3-LineasTransmision+ideal+regimen+transitorio

Línea de transmisión ideal en el dominio del tiempo 1

TEMA 3

LÍNEA DE TRANSMISIÓN IDEAL EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

3.1 Introducción a las líneas de transmisión3.2 Modelo circuital de una línea de transmisión3.3 La línea de transmisión ideal3.4 La línea de transmisión ideal en el dominio del tiempo.

Bibliografía:

Capítulos 1 a 3 de “Líneas de Transmisión” de V.E. Boria y otros.Capítulos 2 de “Circuitos de Microondas con Líneas de Transmisión”, de J. Bará y otros.Capítulos 2 de “Microwave Engineering” de D.M. Pozar

“Medios de Transmisión: Problemas”, P. Soto y otros.


3.1 Introducción a las líneas de transmisión

Cable coaxial

Línea de transmisión:Es un sistema formado por dos conductores inmerso en un medio dieléctricohomogéneo, de forma que la sección transversal del sistema es invariante alo largo del mismo.

Ejemplos:

Stripline

Conductores

Mediodieléctrico

Línea bifilar

ConductoresMedio

dieléctrico

Conductorinterno

Conductor externo(planos de masa)

Mediodieléctrico



Comportamiento de una línea de transmisión:

L.T.(Coaxial)

l

λ ≡ Longitud de onda dela señal en la L.T.

L.T.

l

f

Cuando la longitud eléctrica <<1 (es decir, l << ):

- El efecto de la propagación de la señal en la L.T. es despreciable- El voltaje y la corriente no dependen de la posición en la línea- Sistema de elementos concentrados Teoría de Circuitos- Sucede a bajas frecuencias (donde )

λ

λ ⇑

λl



Comportamiento de una línea de transmisión (cont.):

Cuando la longitud eléctrica no es <<1 (es decir, no es insignificante)

- El efecto de la propagación de la señal en la L.T. no es despreciable- El voltaje y la corriente dependerán de la posición en la línea- La L.T. actúa como un elemento distribuido Teoría de L.T. - Sucede siempre que se trabaja a frecuencias elevadas (donde )λ ⇓

L.T.

l

λ

f

λl

L.T.(Coaxial)

l

λ ≡ Longitud de onda dela señal en la L.T.


Modelo circuital de una sección diferencial de línea de transmisión:

3.2 Modelo circuital de una línea de transmisión

Δz

z

Conductor 1

Medio dieléctrico

Conductor 2

Símbolo deuna línea detransmisión


3.2 Modelo circuital de una línea de transmisión

Parámetros secundarios (características de propagación):

- Exponente lineal de propagación:

- Impedancia característica de la línea:

( )0 R j L

ZG j C

ωω

+=

+Ω

Parámetros primarios (características electromagnéticas):

- Resistencia por unidad de longitud: R (Ω/m)Modeliza las pérdidas en los conductores

- Inductancia por unidad de longitud: L (H/m)Autoinductancia entre los dos conductores (flujo magnético entre ambos)

- Conductancia por unidad de longitud: G (S/m)Representa las pérdidas en el medio dieléctrico

- Capacitancia por unidad de longitud: C (F/m)Capacidad entre los dos conductores separados por un medio dieléctrico

( ) ( ) ( ) Np/mj R j L G j Cγ α β ω ω= + = + +coeficiente de atenuación

coeficiente de fase

α ≡

β ≡


3.3 La línea de transmisión ideal

Definición:Es una línea de transmisión sin pérdidas cuyos parámetros primarios sonademás constantes con la frecuencia

Modelo circuital equivalente:Al no existir ningún tipo de pérdidas = = 0R G

z

Δz

=0

LZ

C(real y positivo)

γ α β ω= + =j j LCα = 0 (no hay atenuación)

β ω= LC (lineal con la frecuencia)(imaginario puro)

Parámetros secundarios:

≡


3.3.1 Ondas de tensión y corriente

∂ ∂= −

∂ ∂∂ ∂

= −∂ ∂

v iL

z ti v

Cz t

Ecuaciones del telegrafista

Derivación de la ecuación de onda:Analizando el circuito y pasando al límite cuando :Δ → 0z

Derivando las ecuaciones del telegrafista:

∂ ∂= −

∂ ∂∂∂ ∂

= −∂ ∂ ∂

2 2

2

2 2

2

v iL

t zzi v

Ct z t

∂ ∂=

∂ ∂

2 2

2 2

v vLC

z tEcuación de onda para la tensión (1D)



Ondas de tensión:

Ecuación de onda para la tensión:

donde:

2 2

2 2 2

1v vz tυ∂ ∂

=∂ ∂

; 1 LCυ = ≡ Velocidad de propagación(o de fase) en la L.T. (m/s)

Solución de la ecuación de onda (d’Alembert):

( ),z z

v z t v t v tυ υ

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

zv t

υ+ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

zv t

υ− ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Onda progresiva de tensión que se propagacon una velocidad según +zυOnda regresiva de tensión que se propagacon una velocidad según -zυ

z

+v −v



Ondas de corriente:

Sustituyendo el valor de la tensión total en cualquiera de lasecuaciones del telegrafista e integrando se obtiene que:

que también se puede expresar como:

( )0

1,

z zi z t v t v t

Z υ υ+ −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

0

1z zi t v t

Zυ υ+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

1z zi t v t

Zυ υ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ),v z t

0; ZLC

= ≡

( ),z z

i z t i t i tυ υ

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

donde:

Impedancia característica de la L.T. (Ω)

Se establece, por convenio, como sentido positivo de la corriente a la direcciónde propagación de la onda progresiva (con esta notación, según +z)+v

Onda progresiva de corriente que se propagacon una velocidad según +zυ

Onda regresiva de corriente que se propagacon una velocidad según -zυ


3.3.2 Velocidad de propagación e impedancia característica

y que se puede demostrar que coincide con la velocidad de propagación de una onda electromagnética en el medio dieléctrico de la línea:

1

LC

ωυβ

= =

01 1

r r

c

LCυ

με μ ε= = =

Velocidad de propagación:Es la velocidad a la que se propagan las ondas de tensión y corriente por lalínea de transmisión, que para una línea de transmisión ideal es:

La velocidad de propagación en una línea de transmisión ideal dependeexclusivamente de las características del medio dieléctrico de la línea

donde:8

0 0 01 2,9979 10 m s c μ ε= ⋅ ≡ Velocidad de la luz en el vacío

r μ ≡ Permeabilidad magnética relativa del medio

Permitividad eléctrica relativa del medio rε ≡


3.3.2 Velocidad de propagación e impedancia característica

Impedancia característica:En una línea de transmisión ideal, representa el cociente entre la tensión y lacorriente asociadas tanto a la onda progresiva como a la regresiva:

0

z zv t v t

LZ

z zC i t i t

υ υ

υ υ

+ −

+ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En una línea de transmisión ideal, tanto la velocidad de propagación como la impedancia característica de la línea son valores reales, positivos y no dependen de la frecuencia

y su valor va a depender exclusivamente de la geometría física de la línea ylas características del medio dieléctrico


3.3.3 Potencia neta transmitida

y operando se concluye que:

Cálculo de la potencia neta transmitida:La potencia neta que se transmite por la línea en la dirección de propagaciónde la onda progresiva (+z) será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1, , ,P z t v z t i z t v t z v t z v t z v t z

Zυ υ υ υ+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − + + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

0

1, , ,P z t v t z v t z P z t P z t

Zυ υ+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

z

( )2

0

1,

zP z t v t

Z υ+ +⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Potencia transportada por la ondaprogresiva (dirección según +z):

( )2

0

1,

zP z t v t

Z υ− −⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Potencia transportada por la ondaregresiva (dirección según -z):

( ),i z t

( ),v z t( ),P z t+

( ),P z t−0,Z υ


3.4. La L.T. ideal en el dominio del tiempo

Tensión e intensidad en el dominio del tiempo:La tensión y la intensidad total en cualquier instante de tiempo y en cualquierpunto de una línea de transmisión ideal vienen dadas por:

( ),z z

v z t v t v tυ υ

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )0 0

1 1,

z zi z t v t v t

Z Zυ υ+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Onda regresiva(según -z)

Onda progresiva(según +z)

La forma y magnitud de dichas ondas van a depender de las condiciones decontorno (excitaciones y cargas) en las que se encuentra la línea tanto a suentrada como a su salida

que están formados por la superposición de una onda progresiva y una ondaregresiva que se desplazan por la línea a una velocidad υ


3.4.1 Generación de la primera onda progresiva

Experimento a realizar:

Tenemos una línea de transmisión ideal de longitud infinita, de impedancia característica y velocidad de propagación Línea está desconectada para , y por lo tanto las condiciones inicialesen la línea son nulas: En conectamos la fuente de tensión de valor y con resistencia interna a la línea de transmisión

0Z υ0t <

( ) ( ), 0 , 0 0v z t i z t− −= = = =

0t = ( )gv tgR

z0

( )gv t

gR 0t =

0,Z υ

( )0,i t

( )0,v t


Condiciones de contorno:Al conectar la fuente a la línea de transmisión, se deberá generar una ondaprogresiva en la línea para verificar las condiciones de contorno en : 0z =


( ) ( )1 10

1, , ,

z zv z t v t i z t v t

Zυ υ+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

por aplicación de la 2ª ley de Kirchoff:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1g g g 1

0

0, 0,v

u tt

v t R i t v t R v tZ

++= + = +

y despejando:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g 0 0g 1 1 g

0 0 g

R Z Zv t vu t t v u tt v t

Z Z R+ ++⎛ ⎞

= ⇒ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

de modo que la primera onda progresiva es:

( ) ( ) 01 g

g 0

,Z z

v z tz

ut tv z v tR Z υ

υυ

+ ⎛ ⎞= − = − ⎛⎜ ⎟

⎞−⎜ ⎟⎝+ ⎠ ⎠⎝

( ) ( )1 g0 g 0

1 1,

zi z t v t z v t

zu

Z R Ztυ

υ υ+ ⎛ ⎞= − = −⎜

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝

⎟+ ⎠ ⎠⎝

Onda progresiva quese desplaza por la línea de transmisión


Representación gráfica de la onda:


Sea 0 g50 ; 75 Z R= Ω = Ω

r r1 ; 2,25μ ε= =

( ) g

2, V

5z

v z t v tυ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

80

r r

2 10 m/scυμ ε

= = ⋅

La onda se propaga según +zrecorriendo una distancia de 0,2 m en 1 ns ( )82 10 m sυ = ⋅


3.4.2 Reflexión en cargas resistivas

Experimento a realizar:

Consideremos la misma configuración que en el apartado anterior, peroahora con una línea de transmisión ideal finita y de longitud En su extremo se conecta una carga resistiva de valor LR

l

z0

( )gv t

gR 0t =

0,Z υ

( )0,i t

( )0,v t LR

l

( ),i z l t=

( ),v z l t=

Tras conectar la fuente en se generará la primera onda progresiva en elplano del generador ( ) :

0t =0z =

01 1 1 g

0 0

1, ; con

g

Zv v i v v v

Z Z R+ + += = =

+

NOTA: A partir de ahora, y con el objeto de simplificar la notación, no se representará la variacióncon el tiempo (t) y el espacio (z) de las distintas ondas en la línea de transmisión



forzando la condición de contorno en el plano de carga:

es decir, que la onda reflejada es proporcional a la incidente:

( )1 1 1 10

1,v v v i v v

Z+ − + −= + = −

Factor de reflexión en el plano de carga:En el instante de tiempo la onda llega al plano de carga ( )y como probablemente no cumple la condición de contorno en dicho plano

se debe generar una onda regresiva parapoder cumplirla:

T l υ= 1v+ z l=

( ) ( )( )L, ,v z l t R i z l t= = = 1v−

( )LL 1 1 1 1

0

Rv R i v v v v

Z+ − + −= ⇒ + = −

y expresando en términos de :1v+1v−

L 0L L1 1 1 1

0 0 L 0

1 1Z Z

R ZR Rv v v v

R Z− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −

+ = − ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L 011 L 1 L

1 L 0

;R Zv

v vv R Z

ρ ρ−

− ++

−= = = ≡

+Factor de reflexión en el plano de carga



forzando la condición de contorno en el plano de generador:

( )1 1 2 1 1 20

1,v v v v i v v v

Z+ − + + − += + + = − +

Factor de reflexión en el plano de generador:Del mismo modo, en el instante la onda regresiva llegará al plano delgenerador , lo que obliga a que se genere una segunda onda progresiva

para verificar la condición de contorno en dicho plano:

2T

2v+0z =

1v−

( ) ( )gg g g 1 1 2 1 1 2

0

Rv R i v v v v v v v v

Z+ − + + − += + ⇒ = − + + + +

como , la expresión anterior se reduce a:01 g

0 g

Zv v

Z R+ =

+

( ) ( )g1 2 1 2

0

0Z

Rv v v v− + − += − + + +

g 022 g 1 g

1 g 0

;R Zv

v vv R Z

ρ ρ+

+ −−

−= = = ≡

+Factor de reflexión en el plano de generador

y despejando en función de :1v−2v+



Para representar gráficamente la evoluciónde las ondas en la línea de transmisión seusa un diagrama espacio-tiempo, en el quese indica la posición en la que se encuentrael principio de cada onda en la línea paracualquier instante de tiempo

Diagrama espacio-tiempo:Este proceso, con la llegada de ondas a los planos de carga y de generador, y la creación de nuevas ondas reflejadas para cumplir las condiciones decontorno se repite en principio indefinidamente

En un instante de tiempo y en una posición en la línea, la onda progresiva(ó regresiva)

total será la suma de las distintas ondas progresivas(ó regresivas) que han atravesado dicha posición de la línea en el instante

iz

it

it

lT

υ= ≡ tiempo que tarda una onda

en recorrer la línea



Adaptación de impedancias:Las reflexiones en una línea de transmisión representa en la mayoría de lasocasiones un efecto indeseado en los sistemas de telecomunicación, ya que:

– Da lugar a que le lleguen réplicas de la misma señal a la carga en distintos instantes de tiempo (una especie de ‘eco’)

– La existencia de ondas reflejadas normalmente (aunque no siempre) indica que no llega toda la potencia posible a la carga

Si la resistencia conectada en uno de los planos (generador o carga) coincidecon la impedancia característica de la línea, no existirá discontinuidad de la impedancia en dicho plano y por tanto el factor de reflexión será cero, con loque no se generará ninguna reflexión en el plano. Cuando se produce esta situación se dice que el plano (puerto) está terminado y la línea adaptada

0Z

En muchos de los sistemas de telecomunicación que operan a altasfrecuencias se busca lograr , de modo que ambospuertos estén terminados, evitando así cualquier reflexión y lograndomáxima transferencia de potencia del generador a la carga

0 g LZ R R= =


3.4.3 Reflexión en cargas reactivas

Configuración a considerar:

z0

gV

g 0R Z=t T= −

0,Z υ

( )0,i t

( )0,v t L

l

( ),i z l t=

( ),v z l t=

lT

υ= ≡ tiempo que tarda una onda

en recorrer la línea

En el instante se genera la primera onda progresiva en el plano del generador que llegará al plano de carga en :

t T= −0t =

1v+

( ) ( ) g01 g

g 0

, ;2

VZv l t Au t A V

R Z+ = = =

+

y generará una onda regresiva para verificar la condición de contorno en dichoplano:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 10

1, , , , , , ,v l t v l t v l t i l t v l t v l t

Z+ − + −⎡ ⎤= + = −⎣ ⎦


Factor de reflexión complejo:Al tratarse de una bobina, la condición de contorno en el plano de carga será:


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 10

d , d, , , , ,

d d

i l t Lv l t L v l t v l t v l t v l t

t Z t+ − + −⎡ ⎤= ⇒ + = −⎣ ⎦

de donde se deduce el factor de reflexión complejo en el plano de carga:

para obtener transformamos la ecuación anterior al dominio de Laplace:( )1 ,v l t−

( ) ( )1 10 0

, 1 , 1 0sL sL

V l s V l sZ Z

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

como la línea está inicialmente descargada, , por lo que:( ) ( )1 1,0 ,0 0v l v l+ − − −= =

( ) ( )( )

( )( )

1 L 00L

1 0 L 0

,

,

V l s Z s ZsL Zs

V l s sL Z Z s Zρ

−

+

−−= = = ≡

+ +Factor de reflexión complejo en elplano de carga (dominio de Laplace)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 10

, , , ,0 , ,0L

V l s V l s sV l s v l sV l s v lZ

+ − + + − − − −⎡ ⎤+ = − − −⎣ ⎦

con ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1, , , , ,V l s v l t s V l s v l t s+ + − −= =L L


Onda de tensión reflejada:La tensión de la onda reflejada por la carga en el dominio de Laplace será:


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )L 0 0

1 1L 0 0

L, ,Z s Z sL Z A

V l s V l s Au t sZ

ss Z sL Z s

ρ− + − −= = =

+ +L

y aplicando la transformada de Laplace inversa se obtiene :( )1 ,v l t−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 101 1

00

2 1, ,

sL Z Av l t V l s t t A t

ZsL Z s ssL

− − − − −

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪−

= = = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬+⎩ ⎭ ⎪ ⎪+⎩ ⎭

L L L

de donde se concluye que:

Como el plano del generador está adaptado, al incidir esta onda sobre dichoplano será absorbida por la resistencia de generador, y no se generará unanueva onda progresiva

( ) ( ) ( )0

10

, 2 1 2 1 ;Z t

tL L

v l t A e u t A e u tZ

τ τ−−− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − = − = ≡⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

constantede tiempo


Representación gráfica en el plano de carga:


LTΔ ≡ tiempo que tarda la bobina en realizar la mitad de la carga (ó descarga)

Cálculo de :LTΔ

( ) ( ) ( )0

L

1 L L0

, 2 1 0 ln 2 0,69Z

TL L

v l t T A e u t TZ

τ− Δ− ⎡ ⎤

= Δ = − = ⇒ Δ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Conocido y midiendo LTΔ0ZSe puede determinar el valor de labobina L conectada al plano de carga

La bobina, al pasar el tiempo, tiende a actuar como un cortocircuito ante una excitación constante



Evolución de la tensión a lo largo de la línea:

z l=

2z l=

0z =

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