3. Distribución de probabilidad

Una distribuciòn de probabilidad presenta los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada uno de estos resultados.

Ejemplo. Suponga que estamos interesados en el número de águilas que caen al lanzar tres veces una moneda. Este es el experimento. Los resultados posibles con: 0, 1, 2, ó 3 águilas. ¿cuál es la distribución de probabilidad para el número de águilas posible?

Existen 8 resultados posibles 1 sello sello sello 0

2 sello sello águila 1

3 sello águila sello 1

4 sello águila águila 2

5 águila sello sello 1

6 águila sello águila 2

7 águila águila sello 2

8 águila águila águila 3

3. Distribución de probabilidad

Las probabilidades son: P(0) = ⅛ = 0.125

P(1) = ⅜ = 0.375

P(2) = ⅜ = 0.375

P(3) = ⅛ = 0.125 Total = 1.000 ⅜

Al graficar obtenemos:

⅛La probabilidad de un resultado en particular está entre 0 y 1. y la sumatotal tiene que ser 1 si los eventos 0 1 2 3son mutuamente excluyentes.

3. Distribución de probabilidad

Ejercicio. Suponga ahora que lanza cuatro veces la moneda. ¿cuál es la distribución de probabilidad para el número de águilas?

3. Distribución de probabilidad

Variables aleatorias

Una variable aleatoria es el resultado que se obtiene al azar en un experimento y que puede asumir valores diferentes. En el ejemplo que acabamos de ver, la variable aleatoria es el número de águilas. Normalmente, las variables aleatorias se denominan con una letra mayúscula y los eventos en particular con una letra minúscula, esto es:

X = número de águilasx1 = 0

x2 = 1

etc.

Las variables aleatorias pueden ser: discretas o continuas

3. Distribución de probabilidad

Variables aleatorias

Una variable aleatoria discreta es la que puede tomar un número limitado de valores, tal como ocurre en el ejemplo, donde la variable solo puede presentar como resultados 0, 1, 2 ó 3, cuando la moneda se lanza tres veces. En el otro extremo, una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, por ejemplo, si queremos conocer el peso de un grupo de personas los resultados probables son infinitos entre 0 y 500 kg.

Por lógica, una variable aleatoria discreta origina una distribución de probabilidad discreta, y una variable aleatoria continua origina una distribución de probabilidad continua.

3. Distribución de probabilidad

La media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta

Como se sabe, la media reporta la ubicación central de la información y la varianza, al igual que la desviación estándar, describe la dispersión de la información.

Una distribución de probabilidad se resume a través de su media y de su varianza. La media, en este caso, se representa con la letra griega μ (mu) y la desviación estándar con la letra griega σ (sigma).

La media de una distribución de probabilidad discreta se calcula a través de la siguiente fórmula:

Donde: x representa a cada valor que puede tomar la variable y P(x) es la probabilidad de ese valor en particular. Σ es la sumatoria de todas las operaciones.

)(xPx

3. Distribución de probabilidad

La media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta

La fórmula para la varianza es:

y la desviación estándar se obtiene al extraer la raíz cuadrada positiva de la varianza, esto es:

Ejemplo: Un agente de ventas de una distribuidora de automóviles ha observado que los sábados es cuando se vende el mayor número de unidades. De hecho, obtuvo la distribución de probabilidad siguiente para las ventas de ese día en particular:

)(22 xPx

2

3. Distribución de probabilidad

La media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta

a) ¿què tipo de distribución es ésta? Distribución de probabilidad discreta.

X = autos vendidos P(x)

0 0.1

1 0.2

2 0.3

3 0.3

4 0.1

3. Distribución de probabilidad

La media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta

b) En un sábado típico, ¿cuántos automóviles espera vender?

Como no puede vender exactamente 2.1 automóviles, este valor esperado sirve para pronosticar las ventas totales de los sábados en un periodo prolongado, por ejemplo de 50 semanas, cuyas ventas serían 105 automóviles.

x P(x) x • P(x)

0 0.10 0.00

1 0.20 0.20

2 0.30 0.60

3 0.30 0.90

4 0.10 0.40

Σ = 1.00 μ = 2.10

3. Distribución de probabilidad

La media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta

c) ¿cuál es la varianza y la desviación estándar de la distribución?

x P(x) (x – μ) (x – μ)2 (x – μ)2•P(x)

0 0.10 -2.1 4.41 0.441

1 0.20 -1.1 1.21 0.242

2 0.30 0.1 0.01 0.003

3 0.30 0.9 0.81 0.243

4 0.10 1.9 3.61 0.361

σ2 = 1.290

3. Distribución de probabilidad

La media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta

Ejercicio 1. Calcular la media y la varianza de la siguiente distribución de probabilidad discreta:

x P(x)

0 0.2

1 0.4

2 0.3

3 0.1

0 -1.3 0.3380.4 -0.3 0.0360.6 0.7 0.1470.3 1.7 0.2891.3 0.81

0.9

3. Distribución de probabilidad

Ejercicio 2. Las tres tablas siguientes muestran las “variables aleatorias” y sus “probabilidades”. Sin embargo, solo una de éstas es en realidad una distribución de probabilidad.

a)Determine que tabla es en realidad una distribución de probabilidad?2b)Encuentre la probabilidad de que sea exactamente 15.0.2c)No mayor que 10.0.4d)Mayor que 5 0.9e)Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de la distribución. 14.5; 27.25; 5.22

x P(x)

5 0.3

10 0.3

15 0.2

20 0.4

x P(x)

5 0.1

10 0.3

15 0.2

20 0.4

x P(x)

5 0.5

10 0.3

15 -0.2

20 0.4

3. Distribución de probabilidad

Distribución de probabilidad binomial

La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta muy a menudo. Una de las características de ésta distribución es que existen solo dos resultados posibles en una prueba en particular. Por ejemplo:

a)Un producto se clasifica como aceptable o inaceptable.b)Una persona se clasifica como empleado o desempleado.c)Una llamada de ventas provoca que un cliente compre o no compre un producto.

Con frecuencia, clasificamos los dos resultados posibles como “éxito” o “fracaso”, lo cual no implica que un resultado sea bueno o malo.

En la distribución binomial, la variable aleatoria es el resultado del conteo de éxitos en el número total de pruebas.

3. Distribución de probabilidad

Distribución de probabilidad binomial

Por ejemplo, si nos interesa el número de águilas que se obtienen al lanzar una moneda cinco veces, nuestra variable contará el número de veces que se obtuvo una cara en los cinco lanzamientos, los resultados posibles serán 0, 1 , 2, 3, 4 ó 5.

Una tercera característica de una distribución binomial es que la probabilidad de éxito es la misma en una prueba que en otra. Retomando el ejemplo anterior, la probabilidad de obtener un águila en el primer lanzamiento de la moneda es de 0.5 y esa probabilidad permanece igual en el segundo, tercero, y el resto de los lanzamientos de la moneda.

La característica final es que cada prueba es independiente de las demás. Esto es, el resultado de una prueba en particular no afecta el resultado de las demás.

3. Distribución de probabilidad

Construcción de una distribución de probabilidad binomial

Para crear una distribución de probabilidad binomial específica utilizamos:

a) el número de ensayosb) La probabilidad de éxitos en cada ensayo.

Con estos datos, la probabilidad para cada resultado posible se obtiene mediante la siguiente fórmula:

P(x) = nC xπx(1 – π)n – x

Donde: C = combinaciónn = número de pruebasx = número de éxitosπ = probabilidad de un éxito en cada prueba o ensayo.

3. Distribución de probabilidad

Construcción de una distribución de probabilidad binomial

Ejemplo. Existen cinco vuelos diarios de Aeroméxico entre México y Hermosillo. Suponga que la probabilidad de que un vuelo llegue tarde es de 0.20.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún vuelo llegue tarde el día de hoy?

P(0) = 5C 0(0.2)0(1 – 0.2)5 – 0 = 0.3277

b) ¿ Cuál es la probabilidad de que exactamente un vuelo llegue tarde el día de hoy?

P(1) = 5C 1(0.2)1(1 – 0.2)5 – 1 = 0.4096

c) Determinar toda la distribución de probabilidad.

3. Distribución de probabilidad

Construcción de una distribución de probabilidad binomial

c) Representar gráficamentela distribución de probabilidad.

X = número de vuelos demorados P(x)

0 0.3277

1 0.4096

2 0.2048

3 0.0512

4 0.0064

5 0.0003

Total = 1.0000

3. Distribución de probabilidad

Construcción de una distribución de probabilidad binomial

La media y la varianza de una distribución binomial se pueden calcular de una manera “abreviada” a través de:

μ = nπ = 5 (0.20) = 1.0

σ2 = nπ (1 – π) = 5 (0.20) (1 – 0.20) = 0.80

Corroborar éstos datos con las fórmulas utilizadas anteriormente.

3. Distribución de probabilidad

Distribución de probabilidad binomial acumulada

Si quisiéramos conocer la probabilidad de adivinar correctamente las respuestas de 6 o más preguntas de falso/verdadero en una sección de un examen de 10 reactivos, debemos utilizar este tipo de distribuciones.

Ejemplo. Un estudio reciente reveló que el 60% de los conductores hermosillenses utilizan sus cinturones de seguridad. Se seleccionó una muestra de 10 conductores que pasaban por un retén municipal.

a) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 7 conductores utilicen cinturón de seguridad?

P(7) = 10C 7(0.6)7(1 – 0.6)10 – 7 = 0.215

b) ¿cuál es la probabilidad de que 7 conductores o menos utilicen cinturón de seguridad?

3. Distribución de probabilidad

Distribución de probabilidad binomial acumulada

Para el último inciso, es necesario determinar las probabilidades para 0 a 7 conductores con cinturón de seguridad y la suma de las probabilidades será la respuesta.

P (x = 0) = 0.0001P (x = 1) = 0.0016P (x = 2) = 0.0106P (x = 3) = 0.0425P (x = 4) = 0.1115P (x = 5) = 0.2007P (x = 6) = 0.2508P (x = 7) = 0.2150 Total = 0.8328

Como es una probabilidad acumulada, es fácil determinar si 8 o más conductores usaban el cinturón de seguridad al restar a 1 el valor de 0.8328, con lo cual, obtenemos 0.1672.

3. Distribución de probabilidad

Distribución de probabilidad binomial acumulada

Ejercicio. En una distribución binomial n= 8 y π = 0.30. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:

a) x = 2

b) x ≤ 2

c) x ≥ 3

3. Distribución de probabilidad

Distribución de probabilidad de Poisson

La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser tiempo, distancia, área o volumen.

La distribución se basa en dos suposiciones:

1.La probabilidad es proporcional a la duración del intervalo.2.Los intervalos son independientes.

La distribución también es una forma limitante de la distribución binomial cuando la probabilidad de un éxito es muy pequeña y n es grande. Por lo general se le llama “ley de eventos improbables”, lo cual signific que la probabilidad de que ocurra un evento en particular es muy pequeña.

La distribución Poisson es una distribución de probabilidad discreta.

3. Distribución de probabilidad

Distribución de probabilidad de Poisson

Se utiliza como un modelo para describir la distribución de errores en la entrada de la información, el número de rayones y otras imperfecciones de las cabinas de los automóviles recién pintados, el número de partes defectuosas en los envíos, el número de clientes que esperan ser atendidos en un restaurante, etc. Esta distribución se describe matemáticamente con la siguiente fórmula:

Donde:

μ es el número de éxitosе es la constante 2.71828P(x) es la probabilidad para un valor en específico de x.

La media y la varianza de esta distribución es la misma: μ =σ2 = nπ

3. Distribución de probabilidad

Distribución de probabilidad de Poisson

Ejercicios:

1. Se sabe que en pocas ocasiones una aerolínea pierde el equipaje. Suponga que una muestra aleatoria de 1000 vuelos presenta un total de 300 maletas perdidas.a)¿Cual es la media aritmética de maletas perdidas?b)¿Cuál es la probabilidad de no perder ninguna maleta?c)¿Cuál es la probabilidad de perder exactamente una maleta?

2. En una distribución de Poisson μ = 0.4a)¿Cuál es la probabilidad de que x = 0?b)¿Cuál es la probabilidad de que x ˃ 0?

Para una distribución de Poisson, la variable aleatoria puede asumir un número infinito de valores. Sin embargo, las probabilidades se vuelven muy pequeñas después de los primeros éxitos.