3 Algebra 1ro sec - I
-
Upload
herberts-dcharaja -
Category
Documents
-
view
310 -
download
13
description
Transcript of 3 Algebra 1ro sec - I
TEMA: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: Expresiones AlgebraicasCONCEPTO
Son aquellas expresiones en las que las operaciones que se usan son slo las de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin, radicacin entre sus variables en un nmero limitado de veces.
Ejemplos:
Son expresiones algebraicas
Son expresiones algebraicas
TRMINO ALGEBRAICOEs aquella expresin algebraica en la que no se enlaza a las variables mediante la adicin y la sustraccin, presenta dos partes que con el coeficiente y la parte literal (parte variable)
Ejemplo:
TRMINOS SEMEJANTESSe llaman trminos semejantes de una expresin algebraica a aquellos que tienen la misma parte literal, esto es; la mismas letras con los mismos exponentes. Difieren, entre s en los coeficientes.
Ejemplos:
a) 3xyz2; - 3xzy2; 6xyz2Son trminos semejantes
b) 2a2b; 3a2b; 7a2b; a2bSon trminos semejantes
c) np3; np3, np3
Son trminos semejantes
d) 3a3b; 6ab3
No Son trminos semejantes
CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICASLas expresiones algebraicas se clasifican en Monomios y Polinomios.
I) Monomios: Es la expresin algebraica que consta de un solo trmino.Ejemplos:
. 3x; 7x2y; xy3; 0,7 ab; x2yz3 .
II) Polinomios: Es la expresin algebraica de dos o ms trminos.Ejemplos:
. 4x 3y ; 5x2 3y + xy; 3xy + 5y 3x + 6 .
Binomio:
Es la expresin algebraica que consta de dos trminos.
Son binomios:
. 3x2 y; 8x2y + y; 2x + 3; 5x2 + 6 . Trinomio:
Es la expresin algebraica que consta de tres trminos
Son trinomios:
. 3x2 7x + z; 2a2 + 3ab + b2; 7x3 2x2 + 6 .GRADO DE UNA VARIABLEEl grado de una variable es el exponente de dicha variable.
Ejemplo::
En el trmino: 7x2y3 La variable x es de grado 2, o segundo grado.
La variable y es de grado 3, o tercer grado.
GRADO DE UN MONOMIOEl grado de un monomio puede ser relativo o absoluto.
El Grado Relativo o con respecto a una letra o variable est dado por el exponente de dicha letra.
As:
9x3y2 ...... es de tercer grado con respecto a x; y de segundo grado con respecto a y.
Grado Relativo con respecto a x es 3 y Grado Relativo con respecto a y es 2.
Grado Absoluto de un trmino algebraico est dado por la suma de los exponentes de la parte literal.
As:
El grado absoluto de:9x3y2 es:3 + 2 = 5
El grado absoluto de:5x8y5z6 es:8 + 5 6 = 7
GRADO DE UN POLINOMIOEl grado de un Polinomio puede ser relativo y absoluto.
El Grado Relativo o con respecto a una letra es igual al mayor exponente de dicha letra o variable en el polinomio.
As:
Dado el polinomio:
3x2y3 5x3y4 + 7x5y3
Grado relativo con respecto a x es 5.
Grado relativo con respecto a y es 4.
Otro ejemplo:
Dado el polinomio. 5xyz3 + 8x2y3z 2x3y4z2
Grado relativo con respecto a x es: 3.
Grado relativo con respecto a y es: 4.
Grado relativo con respecto a z es: 3.
El Grado Absoluto de un polinomio es igual al grado de su trmino de mayor grado absoluto.
As:
Dado el polinomio:
3x2y3 5x3y4 + 7x5y3
El grado absoluto del monomio 3x2y3 es: 2 + 3 = 5
El grado absoluto del monomio 5x3y4 es: 3 + 4 = 7
El grado absoluto del monomio 7x5y3 es: 5 + 3 = 8
Luego; el grado absoluto del polinomio:
3x2y3 5x3y4 + 7x5y3 es de octavo grado o de grado 8.
Otro ejemplo:
Dado el polinomio:
6xy2z 5x2y + 10xy4z2 7xy5
G.A. del monomio 6xy2z = 1 + 2 + 1 = 4
G.A. del monomio 5x2y = 2 + 1 = 3
G.A. del monomio 10xy4z2 = 1 + 4 + 2 = 7
G.A. del monomio 7xy5 = 1 + 5 = 6
Luego; el polinomio:
6xy2z 5x2y + 10xy4z2 7xy5 tiene por grado absoluto 7 el polinomio es de sptimo grado.
VALOR NUMRICOHallar el valor numrico de un monomio o de un polinomio es reemplazar cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo 1:
Cul es el valor numrico de 5ab; si: a = 3; b = 4?
Resolucin:
Reemplazamos el valor de a = 3 y b = 4, en la expresin:
5ab = 5 x 3 x 4 = 60 ( ( . 5ab = 60 .
La aplicacin del valor numrico tiene un campo amplsimo en el desarrollo de toda clase de frmulas aritmticas, geomtricas, fsicas qumicas, etc.
Orden de Operaciones
Es de suma importancia el orden de las operaciones en el curso, para el desarrollo de los ejercicios o problemas.
Si en un ejercicio, hay distintas operaciones, el orden de las operaciones que se ha de seguir es el siguiente:
1. Se desarrollan las potencias o se extraen las races si las hay.
2. Se efectan las multiplicaciones o divisiones indicadas.
3. Se hacen las sumas o restas de los trminos.
Ejemplo 2:
Hallar el valor numrico del polinomio 3x2 + 5x 6; cuando x = 2.
Resolucin:
Reemplazando el valor de x en la expresin dada, obtenemos:
3x2 + 5x 6 = 3(2)2 + 5 (2) 6
= 3(4) 10 6 = 12 10 6 = 4( . 3x2 + 5x 6 = 4 .
Ejemplo 3:
Hallar el valor numrico de la expresin:
Si: x = 3
Resolucin:
Reemplazamos el valor de x en la expresin dada y obtenemos:
( . .
ADICIN Y SUSTRACCIN DE MONOMIOSPara sumar o restar dos o ms monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los monomios semejantes dados.
Ejemplos: Sumar:
a) 3xy2 + 7xy2 2xy2 = (3 + 7 2)xy2 = 8xy2b) 5xyz3 + 8xyz3 = (5x + 8)xyz3 = 13xyz3c) axnym + bxnym cxnym = ()xnymPara sumar o restar dos o ms monomios no semejantes, slo se indica la suma o diferencia de ellos.
Ejemplos: Sumar:
a) 3xy + xz = 3xy + 3xz.
b) 7ab2 + 8ab 5b2a = 7ab2 + 8ab 5b2a
= 7ab2 5ab2 + 8ab = 2ab2 + 8ab
MULTIPLICACIN DE MONOMIOSPara hallar el producto de dos monomios se multiplican las coeficientes de ellos. A continuacin de este producto se escriben en orden alfabtico, todas las letras de los monomios dados poniendo a cada una un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.
Ejemplo 1:
Hallar el producto de: 3x3 por 2x2
Resolucin:3x2 . 2x2 = (3 . 2) (x3 . x2)
(3 . 2) ( Multiplicamos los coeficientes
(x3 . x2) ( Multiplicamos las partes literales
3x3 . 2x2 = (6)(x3 + 2) = 6x5 ( ( 3x3 . 2x2 = 6x5Ejemplo 2:
Hallar el producto de: 8x4 por 9x2y3
Resolucin:8x4 . (9x2y3) = 8(9) (x4 . x2 . y3)
8x4 . (9x2y3) = 72x4 + 2 . y3
= - 72x6y3
( . 8x4 . (9x2y3) = 72x6y3 .RECUERDA QUE:
an . am = an+m
POTENCIAS DE MONOMIOSLa potencia de monomios en un caso particular de la multiplicacin de monomios. Es una multiplicacin de factores monomios iguales.
Ejemplo 1:
(2x3)2 = 2x3 . 2x3 = 2 . 2 . x3 . x3 = . 4x6 .
Ejemplo 2:
(5a2)3 = 5a2 . 5a2 . 5a2 = 5 . 5 . 5 . a2 .a2. a2 . = . 125a6 .NOTA:
Para hallar la potencia de un monomio se aplican las propiedades siguientes:
. (a . b)n = an . bn . ; . (an)m = an . m .
Ejemplos:
a) (5a2b)3 = 53 . (a2)3 . b3 = 125a6z . b3b) (3xy2)5 = (3)5 . x5(y2)5 = 35x5y10 = . 243x5y10c) (4x2z)2 = (4)2 = (x2)2z2 = 16x4z2d) (3x2)3 . (2x)2 = (3)3 . (x2)3 . 22 . x2 = 33 . x6 . 4 . x2 = 7 . 4x8 = 108x8.
DIVISIN DE MONOMIOS
Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el divisor y a continuacin se escriben las letras en orden alfabtico ponindole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el que tiene en el divisor.
Ejemplo 1:Halla el cociente de dividir: 16x4 ( 8x2
Resolucin:
. 2x2 .
RECUERDA QUE:
Ejemplo 2:Halla el cociente de dividir: (28x4y6) ( (7x3y2)Resolucin:
. 6x3 .USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACINEn lgebra los signos de agrupacin: parntesis ( ); corchetes [ ]; llaves { }; barras ___; se usan para agrupar trminos y separar operaciones.
Si un signo de agrupacin es precedido por un signo positivo, ste se puede suprimir sin variar los signos de los trminos que estn dentro del signo de agrupacin, veamos:
a + (+ b) = a + b ; a + (b) = a b
Ejemplo: 16x + (8x + 9y) 10y
= 16x 8x + 9y 10y
= 8x y
Se suprimen los parntesis y no cambian los signos de los trminos comprendidos entre ellos.
Si un signo de agrupacin es precedido por un signo negativo, lo podemos suprimir cambiando los signos de los trminos que estn dentro del signo de agrupacin, veamos:
a (+ b) = a + (b)
a (b) = a + (+b)
= a b = a + b
Ejemplo: 10a (6a - 7b) + 4b
= +
= 4a + 11b
Se suprimen los parntesis y se cambian los signos de todos los trminos comprendidos entre ellos
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Efectuar:
8x (2x - 3) (x + 6)
Rpta.
2. Reducir:
a (2,3b 5,2a) (3,5a + 4,2b)
Rpta.
3. Simplificar:
(6x 3y + 5z) (4y 6z 3x) + x y + z
Rpta.
4. Efectuar:
p (p 0,2q) + (0,222.....q p) + q
Rpta.
5. Reducir:
12a [ 9a (2a + 7) + 3a] 26
Rpta.6. Reducir:
y { y [ y { y ( y + x) x} + x ]} x
Rpta.
7. Efectuar:
[ 0,2x [0,4x2 + (0,05x2 + 0,7x)]] x
Rpta.
8. Efectuar:
{[(2p 3) (3p + 4q)]} {2q (3p + q) p}
Rpta.
9. Efectuar
a +
Rpta.
10. Simplificar:
( 4x + y) + (5x + 3y) (x y)
Rpta.
11. Reducir:
b { c [ d { c () + a} d] a}
Rpta.
12. Simplificar:
{q + [p + q ( 3p 6q) + p] 0,3333....q}
Rpta.13. Reducir:
8x2y + 16x2y 10x2y
Rpta.
14. Reducir:
17x4y3z2 + 16x4y3z2 28x4y3z2Rpta.
15. Reducir:
10x2y + 12xy2 + 2x2y 6xy2 8x2y
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA1. Hallar el grado absoluto del polinomio:
P(x;y;z) = 5x2y3z4 + 7x4y7z9 + 9x5y2z7A) 14
B) 9
C) 20
D) 18
E) 15
2. El monomio: 3xa+b5 yb3Es de G.R.(x) = 5 y G.R.(y) = 2
Entonces a vale:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3. En el polinomio
P(x) = xm + 3 + xm + 1 + 7
El grado absoluto es 10, entonces el valor de m es:
A) 6
B) 7
C) 4
D) 5
E) 9
4. Si: x = 2, y = 1, el valor de la expresin 2x2y 3xy2 + xy, es:
A) 16
B) 3
C) 12
D) 7
E) 4
5. Los 3/2 de:
; Cuando:
Es:
A) 69
B) 46
C) 69
D) 60
E) 63
6. Si los trminos 6xyb3; 2xy10 son semejantes, calcular el valor de b
A) 12
B) 11
C) 13
D) 14
E) 10
El hombre es una mirada; el resto es slo carne. Pero al verdadera mirada es la que ve al amigo. Funde tu cuerpo entero en tu mirada, vete hacia la visin, vete hacia la visin....
DyalayAlDinRumi
7. Hallar m ( N, sabiendo que el polinomio P(x) es de grado 36.
P(x) = 0,2[x5m+3]2 + [xm+1]3A) 3
B) 6
C) 2
D) 5
E) 8
8. La expresin:
0,2x + y + x 0,25 y equivale a:
A)
B) 0,8x 0,5y
C) x y
D) x + 0,5y
E) 0,6x 0,5y
9. Al resolver:
x [x {y (2x y)} + x (y)]
Se obtiene:
A) 3x y
B) x 3y
C) x + y
D) x + y
E) y x
10. Si: a = 2; b = 4; c = 3; d = 9; entonces el valor de es:
A) 67
B) 71
C) 72
D) 73
E) 77
CLAVES
1. C
2. E
3. B
4. A
5. C6. C
7. A
8. D
9. C
10. B
TEMA: Teora de ExponentesCONCEPTO
Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellos, mediante leyes.
La operacin que da origen al exponente es la potenciacin.
POTENCIACIN
Es la operacin que consiste en repetir un nmero denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro nmero que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia.
Representacin:
. .Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
LEYES FUNDAMENTALES
1. Producto de Potencias de Igual Base. xa . xb = xa+b .Ejemplos:
1. 23 . 24 = 23+4 = 272. 25 . 2-4 . 27 = 254+7 = 322. Cociente de Potencias de Igual Base. .
x ( 0
Ejemplos:
1. = 284 = 42. = 26(5) = 213. Producto de Potencias de Diferente Base. xa . ya = (x . y)a .Ejemplos:
1. 23 . 43 = (2 . 4)32. 3 . 6 = (3 . 5)
4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes. .y ( 0
Ejemplos:
1.
2.
5. Potencia de Potencia. .OBSERVACIN:
(xa)b = (xb)a = xa . b
6. Exponente Negativo. .
. . x ( 0y ( 0
Ejemplos:
1.
2.
7. Exponente Nulo o Cero. x0 = 1 .
x ( 0
Ejemplos:
1.
2.
8. Exponente Fraccionario. .
b ( 0
Ejemplos:
1.
2.
9. Producto de Radicales Homogneos. .Ejemplos:
1.
2.
10. Potencia de un Radical. .11. Raz de Raz. .OBSERVACIN:
Ejemplos:
1.
2.
EJEMPLOS DE APLICACINEn cada caso completar:
1. x2 . x3 . x4 = ________
2. = ________
3. 23 . 33 . 53 = ________
4. = ________
5. = ________
6. = ________
7. = ________8. 23 = ________
9. = ________
10. = ________
11. = ________
12. = ________
Los nios son como el cemento fresco. todo lo que les cae les deja una impresin indeleble
W. Stekel
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Luego de operar
35 . 24 . 72 . 33 . 23 . 72Se obtiene
Rpta.
2. Si xn = 3
A que es igual x2nRpta.
3. Si xx = 2, calcular xxRpta.
4. Reducir
Rpta.
5. Cual es el exponente final de b en:
; b ( 0
Rpta.6. Reducir:
Rpta.
7. Reducir:
Rpta.
8. Cual es el exponente de xx en x5xRpta.
9. Reducir:
Rpta.
10. Reducir:
Rpta.
11. Si , hallar x
Rpta.
12. Si x3 = 8, hallar x2Rpta.
13. Simplificar:
Rpta. 14. Simplificar:
Rpta.
15. Simplificar:
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Despus de operar
45 . 34 . 82 . 43 . 33 . 82Se obtiene:
A) 16
B) 24
C) 48
D) 8
E) 32
2. Si xn = 7, hallar el valor de x2nA) 14
B) 21
C) 49
D) 16
E) 1
3. Si xx = 5, Calcular xxA)
B)
C)
D)
E)
4. Reducir
A) 10
B) 12
C) 16
D) 8
E) 64
5. Cual es el exponente final de a en:
, a ( 0A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
6. Reducir
A) 11
B) 22
C) 33
D) 44
E) 55
7. Reducir
A)
B)
C)
D)
E) N.A.
8. Reducir
A) 1
B) 1
C) 2
D) 2
E) 3
9. Simplificar:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
10. Simplificar
A) 32
B) 42
C) 49
D) 21
E) 7
CLAVES
1. C
2. C
3. D
4. B
5. C6. C
7. E
8. B
9. C
10. B
Si nunca abandonas lo que es importante para ti, si te importa tanto que ests dispuesto a luchar para obtenerlo, te aseguro que tu vida estar llena de xito. ser una vida dura, porque la excelencia no es fcil pero valdr la pena.
R. Bach
TEMA: PolinomiosCONCEPTO
Es aquella expresin algebraica con 2 o ms trminos.
GRADO DE UN POLINOMIO
1. Grado Relativo (GR)
Es el mayor exponente de la variable en referencia.
Ejemplo:
Luego:
GR(x) = 10
GR(y) = 7
2. Grado Absoluto (GA)
a) Para un Monomio: se obtiene sumando los grados relativos.
b) Para un Polinomio: se obtiene como el mayor grado absoluto de los monomios que lo conforman
POLINOMIOS ESPECIALES
Son aquellos que tienen ciertas caractersticas y de acuerdo a ello son:
1. Polinomio Ordenado
Cuando el exponente aumenta o disminuye de manera ordenada:
Ejemplos:
1. P(x;y) = 5x + x2y + 4x5Es ordenado creciente respecto a x
2. Es ordenado y creciente respecto a b
Es ordenado y creciente respecto a a
2. Polinomio Completo
Si existen todos los grados incluyendo el trmino independiente, hasta un grado determinado
Ejemplos:
1. P(x) = 3x2 5x + 7 2x3Es completo de grado 3
2. Q(x;y) = 3x 2y2 + 5x2y + x3y4 2x4y3Es completo respecto a x e y
y GR(y) = 4,GR(x) = 4
Propiedad:
En todo polinomio completo
Nmero de trminos = G.A. + 1
3. Polinomio Homogneo
Es homogneo si cada uno de los trminos tiene el mismo G.A.
Ejemplo:
P(x;y) = 32x3y4 + 20x6y 10x2y5
Propiedad:
Trminos Semejantes:
Dos o ms trminos no nulos son semejante si solo difieren en los coeficientes.
Ejemplo:
T1(x,y) = 21x7y4
T2(x,y) = x7y4
T3(x,y) = x7y4
4. Polinomio Idnticos
Dos o ms polinomios son idnticos cuando tienen los mismos valores numricos para cualquier valor de la variable
Ejemplo:
P(x;y) = (x + y)2 4xy
Q(x;y) = (x y)2a) Polinomio Idnticamente Nulo
Un polinomio es idnticamente nulo, si para cualquier valor de su variable el polinomio se anula.
b) Polinomio Mnico
Un polinomio es un monomio cuando el coeficiente principal es 1.
Ejemplo:
A(x) = 1 + x2 + x3
B(x) = 9x4 + x3 + x5Propiedad:
1. Cambio de Variable
Ejemplo
Sea P(x)=3x + 1
( P(x + 1) =
P(x + 1) = 3 (x + 1) + 1
P(x + 1) = 3x + 3 + 1
P(x + 1) = 3x + 4
2. Suma de Coeficientes
. .Ejemplo:
Sea: P(x) = 3x2 + 6x + 1
3. Trmino Independiente:
. .Ejemplo:
Sea: P(x) = (5X + 3)2T.I. = P(0)= (0 + 3)2 = 32 = 9
EJEMPLOS DE APLICACIN1. Si R(x,y) = ax2y3 + bx4y5HallarG.R.(x) = _ _ _ _ _
G.R.(y) = _ _ _ _ _
G.A. = _ _ _ _ _
2. Ordenar el polinomio P(x) de manera decreciente.
P(x) = 1 + 2x3 + 3x2 + 5x + 6x4
3. El siguiente polinomio es completo?
P(x,y) = 6x3 + 5x2y+ 4xy2 + -3x3
Con respecto a x _ _ _ _ _
Con respecto a y _ _ _ _ _
4. Cul es el coeficiente principal de:
Q(x) = 5x2 + 3x4 2x + 3
EJERCICIOS TOMADOS EN LOS CONCURSOS DE MATEMTICA
1. Calcular: (a b) si el monomio:
M(x,y) = 5x2a + b ya + 2b; tiene G.A. = 15 y G.R.(x) = 8
A) 1B) 1C) 2D) 2E) 3
ResolucinM(x;y) = 5x2a +b ya + 2b G.R.(x) = 8
2a + b = 8 ( b = 8 2a
.... (I)
G.A. = 15
(2a + b) + (a + 2b) = 15
3a + 3b = 15
.... (II)Reemplazamos (I) en (II):
3a + 3(8 2a) = 15
3a + 24 6a =15
(9 = 3a
(. a = 3 .Reemplazamos el valor de a = 3; en (I)
b = 8 2(3)(. b = 2 .(. a b = 3 2 = 1 .
Rpta. A
2. Si el grado de: F(x,y) = es 2. Calcular el grado de Q(x;y) = xaya + 5A) 16B) 17C) 18D) 19E) 20
ResolucinAplicando la propiedad:
En el:F(x;y) = ; obtenemos:
F(x;y) =
Por dato:
(a + 3 = 2(a 2)
a + 3 = 2a 4
. 7 = a . Luego, reemplazamos el valor de a = 7 en el monomio:
Q(x;y) = xa . ya + 5
Q(x;y) = x7. y7 + 5 = x7 . y12; siendo el grado de este monomio: 7 + 12 = 19
(. El grado de: Q(x;y), es: 19 .
Rpta. D
3. Calcular: m + n, si se sabe que el monomio:
P(x;y) = 4nxm + nym + 2n es de:
G.A. = 10; G.R.(Y) = 6
A) 3B) 4C) 5D) 6E) 8
Resolucin Por dato:
G.R.(y) = 6
m + n2 = 6 ( m = 6 2n
.... (I) G.A. = 10
(m + n) + (m + 2n) = 10
.... (II) Reemplazando (I) en (II); obtenemos:
2(6 2n) + 3n = 10
12 4n = 3n = 10
( . 2 = n . Reemplazamos el valor de n = 2; en (I)
m = 6 2(2) ( m = 2
(. m + n = 2 + 2 = 4 .
Rpta. B
4. Siendo F(x) =
Determinar: F(98)
G.A. = 10; G.R.(Y) = 6
A) 108B) 102C) 98D) 100E) 1000
Resolucin Aplicando: . (A - B)2 = A2 2AB + B2 .Obtenemos:
F(x) =
F(x) =
F(x) = x + 2 de esta expresin, calculamos:
F(98) = 98 + 2 = 100
( . F(98) = 100 .
Rpta. D
5. Si f(x) es un polinomio de primer grado tal que verifique:
i) f(0) = 5
ii) f(1) = 3
Segn ello determine f(1)
A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7
ResolucinComo f(x) es un polinomio de primer grado
Ser de la forma:f(x) = ax + b
Luego:
f(0) = a(0) + b
. 5 = b .
f(1) = a(1) + b
3 = a + b
3 = a + 5(. a = 2 .
De la expresin:f(x) = ax + b
f(x) = 2x + 5
Calculamos:
f(1) = 2(1) + 5
( . f(1) = 7 .
Rpta. E
6. Si: P(x;y) = 2yxm + 1 3xmyn + 5 . yn + 2 . x. Tiene el grado relativo en x a 7, y en y a 9, hallar el grado absoluto del polinomio.
A) 7B) 13C) 9D) 16E) 14
Resolucin G.R.(x) = 7
m + 1 = 7(. m = 6 .
G.R.(y) = 9
n + 2 = 9(. n = 7 .
Del polinomio: P(x;y) = 2yxm + 1 3xmyn + 5 . yn + 2 . x Luego el grado absoluto del polinomio es:
( . m + n = 6 + 7 = 13 .
Rpta. B
7. Si el grado de A es 8 y el grado de B es 4. Calcular el grado de:
A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6
Resolucin Grado de A = 8
( Grado de (A2) = 2 x 8 = 16
Grado de B = 4
( Grado de (B3) = 3 x 4 = 12
Cuando las expresiones se multiplican los grados se suman:
Grado (A2B3) = 16 + 12 = 28
(Grado (A2B3) = 28
Cuando la expresin est afectada por un radical el grado se divide por el ndice radical
Grado
( . Grado .
Rpta. C
8. Indicar el grado relativo de y en el polinomio homogneo:
A) 1B) 3C) 4D) 5E) 7
Resolucin Como el polinomio es homogneo, el grado de cada monomio debe ser igual, o sea:
n2 + 4 = 2n + 3 = 5 m
i) n2 + 4 = 2n + 3
n2 2n + 1 = 0
(n 1)2 = 0
( . n = 1 .ii) 2n + 3 = 5 m
2(1) + 3 = 5 m
5 = 5 m
( . m = 0 . Luego, calculamos el grado relativo de y
G.R.(y) = 5 m = 5 0 = 5
( . G.R.(y) = 5 .
Rpta. D
9. Determinar m si el siguiente polinomio es homogneo
P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5
Resolucin Como el polinomio:
P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2Es homogneo:
m + 1 + n + 3 = a + b = 2m + n + 2
m + n + 4 = a+ b = 2 m + n + 2
i) m + n + 4 = 2m + n + 2
( . 2 = m .
Rpta. B
10. Si el polinomio P(x;y) es idnticamente nulo, hallar
P(x;y) = (9 n)x2y + mxy2 + 3x2y 2xy2
A) 15B) 14C) 12D) 225E) 144
Resolucin En primer lugar agrupamos los trminos semejantes de la manera siguiente:
P(x;y) = (9 n)x2y + mxy2 + 3x2y 2xy2P(x;y) = (9 n + 3)x2y + (m 2)xy2
P(x;y) = (12 - n)x2y + (m 2)xy2 Para que este polinomio:
P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2
Sea idnticamente nulo, debe cumplirse que:
i) (12 n) = 0
( . 12 = n .ii) m 2 = 0
( . m = 2 .Luego:
( . .
Rpta. E
11. Hallar A + B + C en la identidad:
Ax2 + Bx2 Cx + B = x2 + 3x 1A) 3/2B) 1/2C) 582D) 5/2E) 3/2
ResolucinAgrupamos los tmanos de manera la siguiente:
(Ax2 + Bx2) Cx + B = x2 + 3x 1
(A + B)x2 Cx + B = x2 + 3x 1
Identificando:
i) . .ii) C = 3(. C = -3 .iii) . B = 1 .Luego:A +B + C = + (3)
(. .
Rpta. C
Tu eres mi hermano porque eres un ser humano y ambos somos hijos de un nico Espritu Santo; somos iguales y estamos hechos de la misma tierra. Eres mi compaero en el sendero de la vida y mi ayuda para comprender el significado de la verdad oculta. Eres humano y esto basta para que te ame como hermano...
Kahil Gibrn
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Sean:
R(x,y) = 3x3y6H(x,y) = 10xa + 1 y4Trminos semejantes; hallara + b
Rpta.
2. Si el coeficiente principal de:
P(x) = x2 + (a + 3) x3 + 2x + a
Es cinco, calcular su trmino independiente.
Rpta.
3. Sea: P(x) = xa + x2 + x + 1, un polinomio de 3er grado, calcular P(2)
Rpta.
4. Sean:
P(x) = ax2
Q(x) = 3xa + 2
Si P y Q tienen el mismo coeficiente, calcular el exponente x en Q
Rpta. 5. Si P(x) = x2001 3x2000 + 1. Hallar P(3)
Rpta.
6. Sea
P(x) = (a + 3) xa + 3x + 5, un polinomio cbico, calcular su coeficiente principal
Rpta.
7. Sea: P(x) = ax2 + bx + c; c ( 0 Adems P(1) = 0, hallar .
Rpta.
8. Sea: P(x) = ax + b ; a ( 0 Adems P(2) = a, calcular:a + b
Rpta.
9. Si Q(x) = x + 3 y Q(a) = b
Calcular b a
Rpta.
10. Si f(x) = , hallar
Rpta.
11. Si R(x) = x + 2, R(2n) = 4. Hallar n2Rpta.
12. Sea P(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3. Hallar P(0) + P(1)
Rpta. 13. Sea P(x) = x2 + x a2, P(a) = 3. Hallar el trmino independiente de P(x)
Rpta.
14. Sea P(x) = 2x + 3, HallarP(x2)
Rpta.
15. Si P(x + 1) = 5x + 2, Hallar P(x)
Rpta.
Me preguntas qu es Dios? No s qu decirte; lo que si puedo afirmar es que siempre ser mucho ms de lo que la naturaleza humana puede ofrecerte.
Francisco Jaramillo
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Sean:
P(x,y) = 4x4 ym
Q(x,y) = 10xn+2y5,
Hallar m + n,
Si son trminos semejantes
A) 2
B) 3
C) 7
D) 8
E) 1
2. Si el coeficiente principal de:
Q(x) = x4 + (k + 2)x5 + 2x + k, es 5, calcular su trmino independiente:
A) 8
B) 6
C) 3
D) 1
E) 5
3. Sea: R(x) = xn + nx2 + x + n, un polinomio de 3er grado, calcular P(3)
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
4. Sean:
A(x) = Kx2
B(x) = 5xk+3
Si A y B tienen el mismo coeficiente, calcular el exponente de x en B
A) 6
B) 7
C) 8
D) 16
E) 1
5. Si Q(x)= x800 2x799 + 3. Hallar Q(2)
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
6. Sea:
R(x) = (K + 2) xK1 + 3x2 + 6Un polinomio de 5to grado, hallar el coeficiente del trmino principal.
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
Cualquier cosa que valga la pena hacerse bien, vale la pena hacerla despacio.
Gipsy Rose Lee7. Sea:
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
AdemsP(1) = 0, Hallar
A) 0
B) 1
C) 1
D) 5
E) 4
8. Si P(x) = ax2 + b, a ( 0 y adems P(3) = a, Calcular
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 8
9. Sea P(x) = 3x + 5, hallar P(x+1)
A) 3x-2
B) 2x+3
C) 3x+2
D) 3x
E) 2
10. Si P(x+3) = 3x + 4, Hallar P(x)
A) 3x+5
B) 5x+3
C) 3x5
D) 3x
E) 5
CLAVES
1. C
2. C
3. D
4. C
5. C6. D
7. C
8. E
9. C
10. C
TEMA: Productos NotablesCONCEPTO
Son los resultados de cierta multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa.
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
1. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.C.P.)
. (a ( b)2 = a2 ( 2ab + b2 .Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 (a b)2 = 4ab
(a + b)4 (a b)4 = 8ab (a2 + b2)
Ejemplos:
(a + 5)2 (a 5)2 = 4a . 5 = 20a
2. Diferencia de Cuadrados
. a2 b2 = (a + b) (a b) .Ejemplos:
(x + 2) (x 2) = x2 4
3. Binomio al Cubo
. .. .Ejemplo:
(2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27
(2 + 3)3 = 125
4. Producto de Binomios con Trmino Comn
. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .EJEMPLOS DE APLICACINSimplificar:
1.
2. Simplificar:
N = (a + b) (a b) + b2
3. Si a + b = 16, Simplificar:
4. Simplificar
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Simplificar:
Rpta.
2. Reducir:
Rpta.
3. Simplificar:
Rpta.
4. Si: a + b = 2 y ab = 1, hallar a2 + b2Rpta.
5. Si , hallar
Rpta.6. Sabiendo que:
(x + 1)2 =3, Calcular x2 + 2x 2
Rpta.
7. Si (a + 2b) ( a 2b) = 0: b ( 0. calcular
Rpta.
8. Si (x + y + 1) (x + y 1) = 1, calcular (x + y)2Rpta.
9. Si a + b = 4 y ab = 3, hallar a3 + b3Rpta.
10. Si: a b = 2 y ab = 15, Hallar a 3 b3Rpta.
11. Simplificar:
Rpta.
12. Reducir:
P = (x + 4) (x + 2) 6x 8Rpta.
13. Si: 42 4a + 1 = 0, calcular:4a + 3
Rpta.14. Reducir
(x + 1) (x 1) + (x + 2)x +(x + 3) (x + 1) x2Rpta.
15. SI , hallar
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Simplificar:
A)
B)
C) 4xy
D) 5xt
E)
2. Reducir:
A) x
B) x2C) xy
D) y2E) y
3. Simplificar:
A) 0
B) 1
C) 4
D) 8
E) 14
4. Si: x + y = 5 y x . y = 6, Hallar x2 + y2A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
5. Si:, Hallar
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
6. Sabiendo que: (x + 2)2 = 36, hallar x2 + 4x 2
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
7. Si (a + 3b) (a 3b) = 0, b ( 0, calcular
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
8. Si (a + b) = 6 y ab = 8, hallar a3 + b3A) 36
B) 72
C) 144
D) 216
E) 108
9. Si (a + b + 1) (a + b 1) = 3, hallar (a + b)2A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
10. Si x y = 4
Simplificar:
A) 5
B) 3
C) 2
D) 1/2
E) 4
CLAVES
1. A
2. A
3. B
4. C
5. C6. C
7. C
8. B
9. E
10. E
El xito consiste en una serie de pequeos esfuerzos diarios.
Mamie Mc Cullough
TEMA: Divisin AlgebraicaDIVISIN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO
Para dividir polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los trminos del polinomio separadamente entre el monomio divisor:
Ejemplo:
= 6x5y3 3x2y5 + 5x4DIVISIN DE DOS POLINOMIOS
Para dividir dos polinomios tenemos la siguiente regla prctica:
1. Se ordenan el dividendo y el divisor segn la misma letra, dejando espacios para los trminos que faltasen.2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor para obtener el primer trmino del cociente.3. Se multiplica el primer trmino del cociente por todo el divisor y el producto se resta del dividendo. Para ello se coloca cada trmino de este producto debajo de su semejante cambiando de signo.4. Se divide el primer trmino del residuo, entre el primero trmino del divisor, para obtener el segundo trmino del cociente.5. Este segundo trmino se multiplica por todo el divisor y este producto se resta del residuo anterior.6. Se divide el primer trmino del segundo residuo, entre el primer trmino del divisor para obtener el tercer trmino del cociente.7. Se contina anlogamente a los pasos anteriores hasta que el residuo sea un polinomio de menor grado que el divisor.Ejemplo:
Dividir
7x 3 + 2x4 x3 entre 2x + 3
Resolucin:
Ordenando en sentido decreciente y completando
2x4 x3 + 0x2 + 7x 3 ente 2x + 3
Sera:
El cociente es x3 2x2 + 3x 1 y el residuo es cero
Ejemplo:
Dividir
Cociente Q(x) = _ _ _ _ _
Cociente R(x) = _ _ _ _ _
MTODOS ALTERNATIVOS DE DIVISIN
Coeficientes Separados
En la divisin de polinomios de una sola variable podemos prescindir de la parte literal.
Ejemplo:
Dividir
20x3 2x2 + 16 x + 2 entre 4x 2
Q(x) = 5x2 + 2x 3
R(x) = 2
Ejemplo:
Dividir: x5 + 2x4 x2 + 3 entre x2 2x + 1
Cociente Q(x) = _ _ _ _ _
Cociente R(x) = _ _ _ _ _
Mtodo de Horner
Primeramente se trazan dos rectas que se intersecten, una vertical y otra horizontal. Encima de la recta horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo. Encima de la vertical izquierda se coloca el primer coeficiente del divisor con su propio signo en ese mismo sitio y debajo de la horizontal se coloca el resto de coeficientes del divisor con el signo cambiado.
Ejemplo:
Dividir: 2x4 x3 + 4x2 + 5x 1 entre 2x2 + x 1
Para comenzar a dividir se traza otra raya vertical entre los coeficientes del dividendo, el nmero de columnas a contar de derecha a izquierda es igual al grado del divisor, sta raya servir para separar el cociente del residuo. Adems se traza otra recta horizontal para colocar debajo de ella la respuesta.
En el ejemplo:
Para empezar a dividir1. Se divide el primer trmino del dividendo entre el nmero encerrado en un crculo el resultado se coloca debajo de la segunda raya horizontal y se multiplica por cada uno de los nmero que estn a la izquierda, de la raya vertical y debajo de la recta horizontal, colocando los productos debajo de los nmeros que le siguen al primero.
2. Se suma la siguiente columna, el resultado se divide entre el nmero encerrado en una circunferencia y se coloca como resultado debajo de la raya horizontal, se procede igual que en el paso anterior.
3. La operacin se realiza hasta completar el resultado correspondiente a todas las columnas, despus de la 2da raya vertical, luego de esa raya la suma de las columnas ya no se divide entre el nmero encerrado en la circunferencia.
La desgracia abre el alma a una luz que la prosperidad no ve.
Lacordaire
Ejemplo:
Dividir
6x5 + 7x4 18x3 + 10x2 + 7x 9 entre 3x3 + x2 + 2
Q(x ) = _ _ _ _ _ _
R(x) = _ _ _ _ _ _
Mtodo de Ruffini
Este mtodo es aplicable a divisores de la forma: (x ( a) y con ciertas restricciones a divisores de la forma (axn ( b).
1. Divisor de la forma (x ( a)
Para dividir por el Mtodo de Ruffini, se trazan dos rayas que se intersectan, una vertical y otra horizontal. Encima de la raya horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo y encima de la raya horizontal y a la izquierda de la vertical se coloca el valor de x que anula al divisor.
Ejemplo:
Dividir:
x3 2x2 + x 5 entre x 2
Para comenzar a dividir se procede de la siguiente manera:
Q(x) = x2 + 1
R(x) = 3
Ejemplo:
Dividir
x5 8x3 + 4x2 5 entre x 2
Q(x) = _ _ _ _ _
R(x) = _ _ _ _ _
TEOREMA DEL RESTO
Este mtodo se emplea para calcular el residuo en forma directa, sin necesidad de efectuar la divisin. Se emplea cuando el divisor es de la forma ax ( b o transformable a ella.
Procedimiento:
1. Se iguala al el divisor a cero encontrndose un valor de la variable.
2. El valor encontrado se Reemplaza en el polinomio dividendo obtenindose un resultado el cual ser el residuo
Ejemplo:
Calcular el residuo del divisor:
3x3 5x2 + 7 entre x 3
Igualamos el divisor a cero
x 3 = 0
. x = 3 .Este valor de x se reemplaza en el dividendo 3x3 5x2 + 7
Residuo (R)= 3(3)3 5(3)2 + 7
= 3 . 27 + 5 . 9 + 7
= 81 45 + 7 = 43
Ejemplo:
Calcular el residuo de dividir:
x3 + +2x2 x + 2 entre 2x 1
Igualamos el divisor a cero
2x 1 = 0
( . x = _ _ .Reemplazando
Residuo (R) = _ _ _ _ _
No se mide el amor por el nmero de caricias, sino por la frecuencia con que uno y el otro se comprenden
H. Spencer
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Indicar el residuo de la siguiente divisin
Rpta.
2. Efectuar la siguiente divisin
Indicar el residuo
Rpta.
3. Indicar el trmino independiente del resto de la siguiente divisin
Rpta.
4. Indicar la suma de coeficientes del cociente luego de efectuar:
Rpta.5. Calcular n, si el resto de la divisin es 15
Rpta.
6. Al dividir x4 2x2 6 entrex + 3, el residuo es:
Rpta.
7. Hallar el cociente en:
Rpta.
8. Cual es el valor que deber tener K para que al dividir 4x5 2x3 + K 2 entre x 2, el residuo sea cero
Rpta.
9. El cociente de la siguiente divisin:
x3 + 3x2 x 3 entre x2 + 2x 3 es:
Rpta.
10. Hallar el residuo en
Rpta.
11. Hallar el cociente en:
Rpta.
12. Hallar el coeficiente del trmino cuadrtico en:
Rpta.13. Hallar el cociente aplicando Horner
Rpta.
14. Hallar el cociente aplicando Ruffini
x4 3x3 + 5x 8 entre x + 2
Rpta.
15. Hallar el cociente aplicando Horner
6x5 + 2x4 23x3 + 11x2 + 12x 3 entre 3x3 5x2 + 3
Rpta.
Dpto. de Publicaciones
Manuel ScorzaV.L.E.B.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Indicar el residuo en la siguiente divisin:
A) 1
B) 1
C) 0
D) 2
E) 2
2. Efectuar la siguiente divisin:
E indicar el cociente
A) x+1
B) 3x2
C) 3x+2
D) 2x+3
E) 2x3
3. Indicar el trmino independiente del resto en la siguiente divisin
A) 1
B) 2
C) 2
D) 3
E) 0
4. Calcular la suma de coeficientes del cociente, despus de efectuar.
A) 5
B) 5
C) 6
D) 6
E) 7
5. Calcular n si el resto de la divisin es cero
A) 12
B) 36
C) 42
D) 6
E) 24
6. Al dividir:
El residuo es:
A) x34
B) X3+4
C) x25
D) x23
E) 2x3+1
7. Hallar el cociente en:
A) x+1
B) x1
C) x+6
D) x6
E) x+7
8. Dividir usando Horner
e indicar la suma de coeficientes del cociente
A) 0
B) 1
C) 1
D) 2
E) 3
9. Dividir usando Ruffini
2x3 11x2 + 18x 24 entrex- 4
e indicar el trmino independiente del cociente
A) 1
B) 3
C) 6
D) 9
E) 3
10. Dividir usando Horner
e indicar el coeficiente del trmino cbico
A) 0
B) 1
C) 1
D) 2
E) 2
CLAVES
1. C
2. B
3. D
4. D
5. E6. A
7. D
8. B
9. C
10. B
TEMA: Factorizacin (I)CONCEPTO
La Factorizacin es un procedimiento mediante el cual un polinomio se expresa como producto de sus factores.
Ejemplo:
1. 5a + 5b = 5(a + b)
2. 49 25x2 = (7 + 5x) (7 5x)
3. m2 + 6m + 9 = (m + 3) (m + 3) = (m + 3)2POLINOMIO PRIMO O IRREDUCIBLE
Un polinomio P(x) es primo o irreducible cuando no se puede descomponer en un producto de polinomios de grado positivo menor que el grado de P(x). en caso contrario se dice que el polinomio es compuesto o reducible o no primo.
MTODO DEL FACTOR COMN
1. Factor Comn Monomio
Se determina el MCD de los coeficientes y se toma la variable comn con el menor exponente.
Ejemplos:
1. Factorizar:
2. Factorizar 6x3 15x2Hallamos el M.C.D. de 6 y 15
6
-
15
3
2
5
( M.C.D. (6,15) = 3
El menor exponente de x es 2 ( el factor comn es 3x2Luego
3x2 (2x 5)
3. Factorizar:
3x2y + 6xy2 3x2y2
2. Factor Comn Polinomio
El factor comn es un polinomio.
Ejemplo:
5a(x y) + 10b2 (x y)
Se procede de igual forma que en el caos anterior
M.C.D.(5x10) = 5
Factorizando tenemos
5(x y) (a + 2b2)
Por el brillo de los ojos, desde el comienzo de los tiempos, las personas reconocen a su verdadero amor.
Brida
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Factorizar:
7x + 7y
Rpta.
2. El factor comn de x2 x2y es:
Rpta.
3. Factorizar
24x3 16x2 + 8x
Rpta.
4. Factorizar:
18x3 + 6x2y + 4xy2 10xy
Rpta.
5. Al factorizar
16z3 + 20z2 + 4z4 + 12z5, se obtiene:
Rpta.6. Factorizar:
Rpta.
7. Factorizar:
a b + 2(a + b)
Rpta.
8. Si: x y = 5 y m = 4. Hallar mx + my
Rpta.
9. Factorizar:
1 x + 2y(1 x)
Rpta.
10. Factorizar
(a + b)x (a + b)y a b
Rpta.
11. Factorizar:
(ax bx + cx) + (ay by - cy) a + b c
Rpta.
12. Factorizar:
4x4y 2x5 + 6x3y2 2x2y3Rpta.
13. Factorizar:
12n5m4 18n3m7Rpta.14. Factorizar:
x2y 4x2Rpta.
15. Factorizar:
y3 + ny3Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA1. En la expresin
7x2y3 + 14x3y2El factor comn es:
A) x2y2B) 7xy
C) 7x2y2D) x3y3E) 7x3y32. En la siguiente expresin
x2n3 + m3x2 + m5n4, al factorizar, el factor comn es
A) m . n
B) m2n
C) mn2D) m2 . n2E) m3n23. Si factorizamos
9y2 81y
el factor que no es monomio es:
A) 9 y
B) y2 9
C) y 9
D) y + 9
E) 9y
4. Uno de los factores de:
(a+2b) (2a+b) (a2b) (5b-3), es:
A) 2a + 3b + 3
B) 2a + b + 3
C) 2a 4b + 3
D) 2a +b
E) 2a b
5. Despus de factorizar
(3x+1) (2a+3) + (2a+3) (4x+2)
Uno de los factores es:
A) 7x3
B) 7x+3
C) 7x+1
D) 7x1
E) 7x+5
6. Si a b = 5 y m = 4, hallar el valor de ma mb
A) 10
B) 20
C) 30
D) 15
E) 16
7. Si p + q = 3, x + y = 16, hallar el valor de
(p + q)x + (p + q)y
A) 16
B) 3
C) 48
D) 16
E) 12
19
8. Si: m + n = 4; a b = 2, hallar el valor de:
(m + n)a (m + n)b
A) 10
B) 16
C) 8
D) 4
E) 5
9. Si: x2 + y2 = 5; p + q = 3, hallar el valor de:
(p + q)x2 + (p + q)y2A) 10
B) 15
C) 17
D) 9
E) 5
10. Factorizar
(a2 + b2) (x + y) + (a2 + b2)
(x 3y) + (a2 + b2) (y 2x)
Uno de los factores es:
A) x(a + b)
B) x2(a + b)
C) x(a + b)2D) y(a2 + b2)
E) x(a2 b2)
CLAVES
1. C
2. D
3. C
4. B5. B
6. C
7. C
8. B
9. D
ndicePg.
Expresiones Algebraicas
7
Teora de Exponentes
20
Polinomios
30
Productos Notables
47
Divisin Algebraica
54
Teorema del Resto
58
Factorizacin (I)
6656
78
80
79
77
76
75
66
EMBED CorelDraw.Grfico.9
EL SATELITE SPUTNIK 1
Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera nave en rbita alrededor de la Tierra. Llamado as por la frase rusa "compaero de viaje por el mundo" (Sputnik Zemli), era un pequeo satlite que slo meda 58 cm de ancho. Completaba una rbita en torno a la Tierra una vez cada 96,2 minutos y transmita informacin sobre la atmsfera terrestre. Tras un vuelo de 57 das, volvi a entrar en la atmsfera y se destruy.
36
COLEGIO PARTICULAR
CORAZON DE JESUS PIONERO DE LA CIENCIA
Primer Ao
65
64
63
62
61
60
59
58
57
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
80
7
COLEGIO PARTICULAR
CORAZON DE JESUS PIONERO DE LA CIENCIA
Primer Ao
55
80
lgebra
lgebra
_1105289023.unknown
_1105451587.unknown
_1108904730.unknown
_1108908234.unknown
_1108909385.unknown
_1108909893.unknown
_1108911366.unknown
_1108990377.unknown
_1115293830.unknown
_1108910574.unknown
_1108910592.unknown
_1108910475.unknown
_1108909854.unknown
_1108909883.unknown
_1108909738.unknown
_1108908831.unknown
_1108909340.unknown
_1108909356.unknown
_1108909068.unknown
_1108908266.unknown
_1108908498.unknown
_1108908256.unknown
_1108906742.unknown
_1108907739.unknown
_1108908201.unknown
_1108908207.unknown
_1108908131.unknown
_1108906849.unknown
_1108907712.unknown
_1108906781.unknown
_1108906096.unknown
_1108906584.unknown
_1108906600.unknown
_1108906569.unknown
_1108905701.unknown
_1108906072.unknown
_1108905686.unknown
_1105455071.unknown
_1108902092.unknown
_1108904404.unknown
_1108904508.unknown
_1108902325.unknown
_1105455585.unknown
_1105455707.unknown
_1108901914.unknown
_1105516674.unknown
_1105455681.unknown
_1105455481.unknown
_1105455528.unknown
_1105455432.unknown
_1105452666.unknown
_1105454722.unknown
_1105455032.unknown
_1105453959.unknown
_1105452518.unknown
_1105452637.unknown
_1105451603.unknown
_1105336330.unknown
_1105337857.unknown
_1105344565.unknown
_1105451344.unknown
_1105451513.unknown
_1105451565.unknown
_1105451430.unknown
_1105345171.unknown
_1105345369.unknown
_1105345789.unknown
_1105349851.unknown
_1105345407.unknown
_1105345306.unknown
_1105344692.unknown
_1105345140.unknown
_1105344678.unknown
_1105344183.unknown
_1105344457.unknown
_1105344537.unknown
_1105344278.unknown
_1105344078.unknown
_1105344126.unknown
_1105338136.unknown
_1105337364.unknown
_1105337445.unknown
_1105337606.unknown
_1105337723.unknown
_1105337597.unknown
_1105337396.unknown
_1105337413.unknown
_1105337391.unknown
_1105336813.unknown
_1105337105.unknown
_1105337126.unknown
_1105336970.unknown
_1105336655.unknown
_1105336714.unknown
_1105336594.unknown
_1105334660.unknown
_1105335726.unknown
_1105336018.unknown
_1105336268.unknown
_1105335943.unknown
_1105335412.unknown
_1105335708.unknown
_1105334711.unknown
_1105333645.unknown
_1105333756.unknown
_1105334332.unknown
_1105333741.unknown
_1105289137.unknown
_1105289210.unknown
_1105289091.unknown
_1105285253.unknown
_1105286779.unknown
_1105287076.unknown
_1105287833.unknown
_1105288595.unknown
_1105288604.unknown
_1105288101.unknown
_1105287335.unknown
_1105287408.unknown
_1105287159.unknown
_1105287029.unknown
_1105287066.unknown
_1105287072.unknown
_1105287061.unknown
_1105286900.unknown
_1105286965.unknown
_1105286792.unknown
_1105286116.unknown
_1105286394.unknown
_1105286777.unknown
_1105286778.unknown
_1105286776.unknown
_1105286767.unknown
_1105286273.unknown
_1105286364.unknown
_1105286225.unknown
_1105285740.unknown
_1105285997.unknown
_1105286044.unknown
_1105285826.unknown
_1105285288.unknown
_1105285307.unknown
_1105285259.unknown
_1105285275.unknown
_1105284270.unknown
_1105284882.unknown
_1105285128.unknown
_1105285175.unknown
_1105285194.unknown
_1105285163.unknown
_1105284971.unknown
_1105284993.unknown
_1105284937.unknown
_1105284587.unknown
_1105284807.unknown
_1105284837.unknown
_1105284650.unknown
_1105284756.unknown
_1105284359.unknown
_1105284445.unknown
_1105284459.unknown
_1105284417.unknown
_1105284349.unknown
_1105283653.unknown
_1105284048.unknown
_1105284126.unknown
_1105284188.unknown
_1105284065.unknown
_1105283753.unknown
_1105283966.unknown
_1105283712.unknown
_1105275606.unknown
_1105280522.unknown
_1105280523.unknown
_1105275735.unknown
_1105280504.unknown
_1105274513.unknown
_1105275490.unknown
_1105274383.unknown