2.B Flexión Simple+Ejemplo Introductorio

Aspectos Constructivos y Diseo en Concreto Armado WESB Pg. 1

FLEXIN SIMPLE

INTRODUCCIN AL DISEO EN CONCRETO ARMADO - EJEMPLOS

Wilson E. Silva Berros

Captulo 2 (2.B)

ASPECTOS CONSTRUCTIVOS Y DISEO EN CONCRETO ARMADO

Con la finalidad de presentar algunas ideas preliminares relacionadas con el Diseo y con el Comportamiento en Flexin de un elemento de CA, se analiza un elemento simple bajo diversas condiciones de refuerzo y agrietamiento de la seccin transversal.

El elemento es una viga S.A. de 5 m de luz, de seccin transversal 0.30x0.60 m, fabricada con un concreto de fc = 210 kg/cm2.

La solicitacin externa proviene de una carga uniforme distribuida aplicada sobre la viga, producto de su peso propio y de las CM y CV.

Analizaremos diversas situaciones:

INTRODUCCIN

Ejemplo 1. Viga Sin Armadura de Refuerzo (ejercicio terico)

En la realidad es muy raro encontrar vigas esbeltas como esta (esbeltez: 5.0/0.6 8.3) construidas de concreto simple (sin armadura de refuerzo).

La idea es demostrar la escasa (casi nula), resistencia que tendra una viga de estas proporciones si fuera construida sin refuerzo de acero.

El concreto simple se utiliza en algunos elementos de poca esbeltez en los cuales las dimensiones de la seccin transversal son comparables con las luces del elemento y en los que los esfuerzos de traccin por flexin son bajos.

Algunos elementos estructurales de concreto simple suelen ser: zapatas, muros de gravedad, calzaduras, losas completamente apoyadas sobre el piso (pavimentos).


Las principales hiptesis para el anlisis son:

Las secciones planas permanecen planas.

El comportamiento del Co en T y C es lineal hasta la falla de la seccin por traccin ( = E )

No hay posibilidad de una falla por cortante, ni de pandeo lateral

El mdulo de rotura en traccin por flexin del concreto (fr) se puede estimar mediante la ecuacin :

fr = 2 fc 29 kg/cm2

Ejemplo 1. Viga Sin Armadura de Refuerzo (ejercicio terico)

Si recordamos que la falla en traccin del Co Simple es frgil, con un diagrama - que se puede idealizar como en la fig., tendremos que la viga colapsar cuando la seccin central -la ms solicitada-, alcance el esfuerzo fr

t

t

rotura

fr

I

Mfr

fc

fr

h/2

h/2

Fig. Comportamiento en Traccin del Co y esfuerzos en la seccin

Para la seccin central de la viga, donde ocurre el MMx, la Resistencia Nominal ser:

32

cm 18,0006

30x60

6

bhS

2

S frv

Ig frMn

Mn 5,220 kg-m (Resistencia Nominal de la Seccin)

La carga nominal que producira la falla de la seccin y en consecuencia el colapso de la viga ser:

La carga proveniente solo por el pp de la viga es:

Por tanto, para la Viga Sin Refuerzo, el peso propio (pp) representa 25% de la carga de falla.

En este anlisis no se ha considerado Coeficiente de Seguridad (C.S). La falla ser frgil sin previo aviso, en consecuencia, el C.S. debera ser alto.


Por tanto, la carga mxima -en condiciones de servicio-, que se puede aplicar a esta viga de manera segura ser:

1,670 (0.65/1.5) 720 kg/m es decir, prcticamente el pp de la viga.

El caso que acabamos de analizar es hipottico, en la realidad una viga con esta seccin transversal y luz no se hara de Concreto Simple, sino de C.A.

El Co.S., por la poca resistencia en traccin y por su falla frgil, se utiliza en elementos secundarios en los cuales las dimensiones del elemento son tales que los esfuerzos de traccin son bajos.

f Mn Mu 0.65 Mn = 1.5 Mservicio

Para Concreto Simple (Co.S.) el factor de reduccin de resistencia () que seala el ACI es 0.65 y si suponemos que la carga que acta sobre la viga est asociada casi toda con carga muerta, tendremos:

d = 0.55

0.05

0.3

= 10/(30x55) 0.6 %

Fig. Seccin reforzada con 10 cm2 de acero

Supongamos que la viga se refuerza con 2 barras de acero corrugado Grado 60, con un rea de 5 cm2 cada una, tal como se muestra en la fig. Supongamos que la distancia entre el fondo de la viga y el centroide del As de refuerzo es 5cm, lo que equivale a aceptar un recubrimiento libre de aproximadamente 3.7cm, en

consecuencia, el peralte efectivo d, ser 55cm.

Ejemplo 2. Viga Reforzada con 10cm de Acero en Traccin

Las hiptesis son:

Las secciones planas permanecen planas. El comportamiento del Co, bajo cargas de servicio, en T y C es lineal elstico. Sabemos que esta suposicin es razonable para esfuerzos de compresin hasta 0.4 a 0.5 de fc. No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral. La resistencia (mdulo de rotura) en traccin por flexin del concreto (fr) se puede estimar en 29 kg/cm2. Existe una perfecta adherencia entre concreto y acero. La fig. muestra las relaciones - que utilizaremos para el As y el Co.

4,200

y

E = 2x106 kg/cm2

y = 0.0021

s Acero

cu

fc

0.4 @ 0.5 fc

sc

c

Concreto

lineal

Fig. Diagramas esfuerzo deformacin supuestos.


2.1 Seccin Sin Fisurar

Fig. Deformaciones y esfuerzos en la seccin antes de la fisuracin

Utilizaremos la seccin transformada no agrietada (Atr), incluyendo el aporte del As, para calcular los esfuerzos en el Co y en el As:

Analicemos el comportamiento de la seccin antes de que se produzca la fisuracin del Co por efecto de la traccin por flexin; la resistencia mxima del Co en traccin por flexin ser fr. La fig. muestra el estado de esfuerzos y deformaciones en la seccin antes que se produzca la fisuracin de la seccin.

55

5

30

31.1 E. N.

(n - 1) As

2kg/cm 22000015000 c

fEc

9220000

6102

n

(n 1) As = (9-1)x10= 80 cm2

Atr = 30x60 + 80 = 1 880 cm2

Ec

Esn (relacin modular)

Calcular el CG de la seccin transformada (S Mtos. estticos respecto al borde superior), equivale a calcular la posicin del E.N. c:

1880 c = 30 x 60 x 30 + 80 x 55 => c 31.1 cm

Momento de inercia de la seccin transformada no agrietada:

Itr = (1/12) x 30 x 603 + 30 x 60 x (1.1)2 + 80 x (55 - 31.1)2 588 000 cm4

El valor de Itr calculado representa un 9% de incremento respecto al I de la seccin bruta sin As de refuerzo.

El M que ocasiona el agrietamiento por T del Concreto, es:

cf

Itr

Mft 2

mkgMcr

).(M

5900

588000

1316029

El M de agrietamiento de la seccin es Mcr = 5900 kg-m, por encima de este valor se espera que el Co en T, se agriete.

Calculemos los esfuerzos en el Co y en el As un instante antes de alcanzar el M de agrietamiento Mcr:

Comparando el Mcr con el de la seccin no reforzada vemos que hay un 13% de incremento (5900 vs. 5220kg-m). Obviamente el C.A. no se desarroll para mejorar la resistencia de una seccin en flexin tan solo en un 13%, como en este caso. Para cuantificar el incremento de resistencia que produce la presencia del As de refuerzo, se tiene que analizar qu sucede con la seccin luego de que el Co en T se haya agrietado. A partir del agrietamiento del Co se puede decir que el As empieza a trabajar realmente.


A diferencia del caso anterior, cuando el mto. flector en la seccin alcance el valor de agrietamiento por flexin, no se producir una falla frgil de la seccin ni el colapso de la viga.

La presencia del As de refuerzo, el cual tomar las tracciones que el Co no es capaz de soportar y permitir seguir incrementando la carga externa, de manera segura, sin el colapso de la viga.

2.2 Seccin Fisurada

Solo por curiosidad, analicemos los esfuerzos en la seccin un instante despus de ocurrido el agrietamiento del Co. Para ello, apliquemos un M ligeramente superior (un 10% mayor de 5900) al que origina el agrietamiento (Mcr), digamos unos 6500 kg-m.

Las hiptesis para el anlisis sern las mismas, con la diferencia que introduciremos una adicional: el aporte del Co en T, se desprecia. Esto significa que todo el Co que est en T, por debajo del E.N., no ser considerado en los clculos de resistencia. Esta hiptesis permite simplificar los clculos, sin embargo para M flectores de poca intensidad en condiciones de servicio, no es realista, pero s conservadora. El diagrama de esfuerzos y de las fuerzas resultante en el Co y el As ser el indicado en la fig. siguiente:

Utilizaremos la seccin transformada agrietada para calcular los esfuerzos en el Co y en el As.

Fig. Fuerzas en el concreto y en el acero luego del agrietamiento.

30 cm

c= 15.41

55 - c d= 55

nAs = 9x10 = 90 cm2

Fig. Seccin transformada agrietada.

La posicin (c) del E.N. se obtiene calculado el centroide de la seccin: calcularemos la suma de los mtos. estticos de las reas, respecto del E.N.:

30 c (c/2) = 90 (55-c) c = 15.41 cm

El mto. de inercia de la seccin transformada agrietada Icr se obtiene mediante:

Al agrietarse la seccin, la inercia se ha reducido, de 588000 a 178000 cm4 (en 33%)

Calculemos ahora los esfuerzos mximos en el Co y el As en la seccin fisurada:


La fig. permite comparar los esfuerzos en el Co y en el As antes y despus del agrietamiento. Es importante notar el fuerte incremento en el esfuerzo del As en T al agrietarse la seccin. Para un M externo un 10% mayor que el que produce el agrietamiento de la seccin, el esfuerzo de C en el Co ha aumentado de 31 a 56 kg/cm2 (81% de incremento) y el esfuerzo en el As, de 215 a 1300 kg/cm2 (6 veces):

Sin fisurar

fc= 31 kg/cm2

31.1

fs= 215 kg/cm2

Mcr=5900 kgm

2kg/cmtf 29

Itr 588000 cm4

fs= 1300 kg/cm2

M= 6500

Fisurada

fc= 56 kg/cm2

15.41

Icr 178,000 cm4

Fig. Esfuerzos en la Seccin No Fisurada y Fisurada

2.3 Capacidad mxima de la Seccin por Esfuerzos Admisibles

Calculemos la capacidad de la seccin utilizando el Diseo (en este caso anlisis) por Esfuerzos Admisibles (WSD). Las Normas fijaban, para el diseo en flexin, los siguientes esfuerzos admisibles para la C en el Co y la T en el As:

Concreto: fc admisible = 0.45 fc = 0.45 x 210 95 kg/cm2

Acero: fs admisible = 0.5 fy = 0.5 x 4200 = 2100 kg/cm2

Cuando el As alcance su esfuerzo admisible, la seccin ya se encontrar agrietada por flexin, en consecuencia, los clculos se harn utilizando las propiedades de la seccin transformada agrietada.

Para que esto sea vlido, tendremos que suponer que el Co se comporta linealmente hasta alcanzar su esfuerzo admisible.

fc

As fs

30 cm

15.41

39.59

n As= 90 cm2

Icr 178,000 cm4

Fig. Esfuerzos y seccin transformada agrietada

Los esfuerzos en el Co y en el As as como los Mtos. mximos (Madm) que ser posible aplicar, sin sobrepasar los esfuerzos admisibles son:

2

concreto kg/cmIcr

M951

2

acero kg/cmIcr

Mn 21002

m-kg .

Madm 110004115

17800095

m-kg .

Madm 1050059399

1780002100


La capacidad de la seccin est controlada por el esfuerzo admisible en el As, por lo tanto, el Mto. flector admisible es 10500kg-m aproximadamente. Para esta intensidad del Mto. flector, el esfuerzo mximo en el Co ser fc = 90kg/cm2 aproximadamente, con una deformacin correspondiente de (90/220000) 0.41x10-3. El As estar trabajando a 2100kg/cm2 con una deformacin correspondiente de (2100/2x106) 1.05x10-3.

2.3 Capacidad ltima o Mxima de la Seccin

El valor del Mto. que produce el mximo esfuerzo admisible en el As calculado, no es la capacidad mxima o ltima de la seccin, es decir, no es el valor para el cual se agota la capacidad de la seccin.

Una vez que se superan los esfuerzos admisibles, la seccin no falla, esta tiene an una reserva de resistencia que es justamente la que aprovecha el Diseo por Resistencia.

Para calcular la resistencia nominal de la seccin, utilizaremos las siguientes hiptesis:

Las secciones planas permanecen planas No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral Existe una perfecta adherencia entre concreto y acero Se desprecia el aporte del concreto en traccin a la resistencia de la seccin El As de refuerzo tiene un diagrama de comportamiento elastoplstico perfecto, con una plataforma de fluencia ilimitada con fy = 4200kg/cm2 que se inicia con una deformacin de fluencia y = 0.0021. El mdulo de elasticidad del As se considera Es = 2x106 kg/cm2.

Adicionalmente a las hiptesis anteriores, es necesario conocer el diagrama - del Co en C. Este se puede obtener de ensayos de laboratorio o utilizando uno de los muchos modelos disponibles o asumiendo un diagrama racional simplificado.

En general el comportamiento en compresin, de probetas en laboratorio, tendr un diagrama similar al mostrado en la figura, en donde se ha supuesto o= 0.002 y cu = 0.003.

Fig. Diagrama - del concreto comprimido

Asumiremos, con cargo a verificacin, que la falla de la seccin se producir por agotamiento del Co comprimido y que el As de refuerzo est en fluencia, esto conducir a una falla dctil de la seccin. Bajo estas suposiciones, el diagrama de - en la seccin ser similar al indicado en la figura:

Fig. Esfuerzos y Deformaciones en la Seccin

Admitamos que el Co de esta viga tiene el mismo valor (fc) que el correspondiente Co de la probeta de laboratorio, esto significa admitir k2=1 en la figura anterior. Desconocemos la posicin cdel E.N. y el valor de k1. Para superar este inconveniente y mientras no tengamos otro modelo mejor, asumamos para el Co un diagrama - parablico como el mostrado en la figura sgte. en el cual, por simplicidad, se ha eliminado la rama descendente de la curva.


= -a 2 + b

a = fc / (o)2

b = 2 fc / o

o = cu = 0.002

Fig. Diagrama supuesto para el concreto en compresin

El diagrama de esfuerzos en el Co y las resultantes de las fuerzas de C y T, se indica:

Fig. Esfuerzos Internos y Fuerzas Resultantes

Volumen de compresiones: Cc 2/3 c b fc Traccin en el acero T = As fy = 10x4200 = 42000 kg Equilibrio Cc = T 2/3 c b fc = As fy c = 10 cm

Resistencia Nominal de la seccin (S Mtos respecto a Cc):

Mn = 42,000x(55 0.375x10) 21,500 kg-m

La verificacin de las deformaciones en el As, para comprobar su fluencia tal como se supuso inicialmente, se realiza con el diagrama de deformaciones mostrado en la fig. Se comprueba que el As tiene una deformacin alrededor de cuatro veces mayor que la de fluencia.

4510

0020 s.

s = 0.009 4.3 y

Fig. Deformaciones en la seccin

cm..b

cf.

fyAsa 847

30210850

420010

850

)2

(a

dfyAsMn

cm22.985.0

84.7c

Utilizaremos, a manera de verificacin, las frmulas para calcular la resistencia nominal deducidas a partir de las hiptesis del ACI.

mkg Mn 21450

Se aprecia que la aproximacin que hicimos al utilizar una parbola para el Co en C, fue para este caso particular, bastante acertada.

A continuacin se presenta un resumen de los diversos anlisis realizados:


a) Seccin Sin Acero de Refuerzo

Ig = 540000 cm4 5220 kg-m

30

29 kg/cm2

29 kg/cm2

30

b) Seccin Con As=10 cm2 - Justo Antes del Agrietamiento

28.9

5900

31.1

31 kg/cm2

29 kg/cm2

fs = 215 kg/cm2 0.05 fy

Itr = 588000 cm4

c) Seccin Con As=10 cm2 Despus del Agrietamiento

Icr 178000 cm4

fs = 1300 kg/cm2 0.3 fy

6500

fc= 56 kg/cm2

15.41

d) Seccin Con As=10 cm2 Capacidad por Esfuerzos Admisibles

fs = 2100 kg/cm2 = 0.5 fy

10500

fc = 90 kg/cm2 = 0.43 fc

15.41 Icr 178000 cm4

e) Seccin Con As=10 cm2 Capacidad Nominal Ultima

fs = 4200 kg/cm2 = fy

fc = 210 kg/cm2 = fc

c = 10 cm


2.4 Seccin Preesforzada

2.4.1 Preesfuerzo en el CG de la Seccin

Comportamiento de una viga cuando se introduce un preesfuerzo inicial mediante un cable o una barra no adherida al concreto.

Supongamos que antes de aplicar las cargas externas, colocamos a lo largo de la viga en el centroide de la seccin, un cable no adherido de alta resistencia, de modo que permita aplicar una precompresin de 40 toneladas estables.

La precompresin estable significa que a la fuerza inicial aplicada mediante un gato, se le han descontado las prdidas provenientes, en este caso, del flujo plstico y la retraccin del Co y del embutimiento del anclaje.

La fuerza estable de 40 ton producir un esfuerzo de C en la seccin de 22 kg/cm2

aproximadamente, al cual se sumarn posteriormente los esfuerzos producidos por las cargas externas.

La situacin que hemos planteado es una simplificacin burda de lo que se llama el concreto precomprimido o preesforzado. Ciertamente un cable en el CG no es lo ms eficiente y un Co de 210 kg/cm2 es demasiado bajo para este tipo de construccin, sin embargo el ejemplo permitir formarse una idea de lo que es el preesforzado.

De nuevo, asociaremos la falla de la viga al instante en que el esfuerzo de traccin (ft) ocasionado por las cargas externas supere la resistencia en T por flexin del Co (fr). La falla, al no haber As de refuerzo adherido, ser frgil sin previo aviso

Los esfuerzos en la seccin central de la viga (la ms esforzada) se obtendrn por superposicin de los esfuerzos iniciales de C ms los esfuerzos originados por las cargas externas:

2kg/cm29Ag

P

Ig

M

tf

2kg/cm S

M

Ig

M512229

3

2

cm180006

hb

S

m-kgM 92001800051 2kg/cm226030

400001

fc

En consecuencia, el Mto. de agrietamiento de la seccin, asociado a una falla frgil, ser 9200 kg-m. Los esfuerzos en la seccin en el instante del agrietamiento son:

-22 +51

-51 -73 kg/cm2 0.35 fc

+29 kg/cm2

42.94

17.06


La presencia de la precompresin, como era de esperar, ha modificado el Mto. de agrietamiento y en consecuencia la resistencia de la seccin, de 5220 (caso de la viga sin ningn refuerzo) a 9200 kg-m, lo que equivale a un incremento en la capacidad de la viga del 75% aproximadamente.

Ntese que en los clculos no se ha considerado ningn coeficiente de seguridad.

2.4.2 Cable de Preesfuerzo Excntrico

Analicemos la viga para las mismas 40 toneladas de preesfuerzo inicial, con la diferencia de que el cable recto no adherido se coloca 0.20 m por debajo del centroide de la seccin. En esta situacin, adems de la fuerza axial, tendremos un mto. flector producido por la excentricidad del cable de 40 x 0.2 = 8 ton-m:

Es necesario investigar los esfuerzos en la seccin de los apoyos, donde la flexin originada por las cargas externas es nula, y en la seccin central de mximo M+Max.

Seccin del apoyo:

Seccin Central:


Esfuerzos en la seccin central:

cffc 45.04422

2kg/cm294422 ft

1)

2)

fibra superior

fibra inferior

De 1) -22 + 44 - fc = 0.45x210 -95 fc = - 117 kg/cm2

De 2) -22 - 44 + ft = 29 ft = + 95 kg/cm2

La condicin que controla es la segunda, es decir la resistencia en T x flexin del Co. El mto. externo mximo que es posible aplicar a la seccin central de la viga es:

Mmax = ft x S = 95x18,000 = 17100 kg-m. Este mto. externo causar el agrietamiento por flexin de la seccin y en consecuencia, para este caso particular, la falla de la viga.

+ 44

- 44

8 t-m

40 ton

17.1 t-m

+ 95 - 22

- 22 - 95 - 73 kg/cm2 0.35 fc

+ 29 kg/cm2

42.9

17.1

Para concluir, verifiquemos los esfuerzos en la seccin central de la viga para un mto. externo de 17.1 ton-m.

2.B Flexión Simple+Ejemplo Introductorio

Documents

Transcript of 2.B Flexión Simple+Ejemplo Introductorio