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Joaquín Bernal MéndezCurso 2008/2009

Ingeniería Industrial Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

1

Tema 2: OndasOscilaciones y Ondas

Fundamentos físicos de la ingeniería

Ingeniería Industrial

Primer Curso

Fundamentos Físicos de la IngenieríaCurso 2008/2009

Ingeniería IndustrialDpto. Física Aplicada III – Universidad de Sevilla

Tema 2.-Ondas2/69

Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler

Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas

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Tema 2.-Ondas5/69

Introducción: ondasmecánicas

Onda: perturbación que viaja sintransferencia de materia Ondas en el agua, ondas de sonido…

Clasificación según el medio de propagación: Mecánicas: perturbación de un medio.

Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en unacuerda…

Electromagnéticas: no requieren un medio. Luz, rayos X, ondas de radio…

transmiten energía



Tema 2.-Ondas6/69

Ondas mecánicas

La formación y propagación de una ondamecánica requiere: Una fuente de perturbación

Ej: Piedra que cae en el agua

Un medio que pueda ser perturbado Ej: El agua

Mecanismo físico de interacción entre partículasdel medio Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas

de agua

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Tema 2.-Ondas7/69

Ondas transversales ylongitudinales Clasificación de las ondas según la dirección

del desplazamiento de las partículas delmedio: Transversales: perpendicular a la dirección de

propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en elagua)



Tema 2.-Ondas8/69

Ondas transversales ylongitudinales

Clasificación de las ondas según la direccióndel desplazamiento de las partículas del

medio: Transversales: perpendicular a la dirección de

propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en elagua)

Longitudinales: paralela ala dirección de propagación

(Ej: ondas de sonido,ondas en un muelle)

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Tema 2.-Ondas9/69

Índice Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido

Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas



Tema 2.-Ondas10/69

Función de onda

Pulso que viaja en una cuerda:

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Tema 2.-Ondas11/69

Función de onda Pulso que viaja en una cuerda:

y

y x

x

0t = ( , 0) ( ) y x t f x= =

( , ) ( ) y x t f x vt = −

P v

t

vt

P′

P x

P P x x vt ′ = + ( ) ( )P P f x vt f x′→ − =

Función de onda



Tema 2.-Ondas12/69

Función de onda

Representa el valor de la coordenada y encualquier punto x en un instante t El signo positivo indica onda viajando hacia x

decreciente (la izquierda en nuestrodiagrama)

Para un t 0 fijo y(x,t 0) forma de onda: función

que proporciona la forma geométrica delpulso

( , ) ( ) y x t f x vt = ±

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Tema 2.-Ondas13/69

Índice Introducción

Función de onda Ondas sinusoidales

Descripción y representación Ecuación de onda lineal

Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas



Tema 2.-Ondas14/69

Ondas sinusoidales

Unimos el extremo de una cuerda a un objetoque describe un MAS (diapasón):

Tren de ondas sinusoidales o armónicas

Cada partícula de la cuerda describe un MAS

Todas las ondas pueden representarsecomo suma de ondas armónicas

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Tema 2.-Ondas15/69

Ondas sinusoidales: longitudde onda y amplitud

Longitud de onda (λ): distancia mínima entredos puntos con la misma posición ( y) yvelocidad (v y):

Amplitud ( A): máximo desplazamiento decada partícula respecto a su posición deequilibrio

y

x

λλ A



Tema 2.-Ondas16/69

Frecuencia ( f ): frecuencia del MAS de cadapartícula del medio:

Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda harecorrido una distancia λ:

Ondas sinusoidales:frecuencia y velocidad

y

t

T

1

f T =

vT λ= CUIDADO: No confundir v con v y

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Tema 2.-Ondas17/69

Ondas sinusoidales:representación matemática

x

y

( )( ,0) sen y x A kx= + δ

2k

π=

λNúmero de onda (m-1)

δ Constante de fase

• En t=0:

Función sinusoidal de amplitud A que serepite cada λ y cuyo valor en x=0 es Asen(δ)



Tema 2.-Ondas18/69

Ondas sinusoidales:representación matemática

En un instante t :

Signo +: onda que viaja hacia x decreciente

Signo -: onda que viaja hacia x creciente

Donde:

Entonces:

( , ) ( ,0) y x t y x vt = ± ( )

sen A kx kvt = ± + δ

2 2kv

T T

π λ π= = = ω

λFrecuencia angular

( , ) sen( ) y x t A kx t = ± ω + δ

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Tema 2.-Ondas19/69

Ondas sinusoidales: resumen

( , ) sen( ) y x t A kx t = ± ω + δ• Amplitud:

• Longitud de onda:

• Frecuencia:

•Velocidad de la onda:

1 f

T

=

λ

A

v f T

λ= = λ

2k

π=

λ

22 f

T

πω = = π frecuencia angular

k

ω=

número de onda



Tema 2.-Ondas20/69

Ecuación de onda lineal

( , ) sen( ) y x t A kx t = ± ω + δ

cos( ) y y

v A kx t t

∂= = ±ω ± ω + δ∂

22

2 sen( )

y

ya A kx t

t

∂= = −ω ± ω + δ

∂

cos( ) y

kA kx t x

∂= ± ω + δ

∂2

2

2 sen( ) y

k A kx t x

∂= − ± ω + δ∂

2 2

2 2 2 21 1 y yk x t

∂ ∂=∂ ω ∂

2 2 2

2 2 2

y k y

x t

∂ ∂=

∂ ω ∂

2 2

2 2 2

1 y y

x v t

∂ ∂

=∂ ∂

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Tema 2.-Ondas21/69


Ecuación diferencial que cumple unaperturbación que se propaga como una ondalineal

Ondas armónicas son una posible solución

Solución general: onda viajera

2 2

2 2 2

1 y y

x v t

∂ ∂=∂ ∂

( , ) ( ) y x t f x vt = ±



Tema 2.-Ondas22/69

Es solución de la ecuación de ondas

lineal


2 2

2 2 2

1 y y

x v t

∂ ∂=

∂ ∂

2 2 2

2 2 2

y f f

x x

∂ ∂ ∂φ ∂= =

∂ ∂φ ∂ ∂φ

( , ) ( ) y x t f x vt = ±

y f f

x x

∂ ∂ ∂φ ∂= =

∂ ∂φ ∂ ∂φ

• Demostración: x vt φ = ±Fase:

y f f v

t t

∂ ∂ ∂φ ∂= = ±

∂ ∂φ ∂ ∂φ

2 2 22

2 2 2

y f f v v

t t

∂ ∂ ∂φ ∂= ± =

∂ ∂φ ∂ ∂φ

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Tema 2.-Ondas23/69


Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerda Onda de sonido

Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas



Tema 2.-Ondas24/69

Velocidad de las ondas

Las ondas mecánicas con amplitudespequeñas frente a λ pueden considerarselineales: cumplen ecuación de ondas lineal.

Ondas mecánicas lineales: Su velocidad depende solamente de las

propiedades del medio a través del que semueven

Ondas de diferente frecuencia se propagan con lamisma velocidad

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Tema 2.-Ondas25/69

Velocidad de las ondas: ondaen una cuerda

Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de

la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidad Si usamos una cuerda con mayor densidad de

masa la onda viaja más lenta

Para una cuerda homogénea:

t F

t F

v =μ

dm

dLμ = → densidad de masa lineal

m

Lμ =

L

m



Tema 2.-Ondas26/69

Velocidad de las ondas: ondassonoras

Bv =

ρ

Módulo de compresibilidad:

Densidad de masa

P B

V V

Δ= −

Δ

Para muchos tipos de ondas mecánicas secumple:

Ondas de sonido en un fluido

v = (propiedad elástica del medio)(propiedad inercial del medio)

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Tema 2.-Ondas27/69

Velocidad de las ondas: ondassonoras

Bv =

ρ343Aire (20º C)

331Aire (0º C)

1482Agua (20ºC)

1402Agua (0º C)

1286Hidrógeno (0º C)

v (m/s)Medio

BT ∝

ρ

En un gas:

Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago

83 10 m/s >>c v= × Desprecio el retraso de la luz

0.33 km/sv ≈ 0.333

km s km

s

xd vt x= = =



Tema 2.-Ondas28/69

Velocidad de las ondas:observaciones

La frecuencia de la onda la determina elagente causante de la misma

La velocidad de la onda depende del medio La longitud de onda se obtiene de:

v

f λ =

Ejemplo: sonar de los delfines5

10 Hz f ≈

51482 1.510 m/s cm 1/s

v f λ = = ≈

Agua a 20º C

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Tema 2.-Ondas29/69





Tema 2.-Ondas30/69

Onda en una cuerda: energíatransmitida

Una onda que se propaga en un mediotransporta energía: Un trozo de corcho sube y baja en el agua Un pulso en una cuerda puede levantar una masa

Vamos a suponer una onda sinusoidal enuna cuerda

Vamos a calcular el trabajo realizado por lafuerza que un segmento de cuerda realiza

sobre el vecino

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Tema 2.-Ondas31/69


sent t t t P F v Fv= ⋅ = − θPotencia:

Ondas lineales A

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Tema 2.-Ondas33/69


Energía media que fluye por un punto en un

intervalo de tiempo:

m m m

x E P t P

v

Δ= Δ =

2 212

m E A x= μω Δ

La energía viaja a lavelocidad de la onda



Tema 2.-Ondas34/69

Índice Introducción Función de onda

Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido

Onda de desplazamiento y onda de presión


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Tema 2.-Ondas35/69

Ondas de sonido

Ondas longitudinales

Ondas sonoras armónicas: desplazamientode las moléculas respecto a su posición deequilibrio:

El desplazamiento de las moléculas provoca

variaciones de la densidad y presión del aire:onda de presión y onda de densidad

0( , ) sen( )s x t s kx t = − ω



Tema 2.-Ondas36/69

Ondas de sonidoDesplazamiento respecto alequilibrio

Movimiento de las partículasun instante T /4 antes

Posición de las partículas

• s=0: partícula en su posición de equilibrio ( x1 y x3)

• s>0: desplazamiento a la derecha de la posición deequilibrio

• s

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Tema 2.-Ondas37/69

Ondas de sonidoDesplazamiento respecto al

equilibriomovimiento de las partículasun instante T /4 antes


Densidad del aire

La onda de densidad estádesfasada 90º respecto a laonda de desplazamiento



Tema 2.-Ondas38/69

Ondas de sonidoDesplazamiento respecto alequilibrio

movimiento de las partículasun instante T /4 antes


Densidad del aire

Onda de presión

0( , ) sen( )2

p x t p kx t π= − ω −

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Tema 2.-Ondas39/69

Ondas de sonido

Relación entre las amplitudes de presión y dedesplazamiento

0 0 p v s= ρ ω

densidad de equilibrio

Donde: velocidad de la ondav

ρ →⎧⎪

→⎨⎪⎩ 0 velocidad longitudinal máximasω →



Tema 2.-Ondas40/69

¿De qué orden es la amplitud de desplazamientomáxima que puede soportar el oído humano?

Ondas de sonido: aplicación

Frecuencias de sonido audible para el hombre:20 Hz – 20000 Hz

Frecuencias mayores: ultrasonidos Frecuencias menores: infrasonidos

Máxima amplitud de presión que el oído humanopuede tolerar: 28 Pa

( ) ( )0

0 28 11343 1.21 2 10003 Pa m m/s kg/m Hz

psv= = = μρω π

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Tema 2.-Ondas41/69





Tema 2.-Ondas42/69

Efecto Doppler

Cambio en la percepción del sonido cuando existemovimiento relativo entre emisor y receptor Ejemplo: Sirena de ambulancia o de coche de policía

Debe su nombre al físico austriaco Christian J.Doppler (1803-1853)

Causa: diferencia entre la frecuencia percibida porel receptor ( f r ) y la emitida por la fuente ( f f )

Efecto asociado a todo t ipo de ondas

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Tema 2.-Ondas43/69

• Cuando el receptor y la fuente se acercan los

frentes de onda se juntan: f r > f f

• Cuando el receptor y la fuente se alejan los frentesde onda se separan: f r

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Tema 2.-Ondas45/69

Efecto Doppler

Receptor en movimiento

F R

λv

r v

• Tiempo entre frentes:

• Frecuencia recibida:

• R se acerca a F ( ):

• R se aleja de F ( ):

• Si :

r

r

T v v

λ= +

r r

v v f

+=

λ

0r

v >

0r

v <

r f f f >

r f f f <0

r v = r f f f =

r r f

v v f f

v

+=



Tema 2.-Ondas46/69

Efecto Doppler

Fuente en movimiento

RF f v

• Velocidad de los frentes:

• Distancia entre frentes:

• Frecuencia recibida:

r f f v T λ = λ −

r λ

v

v

f f v T

F′

r f

f f f

v v f f

v T v v= =

λ − −

Si F se aleja de R: 0 f v

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Tema 2.-Ondas47/69

Efecto Doppler: ecuacióngeneral

Si receptor y fuente están en movimiento:

Cuando F se mueve hacia R: v f > 0, en casocontrario v f < 0

Cuando R se mueve hacia F: vr > 0, en caso

contrario vr < 0

r r f

f

v v f f

v v

+=

−

Las velocidades v f y vr se miden respecto al aire



Tema 2.-Ondas49/69

Efecto Doppler: ondas dechoque

Si Esta ecuación no sirve para

Si las ondasse concentran tras elfoco y forman una

onda de choque

r r f

f

v v f f

v v

+=

−

f r v v f = ⇒ = ∞ ó

r f v v v v≥ ≥

f

v v>

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Tema 2.-Ondas50/69




Tema 2.-Ondas51/69


Cono de Mach

Ángulo de Mach

θ

Tangente común detodos los frentes de

onda

Estampidosónico

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Tema 2.-Ondas52/69


v t Δ

f v t Δ

θ

sen f f

v t v

v t v

Δθ = =

ΔNúmero de Mach

• Δt: tiempo desde laemisión del frente de

ondas en P

• Espacio recorridopor el avión: v f Δt

• Espacio recorridopor el frente de ondas:vΔt

f v

v

P



Tema 2.-Ondas53/69


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Tema 2.-Ondas54/69


Vehículo THRUST SSC superando el récord develocidad terrestre (Mach 1,020)



Tema 2.-Ondas55/69


Bala desplazándose con un número de Mach 2,45

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Tema 2.-Ondas56/69


Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas

Reflexión total Transmisión

Superposición de ondas



Tema 2.-Ondas57/69

Reflexión y transmisión deondas

Hasta ahora hemos estudiado la transmisiónde ondas en un medio infinito

Vamos a analizar lo que ocurre cuando unaonda alcanza la frontera entre dos medios.

Fenómenos relacionados: Reflexión: onda que regresa

Ejemplo: eco

Transmisión: onda se propaga a través del

nuevo medio Ejemplo: luz en el agua

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Tema 2.-Ondas58/69


Reflexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo fijo

Pulso reflejado con la misma forma que el pulsoincidente, pero invertido



Tema 2.-Ondas59/69


Reflexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo libre

Pulso reflejado con la misma forma que el incidente

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Tema 2.-Ondas60/69

Reflexión y transmisión deondas Reflexión-transmisión: onda en una cuerda

Cuerda pesadaunida a otra másligera

Cuerda ligera

unida a otra máspesada

Onda reflejadano se invierte

Onda reflejada esinvertida



Tema 2.-Ondas61/69


Una onda se verá parcialmente transmitida yparcialmente reflejada en la superficie de

separación entre dos medios en los cualessu velocidad sea diferente Si las velocidades son parecidas: transmisión es

dominante Ejemplo: oído interno de los peces

Si las velocidades son muy diferentes: reflexiónes dominante Ejemplo: radiocomunicación

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Tema 2.-Ondas62/69


Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas

Superposición de ondas Principio de superposición Interferencia de ondas armónicas



Tema 2.-Ondas63/69


En un medio puede propagarse variasperturbaciones simultáneamente

Ejemplo: varias personas hablando a la vez Principio de superposición:

Se deduce de la linealidad de la ecuación deondas

Cuando dos o más ondas se combinan enun determinado punto la perturbaciónresultante es la suma de las perturbacionesprovocadas por cada onda

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Tema 2.-Ondas65/69


Consecuencia del Principio de Superposición: dos

ondas pueden pasar la una a través de la otra sinser destruidas ni modificadas

Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presentacuando dos o más ondas se superponen



Tema 2.-Ondas66/69

Onda resultante con la misma f y λ

La amplitud depende de δ (diferencia de fase)

Superposición de ondas:interferencia de ondas armónicas

1

2

sen( )

sen( )

y A kx t

y A kx t

= − ω

= − ω + δ

1 2 2 22 cos( )sen( ) y y A kx t δ δ+ = − ω +

2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b − ++ =( Donde hemos usado:

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Tema 2.-Ondas67/69

Onda 1

Onda 2 Onda resultante

Superposición de ondas:interferencia de ondas armónicas

Si δ=0, cos(δ/2)=1 y A’=2 A;interferencia construct iva

Si δ=π, cos(δ/2)=0 y A’=0;

interferencia destructiva

1 2 2 22 cos( )sen( ) y y A kx t δ δ+ = − ω +

Onda 2

Onda 1

Onda resultante A′



Tema 2.-Ondas68/69

Resumen del tema (I)

Onda: perturbación que se propaga sin transmisión de materia. La ondas mecánicas son las que requieren de un medio

material para propagarse. Una forma de onda que se propaga sin deformarse se

denomina onda lineal, tiene la ecuación f(x±vt) y es solución dela ecuación de ondas lineal.

La ondas sinusoidales son una solución particular de laecuación de ondas lineal.

La velocidad de una onda lineal sólo depende del medio enque se propaga, pero no de su frecuencia.

La energía transmitida por una onda aumenta con el cuadrado

de su amplitud y de su frecuencia.

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Tema 2.-Ondas69/69

Resumen del tema (II)

El efecto Doppler :

Es un cambio en la frecuencia de la onda percibida respecto a laemitida Se produce en todos los tipos de onda cuando existe movimiento

relativo entre el emisor y el receptor Cuando una onda atraviesa la superficie de separación entre dos

medios en los cuales se propaga a diferente velocidad aparecenlos fenómenos de reflexión y transmisión .

El principio de superposición para ondas lineales: Es una consecuencia de la linealidad de la ecuación de ondas Establece que cuando dos o más ondas se combinan en un

determinado punto la perturbación resultante es la suma de lasperturbaciones provocadas por cada onda Se denomina interferencia al fenómeno que se produce cuando

se superponen dos o más ondas.

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