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Universidad Tecnológica Nacional Cátedra: “Elementos de Máquina” Facultad Regional Paraná Apunte elaborado por: Ing. A. Martins Mogo

ÁRBOLES Y EJES Definiciones: 1.1) Árbol: Se define con este nombre a aquellos elementos rotatorios, cuyas geometrías generalmente son de sección circular, con una sucesión de escalones de diámetros; destinados a transmitir movimientos y por ende energía mecánica que reciben de una fuente motriz y la entregan a partir de engranajes, poleas, ruedas, volantes, acoplamientos, levas, etc. vinculados a los mismos a las maquinas que la reciben.

Normalmente la transmisión de esfuerzos hace que estos elementos de máquina estén sometidos a esfuerzos de flexotorsión a los que suelen agregarse esfuerzos axiales. Flexión por las cargas perpendiculares a su eje principal que origina la transmisión de energía por engranajes, poleas, ruedas dentadas, etc. a los que se agregan las debidas a los pesos propios del mismo árbol y de los elementos vinculados al mismo (que no siempre se pueden despreciar) y en ocasiones a todo esto se suman esfuerzos de tipo dinámico originados en el giro de masas alrededor de un eje que no pasa por los respectivos centros de masa; torsión como consecuencia de la energía mecánica transmitida y esfuerzos axiales de tracción o compresión originados en pesos de sustentados en los colocados verticalmente, esfuerzos axiales generados en engranajes helicoidales, en rotores de ventiladores axiales, en esfuerzos térmicos no contemplados, etc. Resumiendo, son piezas que están sometidas a un estado de tensiones combinadas y como tal debe tratárselas en el cálculo resistivo, aclarando que muchas veces el criterio y experiencia del calculista permitirá despreciar algunos de estos tipos de esfuerzos por considerar resultarán irrelevantes, simplificando el cálculo.-

Claros ejemplos de árbol pueden ser, en los motores de combustión interna, el árbol de levas y el árbol cigüeñal, en un automóvil o camión, el árbol cardánico; en la bicicleta, el “eje” de la pedalera, etc.

1.2) Ejes: Se acostumbra a utilizar la palabra eje como sinónimo de árbol, pero cuando se quiere realizar una mayor distinción de la pieza, en función del tipo de carga que soporta la misma, se reserva la denominación de eje para las piezas que - giren o no - exclusivamente están sometidas a esfuerzos de flexión, pero que sí soportan partes que giran (Se desprecian los normalmente irrelevantes esfuerzos de torsión debidos a roces en cojinetes); en otras palabras, aún cuando giren, se comportan exclusivamente como vigas sin transmitir momento torsor. Ejemplos de ejes son: los ejes delantero y trasero de las bicicletas, el eje de la carretilla, el eje del vagón de ferrocarril, el perno de cualquier bisagra, el eje de los carros, los ejes de las ruedas de las camillas, etc.

2) Pautas de DiseñoAl diseño propiamente dicho de un árbol o eje generalmente se llega después de un

razonado trabajo previo de adopción de criterios y concreción de cálculos. Como ya quedó expresado su función principal será la de permitir o transmitir (ejes o árboles) los movimientos rotatorios, a los cuales se les vincularán distintos elementos de máquina, tales como engranajes, cojinetes, volantes, acoplamientos, etc. y que deberá integrarse al diseño de la máquina o mecanismo particular donde se ubicará.

Normalmente el cálculo, previo al diseño se lo encara desde el punto de vista resistivo; para esto debe comenzarse por determinar o establecer la magnitud y tipo de los esfuerzos

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actuantes, se selecciona un determinado material y a partir de ahí se comienza el cálculo adoptando algunos de los procedimientos disponibles en función de la importancia de la pieza a diseñar, teniendo en cuenta las propiedades mecánicas del material seleccionado y la magnitud y tipo de las cargas a soportar o transmitir, pudiendo preverse la acción de cargas variables y no dejando de considerar la importancia de la futura pieza al adoptarse las tensiones admisibles (o de diseño o de cálculo como se las quiera llamar). Estos cálculos llevarán a determinar los diámetros en las partes que el técnico considere mas comprometidas; en esta instancia puede realizarse una pre-verificación respecto a las máximas deformaciones esperadas, tanto torsionales como de flexión, para cotejar los valores hallados con los que – orientativamente - indica como aceptables la bibliografía específica.-

Con posterioridad a estos cálculos se debe realizar el diseño propiamente dicho de la pieza, dándole la configuración geométrica escalonada que permitan ubicar rápidamente durante el armado en su posición exacta a todas las partes que se vincularán a la misma (mas adelante se volverá sobre el tema) y se realizará la verificación definitiva de las deformaciones, tanto torsionales como de flexión.-

3) Relación Potencia – Momento Torsor Todos los árboles transmiten un momento torsor, torque o cupla y en función de su valor

serán las tensiones y deformaciones torsionales que se registren (además de las deformaciones por flexión, donde serán preponderantes las distancias a los apoyos). Lo mas habitual es que se conozca la potencia y la velocidad angular que animará a la pieza a calcular, luego será necesario establecer a partir de esos parámetros cual será el momento torsor a transmitir para poder concretar los cálculos.-

En primer lugar cabe recordar que “potencia es trabajo en la unidad de tiempo”, o sea es indicadora de la velocidad con que se realiza determinado trabajo mecánico. En general son tres las expresiones matemáticas que definen la potencia correlacionándola con el trabajo mecánico y estas son:

a) (Potencia = Fuerza por Velocidad) (3.1)

b) (Potencia = Cupla por Velocidad Angular) (3.2)

c) (Potencia = Presión por Caudal) (3.3)

A partir de estas expresiones se encontrará la expresión que vincula a la potencia (N) con el momento torsor (Mt). A título de ejemplo considérese una transmisión por correas, con una polea fijada (chaveta mediante ) a un árbol, desde el cual se transmite la energía a otro árbol, tal como se indica en la figura 1.

Considerando el esfuerzo T1 (kG) en el ramal tenso o de acción y T2 (kG) en el ramal flojo o de retorno (necesariamente esta última 0 para asegurar la necesaria adherencia de la correa a la polea. A partir de esto, la diferencia (T1 – T2) será el esfuerzo transmitido, el cual se hará a la velocidad tangencial de la polea (idealmente al no considerar patinamiento alguno), velocidad que también será la que animará a cualquier punto de la correa (correa inextensible).-

Luego la potencia estará dada por el producto de la fuerza transmitida por la velocidad a la cual se lo hace, lo que queda reflejado en la siguiente expresión:

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N = ( T1 – T2 ) * V = F * V (3.4), donde: [ F ] = kG y [ V ] = m/s, luego si se considera que 1 C.V. equivale a 75 kG*m/s, la expresión anterior queda: T1

N = (3.5)

En esta, recuérdese que F = ( T1 – T2) (kG), T2

Esto en el caso de la transmisión por correas o bien directamente se coloca la fuerza tangencial transmitida por un engranaje o rueda de fricción

polea motriz

y además donde: V

R = Radio (cm) (100 reduce a metros)

n = Velocidad angular (r.p.m.) (60 reduce a segundos)

60 = constante para reducir minutos a segundos

100 = constante para reducir cm. a m.

Entonces, remplazando en la ec. (3.5) se obtiene

; (3.6) donde (Kg.cm); despejando éste y

operando se arriba a:

(Kg.cm) (3.7.1) ó (Kg.cm) (3.7.1.1) ó

(Kg.mm) (3.7.2) ó (Kg.mm) (3.7.1.2) ó

(Kg.m) (3.7.3) ó (Kg.m) (3.7.1.3)

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Si modificamos el sistema de unidades:

Ahora bien, es habitual que la potencia se exprese en unidades del sistema inglés de medidas, en este caso la unidad de referencia es el H.P. y se define:

(3.8)

(3.9)

En consecuencia (diferencia 1.4%) ( 3.10)

A los fines prácticos esta diferencia es prácticamente irrelevante, considérese que cuando se refiere a la potencia de un motor el error que se puede tener al considerarse la potencia indicada en su placa con la que realmente eroga el mismo en particular puede ser mucho mayor. Razónese que la potencia indicada en placa corresponde a una serie de motores iguales y la igualdad total no existe como así tampoco normalmente serán iguales las condiciones del ensayo a las de prestación del motor considerado en particular (variaciones en: tensión de línea en el caso de los motores eléctricos, el poder calorífico del combustible, la presión atmosférica, los estados de los diversos filtros, condiciones de lubricación, viscosidades, presiones, etc. en otros tipos de motores)

4) Cálculo Simplificado de ÁrbolesPara predeterminar los diámetros de las secciones resistentes necesarias pueden hacerse

cálculos simples que rápidamente nos conducen a un valor, el cual según sea la importancia de la pieza que se esté calculando o verificando puede adoptarse como definitivo o bien solo orientará el cálculo a realizar con mayores detalles (no será lo mismo calcular un árbol de escasa importancia y del cual se fabricará y utilizará una sola unidad que el cálculo de un árbol cuya rotura puede provocar una variedad de inconvenientes y hasta llegar a afectar la integridad de las personas y/o del cual se realizarán varias unidades).

Como quedó expresado todos los árboles estarán sometidos a esfuerzos combinados de flexo-torsión a los que se agregan en algunos casos esfuerzos de tracción o compresión; pero para hacer un cálculo rápido pueden hacerse varias simplificaciones, tales como:

a) No considerar esfuerzos normales (ni flexión ni esfuerzos axiales)(simplificación tanto más válida cuanto mas cerca estén los apoyos que soportarán al árbol).

b) Considerar aplicaciones muy suaves de las cargas y también con suaves incrementos (no se contemplan los efectos dinámicos -NEWTON).

c) Ignorar los efectos de concentración de tensiones en chaveteros o cambios de sección, etc. y todo esto se compensa adoptando para un material de tipo comercial (acero de 0,10 a 0,30% C, sin elementos aleantes) un valor de la tensión de trabajo o tensión admisible o de diseño lo suficientemente bajo como para contemplar la no consideración de los efectos indicados; es así que se adopta:

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(4.1) y se calcula directamente

aplicando la expresión de las tensiones simples:

(3.12), adoptando: y siendo:

, (Kg.cm) y

Se tiene:

(4.2)

Otra alternativa de cálculo simplificado se tiene considerando una limitación de la deformación angular por torsión a ¼º/m (0,25º/m). Se aplica entonces la expresión de la deformación angular por torsión en árboles de sección circular, recordando que:

(4.3) a su vez (4.4)

(condición impuesta) (4.5), donde:

(Kg.cm)

l = 1 metro = 100 cm

G 800.000 Kg/cm2 (módulo elasticidad transversal del acero)

Luego, reemplazando en la (3.15) se tiene

d 12 (cm) = 120 (p.m.) (4.6)

La ecuación 3.12, obtenida -según se vio- basada en un criterio resistivo, se recomienda aplicar para árboles cortos, sabiendo a priori que sus resultados normalmente serán muy conservadores.

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Ahora bien, según las condiciones de carga y la forma a dar al árbol se llega a indicar una tensión de diseño = 315 kG/cm2 (aún sigue siendo conservador en la mayoría de los casos) y la ecuación 3.12 pasa a ser:

(4.7)

5) Cálculo de Árboles Según Recomendaciones de A.S.M.E.

5.1) Cálculo Resistivo. Un procedimiento de cálculo que tiene en cuenta los esfuerzos combinados a que se ven sometidos los árboles fue propuesto hace ya muchos años por ASME (American Society of Mechanical Engeneering), el cual es cierto fue retirado hace un tiempo pues se considera que sus valores son algo conservadores aún cuando en ocasiones se hayan producido roturas (considero que esto tiene mucho que ver con la selección de los coeficientes que mas adelante veremos). De todas maneras este procedimiento ha sido y aún es aplicado en distintos proyectos de árboles, es un proceso mucho mas elaborado que el recién visto del cálculo simplificado y resulta de relativamente fácil aplicación; para los árboles de suma importancia existen otros procedimientos de cálculo mas elaborados y de aplicación un poco mas compleja, a sobre los cuales mas adelante nos referiremos.-

El método ASME se apoya en la hipótesis de rotura de Coulomb y Guest, denominada de la máxima tensión tangencial, la cual indica la siguiente igualdad:

(5.1);

donde: (5.2) y (5.3)

Las tensiones normales son generadas por el momento flector originadas por las cargas perpendiculares al árbol a las que en ocasiones se agregan tensiones del mismo tipo debidas a cargas axiales de tracción o compresión (pesos soportados, esfuerzos o empujes generados por engranajes helicoidales, rotores de ventiladores o bombas, variaciones térmicas, etc).

El signo que antecede al momento flector es porque alternativamente en cada que giro de la pieza se produce una alternancia del signo ya que una misma fibra que está traccionada al cabo de media vuelta está comprimida con iguales valores absolutos de tensión, generándose entonces un estado de tensiones variables netamente alternativas ( y esto nos tiene que hacer pensar en un proceso de fatiga) a las que se suman las tensiones estáticas ( o no ) que puedan agregarse por las cargas axiales.-

En cuanto a las tensiones tangenciales, éstas son generadas por el momento torsor transmitido.-

Ahora bien, volviendo a las expresiones (5.2) y (5.3), en ellas se hacen los siguientes reemplazos:

; y ; obteniéndose:

(5.4) (5.5)

ESTA MAL LA ECUACION

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Ahora bien, en primer lugar para tener en cuenta un probable efecto de pandeo por las cargas axiales de compresión, se afecta al valor de la carga de un coeficiente

que relaciona la tensión en compresión con la máxima alcanzable en el momento de producirse el pandeo, siendo:

para L / k < 115 (5.6) y

para > 115 (5.7), donde:

L : distancia entre apoyos

n : Coeficiente de fijación = 1 p/extremos libres (cojinetes autoalineantes)

= 2,15 p/extremos fijos (cojinetes rígidos)

k : Radio de giro de la sección

: grado de esbeltez = L / k

A su vez el código A.S.M.E impone dos coeficientes; uno “Km” que potencia al momento flector actuante y otro “Kt” que potencia al momento torsor transmitido en la sección de cálculo , ambos llamados factores combinados de choque y fatiga, precisamente para tener en cuenta los efectos de la fatiga y de la forma de aplicación de las cargas, consecuentemente la expresión 5.5. queda:

Luego, operando se llega al diámetro en el lugar de cálculo

Los factores de choque y fatiga que el código recomienda para aplicar en esta expresión son los siguientes:

Tipo de esfuerzoÁrboles y Ejes Giratorios

Ejes Fijos (y barras de torsión)

Km Kt Km Kt

Esfuerzo estable y gradualmente aplicado 1,50 1,00 1,00 1,00

Esfuerzo bruscamente aplicado con choque moderado

1,50 a 2,00

1,00 a 1,50 1,50 a 2,00 1,50 a 2,00

Esfuerzo bruscamente aplicado con choque fuerte

2,00 a 3,00

1,50 a 3,00

Como puede observarse en los elementos giratorios, por el solo hecho de que el árbol estará sometido a un estado de tensiones totalmente alternativos por el proceso de inversión de las tensiones que se producen en cada giro, se aconseja potenciar al Mf. actuante como mínimo

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en un 50% y cuando aparecen cargas mas o menos bruscamente aplicadas se incrementan aún mas los momentos flectores y también se incrementan los momentos torsores.

Puede verse que para los ejes o barras de torsión que no giren cuando el esfuerzo es estable y gradualmente aplicado tanto “Km” como “Kt” se indican igual a “uno” . Esto se debe a que no existen aplicaciones bruscas y porque no existen las variaciones tracción/compresión en la flexión porque las piezas no giran.

Por último, en la expresión del cálculo del diámetro, se ve que el mismo – para el caso de que deba contemplarse una carga axial – aparece en los dos términos de la igualdad, ante esta situación debe precalcularse un valor del diámetro (por ejemplo mediante las expresiones del cálculo simplificado) y colocarse ese valor en el 2º término de la igualdad y luego proceder a calcular por aproximaciones sucesivas, inyectando en el segundo miembro el valor del diámetro obtenido en el paso anterior, así hasta que se consideren irrelevantes a las diferencias

5.2) Tensiones de Diseño. El Código ASME contempla los árboles construidos con materiales dúctiles cuya resistencia a la tracción es aproximadamente el doble a aquella de torsión y contempla en particular los realizados en aceros fabricados sin elementos aleantes, sin técnicas especiales y con propiedades variables e inciertas. Para estos casos, que denomina para “Aceros Comerciales”, indica:

(5.8) o (5.9) y si en el sector que se calcula se ubicará

un chavetero, para tener en cuenta la concentración de tensiones y la disminución de la sección resistente, se aconseja disminuir estos valores en un 25%; en consecuencia – si hay chaveteros – se tomará:

(5.10) o (5.11)

Ahora, cuando se prevé la utilización de aceros bajo especificaciones definidas, el Código indica:

(5.12) o . (5.13) (debiendo adoptarse el menor de estos dos valores)

Para las piezas que solamente trabajarán a la flexión el Código especifica:

σadm. = 0.60σlf (5.14) o σadm. = 0.36σrot.(5.15) (siempre el menor de los dos)

5.3) Cálculo de Árboles Huecos Cuando de árboles huecos se trata, si denominamos de al diámetro exterior, di al diámetro

interior y k a la relación di/de ; volviendo a la expresión 5.1

Al efectuarse los reemplazos correspondientes y considerando los factores de choque y fatiga indicados por el código A.S.M.E. se obtendrá:

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Ya despejando el diámetro se tiene:

ecuación que se simplifica si los esfuerzos axiales se consideran despreciables.

Luego, para calcular un árbol hueco se elige primero la relación k =di/de pretendida y - en su caso si hay cargas axiales - se preestima el de y luego se procede por aproximaciones sucesivas, tal como se indicó para los árboles macizos.