2f 02 d mvas y ondulatorio
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1 EL MOVIMIENTO OSCILATORIO EL MOVIMIENTO OSCILATORIO Física 2º Bachillerato Física 2º Bachillerato TEMA 5
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EL MOVIMIENTO OSCILATORIO
EL MOVIMIENTO OSCILATORIO
Física 2º BachilleratoFísica 2º Bachillerato
TEMA 5
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
• Un sistema constituye un oscilador armónico cuando <<oscila>> entre dos puntos A1 y A2 equidistantes, situados a ambos lados de la posición de equilibrio
• Al acercarse al punto de equilibrio, el cuerpo aumenta su velocidad, pasando por él, a la velocidad máxima
• Al alejarse del punto de equilibrio, va disminuyendo su velocidad, de forma que en los extremos se detiene y cambia el sentido del movimiento, a la velocidad máxima
A
A
A 2
A 1
Posición de equilibrio
3
P0•
o− A + Ax1 x2
P
P’
A
A
− A + A
P
o P’ωt2+ϕ0
x = A cos (ωt+ϕ0)
• La ecuación de un m.v.a.s. se obtiene a partir de la proyección de un movimiento circular sobre una recta
- Si la proyección se realiza sobre el eje x, resulta: x = A cos (ωt+ϕ0)
- Si la proyección se realiza sobre el eje y, resulta: y = A sen (ωt+ϕ0)
• Elongación x: Distancia en un instante dado al punto de equilibrio
• Amplitud A: Elongación máxima. El valor de x varía entre −A y +A
• Fase θ: Describe el movimiento angular en el punto P
• Fase inicial ϕ0: Determina la elongación inicial: x0 = x (t = 0) = A cos ϕ0
ωt1+ϕ0
4
P
o
A
• El período es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dicho movimiento. Se mide en segundos (s)
• Los movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales se denominan periódicos
• Dado que: cos θ = cos (θ + 2π)
x = A cos ωt = A cos (ωt + 2π)
⇒
ωπ+ω= 2
tcosAx
• El m.v.a.s. se repite cada período:
ωπ= 2
T
• La frecuencia es la inversa del período e indica el número de veces que se repite una posición en cada segundo. Se mide en (s-1) o Hertzios (Hz)
νπ=ω 2T
1=νπ
ω=ν2
• La frecuencia angular o pulsación se mide en (radianes/segundo)
θ + 2π
θx1 P’
+ A− A
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• Derivando la ecuación general del m.v.a.s., x = A cos (ωt + ϕ0) resulta:
)t(senAdt
dxv 0
ϕ+ωω−==
)t(cosAA)t(cos1Av 002222 ϕ+ω−ω±=ϕ+ω−ω±=
sen2α + cos2α = 1 ⇒ sen (ωt+ϕ0) = )t(cos1 02 ϕ+ω−
⇒
• Como x = A cos (ωt+ϕ0) ⇒ x2 = A2 cos2 (ωt+ϕ0)
xAv 22 −ω=
• La velocidad es máxima cuando x = 0
Vmáx = A ωEl columpio se detiene en los extremos. En
el centro alcanza su máxima velocidad
• La ecuación más general del m.v.a.s. : x = A cos (ωt+ϕ0)
• Dependiendo de la fase inicial, la función que define este movimiento puede ser un seno o un coseno
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• Derivando la ecuación de la velocidad: v = − A ω sen (ωt + ϕ0) resulta:
)t(cosAtdxd
dt
dva 0
22
2
ϕ+ωω−===
Como x = A cos (ωt + ϕ0)
a = − ω2 x
• El valor máximo se alcanza en los extremos, en los que x = ± A ⇒ amáx = ± ω2 A
Es proporcional a la elongación, máxima en los extremos y nula en el centro
X=A
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
X=0
X=−Aa >0
x >0v >0a <0
x >0v =0a <0
x >0v <0a <0
x =0v <0a =0 x <0
v <0a >0
x <0v >0a >0
x =0v >0a =0
x <0v =0
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• Según la ley de Hooke: F = − kx
• Por la segunda ley de Newton: F = m a = − m ω2 x k = m ω2
• Si x = 0 ⇒ F = 0 (no aparecen fuerzas)
• Si el móvil se encuentra fuera de la posición de equilibrio, la fuerza que actúa sobre él está dirigida desde el punto en que se encuentra a la posición de equilibrio
• La fuerza tiene el sentido contrario al desplazamiento
ωπ= 2
T
m
k=ω
m
k
2
1
T
1
π=ν⇒=ν
k
m2T π=
O
x
x
→F
→F
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• Aplicando la definición de energía cinética:
)t(senAm2
1vm
2
1E 0
2222c ϕ+ωω==
• Por las relaciones trigonométricas:
[ ]xAm2
1E 222
c −ω=
• Si x = 0 ⇒ energía cinética máxima
Am2
1E 22
máx,c ω=
Am21 22
ω
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• Por tratarse de fuerzas centrales:
• Integrando entre dos posiciones A y B:
dEp = − F dx = kx dx
xk2
1xk
2
1dxxkEE
2A
2BB,PB,P
x
x
B
A−=∫=−
• Para cada posición, la Ep es de la forma:
)t(cosAm2
1E 0
222P
ϕ+ωω=
• Es máxima cuando cos (ωt + ϕ0) = ± 1
Am2
1E
22máx,P ω=
Aωm21 22
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• La energía total que tiene el oscilador armónico en cada instante es la suma de la energía cinética y potencial
• Sacando factor común:
E = Ep + Ec )t(cosAm2
10
222 ϕ+ωω= )t(senAm2
10
222 ϕ+ωω+
[ ])t(sen)t(cosAm2
1E 00
2222 ϕ+ω+ϕ+ωω=
• Simplificando:
Am2
1EEE 22
cp ω=+=
En el oscilador armónico, la energía mecánica permanece constante en cualquier instante
)xA(ωm2
1E 222
c −=
22
c xωm2
1E =
Aω22
m2
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EL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILADOR ARMÓNICOEL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILADOR ARMÓNICO
• Consiste en un hilo inextensible de masa despreciable suspendida de un extremo; del otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual
Eje Y: T – Py = m an
Eje X: Px = m ax ⇒ – mg sen θ = m ax
• Puede considerarse como un m.a.s. si la separación de A del punto de equilibrio es tan pequeña como para despreciar la curvatura de la trayectoria
ax = – g θ • Para ángulos pequeños, sen θ = θ
• Simplificando resulta: – g sen θ = ax
• Sustituyendo el ángulo por el arco:
θ L = x ⇒ xL
gax −=
xa 2ω−=L
g2 =ω
g
L2T π=
m
y
P= mg θ
T
θ
Py= mg cos θ
L
x
Px = – mg sen θ
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• Cuando el péndulo está parado en uno de los extremos de su trayectoria, toda la energía almacenada es Ep = mgh
• Al pasar por el punto más bajo de su trayec-toria, toda la energía almacenada es EC
• La suma de ambas indica el valor de su energía en cualquier punto intermedio de su trayectoria
vm2
1E 2
c =
vm2
1hgmEEE 2
cP+=+=
• La relación entre su altura máxima y la velocidad es:
hg2vvm2
1hgm 2 =⇒=
h
mghEE p ==
→v
vm2
1EE 2
c ==
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AMORTIGUAMIENTOAMORTIGUAMIENTO
En movimientos reales intervienen fuerzas de rozamiento, lo que origina una pérdida de energía mecánica que se transforma en calor, la pérdida de energía mecánica en el sistema va disminuyendo la amplitud de la oscilación hasta que se para, entonces se dice que es una oscilación amortiguada
El amortiguamiento se debe a la resistencia del aire y al rozamiento interno del sistema.
RESONANCIARESONANCIA
Para evitar la amortiguación hay que aportar continuamente energía al sistema que vibra, pero esta energía debe llegar con la misma frecuencia que vibra el sistema.
Dos sistemas se dice que entran en resonancia cuando vibran con la misma frecuencia.
Para que haya resonancia hay que comunicarle al sistema energía con la misma frecuencia que está vibrando, de esta forma se logra un gran aumento de la amplitud de oscilación.
Por resonancia se puede llegar a aumentar tanto la amplitud de oscilación de un sistema que este puede incluso llegar a romperse, como cuando por ejemplo un sonido determinado rompe una copa de cristal.
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MOVIMIENTO ONDULATORIO
TEMA 6SEGUNDO BACHILLERATO
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MOVIMIENTO ONDULATORIO: CONCEPTO DE ONDA
MOVIMIENTO ONDULATORIO: CONCEPTO DE ONDA
• Al desplazar un trozo del muelle en sentido longitudinal y soltarlo, se produce una oscilación que se propaga a todas las partes del muelle comenzando a oscilar
• Si en una cuerda tensa horizontal, se hace vibrar uno de sus extremos, la altura de ese punto varía periódicamente
• Un movimiento ondulatorio es la propagación de una perturbación de alguna magnitud física a través del espacio. Se suele denominar onda a la propia perturbación
• El movimiento ondulatorio no transporta materia, lo que se propaga es la perturbación
• Las partículas del medio alcanzadas por ésta, vibran alrededor de su posición de equilibrio
En un movimiento ondulatorio no hay transporte de materia, pero sí hay transporte de energía y de momento lineal
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-Ondas mecánicas o elásticas: transportan energía mecánica y necesitan un medio material para propagarse, no se pueden propagar en el vacío. Por ejemplo las ondas en una cuerda, las ondas en la superficie del agua, las ondas sonoras, es decir el sonido, las ondas sísmicas. Son debidas a la vibración del medio en que se propagan.
-Ondas electromagnéticas : no necesitan medio material para propagarse, se pueden propagar en el vacío, transportan energía electromagnética y son el resultado de la interferencia entre campos eléctricos y magnéticos variables perpendiculares entre si, la variación de estos campos produce una emisión de energía que es la radiación electromagnética. Por ejemplo la luz
Según el tipo de energía que se propaga se clasifican en:
CLASIFICACIÓN DE ONDASCLASIFICACIÓN DE ONDAS
-Unidimensionales: en línea por ejemplo una cuerda o un muelle vibrando.-Bidimensionales en un plano, por ejemplo agua oscilando en la superficie de un estanque.-Tridimensionales en todo el espacio por ejemplo el sonido o la luz.
Según sea la propagación de la energía se clasifican en:
Planas si el frente de ondas es plano como las ondas que se producen al sacudir un mantel, circulares si es circular como las ondas en la superficie de un estanque y esféricas si el frente es esférico como la luz o el sonido.
Según la forma del frente de ondas se clasifican en:
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Según la dirección de propagación se clasifican en: Según la dirección de propagación se clasifican en:
TRANSVERSALES
• La dirección de propagación es perpendicular a la dirección en que tiene lugar la perturbación
• La dirección de propagación coincide con la dirección de la perturbación
El sonido, las ondas sísmicas P y las que se propagan en un muelle, son ondas longitudinales
LONGITUDINALES
Las ondas en una cuerda, las ondas electromagnéticas y las ondas sísmicas S, son ondas transversales
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Ondas armónicas. Función de ondaOndas armónicas. Función de onda
y
o x
• Una onda armónica es la propagación de una perturbación originada por un m.v.a.s.
• Su forma se corresponde con una función armónica (seno o coseno)
• Los puntos que en un instante tiene elongación máxima se denominan vientres
• Aquellos que tienen elongación nula se denominan nodos
•A
-A
••
P
xp
nodo
vientre
• La función de onda es la ecuación que describe un movimiento ondulatorio
• La elongación del punto O en cualquier instante t es: y0 (t) = A sen ωt siendo ω = 2πν
• El tiempo que tarda la perturbación en llegar a un punto P del eje situado a una distancia xp del foco O es t’ = xp / v
• La ecuación de onda o función de onda es:
−ω=
v
xtsenA)t,x(y
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• También denominado período (T) es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos estados idénticos y sucesivos de la perturbación en un punto
• Coincide con el período del m.v.a.s. del foco de la perturbación
• Si se tiene un punto P a una distancia x del foco vibrante, la función de onda para x constante es: ξ(x, t) = ξ(t). La elongación de P solo depende de t
• Al colocar una pantalla con una rendija perpendicular a la cuerda, lo que equivale a hacer x constante, se observa como el punto P describe un m.v.a.s.
P•
PantallaRendija
•
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• Características de una onda :
• La longitud de onda (λ) es el intervalo de longitud entre dos puntos sucesivos que se encuentran en idéntico estado de perturbación
λ
υλλ ==T
v
amplitud (A)
frecuencia (ν) que es la inversa del período
período (T)
velocidad de propagación (v)
longitud de onda (λ) o período espacial λ = vT
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• La frecuencia angular o pulsación es: T
2π=ω
• La ecuación de ondas es:
λ−π=ξ x
T
t2senA)t,x(
• El número de ondas es: λπ= 2
k
( )xktsenA)t,x( −ω=ξ
• El término (ωt – kx) =
λ−π x
T
t2 se denomina fase de la onda
Están en fase los puntos con idéntico estado de perturbación. La distancia entre ellos es igual a un número entero de longitudes de onda o a un número par de semilongitudes de onda
Están en oposición de fase los puntos que distan un número impar de semilongitudes de onda
Diferencias de fase:
Para un mismo instante t la diferencia de fase entre dos puntos de la onda situados respecto al origen a las distancias x1 y x2 será ϕ1=wt-kx1 y ϕ2=wt-kx2
luego:ϕ2-ϕ1=(wt-kx2)-(wt-kx1)=wt-kx2-wt+kx1= k(x1-x2) ∆ϕ=k.∆x
Un mismo punto de la onda en dos instantes diferentes estará en diferentes estados de vibración, diferente fase:ϕ1=wt1-kx y ϕ2=wt2-kx luego ϕ2-ϕ1=(wt2-kx)-(wt1-kx)=wt2-kx-wt1+kx= w(t1-t2) ∆ϕ=w.∆t
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DOBLE PERIODICIDAD DEL MOVIMIENTO ONDULATORIODOBLE PERIODICIDAD DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
El movimiento ondulatorio armónico es periódico respecto al espacio y al tiempo.
Respecto al tiempo: para un tiempo nT donde n es un número entero y T es el periodo vamos a comprobar si se repite el movimiento
Y=A.sen(wt-kx) pero también se puede expresar como :para un tiempo t+nT queda:
pero como sabemos que por trigonometría senα=sen(α+2π) y es lógico ya que al dar una oscilación completa vuelve a estar como estaba y entonces la ecuación vuelve a ser la misma:
−=
−=
λπ
λππ x
T
tA
x
T
tAY 2sen.
.2.2sen.
+−=
−+=
−+= π
λππ
λπ
λπ 2.
.2.2.2.2. n
x
T
tsenA
x
T
nT
T
tsenA
x
T
nTtsenAY
−=
λπ x
T
tAY 2sen.
Respecto al espacio: ocurre lo mismo si recorre un espacio nλ donde n es un número entero y λ es la longitud de onda
igual que antes se trata de una oscilación completa y la ecuación queda igual que al principio
−−=
−−=
+−=
−= π
λππ
λλ
λπ
λλπ
λππ
2..2.2
sen.2sen.2sen..2.2
sen. nx
T
tA
nx
T
tA
nx
T
tA
x
T
tAY
−=
λπ x
T
tAY 2sen.
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INTENSIDAD DE UNA ONDAINTENSIDAD DE UNA ONDA
• Una onda transporta energía desde el foco emisor al medio. Para caracterizar la propagación de la energía por la onda se define la magnitud denominada intensidad
• La intensidad de una onda en un punto es la energía que pasa en cada unidad de tiempo por la unidad de superficie situada perpendicularmente a la dirección de propagación
• La intensidad es una potencia por unidad de superficie
• La unidad de intensidad es W m-2
S
P
tS
EI ==
2
2
1mVEc = 2
2
1kxE p =
2
2
1kAEEE pc =+=
fT
.22 ππω == 22222 ....4.
2
1AfconstanteAfmE == π
La energía de vibración es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia de oscilación y al cuadrado de la amplitud de la onda.
La energía de vibración es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia de oscilación y al cuadrado de la amplitud de la onda.
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Absorción
• Se llama amortiguación a la disminución de la amplitud de una onda.
• Una onda se amortigua a medida que avanza, por dos causas: la absorción del medio y la atenuación con la distancia
• Se llama amortiguación a la disminución de la amplitud de una onda.
• La disminución de la intensidad de la onda se traduce en una disminución de la amplitud:
El tipo de material con que se revisten las paredes de las salas de audición musical, condiciona la cantidad de sonido que se recibe, ya que absorben de diferente grado las ondas sonoras
eAA x0
α−=
siendo α el coeficiente de absorción
• Las intensidades son proporcionales a los cuadrados de las amplitudes, por tanto:
eII x20
α−=
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Atenuación
• Cuando el foco es puntual se producen ondas esféricas cuyo frente se propaga en todas direcciones del espacio
• Este fenómeno se produce aunque no haya disipación de energía al medio, se debe a que al avanzar la onda las partículas puestas en vibración aumentan por lo que la energía se reparte para más partículas y les toca menos cantidad a cada una, lo que hace que la amplitud de la onda disminuya.
• La intensidad de la onda esférica en el punto B1 que dista r1 del foco emisor F es:
r4
PI 2
11 π
=
• Y en el punto B2 que dista r2 del foco emisor F :
r4
PI22
2 π= • Por tanto,
rr
AA
r
rII
1
2
2
12
1
22
2
1 =⇒=
F
B2
B1
r1
r2
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ONDAS SONORAS
Acústica: Ciencia que estudia la producción, propagación y recepción del sonido
Producción: Al vibrar un foco sonoro las vibraciones se transmiten a las partículas del medio que al oscilar longitudinalmente transmiten la perturbación.
El sonido es una onda mecánica longitudinal, mecánica, ya que, necesita un medio para propagarse y longitudinal porque lo hace un la misma dirección de la perturbación
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SONIDOSONIDO
O
A
t
• La intensidad sonora es la cantidad de sensación auditiva que produce un sonido
• Según su sonoridad, los sonidos se perciben como fuertes o débiles
Para una misma frecuencia, a mayor intensidad, mayor amplitud de onda sonora
A1
A2fuerte
débil
INTENSIDAD
Onda mecánica, longitudinal y tridimensional
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TONOTONO
A
tO
grave
agudo
• Los de mayor frecuencia se perciben como agudos , y los de menor, como graves
La frecuencia es igual al número de compresiones y dilataciones que tienen lugar en un punto del medio cada segundo
• Permite distinguir entre sonidos graves y agudos, y está relacionado con la frecuencia
• • •T1 T2
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TIMBRETIMBRE
t
A
O
• Permite al oído humano distinguir entre dos notas iguales emitidas por distintos instrumentos
• Ningún foco emisor, ejecuta una vibración armónica pura, sino una vibración armónica de frecuencia determinada (ν) acompañada de un conjunto de vibraciones de frecuencias múltiplos de la fundamental, 2 ν, 3 ν, ... denominados armónicos
violín
clarinete
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SENSACIÓN SONORA. ESCALA DECIBÉLICASENSACIÓN SONORA. ESCALA DECIBÉLICA
Intensidad sonora de algunos sonidos habitualesIntensidad sonora
en dBFuente sonora
en W m−2
• La intensidad sonora depende de la onda y de su frecuencia. Se mide en dB en la escala decibélica (escala logarítmica)
• El nivel de intensidad sonora β se define como:II
log10II
log00
db =β⇒=β
Murmullo de hojas 10−10 20
Susurros a 5 m 10−9 30
Casa tranquila 10−8 40
Calle con tráfico intenso 10−5 70
Oficina tranquila 10−7 50Voz humana a 1 m 10−6 60
Respiración normal 10−11 Apenas audible 10
Fábrica 10−4 80Ferrocarril 10−2 100
Despegue de un reactor 102 140Grandes altavoces a 2 m Umbral de dolor100 120
10−12 0Umbral de audición
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FENÓMENOS ONDULATORIOS
FENÓMENOS ONDULATORIOS
Física 2º BachilleratoFísica 2º Bachillerato
TEMA 7
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• Los fenómenos de interferencia ocurren cuando un punto del espacio es alcanzado simultánea-mente por dos o más ondas
• Aunque las funciones de onda se sumen, sus efectos físicos no son aditivos, lo que da lugar a los fenómenos de interferencia
Interferencias en la superficie del agua
• La suma de varias perturbaciones en un punto puede dar como resultado una perturbación nula
Ejemplo: luz + luz = oscuridad
• Como la función de onda ξ depende de la posición x y del tiempo t, los fenómenos de interferencias pueden estudiarse en el espacio o en el tiempo
Si sometemos una cuerda a dos sacudidas, una por cada extremo, se van a propagar en sentido contrario y cada perturbación se moverá una independientemente de la otra. Cuando las dos perturbaciones se cruzan el resultado es la interferencia y cuando se separan cada un sigue independientemente con su forma inicial.
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SUPERPOSICIÓN DE ONDAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
SUPERPOSICIÓN DE ONDAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN• Cuando n movimientos ondulatorios, descritos cada uno de ellos por su ecuación de ondas
ξ i, inciden simultáneamente en un punto, la función de onda resultante es la suma de las funciones de onda de cada uno de ellos: ξ = ξ1 + ξ2 + ... + ξn = Σξi
• Permite calcular la función de onda resultante cuando varios movimientos ondulatorios coinciden al mismo tiempo en un punto, pero conlleva la dificultad de sumar funciones trigonométricas en el caso de las ondas armónicas. Para salvar este inconveniente, Fresnel elaboró un método denominado construcción de Fresnel que permite tratar las ondas como vectores
Este proceso de adición matemática de funciones de onda armónicas, se denomina superposición
Representación de un vector y de una función de onda como un vector
ϕ ϕ
ξ
Av→
v→
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FASORES O VECTORES ROTATORIOS Fresnel nos enseñó el método de los
fasores, es decir, tratar la función de onda como un vector.
Si queremos sumar dos funciones de onda de amplitudes y fases diferentes, se suman como vectores mediante la regla del paralelogramo. La amplitud total A de la onda resultante de acuerdo con el teorema del coseno: δ
δ
cos2
cos2
2121
2122
21
2
IIIII
AAAAA
++=
++=
Donde )()( 112212 kxtkxt −−−=−= ωωϕϕδ
La fase resultante :2211
2211
coscos ϕϕϕϕϕ
AA
senAsenAtg
++=
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• El valor mínimo de la intensidad de onda I se produce cuando cos δ = −1; se tiene entonces una interferencia destructiva. Para ello, δ = (2 n + 1) π, siendo n = 1, 2, 3, ... luego:
• El valor máximo de la intensidad de onda I se produce cuando cos δ = 1; se tiene entonces una interferencia constructiva. Para ello, δ = 2nπ, siendo n = 1, 2, 3, ... luego:
3)
1)
2)
4)
3)
1)
2)
4)
2)12()12()(
22121
λπλπδ +=−⇒+=−= nxxnxx
λ=−⇒π=−λπ=δ nxxn2)xx(
22121
La intensidad es máxima en los puntos cuya diferencia de distancias a los focos es igual a un número entero de longitudes de onda
Interferencia constructiva
Interferencia destructivaLa intensidad es mínima en los puntos cuya diferencia de distancias a los focos es igual a un número impar de semilongitudes de onda
INTERFERENCIA EN FASE
INTERFERENCIA EN OPOSICIÓN DE FASE
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ONDAS ESTACIONARIAS
Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. Pero la onda estacionaria NO ES una onda viajera, puesto que su ecuación no contiene ningún término de la forma kx-ωt. Por sencillez, tomaremos como ejemplo para ilustrar la formación de ondas estacionarias el caso de una onda transversal que se propaga en el sentido de izquierda a derecha (→) en una cuerda sujeta por sus extremos; esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce una onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a izquierda (←). La onda reflejada tiene una diferencia de fase de π radianes respecto a la incidente. La superposición de las dos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a ondas estacionarias.
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Ecuación de la onda incidente, sentido (→): )cos(1 tkxAy ω−=
Cuando la onda viajera se refleja en un extremo, su fase cambia en π radianes.
Ecuación de la onda reflejada, sentido (←): )cos(2 πω ++= tkxAy
)cos(sen)sen(cos)cos()cos(2 tkxAtkxAtkxAtkxAy ωπωπωπω +−=+−+=++=
)cos(1 tkxAy ω−=
)cos(2 tkxAy ω+−=
tkxAtkxA ωω sensencoscos +=
tkxAtkxA ωω sensencoscos +−=
tkxAtkxAtkxAyyy ωπωω sensen2)cos()cos(21 =+++−=+= tkxAtkxAtkxAyyy ωπωω sensen2)cos()cos(21 =+++−=+=
Cada punto de la cuerda vibra con un MAS de amplitud igual a 2A sen kx, es decir, la amplitud depende de la posición del punto en la cuerda.
ONDAS ESTACIONARIAS (2)
Tf
k
ππω
λπ
22
2
==
=
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En el libro tenemos la ecuación: tAsenkxy ωcos2=
Como vemos no es del mismo tipo de las que venimos estudiando
Pues ahora la dependencia de x y t está en dos funciones distintas
Por ello esta onda se le denomina onda NO viajera.
LA EXISTENCIA DE NODOS O PUNTOS QUE NO OSCILAN IMPLICA
QUE EN UNA ONDA ESTACIONARIA, A DIFERENCIA DE LAS VIAJERAS, NO TRANSPORTA ENERGÍA DE UN PUNTO A OTRO.
SINO QUE ESTÁ CONFINADA.
Y debido a esta ecuación da lugar a nodos y vientres que debemos localizar para determinar totalmente la onda.
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LOCALIZACIÓN DE NODOS Y VIENTRES
40
LOCALIZACIÓN DE VIENTRES
Como los VIENTRES de la cuerda serán máximos por hipótesis, la vibración en ellos tiene que ser máxima;
,...3,2,1=n
4)12(
λ+= nx
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ONDAS ESTACIONARIAS (3)
Como los puntos extremos de la cuerda están fijos por hipótesis, la vibración en ellos tiene que ser nula; es decir, si la cuerda donde se propagan las ondas tiene longitud L, en los extremos x = 0 y x = L han de verificarse en cualquier instante las condiciones siguientes:
¿Se producen ondas estacionarias en una cuerda para cualquier par de ondas incidente y reflejada? NO!
00sen20
=== Ayx
0sen2 === kLAyLx
πλπ
nL =2
2
λnL =
,...3,2,1=n
πnkL =
La condición L = nλ/2 quiere decir que aparecen ondas estacionarias sólo en aquellos casos que cumplan el requisito de que la longitud de la cuerda sea un múltiplo entero de la semilongitud de onda.
Esto significa que en una cuerda de longitud L dada, sólo aparecen ondas estacionarias para ciertas frecuencias de vibración fn, aquellas que cumplen la condición
nn
vf
λ=
n
Ln
2=λ
v = velocidad de propagación
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ONDAS ESTACIONARIAS (4)
En una onda estacionaria se distinguen los puntos nodales (o simplemente nodos), que son aquellos puntos en que la amplitud es nula, es decir, posiciones donde no hay vibración; los vientres o antinodos de la onda estacionaria, por el contrario, son los puntos en donde la vibración se produce con la máxima amplitud posible.
La distancia entre dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda. En efecto, un nodo cualquiera, situado en la posición xm, cumple la condición
0sen =mkx πmkxm =2
λmxm = donde m toma todos los valores
sucesivos m = 1, 2,..., n-1
La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de longitud L es la que corresponde a n = 1. Ésta se denomina frecuencia fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos intermedios entre sus dos extremos. La siguiente posibilidad, el caso n = 2, se llama segundo armónico, y presenta un nodo intermedio. A continuación n = 3, tercer armónico, tiene dos nodos intermedios.
Para el armónico n-ésimo, el número de nodos intermedios entre los extremos es n-1, y su frecuencia y su longitud de onda son, respectivamente,
nn
vf
λ=
n
Ln
2=λ
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ONDAS ESTACIONARIAS (5)
FUNDAMENTALn = 1
SEGUNDO ARMÓNICOn = 2
TERCER ARMÓNICO
n = 3
CUARTO ARMÓNICO
n = 4
n
Ln
2=λ
nnL λ2
1=
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ONDAS ESTACIONARIAS (6)
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
En una cuerda de densidad lineal µ (masa por unidad de longitud) sometida a la tensión T , la velocidad de propagación de una onda viene dada por
µT
v =
Considerando además la relación entre la velocidad de propagación, la frecuencia y la longitud de onda, puede demostrarse que las frecuencias para las que se observarán ondas estacionarias en una cuerda están dadas por:
µT
L
nfn 2
=
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PRINCIPIO DE HUYGENSPRINCIPIO DE HUYGENS
Frente plano Frente esférico
• Se denomina frente de onda a la superficie formada por todos los puntos que son alcanzados por una onda al mismo tiempo; en consecuencia, todos los puntos de un frente de onda tienen la misma fase
Principio de Huygens. Cada punto de un frente de ondas se comporta como un foco emisor de ondas secundarias cuya envolvente constituye el nuevo frente de ondas
• Las líneas perpendiculares al frente de onda en cada punto se llaman rayos
Frente de onda plano
Frente de onda esférico
Frente de onda plano
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REFLEXIÓN DE ONDASREFLEXIÓN DE ONDAS
• La reflexión de ondas es el cambio de la dirección de propagación al incidir la onda en el límite de separación de dos medios diferentes; después de la reflexión, la onda continua su propagación en el mismo medio
AB'B'Av
AB
v
'B'A =⇒=
• Los triángulos AA’B’ y AA’B son iguales, y también lo serán los ángulos y i r
• Como tA’B’ = tAB, siendo v la velocidad de propagación de las ondas, resulta:
A’
A
N
B’
Bi r
A
A’
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REFRACCIÓN DE ONDASREFRACCIÓN DE ONDAS
• La refracción de ondas consiste en el cambio de dirección de propagación al pasar la onda de un medio a otro diferente. Si el medio no permite la transmisión de una onda a través de él, se dice que es un medio opaco para ese movimiento ondulatorio
12'B'AAB v
'B'A
v
ABtt =⇒=
∧= rsen'ABAB
∧= isen'AB'B'A
21 v
rsen
v
isen∧∧
=⇒ (Ley de Snell)
Medio 1
Medio 2
A
A’
i
i
Refracción de un frente de ondas AA’
Medio 1
Medio 2
A
A’
i
i
r
B
B’r
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• La dirección de incidencia de las ondas, la dirección de salida y la normal a la superficie de separación de ambos medios están en un mismo plano
• El ángulo de incidencia y el ángulo de refracción están relacionados por:
21 v
rsen
v
isen∧∧
=Refracción en la cubeta de ondas
LEYES DE LA REFRACCIÓN
LEYES DE LA REFLEXIÓN
• La dirección de incidencia de la onda, la dirección de salida y la normal a la superficie de separación de ambos medios están en un mismo plano
• El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión
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DIFRACCIÓNDIFRACCIÓN
Difracción de ondas planas en la cubeta de ondas
• Un observador percibe la luz de un foco aunque no pueda verlo directamente, y oye los sonidos de un altavoz aunque se encuentre detrás de un obstáculo
• Este fenómeno se denomina difracción
• La difracción de ondas se produce cuando la onda se encuentra con un obstáculo cuyo tamaño es del mismo orden de magnitud que su longitud de onda. El obstáculo puede ser una rendija, un borde recto, un disco, una abertura, etc; un conjunto de rendijas con una anchura adecuada se llama red de difracción
• Puede observarse la difracción de ondas en la superficie del agua si se disponen dos estanques comunicados por una abertura; al producir una pertur-bación en uno de ellos, se observa que al llegar a la abertura de separación se propaga por el segundo medio, de acuerdo con el principio de Huygens
• La difracción de la luz no es apreciable a simple vista porque los obstáculos deben ser muy pequeños (del orden de la longitud de onda de la luz: 400-700 nm)
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EFECTO DOPPLER:Cambio de la frecuencia de emisión producido por el Movimiento relativo entre la fuente y el receptor.
- Cuando la fuente se acerca al receptor, la frecuencia percibida aumenta.- Cuando la fuente se aleja del emisor la frecuencia percibida disminuye
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EFECTO DOPLER
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BARRERA DEL SONIDO Y ONDAS DE PROA
Barrera del sonido Ondas de Proa
“ la fuente de onda “persige a los frentes de onda generadosPor ella misma”
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ONDA DE CHOQUE
Ondas de sonido esféricas que se superponen formando un cono.
