LEYES DE NEWTON1 Momento angular: su conservacion

Ya hemos visto el significado del momento lineal y su relacion con la fuerza neta sobre una partculacon movimiento rectilneo. Analogamente a estas dos magnitudes, momento lineal y fuerza, paralos movimientos curvilneos definiremos el momento angular y el momento de fuerzas:

L

pr

v

O

Figura 1: Momento angular o cinetico ~L de la partcula de masa m con respecto al punto O

Momento angular o cinetico de una partcula con respecto a un punto, ~L

~L = ~r ~p (1)

Donde ~r es el vector de posicion de la partcula respecto al punto O, y ~p (m~v) es la cantidadde movimiento o momento lineal. Por ser un producto vectorial, el momento angular esperpendicular al plano de la trayectoria (formado por ~r y ~v) en cada instante.Unidades en el SI: kg m2 s1Dimensiones: [L] =M L2 T1.

Momento de una fuerza con respecto a un punto, ~M

~M = ~r ~F (2)

Unidades en el SI: N mDimensiones: [M ] =M L2 T2.

| ~M | = rFsen

Angela Gallardo Lopez, Tema 3 - Leyes de Newton 2

M

Fr

O

j

Figura 2: Momento de la fuerza ~F con respecto al punto O

Tambien se le denomina par de fuerzas o torque. Produce un movimiento de rotacion encuerpos con un eje fijo. Ejemplos: abrir una puerta, mover el volante de un coche, apretar untornillo con una llave inglesa...

Variacion del momento angular con el tiempo

Cuestion 1 Demostrar que d~Ldt = ~M

Solucion:

d~L

dt=d(~r ~p)

dt=d~r

dt ~p+ ~r d~p

dt= ~v m~v

=0

+~r ~F = ~M

Con lo cual, debemos tener siempre en cuenta que:

~M = ~r ~F = d~L

dt(3)

La ecuacion 3 es muy importante, y de ella se deduce el teorema de conservacion del momentoangular para una partcula:

Si el momento de fuerzas neto respecto a un punto sobre una partcula es cero, sumomento angular respecto a ese mismo punto permanece constante (se conserva).

~M = 0 ~L = cte (4)

Cuestion 2 Teniendo en cuenta la ecuacion 3, enumerar las condiciones que deben cumplir ~r y ~Mpara que se conserve el momento angular de una partcula sobre la que actua una unica fuerza.Poner ejemplos de situaciones fsicas en que se den estas condiciones.

Angela Gallardo Lopez, Tema 3 - Leyes de Newton 3

Solucion: Para que se conserve ~L, el momento de fuerzas resultante sobre lapartcula debe ser cero. Esto ocurrira en los siguientes casos:

~r = 0, es decir, estamos calculando el momento de la fuerza respecto a su puntode aplicacion.

~F = 0. ~r ~F (es decir, vectores paralelos).

Cuestion 3 Puede ocurrir que sobre la partcula actuen momentos de fuerza no nulos y sin em-bargo se conserve su momento angular?

1.1 Fuerzas centrales

Fuerza central .- Es aquella cuya direccion pasa siempre por un punto fijo (centro). La direccionde la fuerza central coincide siempre con el vector de posicion desde el centro (radiovector).

Ejemplos: fuerza gravitatoria (responsable, por ejemplo, de que la Tierra gire alrededor del Sol);fuerza electrostatica (responsable, por ejemplo, de que los electrones se muevan alrededor delnucleo); fuerza elastica (una partcula en el extremo de un muelle se mueve alrededor de su posicionde equilibrio).

Cuestion 4 Identificar el centro de fuerzas en los ejemplos anteriores.

Caractersticas del movimiento bajo fuerzas centralesCuando sobre la partcula actuan unicamente fuerzas centrales, su momento angular es constante,con lo cual:

Direccion de ~L = cte la trayectoria de la partcula es plana. Como ~L = ~r m~v esperpendicular al plano de la trayectoria, si su direccion es constante tambien lo es el plano dela trayectoria.

Sentido de ~L = cte la partcula se mueve siempre en el mismo sentido. |~L| = cte la velocidad areolar de la partcula es constante, es decir, su vector de posicion

barre areas iguales en tiempos iguales. Esto tambien se conoce como ley de las areas, y en elcaso del movimiento planetario, constituye la 2a Ley de Kepler.

Velocidad areolar : es la variacion en el tiempo del area que barre el vector de posicion (ver figura3), es decir, |d ~A|dt .

Cuestion 5 Que le ocurrira al momento angular de una partcula que describe una trayectoriacircular si, de repente, cambia de sentido?

Cuestion 6 A partir de la figura 3, expresar el area sombreada en funcion de los vectores ~r y d~r.

Angela Gallardo Lopez, Tema 3 - Leyes de Newton 4

L

Odr

r

dA

df

Figura 3: Diferencial de area barrida por el radiovector ~r

Solucion: En la figura 3 puede observarse un fragmento plano de la trayectoria deun movil al recorrer un angulo infinitesimal d. En este caso el area barrida por elradiovector ~r, d ~A, al ser el angulo muy pequeno, puede aproximarse por el triangulosombreado. Geometricamente el producto vectorial de dos vectores nos da el vectorarea del paralelogramo que forman. El area del triangulo sera la mitad de la del par-alelogramo, con lo cual:

d ~A =12(~r d~r)

Cuestion 7 A partir de la expresion que acabamos de obtener para d ~A, encontrar una expresionmatematica que relacione la velocidad areolar d ~Adt con el momento angular ~L.

Solucion: La velocidad con la que el radiovector barre el area d ~A sera:

d ~A

dt=

12(~r d~r)

dt=

12m

~r md~rdt

=~L

2m

Como m es constante, si ~L es constante, tambien lo es la velocidad areolar.