TERCERA PRCTICA(ARMADURA PLANA)

PROBLEMADeterminar la distribucin de esfuerzos de una armadura plana, la cual es sometida a cargas en ciertos nodos, desprecindose los efectos de temperatura y de peso de cada viga de la armadura plana. Se tiene que el Mdulo de Elasticidad del material de cada viga es 3.1105 MPa, as como el dimetro de la seccin constante de cada viga es 50 mm.DATOS DEL PROBLEMA:Mdulo de Elasticidad:3.1105 MPa.Dimetro de la seccin constante de cada viga:50 mm.Carga PA:5000 N.Carga PB:4000 N.Carga PE:2000 N.

GRFICO:

SOLUCION:1) ANALISIS (Mtodos por elementos finitos) Fig.2: Desplazamientos en los nodos

2) TABLA DE CONECTIVIDAD

Los datos de las coordenadas nodales sobre los elementos son :NODOX(mm)Y(mm)

100

215000

330000

415001500

501500

Tabla 1: Tabla de las coordenadas nodales

La tabla de conectividad de los elementos es:

ElementoNODOS(1) (2)GDL1 2 3 4Le(mm)Ae(mm2)Ee(N/mm2)

11 21 2 3 41500.001963.53.1x105

22 33 4 5 61500.001963.53.1x105

33 45 6 7 82121.321963.53.1x105

44 27 8 3 41500.001963.53.1x105

52 53 4 9 102121.321963.53.1x105

65 19 10 1 21500.001963.53.1x105

75 49 10 7 81500.001963.53.1x105

Tabla 2: Tabla de conectividad de los elementos

ElementoLe(mm)lm

11500.0010

21500.0010

32121.32-0.7070.707

41500.000-1

52121.32-0.707-0.707

61500.00-10

71500.000-0.707

Tabla 3: Tabla de los cosenos directores

3) MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS

Sabemos que:

Las filas y las columnas correspondientes a los grados de libertad 1, 2,8 y 9, que corresponden a soportes fijos, se borran de la matriz K.La ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:

Las matrices de rigidez ser la siguiente:

Operando se obtiene los desplazamientos, son los siguientes:

Los desplazamientos en los nodos sern:

4) ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:

Donde obtenemos lo siguiente:

REACCIONES:

5) DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMAINICIOLeer datos de entrada.Para i=1 hasta N de nodosIngresar coordenadas de los nodos.Calcular rea, N de filas de cond_contorno(CC1)Para i=1 hasta 2veces N de nodos

Cont=0Para j=1 hasta N de filas de cond_contorno(CC1)123

12Si i=CC(i,1)Cont=1, C2=CC1(i,2)C1=CC1(i,1)SISi cont=1 concontcont=1CC(i,1)=C1;CC(i,2)=C23SINOCC(i,1)=0;CC(i,2)=0Para i=1 hasta N elementosCalcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.4

4Para i=1 hasta 2veces N elementos.Si i=CC(i,1)Q(i,1)=CC(i,2)Acumulamos fuerzas(FC=[FC;F(i)])

SINOPara j=1;2*NnodosSi jCC(j,1)

acuh=[acuh,Kij(i,j)]acumula filasSIacuv=[acuv;acuh];acumula columnasCalcula los desplazamientos generalesQ1=acuv\FC;5

5Para i=1;2N nodosSi i==CC(i,1)

Calcula las reaccionesr=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);R=[R;r i];

Para i=1 hasta N de elementosCalcula esfuerzosImprime Desplazamientos, reacciones y esfuerzos

6) DIGITACION DEL PROGRAMA EN MATLAB

clc;clear all;%ARMADURAS PLANASformat longnd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS=');ne=input('INGRESE EL NUMERO DE ELEMENTOS=');D=input('INGRESE EL DIMETRO DE LAS SECCIONES(mm)=');E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2=');tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)=');%EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]ni=[];for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i); n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= ');endF=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=');CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posicin valor]=');lm=[];A=pi/4*D^2;krs=zeros(2*nd);Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[];le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[];[fc,cc]=size(CC1);for i=1:2*nd cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1) cont=1; c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2); end end if cont==1 CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2; else CC(i,1)=0; CC(i,2)=0; endendfor i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i); krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2; krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i); krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(2*nd);endfor i=1:2*nd if i==CC(i,1) Q(i,1)=CC(i,2); else FC=[FC;F(i)]; for j=1:2*nd if j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end end end acuv=[acuv;acuh]; acuh=[];endQ1=acuv\FC;for i=1:2*nd if i~=CC(i,1) Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1); if f>=2 Q1=Q1(2:f,1); end endendfor i=1:2*nd if i==CC(i,1) r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i]; endendESF=[];for i=1:ne ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)];endformat shortdisp('=============');disp('RESULTADOS');disp('=============');disp('LOS DESPLAZAMIENTOS');disp(Q);disp('LAS REACIONES');disp('REACCIN POSICIN');disp(R);disp('LOS ESFUERZOS');disp(ESF');

7) EJECUCION DEL PROGRAMA Ingrese el nmero de codos=5 Ingrese el nmero de elementos=7 ingrese el dimetro de las secciones(mm)=50 Ingrese el mdulo de elasticidad(N/mm^2)=3.1e5 Ingrese tabla de conectividad(solo nodos)=[1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]

Ingrese las coordenadas del nodo (1)N(X)= 0N(Y)= 0Ingrese las coordenadas del nodo (2)N(X)= 1500N(Y)= 0Ingrese las coordenadas del nodo (3)N(X)= 3000N(Y)= 0Ingrese las coordenadas del nodo (4)N(X)= 1500N(Y)= 1500Ingrese las coordenadas del nodo (5)N(X)= 0N(Y)= 1500Ingrese el vector columna de fuerzas=[0 0 0 2000 5000 4000 0 0 0 0]'Ingrese condiciones de contorno [posicin valor]=[1 0;2 0;9 0;10 0]

8) CONCLUSIONES

La cantidad de cifras significativas del Matlab permite encontrar resultados ms exactos para clculos que involucran cantidades y resultados pequeos.

Usar el mtodo del clculo por elementos finitos permite modelar cualquier armadura en el plano, siempre que se especifique las cualidades de la misma.

Las cargas aplicadas generan desplazamientos del orden de 10^-5 metros, prcticamente despreciables en comparacin a las longitudes de la armadura.

Los esfuerzos y reacciones encontrados eran los esperados debido a las cargas en los nodos.

El cdigo usado en Matlab agilizar los clculos en caso se presentaran ms elementos en una armadura, lo que conllevar a un ahorro de tiempo, adems de otorgar mayor precisin en los resultados.

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