Guía de “Ecuaciones Cuadráticas” Nivel: er3 año medio Nombre:........................................................................................

Concepto de Ecuaciones de 2º grado:Es aquella ecuación en la que el mayor exponente de la incógnita es dos y por lo tanto su conjunto solución posee dos soluciones.Su forma general es:

Existen ecuaciones cuadráticas completas e incompletas: ;02 =++ cbxax ;1≠a ;0≠b 0≠c Ec. Completa General. ;02 =++ cbxx ;1=a ;0≠b 0≠c Ec. Completa Particular. ;02 =+cax ;0=b 0≠c Ec. Incompleta Pura. ;02 =+bxax ;0≠b 0=c Ec. Incompleta Binomial. ;02 =ax 0== cb Ec. Incompleta.

Ejercicios:Aprendizaje esperado: Reconocer una ecuación cuadrática e identificar sus coeficientes. Clasificar las ecuaciones cuadráticas.

1. ¿Cuáles de las ecuaciones dadas son de 2º grado?

I) 052 212 =+− xx

II) ( ) 224 xx =−III) 7625 2 =− xx

a) Sólo I, IIb) Sólo I, IIIc) Sólo II, IIId) Sólo Ie) I, II y III

2. El valor del coeficiente b en la ecuación 05103 2 =−+ xx es:

a) 3b) 0c) 10d) 5e) -5

3. ¿Cuáles de las ecuaciones dadas son incompletas?

I) 072 =+ xx

II) 05 432 =−− x

III) ( ) ( ) 69

23

21

32 34 =+−−− xxxx

a) Sólo Ib) Sólo IIc) I y IId) I y IIIe) I, II y III

4. Si la ecuación ( ) ( ) 222 21 yyy =−−− la

escribimos de la forma ;02 =++ cbxax ¿Cuál es el valor del coeficiente c?a) 3b) 2c) -5d) -2e) 1

5. En la ecuación ( ) ( )( ) ( )xxxxx −=+−−+ 46141 el

coeficiente a vale:a) 0b) -1c) 1d) 2e) -2

6. La ecuación ;04

3

84 =−+x

x al expresarla

como ;02 =++ cbxax ¿Cuál es el valor de los coeficientes b y c, en ese orden?a) -8 y 12b) 4 y 12c) -4 y 8d) 8 y -12e) 12 y -8

7. En la ecuación ;0653 12 =+− −− xx expresándola como ;02 =++ cbxax el valor de ( )cb 32 +− es igual a:a) 1b) 2c) 8d) -1e) -8

8. La ecuación ( )

024

8 =+−xx expresándola

como ( ) ;04 2 =++ cbxxa entonces el producto de los coeficientes a, b y c es:a) -1b) -4c) 4d) 0e) 1

;02 =++ cbxax ;,, IRcba ∈∀ 0≠a

Internado Nacional Barros AranaDepartamento de MatemáticaProfesora Inés Aravena

Aprendizajes esperados:Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de segundo grado; explicitan sus procedimientos de solución y analizan la existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas.

9. En la ecuación ( ) xxx 323 =++ al expresarla como ;02 =++ cbxax el valor del producto ba ⋅ es:a) 1b) 0c) -1d) 2e) -2

10. En la ecuación ,0132 2 =−− xx el valor de ( )bac ⋅⋅2 es:

a) 0b) 6c) 8d) 10e) 12

11. La ecuación ( ) xxx 1123 −=++ es:a) Completa generalb) Completa particularc) Incompleta purad) Incompleta binomiale) Incompleta

Resolución de Ecuaciones cuadráticasEl objetivo de resolver una ecuación cuadrática es determinar los valores numéricos para la variable x que hacen que la expresión cbxax ++2 valga cero. Equivale a determinar los valores numéricos para la variable x que en

la función cuadrática ( ) cbxaxxf ++= 2 tienen imagen cero.I. Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas, cuando uno de los coeficientes b o c es cero:

a) Incompleta de la forma 02 =+ caxSe despeja la incógnita y se obtiene su raíz cuadrada

02 =+ caxcax −=2

a

cx

−=2

a

cx

−±=

Ejemplo: 0182 2 =−x 182 2 =x

2

182 =x

92 =x 3±=x

Por lo tanto su conjunto solución es { }3,3 −=S

b) Incompleta de la forma 02 =+ bxaxSe factoriza por la incógnita para obtener los factores que igualados a cero darán la solución:

02 =+ bxax( ) 0=+⋅ baxx

0=x ∨ 0=+ bax Luego 0'=x ∨

a

bx−="

Ejemplo: 023 2 =− xx ( ) 023 =−⋅ xx

0=x ∨ 023 =−xEntonces 0'=x ∨

3

2"=x

Su conjunto solución es { }32,0=S

II. Resolución de ecuaciones cuadráticas completas 02 =++ cbxaxa) ;02 =++ cbxx ;1=a ;0≠b 0≠c Ecuación Completa Particularb) ;02 =++ cbxax ;1≠a ;0≠b 0≠c Ecuación Completa GeneralEn el caso de la ecuación completa particular a veces es posible resolverla por factorización de un trinomio ordenado. Ejemplos: 0652 =++ xx( ) ( ) 032 =+⋅+ xx

02 =+x ∨ 03 =+x

Entonces 2' −=x ∨ 3" −=x

01522 =−− xx( ) ( ) 035 =+⋅− xx

05 =−x ∨ 03 =+x

Entonces 5'=x ∨ 3" −=x

En el caso que el trinomio no sea factorizable, que 'x y "x no sean números enteros, entonces la

ecuación cuadrática Completa Particular (y Completa General) se puede resolver a través de la fórmula:

Con esta fórmula se obtienen sus dos soluciones que son:

Claves1 b 5 d 9 b2 c 6 d 10 e3 e 7 a 11 b4 a 8 a

a

acbbx

2

42 −±−=

y

Ejemplo:1. 0672 =+− xx

,1=a 7−=b y ,6=c por lo tanto:

( ) ( )2

57

2

257

2

24497

12

61477 2 ±=±=−±=⋅

⋅⋅−−±−−=x

Entonces:

62

12

2

57' ==+=x 1

2

2

2

57" ==−=x

Luego el conjunto solución es { }6,1=S

2. 0273 2 =++ xx,3=a 7=b y 2=c

6

57

6

257

6

24497

32

23477 2 ±−=±−=−±−=⋅

⋅⋅−±−=x

Entonces

3

1

6

2

6

57'

−=−=+−=x 26

12

6

57" −=−=−−=x

De dónde se obtiene la fórmula a

acbbx

2

42 −±−=

02 =++ cbxax Puede dividirse por a ya que 0≠a

aa

c

a

bx

a

ax 02

=++ que equivale a

,02 =++a

c

a

bxx como el primer término es un cuadrado perfecto se formará un cuadrado de binomio

a

c

a

bxx −=+

2

22 pero falta agregar el cuadrado del segundo término en ambos lados de la igualdad

a

c

a

b

a

b

a

bxx −=++

2

2

2

22

442

2 El lado izquierdo de la igualdad es un cuadrado de binomio

2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

−=

+ Se debe despejar la variable x

2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

−±=+ Una base positiva o negativa tiene su cuadrado positivo

,2

4

2

2

a

acb

a

bx

−±−= lo que se expresa como a

acbbx

2

42 −±−=

Ecuaciones LiteralesSon ecuaciones que algunos o todos sus coeficientes son letras distintas a la incógnita y se resuelven de la misma manera que las anteriores.Ejemplo:

032 22 =−+ aaxx Donde ,2=a ab = y 23ac −=

Ejercicios:1. La ecuación 0322 =−− xx tiene como

soluciones:a) -1 y 3b) -3 y -1

c) -3 y 1d) 3 y 1e) 0 y 1

a

acbbx

2

4'

2 −+−= y

a

acbbx

2

4"

2−−−=

2. Las soluciones o raíces de la ecuación 021102 =++ xx son:

a) -3 y -8b) 7 y -7c) -7 y -3d) 3 y 2e) -3 y -2

3. En la ecuación 022 =−+ pxx una de sus soluciones es -5, luego el valor de p es:a) 1b) 8c) -12d) 15e) -15

4. El conjunto solución de la ecuación ( ) ( )11025 2 −=− xxxx es:

a) { }2,0

b) { }2,0 −c) { }2

d) { }5,2

e) { }5,0

5. En la ecuación 60

11

5

7

3

12

−=xx

las raíces o

soluciones son:a) 2 y -3

b) -3 y 32

c) -2 y 43−

d) 5 y 161−

e) 2 y 1193−

6. La ecuación axxa =− 22 23 tiene como solución :a) a− y a2−b) a y a3

c) a y 2

3a−

d) 1 y a

e) -1 y 2

a

7. La ecuación 02 22 =++ aaxx tiene como solución:

a) –a y a2b) a− y a−c) a2 y ad) a4 y a−e) Ninguna de las anteriores.

Claves:1. a2. c3. d4. a5. e6. c7. b

Naturaleza de las soluciones de una ecuación de segundo grado:Anteriormente se mencionó que una parábola puede intersectar o no al eje X, y que esto depende del discriminante.Se establece que una ecuación cuadrática tiene:

a) Dos soluciones reales ( )0>∆b) Una solución real ( )0=∆c) No tiene soluciones reales ( )0<∆ ,

lo que es equivalente a afirmar que una ecuación cuadrática tiene:

a) Dos soluciones reales distintas.b) Dos soluciones reales iguales.c) Dos soluciones complejas conjugadas