseñar sólo mediante la ejercitación y al cual se puede llegar cuando el desarrollo mental del niño ha alcanzado el nivel requerido, el niño no puede arribar al concepto de número entero, antes de haber llegado al de número natural. El desarrollo de los conceptos, o significados de las palabras, presupone el desarrollo de muchas funciones intelectuales (atención, memoria lógica, abstracción, capacidad de comparación y diferenciación). Comprender el concepto, será concebido como el acto de adquirir su significado, tal acto será probablemente un acto de

generalización y síntesis de significados en relación con elementos particulares de la 'estructura' del concepto.La formación de los conceptos se inicia con la actividad del estudiante sobre representantes semióticos de los objetos conceptuales matemáticos. Esta actividad tiene un carácter social. En el proceso de formación del concepto el estudiante tiene que llegar a representar el concepto a través de diferentes registros semióticos y ser capaz de pasar de un registro a otro, lo cual posibilita que el estudiante no confunda el concepto con su representación. Todo concepto matemático se ve obligado a servirse de representaciones, dado que no se dispone de "objetos" para exhibir en su lugar; por lo que la conceptualización debe necesariamente pasar a través de registros representativos que, por varios motivos, sobre todo si son de carácter lingüístico, no pueden ser unívocos.La conexión entre registros establece la arquitectura cognoscitiva por la cual el estudiante puede reconocer el mismo objeto a través de diferentes representaciones y puede hacer objetiva su comprensión del objeto.Presentación del objeto en diferentes registros:En la consolidación del nexo símbolo objeto juega un papel fundamental la codificación y decodificación de diferentes representaciones semióticas de los objetos matemáticos, lo que equivale a expresar el objeto en diferentes registros semióticos, al respecto se debe destacar que la comprensión integral de un contenido conceptual está basada en la coordinación de al menos dos registros de representación, y esta coordinación queda de manifiesto por medio del uso rápido y la espontaneidad de la conversión cognitiva. Los alumnos deben aprender a realizar como una actividad necesaria, conversiones en distintos registros. La coordinación entre ellos es de vital importancia para el desarrollo del pensamiento. Este cambio de registros no se realiza en forma espontánea, pues el pensamiento moviliza un solo registro de representación. Bajo esta perspectiva, una de las actividades fundamentales de los profesores es enfrentar los alumnos, a problemas en los cuales, para poder resolverlos, necesitan realizar conversiones entre distintos registros.Los cambios de representación semiótica son de dos tipos, los cambios que se producen dentro de un mismo tipo de registro como es el caso cuando modelamos un fenómeno por diferentes ecuaciones; o cuando cambiamos el tipo de registro, que es el caso por ejemplo cuando se pasa de un registro algebraico a uno geométrico, esto es la representación de una recta en un sistema de ejes cartesianos o mediante un registro analítico a través de la ecuación que la representa.La adquisición de un concepto matemático radica en la actividad que se puede realizar en las diferentes representaciones; implica actividad en un registro (tratamiento metodológico), posteriormente realizar una coordinación entre los diferentes registros (pasaje o conversión), enfrentar la no congruencia entre registros encaminado a construir la estructura cognitiva, hasta lograr reconocer el objeto matemático en sus diferentes representaciones. Por ejemplo, es inconveniente acceder al concepto de un ente matemático por medio de una definición, es necesario tener actividad con sus diferentes representaciones, algebraico, tablas, gráficos y el lenguaje natural; tal actividad indica creación, tratamiento, y pasaje o conversión entre registros de representación. En el estudio de las funciones, no es una actividad didáctica sencilla lograr que el estudiante identifique la misma función en sus diferentes representaciones, es usual que el estudiante vea en cada una de estas representaciones un ente matemático diferente.

La codificación y decodificación es importante, porque se debe tener en cuenta que el lenguaje matemático tiene dos niveles, un nivel algebraico y un nivel gráfico, y muchas veces el nivel gráfico funciona como elemento de enlace entre el lenguaje común, literal, y el lenguaje algebraico, en ocasiones la representación gráfica del enunciado de un problema permite al estudiante construir el modelo analítico, a través del cual se encuentra la solución pedida, como es el caso de las integrales definidas en una variable. En otras ocasiones este nivel gráfico resulta prácticamente imprescindible, como es el caso cuando se trabaja con las integrales triples, donde se requiere la representación gráfica de la región de integración para poder plantear los límites de la integral. En el caso de las integrales dobles y triples, el leguaje gráfico presenta subniveles, que son los diferentes sistemas de coordenadas, donde una forma de garantizar que el alumno se apropie de los mismos es que pueda representar el enunciado del problema en diferentes sistemas de coordenadas.Además por ser el lenguaje matemático altamente especializado, está sujeto a una sintaxis muy rigurosa, la cual depende estrictamente de los nexos símbolo objeto, lo anterior ilustra por qué es usual que en la resolución de un problema se pase de un modelo gráfico a un modelo analítico, para al fin llegar a la solución del mismo, por ejemplo el cálculo de volúmenes de sólidos mediante integrales triples, donde se requiere de la representación gráfica del sólido para poder identificar los límites de integración, este cambio de una semiótica gráfica a una analítica está supeditado a los nexos símbolo objeto que posea el estudiante, si falta un nexo, falla la solución del problema.Influencia del carácter histórico del proceso enseñanza aprendizaje en la formación de conceptos.Como planteamos antes, el historicismo uno de los ejes del enfoque histórico cultural, fundamenta la interrelación de cada muevo conocimiento, con el que le antecede y con el que le sucede, pues, por cuanto, el desarrollo orgánico se realiza en un medio cultural se convierte en un proceso biológico históricamente condicionado, de donde se aprecia que el carácter irrepetible de un individuo está dado por la imposibilidad de crear idénticas condiciones histórico sociales para su desarrollo.Dada la importancia de esta premisa en el presente trabajo, corroboraremos la misma con la opinión de autores de diferentes tendencias.Al respecto tenemos la siguiente aseveración: "La persona es producto de una trayectoria de vida, donde la micro historicidad (irreductible a la historia de los grupos) ha condicionado las modalidades de integración y de estructuración de los significados sociales. Y es en función de esta micro historicidad que los ingredientes socio-lingüísticos de origen común se distribuyen, cada vez de forma diferente en las personas. (Bronckart J. P. 1997)" aseveración esta que prácticamente es una continuación del primer párrafo.En este mismo sentido, en el constructivismo simple se expresa: "El conocimiento es activamente construido por el sujeto que aprende y no sólo se recibe del ambiente, se admite que llegar a conocer es un proceso de adaptación que organiza el mudo de las experiencias. (D’ Amore 2000).También Paul Ernest, principal representante del constructivismo social plantea dos elementos esenciales:

o La construcción activa del conocimiento, fundamentalmente la construcción de conceptos e hipótesis, se hace sobre la base de experiencias y conocimientos previos.

o El papel que juega la experiencia y la interacción con el mundo físico y el mundo social. (Kraftchenko A. 2000).

(González, F. 2005) considera entre los factores que afectan la apropiación de los conceptos la experiencia y conocimientos previos del estudiante.Los planteamientos anteriores, y otros tantos que no es necesario enumerar ratifican el carácter histórico social del sujeto.Precisamente este carácter histórico social del estudiante, el cual no es posible negar, es el fundamento, tanto desde el punto de vista epistemológico como de enseñanza, de las preconcepciones, las cuales son portadoras de obstáculos didácticos, de donde se infiere que obligatoriamente tenemos que tenerlas en cuenta, pues queramos o no, estarán presentes en el proceso de asimilación; la idea es entonces aprovechar su efecto positivo y prevenir su efecto negativo.Por tales razones el error no es sólo efecto de la ignorancia, la incertidumbre o el azar, puede ser también el efecto del conocimiento anterior, que incluso habiendo sido exitoso se presenta como falso o inadaptado, o sea el error puede estar ligado a una forma de conocer, una concepción, coherente sino correcta, antigua y que ha tenido éxito en todo un dominio de acciones; un conocimiento como obstáculo es fruto de una interacción del alumno con el medio que hace que el conocimiento funcione en cierto dominio.Un obstáculo epistemológico que aparece en el concepto de convergencia de series es el propio sentido común. El alumno emplea mal el teorema:

converge

Según el sentido común si el quiere decir que a partir de un n e N los an son prácticamente cero y no sumarán nada, luego la serie S an debe ser convergente, conclusión como sabemos incorrecta.Con frecuencia se considera que las preconcepciones son sólo ideas incompletas sobre un concepto, lo cual es denominado por muchos autores como pseudos conceptos, lo que es ciertamente una fuente amplia de las mismas, pero también son preconcepciones los conceptos que posee el estudiante de diferentes objetos y fenómenos a través de los cuales estudiará el nuevo objeto o fenómeno, que en muchos casos se opone con mayor fuerza a la adquisición del nuevo conocimiento y resultan más difíciles de combatir ya que el concepto que las origina es correcto y no puede ser eliminado de la experiencia del estudiante. Un ejemplo de este caso lo tenemos cuando el estudiante se empeña en aplicar la ley distributiva del producto respecto a la suma, a la potencia. Podemos preguntar: Qué profesor de Matemática no ha tenido un alumno que haya cometido el siguiente error: (a + b)n = an + bn, este error el alumno lo comete porque primero aprendió que n(a + b) = na + nb, como vemos en este caso el estudiante posee un conocimiento acabado, que ha usado con frecuencia, pero que ante la nueva situación se convierte en un obstáculo epistemológico; de igual forma lo aprendido en Aritmética interfiere

el aprendizaje del álgebra, pues el niño aprende que significa que debe

dividir el 12 entre el 6, por lo tanto cuando en álgebra tiene la operación: tiende a dividir los exponentes a causa del viejo reflejo creado en la ejecución de la operación aritmética; en muchos casos no basta un contra ejemplo para eliminar estos obstáculos. Algo por el estilo sucede cuando los niños comienzan a estudiar la notación decimal, pues el valor implícito de los dígitos, los cuales ya son familiares para ellos, se convierte en un obstáculo para apreciar el valor

de los números en notación decimal, por lo cual comparan incorrectamente números como 2.099 y 2.11El estudiante siempre tiene la tendencia natural de que los nuevos objetos se comporten como los antiguos, así cuando aprende a derivar, asume que si f es continua, también lo sea su derivada. Otra situación análoga se manifiesta cuando el estudiante trata de aplicar la linealidad de la integral respecto a la suma del integrando al producto, esto es, como:

el estudiante siente, según su experiencia empírica, que

sea también igual a .No siempre los obstáculos o preconcepciones tienen un carácter epistemológico, a veces son resultados de la forma como se desarrolla el proceso, específicamente en la formación del nexo símbolo objeto, lo cual se manifiesta cuando en la formación de este nexo el símbolo representa para el estudiante elementos no esenciales del objeto, como es el caso cuando se incorpora la posición del triángulo rectángulo en el concepto; o cuando elementos esenciales del concepto no se incorporan en el símbolo que representa el concepto, como es el caso en que el símbolo "parábola" solo representa para el estudiante la ecuación y no incluye el lugar geométrico. En ambos casos, estos nexos mal formados funcionan como obstáculos del proceso enseñanza aprendizaje y podemos decir que el estudiante se ha formado un seudo concepto, el cual no se transformó en el concepto científico.El proceso de formación de los conceptos:Los postulados sobre los que se fundamenta le proceso de la formación de los conceptos, según la escuela Histórico cultural son los siguientes:

7. Tránsito del concepto empírico al teórico8. El proceso de internalización.9. La acción mediada.

Estos tres postulados, a nuestro criterio, permiten argumentar con gran precisión la formación de los conceptos, la cual se desarrolla a través de la interacción de estos tres postulados, pero es necesario abstraer cada uno de ellos para comprender como se produce la interacción entre los mismos, dando lugar a la formación de los conceptos.Tránsito del concepto empírico al teórico:El concepto empírico tiene su símil en lo que otros autores denominan seudo concepto (Duval, Brouseau) y concepto imagen (Tall D.), el concepto empírico es efectivamente una imagen del concepto científico, un concepto incompleto que puede ser efectivamente identificado como un seudo concepto; el concepto empírico es producto de la observación de los aspectos externos de los objetos que lo conforman sin llegar a profundizar en sus aspectos esenciales, es un concepto a priori con el cual se trabaja hasta que el aprendiz se logra apropiar de todos los rasgos esenciales que conforman el verdadero concepto o concepto científico.Los conceptos empíricos son el resultado, en primera instancia, de la propia formación del lenguaje, pero incluso en los primeros grados el alumno comienza trabajando con conceptos empíricos, ya que través del procedimiento epistemológico empírico, el objeto individual es asido, aislándolo de sus relaciones espaciales y temporales para que se lo pueda observar, comparar, categorizar y recordar, como se puede ver es una primera fase del aprendizaje. Las imágenes y el lenguaje son los medios usados para este fin. En esta exposición empírica el objeto individual funciona como realidad independiente, en esta primera etapa no se aprecian las complejas interrelaciones entre los

objetos. El concepto empírico es el resultado de las primeras abstracciones de aspectos o propiedades que caracterizan los elementos que componen el concepto (extensión del concepto), estas abstracciones iniciales pueden no incluir todos los rasgos esenciales de dichos elementos y pueden incluir también rasgos no esenciales.Como ya planteamos antes, el concepto científico en su forma acabada no puede ser puesto en la mente del estudiante, la apropiación de los conceptos es un proceso que se inicia o parte de la observación de algunos de los aspectos del objeto, que por alguna razón son en primera instancia de mayor interés para el sujeto, pero como el trabajo matemático se realiza sobre los símbolos que representan el objeto, este es un proceso mediado, el cual culmina con la internalización del nexo símbolo objeto.La internalización a través de la acción mediada.El proceso enseñanza aprendizaje funciona sólo a través de la actividad del estudiante sobre el objeto de aprendizaje y dado que los objetos matemáticos son conceptuales, la acción no puede ser ejercida directamente sobre los objetos, sino sobre la representación semiótica de los mismos, por lo cual se habla de la acción mediada y surge la necesidad de establecer un nexo riguroso símbolo objeto, esto es entre el objeto y su representación semiótica; por esta razón, dado que el estudiante tiene que realizar diferentes acciones con el símbolo que representa el concepto, antes de llegar a interiorizar el concepto, el símbolo, en muchos casos, representa para el sujeto un proceso, esto es

determinadas acciones que él debe realizar, así el símbolo es para el estudiante en primera instancia un proceso que el debe ejecutar y sólo posteriormente, y no siempre, se convertirá en un objeto, o sea, en el concepto de integral; lo mismo sucede con el concepto de límite y con el concepto de derivada. Los estudiantes que sólo llegan a la apropiación del concepto a un nivel procedimental, siempre estarán en desventaja para resolver problemas de aplicación, pues solo ven en los símbolos que representa los conceptos, procedimientos a realizar y no objetos con determinadas propiedades que pueden actuar, a su vez, sobre otros objetos. Lo cual está relacionado con la actitud de los docentes, cuando dicen que están enseñando conceptos, y realmente no llegan a diferenciar entre tener el objetivo de enseñar el concepto de algo y enseñar cómo usar el término que designa ese algo.Lo analizado en el párrafo anterior contribuye a comprender el tránsito de los conceptos del plano ínter psíquico al plano intrasíquico, ya que la actividad procesal está ligada a la interacción entre los sujetos, pero la apropiación del concepto es una acción de carácter individual. González F (2005) incluye entre los factores que afectan la adquisición de conceptos "la aplicación práctica de los mismos"; la aplicación de este planteamiento al proceso de internalización indica que en una primera instancia la aplicación debe ser de tipo procedimental, trabajo en el plano ínter psíquico, y posteriormente del uso del concepto como objeto en la solución de problemas, en la etapa en que el concepto ha pasado al plano intrasíquico, para asegurar la consolidación del nexo símbolo objeto. No quiere decir esto, que sólo el concepto como objeto es el que pasa al plano intrasíquico, el proceso también debe ser internalizado.Cuando el concepto es internalizado por el sujeto se puede decir que posee el concepto lo cual implica el conocimiento de las aplicaciones posibles y no posibles que pueden ser ejercidas sobre los objetos pertenecientes a dicho concepto y las aplicaciones en las que el concepto puede intervenir como objeto en sí mismo. Por ejemplo, si una función tiene derivada positiva en un intervalo, se puede asegurar que es creciente en dicho intervalo. Además el hecho de que

la función sea derivable permite aplicarla en la modelación de cualquier problema donde se requiera calcular variaciones instantáneas.La acción mediada:El ser humano no tiene la posibilidad de pensar si no dispone del uso de los signos. El signo es una herramienta psicológica, una prótesis de la mente, se puede ver también como el lugar externo donde la mente del individuo trabaja.Lo signos matemáticos son vistos fundamentalmente como instrumentos para codificar y describir el conocimiento matemático, de modo que hacen posible comunicarlo, operar con el y desarrollarlo en forma de generalización, en este sentido los signos matemáticos son también herramientas culturales (Vigotsky 1987) al ser usadas en la comunicación con otras personas con el fin de desarrollar el conocimiento matemático. Se debe tener en cuenta aquí que el nexo símbolo objeto que se establece entre los objetos matemáticos y su representación semiótica está a su vez mediado por relaciones socio culturales, por lo que no son en modo alguno arbitrarias.El signo desempeña una función mediadora entre el individuo y su contexto, y permite, además, ese pasaje entre lo ínter psicológico y lo intrapsicológico que asegura la reconstrucción interna de la acción, esto es, de su internalización.Se puede apreciar que los símbolos son, desde luego, inevitables e indispensables, para expresar el conocimiento matemático, sin embargo el tipo y la forma del signo, no se establece de manera unívoca, Por ejemplo para expresar las relaciones algebraicas, no se requiere de signos algebraicos típicos, ya que estos signos no son en sí mismos el conocimiento algebraico, aunque en procesos socio históricos de desarrollo del conocimiento matemático, temporalmente largos, la forma de los signos matemáticos que emergen de la mediación entre el signo y el objeto de referencia se hace más y más convencional, fija y obligatoria.Al respecto, (Berger, M. 2005) se refiere a que la sociedad con las definiciones de las diferentes palabras ya establecidas (tal como aparecen en libros y diccionarios) determina el modo en el cual el vocabulario del niño se tiene que desarrollar. Análogamente el estudiante tiene que construir los conceptos de modo que su uso y significado sea compatible con el uso de la comunidad matemática; para lograr esto el estudiante necesita usar el signo matemático en comunicación con otros, incluyendo en esta comunicación el uso de los libros de texto lo cuales materializan el conocimiento establecido. Luego, de los argumentos anteriores se puede apreciar el carácter socialmente regulado de la formación de conceptos, a través de una actividad mediada por los signos.Desde una perspectiva Vigotskyana, el proceso a través del cual se construyen los conceptos, necesariamente incluye el desarrollo de un lenguaje adecuado. "La internalización de formas culturales de comportamiento envuelven la reconstrucción de actividades psicológicas basadas en operaciones con signos". (Vygotsky 1978: 57). Se puede asegurar entonces que el signo es en si mismo una especificación particular, pero puede a su vez y es necesario interpretarlo en términos de lo general. Este tránsito de lo particular a lo general es realmente un proceso complejo donde intervienen habilidades del pensamiento lógico como análisis, síntesis, abstracción y generalización. (Blanco, R 2007)El signo en sí mismo tiene un carácter singular, pero a su vez tiene que representar para el sujeto todos los componentes de la clase que conforman el concepto, por ejemplo el concepto de número "par" se representa por el símbolo: "2n" pero siendo singular como símbolo, representa cada uno de los infinitos números pares, por lo que si el sujeto es capaz de identificar en un objeto los atributos definitorios correspondientes a una clase ya conocida, no es necesario un nuevo aprendizaje ya que todo cuanto haya sido aprendido con

respecto a dicha clase es aplicable a cualquier objeto particular que pertenezca a ella. Pero esto sólo puede ser efectivo, si en el nexo símbolo objeto que se ha establecido, están vinculados al símbolo cada uno de los atributos definitorios y ningún atributo extraño al objeto.La apropiación del concepto.En la literatura especializada prácticamente existe consenso en lo que respecta a que el concepto no puede ser impuesto en forma acabada en la mente del estudiante, con lo cual concordamos, pues la asimilación de los conceptos es un proceso en el cual el sujeto interioriza:

10.11. Los atributos y rasgos comunes y esenciales que cumplen los miembros

de la clase que pertenecen al concepto.12. La definición del concepto, la cual contiene rasgos comunes y esenciales

que cumplen los miembros de la clase que pertenecen al concepto.13. Las diferentes representaciones simbólicas del concepto.14. El nexo entre las diferentes representaciones simbólicas, y la extensión y

definición del concepto.El proceso de interiorización de los puntos señalados no tiene un carácter lineal, sino que se pasa de un punto a otro en un proceso de perfeccionamiento, en el que se transita del seudo concepto al concepto científico. Por lo cual enfatizamos que el aprendizaje conceptual es el resultado de acciones internalizadas, a las cuales se llega mediante la comunicación a través de los signos, la formación de conceptos se hace posible porque el objeto matemático puede ser expresado y comunicado vía una palabra o signo entre el aprendiz, sus pares y los expertos.Hay que señalar además la necesidad de las habilidades del pensamiento lógico en la formación de conceptos, pues mediante un proceso de análisis y síntesis es que se puede llegar a abstraer las propiedades esenciales que caracterizan los componentes de un concepto (su extensión) y posteriormente mediante un proceso de generalización, identificar, en la semiótica utilizada para designar al concepto, cada objeto que cumpla las propiedades que lo categorizan como un elemento del concepto.No por evidente deja de ser necesario destacar, que este proceso de apropiación del concepto sólo existe, en la actividad del estudiante con los objetos matemáticos materializados semióticamente, dado que la apropiación de los conceptos es un proceso de construcción de conocimiento. Aquí planteamos que el estudiante construye su conocimiento en la interacción social, por lo tanto la internalización que se produce es la del conocimiento socialmente validado.ConclusionesSe puede apreciar que uno de los problemas epistemológicos fundamentales en la enseñanza de la Matemática es la existencia de los objetos matemáticos únicamente a nivel conceptual, lo cual implica la necesidad de la representación semiótica de los mismos, lo que trae a su vez como consecuencia la posibilidad de que el estudiante sustituya el concepto por su representante y trabaje sólo a nivel simbólico, perdiendo de vista el concepto, lo cual se puede apreciar en el trabajo con fracciones, donde los niños pueden incluso efectuar operaciones aritméticas con fracciones sin tener una idea correcta de lo que representa por ejemplo 2/5.Pero independientemente de que esta característica de la Matemática determina una estrecha relación símbolo – objeto matemático, la actividad psíquica superior está mediada por los símbolos, aunque dicha mediación es

efectiva si existe un correcto nexo símbolo objeto por lo cual se puede afirmar que la apropiación de los conceptos se produce a través de:

o Tránsito del concepto empírico al teóricoo El proceso de internalización.o La acción mediada.

y mediante la intervención de las habilidades del pensamiento lógico, análisis, síntesis abstracción y generalización.3.a. CONCEPTO DE NUMERO CIENTIFICO CULTURAL

Una mirada a los conceptos cultura y humanismoLa palabra cultura se deriva del latín colere-colui que significa cultivo o cuidado para obtener provechos. En los primeros tiempos de su utilización estuvo enlazada a la tierra y su cuidado, lo cual se evidencia en el término agricultura. Este incluía el sistema de acciones, creencias, ceremonias, costumbres, normas, así como los hombres y mujeres que las realizaban y la tierra como objeto central. Por tanto, este concepto nació como portador de un todo y con una dimensión universal y múltiple.En el año 45 a.n.e. Marco Tulio Cicerón escribió sus Disputas Tusculanas, donde le da un sentido diferente al término cultura. Lo vincula al cuidado de la razón y le abre el camino a su empleo en el funcionamiento de algo que no era la tierra, como es lo que con el tiempo se llamó cultura juris, cultura litterarum, cultura linguae. (Kristova, 1984)El concepto se extendió a otras áreas de la vida humana. En esta extensión conservó su espíritu universal que se mostraba cuando al decir cultura litterarum se hacía referencia a la producción, cuidado, transmisión, recepción y consumo de cuanto tenía que ver con la literatura.En 1684 Samuel Pufendor, en su obra Acerca del derecho natural, caracteriza la cultura como producto de la creación de los humanos, resultado de su actividad y complemento de su cuerpo y voluntad, que lo enaltece y contrapone a la naturaleza, (Kristova, 1984) a la cual ha de enfrentarse para afianzarse.La cultura aparece no sólo separada de la naturaleza y enfrentada a ella, sino que ontologizada, convertida en algo existente fuera de los humanos y contexto de su desarrollo.En el siglo XIX hay momentos importantes en el desarrollo del concepto cultura. Entre ellos está 1871, cuando E. B. Tylor lo concibe como un todo complejo, donde quedan incluidos el conocimiento, las creencias, el arte, la moral, el derecho, las costumbres y cualquier tipo de capacidad adquirida por el humano en tanto miembro de la sociedad. Esta amplitud se manifiesta en la concepción de Clyde Kluckhon, quien lo entiende como un modo total de la vida de un pueblo, legado que el individuo adquiere de su grupo, manera de sentir y creer, etc. Esta extensión aparece asimismo en B. Malinowsky. Muestra de ello es su libro Los argonautas del Pacífico occidental. (Geertz, 1988)Durante el siglo XX abundaron los conceptos sobre cultura, en los cuales ha sido concebida como: 1- símbolo; 2- significado; 3- valor; 4- actividad; 5- conducta; 6- educación; 7- creación; 8- modo de vida; 9- esencia; 10- identidad; 11- nivel de desarrollo.En estos estudios ha prevalecido la mentalidad ingenieril, operacional, pero no hacemos mucho con ganar precisión y operatividad si perdemos extensión y alcance. Si lo que quieren los ingenieros del saber es ser preciso y operativo, entonces es preferible que quien tenga esos deseos, cree otro concepto, pero que no limite la extensión del existente.La vida humana no cesa de hacerse más y más compleja. Eso no puede ignorarse. La universalidad del concepto cultura no puede perderse ni ignorarse y tiene que

recoger esa complejidad. Con ese propósito se ha llegado a hablar de la cultura en distintas esferas: 1- cultura artística y literaria; 2- cultura moral; etc.También suele hablarse, con la misma intención ecuménica, de la cultura de grupos sociales, clases sociales, comunidades humanas, de un pueblo o nación, o de un grupo de pueblos o naciones. Así aparece la referencia a la cultura según niveles intelectuales y financieros y por la presencia del anonimato y lo experiencial, que se recoge en el concepto cultura popular.Si queremos salvar la universalidad original del concepto cultura, tenemos que ampliarlo verdaderamente y negar la idea de S. Pufendorf. Del concepto cultura no se puede excluir la naturaleza, porque nosotros, los humanos, somos parte de ella. Por tanto, concibo la cultura como un todo complejo, que no es sólo resultados de la obra humana, sino que incluye la naturaleza.No basta con pretender la amplitud de este concepto. Es preciso aspirar a la realización de una cultura humanista, que sólo puede concebirse si se analiza a la luz del humanismo. Este merece precisión. Algunos autores lo relacionan a la etapa renacentista o al estudio del período greco-romano, otros absolutizan con él el plano individual; no faltan quienes lo limitan a alguna especialidad particular, sobre todo a la pedagogía o la psicología.El humanismo visto con un lente filosófico consiste en un cuerpo constituido por puntos de vista, teorías y proposiciones que tienen como base una concepción acerca de los humanos, a quienes a partir de la cual se les ubica en el centro del quehacer teórico y práctico con vistas a su emancipación y creación de óptimas condiciones para su desarrollo; de tal modo son aprehendidos como fin y no como medio. (Abbagnano, 1963; Guadarrama, 1998)Los componentes esenciales de esta concepción son: 1- la afirmación de la dignidad, con la cual se subraya la valía de los hombres y mujeres y su derecho al libre desarrollo, simplemente por ser hombres y mujeres; 2- la observación permanente de su emancipación con respecto a cualquier fuerza que los oprima o limite y de su perfeccionamiento en todos los sentidos; 3- la vigilancia del contenido de cooperación de las relaciones humanas; 4- la exclusión de cualquier tipo de explotación de un humano por otro; 5-el respeto al derecho de cada humano, de los grupos sociales y de toda la sociedad humana a su existencia, desarrollo integral, creatividad, originalidad y diferencias.Contiene la conjugación dialéctica de lo individual, lo grupal y lo social, de lo común y lo diferente, sin la sobrevaloración o menosprecio de ninguno de ellos y sostiene la lucha contra el egoísmo, el individualismo y el socio-centrismo. Representa la importancia dada a la formación en los humanos de amor y respeto por sus similares, sentimientos que deben enriquecerse con otros análogos pero dirigidos a la conservación del planeta. De tal modo, es el fundamento donde se dimensiona la visión acerca de la esencia y desarrollo humanos.El humanismo representa la negación de todo lo antihumano, es decir, cuanto provoque daños corporales o espirituales a cualquier hombre o mujer, así como a la humanidad y al entorno, porque ahí desarrolla su vida. Es la antítesis de la alineación, la cual concibo como "todo poder supuesto a fuerzas aparentemente incontroladas por el hombre, que son expresión histórica de incapacidades de dominio relativo sobre sus condiciones de existencia engendradas consciente o inconscientemente por éste, limitando sus grados de libertad". (Guadarrama, 1997)Entendido de este modo, el humanismo puede ser un lente. A través de él cobra relieve el modo de estudiar cualquier objeto, fenómeno o hecho en su relación con los humanos, donde se conjugan los componentes anteriores. Vista la cultura con ese lente, cabe aspirar a una cuya característica esencial sea ser humanista.No pretendo que la humanidad arribe a la cultura humanista un día específico, cuando alguien lea la declaración oficial y se le rinda honor a los símbolos apropiados

para un acto de tal solemnidad. La humanización de la cultura no puede ser vista como un hecho a lograr en un período corto, con un sistema de tareas estructuradas en un algoritmo de trabajo. Ha de ser una eterna estrategia y esencia de cada una de las tácticas que se empleen en el ámbito cultural.Este concepto es un ideal y un instrumento para remover nuestras cavernas internas. Con ella como derrotero, e incluso sin mencionarla, tenemos que ser capaces de trazar caminos. Entre ellos caben cuantos eleven la condición humana a peldaños superiores. Menciono tres que considero imprescindibles: el enfrentamiento perpetuo a la cosificación y la alienación, la democratización de la cultura y el propósito de mantener la dignidad en el sitio más venerado.La cultura humanista es antitética a cualquier modalidad de la cosificación y la enajenación, fenómenos estos siempre cambiantes y propensos a arraigarse en la vida humana. Estos dos conceptos los entiendo muy ligados entre sí. Refieren la limitación de las capacidades y posibilidades de hombres y mujeres, el aplastamiento en todos los sentidos que ese hecho representa y la reducción del humano a la condición de objeto, de una cosa.Ha sido condenado de muchas maneras y por quienes repudian la degradación humana. En ese listado cabe el pensador cubano Juan Marinello Vidaurreta cuando comenta la vida en el campo de su patria de inicios de la década del 30 del siglo XX: "Los hombres han devenido cosas, cosas que deben andar – como las carretas – su trayecto entre el corte y la estera y describir – como las mochas – su órbita previa en el aire caliente." (Marinello, 1989)Un paso imprescindible en la humanización de la cultura es su democratización extensiva e intensiva. Posibilidades reales de acceso, participación, control y consumo abierto, son algunos de los rasgos de una cultura democrática. El conocimiento es vía e instrumental. Es también una necesidad en perpetuo cambio, pero estable en su presencia. El saber dota de cualidades superiores a los hombres y mujeres, los ennoblece y les proporciona armas para la vida.La democratización de la cultura es el proceso mediante el cual cada humano, independientemente de sus particularidades, llega a tener posibilidades reales tanto para producir como para consumir. En este accionar es importante tener en cuenta más de un factor. Uno de ellos es la dignidad, según la cual cada hombre y mujer vale por el simple y elemental hecho de ser un hombre o una mujer.En este caso resulta oportuno recordar unas palabras de José Martí: "yo quiero que la ley primera de nuestra república sea el culto de los cubanos a la dignidad plena del hombre. En la mejilla ha de sentir todo hombre verdadero el golpe que reciba cualquier mejilla de hombre". (Martí, 1975)La ciencia y la tecnología a través del humanismo y como componentes de la culturaEn la mundialización la ciencia y la tecnología no pueden ser ignoradas. Mucho menos por parte de quienes queremos una cultura humanista. No constituye una novedad teórica caracterizar el concepto ciencia como profundo y complejo. Tampoco lo es considerar la posibilidad de surgimiento de polémicas al referirse a él. Ello se debe a su continuo enriquecimiento, hecho favorecido en gran medida por sus vínculos con la sociedad y la filosofía, las cuales inciden en su contenido, objetivos y hasta fronteras. (Núñez Jover, 2002)En los años 70 del siglo XX, muy ligado al concepto ciencia, se forma el de tecnología, (Sáez, 1981; Layton, 1989) de la cual se han configurado no pocas definiciones. Una de las más difundidas es la de vertiente aplicada de la ciencia. Con una conexión entre sí hoy difícil de debilitar, ambas recorren un camino que resulta interesante valorar a través del humanismo.Al observar la ciencia y la tecnología con este lente, cualquier estudioso puede captar su esencia humanista, desalienadora, dada en su objetivo esencial: dotar a los

humanos de conocimientos, destrezas y fuerzas, al abrirles el camino hacia un mundo donde además de satisfacer las necesidades materiales y espirituales, empleen el saber para alargar y alegrar la vida humana en armonía con toda la naturaleza. Ellas son una muestra de la afirmación humana.La humanidad desarrolla la ciencia y la tecnología no como un entretenimiento. Esta afirmación puede avalarse con los beneficios que obtiene. Entre los resultados sobresalientes de los últimos años están:La microelectrónica. Es la base de la revolución en las comunicaciones que acorta distancias y facilita el flujo de información con las computadoras, las redes, la televisión digital, los sistemas automáticos, los robots, la telefonía móvil, entre otros, cuya existencia es fuente para sucesivos logros científico-tecnológicos.Las biotecnologías. De ellas son productos varios tipos de vacunas y su novedosa producción, así como biopreparados y medios de diagnósticos para la salud humana y veterinaria, la producción de anticuerpos monoclonales para el diagnóstico de enfermedades, el desarrollo del programa para el diagnóstico prenatal de malformaciones congénitas y enfermedades hereditarias, la ingeniería genética, en cuyo universo trabajan los científicos con los genes, para luchar contra algunas dolencias y características biológicas.La energía nuclear. De ella es destacable el creciente empleo de sus fuerzas para el beneficio de los humanos, como es el uso de los isótopos radioactivos, los cuales al desintegrarse emiten radiaciones y permiten crear métodos diagnósticos de suma precisión, como la tomografía computadorizada. Además, su utilización reporta beneficios a la humanidad mediante la industria del carbón, el petróleo y el cemento, entre otras.En sentido general, la ciencia y la tecnología se hacen acompañar por el aumento de la calidad de vida dado por el mejoramiento de la salud, el alargamiento de la duración de la existencia humana, el incremento del tiempo ligado al reforzamiento de las intenciones de ocuparlo en el desarrollo físico y espiritual, conjugado con la recreación y el tiempo libre, el surgimiento de nuevas formas de distracción, el incremento del cultivo del intelecto, la eliminación de las barreras de comunicación, el logro de desplazamientos más veloces, entre otros aspectos. Visto el asunto de tal modo, los logros científicos y tecnológicos no deben constituir un fin en sí mismo, sino un medio para promover el desarrollo humano, sobre todo equitativo. (Martínez, 2003).Ejemplos como estos demuestran que al estudiar la ciencia y la tecnología un principio básico debe ser el tener en cuenta su substancia humanista. No obstante, es preciso puntualizar algunas cuestiones:1- esperar de ellas la solución de todos los problemas es sobredimensionar su papel y sus posibilidades reales. El mundo de hoy exige la mancomunidad de todas las fuerzas humanas para explicarlo y transformarlo.2- Referir la esencia humanista de la ciencia y la tecnología no significa ignorar sus consecuencias negativas, o sea, la ruptura de dicha esencia.3- Subrayar la esencia humanista de la ciencia no significa verla pura y noble (Tarazona, 2003) para propiciar la asociación de sus malas consecuencias exclusivamente a los políticos y a los industriales. De tal modo, el enjuiciamiento moral no está dirigido a la ciencia en sí, sino a sus usos y aplicación, es decir, la tecnología. En este caso es preciso subrayar un hecho: el uso de los adelantos científicos, también de los tecnológicos, está relacionado con la sociedad y la cultura, con la política y el mercado. El destino de la ciencia no depende exclusivamente de la tecnología.No es conveniente olvidar que a pesar de la relativa independencia de la ciencia y la tecnología, su existencia no es ajena a la cultura y la sociedad, por eso sobre ellas actúan las normas y valores morales, las creencias y convicciones, los intereses

profesionales, económicos, políticos, entre otros. Cualquiera de ellos puede atentar contra la esencia humanista y romperla. (Tezanos, 2002)Sin menospreciar la influencia de otros factores, el peso de la política es destacable. La ciencia y la tecnología han devenido asunto político, pero no han tomado completamente el poder. Esta afirmación no significa que se pretenda la dirección de la sociedad exclusivamente mediante la ciencia y la tecnología, sino la concreción de una política científica, es decir, racional y apoyada en las ciencias, sobre todo las sociales, (Las ciencias sociales, la política y la crisis de los paradigmas, 1996) donde sea significativa la carga humanista.Actualmente el desarrollo científico-tecnológico es una condición indispensable para el bienestar de la humanidad y es imprescindible regularlo para evitar su empleo antihumano, sobre el cual tiene una carga considerable de influencia la separación del pensamiento y el sentimiento, escisión esta que se refleja, entre otras manifestaciones, en el modo impersonal de la escritura científica, con el cual desaparecen los actores de la investigación.Esta despersonalización incide en el pensamiento de los científicos y tecnólogos. Llegan a sentirse excluidos del proceso de investigación y de sus resultados. Su responsabilidad queda al margen y puede desaparecer totalmente. Este efecto psicológico nadie debe ignorarlo. El hecho de escribir en primera persona no representa en sí negación o disminución de la objetividad.La despersonalización es uno de los hechos que incide, directa o indirectamente, en la ruptura de la esencia humanista. Este fenómeno es resultado no sólo de acciones premeditadas, sino también de hechos imprevistos, los cuales a la larga surten el mismo efecto. Se manifiesta mediante direcciones.Direcciones de la ruptura de la esencia humanista de la ciencia y la tecnología.1- La ciencia y la tecnología como fuerzas destructorasNo es reciente el tema de los daños antropogénicos, es decir, aquellas consecuencias nefastas de la acción de los humanos, las cuales en gran medida se deben al uso indebido de los adelantos científicos y tecnológicos. Su presencia abunda en la esfera militar, donde rebasan los límites de la imaginación humana, pero fatalmente en detrimento de la humanidad, no sólo por su capacidad destructiva, demostrada en 1945 con el lanzamiento de las bombas atómicas, sino por su costo. Un ejemplo puede ser el avión B-2, cada uno cuesta más de dos mil millones de dólares. Es doloroso pensar que con ese dinero puede salvarse la vida de casi cinco millones de niños, de esos tantos que anualmente mueren por enfermedades curables. Otro ejemplo está en los 31 mil millones de dólares que dedican los Estados Unidos para las investigaciones militares y los 23 mil millones de dólares que destinan a sus agencias de información (CIA, NSA, NRO, DIA). (Ramonet, 2004)Es preciso que cada hombre y mujer tomemos conciencia de la necesidad de revertir estos efectos destructores y todos juntos lleguemos a crear una cultura de paz donde prevalezcan las investigaciones ligadas al desarrollo, dedicadas a conocer y resolver problemas sociales y naturales, así como a disminuir aquellas con fines bélicos, siempre destructivas.Fatalmente, la ciencia y la tecnología han mostrado más de una vez su capacidad de provocar daños. Ya la humanidad puede escribir una lista con sus consecuencias negativas, se deban ya sea a intenciones cargadas de avaricia, odio y misantropía o a errores de cálculo, falta de visión, ignorancia, casualidad, donde pueden estar presente lo impredecible e imprevisible.Un ejemplo, entre no pocos casos, puede ser el de los productos transgénicos. Con ellos el objetivo inicial era aumentar la cantidad de alimentos básicos y de este modo contribuir a eliminar el hambre, mas las esperanzas depositadas sobre ellos se han enfriado y crecen las preocupaciones en cuanto a sus consecuencias en la salud, el

medio ambiente y la biodiversidad. (Morales, 2003) El problema de la alimentación está sin resolver, y es más, sin atenuar.En la esfera industrial también son evidentes esos efectos negativos de los adelantos científico-tecnológicos, los cuales se producen, entre otras causas, por escapes de radiaciones debido a la imperfección en la construcción de las centrales electro-nucleares y por la creciente cantidad de desechos radio-activos, no siempre depositados de modo inocuo al medio ambiente.El desarrollo de la industria química ha producido agentes contaminantes, como el dióxido de carbono, los fosfatos, el petróleo y sus derivados, los plaguicidas, etc. (Márquez y Gómez, 1997). La extensión de la contaminación ha provocado los llamados problemas ecológicos globales: el cambio de clima, el daño a la capa de ozono, las lluvias ácidas, la desertificación, entre otros que atentan, de una u otra forma, contra la vida de los humanos.

2. Debajo de este título cabe la creciente limitación de la ciencia y la tecnología, sea con respecto a la participación en su desarrollo como actividad o en cuanto al alcance de sus beneficios. En este caso no podemos obviar las diferencias existentes entre ricos y pobres, ya sean vistas en lo geográfico o en lo antrópico.La referencia a esta dirección puede propiciar rápidamente una asociación mental con los países menos desarrollados, no obstante, las restricciones también tiene cabida en los países poderosos, donde los ingresos regulan despiadadamente el acceso al desarrollo científico-tecnológico. Un ejemplo es la medicina, diseñada para atender en correspondencia con el pago por el servicio y no por la necesidad del paciente.El limitado alcance se observa con más crudeza y frecuencia mediante la comparación entre los países de los llamados primer y tercer mundos. Una cuestión actual y que sirve para ilustrar la diferencia es la brecha digital. Estados Unidos posee alrededor del 60% de las computadoras conectadas en el mundo y 13 de los 46 nodos mundiales de innovación tecnológica identificados en el año 2000. Tokio tiene más teléfonos que toda África, por lo que en ésta son ínfimos los servicios posibles con las redes de computadoras si son comparados con los del país asiático. En el bloque de los poderosos vive el 80 % de los usuarios de Internet, en tanto que en América Latina no rebasan el 12 % y en África Subsahariana apenas llegan a un 0,4 %.( Investigación sobre ciencia, tecnología y desarrollo humano en Cuba, 2003)Mientras que en los países desarrollados la mayoría de la población piensa en elevar la calidad de la vida cuando habla de ciencia y tecnología, en los subdesarrollados es motivo de lucha para eliminar el carácter restringido y elitista del alcance de los logros científico-tecnológicos y lograr la supervivencia de un mayor número de habitantes y niveles decorosos de su existencia. En América Latina cada año muere por enfermedades curables medio millón de menores de cinco años de edad.En estas regiones son los niños y las mujeres los sectores más perjudicados a la hora de recibir estos beneficios. Pero con respecto a las mujeres es necesario destacar que ellas al mismo tiempo son las que hallan más obstáculos para acceder a los conocimientos y participar en todos los ámbitos de las actividades científicas.El limitado alcance de los adelantos científico-tecnológicos es una extensión de la desventaja de los países subdesarrollados con respecto a los desarrollados en más de un aspecto. Dentro de ellos están: 1- la economía; 2- el nivel de la cultura científica, donde incluyo el grado de los resultados de las investigaciones y su aplicación; 3- la estructura social, sobre todo respecto al capital humano integrado por científicos, investigadores, especialistas. Con

respecto a este último aspecto vale puntualizar que los países donde se concentra el 75 % de la población mundial tienen menos del 25 % de los científicos del mundo. (Lage Dávila, 2001)Un factor de extrema importancia es la economía. En sus límites se mueve la capacidad adquisitiva. Ella condiciona el acceso que uno u otro pueblo tiene a los mejores centros de estudio e investigación, así como a los adelantos científico-tecnológicos, cuyos precios están ajustados a las posibilidades de los países ricos, donde la riqueza de diez personas es mayor que la producción de cincuenta y cuatro países sumados (Galeano , 2002) Es oportuno subrayar que las dos terceras partes de la humanidad se esfuerzan por vivir con un presupuesto diario inferior a dos dólares.La ciencia y la tecnología deben estar al alcance no sólo de un número mayor de hombres y mujeres, sino de toda la humanidad y en todos los rincones del planeta, aunque deben priorizarse los sectores y regiones más pobres. Factible ha de ser el crecimiento de la universalización del método científico de pensamiento, para extender su rigor y profundidad en la observación, interpretación y organización de la vida diaria.Todo este proceso implica la ampliación del control de la sociedad no solo sobre sus consecuencias, sino también sobre sus objetivos, tareas y perspectivas. Representa redoblar la calidad humanista y creativa de la ciencia y la tecnología y dotarlas de un carácter policéntrico y democrático, (Levins, 2001) exigencia ésta contemplada en la intención de democratizar la cultura. Expandir el acceso a ellas significa aprovechar su poder de un modo más óptimo y ponerlo en beneficio de la humanidad.

3. El alcance limitado de la ciencia y la tecnología.4. La mercantilización de la ciencia y la tecnología.

En el mundo de hoy el mercado tiene un rango especial donde se conjugan el principio y el fin de la mayoría de las acciones. La ciencia y la tecnología no escapan de sus influencias. Los recursos financieros para los centros de investigación son proporcionados por las grandes empresas y las dependencias gubernamentales, por lo que sus representantes están presentes en los comités directivos de la investigación y toman decisiones sobre su organización y orientación. El científico sólo debe ocuparse de realizar el trabajo preestablecido y en condiciones preestablecidas. (Covarrubias ,1995)Como en una destacable cantidad de veces, prevalece el interés mercantilista de los sectores que financian las investigaciones, muchas de éstas, de sobresalientes beneficios a la humanidad, son abandonadas o no se les destina el financiamiento necesario, mientras que a otras se les otorgan cantidades gigantescas de recursos. En el primer caso aparece la lucha contra el SIDA, en el segundo, la carrera armamentista.La comercialización de la ciencia y la tecnología se muestra con un rostro más grave y me provoca un mayor sentimiento de repulsa cuando se trata de la salud humana. Ejemplos de esta actitud repudiable podemos hallar en las transnacionales de productos farmacéuticos. En esas empresas el motor impulsor son ganancias y no la solución de problemas. La producción de medicamentos de uso sistemático cuenta con el estímulo de no pocos patrocinadores, porque la reiteración del consumo aumenta sus dividendos. Sin embargo, no ocurre así con los productos preventivos y con los que se aplican una sola vez en la vida de una persona, a pesar de su efectividad. Con ellos las utilidades no alcanzan los niveles deseados por los empresarios.Las patentes de innovación se convierten, en las manos de las grandes compañías, en herramientas de explotación comercial. Al desarrollarse y emplearse la ciencia y la tecnología con fines comerciales aflora la competitividad como objetivo y deviene

aspecto central de muchas instituciones y empresas e incluso de la estrategia científica y tecnológica de no pocos Estados. La competencia es una vía rumbo al triunfo. Este representa la permanencia en el concurso mercantil y la elevación de las ganancias. El producto no competitivo está condenado a desaparecer, aunque pueda ser beneficioso y útil.Esa competitividad, de la que se habla como de un motor mágico que dota de movimiento ascendente a todo cuanto se gana el derecho a la vida, no es como debiera ser: en cuanto a cuál logro científico-tecnológico salva más vidas o con mayor rapidez proporciona mayor beneficio a hombres y mujeres. Con su estigma comercial mueve a planos inferiores las necesidades humanas o se desentiende de ellas porque no ofrecen rápidamente grandes ganancias.4- La deshumanización teledirigida.Desde tiempos remotos, los humanos hemos pretendido transmitir nuestros criterios y estados emocionales y conocer los de nuestro prójimo. Este proceso ha sufrido transformaciones a lo largo de su historia, como fue el desarrollo de su carácter clasista con la división de la sociedad en clases sociales y el continuo perfeccionamiento de ese intercambio mediante la creación de canales cada vez superiores. La escritura fue uno de los primeros, seguido siglos después por la imprenta, el cine, la radio y la televisión, en los cuales se han introducido los logros científico-tecnológicos que, entre otras consecuencias, han dotado de carácter masivo a sonidos e imágenes.A su vez han aumentado la calidad y rapidez de la transmisión y recepción de señales y se ha redoblado su condición de fuente permanente de formación de valores y normas, de poderosa fuerza que puede influir sobre la personalidad.Los medios de difusión masiva son utilizados para difundir diferentes contenidos, entre ellos, los políticos. Como la mayoría pertenece a sectores burgueses poderosos, son utilizados por los apologistas del capitalismo para buscar el apoyo masivo a los estereotipos de ese régimen socioeconómico, difundir el apolitismo, el desinterés por la acción en pos de cambios sociales y la esperanza de arribar a la sociedad de la felicidad sustentada en los adelantos científico-tecnológicos.Quienes tienen tales pretensiones saben que la dominación no sólo se logra con la supremacía de la fuerza, sino también con el control y dominio de las mentes y los sentimientos. El imaginario ha devenido un blanco predilecto de acciones estratégicas. Estos dominadores se esfuerzan por establecer una opresión afable. Los hombres y mujeres devienen víctimas de la seducción, (Lesgards, 1999) con ella logran que los dominados se conviertan en cómplices pasivos de un despotismo (Ramonet , 2004) que imagino con sabor y apariencia de confitura.En este sistema de acciones es evidente la manipulación mental mediante la información, de donde no queda excluida Internet. Los hombres y mujeres corren el riesgo de convertirse en un títere de una computadora. Esta, a su vez, es la cuerda manejada por un titiritero, cuyo poder puede parecer infinito.Los mensajes se organizan de forma que estimulen en el receptor aceptación o rechazo según convenga y modele su actitud. Se manipula a los receptores con el correspondiente peligro de la pérdida de su capacidad de pensar de un modo individual.Entre los medios de difusión masiva sobresale la televisión por su efectividad. En manos reaccionarias puede ser una vía considerable para vaciar la sensibilidad humana. En muchos casos deviene extraño y paradójico sedante a base de violencia e indiferencia. La deshumanización de la ciencia y la tecnología en este caso se refiere a la violación del derecho a la creatividad y originalidad. La capacidad de amar y soñar también es invadida.Esta alienación consistente en alejarse de las características genuinas, de las raíces y tronco verdaderos, de la historia de su propio pueblo, va aparejada a la creación de

un mundo virtual enlazado a las computadoras, con personajes fantásticos, cargados de características no humanas, sobrehumanas o inhumanas. Este pasatiempo contendiente de violencia o conducente a ella posee un ínfimo o nulo efecto enriquecedor espiritual humano.Los nuevos adelantos científico-tecnológicos producen a su vez otro efecto negativo sobre la esencia humana: la excesiva individualización. Temo que con ella se teja una cultura de la soledad, donde pierda espacio el cariño y la simpatía profesada a nuestros coterráneos. Sin querer y sin darse cuenta, los humanos tendemos a disminuir, y hasta perder, la felicidad cotidiana de conversar con nuestros amigos y familiares. Aparejadamente crece entre nosotros el temor de perder tiempo, cuestión que no nos preocupa tanto cuando estamos sentados a la computadora.Cualquiera de estas direcciones ha de ser motivo de preocupación. La ciencia y la tecnología son componentes de nuestra cultura y de nuestra sociedad, pero sobre todo, actúan sobre nuestras vidas y no debemos perderlas de vista. Esto es un asunto de todos los humanos.El enfoque humanista permite captar la esencia humanista de la ciencia y la tecnología y su ruptura en dependencia de varios factores: económicos, políticos, profesionales, individuales, dentro de los cuales tienen cabida los intereses, aspiraciones y hasta los trastornos mentales. Asimismo posibilita tomar conciencia de la necesidad de mantener la ciencia y la tecnología bajo mirada crítica, para que no pierda su rumbo y reconocer su inevitable democratización, como toda la cultura.Con ello subrayo la necesidad de poner al alcance de todos los hombres y mujeres la actividad científico-tecnológica y sus resultados, así como el control de sus objetivos, tareas, perspectivas, consecuencias, porque en ello va el destino no sólo de los investigadores, sino de toda la humanidad. Esto es optimizar el aprovechamiento de su poder y conservar su esencia humanista.Hoy, en medio de una creciente mundialización, nuestra mirada tiene que ampliarse y sin despreciar lo simple, hemos de desarrollar la visión compleja. No podemos menospreciar ni ignorar conscientemente ningún aspecto de la vida y mucho menos de la ciencia y la tecnología, sobre todo si entre nuestros anhelos tiene un lugar la cultura humanista.

3.b. LAS NOCIONES NUMERICASFactores internos y externos presentes en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática y de la lectoescrituraDiscalculia es un término que hace referencia a un amplio rango de problemas relacionados con el aprendizaje de las habilidades matemáticas. No existe una única forma de trastorno del aprendizaje de las matemáticas y las dificultades que se presentan varían de persona a persona y afectan de modo diferente en cada momento del ciclo vital de las personas.Las dificultades en el aprendizaje de las habilidades para realizar cálculos pueden señalar un tipo de trastorno de aprendizaje denominado Discalculia. Este trastorno supone una incapacidad para aprender a realizar operaciones aritméticas y confusiones numéricas inusuales. Esta alteración es poco conocida e infrecuente lo que suele dificultar que sea detectada por el entorno del niño. En general, la discalculia es el resultado de un retraso en el desarrollo general del niño, no una patología del cerebro.El niño o niña con dificultades específicas en el proceso del aprendizaje del cálculo va a presentar una serie de errores y dificultades que van a ser la clave para detectar el trastorno. Estos signos consisten en:

Confusión entre los signos aritméticos (confunden + por el signo –) Errores en las operaciones aritméticas Fallos en el razonamiento de la solución de problemas matemáticos Dificultades para la realización de cálculo mental Escritura incorrecta de los números Errores en la identificación de los símbolos numéricos Confusiones entre números con una forma (el 6 por el 9) o sonido semejante,

(el seis por el siete) Inversiones numéricas (69 por 96 ó 107 por 701...) Fallos en la seriación numérica como la repetición de números (en vez de

1,2,3,4,5... 1,2,2,3,4,5,5,5...) o la omisión de éstos (1,3,4,5,7,8...)Este trastorno se produce en niños con una capacidad intelectual normal, es decir, la capacidad para afrontar los aprendizajes escolares de los primeros años es la adecuada excepto para el área específica del razonamiento numérico y la capacidad aritmética. Además, las dificultades en la capacidad de cálculo no se explican por una lesión o enfermedad que el niño o niña haya sufrido sino que se trata de un Trastorno en el desarrollo del niño.Normalmente, el niño que sufre un trastorno de habilidades matemáticas suele presentar otras alteraciones del aprendizaje como la disgrafía o la dislexia, es decir, puede aparecer asociado al trastorno dificultades en su escritura y lectura.Sin la adecuada intervención, el niño o niña con discalculia puede arrastrar a lo largo de su escolarización serias dificultades aritméticas que pueden provocar su fracaso, o incluso, abandono escolar.Características de los estudiantes con discalculiaLa discalculia se caracteriza por la presencia de dificultades en:

Perceptivo-visuales Dificultades amnésicas Orientación espacial Esquema corporal Figura y longitud Distancia y tamaño

Para un tratamiento eficaz en las dificultades de las matemáticas se debe realizar un plan de tratamiento en el cual prime la estimulación del pensamiento matemático, a través del desarrollo de estrategias centrada en los siguientes aspectos:

· Lenguaje matemático · Resolución de problemas · Auto- monitorización · Memoria · Orientación en el espacio · Habilidades sociales · Conceptualización · Orientación temporal · Organización espacial

3.c. RECONOCIMIENTO DE LAS PROPIEDADES DE UN OBJETO Y DE UNA COLECCION

Fundamentos de programación Reconocimiento de Objetos y ClasesFundamentos de programación/Reconocimiento de Objetos y ClasesReconocimiento de Objetos y Clases

Objetos: Los principios de la definición de objetos ayudan a los programadores a hacer un código más robusto, mantenible y seguro; porque se pueden aislar a cada uno de esos objetos y tratarlos como un ente único, con su propia personalidad, sin que haya cientos de características que tengamos que tener presentes, tal como se hacía en la programación orientada a procedimiento. Lo cual, desde el punto de vista económico, que nunca hay que dejar de tener presente, si resulta viable, ya que los objetos bien diseñados pueden ser utilizados en diversas aplicaciones, con lo cual el tiempo de desarrollo total se reduce.

En Java, un objeto se define como una estructura que encapsula atributos (datos de configuración, propiedades) y comportamientos (procedimientos) de una entidad con un papel bien definido en una aplicación. Cada objeto tiene:- Estado: Se compone de atributos (propiedades estáticas) y valor actual (valores dinámicos)- Comportamiento: Representa cómo un objeto actúa y reacciona.- Identidad: Cada objeto es único, ningún objeto es igual a otro.

A continuación se muestran algunas de las propiedades que se pueden aplicar a los objetos, tal como se han definido:- Los objetos son cosas.- Los objetos pueden ser simples o complejos.- Los objetos pueden ser reales o imaginarios.

Casi todo puede ser considerado un objeto. El dinero, el helicóptero, una bicicleta, los perros, el coche. Los objetos representan cosas, simples o complejas, reales o imaginarias. Algunas cosas no son objetos, sino atributos, valores o características de un objeto. Es decir, no todas las cosas son objetos, ni son consideradas normalmente como objetos. Algunas de ellas son simplemente atributos de los objetos como el color, el tamaño y la velocidad. Los atributos reflejan el estado de un objeto, la velocidad del objeto “avión”, o el tamaño de un objeto edificio.Entender que es un objeto es la clave para entender cualquier lenguaje orientado a objetos.

Los objetos pueden tener partes públicas y privadas, a menudo llamadas miembros.1.- Miembros Públicos: Los miembros públicos (interfaz o métodos) de una clase describen qué es lo que pueden hacer los objetos de esa clase.2.- Miembros Privados: Describen la implementación, el cómo lo hace.

- Interacciones entre Objetos: Los objetos contribuyen al comportamiento del sistema colaborando con otros objetos. El modelado de objetos no sólo modela los objetos en un sistema, sino también sus interrelaciones. Para realizar su tarea, un objeto puede delegar trabajos en otro. Este otro puede ser parte integrante de él o ser cualquier objeto del sistema.- Intercambio de Mensajes: Los objetos interaccionan enviándose mensajes unos a otros. El método de envío de mensajes depende de la naturaleza de los objetos modelados.1.- Los objetos interaccionan por paso de mensajes.

http://es.wikibooks.org/wiki/Fundamentos_de_programaci%C3%B3n

2.- Un objeto envía un mensaje a otro.3.- El otro puede contestar, cambiar su estado, o reaccionar de la manera apropiada.4.- Los objetos sólo pueden interaccionar a través de su interfaz público.

Los Objetos de Software, al igual que los objetos del mundo real, también tienen características y comportamientos. Un objeto de Software mantiene sus características en una o más “variables”, e implementa su comportamiento con “métodos”. Un método es una función o subrutina asociada a un objeto.

Clases: En el mundo real, normalmente se tiene muchos objetos del mismo tipo. Por ejemplo: Un teléfono celular es sólo uno de los miles que hay en el mundo. Si se habla en términos de la programación orientada a objetos, se puede decir que el objeto celular de cualquier tipo es una instancia de una clase conocida como “celular”. Los celulares tienen características (marca, modelo, sistema operativo, pantalla, teclado, etc.) y comportamientos (hacer y recibir llamadas, enviar mensajes multimedia, transmisión de datos, etc.). Cuando se fabrican los celulares, los fabricantes aprovechan el hecho de que los celulares comparten características comunes y construyen modelos o plantillas comunes, para que a partir de esas se puedan crear muchos equipos celulares del mismo modelo. A ese modelo o plantilla se le llama Clase, y a los equipos que se sacan a partir de esta se le llaman objetos.Esto mismo se aplica a los objetos de Software, se puede tener muchos objetos del mismo tipo y mismas características. Por otro lado, una instancia de una clase es otra forma de llamar a un objeto. No existe diferencia entre un objeto y una instancia. Sólo que el objeto es un término más general, pero los objetos y las instancias son ambas representación de una clase.

Instancia: Es un objeto de una clase en particular.RECONOCIMIENTO DE LAS PROPIEDADES DE UN OBJETO EN EL PROCESO DE ADQUISICION DE LA NOCION DE NUMERO

Existen diferentes elementos que intervienen en el aprendizaje del cálculo, los cuales, no evolucionan en forma independiente, sino en forma simultánea. Los elementos que intervienen en el aprendizaje del cálculo son:- Vocabulario matemático- Concepto de número- Operaciones básicas- El problemaVocabulario Matemático:Como condición necesaria para iniciar un adecuado aprendizaje del cálculo, se requiere que el niño llegue a dominar palabras y expresiones específicas que se relacionan directamente con el área de las matemáticas. La adquisición del vocabulario matemático, es requisito primordial al comienzo del aprendizaje, dado que le permitiría posteriormente la comprensión de la noción de número. En forma paralela a la adquisición del lenguaje habitual, se da la incorporación de palabras expresivas específicas tales como: “más que”, “tanto como”, “la unidad”, etc.Concepto de Número:Según Piaget, tanto el pensamiento como el concepto de número, son el resultado de una construcción, en la cual intervienen por igual dos factores: uno interno, genético que comprende el natural desarrollo de las propias condiciones del pensamiento; y otro externo, derivado de las experiencias del sujeto en su interrelación con el medio; esa construcción se facilita con la manipulación de las actividades sensoriales.

La elaboración de la noción de número y de las operaciones del cálculo se llevan a cabo progresivamente desde los primeros años de vida.Las nociones que se encuentran a la base del concepto de número son:- Conservación de cantidad- Correspondencia término a término- Seriación- Clasificación (inclusión de la parte en el todo)Conservación de cantidad: Es la capacidad de percibir que una cantidad no varía, cualquiera que sean las modificaciones que se introduzcan en su configuración total; siempre que no se le agregue o quite algo.Correspondencia término a término: Es aquella noción lógica, que consiste en aparear los elementos de los conjuntos, de modo que cada par contiene exactamente un elemento de cada conjunto y cada elemento de los conjuntos está en un solo par.Seriación: Es la capacidad para establecer sistematización de los objetos de una serie, siguiendo cierto orden o secuencia, previamente establecida.Clasificación: Es la posibilidad de reunir una cantidad de elementos u objetos según una o más características en común.Operaciones Básicas- Son acciones integradas y coordinadas con otro en un sistema de conjunto.- Una acción bien definida que, cuando se aplica a cualquier combinación permitida de entidades conocidas, produce una nueva entidad.La operación al principio será concreta, posteriormente se hará una traducción simbólica.La adición es esencialmente una operación de unión. Es aquella operación matemática de composición que consiste en combinar o en su defecto añadir dos números o más para obtener una determinada cantidad final o total de algo.La sustracción, se caracteriza por su complejidad. Se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia.La multiplicación es una adición abreviada de números iguales.La división es partir en partes o conjuntos iguales. Es "compartir equitativamente".Mecanismos de las operacionesEl mecanismo de las operaciones implica espacio y orientación.En las operaciones es importante la alineación de las cifras, pues deben ir en relación con los otros. Es importante también la disposición de las cifras, principalmente en la sustracción, pues no es conmutativa.Los números se escriben de izquierda a derecha, pero las operaciones se realizan de derecha a izquierda. En la división se plantea una dificultad específica, pues en un principio debe operarse de izquierda a derecha del dividendo al divisor, para obtener el cuociente, después de derecha a izquierda para obtener el resto.La reversibilidad de las operacionesEsto significa que cada operación de unión supone de inmediato la oposición de separación y viceversa; por lo tanto es importante que se comprenda que la sustracción es inversa a la adición y que la división es inversa a la multiplicación.El ProblemaLa resolución de problemas implica enfrentarse a una situación problemática que exige el uso de todas las capacidades, conocimientos que tiene el sujeto para resolver un problema. Esto consiste en realizar en forma real o imaginaria, una operación concreta y traducirlas mediante una operación aritmética; esta transformación exige que el niño haya comprendido el enunciado y que razone sobre los datos.

3.d. ACCIONES Y OPERACIONES QUE INTERVIENEN EN EL PROCESO DE ADQUISICION DE LA NOCION DE NUMEROESTRUCTURA: Son el conjunto de respuestas que tienen lugar luego de que el sujeto de conocimiento ha adquirido ciertos elementos del exterior. Así pues, el punto central de lo que podríamos llamar la teoría de la fabricación de la inteligencia es que ésta se "construye" en la cabeza del sujeto, mediante una actividad de las estructuras que se alimentan de los esquemas de acción, o sea, de regulaciones y coordinaciones de las actividades del niño. La estructura no es más que una integración equilibrada de esquemas. Así, para que el niño pase de un estado a otro de mayor nivel en el desarrollo, tiene que emplear los esquemas que ya posee, pero en el plano de las estructuras.ORGANIZACIÓN: Es un atributo que posee la inteligencia, y está formada por las etapas de conocimientos que conducen a conductas diferentes en situaciones específicas. Para Piaget un objeto no puede ser jamás percibido ni aprendido en sí mismo sino a través de las organizaciones de las acciones del sujeto en cuestión.La función de la organización permite al sujeto conservar en sistemas coherentes los flujos de interacción con el medio.

ADAPTACIÓN: La adaptación está siempre presente a través de dos elementos básicos: la asimilación y la acomodación. El proceso de adaptación busca en algún momento la estabilidad y, en otros, el cambio.

En si, la adaptación es un atributo de la inteligencia, que es adquirida por la asimilación mediante la cual se adquiere nueva información y también por la acomodación mediante la cual se ajustan a esa nueva información.La función de adaptación le permite al sujeto aproximarse y lograr un ajuste dinámico con el medio.La adaptación y organización son funciones fundamentales que intervienen y son constantes en el proceso de desarrollo cognitivo, ambos son elementos indisociables.

ASIMILACIÓN: La asimilación se refiere al modo en que un organismo se enfrenta a un estímulo del entorno en términos de organización actual. "La asimilación mental consiste en la incorporación de los objetos dentro de los esquemas de comportamiento, esquemas que no son otra cosa sino el armazón de acciones que el hombre puede reproducir activamente en la realidad" (Piaget, 1.948).

De manera global se puede decir que la asimilación es el hecho de que el organismo adopte las sustancias tomadas del medio ambiente a sus propias estructuras. Incorporación de los datos de la experiencia en las estructuras innatas del sujeto.

ACOMODACIÓN: La acomodación implica una modificación de la organización actual en respuesta a las demandas del medio. Es el proceso mediante el cual el sujeto se ajusta a las condiciones externas. La acomodación no sólo aparece como necesidad de someterse al medio, sino se hace necesaria también para poder coordinar los diversos esquemas de asimilación.

EQUILIBRIO: Es la unidad de organización en el sujeto cognoscente. Son los denominados "ladrillos" de toda la construcción del sistema intelectual o cognitivo, regulan las interacciones del sujeto con la realidad, ya que a su vez sirven como marcos asimiladores mediante los cuales la nueva información es incorporada en la persona.

El desarrollo cognoscitivo comienza cuando el niño va realizando un equilibrio interno entre la acomodación y el medio que lo rodea y la asimilación de esta misma realidad a sus estructuras. Es decir, el niño al irse relacionando con su medio ambiente, irá incorporando las experiencias a su propia actividad y las reajusta con las experiencias obtenidas; para que este proceso se lleve a cabo debe de presentarse

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http://www.monografias.com/trabajos/epistemologia2/epistemologia2.shtml

el mecanismo del equilibrio, el cual es el balance que surge entre el medio externo y las estructuras internas de pensamiento.Proceso de Equilibración:PERÍODO ESTADIO EDAD

Etapa SensoriomotoraLa conducta del niño es esencialmente motora, no hay representación interna de los acontecimientos externos, ni piensa mediante conceptos.

Estadio de los mecanismos reflejos congénitos.

Estadio de las reacciones circulares primarias

Estadio de las reacciones circulares secundarias

Estadio de la coordinación de los esquemas de conducta previos.

Estadio de los nuevos descubrimientos por experimentación.

Estadio de las nuevas representaciones mentales.

0 - 1mes1 - 4meses4 - 8meses8 - 12meses12 - 18 meses18-24 meses

Etapa PreoperacionalEs la etapa del pensamiento y la del lenguaje que gradua su capacidad de pensar simbólicamente, imita objetos de conducta, juegos simbólicos, dibujos, imágenes mentales y el desarrollo del lenguaje hablado.

Estadio preconceptual. Estadio intuitivo.

2-4 años4-7 años

Etapa de las Operaciones ConcretasLos procesos de razonamiento se vuelen lógicos y pueden aplicarse a problemas concretos o reales. En el aspecto social, el niño ahora se convierte en un ser verdaderamente social y en esta etapa aparecen los esquemas lógicos de seriación, ordenamiento mental de conjuntos y clasificación de los conceptos de casualidad, espacio, tiempo y velocidad.

7-11 años

Etapa de las Operaciones FormalesEn esta etapa el adolescente logra la abstracción sobre conocimientos concretos observados que le permiten emplear el razonamiento lógico inductivo y deductivo. Desarrolla sentimientos idealistas y se logra formación continua de la personalidad, hay un mayor desarrollo de los conceptos morales.

11 años en adelante

Aunque asimilación y acomodación son funciones invariantes en el sentido de estar presentes a lo largo de todo el proceso evolutivo, la relación entre ellas es cambiante de modo que la evolución intelectual es la evolución de esta relación asimilación / acomodación.Para PIAGET el proceso de equilibración entre asimilación y acomodación se establece en tres niveles sucesivamente más complejos:1. El equilibrio se establece entre los esquemas del sujeto y los acontecimientos externos.2. El equilibrio se establece entre los propios esquemas del sujeto.3. El equilibrio se traduce en una integración jerárquica de esquemas diferenciados.Teoría cognitiva

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División del Desarrollo Cognitivo:La teoría de PIAGET descubre los estadios de desarrollo cognitivo desde la infancia a la adolescencia: cómo las estructuras psicológicas se desarrollan a partir de los reflejos innatos, se organizan durante la infancia en esquemas de conducta, se internalizan durante el segundo año de vida como modelos de pensamiento, y se desarrollan durante la infancia y la adolescencia en complejas estructuras intelectuales que caracterizan la vida adulta. PIAGET divide el desarrollo cognitivo en cuatro periodos importantes:Tipos de Conocimientos:Piaget distingue tres tipos de conocimiento que el sujeto puede poseer, éstos son los siguientes: físico, lógico-matemático y social.El conocimiento físico es el que pertenece a los objetos del mundo natural; se refiere básicamente al que está incorporado por abstracción empírica, en los objetos. La fuente de este razonamiento está en los objetos (por ejemplo la dureza de un cuerpo, el peso, la rugosidad, el sonido que produce, el sabor, la longitud, etcétera). Este conocimiento es el que adquiere el niño a través de la manipulación de los objetos que le rodean y que forman parte de su interacción con el medio. Ejemplo de ello, es cuando el niño manipula los objetos que se encuentran en el aula y los diferencia por textura, color, peso, etc.Es la abstracción que el niño hace de las características de los objetos en la realidad externa a través del proceso de observación: color, forma, tamaño, peso y la única forma que tiene el niño para descubrir esas propiedades es actuando sobre ellos físico y mentalmente.El conocimiento físico es el tipo de conocimiento referido a los objetos, las personas, el ambiente que rodea al niño, tiene su origen en lo externo. En otras palabras, la fuente del conocimiento físico son los objetos del mundo externo, ejemplo: una pelota, el carro, el tren, el tetero, etc.El conocimiento lógico-matemático es el que no existe por si mismo en la realidad (en los objetos). La fuente de este razonamiento está en el sujeto y éste la construye por abstracción reflexiva. De hecho se deriva de la coordinación de las acciones que realiza el sujeto con los objetos. El ejemplo más típico es el número, si nosotros vemos tres objetos frente a nosotros en ningún lado vemos el "tres", éste es más bien producto de una abstracción de las coordinaciones de acciones que el sujeto ha realizado, cuando se ha enfrentado a situaciones donde se encuentren tres objetos. El conocimiento lógico-matemático es el que construye el niño al relacionar las experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos. Por ejemplo, el niño diferencia entre un objeto de textura áspera con uno de textura lisa y establece que son diferentes. El conocimiento lógico-matemático "surge de una abstracción reflexiva", ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los objetos, desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, teniendo como particularidad que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de su acción sobre los mismos. De allí que este conocimiento posea características propias que lo diferencian de otros conocimientos.Las operaciones lógico matemáticas, antes de ser una actitud puramente intelectual, requiere en el preescolar la construcción de estructuras internas y del manejo de ciertas nociones que son, ante todo, producto de la acción y relación del niño con objetos y sujetos y que a partir de una reflexión le permiten adquirir las nociones fundamentales de clasificación, seriación y la noción de número. El adulto que acompaña al niño en su proceso de aprendizaje debe planificar didáctica de procesos que le permitan interaccionar con objetos reales, que sean su realidad: personas, juguetes, ropa, animales, plantas, etc.

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El pensamiento lógico matemático comprende: Clasificación: constituye una serie de relaciones mentales en función de las

cuales los objetos se reúnen por semejanzas, se separan por diferencias, se define la pertenencia del objeto a una clase y se incluyen en ella subclases. En conclusión las relaciones que se establecen son las semejanzas, diferencias, pertenencias (relación entre un elemento y la clase a la que pertenece) e inclusiones (relación entre una subclases y la clase de la que forma parte). La clasificación en el niño pasa por varias etapas:

Alineamiento: de una sola dimensión, continuos o discontinuos. Los elementos que escoge son heterogéneos.

Objetos Colectivos: colecciones de dos o tres dimensiones, formadas por

elementos semejantes y que constituyen una unidad geométrica.

Objetos Complejos: Iguales caracteres de la colectiva, pero con elementos heterogéneos. De variedades: formas geométricas y figuras representativas de la realidad.

Colección no Figural: posee dos momentos. Forma colecciones de parejas y tríos: al comienzo de esta sub-etapa el niño

todavía mantiene la alternancia de criterios, más adelante mantiene un criterio fijo.

Segundo momento: se forman agrupaciones que abarcan más y que pueden a su vez, dividirse en sub-colecciones.

Seriación: Es una operación lógica que a partir de un sistemas de referencias, permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus diferencias, ya sea en forma decreciente o creciente. Posee las siguientes propiedades:

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http://www.monografias.com/trabajos901/debate-multicultural-etnia-clase-nacion/debate-multicultural-etnia-clase-nacion.shtml

Transitividad: Consiste en poder establecer deductivamente la relación existente entre dos elementos que no han sido comparadas efectivamente a partir de otras relaciones que si han sido establecidas perceptivamente.

Reversibilidad: Es la posibilidad de concebir simultáneamente dos relaciones inversas, es decir, considerar a cada elemento como mayor que los siguientes y menor que los anteriores.

La seriación pasa por las siguientes etapas: Primera etapa: Parejas y Tríos (formar parejas de elementos, colocando uno

pequeño y el otro grande) y Escaleras y Techo (el niño construye una escalera, centrándose en el extremo superior y descuidando la línea de base).

Segunda etapa: Serie por ensayo y error (el niño logra la serie, con dificultad para ordenarlas completamente).

Tercera etapa: el niño realiza la seriación sistemática. Número: es un concepto lógico de naturaleza distinta al conocimiento físico o

social, ya que no se extraer directamente de las propiedades física de los objetos ni de las convenciones sáciela, sino que se construye a través de un proceso de abstracción reflexiva de las relaciones entre los conjuntos que expresan número. Según Piaget, la formación del concepto de número es el resultado de las operaciones lógicas como la clasificación y la seriación; por ejemplo, cuando agrupamos determinado número de objetos o lo ordenamos en serie. Las operaciones mentales sólo pueden tener lugar cuando se logra la noción de la conservación, de la cantidad y la equivalencia, término a término. Consta de las siguientes etapas:

Primera etapa: (5 años): sin conservación de la cantidad, ausencia de correspondencia término a término.

Segunda etapa (5 a 6 años): Establecimiento de la correspondencia término a término pero sin equivalencia durable.

Tercera etapa: conservación del número.El conocimiento social, puede ser dividido en convencional y no convencional. El social convencional, es producto del consenso de un grupo social y la fuente de éste conocimiento está en los otros (amigos, padres, maestros, etc.). Algunos ejemplos serían: que los domingos no se va a la escuela, que no hay que hacer ruido en un examen, etc. El conocimiento social no convencional, sería aquel referido a nociones o representaciones sociales y que es construido y apropiado por el sujeto. Ejemplos de este tipo serían: noción de rico-pobre, noción de ganancia, noción de trabajo, representación de autoridad, etc.El conocimiento social es un conocimiento arbitrario, basado en el consenso social. Es el conocimiento que adquiere el niño al relacionarse con otros niños o con el docente en su relación niño-niño y niño-adulto. Este conocimiento se logra al fomentar la interacción grupal.Los tres tipos de conocimiento interactúan entre, sí y según Piaget, el lógico-matemático (armazones del sistema cognitivo: estructuras y esquemas) juega un papel preponderante en tanto que sin él los conocimientos físico y social no se podrían incorporar o asimilar. Finalmente hay que señalar que, de acuerdo con Piaget, el razonamiento lógico-matemático no puede ser enseñado.Se puede concluir que a medida que el niño tiene contacto con los objetos del medio (conocimiento físico) y comparte sus experiencias con otras personas (conocimiento social), mejor será la estructuración del conocimiento lógico-matemático.Como se logra el desarrollo cognitivoNingún conocimiento es una copia de lo real, porque incluye, forzosamente, un proceso de asimilación a estructuras anteriores; es decir, una integración de estructuras previas. De esta forma, la asimilación maneja dos elementos: lo que se

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acaba de conocer y lo que significa dentro del contexto del ser humano que lo aprendió. Por esta razón, conocer no es copiar lo real, sino actuar en la realidad y transformarla.La lógica, por ejemplo, no es simplemente un sistema de notaciones inherentes al lenguaje, sino que consiste en un sistema de operaciones como clasificar, seriar, poner en correspondencia, etc. Es decir, se pone en acción la teoría asimilada. Conocer un objeto, para Piaget, implica incorporarlo a los sistemas de acción y esto es válido tanto para conductas sensorio motrices hasta combinaciones lógicas-matemáticas.Los esquemas más básicos que se asimilan son reflejos o instintos, en otras palabras, información hereditaria. A partir de nuestra conformación genética respondemos al medio en el que estamos inscritos; pero a medida que se incrementan los estímulos y conocimientos, ampliamos nuestra capacidad de respuesta; ya que asimilamos nuevas experiencias que influyen en nuestra percepción y forma de responder al entorno.Las conductas adquiridas llevan consigo procesos auto-reguladores, que nos indican cómo debemos percibirlas y aplicarlas. El conjunto de las operaciones del pensamiento, en especial las operaciones lógico-matemáticas, son un vasto sistema auto-regulador, que garantiza al pensamiento su autonomía y coherencia.La regulación se divide, según las ideas de Piaget en dos niveles:

a. Regulaciones orgánicas, que tienen que ver con las hormonas, ciclos, metabolismo, información genética y sistema nervioso.

b. Regulaciones cognitivas, tienen su origen en los conocimientos adquiridos previamente por los individuos.

De manera general se puede decir que el desarrollo cognitivo ocurre con la reorganización de las estructuras cognitivas como consecuencia de procesos adaptativos al medio, a partir de la asimilación de experiencias y acomodación de las mismas de acuerdo con el equipaje previo de las estructuras cognitivas de los aprendices. Si la experiencia física o social entra en conflicto con los conocimientos previos, las estructuras cognitivas se reacomodan para incorporar la nueva experiencia y es lo que se considera como aprendizaje. El contenido del aprendizaje se organiza en esquemas de conocimiento que presentan diferentes niveles de complejidad. La experiencia escolar, por tanto, debe promover el conflicto cognitivo en el aprendiz mediante diferentes actividades, tales como las preguntas desafiantes de su saber previo, las situaciones desestabilizadoras, las propuestas o proyectos retadores, etc.La teoría de Piaget ha sido denominada epistemología genética porque estudió el origen y desarrollo de las capacidades cognitivas desde su base orgánica, biológica, genética, encontrando que cada individuo se desarrolla a su propio ritmo. Describe el curso del desarrollo cognitivo desde la fase del recién nacido, donde predominan los mecanismos reflejos, hasta la etapa adulta caracterizada por procesos conscientes de comportamiento regulado. En el desarrollo genético del individuo se identifican y diferencian periodos del desarrollo intelectual, tales como el periodo sensorio-motriz, el de operaciones concretas y el de las operaciones formales. Piaget considera el pensamiento y la inteligencia como procesos cognitivos que tienen su base en un substrato orgánico-biológico determinado que va desarrollándose en forma paralela con la maduración y el crecimiento biológico.En la base de este proceso se encuentran dos funciones denominadas asimilación y acomodación, que son básicas para la adaptación del organismo a su ambiente. Esta adaptación se entiende como un esfuerzo cognoscitivo del individuo para encontrar un equilibrio entre él mismo y su ambiente. Mediante la asimilación el organismo incorpora información al interior de las estructuras cognitivas a fin de ajustar mejor el conocimiento previo que posee. Es decir, el individuo adapta el ambiente a sí

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mismo y lo utiliza según lo concibe. La segunda parte de la adaptación que se denomina acomodación, como ajuste del organismo a las circunstancias exigentes, es un comportamiento inteligente que necesita incorporar la experiencia de las acciones para lograr su cabal desarrollo.Estos mecanismos de asimilación y acomodación conforman unidades de estructuras cognoscitivas que Piaget denomina esquemas. Estos esquemas son representaciones interiorizadas de cierta clase de acciones o ejecuciones, como cuando se realiza algo mentalmente sin realizar la acción. Puede decirse que el esquema constituye un plan cognoscitivo que establece la secuencia de pasos que conducen a la solución de un problema.Para Piaget el desarrollo cognitivo se desarrolla de dos formas: la primera, la más amplia, corresponde al propio desarrollo cognitivo, como un proceso adaptativo de asimilación y acomodación, el cual incluye maduración biológica, experiencia, transmisión social y equilibrio cognitivo. La segunda forma de desarrollo cognitivo se limita a la adquisición de nuevas respuestas para situaciones específicas o a la adquisición de nuevas estructuras para determinadas operaciones mentales especificas.En el caso del aula de clases Piaget considera que los factores motivacionales de la situación del desarrollo cognitivo son inherentes al estudiante y no son, por lo tanto, manipulables directamente por el profesor. La motivación del estudiante se deriva de la existencia de un desequilibrio conceptual y de la necesidad del estudiante de restablecer su equilibrio. La enseñanza debe ser planeada para permitir que el estudiante manipule los objetos de su ambiente, transformándolos, encontrándoles sentido, disociándolos, introduciéndoles variaciones en sus diversos aspectos, hasta estar en condiciones de hacer inferencias lógicas y desarrollar nuevos esquemas y nuevas estructuras mentales.El desarrollo cognitivo, en resumen, ocurre a partir de la reestructuración de las estructuras cognitivas internas del aprendiz, de sus esquemas y estructuras mentales, de tal forma que al final de un proceso de aprendizaje deben aparecer nuevos esquemas y estructuras como una nueva forma de equilibrio.ConclusionesEn la elaboración de este trabajo investigativo se han podido llegar a conocer aspectos de gran interés acerca de las teorías de Jean Piaget. Para nosotras como futuras docentes, el tema es de gran ayuda ya que nos permitió entender como funciona el desarrollo cognitivo de los seres humanos, en sus diversas etapas de aprendizaje.Se trataron aspectos tales como los conceptos básicos de las teorías de Piaget, fundamentales para lograr el conocimiento y entendimiento para la aplicación de sus teorías.En relación a la teoría cognitiva de Piaget, se explicó de manera sencilla y ejemplificada cual es la división del desarrollo cognitivo, cuales son los tipos de conocimientos que se desarrollan en los niños y como se puede lograr el desarrollo cognitivo de manera óptima. Toda la teoría cognitiva se explica con la aplicabilidad de los conceptos básicos de la teoría, y mediante ejemplos sencillos se puede entender de manera práctica cual es la posible aplicabilidad de la misma.

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3.e. LA PRESENCIA DE LOS NUMEROS EN LAS ACTIVIDADES COTIDIANAS DE LOS NIÑOS

"Los niños..." Hablar de los niños y los números es abrir el diálogo a un universo amplio, profundo y tan lleno de variaciones y detalles como niños hay. Si bien nuestro propósito a largo plazo es tratar de abrazar ese universo, tenemos claro que para lograrlo debemos comenzar por acotar, delimitar en la medida de lo posible y conocer seriamente cada uno de los aspectos que lo integran.Corresponde, en primer lugar, hacer una aclaración que tiene que ver con el título de este texto. Al hablar de "los niños", nos referimos, por supuesto, a las niñas y los niños, apelando al correcto uso del sustantivo masculino plural que incluye en su designación a seres de uno y otro sexo, y apegándonos a la ley de la economía del lenguaje que facilita la expresión y agiliza la lectura.1De cero en adelanteUna primera delimitación de este universo y tema de esta entrega puede ser: ¿a cuáles niños estamos haciendo referencia, de qué edad? La respuesta es contundente y puede sorprendernos: a niños de cero años en adelante. Aclaremos lo anterior.

Efectivamente, el niño entra en contacto con las matemáticas desde que nace, puesto que el lenguaje cotidiano en el que está inmerso expresa -dependiendo, en mayor o menor grado, de la cultura y el medio social al que pertenece- gran cantidad y variedad de nociones matemáticas. Las palabras que las expresan se van adquiriendo conjuntamente con el resto de la lengua sin

que exista, la mayoría de las veces, conciencia de ello por parte de los adultos que rodean al niño en distintos momentos de su vida: los padres, los familiares, los educadores. No es poco frecuente la creencia de que el primer contacto del niño con las matemáticas, y en particular con los números, tiene lugar en el jardín de niños; sin embargo, se trata de un gran equívoco que puede llevar a que la escuela no sólo desaproveche el bagaje matemático con el que llegan los menores, sino que incluso lo ignore totalmente (tal situación ha sido provocada, en parte, por la gran influencia de las ideas de Piaget en relación a las llamadas "actividades prenuméricas", de lo cual nos ocuparemos en otro artículo).Detengámonos por un momento a pensar cuáles son esas palabras que denotan nociones matemáticas y hagamos una lista de ellas. Pensemos, asimismo, el contexto en el que las empleamos. Esta actividad nos ayudará a ver cómo las matemáticas no son algo ajeno al entorno familiar y social cotidiano del niño, ni algo que comienza cuando éste empieza a ir a la escuela. Por el contrario, desde pequeño se encuentra colocado en gran cantidad de situaciones matemáticas que son expresadas con un determinado lenguaje: el niño oye, y más adelante habla de números, tiempos, espacios, distancias, formas, pesos, tamaños., y en sus juegos compara, agrupa, separa, ordena, mide y resuelve pequeños problemas de suma, resta, reparto, etcétera.Lejos de ignorar esta riqueza, la escuela debe no sólo aprovecharla, sino promoverla en los hogares. Cada vez es más claro que la educación no es una cuestión exclusivamente escolar sino social, que maestros, padres y alumnos deben trabajar conjuntamente. El aspecto de la adquisición de las primeras nociones matemáticas resulta un terreno ideal para esta colaboración. Como educadores, podemos informar y orientar a los padres respecto al importantísimo papel que el entorno familiar juega en el desarrollo de dichas nociones en el inicio del proceso que llamamos numerización temprana.

Los niños aprenden a decir cuántos años tienen y a mostrarlo con los dedos desde temprana edad. .

NumerizaciónEn la literatura anglosajona sobre la enseñanza de la matemática elemental se ha introducido el uso de la palabra numeracy, un neologismo resultante de la contracción de las palabras: number (número) y literacy (capacidad de leer y escribir, alfabetización), que se ha traducido -en nuestra opinión, sin acierto- como "alfabetización numérica" o "competencia numérica". Durante el trabajo de traducción de algunos textos en inglés relativos al tema analizamos las ventajas de poseer un término análogo en español que no fuera tan confuso como las traducciones mencionadas. Entre varias propuestas, elegimos el neologismo numerización, formado por la contracción de las palabras: 'número' y 'alfabetización', propuesto por el doctor Roberto Markarian.

Numerización tempranaEl adjetivo hace referencia no sólo a la edad de los niños, que en este caso va aproximadamente de 0 a 6 años, sino también a las primeras nociones matemáticas, como el inicio de la clasificación y ordenación, el conteo, la identificación, el reconocimiento de cifras y pequeños cálculos mentales de suma y resta.

La familia y las primeras nociones matemáticas Las investigaciones de las últimas tres décadas muestran que los niños llegan a preescolar con grandes diferencias entre sí. Desde pequeños puede haber una brecha entre ellos: los que en su hogar han sido muy estimulados hacia el conteo y otras nociones matemáticas, y los que no. Pensemos, a manera de ejemplo, en un niño que entra a la escuela sabiendo la secuencia numérica oral hasta 10 y otro que no; o en el niño que es capaz de coordinar cada elemento contado con una palabra numérica y el que todavía omite objetos o cuenta uno de ellos dos o más veces.Los estudios muestran que si esta diferencia entre unos y otros no es salvada en los primeros años de escolarización, tenderá a hacerse más profunda a medida que los niños avanzan en los grados escolares; y, debemos decirlo, no es un problema de fácil solución en el contexto del trabajo en el aula. De ahí que, para contribuir a que la brecha de conocimiento entre los niños sea lo más pequeña posible, debemos insistir en hablar con los padres de familia acerca de la importancia de estimular a sus hijos mediante juegos.Hay muchas actividades que los maestros podemos sugerir a los padres de familia, pero es importante que éstas vayan acompañadas, en la medida de lo posible, de cierta fundamentación teórica que explique por qué se propone y qué se pretende lograr con ellas, aunque esto sólo sea el acercamiento o la introducción del niño a una noción, misma que se adquirirá mucho después y luego de repetir y variar la actividad en diversas ocasiones. Las actividades sugeridas en este primer artículo están, pues, dirigidas a los docentes y a los padres de familia. Se trata de una propuesta de acercamiento de maestros y padres para que los primeros orienten a los segundos en cómo ayudar a la numerización temprana de sus hijos.

Dado que estas actividades también son útiles para el salón de clases, en las páginas centrales de la revista incluimos material didáctico que el maestro podrá usar para exponer en un periódico mural.

Actividad 1. Los números detrás de las palabrasPropósito de la actividad: Reflexionar sobre la presencia de las matemáticas en el entorno social cotidiano del niño.

Orientación teórica: Se sugiere al maestro que, a partir de lo señalado en este artículo, explique a los padres de familia la importancia de estimular al niño acercándole propuestas de actividades que impliquen nociones matemáticas.Descripción: En la primera reunión con los padres de familia, se sugiere elaborar en forma conjunta una lista de objetos en los que aparecen números y formas geométricas fáciles de reconocer para el niño, y palabras, expresiones y situaciones que denoten alguna noción matemática. Esta lista puede ser escrita en el pizarrón, en hojas blancas, en rotafolios, etc. Los padres se pueden reunir en equipos para elaborarla (en los recuadros al margen hemos incluido una posible lista que, por supuesto, puede crecer con la colaboración de padres y maestros). Una vez elaborada la lista, se sugiere la discusión en grupo con todas las aportaciones.

Actividad 2.Contar, contar, contar.Propósito de la actividad: Orientar a los padres de familia en cómo ayudar a sus hijos a desarrollar el conteo.Orientación teórica: Uno de los aspectos importantes que los padres pueden hacer en casa cuando los niños son muy pequeños es enseñar la serie numérica oral. Pero es importante aclarar a los padres que saber la secuencia numérica oral ("uno, dos, tres. diez") no es saber contar. Para que un niño sepa contar es imprescindible que progresivamente adquiera y afirme los siguientes principios, conocidos como Principios de Gelman y Gallister:

a ) Saber que la acción de contar se puede aplicar a cualquier grupo de objetos, sean idénticos o no; lo importante es que pertenezcan a la misma colección cuyos elementos se desean contar.b ) Decir los números en orden, sin omitir ni repetir alguno.c ) Establecer la correspondencia entre la palabra numérica y el objeto que cuenta. Debemos hacer que por cada número que el niño cuente, al mismo tiempo señale con su dedo, uno a uno, los elementos que está contando. El adulto debe observar que no omita ninguno y que no cuente dos veces el mismo.d ) El niño debe darse cuenta de que no importa el orden en que los elementos o personajes son contados, éstos pueden estar desordenados (si bien para los niños muy pequeños es aconsejable que estén en fila).e ) Es muy importante que el niño sepa que el último número enunciado se refiere al conjunto, es decir, al total de la colección. Si contó "uno, dos, tres, cuatro, cinco" el "cinco" es el que indica cuántos hay en total. Por tanto, recomendamos que una vez que el niño termine de contar la cantidad de objetos, se le pregunte: "¿cuántos hay?" o "¿cuántos son?"

Descripción: ¿Qué haremos en casa para iniciar al niño en el aprendizaje de la serie numérica oral? Aprovecharemos, a modo de juego, todas las situaciones en que sea posible contar: pasos, escalones, palmadas, juguetes, libros, personajes en ilustraciones o fotografías, frijoles, recipientes de plástico, dedos.2 La consigna es pues: contar, contar, contar.

1 De acuerdo con la Real Academia Española: "En los sustantivos que designan seres animados, el masculino gramatical no solo se emplea para referirse a los individuos de sexo masculino, sino también para designar la clase, esto es, a todos los individuos de la especie, sin distinción de sexos [.]. Consecuentemente, los nombres apelativos masculinos, cuando se emplean en plural, pueden incluir en su designación a seres de uno y otro sexo [.]. Así, con la expresión los alumnos podemos referirnos a un colectivo formado exclusivamente por alumnos varones, pero también a un colectivo mixto, formado por chicos y chicas. A pesar de ello, en los últimos tiempos, por razones de corrección política, que no de corrección lingüística, se está extendiendo la costumbre de hacer explícita en estos casos la alusión a ambos sexos [.]. Se olvida que en la lengua está prevista la posibilidad de referirse a colectivos mixtos a través del género gramatical masculino, posibilidad en la que no debe verse intención discriminatoria alguna, sino la aplicación de la ley lingüística de la economía expresiva [.]. Por otra parte, el afán por evitar esa supuesta discriminación lingüística, unido al deseo de mitigar la pesadez en la expresión provocada por tales repeticiones, ha suscitado la creación de soluciones artificiosas que contravienen las normas de la gramática: las y los ciudadanos".

3.f. LAS PRIMERAS APROXIMACIONES A LAS OPERACIONES FUNDAMENTALESBloque I. Los niños y la adquisición de nociones matemáticas básicas

Temas

1. Los conocimientos y las habilidades matemáticas de los niños al ingresar al jardín, su carácter informal y su importancia en la elaboración de nuevos conocimientos.

2. Los procesos que siguen los niños para adquirir las nociones matemáticas básicas.

a) Número.Las nociones numéricas. Reconocimiento de las propiedades de un objeto y de una colección. Acciones y operaciones que intervienen en el proceso de adquisición de la noción de número (comparar, igualar, reunir, agregar, quitar).

La presencia de los números en las actividades cotidianas de los niños. Expresiones y acciones que implican el uso del número: denominación, reconocimiento de cantidades, correspondencia término a término.

El conteo, sus principios básicos y las relaciones con otras nociones matemáticas. Las primeras aproximaciones a las operaciones fundamentales. Las formas de representación numérica de los niños.

b) Espacio y geometría.La percepción de relaciones espaciales en los niños. La exploración del espacio, la ubicación de objetos, la orientación, la organización del espacio.

La percepción geométrica. El reconocimiento de formas y figuras en el entorno. Las formas de representación del espacio y las explicaciones que elaboran los niños.

c) Medida.La noción de medida en las actividades infantiles. Las ideas iniciales de los niños sobre las dimensiones. La comparación a través de la percepción, el desplazamiento y la conservación. La exploración de distintas magnitudes (longitud, peso, capacidad y duración). La expresión de la noción de medida en las ideas y acciones de los niños.

El uso funcional de unidades no convencionales de medida. Aproximaciones a la comprensión de unidades convencionales.

Bloque II. El desarrollo del pensamiento matemático y la intervención educativa en el jardín de niños Temas:1. Las situaciones didácticas, sus componentes y características para crear un ambiente que favorezca el desarrollo del pensamiento matemático en los niños.

a) Los problemas matemáticos. Tipos de problemas que pueden plantearse a los niños; conocimientos, habilidades y actitudes que se ponen en juego al resolverlos (observación, comprensión, atención, reflexión, predicción y expresión de ideas).b) Los recursos didácticos. El aprovechamiento educativo de los materiales del entorno y de materiales ya elaborados.

c) Tipos de actividades que contribuyen al desarrollo del pensamiento matemático de los niños. Las actividades espontáneas de los niños (el juego libre, la exploración del entorno). Las actividades estructuradas (armar rompecabezas, construir cuerpos o

figuras, actuar con objetos contables y medibles). Los juegos con intención didáctica: retos que implican, y conocimientos y actitudes que promueven en los niños.

d) Diseño de situaciones didácticas que promueven el pensamiento matemático de los niños.

2. Actitudes de la educadora que favorecen la creación de oportunidades para el diálogo, la revisión colectiva de procedimientos y resultados, y la elaboración de explicaciones por parte de los niños. El aprovechamiento didáctico del error. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Aportes a la reflexión Productos escritos Planificaciones y Fichero de actividades Examen escrito Asistencia Ortografía

3.g. DIFERENTES FORMAS DE REPRESENTACION NUMERICA DE NIÑOS Y NIÑAS

Diferentes formas de Representaciones de grupos de objetos por los niños pequeños: la relación entre abstracción y representación1

Yasuhiko Kato, Chugoku Junior College, Okayama, JapanConstance Kamii, University of Alabama at BirminghamKyoko Ozaki, Tomiyama Child Care Center, Okayama, JapanMariko Nagahiro, Chugoku Junior College, Okayama, Japan

Se entrevistó individualmente a sesenta niños japoneses cuyas edades fluctuaban entre los 3 años 4 meses y los 7 años 5 meses a fin de investigar la relación entre sus niveles de abstracción (evaluada a través de una tarea que involucraba conservación de número) y sus niveles de representación, (evaluada mediante una actividad en la que se les solicitaba representar gráficamente pequeños conjuntos de objetos). La investigación concluyó que la abstracción y la representación están estrechamente relacionadas, y que los niños pueden llevar a cabo representaciones al nivel o por debajo de su posibilidad de abstracción, pero no por encima de este nivel. La implicación educativa es que los educadores necesitan enfocarse mayormente sobre las relaciones mentales que los niños llevan a cabo (es decir, su abstracción) ya que el significado que los niños pueden dar a los símbolos convencionales depende de su nivel de abstracción.Palabras clave: Abstracción; Desarrollo cognitivo, Constructivismo; Niñez temprana; Preescolar/primaria; Piaget; Representación

Usualmente, el verbo representar se emplea en matemáticas de la siguiente manera: "En las matemáticas de la escuela elemental hay dos tipos de símbolos escritos:

11) Original en inglés: Young Children's Representations of Groups of Objets: The Relationship Between Abstraction and Representation. Journal for Research in Mathematics Education 2002, Vol.33, No. 1, 30-45. Traducido por el equipo del Proyecto de desarrollo “El sentido de la educación matemática en el nivel preescolar”. Maestría en Educación, Especialidad Matemáticas, Departamento de Matemática Educativa CINVESTAV-IPN, Junio 2006.

http://pensamientomat.blogspot.com/2008/01/criterios-de-evaluacin.html

aquellos que representan cantidades (por ejemplo 2, 3, 1/2, 1.6) y aquellos que representan acciones u operaciones sobre cantidades (por ejemplo +, -)" (Hiebert, 1988, p. 336). Del mismo modo, los bloques base 10 se utilizan para representar el sistema base 10, y Furth (1981) nos da otro ejemplo "La letra X representa a aquellos niños de la ciudad que están entre los 6 y los 10 años de edad". Sin embargo, para Piaget (1945/1962) la representación no es lo que los símbolos hacen. Las personas representan, los símbolos no. Un niño que ve el numeral 8 puede representarse mentalmente la idea de "ocho" si ya ha construido tal idea. Un niño que aún no la ha construido no puede representársela cuando se le muestra dicho numeral.Los niños también representan haciendo dibujos o escribiendo numerales. Para estudiar cómo representan gráficamente pequeños grupos de objetos, Sinclair, Siegrist y Sinclair (1983) entrevistaron individualmente a niños de 4, 5 y 6 años de edad, en Ginebra, Suiza, en un jardín de niños y un centro de cuidado infantil en los que no se daba instrucción académica formal. Eran un total de 45 niños, 15 en cada grupo de edad. Durante las entrevistas se les presentaban por lo menos ocho objetos idénticos, tales como lápices, pelotitas de goma o cochecitos de juguete. Una sesión típica consistía en proporcionar lápiz y papel al niño, mostrarle, por ejemplo, tres pelotitas de goma y pedirle "¿podrías anotar en la hoja lo que hay en la mesa?"2. Para no sugerir cuantificación, los entrevistadores evitaban emplear términos como "cuántos" y "número". Esta primera fase de la sesión involucraba varias tareas similares basadas en diferentes cantidades de objetos, tales como dos pelotas o cinco casas de juguete.En la segunda fase de las entrevistas, el entrevistador no mostraba los objetos a los niños, sino que les hacía preguntas como "¿podrías escribir 3 (enseguida 5, y así con otros números)?" El propósito de ésta tarea era descubrir si los niños eran capaces de escribir los numerales en ausencia de los objetos cuando explícitamente se les pedía hacerlo.Con base en los resultados de su estudio, Sinclair et al. categorizaron seis tipos de notaciones, como se muestra en la figura 1 y se explica posteriormente. Los números que preceden a las explicaciones corresponden a los números en la columna etiquetada en la figura como tipo de notación.1. Representación global de la cantidad. Los ejemplos de este tipo incluyen trazos

múltiples, por ejemplo |||| para tres pelotas y ||||| para dos pelotas. Puede decirse que los niños que realizan este tipo de trazos están representando una idea prenumérica, vagamente cuantitativa, de "muchos", "un montón" o "más de uno". En este ejemplo, el niño dibujó 4 trazos para cinco pelotas y 5 trazos para dos pelotas, aunque también hizo 5 trazos para cinco casas.

2. Representación del objeto-clase. Estas notaciones revelan un enfoque sobre los aspectos cualitativos más que cuantitativos de cada conjunto de objetos. El ejemplo muestra una escritura particular de la letra B para tres pelotas3 y para dos pelotas, y el dibujo de una casa para cinco casas.

TIPO DE NOTACION: tres pelotas dos pelotas cinco casas

22) En el original: "Could you put down what is on the table?"33) B evoca la inicial de la palabra original en francés "balle" (pelota pequeña).

Figura 1. Tipos de notaciones reportadas por Sinclair, Siegrist y Sinclair (1983). Nota: Tomado de A. Sinclair, F. Siegrist y H. Sinclair, "Young Children's ideas about the written number system," in D. Rogers & J.A. Sloboda (Eds.) The adquisition of symbolic skills ( p.540). New York: Plenum. Copyright 1983 by Plenum. Reimpreso con autorización. 3. Correspondencia uno a uno con símbolos (símbolos en el sentido piagetiano). La

figura muestra tres ejemplos de este tipo de notación. Algunos niños inventaron símbolos para representar la cantidad correcta, y otros utilizaron tres letras convencionales como símbolos para representar el número de objetos (Por ejemplo, "TIL" y "AE1" [las cuales no son palabras de tres letras en francés] para representar tres pelotas). Este es el primer tipo de notación en el cual hacen su aparición las ideas numéricas precisas.

4. Correspondencia uno a uno con numerales. Como puede apreciarse en la figura, el primer ejemplo de correspondencia uno a uno con numerales para tres pelotas es "123", y el segundo ejemplo es "333". Puede decirse que los niños que escribieron esos numerales sintieron la necesidad de representar cada objeto, o bien, su propia acción de contarlos.

5. Sólo el valor cardinal. Finalmente vemos el numeral 3 para tres pelotas y 5 para cinco casas (con ortografía inventada, que refleja la forma como se pronuncian en francés los números tres, dos y cinco: trois, deux y cinq).

6. Valor cardinal y clase de objeto. Los ejemplos de este tipo son "4 lápices y "5 casas" ("Crèion" y "mèzone" presentan ortografía inventada de las palabras crayons y maisons. Probablemente a los niños que dieron estas repuestas se les mostraron cuatro lápices en lugar de 2 pelotas). Estas representaciones reflejan un enfoque simultaneo sobre los aspectos cuantitativos y cualitativos de cada conjunto.

Según los resultados del estudio de Sinclair et al. la representación Tipo 1 (global) se encontró principalmente en los niños de cuatro años y los Tipos 5 y 6 (valor cardinal con o sin clase de objetos) en los de 5 y 6 años. Las representaciones Tipo 3 y 4 (correspondencia uno a uno) se observaron con mayor frecuencia en la mitad del

rango de edades. Cabe anotar que el corte en los niveles descritos por Sinclair et al. no fue tan claro, ya que aproximadamente la mitad de los niños del estudio utilizaron representaciones de más de un tipo. No obstante, un hallazgo significativo de Sinclair et al. fue que muchos niños que emplearon solamente representaciones de las tipos 1, 2 y 3 fueron perfectamente capaces de escribir los numerales 3, 5 y otros más cuando se les pedía "¿Puedes escribir el '3' (luego el 5, y así sucesivamente)?" La siguiente pregunta que surge es: ¿Por qué los niños no escriben los numerales que saben cuando se les pide representar conjuntos de objetos?Desde nuestro punto de vista, la respuesta a esta pregunta es que, como señala Piaget (1977), cuando los niños representan la realidad, no representan la realidad en sí - sino lo que piensan acerca de esa realidad. Cuando se les mostraban, por ejemplo, las tres pelotas, algunos niños del estudio - especialmente los más pequeños- pensaban en los objetos como en "un montón" y, por lo tanto, daban respuestas del Tipo 1. Otros pensaban en las "pelotas" y daban respuestas del tipo 2 como la que involucra la letra B (de "balle"). Estos niños pensaban acerca de los objetos ya sea de una manera incipientemente cuantitativa, o bien, desde un punto de vista cualitativo. A los 5 años, cuando habían construido la idea de número, tendían a realizar representaciones de los Tipos 3 y 4. Estos niños pensaban acerca de los objetos con precisión numérica pero aún consideraban cada objeto individualmente. El hecho de que algunos llevaran a cabo representaciones del Tipo 4 es especialmente significativo, ya que muestra que, incluso cuando han adquirido el conocimiento social de los numerales escritos, suelen emplear este conocimiento en su respectivo nivel de abstracción. Nadie enseña a los niños a escribir 123 o 333 para representar tres objetos, y sin embargo, las representaciones de los tipos 3 y 4 revelan que los pequeños enfocan su atención en cada objeto más que en la cantidad total.La mayoría de los niños más grandes reflejaron su capacidad para pensar en los objetos como cantidad total, al realizar representaciones del Tipo 5. En esta etapa les parece mejor escribir un numeral y no tres símbolos o signos. Las representaciones del Tipo 6 reflejan la habilidad de los niños para pensar al mismo tiempo en la cantidad numérica y en la clase de objeto.Sinclair et al. categorizaron seis tipos de representaciones, más que seis niveles de desarrollo, y observaron una relación general entre las edades de los niños y los tipos de representación. Con base en estas observaciones y en la teoría de la representación de Piaget (1945/1962; Piaget e Inhelder, 1968/1973), nosotras decidimos estudiar más específicamente la relación entre la construcción de la noción de número a través de la abstracción constructiva4 (también conocida como abstracción reflexiva o reflexionante) y su desarrollo en la representación numérica de las cantidades. Para clarificar lo que entendemos por abstracción constructiva de acuerdo con Piaget, es necesario revisar las tres clases de conocimiento que él distingue según sus fuentes de origen, y las dos clases de abstracción involucradas en la construcción de cada clase de conocimiento.Las tres clases de conocimiento son el físico, el social y el lógico-matemático. El conocimiento físico se refiere al conocimiento de los objetos en el mundo externo. El color y peso de las fichas y otros objetos son ejemplos de conocimiento físico. La fuente del conocimiento físico se encuentra en parte en los objetos, y por ello, este conocimiento se adquiere empíricamente a través de la observación. El conocimiento 44) Piaget hablaba de abstraction réfléchissante, término que ha sido traducido del francés de diversas maneras, como "abstracción reflexiva" (reflexive abstraction en el original en inglés), "abstracción reflexionante" (reflecting abstraction) y abstracción constructiva (constructive abstraction). Para unas explicación más detallada sobre la abstracción constructiva que se involucra en la construcción infantil del concepto de número, ver Kamii 1982, 1985, 1989, 1994, 2000.

social incluye el conocimiento de las palabras tales como uno, dos y tres o one, two y three, y tiene su origen en parte en las convenciones establecidas por las personas. Otros ejemplos de conocimiento social son el conocimiento de los numerales escritos y de los días festivos tales como la Navidad. El conocimiento lógico-matemático se constituye de relaciones mentales y la fuente de esas relaciones se encuentra en el propio individuo que las establece. El conocimiento del número (como concepto) es en parte conocimiento lógico-matemático, y cada niño lo construye internamente a través de la abstracción constructiva. Por ejemplo, cuando vemos una ficha roja y una azul, podemos pensar que son diferentes, iguales o que son dos. Si nos enfocamos en sus colores, son diferentes. Si no tomamos en cuenta los colores, las fichas son iguales (ambas son fichas), y si pensamos en ellas numéricamente, concebimos mentalmente dos fichas.Piaget (1967/1971) distingue entre la abstracción empírica y la abstracción constructiva y puntualiza que la abstracción empírica se involucra fuertemente en la adquisición del conocimiento físico. En la abstracción empírica nos enfocamos sobre ciertas propiedades de un objeto e ignoramos otras. Por ejemplo, cuando abstraemos el color de un objeto, simplemente ignoramos otras propiedades del mismo tales como el peso y el material del que está hecho (verbigracia plástico o vidrio). La abstracción constructiva involucra el establecimiento de relaciones mentales entre los objetos tales como el mismo, igual, diferente o dos5. Como señalamos anteriormente, estas relaciones no existen en la realidad externa. Ocho fichas son observables empíricamente como conocimiento físico, pero el número ocho es una relación mental, la cual no es observable.Partiendo de esta distinción teórica entre la abstracción empírica y la constructiva, Piaget afirma, que en la realidad psicológica de los niños pequeños, una clase de abstracción no tiene lugar sin la otra. Por ejemplo, los niños no podrían construir la relación diferente si todos los objetos en el mundo fueran idénticos. De la misma manera, les sería imposible concebir la relación dos si pensaran en los objetos como múltiples gotas de agua que al combinarse forman una sola gota. Y a la inversa, no podíamos adquirir un conocimiento físico, tal como el conocimiento del rojo si no establecemos mentalmente, al menos en un nivel intuitivo implícito, la categoría color (distinta de cada una de las otras propiedades como, por ejemplo, el peso). Una organización lógico-matemática -conformada por la abstracción constructiva- resulta, por lo tanto, fundamental para la abstracción empírica, ya que no podríamos "leer" los hechos de la realidad externa si cada uno de ellos fuera un pedazo aislado de conocimiento sin relación con el conocimiento ya construido y organizado previamente. Es por esto, que señalamos anteriormente, que la fuente del conocimiento físico se encuentra sólo en parte en los objetos y la del conocimiento social sólo en parte en las convenciones.Aunque la abstracción constructiva no puede tener lugar sin la abstracción empírica antes de los seis años, en el dominio lógico-matemático, la primera se va independizando gradualmente de la segunda. Por ejemplo, una vez que un niño ha construido el concepto de número es capaz de operar numéricamente y saber que 8+8+8+8, 4 x 8, y 4x = 32 sin abstracción empírica de los objetos, es decir, sin necesidad de recurrir al empleo de apoyos concretos.En la presente investigación, nosotras sostenemos la hipótesis de que existe una estrecha relación entre los niveles de abstracción por los que atraviesan los niños en la construcción del número y sus niveles de representación. Utilizamos una tarea de conservación de número para evaluar los niveles de abstracción constructiva y una modificación del método empleado por Sinclair et al. para evaluar los niveles de representación.

55) O bien, cualquier otro número.

MÉTODOSe entrevistó individualmente a un total de 60 niños japoneses cuyo rango de edad oscilaba entre los 3 años 4 meses y los 7 años 5 meses. Todos ellos fueron seleccionados aleatoriamente de las listas de clase proporcionadas por sus respectivas escuelas a fin de constituir los siguientes cuatro grupos de edad, integrado cada uno por 15 niños: 4 años (de 3 años 4 meses a 4 años 5 meses; edad promedio: 3 años 8 meses), 5 años (de 4 años 6 meses a 5 años 5 meses; edad promedio: 5 años 2 meses), 6 años (de 5 años 6 meses a 6 años 5 meses; edad promedio 6 años 2 meses), y 7 años (de 6 años 6 meses a 7 años 5 meses; edad promedio: 7 años 0 meses).Los niños de 3 a 6 años pertenecían a dos centros de cuidado infantil privados; el grupo de 7 años fue seleccionado de dos escuelas elementales públicas, ubicadas, una en la ciudad de Fukuyama, y la otra en la de Okayama. Todos los niños provenían de familias de clase media6. No se consideró el género en la selección de la muestra por lo que resultó haber más niños que niñas en los grupos de 4 y 5 años (9 y 10 niños respectivamente) y menos niños que niñas en los de 6 y 7 años (6 y 5 niños respectivamente). En cada entrevista se aplicaron las siguientes tres tareas a cada uno de los pequeños; todas las entrevistas se videograbaron. Tarea de representación de grupos de objetosEsta tarea era muy parecida a la empleada por Sinclair et al., e incluía los siguientes cuatro números y tipos de objetos, los cuales se presentaban a todos los niños siempre en el mismo orden: cuatro platos de plástico (cada uno de 9cm de diámetro aproximadamente), tres cucharas de metal, seis lápices y ocho cubos de madera (de 2.5cm de lado). A cada niño se le proporcionaba una hoja de papel y un marcador negro. El entrevistador alineaba los platos frente al niño y le solicitaba "verlos (u observarlos) todos con atención"7 acompañando la frase con un movimiento de la mano que circunscribía el conjunto completo. Posteriormente, el entrevistador pedía al niño "dibuja/escribe en la hoja de papel lo que hay ahí para que tu mamá cuando lo vea pueda saber lo que yo te mostré"8. (En japonés las palabras dibujar y escribir suenan exactamente igual.) El entrevistador evitaba emplear frases o palabras que sugirieran cantidades como cuantos o número. Cuando algún niño o niña preguntaba si debía dibujar o escribir la respuesta era "Házlo como tú quieras"9. Cuando el niño terminaba el entrevistador le preguntaba "¿podrá tu mamá saber lo que yo te mostré?" y "¿Hay algo que tu quieras agregarle?" Si la respuesta era afirmativa se animaba al niño a modificar su respuesta. En caso contrario el entrevistador continuaba con la siguiente actividad - tres cucharas - y le proporcionaba una nueva hoja de papel. El proceso se repetía hasta terminar con las cuatro actividades. Cuando era imposible interpretar la producción del niño, el entrevistador le hacía algunas preguntas adicionales para comprobar qué aspectos habían sido representados, por qué el niño había realizado determinada figura, u otras cuestiones por el estilo.Tarea de conservación de númeroEsta tarea se aplicó para determinar el nivel de abstracción de cada niño en la construcción del número. Los materiales utilizados fueron 20 fichas rojas y 20 azules, y la tarea constaba de las siguientes dos partes:

66) Puede decirse que una gran proporción de la población japonesa pertenece a la clase media ya que en Japón no hay la clase pobreza que existe en los Estados Unidos. 77) En el original: "take a good look at all of these"88) En el original "draw/write on this sheet of paper what's here so that your mother will be able to tell what I showed you" 99) En el original "You decide which way you like"

1. Formar una hilera de fichas que tuviera el mismo número que otra hilera previamente construida. El entrevistador alineaba 8 fichas de un color y enseguida proporcionaba todas las fichas del otro color al niño pidiéndole "¿Podrías poner el mismo número (o "la misma cantidad" o "tantas como") de fichas aquí (indicando con un movimiento del dedo paralelo que la línea formada por las fichas del modelo y ligeramente más corto que ésta)?"

2. Conservación numérica de la igualdad (se aplicaba solamente a los pequeños que habían construido una hilera con el mismo número de fichas). El entrevistador solicitaba al niño: "observa con cuidado lo que voy a hacer", y ante a su atenta mirada, espaciaba las fichas de una de las hileras para alargarla y comprimía las de la otra para acortarla como se muestra en la figura 2. El entrevistador le preguntaba entonces "¿Hay tantas fichas aquí como aquí (recorriendo con su dedo cada una de las hileras) o hay más aquí o hay más aquí (señalando cada hilera por separado)? Una vez que el niño respondía la siguiente pregunta era "¿Cómo lo sabes?".

Figura 2. Arreglo de las fichas en la tarea de conservación de númeroEsta tarea muestra el desarrollo del conocimiento lógico-matemático a través de la abstracción constructiva en tres niveles. Cuando los niños operan en el nivel más bajo (Nivel 1) no logran completar la primera parte de la actividad; no piensan en establecer la correspondencia uno a uno porque su capacidad de abstracción constructiva es aún demasiado limitada como para llevar a cabo una comparación precisa entre los dos conjuntos. En el Nivel 2 los niños son capaces de establecer la correspondencia uno a uno empíricamente, pero cuando esa correspondencia física se destruye, su capacidad de abstracción constructiva, aún no suficientemente desarrollada, no les permite deducir que la cantidad necesariamente es la misma. Los no conservadores tienen un conocimiento empírico físico de las fichas y del espacio que ocupan, pero no poseen un conocimiento lógico-matemático para deducir, con la fuerza de la necesidad lógica, que la cantidad de los dos conjuntos tiene que permanecer igual. En contraste, los niños del nivel más elevado (Nivel 3) han desarrollado suficientemente su lógica para deducir que los dos conjuntos deben tener el mismo número (es decir, estos niños resuelven satisfactoriamente ambas partes de la tarea). Tarea de escritura de numeralesEl entrevistador preguntaba, "¿Puedes escribir un 3 (enseguida un 5, un 6, un 8 y así sucesivamente)?" Los numerales del 1 al 8 se solicitaban en orden aleatorio, sin ninguna secuencia prescrita. Esta tarea se aplicaba para descubrir si, en la tarea de representación de grupos de objetos, los niños habían empleado los numerales que sabían escribir.RESULTADOSEn esta sección primeramente reportamos y discutimos los resultados de cada una de las tareas aplicadas. Posteriormente presentamos la relación encontrada entre los niveles de abstracción y de representación, y entre el conocimiento y uso de los numerales.Representación de grupos de objetosDespués de analizar las 60 respuestas de los niños que llevaron a cabo esta tarea, identificamos 10 cuyas producciones gráficas no se prestaban para el análisis de acuerdo con el objeto de nuestro estudio - esto es, el pensamiento numérico infantil.

Las respuestas de un niño en esta tarea fueron imposibles de interpretar. Los otros nueve representaron solamente los aspectos cualitativos de los objetos. Por ejemplo, cuando se les presentaban los cuatro platos, focalizaban su atención en el aspecto cualitativo, pensaban "¡Platos!" y daban respuestas como las que se muestran en la figura 3. La figura 3a muestra la producción de un chico del grupo de 5 años, y la figura 3b la de una niña del grupo de 6 años. Los nueve niños que dieron este tipo de respuestas se distribuían dentro de todos los rangos de edad de la muestra total.

(Platos, en japonés)Figura 3. Ejemplos de representaciones enfocadas exclusivamente en los aspectos cualitativos de los conjuntos de objetos (específicamente, 4 platos).Las representaciones de los 50 niños restantes se categorizaron en tres niveles, cada uno con dos subcategorías que designamos, ya sea como subniveles reales o tipos de respuestas. De Sinclair et al. retomamos el Tipo 1 - un nivel prenumérico que representa una idea incipiente de cantidad, concibiéndola como "un montón" - como nuestro Nivel 1. Eliminamos el nivel 2 debido a que no involucra ninguna idea de cantidad. Combinamos los tipos 3 y 4, ya que ambos implican la correspondencia uno a uno, y los retomamos como nuestro Nivel 2; y combinando los tipos 5 y 6, los cuales involucran enteros compuestos, establecimos nuestro Nivel 3. Es importante anotar que Sinclair et al. categorizaron tipos de respuestas más que niveles porque su investigación se ubicaba en un nuevo campo de investigación aún no explorado y encontraron que la mitad de los niños de su estudio empleaban más de un tipo de representaciones. En contraste, nosotros categorizamos a los niños en niveles porque nos beneficiamos de los hallazgos de Sinclair et al. y porque ninguno de los niños de nuestro estudio realizó representaciones correspondientes a más de un nivel. En la figura 4 se presenta nuestro sistema de clasificación junto con ejemplos de las respuestas de los niños. Como puede verse en la figura, el Nivel 1 es cuantitativo pero prenumérico. En el Nivel 1a (un subnivel real), el niño dibuja "un montón" de círculos -5 círculos en el ejemplo que se muestra- incluso cuando el conjunto está formado por cuatro platos solamente. En el Nivel 1b (también un subnivel real) el niño dibuja el número correcto de elementos de un conjunto pequeño tal como el de cuatro platos, pero no logra hacerlo cuando se trata de conjuntos de más de cinco elementos - en el ejemplo, el niño dibujó 12 figuras para representar ocho cubos.En el Nivel 2 (el cual tiene dos tipos de respuestas más que subniveles), la representación con correspondencia uno a uno se hace posible incluso con conjuntos grandes como seis lápices u ocho cubos. La respuesta 2a fue típica de los niños que dibujaban figuras en correspondencia uno a uno, y la tipo 2b de aquellos que escribían numerales, igualmente en correspondencia uno a uno, como 1234 (cuatro numerales) para representar cuatro platos.

En el nivel 3 (también con dos tipos de respuestas) representaron los grupos de objetos con un numeral para indicar la cantidad total como un entero compuesto. Los niños que dieron una respuesta del tipo-3a escribieron únicamente un numeral (por ejemplo, "6" para seis lápices). Una respuesta de Tipo-3b involucraba representaciones de los aspectos tanto cuantitativos como cualitativos (por ejemplo, "4 platos") o una frase completa que incluía un numeral, como "Hay cuatro platos".

Nivel 1: Representación global, prenuméricaSubnivel 1a. Ausencia de correspondencia uno a uno cuando el número de objetos es menor que cinco.Ejemplo: el niño dibuja cinco círculos para representar cuatro platos

Subnivel 1b. Ausencia de correspondencia uno a uno cuando el número de objetos es menor que cinco.Ejemplo: el niño dibuja 4 círculos para representar cuatro platos, pero dibuja 12 figuras para representar ocho cubos.

cuatro platos

ocho cubos Nivel 2: Representación con correspondencia uno a uno Respuesta tipo 2a: Correspondencia uno a uno, con dibujosEjemplo: el niño dibuja 6 lápices para representar seis lápices

Respuesta tipo 2b: Correspondencia uno a uno, con numeralesEjemplo: el niño escribe 4 numerales para representar cuatro platos

Nivel 3: Representación con un numeral indicando la cantidad total como un entero compuestoRespuesta tipo 3a: escritura de un solo numeralEjemplo: el niño escribe "6" para seis lápices

Respuesta tipo 3b: Escritura del numeral y del nombre del objeto o de una frase completa que incluye ambasEjemplo: El niño escribe "Hay 4 platos" en japonés.

Figura 4. Ejemplos de representaciones de los niveles 1, 2 y 3 con subniveles o tipos de respuestas.

Tres de las cuatro autoras categorizaron independientemente cada representación gráfica de los niños conforme a los criterios anteriores. El coeficiente de confiabilidad fue de 0.86 y los desacuerdos se discutieron hasta alcanzar el consenso.Los resultados se sintetizan en la tabla 1. Somers' dAB ', la medida estadística que evalúa el grado de asociación entre dos variables ordenadas (Siegel & Castllan, 1988), fue de 0.63, la cual es significativa en un nivel de .001. De tal manera, estos hallazgos sugieren una progresión de los niveles de representación a través de los niveles de edad, con la mayoría de los niños de 4 años en el Nivel 1 (77%), la mayoría de los de 5 en el nivel 2 (83%), y la mayoría de los de 7 en el nivel 3 (62%). Los niños de 6 años se dividieron equitativamente entre los niveles 2 y 3. Tabla 1Relación entre Edad y Nivel de Representación (N = 50)

Edad

Nivel de Representación1(Global/Prenumérico)

2(Representación con correspondencia 1-1)

3(Representación con un numeral)

A B a b A b4 años5 años6 años7 años

8 (62%)000

2 (15%)2 (17%)00

3 (23%)9 (75%)6 (50%)4 (30%)

01 (8%)01 (8%)

002 (16%)0

004 (34%)8 (62%)

Nota. Los porcentajes reportados en esta tabla se presentan horizontalmente. Ver Figura 4 para ejemplos de los niveles 1a-b y tipos de respuestas 2a-b y 3a-b.Conservación de Número (Niveles de Abstracción)En esta tarea obtuvimos respuestas de 60 niños. Con base en sus respuestas los entrevistados se categorizaron en tres niveles de abstracción.El Nivel 1 se caracterizó por la ausencia de correspondencia uno a uno. Algunos niños en este nivel colocaron el total de fichas disponibles (20), en tanto otros alinearon cuidadosamente los extremos de ambas hileras poniendo diferentes cantidades de fichas y obteniendo, en consecuencia, hileras de diferentes densidades. La abstracción constructiva de estos niños o la habilidad para establecer relaciones mentales no estaba suficientemente consolidada como para llevar a cabo la correspondencia uno a uno.El nivel 2 se caracterizó por la correspondencia uno a uno sin conservación de la equivalencia numérica. En este nivel, los niños colocaron la misma cantidad de fichas en correspondencia uno a uno. Sin embargo, cuando la correspondencia empírica10 entre los elementos de ambos conjuntos se destruía, estos niños pensaban que uno de los conjuntos tenía más que el otro. La abstracción constructiva de estos pequeños se había desarrollado al punto de permitirles establecer una comparación cuantitativa precisa, pero no lo suficiente como para llevar a cabo una deducción lógica cuando la apariencia física de los dos conjuntos creaba una impresión de desigualdad cuantitativa.El Nivel 3 involucra la correspondencia uno a uno con conservación de la equivalencia numérica. Los conservadores que empleaban la correspondencia uno a uno, decían que las dos hileras tenían el mismo número aún cuando una de ellas se viera más larga que la otra y justificaban su razonamiento lógico con uno de los siguientes argumentos: (a) "Tú no añadiste ni quitaste nada" (identidad); (b) "Puedo colocar las fichas de la misma manera que estaban antes y verás que aún hay la misma cantidad" (reversibilidad); o (c) "Esta línea es más larga pero hay más espacio entre las fichas" (compensación).

1010) Correspondencia física y visual.

Tres de las cuatro autoras revisaron, por su cuenta, las videograbaciones y categorizaron a cada niño de acuerdo con los criterios anteriores. El coeficiente de confiabilidad fue de 0.95, y los acuerdos sobre las discrepancias iniciales se lograron a través de la discusión.Como se muestra en la Tabla 2, se encontró una relación positiva entre las edades de los niños y sus niveles de abstracción (Somers' dAB' = 0.63; significativa al nivel .001). La mayoría de los niños de 4 años (67%) se encontraba en el Nivel 1 (inhabilidad para establecer la correspondencia uno a uno). La mayoría de los de 5 años (67%) se ubicó en el Nivel 2 (habilidad para establecer la correspondencia uno a uno pero no para conservar). El porcentaje de los dos grupos de los niños más grandes fue el mismo, con la mayoría de los alumnos (87%) en el Nivel 3 (conservación).Habilidad para escribir los numeralesCon base en sus respuestas a esta tarea, los 60 niños se categorizaron en tres niveles. En el nivel 1, cuando no sabían cómo escribir ningún numeral; en el Nivel 2 cuando podían escribir sólo algunos; y en el nivel 3 cuando podían escribirlos todos.Tabla 2Relación entre Edad y Nivel de Abstracción (N = 60)

Edad

Nivel de Abstracción1(Sin correspondencia1-1)

2(Correspondencia 1-1;sin conservación)

3(Correspondencia 1-1;con conservación)

4 años5 años6 años7 años

10 (67%)000

5 (33%)10 (67%)2 (13%)2 (13%)

05 (33%)13 (87%)13 (87%)

Nota. Los porcentajes reportados en esta tabla se presentan horizontalmente. Los resultados que se presentan en la Tabla 3 muestran que ninguno de los niños del grupo de los más pequeños pudo escribirlos, mientras que la mayoría de los de 5 años y todos los de los grupos de mayor edad los escribieron perfectamente. Se encontró una relación positiva entre la edad y el conocimiento de los numerales, con Somers' dAB ' = 0.59, la cual es significativa al nivel .001.

Tabla 3Relación entre Edad y Nivel de Escritura de los numerales (N = 60)

Edad

Niveles1(Ninguno correcto)

2(Algunos correctos)

3(Todos correctos)

4 años5 años6 años7 años

15 (100%)000

03 (20%)00

010 (67%)15 (100%)15 (100%)

Nota. Los porcentajes reportados en esta tabla se presentan horizontalmente.Relación entre el nivel de Abstracción y el Nivel de RepresentaciónUtilizando la submuestra de los 50 estudiantes que se clasificaron tanto en el nivel de abstracción como en el de representación, examinamos la relación entre estas dos variables. En la Tabla 4 se presenta la relación entre los niveles de abstracción manifestados por los niños en la tarea de conservación y sus niveles de representación, revelados a través de la tarea de representación de grupos de objetos. La relación entre los niveles de abstracción y de representación fue significativa: Somers' dAB ' = 0.78, p < .001. Esto se puede observar en los resultados

de la mayoría de los niños (36 de 50, o 72%) lo que evidenció una relación "perfecta" entre las dos variables: esto es, los niños estuvieron al mismo nivel en las dos tareas, 8 (16%) en el Nivel 1, 14 (28%) en el nivel 2, y 14 (28%) en el nivel 3. Catorce niños se ubicaron en un nivel más bajo en la representación que en la abstracción (esto es, por debajo de la diagonal en la tabla), pero ninguno se desempeñó a un nivel más alto en la representación que en la abstracción (es decir, por encima de la diagonal en la tabla).Tabla 4Relación entre Nivel de Abstracción y de Representación (N = 50)

Nivel de abstracción

Nivel de representación1 2 3

123

8 (16%)4 (8%)0

014 (28%)10 (20%)

0014 (28%)

Relación entre conocimiento y uso de numeralesLos resultados de investigación sobre la relación entre estas dos variables pueden apreciarse en la tabla 5. Encontramos una relación positiva entre el conocimiento y el uso de los numerales; Somers' dAB ' = 0.74, p < .01. De los 50 niños, 33 podían escribir todos los numerales (Nivel 3), pero solamente 14 de ellos (42%) emplearon este conocimiento social en la tarea de representar grupos de objetos. La mayoría (18 niños) representaron los conjuntos de objetos con correspondencia uno a uno (Nivel 2 de la tarea de representación). Tabla 5Relación entre Conocimiento de los Numerales yNivel de Representación (N = 50)

Conocimiento de los numerales

Nivel de representación1 2 3

123

10 (20%)1 (2%)1 (2%)

4 (8%)2 (4%)18 (36%)

0014 (28%)

DISCUSIÓNComo reportamos en la tabla 4, los niños de nuestro estudio, generalmente representaron los grupos de objetos en sus respectivos niveles de abstracción. La razón de esta relación es que su grado de abstracción parecía determinar su desempeño en las tareas de conservación, así como su habilidad para "ver" los objetos como ocho cubos (es decir, para pensar numéricamente en el conjunto). Si su capacidad de abstracción no se había desarrollado lo suficiente para permitirles pensar numéricamente, no podían "ver" exactamente los ocho bloques cuando se les presentaban. Dado que "veían" solamente "un montón" de cubos, no es sorprendente que representaran esta idea prenumérica como "un montón". Aquellos que se encontraban por debajo del nivel de abstracción constructiva, tampoco podían establecer una correspondencia uno a uno de manera precisa en las tareas de conservación numérica. Estos niños se ubicaron en el Nivel 1 tanto en la conservación como en la representación.A medida que los niños comienzan a construir el número en su cabeza (es decir, mentalmente) empiezan a "ver" los ocho cubos con precisión numérica. Cuando pueden "ver" ocho bloques se vuelven capaces de representarlos con correspondencia uno a uno (Nivel 2 de representación). Los niños que podían establecer la correspondencia uno a uno en las tareas de conservación pero todavía no podían

conservar se categorizaron en el Nivel 2, tanto en la conservación como en la representación.El Nivel 2 de representación indica que los niños aún piensan en los objetos individuales, pero el Nivel 3 también de representación, muestra que ahora son capaces de pensar en el total de la cantidad como una unidad compuesta. Para quienes piensan en enteros compuestos, el numeral 4 es una opción más indicada para representar cuatro platos que la de establecer la correspondencia uno a uno con figuras o símbolos como O O O O o 1234. Si el nivel de abstracción de un niño es alto, el niño piensa en ese nivel ya sea en las tareas de conservación como en las de representación.Como afirmamos anteriormente, el desempeño de los 14 niños se ubicó por debajo de la diagonal en la tabla 4 y ninguno por encima de ésta. De estos 14 niños, 10 se clasificaron como conservadores (es decir, que habían alcanzado el Nivel 3 de abstracción) y se encontraban en el Nivel 2 de representación. Puede decirse que las capacidades de abstracción de estos niños se habían desarrollado lo suficiente para conservar con los conjuntos de objetos, pero no lo bastante como para pensar en esos conjuntos como enteros compuestos y representarlos como una totalidad. Los otros 4 niños se encontraban en el Nivel 2 de abstracción y en el Nivel 1 de representación. Al parecer, su capacidad de abstracción se había desarrollado al punto de permitirles establecer la correspondencia uno a uno con objetos concretos en las tareas de conservación (Nivel 2), pero no lo suficiente para llevar a cabo representaciones con correspondencia uno a uno.Los ceros en las casillas ubicadas por encima de la diagonal en la Tabla 4 sugieren que los niños de nuestro estudio no podían realizar representaciones por encima de su nivel de abstracción. Uno de los ceros aparece en la casilla del Nivel 1 de abstracción y en la del Nivel 3 de representación. Esto puede explicarse de la siguiente manera: Si la capacidad de abstracción de un niño no se ha desarrollado lo suficiente para permitirle establecer la correspondencia uno a uno en las tareas de conservación, este nivel de desarrollo no es suficiente tampoco para que pueda representar unidades compuestas. El 0 en la casilla de abajo (Nivel 2 de abstracción y Nivel 3 de representación) puede explicarse de la misma forma: Si la capacidad de abstracción de un niño no se ha desarrollado al punto de permitirle conservar la equivalencia numérica, este desarrollo tampoco es suficiente para que logre representar unidades compuestas. El tercer cero (Nivel 1 de abstracción y Nivel 2 de representación) se explica de manera similar: Si la capacidad de abstracción de un niño no se ha desarrollado lo bastante para establecer la correspondencia uno a uno en las tareas de conservación, este desarrollo no resulta suficiente para que el niño pueda realizar representaciones con correspondencia uno a uno.Un hallazgo importante de nuestro estudio fue que la mayoría de los niños que sabían escribir los numerales no los emplearon. De los 33 niños que pudieron escribir todos los numerales (ver Tabla 5, Nivel 3 [Conocimiento de numerales]), 18 hicieron dibujos o escribieron numerales con correspondencia uno a uno en lugar de escribir uno solo de ellos. Únicamente dos niños llevaron a cabo representaciones en cadenas ordenadas como 1234, pero estas representaciones demostraron que, incluso el conocimiento social (convencional), es utilizado por ellos de acuerdo con su nivel de abstracción. Estos hallazgos confirman la teoría de Piaget en el sentido de que los niños representan su pensamiento acerca de la realidad. Cuando aún piensan en los objetos individuales, externan este pensamiento en sus dibujos o escrituras sobre el papel. Cuando su pensamiento avanza al nivel en que pueden pensar en enteros compuestos, comienzan a exteriorizar este pensamiento con la escritura de un solo numeral.El presente estudio destaca la importancia de animar a los niños a pensar - es decir, a establecer relaciones mentales. Sin embargo, la educación matemática ha tenido

una larga tradición en la enseñanza del manejo los símbolos sin prestar atención al pensamiento de los niños. En los años recientes se ha recomendado el empleo de materiales para remediar la enseñanza descontextualizada de los símbolos. Sin embargo, con frecuencia estos materiales se recomiendan como si las matemáticas se pudieran enseñar mediante la abstracción empírica de los objetos y/o a partir de instrucciones que los niños deben seguir para acomodarlos físicamente. En particular , los Principios y Normas para la Enseñanza de las Matemáticas (Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, 2000)11 pasan por alto completamente el pensamiento de los niños - es decir, su capacidad de abstracción constructiva - cuando establecen que los alumnos del segundo grado de preescolar12 pueden desarrollar los conceptos y habilidades de medida a la vez que acomodan múltiples copias de la misma unidad sin dejar espacios entre ellas, o iterando una sola unidad sin encimarla ni dejar huecos" (p. 206). Casi ningún niño de este nivel escolar (pre-K-2) comprende lo que es la unidad de medida, ya que muy pocos en este rango de edad pueden establecer mentalmente la relación parte-todo entre la unidad y la longitud total del objeto a medir (Kamii & Clark, 1977; Piaget, Inhelder & Szeminska, 1948/1960). Acomodar "múltiples copias de una misma unidad sin dejar espacios entre ellas" es, en consecuencia, un procedimiento exclusivamente empírico. Los niños se vuelven capaces de establecer mentalmente las relaciones parte-todo mediante la abstracción constructiva en actividades como las que se sugieren en Kamii y Clark (1997), Kamii, Lewis y Kirkland (2001), Long and Kamii (2001), y Reece y Kamii (2001).Frecuentemente hemos dicho que los niños avanzan del nivel "concreto" de los objetos reales, al nivel "semiconcreto" de los dibujos o imágenes gráficas, y posteriormente al nivel "abstracto" de los símbolos. Sin embargo, los objetos físicos se pueden usar en un alto o en un bajo nivel de abstracción. En las tareas de conservación, los niños del nivel de abstracción más bajo no son capaces de conservar la equivalencia numérica, mientras que los del nivel más alto sí lo logran. Para medir una longitud, los niños del nivel de abstracción más bajo alinean los clips de manera empírica, pero sólo aquellos que se encuentran en el nivel más alto son capaces de pensar en los clips como unidad de medida. Los Bloques base 10 y los Cubos unifix, igualmente se pueden ver desde un alto o un bajo nivel de abstracción. Los adultos podemos ver un diez y diez unos al mismo tiempo en un Bloque base-10. Sin embargo , la mayoría de los niños de 6 años que sólo han construido un sistema de unos, pueden ver un diez y diez unos sólo en dos momentos diferentes y no simultáneamente. En el presente estudio nos enfocamos sobre la construcción de número en los niños, pero la relación entre la abstracción y la representación se puede estudiar también en otros campos como las cuatro operaciones aritméticas, las fracciones y el razonamiento proporcional. Es necesario llevar a cabo otras investigaciones para comprender las relaciones mentales que establecen o no establecen los niños en situaciones específicas y en diversos campos de estudio.

RELACION CANTIDAD NUMERO NUMERALEl concepto de cero es abstracto para los estudiantes, por lo tanto se lo enseña después del nueve y una vez que los estudiantes reconozcan los números, los asocien con la cantidad y sepan la secuencia correcta de los mismos. Al empezar con el proceso de clasificación y seriación se dan las primeras nociones de

1111) En el original: Principles and Standards for School Mathematics (National Council of Teachers of Mathematics, 2000). 1212) En el original: Prekindergarten Grade 2

conjunto. Luego seguimos con el concepto de conjunto como la reunión de elementos, utilizando elementos del entorno y terminamos reforzando lo aprendido con los diferentes software.Apoyándome del Área del Entorno Natural y Social y previo el conocimiento impartido de animales en extinción de nuestro país, trabajaremos con ellos en la formación de conjuntos.Actividades:

La presentación del bloque afianza valores relacionados con “La comunidad y yo”. Trabajo con la técnica del cuento. ver

Con la ayuda de la poesía reforzamos el orden de números fortaleciendo los anteriores y aprendiendo los nuevos.

Identificar cantidades y asociarlas con los numerales 8, 9, 0. Trabajan con diferentes elementos del entorno.

Al conversar de nuestro país (los animales en peligro de extinción) este tema llama mucho su interés, por lo que investigamos en el Internet, aprendiendo sobre ellos, los dibujaron y luego los escaneo para formar los conjuntos.

Con los dibujos escaneados formamos conjuntos de hasta 9 elementos. El niño aprende y trabaja en Power Point., le encanta dar vida a sus diapositivas e investigar nuevas herramientas para utilizarlas.

https://docs.google.com/present/view?id=df57p45k_5csmbcvcr

3o a matematico

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