UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO

FACULTAD DE INGENIERA DIVISIN DE CIENCIAS BSICAS

CLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO A

07 de Junio de 2010 Semestre 2010-2 INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duracin mxima del examen es de 2.5 horas.

1. Calcular el valor de b tal que el valor medio de la funcin ( ) 23 1f x x= en el intervalo [ ]0,b

sea igual a 3

12 puntos

2. Calcular si existe ( ) 10

senh x

xlim cosh x

+

12 puntos

3. Efectuar

2 3

2 34 1x xa ) x lnx dx b) dx c ) dx

x x x +

21 puntos

2EF10-2A

4. Calcular el volumen del slido de revolucin que se obtiene al hacer girar

alrededor del eje de las abscisas la regin limitada por las curvas cuyas

ecuaciones son

2 4 0 1 0y x , y , x y x= + = = =

15 puntos

5. Sea la funcin ( ) ( )3 1f x , y ln x y= + obtener su recorrido y trazar su regin de definicin.

10 puntos

6. Calcular la derivada direccional de la funcin ( ) 2 22g x ,y ,z x xz yz= + en

el punto ( )1 1 1, , en la direccin que tiene la recta 1 212 3

x zy = =

15 puntos

7. Sea 2 2x yz u v , u e += = y ( )v sen x y= + . Calcular

11

xy

zx =

=

15 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MXICO FACULTAD DE INGENIERA

CLCULO INTEGRAL

Solucin del Segundo Examen Final Semestre 2010 2

1.

( ) [ ]( )( ) ( )

( )

2

2

0

2

0 0

3 300

3 2

3 1 0

3

1 3 1

3 3

3 3

4 0 4 0

2 2 0

2

b

b b

b b

N o c u m p l e p a r a e s t o s v a l o r e s

f x x , b

f c

f c x d xb

b x d x d x

b x x b b b

b b b b

b , b , b

R e s u l t a d ob

=

=

=

=

= =

= =

= = =

=

! " "# " "$

12 puntos

2.

( )( )

( )( )

1

1

1

0

0 0

1

0 0

1

s e n h x

s e n h x

s e n h x

x

x x

c o s h x

x x

l im c o s h x

y c o s h x

ln y ln c o s h x

l im ln y l im ln c o s h xs e n h x

s e n h xl im ln y l im

s e n h x

+

+ +

+ +

=

=

=

=

(0 0

0

x x

x

lim ln y lim

lim cosh x e

+ +

+

=

3. a)

2 2 2

2 2

1 12 2 2 2

2 4

I x l n x d x

u l n x d u d x

d v x d x v

x x xI l n x d x l n x x d x

x xI l n x C

=

= =

= =

= =

= +

b) 2 4xI d xx

s e n x c s c

c o s

t a n

=

)

( )

1

0 0

0

1

senh x

x x

x

lim ln y limcosh x

lim cosh x e

Re sultado

lim cosh x e

+ +

+

=

=

2

2 2 2

2 2

1

21 1

2 2 2 2

2 4

u l n x d u d xx

xd v x d x v

x x xI l n x d x l n x x d xx

I l n x C

R e s u l t a d o

x xI l n x C

= =

= =

= =

= +

= +

2

2

2 2

2

4

2

4

I d x

s e n x c s cx

d x c s c c o t d

xc o sx

t a nx

= =

=

=

=

S2EF10-2

) 1senh xlim cosh x e=

12 puntos

2 2

2 4x xI l n x C= +

d x c s c c o t d

S2EF10-2

( ) 2

2

2

2

2 22

2

2 2 2 2

24 2

24 2

c o t c s c c o tI d c o t d

c s c

I c s c d d c o t C

I x a n g s e n Cx

R e s u l t a d o

I x a n g s e n Cx

= =

= + = + +

= + +

= + +

c)

( ) ( )

2

1

3 2

2 3 2 3

13 2 3

3 2

1

2

2 3

2

1 2 3 2

2

2 3 2

2 2

2

1 11

1

1

11

11

1 1 1

1 1 21 1 12

1

x

I

x xI d x d xx x x x

x x x

x x

xI d x d xx x

x A B CI d x d xx xx x x

x A B Cx xx x x

x A x B x C x

A B C

I d x d x d x d xx xx

I x

+

+ += = +

+ +

+

+= +

+ = = + +

+= + +

+ = + +

= = =

= + + +

=

! " # " $

( ) ( )

( )

( )

2

2

1 2 1

11

11

l n x l n x Cx

xI l n x Cxx

R e s u l t a d o

xI l n x Cxx

+ +

= +

= +

21 puntos

4.

( )

2

2 2

2 2

0 022 2

1 1

4 1 ; 0 ; 044

4 4 4

1 1 30 43 3

y x x x yy xy x

V x d x x d x x

V u

= + + = = =

= +

=

= + = + = +

= =

5. ( ) (

{ }

3, ln 1 , 1

z

f x y x y D x y y x

R z z

= + = >

= %

6.

( )

( ) ( )( )

( )

2 2

1,1,1 1,1,1

, , 2 1,1,11 21

2 3, , , ,

, ,

2 2 4 2 2 0 1

v

P P

g x y z x xz yz Px zy

D g x y z g x y z v

g g gg x y z i j kx y z

g g gx z x yz zx z y

= +

= =

= = + +

= + = = = = =

&&i

( )0 0 32

2 2

1 1

3

4 1 ; 0 ; 0

4 4 43

1 1 30 43 3

R e

y x x x y

xV x d x x d x x

V u

s u lta d o

V u

= + + = = =

= + = + = +

= =

=

) ( ) ( ){,, ln 1 , 11

f x yf x y x y D x y y x

y x

= + = >

>

( )

( ) (

2 2

1,1,1 1,1,1

, , 2 1,1,1

2 2 4 2 2 0 1P P P

g x y z x xz yz P

D g x y z g x y z v

g g gg x y z i j kx y z

g g gx z x yz zx z y

= + +

= + = = = = =

&i

S2EF10-2

0

1

3

R e1 33

s u lta d o

V u

=

15 puntos

}, ln 1 , 1f x y x y D x y y x= + = >

10 puntos

( )2

1,1,1

2 2 4 2 2 0 1P

x z x yz z= + = = = = =

S2EF10-2

( )

( ) ( )

( )

( )

2,1, 3

4 1 9 14

2 1 3, ,14 14 14

2 1 3, , 4 , 1, 0 , ,14 14 14

8 1 7, ,14 14 14

Re7, ,14

v

v

v

v

v

v

D g x y z

D g x y z

sultado

D g x y z

=

= + + =

=

=

= =

=

&

&

&

&

i

15 puntos

7.

( )

( )[ ][ ] ( )( )

2

2

2

11

2

1 10

2 1 2

2 2 1 1 4 1

4 1

x y

x y

xy

u e v sen x yValuando a u y v en x y y se tieneu e v

z z u z vx u x v xz z u vu ; ; e ; cos x yu v x xz e e ex

Re sultadoz ex

+

+

=

=

= = +

= =

= =

= +

= = = = +

= + =

=

15 puntos