2º BLOQUE 4, GUÍA DE EJERCICIOS

Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraico

120

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

BLO

QU

E 4

5

A = ?

A = L²A = 5²A = 5 x 5A = 25 u²

V = ?V = L³V = 4³V = 4 x 4 x 4V = 64 u³

4

Para calcular el ÁREA de un cuadrado se multiplica

lado por lado.

Para calcular el VOLUMEN de un cubo se multiplica lado por lado

por lado.

Cuando un número se multiplica varias veces por sí mismo, se dice que se eleva a una POTENCIA.

En la potencia el número que se repite como factor se llama BASE.El número que indica las veces que se repite el factor se llama EXPONENTE.El resultado se llama POTENCIA.

Base

Potencia

Exponente

Encuentra la potencia de cada una de las siguientes potenciaciones:

233x3 = 344x4x4 = 477x7x7x7 =

12555x5x5 3 ==

_____________9

_____________8

_____________7

_____________6

_____________5

_____________4

_____________3

_____________2

_____________1

3

3

3

3

3

3

3

3

3

=

=

=

=

=

=

=

=

=

_____________9

_____________8

_____________7

_____________6

_____________5

_____________4

_____________3

_____________2

_____________1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

_____________18

_____________17

_____________16

_____________15

_____________14

_____________13

_____________12

_____________11

_____________10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

_____________18

_____________17

_____________16

_____________15

_____________14

_____________13

_____________12

_____________11

_____________10

3

3

3

3

3

3

3

3

3

=

=

=

=

=

=

=

=

=

4.1Elaborar, utilizar y justificar

procedimientos para calcular productos y cocientes de

potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una

potencia.Interpretar el significado de

elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que

intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.


POTENCIACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO

Si abreviamos la multiplicación de FACTORES IGUALES obtenemos una POTENCIA.

Completa lo que falte en el cuadro.

¡CUIDADO! no es lo mismo que:

Porque:

( )5−

el signo " – " no es el signo de la base.el signo " – " forma parte de la base.

5−

BLO

QU

E 4

Resuelve las siguientes operaciones; hasta obtener la potencia:

02

( ) 25−

( ) ( ) ( ) 25555 2 =−−=−

25−

( )

( ) =−

=−

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2

2

2

74

74

6575

21

( )

( ) =

=+

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2

2

2

6.0

52

43

32

( ) ( ) ( ) 25555 2 −=−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41

( )2.0− 2

Multiplicación Base Exponente Potencia

5 4 3,025 ( ) ( ) ( ) ( ) 455555 =

2

31

31

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

3

41

41

41

41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( ) ( ) ( ) ( ) 34444 −=−−−

81

21

21

21

21 3 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 25644444 4 +=−=−−−−

+ - +

( ) ( ) ( ) 16.04.04.04.0 2 ==

121


PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

Ya observaste ¿qué sucede con los exponentes de cada potencia? _______________________

_____________________________________________________________________________

lo cual es igual a

03

BLO

QU

E 4

( ) ( ) 532 bbbbbbbb =⋅⋅⋅⋅= ( ) ( ) 53232 bbbb == +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) =−−

=

=

=−−

=

=−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

a2

41

32

n2n

23

53

43

42

2.02.0

22

69

mm

aa

35

52

52

8.08.0


122

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18723333333333 734 −=−=−−−−−−−=−−

( ) ( ) ( ) ( ) 18723333 73434 −=−=−=−− +

811

31

31

31

31

31

31

31 43 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

811

31

31

31

31 4133 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

o sea que

o sea que

también

( ) ( ) ( ) 02414444 53232 === +

( ) ( ) ( ) ( ) 0241444x4x44x444 51111132 ==== ++++

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) =

=

=−−

=

=−−

=−−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

−

33

22

66

4.04.0

55

333

41

41

41

4012777

2

32

23

23

21

53

23

422


COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

04

BLO

QU

E 4

¿Ya observaste qué sucede con los exponentes en la división de potencias de igual base?

Escríbelo _____________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

( )( )

( )( )

( )( ) =

=

=

=−−

=

=== −

2

4

2

3

5

6

5

4

3

4

4484

8

5.05.0.6

77.5

xx.4

22.3

aa.2

162222.1

( )( )

( )( )

( )( ) =

−−

=

=++

=−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

5

3

3

6

6

3

5

2

4

4

5

y2xy2x.12

ab3ab3.11

nmnm.10

99.9

3232

.8

6.26.2.7


( ) ( ) 33252

5

1434

3

0222

2

2242

4

aaaaatambién

2.05155

55también

14444también

93333también

===

−=−

−=−=−−

===

===

−

−−

−

−( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3

2

5

14

3

02

2

22

4

aaa

aaaaaaa

551

5555555

55

144444

44

333

333333

==

−=−

=−−−−

−−−=

−−

===

==

−

123


05

Resuelve las siguientes operaciones:

BLO

QU

E 4

( )[ ] ( ) 09.03.06.0x5.0 22 ==es igual que: ...............................................................................

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 10001258525x2 333 =−−=−−=−

es igual que: ................................................................................ ( )[ ] ( ) 1000105x2 33 ==−−

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 09.036.025.06.05.06.0x5.0 222 ===

( ) 22222 dcdcdc =⋅=⋅ ( ) 222 dcdc =⋅es igual que: ...........................................................

( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )[ ] =−

=⋅−

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=⋅⋅

=−−

22

232

232

43

32

2

2

b3.1a2.114

2313

yx12

53

5311

nn10

2539

348

POTENCIA DE UN PRODUCTO

124

( ) ( ) 3663x2:queiguales369x43x23x2 22222 =====

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )

( )

( )

( ) =−

=

=

=−

=−−

=

=

−

22

3

22

22

2

3

2

ba37

mm66

7.05

3.14

353

2.04.02

625551

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )625390

151555:queigual555

729333:queigual729333333

ba8bbbaaa222ba2

8842428222242

63232622222232

333

======

=======

==

−−−−−+−+−+−−

⋅++


NOTACIÓN CIENTÍFICA DE CANTIDADES GRANDES

06

BLO

QU

E 4

Expresar cantidades grandes es mejor y facilita conocer su magnitud, hacerlo a través la notación científica; es decir, representarlas en función de potencias de 10.

Por ejemplo, un millón se escribe 1,000,000 y es lo mismo que 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10, en notación científica quedará como

El diámetro del sol es: 1,392,000,000 m esta cantidad puede ser expresada como,

610x1

NOTACIÓN CIENTÍFICA DE CANTIDADES PEQUEÑAS

m10x392.1 9

Algunas de las células bacterianas más pequeñas miden menos de una micra.

Una micra es igual a una millonésima parte de un metro

El tamaño o volumen exacto de un átomo es difícil de calcular, pero puede estimarse razonablemente en

66 10x1

101

000,000,11 −==

m10x0586.1 01−

Completa la siguiente tabla anotando las cantidades que faltan en cada caso:

125

Notación Científica

Distancia media de la tierra al sol

Distancia media de Neptuno al sol

150,000,000,000 m

4,500,000,000,000 m

m10x5.1 11

Distancia media de Saturno al sol 1,427,000,000,000 m

Distancia media de Marte al sol 1110x28.2

Protón 0.000,000,000,000,000,000,167,26 kg

m10x5 5−

Notación Decimal

El grosor del pelo es aproximado a 0.05 mm

Diámetro de un glóbulo rojo 0.0065 cm

Cantidad de moléculas en 1 gr de agua 33,400,000,000,000,000,000,000

Tamaño de un microbio cm10x4 6−

Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraicoB

LOQ

UE

4RADICACIÓN

Es la operación i n v e r s a a l a p o t e n c i a c i ó n mediante la cual c a l c u l a m o s l a B A S E , s i s e c o n o c e e l exponente y la potencia.

Los términos de la raíz cuadrada son:

07

Este procedimiento ya lo vimos en el curso anterior, ahora vamos a ver como encontrar la radicación de cantidades elevadas a potencias. Si la raíz cuadrada de una cantidad (radicando) es aquella (raíz) que al multiplicarse por sí misma da como resultado el radicando.

Ejemplo: raíz cuadrada de 81 es 9 porque 9 x 9 = 81 El número 81 es igual a 9²

Entonces observa que extraer raíz a un número con exponente, éste se divide entre el índice; así, 2 : 2 = 1.

Raíz cúbica de 64 es 4; porque, 4 x 4 x 4 = 64 El número 64 es igual a 4³

Entonces observa que extraer raíz a un número con exponente, éste se divide entre el índice; así, 3 : 3 = 1.

992 2 =

443 3 =

25

2:52 5

32:62 6

22:42 4

mmm

777

666

==

==

==

07

1.- Separamos de derecha a izquierda el número en cifras de dos en dos. Nos queda: 56,25

2.- Encontramos la raíz cuadrada más próxima del 56 sin pasarse; raíz cuadrada de 56 es aproximadamente 7 y escribimos el 7. Decimos 7 x 7 es igual a 49; 49 para completar 56 es igual a 7 y escribimos el 7.

3.- Bajamos el 25 que junto con el 7 se forma el número 725.

4.- El 7 obtenido se multiplica por 2, y escribimos 14 abajo del 7.

5.- Para encontrar el siguiente número del resultado, y como ese número se bajara y se colocará junto al 14 se formará el ciento cuarenta y tantos , cuantos ciento cuarenta y tantos caben en el número 725.

6.- Encontramos que 5 veces el ciento cuarenta y tantos puede formar el 725, mismo que anotamos tanto en el resultado como a la derecha del 14 formando los números 75 y 145.

7.- Multiplicamos enseguida 5 x 145 = 725 , cantidad que se resta al 725 formado anteriormente, quedando como residuo cero.

126

35

31

35313 5

2363 6

38

383 8

x3x3x3

444

5.25.25.2

==

==

==

÷÷

÷

÷

n5

n1

n5n1n 5

1666 6

45

454 5

a4a4a4

7777

32.032.032.0

==

===

==

÷÷

÷

÷

225 15 -1 125 25 -125 0

2

Radicando

RaízÍndice

Residuo

5 6,2 5 7 5- 4 9 1 4 5 7 2 5 - 7 2 5 0


08

BLO

QU

E 4Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números :

1) 1 4 4 2) 4 0 0 3) 4 9 4) 1 6 9

5) 4 9 0 0 6) 1 9 3 6 7) 5 3 2 9 8) 1 3 6 9

_______________ba710

__________________38)9

________________w14)8

__________________c5)7

__________________n3)6

_________________dc5)5

__________________14)4

__________________y5)3

___________________9)2

_________________75.0)1

2 73

2 3

2 32

2 3

2 7

2 3

2 2

2 5

2 8

2 6

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

_______________yx3420

__________________78)19

_________________r5)18

__________________d4)17

_________________n8)16

_______________ed27)15

__________________14)14

__________________j3)13

________________45.9)12

_________________5.6)11

4 52

7 3

3 32

5 3

y nm

3 32

6 2

x 4

5 3

3 7

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Encuentra las siguientes raíces expresándolas en función de sus exponentes:

127


09

BLO

QU

E 4

128

También la raíz cuadrada se puede realizar en operaciones como en las de los ejemplos:

21

212

am3a

m3am3 −

== 32

32

31

32

31

3 233

7

5

mm1m

1m1

mmmmmmmmmmmm

mm −−

=⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

Observa cómo el exponente que queda en el denominador lo puedes subir al numerador pero con el signo contrario.

323212624222 64 yx2yx2yx2yx4 === ÷÷÷

41

41

35

32

4

3 52

a21

yx

a21

yx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=0001210x210x210x0.8008000000.0 33

933

3 93 ==== −−−

Encuentra el resultado de los siguientes raíces:

=

=

=

=

=

=

=

3

34

22 3

3 2

2

33

4

3

2 23

2 32

3 32

nm7nm127

yx3

a6x26

00000000060055

yx9yx184

nm6ba12

3

m5nxm6

2

2cba7

1

y2

3x5

yx2

y3x5

yx2

y3x5

21

21

23

23

21

21

21

21

2

2 3

22

==

De las figuras anteriores, ¿qué figuras tienen la misma forma pero diferente tamaño?

________ y _______ ________ y ________ ________ y ________

Partiendo de los conocimientos que ya has aprendido en los cursos anteriores, da la respuesta a las preguntas que se te hacen.

¿Cuáles de las siguientes figuras geométricas son congruentes?

FIGURAS PLANAS

4.2Determinar los criterios de

congruencia de triángulos a partir de construcciones con

información determinada.

1

23

46

78

910

11

12 13

5

BLO

QU

E 4

129

Forma, espacio y medida Formas geométricas

Dos o más figuras geométricas son CONGRUENTES cuando sus lados y ángulos son iguales ó dos o más figuras también lo son cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño.Para indicar congruencia se utiliza el símboloA las figuras geométricas que tienen la misma forma o sus ángulos miden lo mismo pero sus lados tienen diferente medida les llamamos: FIGURAS SEMEJANTES.Para indicar semejante se utiliza el símbolo

~

~=

Dados los siguientes triángulos, determina cuáles son congruentes:

140°140°

140°

25°

25°15°

1212

12

Considerando los datos de los siguientes triángulos, determina cuáles son congruentes.

Q

M

=~

=~

=~

=~=~

=~

=~ =~=~

55° 65°

8 8A

=~

C

B

P

=~

BLO

QU

E 4

130


M

N

A B C D E F G

65°

60°

60°

55°

6

Para que dos figuras sean CONGRUENTES es necesario que:

a).- Dos triángulos son congruentes, si tiene dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.

d).- Dos triángulos son congruentes, cuando son congruentes los dos lados de uno a los dos lados del otro y un ángulo adyacente a cualquiera de los dos lados.

c).- Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

b).- Dos triángulos son congruentes, si tiene dos ángulos congruentes y el lado común a ellos también es congruente.

M

N

O M'

N'

O'130° 130°

7 7

6 6

Y Y'

X X'

Z Z'

MNO M'N'O''=~

BLO

QU

E 4

131


CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

C B' C'

5 5

6 6

A A'

65°65°

C B' C'

5 5

A A'

60° 60°

65°65°

AB A' B'=~ BC B' C'=~

ABC A' B' C'=~

X Y

X' Y'=~

Y Z

Y' Z'=~

Z X

Z' X'=~

ABC A' B' C'

AB A' B'=~

CAB C' A' B'=~=~


CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para que dos figuras sean semejantes es necesario que:

a) Sus ángulos homólogos sean congruentes. b) Sus lados homólogos sean proporcionales.

Estas condiciones son necesarias para toda figura, incluyendo a los triángulos; sin embargo, existen condiciones más específicas para los triángulos:

1.- Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos son respectivamente congruentes con dos ángulos del otro triángulo.

3.- Dos triángulos son semejantes cuando los tres lados de uno son proporcionales a los tres lados del otro.

2.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y congruente el ángulo comprendidos entre ellos.

NMO N'M'O' ~

~ABC A'B'C'

~XYZ X'Y'Z'

C

A

60°

65 ° B' C'

A'

60°

65 °

42

6 345°y'

x'

z'45°y

x

zBLO

QU

E 4

132

M O

N

M'O'

N'

12.9

2

38.7

6

B ' =~A ' =~

4 es proporcional a 2




2.9 es proporcional a 8.7


Encuentra los triángulos semejantes aplicando los criterios de semejanza entre ellos:

4.4

23

70°

40°

4.1630°

4.8

40°

70°

2.4

2.0830º

6.6

4.5

3

60 °

60 °

3

3.46

32°

6.44

5

A) B) C)

D)

G) H) I)

E) F)

De las siguientes figuras semejantes, señala los lados HOMÓLOGOS

AB es homólogo de _____ BC es homólogo de _____ AC es homólogo de _____

A

B C

D

E

Cuando dos figuras son semejantes sus lados son HOMÓLOGOS.

BLO

QU

E 4

133

~ ~ ~_____ _____ _____ _____ _____ ____


RECTAS Y ÁNGULOS

Al observar la figura que se encuentra en la parte derecha, tú encontrarás líneas como:

_____________________, ____________________

_____________________, ____________________

¿Así es,....verdad?

En los cursos anteriores, aprendiste a trazar con el compás y la regla la bisectriz de un ángulo y la mediatriz de un segmento.

Con base en lo que aprendiste anteriormente, escribe los siguientes conceptos. ¿Qué es la BISECTRIZ?

¿Qué es el INCENTRO?

¿Qué es la MEDIATRIZ?

¿Qué es el CIRCUNCENTRO?

Con ayuda de tu maestro, analiza las siguientes figuras y observa que en ambas, las rectas trazadas son las bisectrices, mediatrices, medianas y alturas, IDENTIFÍCALAS y observa lo que ocurre.

4.3 Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y

bisectrices en el triángulo.

BLO

QU

E 4

134

Rojo .... __________

Verde .. __________

Azúl .... __________

Fiucha __________


Si queremos trazar la BISECTRIZ de un ángulo, se procede de la siguiente manera. Recuerda que ésto lo vimos en el curso anterior.

Traza la BISECTRIZ de los siguientes ángulos, usando el proceso anterior.

1) Hacemos con el compás, centro en el vértice B, y trazamos los arcos M y N.

2) Con el centro en M y N trazamos los arcos M' y N' respectivamente.

3) Trazamos la BISECTRIZ, uniendo el vértice B y el punto donde se cortan los arcos M' y N'

C

B

A

M

N

M'

N'

BISECTRIZ

1)

2)

3)

Traza la BISECTRIZ de cada ángulo de los siguientes triángulos, usando el mismo proceso.

Observa que las bisectrices tienen un punto donde las tres se juntan. A este punto de coincidencia se le llama: INCENTRO

BISECTRIZ DE UN ÁNGULOB

LOQ

UE 4

135


En todo triángulo isósceles la BISECTRIZ del ángulo diferente siempre es un EJE DE SIMETRÍA (Mediatriz), puesto que divide a la figura en dos partes iguales.

EJEMPLO: Trazo de su eje de simetría usando regla y compás.

Traza con el compás, la BISECTRIZ o el EJE DE SIMETRÍA, a cada uno de los siguientes ángulos.

Traza con ESCUADRAS, los EJES DE SIMETRÍA que tengan cada una de las siguientes figuras.

Con base en la figura, completa: AO = _________ AC = _________ ACO = _________

ACO = _________

BLO

QU

E 4

136

A B

CY

Y'O


Ya que analizaste lo que son las rectas paralelas y las perpendiculares, vamos analizando una recta perpendicular especial que nos será muy útil en la construcción de algunas figuras geométricas.

¿Cómo harías para pasar una perpendicular por el punto medio de un segmento de recta dado?¡Házlo!

¿Qué hiciste? _________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

¿Usaste sólo las escuadras? Sí o No

Recordando lo que se hizo en 1°, veamos como trazar dicha recta haciendo uso de compás y regla.

Reafirmando lo aprendido, repite el proceso expresado, para trazar la mediatriz a cada lado del los triángulos, tomando en cuenta los puntos que se dan.

Haciendo uso de la construcción de una MEDIATRIZ, trázalas en las líneas punteadas de las siguientes figuras:

60

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO DE RECTA

1.- Abre el compás, un poco más de la mitad de la longitud de la recta.

2.- Con la abertura del compás, apóyalo en uno y otro extremos de la recta y traza arcos que se crucen, en uno y otro lado de la recta.

3.- Desde los cruces de arcos traza una recta, la cual dividirá en dos partes iguales a la primera recta.

2

12

3

Mediatriz

R S

BLO

QU

E 4

137

M

N

o

o o

o

oo


Usando el proceso para trazar una MEDIATRIZ, dibuja un triángulo isósceles, sobre la línea roja dada, el centro de una circunferencia y el centro de una elipse.

Para Tí, ¿qué es la línea que venimos llamando MEDIATRIZ? ___________________________

____________________________________________________________________________

Al trazar las alturas de un triángulo y al prolongarlas, se encontrarán en un mismo punto llamado: Ortocentro.

En los cursos anteriores aprendiste a trazar con el compás y la regla la bisectriz de un ángulo, la mediatriz de un segmento y la altura de un triángulo; además, aprendiste cada uno de los tres conceptos.

La altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular a un lado que va de un vértice al lado opuesto.

Traza las alturas de los siguientes triángulos y prolóngalas, de manera que coincidan en un mismo punto de unión.

¿Cuántas alturas tiene un triángulo? .................................................. ______________________BLO

QU

E 4

138

°

ALTURA


Al trazar las medianas de un triángulo y al prolongarlas, se encontrarán en un mismo punto llamado: Baricentro.

En el triángulo que se presenta, escribe el nombre del segmento que se indica.

MEDIANA

En los cursos anteriores aprendiste a trazar con el compás y la regla la bisectriz de un ángulo, la mediatriz de un segmento, la altura de un triángulo y la mediana de un triángulo; además, aprendiste cada uno de los conceptos.¿Cuántas medianas tiene un triángulo? ................................................... ___________________

La mediana de un triángulo es el segmento de recta entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Traza las medianas de los siguientes triángulos y prolóngalas, de manera que coincidan en un mismo punto de unión.

Escribe el nombre del punto que se te indica:

Punto de intersección de las tres bisectrices ......................... ____________________

Punto de intersección de las tres mediatrices ...................... ____________________

Punto de intersección de las tres alturas ............................... ____________________

Punto de intersección de las tres medianas ........................... ____________________

BLO

QU

E 4

139

PROBABILIDAD es la posibilidad que existe de que ocurra un evento.

Históricamente la PROBABILIDAD inicia con la necesidad de establecer las condiciones para determinar la posibilidad de que en los experimentos aleatorios se obtenga un resultado lo más próximo a ser real.

En mi grupo de clase, somos 35 compañeros, el Maestro de Educación Artística sorteará entre todos nosotros un boleto para asistir a una exposición de cultura. ¿Qué posibilidad tengo de obtener el boleto?

Consideremos los siguientes CONCEPTOS:

En este caso el ESPACIO es de 35 alumnos y la MUESTRA es un boleto

Análisis de la informaciónManejo de la información

4.4Distinguir en diversas

situaciones de azar eventos que son independientes.

Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más

eventos independientes.

BLO

QU

E 4

140

ESPACIO o POBLACIÓN - Todos los elementos de un fenómeno.MUESTRA - Cada uno de los posibles resultados que hay en el espacio.EVENTO - Son los elementos del espacio con determinadas características.

Ejemplos:

¿Cuál es la probabilidad de que el cumpleaños de Elena sea durante el mes de mayo?

muestra del evento es igual a 1, muestra del espacio es igual a 12 ................... Probabilidad =

Para un sorteo de un teléfono celular se elaboraron cien boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que al comprar un número, éste resulte ganador?

muestra del evento es igual a 1, muestra del espacio es igual a 100 ................. Probabilidad =

En una caja con 3 canicas rojas, 2 verdes, y 5 azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica verde?

muestra del evento es igual a 2, muestra del espacio es igual a 10 .................... Probabilidad =

1 12

1 100

2 10

NOCIÓN DE PROBABILIDAD

RESULTADO: La probabilidad que tengo de obtener el boleto es de

135

La fórmula de la PROBABILIDAD de un evento es:

P( E )

P( E ) 1 35=

Muestra del eventoMuestra del espacio=

¿Qué probabilidad tengo de asistir al evento de Canto? ................. ________

¿Qué probabilidad tengo de asistir a cualquier evento? .................. ________

¿Qué probabilidad tengo de asistir al evento de Danza? ................. ________

¿Qué probabilidad tengo de no obtener algún boleto? .................... ________

¿Qué probabilidad tengo de asistir al evento de Poesía Coral? ...... ________

¿Qué es más probable que ocurra? ......................................... __________________________

¿A cuál evento tengo más probabilidad de asistir? ................... __________________________ ¿A cuál evento tengo menos probabilidad de asistir? ............... __________________________

Observa detenidamente los resultados que encontraste y señala lo siguiente:

Análisis de la informaciónManejo de la informaciónB

LOQ

UE 4

141

Al Maestro asesor de mi grupo (45 alumnos), le dieron para repartir entre mis compañeros un total de 20 boletos para asistir a diferentes eventos culturales; 10 boletos para Canto, 5 para Poesía Coral y 5 para Danza.

Contesta lo siguiente:

El espacio es ................................................... 45 La muestra de Canto es .............. 10

La muestra de Danza es ................................. _____ La muestra de Poesía Coral es ... _____

La muestra de los que asistirán a algún evento _____ La muestra de los que no asistirán _____

Aplicando la fórmula: contesta lo que se solicita:

muestra del eventomuestra del espacioP =(E)

EVENTO: Juega a sacar los objetos. Si sacas las cuatro ruedas antes que los fantasmas, te ganas un automóvil último modelo. Si sacas los tres fantasmas antes que las cuatro ruedas, pierdes. Por cada billete ganas 500 pesos.

¿Cuántos papelitos hay en la caja? .................................. ______________

¿Cuál es la probabilidad de que ganes el automóvil? ....... ______________

¿Cuál es la probabilidad de que pierdas? ......................... ______________

¿Cuál es la probabilidad de que ganes 500 pesos? .......... ______________

En una caja simula con papelitos cuatro ruedas de carro, tres fantasmas y cuatro billetes de 500 pesos.

Análisis de la informaciónManejo de la informaciónB

LOQ

UE

4

142

41deesadprobabilidLa

41

369

63x

63

==

Si arrojamos un dado, ¿qué probabilidad existe de que caiga en número par? .............. ________

Si arrojamos un dado, ¿qué probabilidad existe de que caiga en número impar? .......... ________

Si arrojamos un dado dos veces, ¿qué probabilidad existe, de las dos veces, que caiga en número impar?

Si arrojamos un dado tres veces, ¿qué probabilidad existe, de las tres veces, que caiga el número 4?

_________________________________

Si arrojamos un dado cinco veces, ¿qué probabilidad existe, de las cinco veces, que caiga un número par?

__________________________________

Si arrojamos un dado cuatro veces, ¿qué probabilidad existe, de las cuatro veces, que caiga un número 1?

_________________________________

EVENTOS DEPENDIENTESE INDEPENDIENTES

Ejemplo: En una bolsa tengo tres monedas de cinco pesos, dos de dos pesos y tres de un peso.La probabilidad de sacar una moneda de cinco pesos es de 3/8.La probabilidad de volver a sacar otra moneda de cinco pesos depende de: que al haber sacado la primer moneda, ésta se reintegre o no a la bolsa.

En este caso: Si al sacar monedas de la bolsa y se vuelven a reintegrar a la bolsa, se llama: EVENTO INDEPENDIENTE porque no se modifica la muestra del espacio. Si al sacar monedas de la bolsa no se vuelven a reintegrar, se llama:

EVENTO DEPENDIENTE porque cada extracción de monedas modifica la muestra del espacio.

Si arrojamos una moneda al aire, ¿qué probabilidad existe de que caiga águila?

Si lanzamos un dado, ¿qué probabilidad existe de que caiga el número 6?

Si lanzamos una moneda y un dado, ¿ qué probabilidad existe de que caiga águila y el número 6?

En este caso la probabilidad de los dos eventos juntos, es el producto de la probabilidad de cada

evento

2posiblescasos1favorablescasosadprobabilid

==

=

6posiblescasos1favorablescasosadprobabilid

==

=

121deesadprobabilidLa

121

61x

21

=

Dentro de una bolsa se colocaron 5 bolitas color rojo, 3 azules y 4 verdes:

¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una, ésta sea de color rojo? ..................... ___________

¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una, ésta sea de color verde? .................. ___________

Si efectivamente salió verde y ya no se vuelve a colocar dentro de la bolsa,¿cuál es la probabilidad de volver a sacar otra verde? ............................................. ___________

¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una, ésta sea de color verde o azul? ....... ___________

Si en los diferentes intentos ya salieron dos bolitas rojas y no se volvieron a colocar dentro de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de volver a sacar otra roja? ..... ___________

2.- 15 personas van a participar en el sorteo de una televisión, una grabadora y una licuadora. Simula con papelitos, 1 televisión, 1 grabadora, 1 licuadora y 12 sin ningún objeto. Realicen este juego aleatorio entre 15 compañeros.

Análisis de la informaciónManejo de la información

143

En mi grupo el maestro sorteó a los equipos los trabajos que vamos a presentar a fin de año; en una urna colocó 3 papelitos que decían triángulos, 4 que decían ecuaciones y 2 que decían gráficas.Considerando la información anterior, y que al sacar los papelitos estos ya no se regresan, contesta lo que se te pregunta:

¿ Cuál es la probabilidad de que al sacar uno, éste señale ecuaciones? .............................................................................. ____________

¿ Si no se regresa el papel a la urna, cuál es la probabilidad de que al sacar otro, éste señale triángulos? ............................. ____________

¿ Si no se regresa el papel a la urna, cuál es la probabilidad de que al sacar otro, éste señale gráficas? ............................... ____________

BLO

QU

E 4

ecuacionestriángulos

gráficas

CONTESTA:

¿Cuántas personas participan en el sorteo? .................................................................... _______

¿Cuál es la probabilidad de obtener una televisión? ........................................................ _______

¿Cuál es la probabilidad de obtener una grabadora? ...................................................... _______

¿Cuál es la probabilidad de obtener una licuadora? ........................................................ _______

¿Cuál es la probabilidad de obtener una televisión o una grabadora? ............................. _______

esto equivale a sumar + =

¿Cuál es la probabilidad de obtener cualquiera de los tres premios? .............................. _______esto equivale a sumar

¿Cuál es la probabilidad de no obtener algún premio? .................................................... _______+ + =

1 115 15

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números

4.5Interpretar y utilizar dos o más

gráficas de línea que representan características distintas de un

fenómeno o situación para tener información más completa y en su

caso tomar decisiones.

Ya anteriormente observaste otro tipo de gráficas.Ahora vuelve a observar y analizar en equipo, el siguiente plano cartesiano y contesten lo que se solicita.

¿En cuál mes hay mayor diferencia en ventas entre las tiendas el paraíso y la fortuna?

____________________________________¿Cuál tienda durante el año tiene el mayor número de ventas?

____________________________________¿En cuál mes el paraíso y la fortuna tienen las mismas ventas de juegos?

____________________________________ ¿Qué representa en lo general la gráfica?

____________________________________

____________________________________

Describe para cada tienda de juegos, la línea de tendencia de ventas:

El paraíso: ____________________________________________________________________

La fortuna: ____________________________________________________________________

Escribe el tipo de pendiente que tiene cada una de las rectas.

El paraíso _______________ La fortuna _______________

En una granja en el mes de enero, nacen 4 conejos blancos y 8 negros; en febrero, 2 conejos blancos y 10 negros; en marzo, 10 conejos blancos y 6 negros; en abril, 12 conejos blancos y 4 negros y en el mes de mayo, nacen únicamente 12 conejos blancos.Traza una gráfica siguiendo las indicaciones de los incisos.

a) Escribe un título para la gráfica.

b) Identifica el eje vertical y el horizontal.

c) Escribe la escala para los ejes vertical y horizontal.

d) Traza las rectas para cada color de los conejos, según los datos dados.

GRÁFICAS

1

E F M

2

6

345

78

A M J J A S O N D

109

Mes

No.

de

jueg

os v

endi

dos

(en

cent

enas

)

Promedio de ventaspor mes

El paraísoLa fortuna**

**

** *

***

*

144

BLO

QU

E 4


El costo por viajar en taxi en diferentes ciudades es el siguiente:En la ciudad A, se cobra $ 5.00 por el banderazo y $ 1.50 por cada kilómetro que recorre y en la ciudad B, el banderazo es de $ 1.00 y $ 2.00 por kilómetro recorrido.En el mismo plano cartesiano construyan las gráficas con respecto a lo anterior y posteriormente contesten lo que se te solicita.

CIUDAD A CIUDAD B

¿Qué sucede al recorrer 8 kilómetros en taxi en ámbas ciudades? ________________________

______________________________________

¿En cuál ciudad el viajar en taxi es más barato?

______________________________________

Observa y analiza la siguiente gráfica para responder las preguntas.

¿A qué hora empezó el recorrido Toño? .......................................... ______________________

¿Cuánto tiempo descansa cada vez que camina una hora? ........... ______________________

¿Cuántos kilómetros camina hasta el punto M? .............................. ______________________

¿A qué horas llega al punto M? ....................................................... ______________________

Kilómetros Cantidadrecorridos a pagar

145

RECORRIDO REALIZADO POR TOÑO

1216

48

20

10 11 12 13HORAS

X

Y

KM

M

BLO

QU

E 4

Kilómetros Cantidadrecorridos a pagar

x

y

Kilómetros

Cantidad

a

pagar

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

16

13

14

15

17

18

20

19

1

2

6

3

4

5

7

8

10

9


146

BLO

QU

E 4

Resuelve de forma gráfica los siguientes problemas.

A las dos de la tarde sale de la ciudad de Chihuahua un automóvil con una velocidad constante de 80 km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distancia de la ciudad?

40X

Y

1 2 3 4 5 6 7Hora: ________________

Distancia: ____________

Un hombre rema río abajo 10 km en una hora y río arriba 4 km en una hora. Hallar la velocidad del bote y la velocidad del río.

x = velocidad del bote, en km/h.

y = velocidad del río, en km/h.

x - y = velocidad del bote contra la corriente, en km/h.

x + y = velocidad del bote en favor de la corriente, en km/h.

x - y = 4

x + y = 10 12

6

345

78

109

Tiempo (hr.)

Dis

tanc

ia (k

m)

1 2 3 4 5 6 7 8


¿A qué horas inicia el recorrido el Sr. Soto?

____________________________________

¿A qué velocidad se traslada el Sr. López?

____________________________________

El Sr. Soto y el Sr. López viajan por separado en motocicletas e inician desde el mismo lugar, por la misma carretera y a velocidades diferentes. Interpreta las tablas de valores y la gráfica de estos recorridos, para que contestes lo que se te pregunta.

Después de dos horas de recorrido, el Sr. Soto, ¿cuánto tiempo descansa? ________________

¿Qué tipo de pendiente tienen la gráfica del Sr. Soto y la del Sr. López? .... ________________

¿En qué momento se encontrarán? .............................................................. ________________

¿Quién utiliza menos tiempo para hacer el mismo recorrido? ....................... ________________

¿A qué velocidad promedio se traslada el Sr. Soto?

____________________________________

Tabla de valores del Sr. Soto

2040

120

6080

100

140160

200180

Tiempo (hr)

Dis

tanc

ia (k

m)

*

*

*

*

*

1 2 3 4 5 6 7 8

Sr. Soto Sr. López

* *

Tabla de valores del Sr. López

4.6Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de

recta que modelan situaciones relacionadas con

movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

Tiempo Distancia

GRÁFICASB

LOQ

UE 4

147

descansa 1 hora

12:00 hr 0

13:00 hr 30 30 km/h

14:00 hr 60

Tiempo Distancia

15:00 hr 0

16:00 hr 95

17:00 hr 130 35 km/h

18:00 hr 165

19:00 hr 200

15:00 hr 0

16:00 hr 50

17:00 hr 100 50 km/h

18:00 hr 150

19:00 hr 200

Por medio de una gráfica resuelve lo siguiente. El pueblo de Temosachi está a una distancia de 230 km. de la ciudad de Chihuahua. El señor Pedro Mata sale de Chihuahua hacia Temosachi a una velocidad promedio de 50 km/hr. Su hijo Antonio dejó Temosachi, una hora más tarde y se dirige hacia la ciudad de Chihuahua por la misma carretera a una velocidad de 40 km/hr, ¿cuándo y dónde se encontrarán?


Observa y analiza la gráfica siguiente para responder las preguntas.

100200

600

300400500

700800

1000900

11001200

10 20 30 40 50 60 70 80

Recorrido de un alumno

Dis

tanc

ia d

esde

la e

scue

la (m

etro

s)

Tiempo (minutos)

1.- Si inició su recorrido a las 6:40, ¿cuántos metros lleva recorrido después de 25 minutos? _____

2.- ¿A qué hora inicia su regreso? ___________ 3.- ¿De cuántos metros es su recorrido? _____

4.- ¿Cuántos minutos descansa? ___________ 5.- ¿A qué hora? ..................................... _____

148

BLO

QU

E 4

2º BLOQUE 4, GUÍA DE EJERCICIOS

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