CAPITULO VII

ALGEBRA TENSORIAL

En este capítulo presentaremos las operaciones algebráicas que se pueden rea­lizar sob~e tensores de modo que el resultado de la operación sea un nuevo ten­sor.

-SUMA Y RESTA: La suma ( o resta) de dos tensores que tienen el mismo núme­ro de índices covariantes y contravariantes es un nuevo tensor dei mismo tipo (covariante, contravariante o mixto) y rango que los tensores dados

Por ejemplo dados los tensores AKt{ I ..z3~, , se transforma cada uno según la ley:

I ,

• a x"" A~, ..,., ~~ A~-w, -- é) x.~ é> :t.:- a'1~ IJ , m l< ,

<)::!. I

~~ BIJ' ~~ - , -- a:t ~X"'" é)j'"

Por lo tanto:

7-1

tl " Por 10 tanto ( A;j' ± .B 'J' ) es un tensor mixto de rango covariante 2 y de rango contravariante 1 ya que 7-1 es la ley de transformación de este tipo de tensores es decir:

-MULTIPLICACION: Hay dos tipos de multiplicación de tensores: la exterior y la in terior .

. Multiplicación exterior: Dados dos tensores cualesquiera (no necesariamente del mismo tipo y rango) se llama producto exterior de eh al tensor obtenido multiplicando cada componente de uno de ellos por todas las componentes del otro. Antes de ejecutar la multiplicación exterior de tensores, es necesario cambiar los índices en los dos tensores de modo que no haya indices· repeti­dos al mismo nivel. El producto exterior nos produce otro tensor como se dedu-

•

•

43

ce directamente de la ley de transformación de las componentes de cada uno de los tensores factores; por ejemplo:

De lo anterior deducimos que el producto exterior de dos tensores, uno de ellos de rango 1 covariante y de rango 1 contravariante y el otro, de rango 2 covarian­te y rango 1 contravariante es un tensor de rango 3 covariante y rango dos con-travariante es decir:

--Podemos generalizar y decir que el producto de dos tensores, uno de rango y covariante y S contravariante y el otro de rango {- covariante y ti. contrava­riante es un tensor de rango ( --(-t t ) covariante y ( S+ lt ) contravariante .

. Contracción: La contracción es una operación que se hace sobre un solo ten­sor y consiste en igualar un índice covariante con uno contravariante y al que­dar ambos iguales se realiza la suma sobre él; de esta mane ra resulta un nuevo tensor que tiene un rango menor en dos unidades que el tensor original; esto es, si el tensor original es de rango covariante -y y contravariante S al realizar una vez la contracción se obtiene un tensor de rango ("("-1 ) covariante y ( S - ¡ ) contra variante .

t Para comprobar lo anterior consideremos el tensor .})J'I<t,:

, • '-/ R. ""..." ,.,." • f'"l _ ~'t! ~ C> J _ ?"L" B \.

B""f~ - éJ;;("" dX-r dX~ ~Jl J 1l

igualando m y p re suIta: ''no'!

13't'l""~ Pero

l

d .L 't'tl _ - .... -é)jL"

• • ~ r7"'\ L

_ ~ j~ .a :LI( ~ a:t. J3 i ~Jt - ~:::['I"I d.x~8.x~ e>'jl' ,

? 'j ~( :::: ~:' por lo tanto : .;1 '-j t'

"

44

I ª-1:!' d ~~ B,L 13~'f

1(

A,' • ~ ~t" .. , ="/ - L.::K - é)X'" ax~ , Jd. )

1l'1"l'I • • (

~ ~ 13~",,~ - 13Ji.R. =7 -d ::f."'" a x c:t-

•

8it;. es ~r. tensor covariante de rango dos o sea:

En el ejemplo considerado, el índice m también se con q, . resultando en estos casos el tensor 0J~<l Bjk respectivamente.

•

podía haber contraído con n ó convertido en B I'C.{ Ó en

De lo visto anteriormente se deduce que la contracción de un tensor mixto de •

rangos 1 covariantr;s y contravariante, es un escalar, es decir enAf' si contrae-mos se obtiene Al::: A,'i A11. +- ---- +- A;: en el espacio n-dimensional; este tensor es un escalar ya que tiene una sola componente; la contracción de i con k en A~j' es un vect,or covariante ya que (si estamos por ejemplo en el es­pacio tridimensional) A:-. tiene tres componentes, una para cada valor de j, las cuale s son: J . Al lo 3

J:;./: 1I + Al. ,+A3 \

J;;. Z: A~2.. + A~t. + A~¡ ' J::-3: A~~ + A~~ -? A~3

Si hubiéramos contraído j con k nos hubiera dado el vector covariante A ~K cu­yas componentes son:

i= 1:

i= 2:

i=-3:

Hay que anotar que la contracción solo se realiza igualando un índice covarian­te con uno contravariante ya que la igualación de dos índices covariantes o de dos contravariante s produce una cantidad que en general no es un tensor; por ejemplo si en A 0' igualamos i con j nos produce A ~L' que se transforma así:

• dJ{ djJ - -- . é);t ..... é).x l'

4S

igualando i con j re suIta:

~j~ ~ a X"" 8:::t. l'

Se puede ""preciar de esta ley de transformación que A ~I..' no es un tensor por­que no se transforma como tal esto es, (Si estamos en espacio tridimensional por ejemplo) las tres componentes de A ~'l (una para cada valor de k ya aue se suma sobre i) se convierten en 33 = 27 componente s A:? y sabemos qU~ para que una cantidad sea tensor cada componente se transfonna en otra según la ley específica del tensor pero no como en este caso en que las tres compo­nentes se transforman en 27 .

. Producto interior: Si se realiza el producto exterior de dos tensores y luego en este tensor producto se efectúa una contracción de un índice covariante de un tensor con un índice contravariante del otro, el resultado es el produc­to interior de los dos tensores originales: qomo en general un tensor se, puede contraer de varias maneras (por ej emplo A J"< , se puede contraer en A~'K -= Al( ó en I\¡'c: = Áj' ) entonces en general hay varios tensores producto interior de dos tensores dados.

Por ejemplo, sean los tensores A~, Bf't entonces el producto exterior será: C. $rt = A"f .B +t ; contrayendo ,1.(, con Y resulta: (J't. ':. c: r'l"t ~ A ~ Bvt

también se puede obtener; t: A t: C. jy":- L ~V'-t:::' s"8 Y'4:.

Si se efectúa el producto interior de dos vectores, uno dado en sus componen­tes covariantes y otro en las contravariantes resultará un escalar ya que:

AL'::. P X .t' A l' ) B J':: d'1: B;. =-"/ ~j1' 'd..x Ó~, _ ......

():::í.~ I •

A L I

I si en este

producto externo realizamos la contracción i = j obtenemos:

A " B i = a ~ :' ~ó) j ~. A ~ B :; 51 ~ '+ A l' B ~ éI'jt d;tl !f. ~jf' ,.

l' Al' < ~ Af 1\ B ~ 3 L' -() r .f3 q.::: 1, l' '-.? -

='/

,

se demuestra así que A l' 13 f es un invariante de una sola componente I o sea

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un escalar; esta expresión es la misma ecuación 5-17 que nos define el produc­to escalar de dos vectores la cual se convierte en coordenadas cartesianas ( o

-? sea vectores bases unitarios y sin distinción entre la base directa aL y la recíproca al' ) en la expresión conocida AL.'.3l = A, '8,+ Al.lh + A~ 13 '3 (para el espacio tridimensional) .

Cociente tensorial: ' La división entre tensores no está definida; existe sin em­bargo una operación que puede ser asimilada a la división.

Dado un conjunto de cantidades (mas propiamente dicho, un conjunto de fun­ciones de las Yi) queremos averiguar si ellas son componentes de un tensor; una forma de averiguar esto es determinar si se transforman corno tensores es decir, comprobar si al cambiar de coordenadas Yi a las Xi esas cantidades se transforman por medio de alguna de las ecuaciones 6-1, 6-2, 6-3 que nos definen a los tensores covariantes, contravariantes o mix:tos. Existe sin embar­go otro' método que en muchos casos es muy práctico; consiste en esencia en multiplicar el conjunto de cantidades (o sea funciones de las Jl') dadas por tensores de tipo y rango conocido, según el resultado de esta multiplicación po­demos decir si las cantidades son o no componentes de un tensor y en caso de que lo sean, podernos determinar el tipo y rango de este;vearnos algunos casos:

a) AL:{ Si el símbolo representa un conjunto de 9 cantidades, (funciones de la:=¡, J..(....) I si fu' es un vector covariante arbitrario y si el producto in­

terno ALJ Bj' produce un vector contravariante, entonces podernos afirmar que AL! es un tensor contravariante de 20. Orden.

t'S La demostración es la siguiente: como A BJ es un vector contra variante en-tonces se "transforma (sus componentes) así:

A'Il ~ E ~ p x~ A ú· lJ . ~ g 'j " J

Pero nos dice el enunciado que ]j es covariante =9

En el lado de la izquierda g es un índice mudo y lo reemplazarnos por .!!!... .:~

,

~

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I , 'éLX~

....., .., ax ALJ,a Al(l'WI Erm - ::"0 =-"» • lrYI

Q 'j ¿' djJ

( AI~"., _ A LJ' ) I o Y.._"< ~.:t.::" 5trn - o -

d'j " d Ji

Para un valor dado de k la ecuación anterior nos resulta una ecuación con 3 términos (en el espacio tri- dimensional) .

Cada término multiplicado por un valor distinto de B'm (m::I,2,3) , vector B m, es arbitrario entonces para que la ecuación sea nula

y como el se debe cum-

plir que se anule cada uno de los n términos por lo tanto: I

A K,.,.., - -,?

, W fY""\ , . A :. ? X; 9 x""" A I.'j' d 'jL 'a 'jJ' o sea las

1J A son las com-

ponente s de un tensor contravariante de orden 2.

b) Si Bi

Y cj son dos vectores contravariantes arbitrarios si A,. es un con-) 1J

junto de cantidades (conjunto de funciones de las Yi ) de las cuales que-o remos saber si son las componentes de un tensor y si el producto interno Aij BicJ es un invariante, escalar, entonces Aij es un tensor covariante de orden 2.

Esto lo demostramos así: por hipótesis, , I

Bi = dyl 5" .;);('<

• •

A 'J' ~l (J

=-7 l I I

A J<.Q. E'" (..f :: A.-· ~'j~ ~. J ;;JXX ;:):xr¿

• B K

• .!l c.. =Y

i ' ,como B-, c J son vecto-

res arbitrarios entonces los términos entre paréntesis se deben anular =-'?

• tensor

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covariante de rango 2 .

En forma ~.r,t<iloga podemos demostrar plo si A::J·<:x' es un conjunto de 34

nes ) y s;: sabe que:

mas propiedades del mismo tipo: por ejem­=Bl funciones de las Yi (en tres dimensio-

A ,'J j( i. B ¡¿ = Tensor contravariante de orden tres = Aijk) .

siendo],i un vector covariante arbitrario entonces tes de un tensor contravariante de orden 4.

las Aijk,l son las componen-

Las expresiones anteriores nos dan la idea de introducir un algoritmo de divi­sión entre tensores; veamos los tres resultados obtenidos:

7-2 A<"j es tensor , .

AZ¿.i 8 L e J -::. {; ( escalar ) ~ A if e s tensor 7-3

7-4 A l.')' d .!3 R. -:;::. A ,'j' 1( :::::!:) A 1.'/ H 1.

es tensor

Podernos pensar que en esas tres ecuaciones lo que se hizo fué despejar la can­tidad que se desea averiguar si es o no tensor ( A':1 J A l.j' I A iJ" 1< 1.. res­pectivamente): realizando este "despeje" obtenemos:

. , ' A '-j::. AL lJi

AL)':. At' B l'

Análogamente: De 7-2:

y de 7-3:

..,.. " • .".., I " 1-

;el vector covariante del denominador pasa al def\Omi-.n.adeF- como cotravariante -=-'?

- . .J ; tensor doblemente contravariante (siendo .B : el vector contravariante "inverso" 'del vector covarian­te B j ) .

• •

,

: tensor covariante de or­den 2 (aquíBi, Cj son los "inversos" de Bi, C j ).

vector contravariante de orden 4 ( 1ft: vector" inverso" de 13! )

En lo que acabamos de desarrollar no hemos definido el cociente de tensores,

•

49

porque este no existe, lo único que hemos hecho es inventar un artificio que nos permite conocer el carácter tensorial de un conjunto de funciones a partir de su producto con tensores de orden conocido y del resultado de este produc­to; lo que hacemos entonces es despejar la cantidad cuya "tensorialidad" desea­mos conocer; este despeje lo hacemos ''pasando a dividir" los tensores que están mult':'plicando a nuestra cantidad y en este "cociente" pasamos estos ten­sores al numerador cambiando los índices covariantes en contravariantes y vi­ceversa.

A Il. Veamos un último ejemplo: Si .. es un conjunto de funcione.s de Yi (i=l, 2,3) (n o sabemos si s'on o no componentes de un tensor) y 8 JI( es un tensor arbitrario covariante de orden dos, entonces si al efectuar el producto interno Ai ~J'I(' el resultado en un tensor AIJ' doblemente covariante podemos de la "ley del cociente" despejar a A t! así:

K L A i . 8;'1( ~ A ,'j' ~

• K A -JI( l< A i e _ ,'j_ <::. A (j 8 ::: A (

BJ'I< I

1< por lo tanto los A i

son en efecto componentes de un tensor mixto de orden dos.

PROPIEDAD fUNDAMENTAL DE LOS TENSORES

La propiedad más importante de los tensores es la de que las ecuaciones tenso­riales en las cuales se dá la igualdad de dos tensores o se enuncia que un ten­sor es nulo, son ciertas para todos los sistemas de coordenadas. Para poder afirmar esta invariancia de las ecuaciones tensoriales con respecto a los distin­tos sistemas coordenados se debe cumplir necesariamente que los tensores que se están igualando en la ecuación tengan los órdenes covariantes iguales y los órdenes contravariantes también iguales es decir deben ser ecuaciones del tipo:

Orden covariante de A= orden covariante de B= n.orden contravariante de A= Or-J

den contravariante de B=s.

Para demostrar esta propiedad fundamental de las ecuaciones tensoriales , no­temos que si en un sistema de coordenadas Yi (i=1(2,3 ... n) un cierto tensor se anula, entonces se debe anular para cualquier otro sistema Xi (i=l, 2 ... n) (ver ecuación 6-4); ahora t si se tiene una ecuación del tipo:

7-4 -t .JÁ TI -t .c.4.

A ..,.s V ::: ..9'(' ~ v

debemos demostrar que esta igualdad se sigue m.anteniendo cuando cambiamos de las coordenadas Yi a las Xi es decir debemos demostrar:

•

-"

7-5) , el. f

..B a..l;¡ c.

50

-t..... tA.4. La forma más sencilla de llegar a 7-5 es notando que de 7-4 ) el tensor Ay.s,,-:B1'"Sv es un tensor nulo y como el tensor nulo es nulo en todos los sistemas coordena­dos resulta que al cambiar de coordenadas Yi a las xi , obtenemos

A'd f ziJf ~ A'df Idf o.hG - a.bG ::. o =-7 A.b!..;;'.B c:t.b c.

Esto mismo se puede demostrar de otra forma.

A-t..u Tenemos de las leyes de transformación de yso"

I eS j 'O x d , 'C) X t d j ."" ,<:9 '1 ~ Aa.bt. :: d'it .91""" é),X<L d..::t h

Restando obtenemos:

'di J J.f _ A A.!>r.. - lJ ct.bc -

~~~ ª-L a 1~ ? ~t~ dJoV.. 8.xq.. :d:t. h e>'xc..

<? x.J _ ;;; X ~ a '] ~ d j 5

;;> 'j~ d r-- ;;;xa.. d x b

rJ.f- Id}

A c:t.,b '- :::: .B Cl.. b c.

• •

Vemos que para poder hacer esta demostración se necesitó que los tensores A y

B tuvieran igual orden covariante (3 en este caso) e igual orden contravariante ( 2); si esto no se hubiera cumplido, no podríamos haber hecho la resta de los dos tensores (porque la suma y la resta solo está definida para tensores que tie"­nen el mismo número de índices covariantes y contravariantes) y por lo tanto no hubiéramos obtenido la igualdad A = B al cambiar de coordenadas; por lo ta.n­to si la ecuación tensorial A~5 ;;. 13:; es cierta en un sistema Yi I podemos asegurar que en general no será cierta para cualquier otro sistema coordena-do xi-