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Liceo Benjamn Vicua MackennaDepartamento de matemtica

GUA DE GEOMETRA N2. Tringulos

Tringulo:Es un polgono de tres lados; est determinado por

tres segmentos de recta que se denominan lados, otres puntos no alineados que se llaman vrtices.

a, b y c: son los ladosA, B y C: son los vrtices, y : son las medidas de los ngulos interiores

Propiedades de los tringulos:

1) En todo tringulo, la suma de dos lados essiempre mayor que el tercer lado.

a + b > c, a + c > b, b + c > a

2)

En todo tringulo, la diferencia entre dos ladoses siempre menor que el tercer lado.

a - b < c, a - c < b, b - c < a

3)

En todo tringulo, a mayor lado se opone mayorngulo y viceversa.4)

En todo tringulo, a iguales lados se oponeniguales ngulos y viceversa.

Ejemplo: Si aes el lado mayor, entonces es elngulo mayor (por ser opuesto a a)Si ces el lado menor, entonces es elngulo menor.Si a = b, entonces =

Clasificacin de los tringulos con relacin a lamedida de sus lados:

1) Tringulo Equiltero: Tiene sus tres lados

iguales y tambin sus tres ngulos interioresiguales (60 cada uno)

2) Tringulo Issceles: Tiene a lo menos dos

lados iguales. El lado distinto se llama base.Tiene dos ngulos iguales (opuestos a los ladosiguales) y se denominan ngulos basales.

3) Tringulo Escaleno: Tiene sus tres lados

distintos y por lo tanto sus tres ngulos tambindistintos.

Clasificacin de los tringulos con relacin a lamedida de sus ngulos:

1) Tringulo Acutngulo: Tiene sus tres ngulosinteriores agudos, es decir, menores de 90.

2) Tringulo Rectngulo: Tiene un ngulo recto,es decir, mide 90. Los otros dos son agudos.

3) Tringulo Obtusngulo: Tiene un nguloobtuso, es decir, mayor de 90. Los otros dosson agudos.

Teoremas relativos a ngulos en el tringulo

, y : ngulos interiores, y : ngulos exteriores

Entonces, se verifica que:

1) + + = 180

2) + + = 360

3) a) + = b) + =

c)

+ =


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Elementos secundarios en el tringulo:

Adems de los lados, vrtices y ngulos, lostringulos tienen otros elementos invisibles en unprimer vistazo, pero que tambin incluyenpropiedades y relaciones.

1) Transversal de gravedad, mediana o media(ta, tb, tc):

La media, mediana o transversal de gravedad, en untringulo, es la lnea que une cualquier vrtice conel punto medio del lado opuesto al vrtice. Divide altringulo en dos partes con la misma rea. Las tresmedias o transversales de gravedad se intersecan enel baricentro (G), centro de gravedad deltringulo o centroide. Tambin se verifica que dostercios de la longitud de cada media estn entre elvrtice y el centroide, mientras que el tercio restanteest entre el baricentro y el punto medio del ladoopuesto.

D, E y F son los puntos medios de los lados BC, ACy AB respectivamente.

G: Centro de gravedad (G = ta tb tc)

Teorema:

GEBG 2 , GDAG 2 , GFCG 2

Teorema:

rea AEB = rea ECB

rea CDA = rea DBA

rea BFC = rea FAC

2) Bisectrices (ba, bb, bc):

La bisectriz es la recta que divide al ngulo en 2partes iguales. Las tres bisectrices de los ngulosinternos de un tringulo se cortan en un nicopunto, que equidista de los lados. Este punto sellama el inscentro(I) del tringulo y es el centro

de la circunferencia inscrita al tringulo. Estacircunferencia es tangente a cada uno de los ladosdel tringulo.

I: Inscentro. Centro de la circunferencia inscrita enel tringulo (I = ba bb bc)

D, E y F: No necesariamente son puntos medios nipuntos de tangencia de la circunferenciacon el tringulo.

3) Alturas (ha, hb, hc):

Son las lneas rectas que pasan por cada vrtice deun tringulo e intersectan en forma perpendicular allado opuesto. Las tres alturas se cortan en un puntodenominado ortocentro(H).

Ortocentro: H= ha hb hc

Si el tringulo es acutngulo, entonces elortocentro se ubica dentrode l.

Si el tringulo es rectngulo, entonces el ortocentrose ubica en el vrticedel ngulo recto.

ta

tb

tc

A

B

C

G

E

FD

ba bb

bc


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Si el tringulo es obtusngulo, entonces elortocentro se ubica fuera de

l.

4) Mediatrices(ma, mb, mc):

La mediatriz o simetral de un segmento es una lnearecta que es perpendicular al este y lo intersecta ensu punto medio.

En un tringulo, las mediatrices de los tres lados secortan en un nico punto llamado circunscentro(O), que es centro de la circunferencia circunscritaal tringulo.

Circunscentro: O = ma mb mc

D, E y F: Puntos medios de los lados del tringulo

ma BC , mb AC , mc AB

COMUDEF

ento MatemticaEjercicios de ngulos en los Tringulos

M es la mediatriz osimetral deAB

Ppunto medio de AB

M AB


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= ?

= ?

= ?


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8/10


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10/10

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Soluciones Tringulos.

1 28 31 112,5 61 902 85 32 10 62 4a

3 66 33 30 63 504 139 34 120 64 1455 151 35 80 65 636 55 36 54 66 907 64 37 40 67 168 60 38 a/2 68 a b9 60 39 55 69 ( I )10 105 40 80 70 10411 60 41 120 71 94,412 270 42 35 72 6813 180 a + b 43 80 73 4514 a + b 180 44 130 74 12015 a 45 90 75 9016 2a - 180 46 26 76 11517 57,5 47 8 77 018 57,5 48 16 78 9019 40 49 58 79 9020 120 50 40, 60 , 80 80 6021 140 51 180 - 81 16022 65 52 c b 82 2023 30 53 2a 83 74

24 110 54 111 84 5025 40 55 120 85 3026 63 56 160 86 1527 135 57 42,5 87 27,528 42,5 58 40 88 6029 100 59 54 89 /630 180 4a 60 134 90 19

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