UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓNFACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLADEPARTAMENTO DE RECURSOS HÍDRICOSProf.: M. T. Gálvez F. . - Ruth Riquelme R.

GUÍA ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA

1.- Utilizando tabla de verdad, demuestre la siguiente equivalencia.p ( q r ) ( p q ) ( p r )

¿ Cómo le llamaría a esta propiedad ?

2.- Averigüe si la proposición: [ ]

es una tautología, contradicción o contingencia.

3.- Encuentre el valor de verdad de las proposiciones p, q, r, s, p q, p q, p q, p s

p: La ecuación tiene solución única.

q: ,

r: siendo x un nº real cualesquiera.

s: La ecuación tiene solución única.

4.- Escriba en la forma “ Si ...,entonces ....”

a) Es necesario que no llueva para ir al centro.b) Es suficiente que estudie en forma organizada para aprender.c) Estudio o voy al cine.d) Es necesario estudiar y aprender para aprobar esta asignatura.e) Es suficiente asistir a clases para estar alegre.f) Es necesario que yo sea feliz, para que exista un día en que todas las personas sean felices. g) Es suficiente que aprenda Álgebra para sentirme feliz

5.- Encuentre el valor de verdad de:

6.- Escriba proposiciones equivalentes a la negación de:a) p q’ b) p’ q c) (p q)’ p’d) (p q) (p’ q’)e) (p q)’ q’ r

7.- Sean a y b números reales, . Considere la proposición:

Si , entonces .

a) Indique el valor de verdad de la proposición.b) Niegue la proposición dada.c) Escriba la proposición recíproca y la contra-recíproca de la dada.d) Escriba la proposición dada como: Es suficiente que … para que …. . Es necesario que … para que …. .

8.- Idem a 7) para la proposición:Si , entonces

9.- Considere la proposición:Si el profesor está ausente, entonces algunos alumnos no realizan sus tareas. a) Escriba las proposiciones recíproca, contraria y contrarrecíproca. b) Niegue la proposición dada.

10.- Idem a 9) para la proposición:Si un cuadrilátero tiene diagonales congruentes y un par de lados paralelos, entonces es un rectángulo o un trapecio isósceles.

11.- Idem a 9) para la proposición:Si llueve y estudio, entonces en todas las pruebas obtengo buenas calificaciones o hace frío.

12.- Demostrar que las conclusiones siguientes son validas utilizando el método de Reducción al Absurdo:a) Demostrar que p’ es verdadera a partir de:

1) (p q)’ 2) (p r) 3) (q r’)

b) Demostrar que (a d)’ es verdadera a partir de: 1) a ( b c) 2) b a’ 3) d c’

c) Demostrar que e’ m es verdadera a partir de: 1) s p 2) s e’ 3) p m

d) Demostrar que s’ t’ es verdadera a partir de: 1) p’ s’ 2) p’ r 3) r t’

13.- Encuentre el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes: p: A=B q: B=C siendo A, B, C los conjuntos siguientes:

r: s:

14.- Si U = {-2,-1,2,4,6,7,8,9}, A = { }, B = { es par}.

Calcule: A B; A B; AC – BC; U – ( A B)

15.- Considere los conjuntos:

Calcule: ,

16.- Considere los conjuntos: U ={1, 3, 5, 10, 56, 80, 100}

Determine por extensión los conjuntos: .

17.- Una industria fabrica 1500 neumáticos. Se sabe que 135 tienen falla tipo 1; 230 tienen falla tipo 2 y 300 falla tipo 3. Además 25 neumáticos tienen los tres tipos de falla, 30 sólo falla tipo 1, 120 sólo falla tipo 2 y 75 tienen falla tipo 1 y 3.a) Designe por A, B y C los conjuntos de neumáticos que tienen falla tipo 1, 2 y 3 respectivamente y haga un diagrama de Venn que ilustre la situación.b) Defina por comprensión los conjuntos c) Determine cuántos neumáticos tienen sólo un tipo de falla, cuántos tienen sólo dos tipos de falla, cuántos tienen a lo más una falla y cuantos tienen al menos una falla.

18.- 100 alumnos dan 2 pruebas. Se sabe que 68 aprobaron la primera prueba y 72 la segunda. Además 82 alumnos aprobaron por lo menos una prueba. ¿Cuántos alumnos aprobaron ambas pruebas?

19.- 180 alumnos dan 2 pruebas. Se sabe que 120 aprobaron la primera prueba y 140 la segunda. Además 165 alumnos aprobaron por lo menos una prueba. ¿Cuántos alumnos aprobaron ambas pruebas?

20.- 135 alumnos dan 2 pruebas. Se sabe que 92 aprobaron la primera prueba y 98 la segunda. Además 110 alumnos aprobaron por lo menos una prueba. ¿Cuántos alumnos aprobaron ambas pruebas?; ¿Cuántos alumnos aprobaron solo una prueba?

21.- En un grupo de 1000 estudiantes, 630 toman a lo menos un curso de Cálculo; 390 toman al menos un curso de Química y 740 toman al menos un curso de Álgebra. Se sabe que 440 toman Álgebra y Cálculo; 250 toman

Álgebra y Química; 200 toman Cálculo y Química, y 130 toman las tres asignaturas. Dibuje un diagrama de Venn, que ilustre este problema. ¿Cuántos alumnos tomaron sólo una de las tres asignaturas? ¿Cuántos tomaron exactamente dos asignaturas? ¿Cuántos alumnos no tomaron ninguna de estas tres asignaturas?

22.- Una dependiente tomó una orden de 38 hamburguesas: 18 con cebollas, 23 con mostaza, 29 con salsa. De éstas: 3 tienen sólo mostaza, 8 tienen sólo salsa, 9 tienen sólo mostaza y salsa y 5 tienen los tres ingredientes.a) ¿Cuántas hamburguesas tienen cebolla y salsa?b) ¿Cuántas hamburguesas tienen sólo cebolla?c) ¿Cuántas hamburguesas tienen mostaza y salsa?d) ¿Cuántas hamburguesas tienen salsa o cebolla?

23.- Se investigó un grupo de 5500 personas en relación con la estrategia a seguir con objeto de conservar el combustible. De éstas, 2000 opinaron que lo aceptable era el racionamiento, 1500 dijeron que lo apropiado sería fijar un impuesto adicional por litro, y 750 personas indicaron que lo apropiado sería la aplicación de ambos procedimientos. El resto de las personas no aceptan ninguno de los dos sistemas. Determinar:a) Un diagrama de Venn, que resuma lo anterior.b) ¿Cuántas personas aceptarían en forma voluntaria el racionamiento pero no el impuesto?c) ¿Cuántas personas aceptarían en forma voluntaria el impuesto, pero no el racionamiento?d) ¿Cuántas personas no aceptarían en forma voluntaria ninguno de los dos cursos de acción?

24.- En una encuesta realizada a 62 consumidores de comida rápida se revela que: 10 comen sólo papas fritas y hamburguesas, 12 comen sólo completos, 4 comen sólo papas fritas, 3 comen los tres tipos de alimentos, 33 comen al menos dos de estos tipos de comida y 25 comen papas fritas. Si todos nombran alguna de las alternativas, encuentre:

a) ¿Cuántas personas comen completos y hamburguesa?b) ¿Cuántas personas comen sólo completos?c) ¿Cuántas personas comen exactamente dos tipos de esta comida?

25.- Sea el conjunto: y las funciones proposicionales:

a) Determine el conjunto validez de cada una de ellas.b) Determine el valor de verdad de las proposiciones siguientes b1) b2)

b3)