CAPITULO VIII

TENSOR METRICO

A- INTRODUCCION

Vamos a estudiar ahora un tensor que nos permite cuantificar el espacio que estemos considerando; el tensor mtricO, como veremos, es simple-mente un conjunto de cantidades, en general funciones, que nos sirve para Il!edir distancias sobre el espacio y por lo tanto calcular reas y vo-lmenes; en otras palabras, con el tensor mtrico logramos introducir una mtrica en ese espacio, sea euclediano o no -euclediano.

Llamamos espacio euclediano n-dimensional aquel en el cual la distan-cia entre dos puntos cercanos PI (x"'P1),:-p1. ... '--"X"",,) y 1\ (]{'fll+~X1'1 , __ _ -- ___ x-rl'l'\-\"~t;>"'" ") se puede obtener aplicando el teorema de Pitgoras en n dimensiones siempre y cuando pueda existir siquiera un sistema coor-denado -::t~ ( x" "Lt.,- _--:xfil) fijo en el espacio con referencia al cual se pueda expresar para todos los pares de puntos prximos de ese espacio la distancia entre ellos ( A y) corno:

- "Z.. '" "lo "lo 8-1 Jj'f f =- A :L-r, T l\ X'f" -+- b .:t:'f3

'l.. +- - __ - - +- ~::L-p""

1.\ Y., es la distancia entre los puntos cercanos PI. y P2 ; si la misma fr-mula (con referencia al mismo sis tema coordenado) se puede aplicar pa-ra cualquier otro par de puntos a.1(:::c.~'J:LiIl~, ___ . .:tQ .... ) y a. .... (~~,+Al(EI.~_-;;Cq ... +ll:tt!_) decimos que el espacio es euclideano, as ~v~ ser:

"l. '1... 't.. ' ,

..6 y~ .:; A XCilI + /j:t.. Q. 'L .. 6 ::I..~~ +- - - - b:(' ~"'t'\ Espacios euclideanos que conocemos son por ejemplo: un plano en 2 di-mensiones y nuestro espacio ordinario -intuitivo tridimensional I sin em-bargo, no hay razn para que no conside,remos espacios euclideanos de mayor nmero de dimensiones; en todos e,l1os la caracterstica es la de la introduccin de un solo sistema coordenado que nos permita para cual-quier par de puntos prximos medir la distancia entre ellos de acuerdo con Pitgoras.

Llamamos espacio no-euclideano n-dimensional ( o espacio riemanniano) aquel en el cual no es posible encontrar un sistema coordenado fijo (;x 1) X "lo - -- x~que nos permita para todos los pares de puntos prxi-

mos de ese espacio expresar la distancia entre ellos segn 8-1; de este modo para medir distancias en un espacio no euclideano se necesita considerar coordenadas variables en ese espacio; por ejemplo la superfi-cie esfrica es un espacio no euclideano de dos dimensiones porque no

52

se puede encontrar un sistema de coordenadas ( Xl) Xz ) fijo en esa su-perficie de modo que se pueda expresar para todos los pares de puntos prximos en la esfera la distancia /J. y como

Pocemos tambin apreciar que la superficie esfrica se puede considerar como espacio euclideano si se estudia en un nmero mayor de dimensio-nes que dos ya que si introducimos en el espacio tridimensional un siste-ma (xl x 1 x 3 ) para todos los pares PI, t.i si se puede expresar 6 v por: ) 2

-

Se puede generalizar, (esto se demuestra en el estudio de las geometras no euclideanas) y afirmar que todo espacio riemanniano n-dimensional se puede estudiar como euclideano si se considera en un nmero mayor de dimensiones; por lo tanto todos los espacios no euclideanos de dos di-mensiones se comportan euclideanamente (esto es Av se mide por 8-1) si se analizan en el espacio ordinario tridimensional. Debemos pues no-tar que el carcter de euclideanidad o de no-euclideanidad se define cuan-do se considera el espacio n-dimensional en esas mismas n-dimensiones, no en un espacio mas amplio; as, nos encontramos con la no euclediani-dad de una superficie bidimensional (se pueden considerar" superficie s 11 de 3 ... n-dimensiones, los llamados manifold s en ingls) si estudiamos su geometra intrnseca es decir referida a coordenadas variando sobre la superficie, pero no cuando es eudiamos esa supericie con ejes coordena-dos fijos .

B- Componentes del tensor mtrico (componentes covariantes del tensor mtri-co fundamental) .

Hemos visto en la introduccin que para un espacio euclediano n-dimen-sional la distancia entre dos puntos cercanos se puede calcular utilizan-

do la regla de Pitgoras y tomando un sistema cartesiano fijo yl; si los puntos en cuestin estn infinitamente prximos, la distancia entre ellos la llamamos d,5 y se cumple entonces:

8-2) (sumando sobre i= 1, 2 .. n segn la con-vencin de Eisntein) .

Si el espacio es no euclcdiano de todos modos se pl.!ede estudidr como

S3

euclediano o sea aplicar 8-2 con tal de tomar un nmero suficientemente grande de dimensiones; por lo tanto 8-2) es la expresin de d.s para to-do espacio sea euclediano o riemanniano.

Ahora , si definimos un nuevo sis tema coordenado xi I tal que

o en general inversa es

o en general

::z:1::,zJ ( J' J 1._ --- :1"'1) 7~:::t-z..f...j"'JJ: ---J~)

1 , ,

;t"'-:. x"" L:r~ j'Z.J - ---J""') X L',. .:i L' (J', J 'Z., ------ J "")

J' -:.. J' l Xl, X"L, ___ - - -.x. '>l) J 'Z..:: J" (X" .:i.. '2-, ____ - - -X 7)) I ,

I '2.. .." . ) ),'1'1::,. J~(:t.J:t J - --- _-:i..

'J L -= 1 ( (:X., X2. I - -- -- .:t"") d J L'::; d~j

y si la transformacin

, entonce s tenemos:

( sumando sobre j= 1,2 -n)

cambiamos el ndice en el segundo factor

mudo J por 1< para efectuar la multiplicacin. Tenemos as:

iI.jL d.-=t i d:LK dX" (suma sobre i, j, k = 1,2 I 3 .. n)

\-5:2-En el espacio n-dimensional esta expresin de c. tiene n 3 sumando;, )

llamemos:

8-3)

~.:t, . d ':.r ::. 3 J "" a:;tJ axll. osee :

a:e', "dJ~ + d ::(J' ct:L ,;.

,2>.1: d'j:J, d::L J a.x.""

-S4

Resulta: (j I k ndices mudos = 1, 2 I --n)

d ""J Sabemos que los J.. son las componentes contravariantes del vector desplazamiento y como d..:S1.. es un invariante, ya que la distancia en-tre dos puntos cercanos no depende del sistema coordenado empleado, obtenemos de 7-3 que los ;}ix son las componentes covariantes de un tensor; este tensor es el llamado tensor mtrico el cual propiamente ha-bIendo es d..s 'L (invariante) y sus componentes las podemos escribir en la siguiente matriz en el caso de espacio tridimensional:

~ll -21

~31

;]12

~22

De la definicin de ~il( en 8-3) observamos que:

;entonces corno para el

tensor mtrico se cumple g,:.i = g' decimos que es un tensor por lo tanto: 8-4) d.5"L;;: ~f.i a :tldxJ' con {j'J'simtrico,

, , , Slmetnco

Veamos como est relacionado el tensor mtrico ~ IJ' (lo designamos por una componente genrica) a; J --- I';J .

--":lO y los vectores base covariantes 0., a1.. ,J J

~ ~ En el sistema cartesiano en n-dimensiones ( jI) Jz. ____ ~ j ...... ) si l.,) t:~ ,---- )

--.i I'Y) son los vectores unitarios ba se la expresin del vector posicin Y de un punto 'j t' (i= 1,2 I " n ) es la siguiente:

La expresin para el elemento ds es:

G~I~"l.+- @Jl..)~?- ~----- @-J"')~ -:= d J t' d 'j t' (L' ::. J) 2 , ---- M) , ~

Ahora: d. y puede expresarse en funci.n del nuevo sistema de coorde-nadas curvil~as ~'}~\ ~~ ___ x"" con 'XL':: xL'tt'f~ __ -.:(")as:

d y "'- pY. Ji' 1" Ji? J.~ 1. + __ , t- a"?.. d. x "'l ~ a y LX L ) X I a :::l. 'l. 'o x:.... . ;:;.:x. l'

,

r-

55

en cada una de las derivadas parciales solo vara y a lo lar-.

go de la coordenada Xl (para un i especfico) permaneciendo constantes , - ~ los dsms .:x J ; esta derivada 9'( es el vector base Q.,' (t':I

J2.-,.,.,\

a.xJ ') definido en el capitulo 3 ..

Obtenemos as: --?

- a -::; a.. ~L. ay el ~J' . ,

aY!. ,

ax. J ,

d )!. t' d]i.J -=-~

8-5

- -Comparando 8-5 con 8-4 concluimos: 8-6) gaJ'" Q,.a,j' ;para emplear una notacin utilizada ampliamente en los libros sobre clculo tensorial. seguiremos llamando de ahora en adelante los vectores bases covariantes (o directos corno los hemos llamado por diferenciarlos de los vectores b::-

" -::;? ) ~ ? ' ses reCIprocas..,.., V~t' ar: como ci l ' ; segun esto podernos escribir 8-6): ~U = lt" ~j" sea que cada component~ j'".J del tensor mtrico es igual al producto escalar de los correspondientes vectores ba-

-';> --ses fJ. J ~i ; desde este punto de vista se puede apreciar nuevamente la simetra del tensor mtrico ya que el producto escalar es conmutativo e s decir:

-.-, -~I:J : fll" ~J' ~ \,""l..

A partir de Al-.J se introduce una mtrica en el espacio considerado de modo que se puede encontrar la expresin para los diferenciales de rea y

/

de volumen en espacios referidos a coordenadas curvilneas y luego por in-tegracin se encuentra longitud de curvas, rea de superficies y volume-nes de slidos; esto lo estudiaremos en el artculo referente a tensores re-lativos,

Veamos algunos ejemplos del tensor mtrico f/I'J' referido a varios siste-mas coordenados en el espacio de 3 dimensiones.

a) Coordenadas cartesianas

Sabemos que J5'L-"" (J ~ 1) 1.. +@1")1.. + --_~ j"')"l.. por lo tanto: 8,1 :=. I I /ln.,;:. ') 833:::' I y el resto de los ~ L'J' es cero; por lo tanto en coor-denadas cartesianas el tensor mtrico coincide con el delta de Kro-necker ~IJ' = LJ' ; si colocamos los componentes del tensor CJ

56

1 o o

1 o

o o 1

b) Coordenadas cilndricas.::L; la relacin entre las coordenadas car- tesianas J L Y las cilndricas ::t. l es la siguiente:

Ejemplo del art. 3)

Sabemos de 8-3) que:

por lo tanto:

a~' ~l -

,

J~t' a::LJ

Obtenernos por lo tanto:

::: a:1~ .. d J'~ J;(L d:xJ"

(k ndice mudo)

... ~(X'5.w X 1) ,d[:" .s~:tl)

d :x.t" a .:x. J

Desarrollando J obtenernos que los dems 8'j' son cero; por lo tanto el ten-sor mtrico (dispuesto como matriz) resulta ser:

1 o o

o o

o o 1

c) Coordenadas esfricas: la relacin entre las coordenadas cartesia-nas .J~' y las esfricas .:xl'es la siguiente:

,

57

x.::. J ': ~.:; .:t..'..s ' "t. ,)I! '1. l...D S ::L 3 J ~ .j"L;: Y j~? ~Q-~ .::L' ,5..(.N ::L2. 5~.x3 .z. -::.. .j:) -;:. -y e,o> 9 ~ Y.. I cp .s )L "lo

Estas relaciones se aprecian en el siguiente grfico

tenemos:

l=:e , -... - "..... ~ -.. --- .... "'-----... (ql

.- '" '\ .... " 2': , , . , . . , . , , ;

... --------- ---~-.-.-.--- ,

58

Desarrollando obtenemos que los dems para coordenadas esfricas:

3 'J 'son cero l por lo tanto,

1 o o

o o

o o , -

Los mismos resultados anteriores se pueden obtener a partir de los ~ - -::":>

vectores base covariantes 3(' ya que 8':J- = gl" [,., J as: a-l)

b-2)

.....,. ..,.

Para coordenadas cartesianas los vectore s base son L ,J'. K que son vectores unitarios y constantes en direccin por lo tan-to " 8: ~ r J g~:= T } g;:: - } se obtiene:

...,..... -- -... ~ g.,:.l..i=/J 3u.::.jJ-=-/ J - J

- ..... fl'1;: L', j ::: 0.) etc~los dems son cero.

En el ejemplo final del artculo 3) obtuvimos: -.... &, ::. ~ :::. ~.s:xl. 1; r .5..(rn :x. lo i: -:::. t J --. -fJ 1.. ':- ti lo ""-

~ ~ lb ~ L,3 Se obtiene:

-e --. -.. ___

::. ez:;~"l X Z . i. +- 5~'a xl. L~, ~ ::. J -. -; (- X I .5.(;'W');i. 1.. ) (~ .:~~.I _'..t.o."I xl.) ( I ' I +

J

TL:t'J~x1.+- X'WJYl.) :r.l: -;:.~,y~:::. "(1-Q __ ~-"7*

el 33=- fh .~h: Lj. L 3 :: J '12.:: .. g: ~(Ct;!>::t.7. Z +- 5.kn;{Z;),(-.x I 5..v., Xl.Zt-:x. 1 co.r::t't7:),..o

.J

los dems gJ'j' son cero c3 ) Encontremos para coordenadas esfricas.

-.. -.

d (J, l: r f}. {t. -1- 'j, 7 3 ) Tenemos:

~ .--. _-....... ~l -:: S.lh\::l'l. l..OJ:t" { t-S~:::L"l.s~X~2 -I-UJS;CZ i3 g;. ::: X I ?~l2. :J.>x3 t:' + -X. 'c.o:sxl.S~::t) G-X' ~)l2 Z; !:"""1t --"11 -=-~:3::: - X .s..tH\:t l 5..f.m Al. 3 l. +- :t 1 .s..(.,Y\ :t 't. (!.o S :t.) --'i>

S9

a " := - -'8" 'J, =- I

De los resultados obtenidos en los tres casos anteriores se desprende que el diferencial de arco J ~ se puede expresar en coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas respectivamente I de la siguiente manera:

cf!,?.~ G~,)"t+(d)'lr-+@)l)\ d-;'"l. + J'j'-4- d?::"2.. dS7..:: G.:t')l"t"(X)~Xl)\@y?)\:: d~1.. ~ .(2-d.'8-"L+ d~?. J5 1.. ~ @ X') 1. +-C?l' )'(d :r1.) '"+ (t ~ xl.) ~ y))'L:= dY1. .f- Y'dcJ,'L+- .. (l 5.v~;t rp Je."l..

Estas expresiones de el ') nos permiten por ejemplo, hallar la longitud de un arco de curva referida a un sistema dado de coordenadas ( sea car-tesiano , cilndrico, esfrico u otro tipo cualquiera); en este caso, ca--mo se e studia en geometra diferencial, las variables :;:L' J X \ x ~ ( y por lo tanto los correspondientes diferenciales dx', d x"L, d,,3) son funciones de un solo parmetro) por lo tanto d.s queda expresando en fun-cin de una sola variable pudindose hallar la longitud de un arco fini-to de curva por simple integracin.

c- Componentes contravariantes del tensor mtrico ( tensor conjugado) -'l..

Acabamos de estudiar la cantidad d S como un invariante que se pue-de expresar en funcin de los diferenciales contravariantes Jx t ' (i =1,2 , .. , n en el espacio n-:- dimensional) y de ciertos coeficientes ~'T los cuales, como hemos visto, son propiamente las componentes del tensor

d? estos 81")' se transforman doblemente covariantes al cambiar ) --

de un sistema coordenado a otro; tambin hemos estudiado que ~I:'f = ~'" 3i por lo tanto podemos apreciar que la frmula: d:$'Z.:: g ... f d. ~l' cJ ::t J '

expresa el hecho de que el tensor se encuentra referido a la base cova-- -#

riante lJ, (llamada al' en el artculo 3) ; sabernos sin embargo que las componentes de todo tensor se pueden expresar ya sea referidas a la ba-se covariante ( 4:. ) o a la base recproca o contravariante (aL' -=- ~t' ); en sntesis:

8-6)

siendo d'X l..' los diferenciales tomados a lo largo d e la base contravarian--, --. te al :: V ::t l' (ver ecuacin S-7 a) ,

I

I ,

I I

\

60

As como en la parte B de este artculo concluimos que 'l,,{ son las com-ponentes covariantes del tensor mtrico, de la misma manera podemos

. ,

ahora (de 8-6 ) concluir que g'J son las componentes contravariantes de un tensor de 2 o. Orden ya que a 1 multiplicarla s por las componente s cova-riantes de dos vectores ( J.:t~) d~i :componentes covariantes del vector

d-:; ) produce el invariante c1~~ (ver art. 7 I cociente tensorial). Encontremos el valor de los trminos :J ''J' del tensor conjugado l' 3 J Tenemos en coordenadas cartesianas:

- '1. _1 L' ) L' doS :=. a ':1 a ~ ;:: d ~ " d J(' ya que en el sistema cartesia-

no no hay diferencia entre las componentes covariante s y contravariantes de cualquier vector (ver art: 5: producto escalar). Ahora I si pasamos a otro sistema coordenado Xl (i = 1,2 I n) sabemos que las componentes covarian tes se transforman as:

Tenemos entonces: a~J axl(

son: 01 'jL' -d 'j'" J

8-7) , .

a.:tt., ~ x J . .'

)'jK a~1(

Ahora: de 8- 3 "

por lo tanto el producto interno

a 'j ~ a j"?1" - .

a:xJ . 'dX1

a ){.J a 'j 1(

Tenemos pue s ' ,

por lo tanto:

d. :::i. i d::t. I C

con: J

por lo tanto los trmin03 S J'J'

(k: ndice mudo :1,2, .. n)

(m: ndice mudo: 1,2 I ., n)

es igual a:

pero:

(vale -.l para k= m y -- para k;i: m )

a::t.' _ a.~R

,

61

. ' L

Al concluir que;S-S) ~. ~ tJ :: &R hemos deducido que el tensor conjugado 9 t"J' I como matriz, es la matriz inversa del tensor mtrico ya que el producto interno de dos tensores I el uno doblemente covarian-te y el otro doblement~ covariante nos produce, como matriz, la matriz producto yadems S;, como matriz, es la matriz unitaria; por ejemplo si estamos en el espacio tridimensional S-S} resulta:

$11 g12 '/13 ~ll ~12 d-13 1 o o 21 3-22 ~23

l21 ~22 (f23 - O 1 o J31 !-32 d33 3-31 ~32 J33 o o 1

de sarrollando se obtiene: ./

dI' 3/1 1" '1l. d 'l.' + ~ l' d 11 :; I ~" S/2 + 3,1 d l.l ..8,) 83 1- -:-0

~JI d" 3- d 13 d33 r,lo ~d" :.0

ZI 8" +:Jo d 11 +- 32) ~31 "'0

Estas 32 ecuaciones (n2 en el espacio n-dimensional) ~ estan representa-das tensorialmente por la ecuacin gJ"~ g

62

porque como sabemos del lgebra de matrices, la matriz inversa de una matriz dada es igual a la transpuesta de la matriz de los cofactores divi-dida~or~u determinante y como 31J' es una matriz simtrica (~I'J=","i.~

;;. ji. gl' ::. dJ'l')) entonces coincide la matriz de los cofactores con su transpuesta.

As como las componentes !lIJ' se pueden expresar en funcin de los vec-- -tores bases~.: (ll.i como los llamamos en el arto 3 ) de la misma ma-ne~ los ~t'j' se expresan en funcin de los vectores bases recprocos

\{"X.~) si estamos en el espacio tridimensional: - a :t.,' -:"' a ' ---. ~ ~ ..,. ~:' .. e. + :t!. lz + ?x~ l~ "::: C7-X': tIC

)'j, 91t fJj3 .;;J'j" vectores unitaria; en el sistema cartesiano '1t ' 1-,:1 J siendo - - --, , C. J (, J l..)

Ahora: - - d .:t.t.' - -.. d Xl' OYf.. '(j ::' 'V :tJ' f.Yj' , ~ 1(1 - LK e -

-

,

-

,

,

;.> 'jI< ) .'J'~ O> 'j '" d JR. ~ --:o ~ kl! , ;;) jJ' porque Lw. , l..t, = . ~ . .. "d.:' ::?' '1 ~l' , 'V'Xj

--

.;3 'j J< ;;; J J(

Comparando con 8-7 obtenernos :

,

) para seguir una convencih am-

pliamente utilizada, seguiremos llamando ,por lo tanto " , -. --11' ~ IJ :=- fr', ~ j

Resumiendo lo obtenido hasta este momento con respecto al tensor mtrico y su conjugado, tenemos:

l:fS 1...= dlJ el X t ti ';:f.J':= ~ ,'J' d :L.,' s el. ' d~' ~, J{(dx' J '!:: O, J con: 3 c'~' ':. ~ K ,> 'j ~ ;;f1O

ax J dX~ (k ndice mudo: 1,2 1-- n)

- -~ ,', ~ J' , , ~(f= ( -~ .q "

a.:l l ax J a'j;{ a'J~ -?

:,j 3 = ( ~IJ' : cofactor de ~IJ en la matriz ~) d.:; -.. a ::>/.4.'.

-- d JI(

-r1 -." ~L' ~ J J ~t' = -

-

( de 2-3 )

I

63

E s te ltimo resultado surge as: J!, 'l.... d-;, ~:: d X. c:i. '.)(. lo (de 5-17) ,

por lo tanto - 't.

64

colocado un punto en donde hay espacio vaco de ndice, por ejemplo en A~~. el punto a la izquierda de la j quiere decir que a la izquierda de

j no hay subndice sino un superndice que es 1. 'f el punto a la dere-cha de i quiere decir que a la derecha de i no hay otro superndice sino el subndice j ; es muy importante entonces colocar los puntos en el lugar preciso ya que de otro modo se presentara una gran confusin, por ejem-plo si no se colocan puntos en los casos 30. y 40. tendremos Aj:, A j: es deci:" aparentemente no habra diferencia entre las componentes de la 3a. form! y las de la 4a. lo cual es falso ya que si por ejemplo, en el caso del tensor de tensiones convenimos en que el primer ndice (sea superndice o subndice) que aparezca representa la normal a la superficie sobre la cual se define la tensin entonces en el caso 3 esa norma est en la direccin

-"""11 - ---.

de los vectore s de la base directa ( A'. j' = A' i ar.: 0...1 ,siendo aL' vector directo) y en el caso 40. la normal al rea est en direccin de los

. . --. --. ---. .

vectores de la base recproca (A/ ;: AJ' L ai Ql' siendo Q I vector r,e-cIproco) p,or lo tanto son fundamentalmente distintas las componentes A Lj' Y las AJ L ,

Se nos presenta ahora la tarea de pasar de unas componentes dadas del ten-sor a otras componentes o sea encontrar nuevas componentes a partir de u-

. '

nas dadas; por ejemplo: si conocemos las componentes A LJ como podemos encontrar las ' ALJ' ? Este problema ya lo hemos resuelto en el caso de tensores de orden ~ (o sea vectores) en el arto 5~ las ecuaciones 5-17 a y S-17b nos dicen

,

Al - A J g IJ' -

Al' , - Ai 3iJ -

-' '

--- ' ~IJ' - 3 L.J :::: , tl:1 siendo ~ a,' . aJ y D.L - , o sea las compo-

nentes del tensor mtrico y conjugado estudiado.sen este artculo.

El procedimiento que debemos seguir para obtener nuevas componentes a partir de unas dadas consiste en reemplazar aquellos vectores base que de-bamos cambiar para que las componentes queden referidas a una nueva ba-se, por ejernp~o si: ,A c.'~ 1lJ' liL' ~' y necesitamos obtener l~~ com-ponentes A.L~,;:. A"j' Cit' al entonces en la expresin ... d~ Al; debe-mos reemplazar a.J en funcin de los vectores recprocos QJ El pro-blema se reduce pues a encontrar los vectores bases directos en funcin de los recprocos y viceversa, los vectores recprocos en funcin de los direc-tos.

En la parte "operacione s con vectore s en coordenadas curvilneas" del ca.p, S obtuvimos:

65

5-16)

5-16 b) A,' = - -A ,a,. :: CA.~), -A -t a

- -En e~ caso de que el vector A sea el vector base directo aJo obtenernos:

Similannente :

\

.. , 5-16 d

-Q' 'J

--.

1 . d ' :::. o/L' O . 5-16 e

Estas dos ltimas expresiones nos van a permitir encontrar las distintas componentes de un tensor.

J ~

Si tenemos te forma:

AJ x se pueden obtener las AL' . de la siguien-

A= --.

Hemos reemplazado el vector base directo a.L' en funcin de los vectores base recproca a...i esto es: a:t , = jlR al( Queda as expresado el tensor en uncin de la base recproca por su pri-mer ndice y de la base directa por el segundo y tercer ndices o sea al efectuarse el producto interno Afj'i( ;I,.~se obtienen la s componentes mixtas

A~~ ~ del tensor A. El re sultado, llammoslo visual, fu la caida o descenso del primer superndice~ similarmente si tenemos las componentes Aij' JI.. se pueden obtener las componentes A::H de es ta manera ~

- ..... ;' ~I( ('.,l -.1 .... .t A.2 - .... J'-I( A .=. A {J' K a t a a. :.:: A ij'1< g ~ (). o.::=. J 1< a,R a. a. - 'JZ. -Hemos reemplazado oC: as! al,.':::. ~ L a Jl ; se obtiene pues:

,t.i.. t'J TlJ'x = ALj'K g ;concluimos, que el ascenso de un subndice i se

obtiene efectuando el producto interno del tensor (e s decir, sus componen-tes) por el tensor conjugado 3 t',.f Aplicando en forma reiterado el proced imiento a n te rior se pue den obtener mas componentes; por ejemplo u. par ti r de A w'l( s e con sigue :

A'J"( _ AL'Ji(Ci. A"'< _ A'J"O\. Ato{XQ (J A - o d) - 1 ,. JJ'ff'TI;;' d ~'l di rm l..,.

.J

., K _ A L J K ql'n :: AJI'J'r1, dI("" - d ... t'ffl) dXHl) , . , Al~ '" ::: ..di j j( c . , rM ,r)

66

Si efectuamos el procedimiento inverso, o sea submos los ndices que habamos bajado, debemos llegar a las componentes iniciales y en efec-to: A J' p< q 2 L' -::. ~ L'it<

R.. a / I , , A .)( ,'R tritrY) _ A I.J J(

RN'I'I. ~ () - .. A ~('j :t''''' 8J(1Y! = A l..J ~

..v _1"\ Q , , AL'. xi,.,." _ A' J Jo( ~ _, 8 - .J etc,

Concluimos as que el proceso de descenso y ascenso de ndices de un ten-sor dado ( o sea el proceso de encontrar nuevas componentes tensoz-iales ha partir de unas dadas) se efecta por medio de la multiplicacin inter-na del tensor dado (sus componentes) con el tensor mtrico y el conjugado respectivamente.