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Capítulo 28 28 El campo eléctrico El 25 de agosto de 1989, doce años después de su lanzamiento, la nave espacial Voyager 2 pasó cerca del planeta Neptuno, a una distancia de 4.4 ×10 9 km. de la Tierra. En- tre otros descubriminetos, el Voyager reportó la observación de seis lunas previamente desconocidas de Neptuno y un ssitema de anillos. La clave para entender este tipo de comunicación está en el campo electromagnético. Los electrones que se mueven en los circuitos eléctricos del Voyager establecen un campo eléctrico y las variaciones de su movimiento causan perturbaciones en el campo para viajar a la velocidad de la luz. Más de 4 horas más tarde, los electrones en los cricuitos de la Tierra detectan estos cambios en el campo y se mueven en concordancia con estas. 28.1. Los campos En la matemática se estudia a los campos escalares y a los campos vectoriales. Las distri- buciones de temperatura o presión en un recinto son ejemplos de campos escalares que asocian un valor numérico a cada punto en el espacio, en tanto que una distribución de velocidades en un fluído y la aceleración gravitacional son ejemplos campos vectoriales que asocian un vectro a cada punto en el espacio. Cuando se estudió al campo gravitacional g, se definió como la fuerza gravitacional F por unidad de masa de prueba m 0 ,o Halliday, Resnick, Krane 1 Fisica II
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Capítulo 28
28 El campo eléctricoEl 25 de agosto de 1989, doce años después de su lanzamiento, la nave espacial Voyager2 pasó cerca del planeta Neptuno, a una distancia de 4.4 ×109 km. de la Tierra. En-tre otros descubriminetos, el Voyager reportó la observación de seis lunas previamentedesconocidas de Neptuno y un ssitema de anillos.
La clave para entender este tipo de comunicación está en el campo electromagnético.Los electrones que se mueven en los circuitos eléctricos del Voyager establecen un campoeléctrico y las variaciones de su movimiento causan perturbaciones en el campo paraviajar a la velocidad de la luz. Más de 4 horas más tarde, los electrones en los cricuitosde la Tierra detectan estos cambios en el campo y se mueven en concordancia con estas.
28.1. Los campos
En la matemática se estudia a los campos escalares y a los campos vectoriales. Las distri-buciones de temperatura o presión en un recinto son ejemplos de campos escalares queasocian un valor numérico a cada punto en el espacio, en tanto que una distribución develocidades en un fluído y la aceleración gravitacional son ejemplos campos vectorialesque asocian un vectro a cada punto en el espacio.
Cuando se estudió al campo gravitacional g, se definió como la fuerza gravitacionalF por unidad de masa de prueba m0, o
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g= Fm0
. (28.1)
Este es un campo vectorial y es, generalmente, estático cunado la distribución de masasdel cuerpo gravitacional permanece constante. Cerca de la superficie de la Tierra, y enpuntos cercanos entre sí, el campo es uniforme, lo que significa que g tiene la mismamagnitud y dirección en los puntos vecinos.
En el caso gravitacional se tiene que una masa interactúa directamente con otra
masamasa
pero más propiamente la interacción se puede expresar como
masa campomasa
.
28.2. El campo eléctrico E
Haciendo una analogía con la fuerza gravitacional, la fuerza de Coulomb entre lascargas invita a representar la interacción entre cargas como
carga carga
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.Y si de nuevo se tiene a un intermediario, entonces
carga campo carga
. Esto es, la primera carga establece un campo eléctrico y la segunda interactúa condicho campo. Así, el problema de determinar la interacción entre las cargas se reducea: (1) determinar, mediante mediciones o cálculos, el campo eléctrico establecido por laprimera carga en cada punto del espacio y (2) calcular la fuerza que el cmapo ejercesobre la segnuda carga puesta en un punto particular del espacio.
Así, por analogía con el caso gravitacional, y usando una carga de prueba positivaq0 en un punto partivcular, se tiene
E= Fq0
. (28.2)
La dirección de E es la misma que la de F ya que q0 > 0. En el SI la unidad demedida es (N/C).
La figura 28.1 ilustra el campo eléctrico que actúa como intermediario en la inter-acción entre dos cargas. En la figura 1a, la carga q1 establece un campo eléctrico en elespacio que la rodea. El campo actúa sobre la carga q2, que resulta en la fuerza F2. Lafigura 1b muestra la situación simétrica.
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Figura 28.1
Estrictamente lo correcto es considerar
E= lımq0→0
Fq0
. (28.3)
Ejercicio 1. Se coloca a un protón dentro de un campo eléctrico uniforme E. ¿Cuál debeser la magnitud y dirección de la fuerza electrostática que actúe sobre el protón parabalancear justo su peso?
Solución. De la ecuación (28.2), reemplazando q0 por e y F por mg, se tiene
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E = Fq0
= mge
= (1.67×10−27kg)(9.8 m/s2)1.60×10−19C
= 1.0×10−7N/C
que apunta verticalmente hacia arriba.
28.3. El campo eléctrico debido a cargas puntuales
Sea q0 una carga de prueba positiva colocada a una distancia r de una carga puntual q.La magnitud de la fuerza que experimenta q0 debida a la presencia de q es
Figura 28.2
F = 14πε0
qq0
r2 .
La magnitud del campo eléctrico en el sitio en el que seencuentra q0 es
E = Fq0
= 14πε0
qr2 . (28.4)
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La figura 28.2 muestra la magnitud y dirección de E en varios puntos alrededor deuna carga puntual.
Cuando se tienen N cargas puntuales se aplica el principio de superposición paracalcular el campo eléctrico en un punto dado (diferente de la localización de las cargaspuntuales), de modo que E en el punto de interés es
E=E1 +E2 +E3 + . . .=N∑
i=1Ei. (28.5)
Ejercicio 2. En un átomo de helio ionizado (un átomo de helio en el que se ha eliminadoa uno de sus dos electrones), el electrón y el núcleo están separados por una distanciade 26.5 pm. ¿Cuál es el campo eléctrico debido al núcleo en la localización del electrón?
Solución. De la ecuación (28.4), con q0 (la carga total del núcleo) igual a +2e :
E = 14πε0
qr2 =
(8.99)×109 N ·m2
C2
) 2(1.60×10−9 C)(26.5×10−12 m)2 = 4.086×1012N/C.
Ejercicio 3. La figura 28.3 muestra una carga q1 =+1.5 µC y una carga q2 =+2.3 µC.La primera carga está en el origne del eje x y la segunda está en una posición x = L,donde L = 13 cm. ¿En cuál punto P, a lo largo del eje x el campo eléctrico es cero?
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E2 E1P
x
x
L
q1 q
2
Figura 28.3
Solución. El punto debe estar entre las posiciones de lascargas debido a que sólo en esta región las fuerzas ejercidaspor q1 y q2 sobre una carga de prueba se oponen mutuamente.Si E1 es el campo eléctrico debido a q1 y E2 el debido a q2,las magnitudes de estos vectores deben ser iguales, o
De la ecuación (28.4) se tiene que
14πε0
q1
x2 = 14πε0
q2
(L− x)2 ,
donde x es la coordenada del punto P. Resolviendo para x
x = L
1+√q2/q1
= 13cm
1+√2.3µC/1.5µC
= 5.8 cm.
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El dipolo eléctrico
zq
q
d
r
r
xxP
EE
Eq
q
q q
Figura 28.4
La figura 28.4 muestra una carga positiva y unanegativa de la misma magnitud, q, y separadasuna disdtancia d; a esta configuracion se le llamadipolo eléctrico. Se pretende calcular E en el puntoP, a una distancia x a lo largo del bisector perpen-dicular de la línea que pasa a través a las cargas.
E=E++E−.
E+ = E− = 14πε0
qr2 = 1
4πε0
qx2 + (d/2)2 , (28.6)
es la magnitud del campo.
Haciendo el desarrollo en forma vectorial: las posicines de las cargas son (0,d/2)para q+, (0,−d/2) para q− y (x,0) para el punto P. Así que
E= q4πε0
(xi− (d/2)j
[x2 + (d/2)2]3/2 − xi+ (d/2)j[x2 + (d/2)2]3/2
)= 1
4πε0
−qd j[x2 + (d/2)2]3/2 .
Como puede verse, coincide con el resultado que se muestra en la figura 28.4.
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Así, se define a p como el momento dipolar eléctrico:
p = qd. (28.7)
El momento dipolar eléctrico es una propiedad fundamental de las moléculas, quecon frecuencia tienen una carga positiva y una carga negativa de la misma amgnitud,separadas por una distancia definida.
En mcuhas ocasiones se observa al campo eléctrico de un dipolo desde puntos Pdesde una distancia x À d. Usando la expansión binomial
(1+ y)n = 1+ny+ n(n−1)2!
y2 + . . . ,
se puede aproximar
E = 14πε0
px3
1[x2 + (d/2)2]3/2 = 1
4πε0
px3
[1+
(d2x
)2]−3/2
= 14πε0
px3
[1+
(− 3
2
)(d2x
)2]
E = 14πε0
px3
[1+
(− 3
2
)(d2x
)2
+ . . .]
por lo que
E = 14πε0
px3 . (28.8)
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La figura 28.5 muestra la magnitud del campo eléctrico como función de la distancia.
1
0
10
E(x
) x10
-10x x10
2 3 4 5 6
24
68
Figura 28.5
Tal como se esperaba, a medida que crece la distancia entre P y el dipolo ambasexpresiones dan resultados cada vez más parecidos.
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28.4. Las líneas de fuerza
Michael Faraday no apreció el concepto del vector campo eléctrico pues lo considerabaen términos de líneas de fuerza.
1. Las líneas de fuerza indican la dirección del campo eléctrico en cualquier punto.
2. Las líneas de fuerza se originan en las cargas positivas y teminan en las negativas.
3. Las líneas de fuerza se trazan de manera que el número de líneas por unidad desección transversal (perpendicular a las líneas) sea proporcional a la magnituddel campo eléctrico.
28.5. El campo eléctrico debido a distribuciones continuasde carga
Aunque la carga eléctrica está cuantizada, una colección de un gran número de cargaselementales se puede ver como una distribución continua de carga.
El campo establecido por una distribución continua de cargas se puede calculardividiendo a la distribución en elementos infinitesimales dq. Cada elemento de carga
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establece un campo dE en un punto P, y el campo resultante se en P se encuentrausando el principio de superposicion, de modo que
E=∫
dE. (28.9)
En coordenadas rectangulares
Ex =∫
dEx, E y =∫
dE y y Ez =∫
dEz.
Por lo que
dE = 14πε0
dqr2 , (28.10)
donde r es la distancia entre el elemento de carga dq y el punto P.Una distribución continua de carga está descrita por su denisdad de carga.Si la carga está distribuida sobre una superficie:
dq =σdA, (28.11)
donde σ es la densidad superficial de carga.Si la distribución de carga es uniforme entonces σ es constante y
dq = qA
dA. (28.12)
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donde A es el área de la superficie total.Cuando la carga está distribuida en tres dimensiones se tiene que
dq = ρdV , (28.13)
donde ρ es la densidad volumétrica de carga.Si la distribución de carga es uniforme, entonces
dq = qV
dV . (28.14)
donde V es el volumen total.
En una distribución lineal, con densidad li-neal de carga λ se tiene
dq =λds, (28.15)
Si la distribución de cargas es uniforme en-tonces λ es constante y si L es la longituddel objeto
dq = qL
ds. (28.16)
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