RECINTO UNIVERSITARIO PEDRO ARAUZ PALACIOS

Guillermo Martínez Marenco2004 20932Luis Carlos González Gúzman2006

Método de Rayleigh

La ecuación diferencial del movimiento para un sistema sin amortiguación en vibración libre, puede también ser obtenida aplicando el “Principio de la conservación de la energía” que se puede enunciar de la siguiente manera:

“Si no hay fuerzas externas actuando sobre el sistema, y no existe amortiguación, la energía total del sistema permanece constante durante el movimiento y por lo tanto, su derivada con respecto al tiempo es igual a 0”.

La energía cinética viene dada así: T = ½ mÝ2

Donde Ý es la velocidad instantánea de la masa. La fuerza en el resorte corresponde a un desplazamiento de y unidades desde su posición de equilibrio, es ky el trabajo efectuado por tal fuerza durante un desplazamiento adicional dy es –kydy. Este trabajo es negativo porque ky que actúa sobre la masa tiene una dirección opuesta al incremento de desplazamiento dy y dado en la dirección positiva de la coordenada. Sin embargo por definición la energía potencial es igual al valor de este trabajo pero con signo contrario. De lo que se deduce que la energía potencial total en el resorte para un desplazamiento final es:

Sumando la anterior ecuación tenemos:

Y diferenciando con respecto al tiempo:

Profesor: Ing. Julio Maltéz

Si se observa esta ecuación es igual a la obtenida aplicando la Ley de Newton. El método de la energía no tiene mayor ventaja respecto al método de equilibrio. Sin embargo, en muchos problemas prácticos solo se desea obtener la frecuencia natural. Ahora, consideremos la misma figura y supongamos un movimiento armónico y que por tanto se puede expresar:

y velocidad:

Donde C es el desplazamiento máximo y ωC es velocidad máxima, por lo tanto en la posición y = 0 no habrá fuerza alguna en el resorte y la energía potencial será 0. Entonces

la energía total del sistema será la energía máxima cinética:

En un cuarto de ciclo, está energía cambiará de energía cinética a potencial pero si no se ha agregado o perdido energía durante un cuarto de ciclo, las dos expresiones deben ser iguales.

Eliminando factores comunes tenemos:

Que es la frecuencia natural del oscilador simple. Este método en que la frecuencia natural se obtiene igualando la energía cinética máxima con la energía potencial máxima se conoce como “Método de Rayleigh”.

En los cálculos previos de sistemas de masa y resorte, hemos supuesto que la masa del resorte era insignificante y que su efecto en la frecuencia natural podía ignorarse. Una mejor aproximación al verdadero valor de la frecuencia natural puede lograrse usando el

Método de Raleigh. La masa distribuida del resorte puede, fácilmente, ser considerada suponiendo que el desplazamiento a lo largo del resorte es lineal.

En este caso consideremos en la figura, el sistema masa y resorte en el cual el resorte tiene una longitud L y una masa total mb. El desplazamiento de una sección cualquiera del resorte a la distancia s del soporte se considera que es u = sy/L. suponiendo que el movimiento de la masa m es armónico, que está dado por la ecuación

obtenemos:

Donde y es la flecha en el extremo libre de la viga. En vibración libre esta flecha puede

expresarse por la función armónica que aplicada a la ecuación pasada

da: la energía potencial se calcula como el trabajo de la fuerza F, este trabajo es igual a ½ Fy, y su valor máximo es igual a la energía potencial

máxima: puesto que la fuerza F está relacionada con la deformación máxima, por la fórmula elemental de resistencia de materiales,

La energía cinética debida a la masa uniformemente distribuida de la viga está dada por:

y su valor máximo se obtiene aplicando:

Después de integrar está ecuación e igualar la expresión resultante para la máxima energía cinética con la máxima energía potencial resulta:

La frecuencia natural obtenida será:

Ejemplos usando el método de Rayleigh

Datos:

m1 = 25 kp.seg2/cm

m2 = 15 kp.seg2/cm

m3 = 12 kp.seg2/cm

Suponiendo que la deformación produce

desplazamiento: y1 = 1, y2 = 2, y3 = 3

La máxima energía potencial es:

Vmax = 12k1 y1

2+ 12k2 ( y2− y1 )2+1

2k3 ( y3− y2 )2

vmax=12

(5500 ) (1 )2+12

(8800 ) (2−1 )2+ 12

(8000 ) (3−2 )2=10,750kp/cm

La máxima energía cinética es:

T max=12m1 (ω y1 )2+ 1

2m2 (ω y2 )2+ 1

2m3 (ω y3 )2

T max=12

(25 )ω2+12

(15 ) (2ω )2+ 12

(12 ) (3ω )2

T max=12.5ω2+30ω2+54ω2=96.5ω2

Usando método de Rayleigh Vmax = Tmax

10,750=96.5ω2

ω=10.55 rad / seg

f= ω2π

=10.552π

=1.68 rps

Este valor de frecuencia es aproximado debido a que las deformaciones iniciales fueron supuestas.

f 1=m1ω2 y1= (25 ) (10.55 )2 (1 )=2,782.56

f 2=m2ω2 y1=(15 ) (10.55 )2 (2 )=5565.12

f 3=m3ω2 y3=(12 ) (10.55 )2 (3 )=8347.69

k 1 y1−k 2 ( y2− y1)−k3 ( y3− y2)=f 1

k 2 ( y2− y1 )−k3 ( y3− y3 )=f 2

k 3 ( y3− y3 )=f 3

5500 y1−8000 ( y2− y1)−8000 ( y3− y2 )=2782.56

8000 ( y2− y1 )−8000 ( y3− y2 )=5565.12

8000 ( y3− y2)=8347.69

5500 y1−8000 y2+8000 y1−8000 y3+8000 y2=2782.56

8000 y2−8000 y1−8000 y3+8000 y2=5565.12

8000 y3−8000 y2=8347.69

{ 13,500 y1−8000 y3=2782.56−8000 y1+16000 y2−8000 y3=5565.12

8000 y3−8000 y2=8347.69 }

y1=4.55

y2=6.29

y3=7.33

Introduciendo valores reales de los desplazamientos, calculamos Vmax y Tmax

T max=12

(25 ) ( 4.55ω)2+ 12

(15 ) (6.29ω)2+ 12

(12 ) (7.33ω )2

T max=877.89ω2

vmax=12

(5500 ) (4.55 )2+ 12

( 8800 ) (6.29−4.55 )2+ 12

(8000 ) (7.33−6.29 )2=73,368,68

vmax=T max igualando

73,368,68=877.89ω2

ω=9.14radseg

∧ f=1.45 rps

Método Modificado de Rayleigh

El concepto de sustituir las fuerzas de inercia por cargas estáticas para determinar la forma de deflexión puede ser empleado para modificar y mejorar el método de Rayleigh. En la aplicación del método modificado de Rayleigh, se supone inicialmente una curva de deformación y se calcula los valores máximos de la energía cinética y de la energía potencial del sistema. Una primera aproximación de la frecuencia natural se obtiene igualando estos dos valores máximos de las energías cinéticas y potencial. Un valor más aproximado de la frecuencia natural puede obtenerse cargando la estructura con fuerzas de inercia, calculadas en base a la deformación supuesta y al valor obtenido como primera aproximación para la frecuencia natural. Esta carga produce una nueva deformación, que se emplea para recalcular la máxima energía potencial.

Ejemplo:

9.8 m/s2 x 100cm/m

EI = 9.0 x1011 kips.cm2

L = 12 m; L: altura del muro

W = 20kips∗seg2

cm∗980

cmseg2

W = 19,600 kips

Se supone que la ecuación de deformación es de la curva de deformación en una viga en voladizo que soporta 3 pesos concentrados W

y1=15

162wL3

EI=0.0926

y2=49

162wL3

EI=0.3025

y3=92

163wL3

EI=0.5679

ω=√ 980 (0.0926+0.30257+0.5679 )(0.09262+0.30252+0.56792 )

EIwL3

ω=47.26√9∗10 kips.cm} ^ {2}} over {19,600 kips* left ({1200cm} ^ {3} right )} =1.26 {rad} over {seg} ¿¿¿

f=1.262π

=0.20

T= 11.26

=0.79

Método de Newmark

Este método se aplica para calcular el primer modo de vibración de estructuras estrechamente acopladas, es decir, estructuras cuyas masas se conectan solamente a las de los pisos superior e inferior por medio de resortes que idealizan la rigidez lateral los entrepisos correspondientes.

Problema: Determinar el modo y la frecuencia fundamental de vibración de la siguiente estructura, empleando el método de Newmark, a continuación se describe la secuela del método idealizando la estructura a través de un modelo de masas y resortes.

Datos

Suponer una configuración inicial de desplazamientos para el 1er modo de vibrar, usualmente se proponen valores de desplazamiento cuyo valor sea igual al número de nivel correspondiente a cada masa xi:

X1= 1

X2= 2

X3= 3

Las fuerzas de inercia en cada masa son iguales a pero como aún no conocemos ω1

2, entonces se trabaja con las fuerzas de inercia divididas entre la

freccuencia del primer modo,

= 0.400; 0.600; 0.600

Los cortantes de entrepiso son las fuerzas de inercia acumuladas desde la masa del último

nivel:

K1 M1 K2 M2 K3 M3Ton/cm

Ton.seg2/cm

Ton/cm

Ton.seg2/cm

Ton/cm

Ton.seg2/cm

300.00 0.400 200.000

0.300 100.00 0.200

Xi

1.00 2.00 3.000.400 0.600 0.600

1.600 1.200 0.600

La deformación de entrepiso se obtienen dividiendo cada fuerza cortante entre la rigidez de entrepiso correspondiente.

K1 M1 K2 M2 K3 M3Ton/cm

Ton.seg2/cm

Ton/cm

Ton.seg2/cm

Ton/cm

Ton.seg2/cm

300.00 0.400 200.000

0.300 100.00 0.200

Xi 1.00 2.00 3.00

0.400 0.600 0.600

1.600 1.200 0.600

0.005 0.006 0.006

Configuración de desplazamientos: Los desplazamientos se obitenen acumulando las deformaciones de entrepiso desde el primer nivel.

K1 M1 K2 M2 K3 M3Ton/cm

Ton.seg2/cm

Ton/cm

Ton.seg2/cm

Ton/cm

Ton.seg2/cm

300.00 0.400 200.000

0.300 100.00 0.200

0.400 0.600 0.600

1.600 1.200 0.600

0.005 0.006 0.006

0.005 0.011 0.017

Frecuencia aproximada del primer modo: Se obitiene dividiendo el valor de

desplazamiento inicial entre el obtenido en el paso anterior, cuando el cociente es aproximadamente el mismo para todas las masas, se ha encontrado la configuración y la frecuencia de vibración correspondiente al primer modo de vibración:

K1 M1 K2 M2 K3 M3Ton/cm

Ton.seg2/cm

Ton/cm

Ton.seg2/cm

Ton/cm

Ton.seg2/cm

300.00 0.400 200.000

0.300 100.00 0.200

0.400 0.600 0.600

1.600 1.200 0.600

0.005 0.006 0.006

0.005 0.011 0.017

187.500 176.471 173.077

Como aún no hay convergencia, se tiene que realizar otra iteración repitiendo los pasos del 1 al 6, solo que ahora la configuración inicial se obtiene normalizando los desplazamientos del renglón 5 de la rimera iteración con respecto al desplazamiento de la primer masa (dividir entre el valor señalado):

Despues de la tercera iteración se observan valores de la frecuencia fundamental ω12,

aproximadamente iguales:

Entonces se puede sacar un promedio de los 3 valores de frecuencia de la última iteración: ω1

2=175.85. También es recomendable determinarla a partir del cociente de Schwartz:

Finalmente, la configuración del primer modo se obtiene normalizando los valores del 5 paso de la última a iteración con respecto al menor valor del desplazamiento:

2do Ejemplo:

ω2=∑i

( Fi

ω2 )( Y i

ω2 )∑i

F i( Y i

ω2 )2

Calcular ω X = valores iguales al n° de orden del piso F = m*x V =∑ F inercia

V/K

Y = ∑ VK

ω2

RenglónK (ton/cm) 200 200 200

M (ton.seg2/cm)

0.408 0.408 0.204

1 X 1 2 3

2F

ω2 0.408 0.816 0.612

3V

ω2 1.836 1.428 0.612

4ΔY

ω2 0.00918 0.00714 0.00765

5Y

ω2 0.00918 0.01632 0.02397

6 ω2 109 123 125

1 X 1 1.780 2.610

2F

ω2 0.408 0.726 0.532

3V

ω2 1.664 1.258 0.532

4ΔY

ω2 0.00837 0.00629 0.00665

5Y

ω2 0.00837 0.01466 0.2131

6 ω2 119 121 122

1 X 1 1.750 2.550

2F

ω2 0.408 0.714 0.520

3V

ω2 1.642 1.234 0.520

4ΔY

ω2 0.00821 0.00617 0.0065

5Y

ω2 0.00821 0.01438 0.02088

6 ω2 121.8 121.7 122.1

1 1.752 2.543

ω2=∑i

( Fi

ω2 )( Y i

ω2 )∑i

F i( Y i

ω2 )2 =

0.0244750.000201

=121.0 seg−2

T=2πω

=0.5686 seg .

Método de Holzer

Para calcular los modos superiores al primero podemos emplear el procedimiento debido a Holzer (crandally strang. 1957). Este método es solamente aplicable para estructuras sencillamente acopladas. Los paso a dar son los siguientes

a) Supóngase arbitrariamente un valor de ω2 mayor que el del modo fundamental previamente obtenido por cualquier otro método

b) Supóngase la amplitud del movimiento X1 de la primera masa a partir del apoyo. Conviene suponer la un valor unitario. Esta amplitud supuesta es también igual al desplazamiento ∆ X1 del primer entrepiso

c) Calcúlense las fuerzas cortantes en el primer resorte V1= K1 ∆ X1, de donde K1 es la rigidez de entrepiso y la fuerza de inercia en la primera masa F1=M1ω2X1

d) Por equilibrio determínese la fuerza cortante en el segundo resorte F2= V1-F1

e) Obténgase la deformación de este último ∆ X2= M2ω2X2

f) Calcule al amplitud del desplazamiento de la segunda masa X2=X

g) Repetir paso (d) y (f) con el tercer resorte y la tercera masa

h) Continúe con el proceso hasta llegar al último nivel.

ω2Supuesta

K (ton/cm)

200 200 80

Resi

duo

M

( ton−seg2

cm ) 0.408 0.408 0.204

500 X 1 0.98 -1.570 -44Δ X 1 -0.020 -2.550

V 200 -4 -204F 204 200 -160

600

X 1 0.780 -2.170

30Δ X 1 -0.220 -2.950V 200 -45 -236F 245 191 -266

560

X 1 -0.860 -1.950

-2Δ X 1 -0.140 -2.810V 200 -28.50 -225F 228.5 195.5 -223

563

X 1 0.851 -1.964

0.4Δ X 1 -0.149 -2.815V 200 -29.70 -225.2F 229.7 195.5 -225.6

(500∗30+600∗44 )74

=560 (interpolaciínlineal )

ω2=560∗200∗1+28.5∗0.140+225∗2.810228.5∗1+195.5∗0.860+223∗1.950

=563.0

ω2=563∗200∗1+29.7∗0.149+225 .2∗2.815229.7∗1+195.5∗0.851+225.6∗1.964

=56 2.5