245283181 Tecnicas Nodos y Mallas

7/25/2019 245283181 Tecnicas Nodos y Mallas

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Ingeniera Elctrica. Teora y problemas

1

Tcnicas de anlisis de circuitos

Los circuitos elctricos, ya sea de corriente directa o de corriente alterna sepueden estudiar con las mismas tcnicas de anlisis. Las leyes de Kirchoff secumplen en cualquier circuito, en todo momento, no importa su compleidad y las

componentes que forman parte del mismo. Las tcnicas ms utili!adas paraestudiar los circuitos son el anlisis de mallas, el anlisis de nodos, el principio desuperposici"n, la tcnica de transformaci"n de fuentes, el teorema de The#enin.

$qu se describirn todas las tcnicas y se aplicarn utili!ando circuitos demediana compleidad. Los programas de simulaci"n y estudio de los circuitoscomo %&pice, E'(, etc. utili!an alguna de estas tcnicas. La tcnica mas utili!adaes el anlisis de nodos que se puede aplicar a cualquier circuito ya sea planar o noplanar.

Anlisis de nodos

La tcnica de nodos es )til para estudiar circuitos

En el dominio del tiempo, circuitos donde se encuentran fuentes de poder

constantes en el tiempo y elementos puramente resisti#os.

En estado estable* esto es, circuitos bao la acci"n de una se+al de frecuencia

constante. En este caso, se utili!a el circuito equi#alente en el dominio de lafrecuencia y el mismo se construye reempla!ando las fuentes por el fasorcorrespondiente y los elementos pasi#os se reempla!an por su impedanciacorrespondiente.

En un circuito con n nodos se pueden encontrar n - ecuaciones de nodoindependientes, ya que todos los #oltaes de nodo siempre se miden o calculancon respecto a un nodo de referencia tierra/. &i el circuito tiene ne nodosesenciales, basta con ne 0 - ecuaciones para anali!ar el circuito. &e #er que esms con#eniente formular ne ecuaciones para los nodos esenciales.

Procedimiento para utilizar el anlisis de nodos

-. 1acer un diagrama del circuito limpio y claro. Indicar todos los #alores de loselementos y las fuentes. 2ada fuente debe de tener su smbolo de referencia.

3. Identificar y enumerar los nodos esenciales.

4. &eleccionar un nodo esencial como el nodo de referencia.

5. Identificar cada uno de los nodos esenciales restantes con un #oltae que habrde calcularse. Eemplo al nodo - se le asigna la #ariable 6-, al nodo 3 se leasigna la #ariable 63, y as sucesi#amente.


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10 4A

7. &i el circuito contiene solamente fuentes de corriente, aplicar la LK2 a losnodos esenciales identificados en el paso anterior e8cepto al de referencia/ yformular las ecuaciones correspondientes. $l aplicar la LK2, se debe deasignar un signo a las corrientes que entran al nodo y el signo contrario a lascorrientes que salen del nodo. En este curso, se asignara un signo positi#o a

aquellas corrientes que salen del nodo y un signo negati#o a aquellascorrientes que entran al nodo.

9. &i el circuito contiene fuentes de #oltae, formar un supernodo alrededor decada fuente. :n supernodo se forma con dos nodos y dichos nodos sonaquellos que estn conectados a una fuente de #oltae. Los #oltaes de nodoasignados no deben cambiarse. El supernodo proporciona dos ecuacionespara el anlisis del circuito; una ecuaci"n relacionando los #oltaes de los dosnodos conectados a la fuente de #oltae y la otra es una ecuaci"n que resultade aplicar la LK2 al supernodo.

Ejemplo 1

:tilice la tcnica de nodos para calcular la corriente que circula por las resistenciasdel circuito mostrado en la figura - y #erifique que se cumple la LK2 en cada nodo.

20

5A 40

?igura -

La corriente que pasa por la resistencia de 3@ Ahms es igual a la diferencia depotencial entre los nodos a los que est conectada la resistencia entre el #alor de

la resistencia Ley de Ahm; I=

v/.%or lo tanto es necesario calcular

Rprimeramente los #oltaes en los nodos esenciales.

Los pasos -, 3, 4 y 5 de la tcnica de nodos nos lle#an al circuito de la figura 3. Endicha figura, ya se han Identificado los nodos esenciales, se ha seleccionado a


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V120

V2

10 4A

uno como el nodo de referencia y se ha asignado un nombre a los otros nodosesenciales.

5A 40

?igura 3

%aso 7. &e aplica la LK2 a los nodos 6- y 63;En el nodo 6- se tiene que la fuente de 7 $ inyecta corriente al nodo y por lasresistencias de -@ y de 3@ circula una corriente que se obtiene utili!ando la ley deAhm. La ecuaci"n resultante es la siguiente

-5 +V

1

+V1 - V2 = 0

10 20es decir

3V1 - V2 = 100 -.-/

En el nodo 63 se tiene que la fuente de 5 $ inyecta corriente al nodo y por lasresistencias de 5@ y de 3@ circula una corriente que se obtiene utili!ando la ley deAhm. La ecuaci"n resultante es la siguiente

-4 + V2 -

V1

+V

2 = 0

20 40es decir

-2V1 + 3V2 = 160 -.3/

%aso 9; Bo aplica, ya que no hay fuentes de #oltae.

%aso


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80

V160V

- + V210

4A 20

La corriente que circula por la resistencia de 3@ Ahms I3@ C 63 6-/3@ C D


5/30

La aplicaci"n de la LK2 al supernodo nos genera la siguiente ecuaci"n

- 4 +V

1

+V2 +

V2 = 0

20 40 80es decir

4V1 + 3V2 = 320 -.5/

%aso


6/30

(Potencia generaa) =(Potencia ab!orvia)


7/30

+V-

Las potencias en las fuentes son

%5$ C 6I C 3@ 6oltios/ 5 $mperes/ C @'%9@6 C 6I C 9@ 6oltios/ 4 $mperes/ C -@'

%otencia total generada por las fuentes C 39@ '. $mbas fuentes generan potenciaporque la corriente sale por su terminal positi#a.

Las resistencias deben de consumir dicha potencia como puede #erse;

%3@J C 6I C 3@ 6oltios/- $mpere/ C 3@ '

%@J C 6I C @ 6oltios/- $mpere/ C @ '%-@J C 6I C 3@ 6oltios/3 $mpere/ C 5@ '%4@J C 6I C 9@ 6oltios/3 $mpere/ C -3@ '

%otencia consumida por las resistencias C 39@ '.

Anlisis de mallas

El anlisis de mallas se puede aplicar solo a redes planas. :na red plana esaquella donde ninguna rama se cru!a con otra rama. 2uando dos ramas secru!an, el circuito se tiene que construir en dos planos para e#itar el cruce de lascone8iones. En la figura 5 se muestra un eemplo de red no plana. En cambio, lared mostrada en la figura 4 es plana. La tcnica de mallas esta basada en elconcepto de malla, concepto que se defini" en el capitulo anterior. Ge hecho elconcepto de malla es una propiedad de los circuitos planos y no e8iste en uncircuito no plano.

?igura 5

Procedimiento para utilizar el anlisis de mallas

-. Gibuar claramente el circuito y asegurarse que es plano


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3. $sociar a cada malla una corriente, todas apuntando en la misma direcci"n yetiquetarlas como i-, i3, i4, >

4. En cada malla aplicar la LK6 y obtener una ecuaci"n de malla para cada malla.=ecorrer la malla en el sentido asignado a las corrientes i -, i3, i4, > y aplicar lasiguiente regla; $ todos los #oltaes en cada elemento de la malla, asignarle elsigno de la terminal que aparece primero, considerando que en un elementopasi#o la terminal por donde entra la corriente siempre es positi#a respecto a laterminal por donde sale la corriente. Las fuentes de #oltae tienen asignado elsigno en forma e8plicita. Ge aqu resultan tantas ecuaciones de malla como mallastenga el circuito. En aquellos elementos que forman parte de dos mallas, lacorriente que circula por ellos es igual a la diferencia de las corrientes asignadas alas mallas.

5. &i el circuito tiene fuentes de corriente, e8isten dos opciones;

a/ &i la fuente de corriente forma parte de una sola malla, entonces el #alor de lacorriente de malla asignada a dicha malla se obtiene directamente del #alor quetenga la fuente de corriente

b/ &i la fuente de corriente forma parte de dos mallas, formar una supermalla, queconsiste de las dos mallas de las que la fuente de corriente forma parte y de dichasupermalla obtener dos ecuaciones. :na ecuaci"n relaciona directamente las doscorrientes de malla con la fuente de corriente y la otra ecuaci"n se obtiene deaplicar la ley de Kirchoff a la supermalla.

$plicar a/ o b/ tantas #eces como fuentes de corriente formen parte del circuito.Ge las mallas que no contienen fuente de corriente se obtiene una ecuaci"naplicando la ley de Kirchoff de #oltaes.

5. Las ecuaciones de malla son independientes, ya que ninguna se puede obtener enfunci"n de la otra, de modo que si el circuito tiene n mallas, se tiene un sistema den ecuaciones con n inc"gnitas. En general la soluci"n se puede obtener utili!andoalguna de las tcnicas para resol#er sistemas de ecuaciones tal como el mtodode los determinantes, el mtodo de auss ordan, etc.

7. :na #e! que se tienen las corrientes de malla, para cada elemento del circuito sepuede obtener la corriente que pasa por ellos, se pueden calcular la diferencia depotencial en sus e8tremos, y tambin se puede calcular la potencia que consume

o absorbe. Es decir, se puede calcular cualquier parmetro elctrico.

Ejemplo 3

2onsidrese el circuito de la figura 7 y calcular, utili!ando la tcnica de mallas, lascorrientes que circulan por las tres resistencias y hacer un balance de potencia.


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+ -

-3

9 5

53 6 -@ 6

?igura 7

Solucin

%aso -! &e dibua el circuito y se asegura que es plano.

%aso 3. &e asigna una corriente de malla a cada malla. En este caso se tienen dosmallas y se supondr que i- pasa por la malla de la i!quierda e i3 pasa por la mallade la derecha. &upondremos adems que ambas corrientes circulan en el sentidode las manecillas del relo. 6ase la figura 9.

(9

25

G

+i-

i3 0

53 6

0

4 -@ 6

$ ? E

?igura 9

%aso 4. &e aplica la ley de Kirchhoff de #oltaes LK6/ a cada malla. La mallaasociada a i- se recorre en el mismo sentido que tiene la corriente y se obtiene

053 F 9i- F 4i- i3/ C @

Esta ecuaci"n tiene tres trminos, tantos como elementos forman parte de lamalla. La malla se recorre siguiendo la trayectoria cerrada $(2?$. En la rama $(,se tiene una fuente de #oltae 53 6/ y en la ecuaci"n se le asigna el signonegati#o porque es el signo que tiene la terminal conectada al punto $, que es elinicio del recorrido de la malla. El siguiente termino 9i -/ es el asociado a la rama(2, donde se tiene una resistencia de 9J y por donde solo circula la corriente i -.&e le asigna el signo positi#o porque de acuerdo con el sentido de la corriente, la


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parte de la resistencia conectada al nodo ( es positi#a respecto al nodo 2. Elsiguiente termino es 4i- i3/ y se le asigna el signo positi#o por la misma ra!"nanterior. $grupando trminos, la ecuaci"n anterior queda como

"i1 - 3i2 = 42 -.7/

$plicando la LK6 a la malla asociada a la corriente i3, y recorriendo la mallasiguiendo la ruta cerrada ?2GE?, se obtiene;

o bien

-3(i1 - i2 ) + 4i2 - 10 = 0

-3i1 + #i2 = 10 -.9/

%aso 5. =esol#iendo las ecuaciones -.7/ y -.9/ se obtiene i- C 9 $ e i3 C 5 $.

%aso 7. La corriente que pasa por la resistencia de 4 Ahms es i- i3 C 3 $. Lacorriente que pasa por la resistencia de 9 Ahms es 9 $* y la corriente que pasa porla resistencia de 5 Ahms es i3 C 5 $.El balance de potencia se reali!a de la misma manera que se hi!o en el eemplo 3.Tambin se debe de tener que


%otencia de las fuentes;%536 C 6I C 53/9/ C 373 '.

%-@6 C 6I C -@/5/ C 5@ '

2omo en ambas fuentes la corriente sale por la terminal positi#a, la potenciagenerada total % C 373 F 5@ C 3D3 '.

%otencia absorbida en las resistencias

%9J C 6I C I3= C 9/

39/ C 3-9 '

%4J C 6I C I3= C 3/

34/ C -3 '

%5J C 6I C I3= C 5/

35/ C 95 '.

%otencia absorbida total %$ C 3-9 F -3 F 95 C 3D3 '.

Ejemplo 4

a/ :tilice la tcnica de mallas para calcular las corrientes de malla en el circuitode la figura < y b/ haga un balance de potencia.


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1i2

3

&upermalla( 2 G

3

i-

E


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i- C D $i3 C 3.7 $i4 C 3 $

b/ El balance de potencia requiere que


%otencia en las fuentes. %ara esto, se necesita la diferencia de potencial en lafuente de corriente. El #oltae en el nodo est dado por

6 C < -i- i3/ C < 9.7 C @.7 6.

El #oltae en el nodo 1 est dado por

61 C I= C


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i1

i4

1 2

i2

21A

i3

1

4A4A

?igura

Solucin

#a$ &as mallas i2 e i3 'orman una supermalla!

#%$ Gel circuito se obser#a que en las mallas i1 e i3 los #alores de dichascorrientes estn dadas por

i1 ( 4 Amperes)3 ( 4 Amperes

En la supermalla se obser#a que i2* i3 ( 1! 2on esta ecuaci"n y el resultadoanterior" se obtiene que i2 ( 5 Amperes

$plicando la LK6 a la malla i5 obtenemos la ecuaci"n

+i1 +2i3 , 4i4 ( 0

=eempla!ando los #alores ya obtenidos para i- e i4 obtenemos que i4 ( 3 amperes

Trans'ormacin de 'uentes

La fuente ideal de #oltae se define como un dispositi#o cuyo #oltae entre susterminales es independiente de la corriente que circula a tra#s del mismo. :nafuente ideal de - #oltio entrega un ampere a una resistencia de - Ahm y -@@@,@@@

$mperes a una resistencia de - micro Ahm. En la realidad esta fuente no e8iste.Las fuentes prcticas tienen una cierta capacidad de entregar potencia. &i se lesrequiere una potencia mayor, el #oltae entre sus terminales decrece.

&up"ngase que e8perimentalmente se obser#a que una fuente mantiene unadiferencia de potencial de -3 #oltios entre sus terminales cuando no circula unacorriente a tra#s de ella circuito abierto/ y una diferencia de potencial de --#oltios cuando circula a tra#s de ella una corriente de -@@ $. Esta fuente puede


14/30

+

RSI

representarse por medio de un modelo ms e8acto que incluya la resistenciainterna cuyo #alor es tal que cuando le pasa una corriente de -@@ $mperes, entresus terminales aparece un #oltae de - 6oltio. Es decir, =& C @.@- J* a sta se leconoce como la resistencia interna de la fuente y siempre est presente en lasfuentes prcticas.

En la figura D se muestra una fuente prctica de #oltae que se define como unafuente ideal de #oltae en serie con una resistencia interna =&6.

=&6

V%

-

?igura D

La fuente ideal de corriente tampoco e8iste. Es decir no e8iste un dispositi#o queentregue una determinada cantidad de corriente independientemente del #oltaeentre sus terminales. 2iertos circuitos transistori!ados pueden entregar unacorriente que se mantiene constante para un amplio rango de #alores de la carga.La generaci"n de una potencia infinita es inalcan!able por las fuentes prcticas.

La figura -@ muestra una fuente de corriente prctica que se define como unafuente ideal de corriente en paralelo con una resistencia interna =&I

I&

?igura -@

2uando se conecta una carga a una fuente prctica de #oltae, se tiene el circuitomostrado en la figura --.


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+ IL +

- -

R ILSI

VL

RSI

=&6

V% =L

?igura --

Este circuito es el di#isor de #oltae que se estudi" en el capitulo anterior. El #oltaede la fuente se di#ide en dos #oltaes* el #oltae en las terminales de la carga y el#oltae en la resistencia interna de la fuente* es decir

V% = I&R%V + V& -.--/

donde IL es la corriente que fluye por la carga y 6L es el #oltae en las terminalesde la carga. El #oltae en circuito abierto 62$/ y la corriente en corto circuito I22/medidos desde la carga son;

V' = V% -.-3/

I'' = V%

R%V

-.-4/

%or otro lado cuando se conecta una carga a una fuente prctica de corriente setiene el circuito mostrado en la figura -3.

6L

I& =L

?igura -3

El circuito de la figura -- es el di#isor de corriente estudiado en el capitulo anterior.La corriente de la fuente se di#ide en dos componentes, la corriente a tra#s de lacarga y la corriente a tra#s de la resistencia interna de la fuente* es decir


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I% = I& +V&

R%I

-.-5/

Gonde IL es la corriente que pasa por la carga y 6 L es el #oltae en las terminalesde la carga. El #oltae en circuito abierto 62$/ y la corriente en corto circuito I22/medidos desde la carga son;

V'

= I%R

%I -.-7/

I'' = I% -.-9/

Las ?uentes de #oltae y de corriente prcticas son equi#alentes entre s cuando el

#oltae en circuito abierto y la corriente en corto circuito que se obser#an desde lacarga son iguales. Es decir, considerando las ecuaciones -.-3/ y -.-7/ se tiene

V% = I%R%I -.-


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+ VSRS

RS

80

60V

- +10

4A 20

=&

V%I% =

-

a/ b/

?igura -4

La fuente de #oltae 6& en serie con =& mostrada en la figura -3a es equi#alente a

la fuente de corriente

Ejemplo 5

I% =V

% en paralelo con =

R%

, mostrada en la figura -3b.

2onsidrese el circuito mostrado en la figura -5. :tilice la tcnica detransformaci"n de fuentes para calcular la corriente que circula por la resistenciade 4@ J.

30

?igura -5

Solucin

%aso -. %rimeramente se transforma la fuente de corriente en paralelo con laresistencia de 3@ J. Ge acuerdo con la ecuaci"n -.3@/, la fuente de #oltaeequi#alente es 6 C I= C 5/3@/ C @ 6. Gespus de reempla!ar la fuente decorriente, el circuito que queda se muestra en la figura -7.

&


18/30

80

80

2080

20-0.

+ ,10

/0. 30

?igura -7

%aso 3 El circuito de la figura -9, es equi#alente al circuito mostrado en la figura-7, en donde las fuentes de #oltae se han reempla!ado por una fuente cuyo #alores igual a la suma de los #oltaes ya que las fuentes en el circuito de la figura -5estn conectadas en serie.

20 10

140. 30

?igura -9

%aso 4. $hora la fuente de #oltae en serie con la resistencia de 3@J setransformara en una fuente de corriente. El #alor de dicha fuente de corriente, deacuerdo con la ecuaci"n -.3@/ es I C 6= C -5@3@ C < $. El circuito resultante semuestra en la figura -


19/30

?igura -


20/30

16

+

-

%aso 5. $hora, las resistencias de 3@ J y @ J se pueden reempla!ar por unaresistencia equi#alente que tiene un #alor de

Re = (20)(80)

20 + 80

= 16

El circuito simplificado se muestra en la figura -.

10

A 30

?igura -

%aso 7. Bue#amente, se hace una transformaci"n de fuente. La fuente decorriente en paralelo con la resistencia de -9 J se transforma en una fuente de#oltae cuyo #alor es 6 C I= C


21/30

RTHa

+

-

b

80

60V

- +10

4A20

La tcnica de transformaci"n de fuentes tiene un n)mero indefinido de pasos. Eln)mero de pasos depende de la compleidad del circuito. &in embargo, lle#ado acabo en forma sistemtica se con#ierte en una tcnica muy segura.

Euialente de Teenin

=L

a/

6T1

=L

b/

?igura 3@

Gado cualquier circuito lineal, compuesto de fuentes y resistencias y dadas dosterminales a0b en el mismo circuito, desde las cuales est conectada o se puedeconectar una carga =L #ase la figura 3@a/, el equi#alente The#enin de dichocircuito se construye con una fuente de #oltae independiente 6T1 en serie con unaresistencia =T1. Esta combinaci"n en serie de 6T1 y =T1 es equi#alente al circuitooriginal. En la figura -Da se muestra la carga =L conectada a un circuito y en lafigura 3@b se muestra el circuito equi#alente, tambin llamado circuito equi#alentede The#enin. Esta equi#alencia significa que la carga =L tiene entre sus terminalesla misma diferencia de potencial y le circula la misma corriente en el circuitooriginal y en el circuito equi#alente. El #alor de la fuente 6T1 es igual al #oltae en

circuito abierto que se mide en las terminales a0b y =T1 C 6T1I22, donde I22 es lacorriente en corto circuito que se mide en las terminales a0b.

M2"mo calcular 6T1, I22N &e desarrollar un eemplo para ilustrar la respuesta.

30

?igura 3-

2ircuito elctrico

a

b


22/30

V160V

- + V210 a

4A 20 80

b

Ejemplo -

&upongamos que se quiere obtener el circuito equi#alente del circuito mostrado enla figura 4, que se reproduce en la figura 3-, #isto desde la resistencia de 4@ J.

Primer paso. &e 2alcula el #oltae en circuito abierto. %ara calcular el #oltae encircuito abierto #oltae de The#enin/, se quita la resistencia =L C 4@ J/ y queda elcircuito mostrado en la figura 33.

&upernodo

?igura 33

El #oltae en circuito abierto entre las terminales a0b es igual al #oltae 6 3 ya que la

corriente por la resistencia de -@ Ahms es cero. Gebido a la fuente de #oltae, losnodos 6- y 63 forman un supernodo y como se #io en el eemplo 3, las ecuacionesasociadas al supernodo son

V2 - V1 = 60

-4 +V

1 +V

2 = 0

es decir20 80

56- F 63 C 43@

=esol#iendo se obtiene 6- C 736 y 63 C --36. Esto es 6T1 C --36.

Seundo Paso. 2lculo de la corriente en corto, I22. %ara este fin, se pone encorto a las terminales a0b, quedando el circuito mostrado en la figura 34.


23/30

80

b

VA60V

- + VB10 a

4A 20

&upernodo

?igura 34

B"tese primero que I22 C 6(-@. %ara calcular 6( se formulan de nue#o lasecuaciones de nodo para 6$ y 6(, considerando que se tiene un supernodo. Lasecuaciones del supernodo son

V - V = 60 -.3-/

-4 +V

+V +

V = 0

20 80 10

Esta )ltima se puede rescribir como

4V + "V = 320 -.33/

=esol#iendo las ecuaciones -.3-/ y -.33/, se obtiene que 6( C 79@-4 #oltios.%or lo tanto I22 C 6(-@ C 79-4 $mperes. La resistencia de The#enin =T1 C 6T1I22C 39 Ahms.

%or lo tanto, el circuito The#enin equi#alente O#istoP desde la resistencia de 4@ Jes el que se muestra en la figura 35.

Absr#ese que por la resistencia de 4@ J pasa una corriente de --379F4@/ C 3$mperes. La misma corriente que pasa por dicha resistencia en el circuito original

6ase el eemplo 3/.


24/30

20 80

b

39a

+

--36

0

4@

b

?igura 35

Alternatia para calcular T6

La resistencia de The#enin tambin puede calcularse mediante la Oeliminaci"n delas fuentesP. Esta tcnica consiste en reempla!ar las fuentes de #oltae por uncorto circuito y las fuentes de corriente se reempla!an por un circuito abierto.

$plicando esto al circuito de la figura 33, se obtiene el circuito mostrado en lafigura 37.

10 a

?igura 37

La resistencia medida desde las terminales a0b que es igual a =T1 es

R* = 10 + (20)(80)

20+80

= 26

Qismo resultado que se obtu#o anteriormente.


25/30

V13

V23V

- + V

+

- 6V1A

V0 = 0V

Pro%lemas

Pro%lema 1! En el circuito de la figura 39, a/ utilice el anlisis de nodos paraencontrar los tres #oltaes de nodo b/ 1aga un balance de potencia

2

3

-

?igura 39

&oluci"n; 6- C 96, 63 C 56, 64 C


26/30

4AV2

-2A

50 40

+

100 Vx 10A

-

V0 = 0

20

.1.3

25

?igura 3

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