[2017] PRINCIPIOS DE ESTADISTICA - vet.unicen.edu.ar · [2017] PRINCIPIOS DE ESTADISTICA Lic. Tec....

[2017]

PRINCIPIOS DE ESTADISTICA Lic. Tec. de los Alimentos. FCV-UNCPBA

Parte Práctica Guía de ejercicios. Hojas de fórmulas y tablas

Edgardo Rodriguez, Juan Passucci, Rosana Cepeda, Marcelo Rodriguez

PRINCIPIOS DE ESTADÍSTICA

Lic. en Tecnología de los Alimentos - 2017

2

Cronograma 2017

Fecha Actividad Tema

18/8/2017 Teórico-Práctico 1 Introducción y Medidas de Tendencia central

25/8/2017 Teórico-Práctico 2 Medidas de dispersión

1/9/2017 Teórico- Práctico 3 Probabilidades

8/9/2017 Teórico-Práctico 4 Modelos probabilísticos

15/9/2017 Teórico-Práctico 5 Muestreo. Inferencia Estadística

22/9/2017 1er PARCIAL

29/9/2017 Rec. 1er PARCIAL

Teorico Test de hipótesis

6/10/2017 Olimpíadas

13/10/2017 Teórico-Práctico 6 Diseño de ensayos. Test "t" y “z”

20/10/2017 Sin actividad

27/10/2017 Teórico-Práctico 7 Regresión y Correlación

3/11/2017 Teórico-Práctico 8 Control de calidad

10/11/2017 2do PARCIAL

17/11/2017 Rec. 2do PARCIAL



3

Trabajo Práctico Nº 1

Resumen de datos y Medidas de Tendencia Central (MTC)

Ejemplo: Un experimentador realiza 55 observaciones de una variable "X", en una muestra tomada en forma aleatoria, obteniendo los siguientes datos:

1 4 7 2 5 5 4 6 9 2 6 3 2 4 3 5 2 4 7 4 5 5 4 6 3 4 3 6 4 3 5 1 4 7 4 5 3 3 4 5 4 3 5 5 1 6 8 5 3 6 3 4 4 2 4

1. Calcular la media aritmética

n

x

x

n

i

i 1 = 218.4

55

232

55

42442741

Si los datos están organizados en una tabla de frecuencia, tendríamos:

X Frecuencia

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada

Frec. rel. acumulada (%)

fi xi

1 3 0.055 3 5.45 3

2 5 0.091 8 14.55 10

3 10 0.182 18 32.73 30

4 15 0.273 33 60.00 60

5 11 0.200 44 80.00 55

6 6 0.109 50 90.91 36

7 3 0.055 53 96.36 21

8 1 0.018 54 98.18 8

9 1 0.018 55 100 9

Total 55 1.000 232

n

xf

x

n

i

ii

1 = 218.455

232

55

918173665114153102513

2. Calcular la mediana

a) Ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).

1º 2º 3º 4º 5º 18º 19º 27º 28º 29º 33º 34º 53º 54º 55º

1 1 1 2 2 3 4 4 4 4 4 5 7 8 9

b) Calcular el orden de la mediana Mdº.

º282

155

2

1nMdº

c) Ubicar el valor de la mediana: Md=4 3. Calcular el modo o moda: Mo=4



4

Guía teórica. 1) Concepto y utilidad de las medidas de tendencia central. 2) Mencione las ventajas y desventajas de la media aritmética, mediana y del modo 3) Propiedades de la media aritmética. Ejercicios

1.1 Clasificar en cualitativas y cuantitativas las variables que intervienen en cada uno de los

siguientes estudios.

a) Alimento favorito en un criadero de gatos.

b) Número de animales enfermos de brucelosis en los 50 establecimientos ganaderos mas

importantes de la pcia de Buenos Aires.

c) Tipo de manejo pastoril (pasturas implantadas y/o pastizales campos naturales) en varios

establecimientos agropecuarios.

d) Litros de leche producidos diariamente en un tambo.

e) Tiempo en horas de pastoreo del ganado ovino de un establecimiento.

f) Ganancia de peso de un lote de pollos parrilleros.

g) Peso de frutas de producción orgánica del establecimiento “YYY”.

h) Número de animales vendidos diariamente a un frigorífico

i) Temperaturas registradas cada hora en una cámara.

j) Numero de lesiones que sufre un animal al ser transportado.

k) Cantidad de agua que consume un grupo de animales

l) Peso al destete de terneros

m) Edad, en meses de los cachorros de un criadero.

n) Número de colmenas por apiario en el partido de Tandil.

1.2 Los siguientes datos corresponden al número de vacas preñadas en 20 establecimientos de cría de la pcia. de Buenos Aires. 150, 200, 150, 180, 220, 130, 130, 160, 150, 190, 180, 150, 160, 200, 160, 150, 180, 160, 140, 130. a) ¿Qué tipo de variable es? b) Construir la tabla de distribución de frecuencias y realizar un gráfico acorde. Calcular la media, mediana y moda.

1.3 En una veterinaria pequeña de la ciudad de Tandil se tomaron los siguientes datos,

correspondientes al N° de cachorros vacunados contra parvovirus, de cada sexo de los últimos

5 años.



5

Año Machos Hembras

2010 32 43

2011 27 24

2012 29 32

2013 29 31

2014 31 31

a) Calcular la frecuencia relativa para los datos correspondientes a los machos y a las

hembras.

b) Graficar los datos.

c) Calcular el promedio por sexo

1.4 Calcular la media, mediana y moda en las siguientes distribuciones de frecuencias e interpretarlas.

xi (nro de lactancias) 1 2 3 4 5 xi (días de tratam) 61 64 67 70 73

fi (animales) 10 12 7 7 3 fi 5 18 42 27 8

1.5 Los siguientes datos corresponden a observaciones realizadas sobre el % de grasa en leche de 48 vacas Jersey. La distribución se presenta por intervalos de clases:

% grasa 3.4-3.6 3.6-3.8 3.8-4 4.0-4.2

Nº de vacas 5 15 20 8

a) Realizar el histograma y el polígono de frecuencia b) ¿Qué porcentaje de vacas han dado grasa en leche en el intervalo: [3.6 ; 4)?

1.6 Representar gráficamente la siguiente distribución de frecuencias, calcular e interpretar el promedio, si la variable corresponde a los minutos que los animales tardan en comer una misma ración de alimento. 1.7. Los siguientes son datos de asesoramiento a establecimientos procesadores de alimentos

en el partido “H”

LIC.TEC.ALIM, NINGUNO, VETERINARIO, TEC.ALIM, OTROS, OTROS, NINGUNO, TEC.ALIM, NINGUNO, VETERINARIO, NINGUNO, VETERINARIO, NINGUNO, LIC.TEC.ALIM, LIC.TEC.ALIM, LIC.TEC.ALIM, VETERINARIO, NINGUNO, NINGUNO, VETERINARIO, NINGUNO, LIC.TEC.ALIM, VETERINARIO, NINGUNO, NINGUNO, VETERINARIO, NINGUNO, NINGUNO, LIC.TEC.ALIM,

X Fi

0-10 22

10-20 26

20-30 92

30-40 86

40-50 74

50-60 27

60-70 12



6

NINGUNO, VETERINARIO, VETERINARIO, NINGUNO, NINGUNO, LIC.TEC.ALIM, NINGUNO, VETERINARIO, NINGUNO, VETERINARIO, NINGUNO, TEC.ALIM, NINGUNO, OTROS, VETERINARIO, LIC.TEC.ALIM, NINGUNO, NINGUNO, OTROS, LIC.TEC.ALIM, VETERINARIO, NINGUNO, VETERINARIO, NINGUNO, OTROS, NINGUNO, NINGUNO, VETERINARIO, LIC.TEC.ALIM, NINGUNO, VETERINARIO, OTROS, NINGUNO, VETERINARIO, LIC.TEC.ALIM, a) Presente la información en una tabla, calcular frecuencia absoluta y relativa. b) Realice el gráfico que considere apropiado.



7


Resumen de datos. Medidas de Dispersión Ejemplo: Cálculo la variancia (con los datos del ejemplo del TP Nº 1)

X f (x - x ) (x - x )2

f . (x - x )2

1 3 -3.218 10.356 31.067

2 5 -2.218 4.920 24.598

3 10 -1.218 1.484 14.835

4 15 -0.218 0.048 0.713

5 11 0.782 0.612 6.727

6 6 1.782 3.176 19.053

7 3 2.782 7.740 23.219

8 1 3.782 14.304 14.304

9 1 4.782 22.868 22.868

Total 55 157.382

218.41

n

xf

x

n

i

ii

914.254

382.157

155

868.221304.141920.45356.103

1

)(

ˆ)(var 1

2

22

n

xxf

Sx

n

i

i

Guía teórica 1) Concepto y utilidad de las medidas de dispersión. 2) Propiedades de la variancia 3) Utilidad del coeficiente de variación 4) Que es el error estándar (e.e.) Ejercicios 2.1 Los siguientes datos corresponden al peso en gramos de una partida de 30 quesos:

1130 980 1130 1130 980 1130 1130 980 1220 1220

1100 1220 1150 1100 1220 1100 1100 1150 1180 1180

1150 1180 980 1180 1180 1150 1150 980 1100 1100 a) Calcular: Media, Rango, Variancia y Desvío estándar. b) Representar gráficamente la frecuencia simple y acumulada. c) Calcular la variancia del promedio. 2.2 Con los datos del ejercicio 1.3, calcule: a) el desvío estándar, el rango y el coeficiente de variabilidad para todo el conjunto de observaciones. b) el desvío estándar, el rango y el coeficiente de variabilidad para cada grupo.



8

2.3. En lote de de 50 hormas de queso fue registrado el peso en gr. y la altura en cm. Obteniendo los siguientes valores:

Variable Promedio Variancia

Altura 9.6 3.6864

Peso 380 1444

El lote estudiado es más homogéneo para el peso o para la altura? 2.4. Dados los siguientes datos:

4120 4100 4950 4840 4848 4815 4970 5210 4735 5125 a) Calcular la media aritmética y la mediana. b) Calcular el rango, la variancia y el desvío estándar c) Calcular el coeficiente de variabilidad. 2.5. Divida los datos del problema 2.4 por un constante k = 10 a) Calcular la media aritmética y la mediana, para el nuevo conjunto de datos. b) Calcular el rango, la variancia y el desvío estándar, para el nuevo conjunto de datos. c) Calcular el coeficiente de variabilidad, para el nuevo conjunto de datos. d) Compare los valores obtenidos con los resultados del problema 2.4 y concluya. 2.6. A los datos del problema 2.4 réstele una constante c=4000 a) Calcular la media aritmética y la mediana, para el nuevo conjunto de datos. b) Calcular el rango, la variancia y el desvío estandar, para el nuevo conjunto de datos. c) Calcular el coeficiente de variabilidad, para el nuevo conjunto de datos. d) Compare los valores obtenidos con los resultados del problema 2.4 y concluya.



9


Probabilidades Ejemplo Una urna contiene 15 bolillas: 5 blancas, 4 rojas y 6 negras. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolilla blanca o negra?

733.04.0333.015

6

15

5)()()( negraPblancaPnegraoblancaP

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolillas rojas con reposición?

071.0267.0267.015

4

15

4)()()2( rojaProjaProjasP

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolillas rojas sin reposición?

057.0214.0267.014

3

15

4)/()()2( rojarojaProjaProjasP

Guía teórica: 1. Concepto de espacio muestral y evento. 2. Concepto clásico de probabilidades. 3. Concepto frecuencial de probabilidades. 4. Definición axiomática de la probabilidad (Kolmogorv, 1937). 5. Leyes de Laplace 6. Concepto de variable aleatoria. Ejercicios 3.1 a) Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio. b) Se lanza una moneda dos veces y se observa que salió, escribir el espacio muestral. ¿Cuántos elementos tiene? c) Se extraen dos bolillas de una urna que tiene una bolilla blanca, una roja, una verde y otra negra. Escribir el espacio muestral si: c.1 la primera bolilla se devuelve a la urna antes de sacar la segunda (con reposición) c.2 la primera bolilla no se devuelve a la urna (sin reposición) 3.2 Sean A y B dos conjuntos de eventos en el espacio muestral S1 y C y D dos conjuntos de eventos en el espacio muestral S2. Marque en los esquemas los siguientes conjuntos: S1 S2 S1 S1 B D B B A C A A

Ba)A Db)C BAc) BAd)

3.3 Una urna contiene 12 bolillas: 5 blancas, 4 rojas y 3 negras. Otra urna contiene 18 bolillas: 5 blancas, 6 rojas y 7 negras. Se retira una bolilla de cada urna.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolillas rojas? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolillas: una blanca y otra negra? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolillas del mismo color? d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolillas de distinto color?



10

3.4 Sea el experimento aleatorio que consiste en arrojar dos dados equilibrados. a) Calcular la probabilidad de que los números de las caras superiores de ambos dados:

i) sumen más de 5 (cinco). ii) sumen menos de 10 (diez). iii) sumen 6 (seis). iv) sumen entre 5 y 8 (inclusive).

3.5 En una jaula que contiene 1animal blanco, 3 marrones y 2 negros, se extraen dos animales para llevar a una exposición: a) Describa todos los pares posibles b) Calcule la probabilidad de que se expongan un animal blanco y uno negro. c) Calcular la probabilidad de que los dos extraídos sean marrones. 3.6 De una jaula que contiene 10 animales blancos, 30 marrones y 15 grises. Hallar la probabilidad: a) de extraer al azar dos animales, uno blanco y otro gris, sin reposición. b) de extraer al azar dos animales, uno blanco y otro gris, sin reposición en ese orden. c) de extraer al azar dos animales, uno blanco y otro gris, con reposición. d) de extraer al azar dos animales, uno blanco y otro gris, con reposición en ese orden. e) de extraer tres animales marrones con reposición. 3.7 Se lanza un dado 3 veces. Calcularla probabilidad de obtener 2 veces el seis. 3.8 Calcular la probabilidad de sacar a lo sumo una cara si se arroja una moneda tres veces. 3.9 En un campo hay 20 animales, ocho están bajo un tratamiento. Hallar la probabilidad de extraer al menos un animal que está siendo tratado: a)Si se selecciona dos animales. b) Si se extraen tres animales.



11


Modelos Probabilísticos Ejemplo 1: El peso promedio de una producción de queso es de 150 Kg. y una variancia de 400. Asumiendo normalidad. ¿Cuál es el porcentaje de individuos que pesan más de 140 Kg.?

Z= 5.020

10

20

150140

x 5.0 =0.30854

P(x 140)=1- 5.0 =1 - 0.30854=0.69146 69.15 %

Ejemplo 2: Se sabe que el 50% de cierta producción es defectuosa. Si una máquina elabora 6 productos por hora. Calcular la probabilidad de que solo 2 sean defectuosos en una observación de una hora cualquiera. Dado que se cumplen las características de un modelo binomial, podemos estimar la probabilidad como sigue:

P(X)= n

x n xp qx n x!

! !. .

donde: n=6 x=2 p=0.5 q=0.5 entonces

P(x=2)= 2344.00625.025.0155.05.0123412

1234565.05.0

)!26(!2

!6 42262

Ejemplo 3: En una experiencia realizada en una plantación de girasol sometida a polinización un investigador estimó que el promedio de visitas fue de 15 abejas por hora y por capítulo. Calcular la probabilidad de que una planta reciba 10 abejas en 1 horas Asumiendo que la variable tiene distribución de Poisson podemos calculara la probabilidad como

sigue: P(X=k)= !k

ek

si: 15 y X=10, entonces

P(X=10)=04861.0

!10

15 1510

e

Guía teórica: 1) Concepto de distribución de probabilidades y distribución de frecuencias. 2) Características de la distribución Binomial. 3) Características de la distribución Normal. 4) Concepto de Esperanza Matemática. 5) Propiedades del operador esperanza. 6) Propiedades de la variancia.



12

Ejercicios 4.1. El peso promedio de un lote de novillos es de 150 Kg. y una variancia de 400. Asumiendo normalidad. a) ¿Cuál es el porcentaje de individuos que pesan más de 168 Kg.? b) ¿Qué porcentaje de animales se encuentra entre 145 y 160 Kg.? c) ¿Cuál es el porcentaje de individuos que pesan menos de 128 Kg.? 4.2. Sabiendo que el 20 % de los productos de cierto establecimiento son defectuosos, calcular la probabilidad de que al examinar 4 productos:

i) Que todos sean defectuosos. ii) Que un producto sea defectuoso. iii) Cuál es el número de defectuosos esperados en una muestra de 50 productos.

4.3. El número de larvas encontradas en 1000 muestras de pasto fueron las siguientes: a) Asumiendo que la variable tiene una distribución Poisson, calcule el valor esperado para la variable X. b) ¿Qué porcentaje de muestras estarán libres de larvas? c) Calcule la probabilidad de encontrar 1 larva d) ¿Qué porcentaje de muestras tendrán más de una larva? e) Calcule la variancia para la variable X. 4.4 En un programa de monitoreo se muestrean tambos y en cada uno se toma una muestra al azar de 8 vaquillonas y al realizar el tacto se registra el evento preñada o vacía. Considerando como éxito a la preñez y suponiendo que la probabilidad de éxito para cada vaquillona es 0.75: a) Construya la función de probabilidad y de probabilidad acumulada para la variable número

de vacas preñadas. b) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de las 8 vaquillonas estén preñadas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 5 de las 8 vaquillonas estén preñadas? d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 7 de las 8 vaquillonas estén preñadas?

4.5 En el año 2005 en una granja de las proximidades de Tandil, el 80% de las cerdas en celo fueron inseminadas con éxito. ¿Cuál es la probabilidad de que se inseminen con éxito al menos 2, si se selecciona un grupo de 5 cerdas al azar?

4.6 En un estudio sobre la efectividad de un insecticida contra cierto insecto se roció un área grande de tierra. Posteriormente, se examinó el área en relación con los insectos vivos, seleccionando por metro cuadrado. Experiencias anteriores han demostrado que el número promedio de insectos vivos por metro cuadrado, después de haber rociado, es de 0,6. Si el número de insectos vivos por metro cuadrado se distribuye según Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que un metro cuadrado elegido al azar contenga:

a) Exactamente un insecto vivo. b) Ningún insecto vivo. c) Tres o más insectos vivos.

X 0 1 2 3 4

frecuencia 670 268 54 7 1



13

4.7 Suponiendo que el peso al destete de la raza Hereford en la Argentina sigue una distribución normal con peso promedio de 160Kg, y un desvío de 5kg. Calcular:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, si se selecciona un animal al azar, tenga un peso: a) inferior a 158 kg b) Más de 165 kg c) entre 158 y 165 kg. d) Si se tiene una muestra de 65 animales, ¿cuántos se espera que pesen entre 150 y 170kg?

4.8 Se sabe que la concentración media de NH3 en sangre venosa de individuos sanos en una distribución normal es de 110 mgr/mm y que la concentración de NH3 del 99% de los individuos se encuentra entre 85 y 135 mgr/mm. Calcular:

a) El desvio de la distribución.

b) Si un individuo tiene concentración de 125 mgr/mm, ¿ qué porcentaje de la población es superior a este individuo?

c) Si un individuo tiene concentración de 90 mgr/mm, ¿qué porcentaje de la población es inferior a este individuo?



14

Trabajo Práctico Nº 5 Muestreo – Inferencia estadística Ejemplo 1: Se supone que una vacuna no produce anticuerpos en el 14% de los animales. ¿Cuantos animales deberán muestrearse para detectar el porcentaje de animales sin anticuerpo, con una confianza del 95% y una certeza del 20% (del porcentaje supuesto)?

n=

96.589000784.0

462528.0

028.0

86.014.096.11.2

2

2

2

D

ppZ

Por lo tanto se deberá muestrear 590 animales. Guía teórica: 1) Defina población y muestra. 2) Factores que intervienen en el tamaño de la muestra 3) Tipos de muestreos. 4) Concepto de parámetro 5) Estimación puntual. Definición de estimador 6) Concepto de estimación por intervalo de confianza. 7) Responder: a) ¿Cuál tiene mayor amplitud, un intervalo de confianza al nivel 0.95 ó 0.99?

b) ¿Cuál es el efecto del tamaño muestral sobre la amplitud de un intervalo de confianza? Ejemplo 2: Para estimar el contenido vitamínico de un alimento se tomó una muestra de

tamaño 30 y se determinó que x 35 mg y S =7.

a) Construir los un intervalo de confianza del 95% para .

P

1..

21,

21, n

Stx

n

Stx

glgl

477.5

7.045.235

30

7.045.235

614.235278.1.045.235

614.37386.32

b) Construir los un intervalo de confianza del 95%. para 2.

P

1.1.1

2

),(

22

2

)1,(

2

22glgl

X

Sn

X

Sn

047.16

4929

722.45

7130 22

047.16

1421

722.45

1421 2

552.88079.31 2



15

Ejercicios 5.1. Se supone que el nivel de hemoglobina en varones de 11 años se distribuye normalmente

con una = 1.209 gr./100 ml. ¿Qué tamaño de muestra se deberá tomar para estimar la media de la población, con aproximación de 0.1 gr./100 ml., con una probabilidad del 95 %? 5.2. En una región ganadera se supone que la probabilidad de tener cierta enfermedad es del 18%. ¿Cuál sería el tamaño muestral requerido para que la probabilidad encontrada en la muestra no difiera de la verdadera en un 20 %, con un 95 % de confianza? 5.3 Se toma al azar una muestra de 20 hormas de queso entre todas las producidas por una fábrica durante un día determinado, las cuales tienen un diámetro medio de 35 cm. Si la varianza de los diámetros es de 4 cm

2. Determinar intervalos del 95% y 99% para el diámetro

medio de todas las hormas. 5.4 Con el fin de estudiar el efecto de los rayos X sobre la viabilidad huevo-larva en “Tribolium castaneum” (gorgojo de la harina) se irradiaron 1000 huevos de los que resultaron 572 larvas. Hallar un intervalo de confianza para la proporción de larvas en huevos irradiados con un nivel de confianza del 0.95. 5.5 La producción diaria de un cierto producto en una planta de productos químicos sigue una distribución normal. Se registra la producción durante 50 días y se obtiene una media de 871 kg. y un desvío de 21 kg. a) Calcule el intervalo de confianza del 90 % para la media de la población.

b) Construir un intervalo de confianza para 2 con un nivel de confianza de 0,95.

c) ¿Qué tamaño de muestra se debería tomar si se desea que el error de estimación sea a lo sumo 4 kg. con probabilidad 0,95?

5.6 Los siguientes datos corresponden al porcentaje de animales bovinos, ovinos, porcinos y

caprinos registrados en diferentes ciudades de La Rioja. Calcular un intervalo de confianza para el porcentaje promedio de cada uno de los animales. Trabajar con un 95% y un 99% de confianza, comparar los valores obtenidos por tipo de animal.

Departamento Bovinos Ovinos Porcinos Caprinos

Arauco 18.13 9.61 11.53 60.73

Capital 67.03 1.57 9.65 21.76

Castro Barros 56.26 4.53 5.60 33.61

Chamical 55.36 6.60 1.55 36.49

Famatina 41.64 23.09 10.14 25.13

G.Angel Vicente Peñaloza 14.65 3.69 0.47 81.18

G.San Martín 59.94 2.29 1.34 36.42

Independencia 55.10 4.62 0.08 40.20

Rosario Vera Peñaloza 47.35 1.26 0.34 51.04

San Blas de los Sauces 25.17 60.01 2.63 12.19

Sanagasta 80.89 4.95 3.48 10.68

Vinchina 17.74 52.47 0.39 29.41



16

Trabajo Práctico Nº6

Pruebas de significación de "z" y “t". Ejemplo Una planta química ha producido un promedio diario de 880 toneladas (t) durante los últimos años. A la gerente de control de calidad le gustaría saber si este promedio ha cambiado en los meses recientes Selecciona al azar 50 días de la base de datos y calcula el promedio y desviación estándar, con x =871 t y s=21t, respectivamente. Pruebe la hipótesis apropiada con

050α . . 1) La hipótesis nula y alternativa son: H0: 880μ , Ha: 880μ

2) Estadístico: Test de “z”

zHo =

n

σ

μx

σ

μx 0

x

0

3) Nivel de confianza:

(1-) 100 95 % 0.05 4) Regla de decisión:

961zo961zz 0H0250Ho ...

5) Cálculo del estadístico

zHo = 033

50

21

880871z

0H.

zHo=-3.03 (P= 0.0122)

6) Conclusión: La evidencia estadística permite rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto la gerente puede concluir que la situación ah cambiado en los últimos meses. Guía teórica: 1) Características de la distribución normal 2) Características de la distribución de Student 3) Pasos para realizar un Test de Hipótesis. 4) Concepto de grados de libertad (gl). 5) Concepto del valor P



17

Ejercicios 6.1. En una muestra aleatoria de 12 quesos se mide la humedad que posee (en unidades convenientes). Los registros son los siguientes: 12.1 11.9 12.4 12.3 11.9 12.1 12.4 12.1 11.9 12.4 12.3 12.0 a) Probar la hipótesis que la humedad poblacional del queso es de 12.5 unidades de humedad, con una confianza del 95%. b) Indique cual de las afirmaciones es correcta: i) P>0.05 ii) P<0.05 6.2. Los siguientes datos corresponden a los valores de proteína en leche registrados de la producción de leche de 13 animales

3.61 3.22 3.59 3.32 3.56 3.67 3.71 3.61 3.33 3.71 3.45 3.69 3.46 El dueño del establecimiento asegura que sus animales producen leche con un porcentaje de proteína superior a 3.6, decidir con un 95% de confianza si esto es cierto. 6.3Los valores abajo tabulados corresponden a los porcentajes de proteínas de 10 muestras de alimento para perros, medido por dos métodos diferentes.

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Método I 18.0 18.5 21.5 16.5 18.5 16.0 20.0 24.0 17.5 16.5

Método II 18.0 16.0 18.5 13.5 16.0 15.0 21.0 19.5 16.0 16.0

a) Ambos métodos son iguales? b) Indique cual de las afirmaciones es correcta: i) P>0.05 ii) P<0.05 6.4 Una fábrica de café instantáneo indica en las etiquetas de sus envases que el contenido de cada lata es de 250 gr. Una muestra al azar de 36 latas rindió un contenido promedio por lata de 246 gr. y una desviación estándar de 12 gr. a) ¿Pueden las autoridades respectivas denunciar que la fábrica está incumpliendo con su afirmación? b) Indique cual de las afirmaciones es correcta: i) P>0.05 ii) P<0.05 6.5 Se sospecha que una nueva medicina es eficaz en menos del 90% para curar cierta enfermedad, pero el laboratorio que la fabrica cree que es efectiva por lo menos en un 90%. En una muestra aleatoria de 400 personas que tenían la enfermedad, 320 se curaron con la aplicación de la medicina. ¿Se ha de concluir que la medicina es eficaz por lo menos en un 90%

a = 0,05 ? (Sugerencia : H0 : p 0,9) a) Indique cual de las afirmaciones es correcta: i) P>0.05 ii) P<0.05 6.6 Con el fin de determinar el efecto de un suplemento nutricional durante la etapa de cría de lechones se realizó una prueba experimental con animales provenientes de 1 criadero. Se tomaron 24 animales y se los dividió al azar en 2 grupos de 12 animales cada uno,



18

administrándoles al grupo A una ración estándar y al otro grupo (B) una ración + un suplemento nutricional. Para cada lechón se determinó la ganancia diaria de peso (kg) durante el ensayo que se presenta en la siguiente tabla:

A 0.52 0.64 0.50 0.65 0.66 0.74 0.50 0.80 0.70 0.61 0.68 0.55

B 0.60 0.66 0.49 0.70 0.81 0.70 0.58 0.86 0.70 0.63 0.74 0.60

Realice una Prueba de Hipótesis para determinar si el suplemento nutricional tiene efecto sobre la ganancia diaria de peso de los lechones, con = 0.01. ¿El p-valor de la prueba es superior a 0.05? Señale en la distribución que corresponda. 6.7 Con la intención de analizar si la producción de leche difiere sustancialmente según el momento de ordeñe, se registran los siguientes datos que corresponden a la producción de leche de 15 animales registrados a la mañana y a la tarde, comparar la producción de leche con un 95% de confianza.

Animal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14

15

Mañana 14 10 15 16 13 16 15 18 20 17 14 16 10

14

15

Tarde 15 12 16 15 13 15 16 20 18 15 12 16 13

13

12



19


Regresión y Correlación

Ejemplo: Con los datos del siguiente cuadro: estimar la correlación entre el peso al nacimiento (x) y el peso al destete (y).

Nac. Dest Animal xi yi xxi 2

xxi yyi 2yy i yyxx ii

1 35 119 1.2 1.44 -11.9 141.61 -14.28 2 29 125 -4.8 23.04 -5.9 34.81 28.32 3 29 126 -4.8 23.04 -4.9 24.01 23.52 4 31 128 -2.8 7.84 -2.9 8.41 8.12 5 33 132 -0.8 0.64 1.1 1.21 -0.88 6 35 135 1.2 1.44 4.1 16.81 4.92 7 36 135 2.2 4.84 4.1 16.81 9.02 8 36 135 2.2 4.84 4.1 16.81 9.02 9 37 136 3.2 10.24 5.1 26.01 16.32

10 37 138 3.2 10.24 7.1 50.41 22.72

Total 338 1309 87.60 336.90 106.80

62.090.33660.87

8.106

)()(

)()(

1 1

22

1

n

i

n

i

ii

n

i

ii

yyxx

yyxx

r

b) Hallar la recta de regresión del peso al destete (Y) en función del peso al nacimiento (X):

Modelo: iii xy

donde

yi representa los valores de la variable dependiente. xi representa los valores de la variable independiente.

es el parámetro que representa la ordenada al origen.

es el parámetro que representa la pendiente de la recta

i representa la variación aleatoria asociada a cada observación.

22.16.87

8.106

)(

)()(

ˆ

1

2

1

n

i

i

n

i

ii

xx

yyxx

b

69.8910

33822.1

10

1309ˆˆ xbya

por lo tanto la recta de ajuste sería:

xy 22.169.89

Guía teórica: 1) ¿Qué es la correlación?



20

2) ¿Qué valores puede tomar la correlación? 3) ¿Que indica un valor de correlación r = -0.85? 4) ¿Qué es la regresión? 5) Interprete los parámetros del modelo lineal simple. 6) Mencione los supuestos del modelo de regresión Guía práctica: 7.1 En el año 2009 se publicó un trabajo “Efecto de la temperatura en el pH de la leche descremada”, donde se estudia X= la temperatura en grado Celcius bajo diferentes condiciones experimentales e Y= el pH de la leche. Los datos usados en la investigación son:

Temp 4 4 24 24 25 38 38 40 45 50 55 56 60 67 70 78

pH 6,9 6,8 6,6 6,7 6,7 6,6 6,6 6,5 6,5 6,5 6,4 6,4 6,4 6,3 6,3 6,3

a) Encuentre la correlación entre la temperatura y el pH b) Establezca una relación lineal considerando que el PH depende de la temperatura. c) Interpretar que indican los coeficientes de la ecuación de ajuste según los datos.

7.2. Dados los siguientes pares de valores:

X 2 4 5 6 8 11 Y 18 12 10 8 7 5

Determine e interprete el coeficiente de correlación 7.3 Para estudiar la concentración de acido úrico en la leche de una raza de vaca se tomo una muestra de 14 vacas. Los datos son producción de leche (X: lt/dıa) y concentración de acido ( Y:μmol/litro).

X 42,7

40,2

38,2

37,6

32,2

32,2

28,0

27,2

26,6

23,0

22,7

21,8

21,3

20,2

Y 92 120 128 110 153 162 202 140 218 195 180 193 238 213

a) Grafique los datos ¿Hay asociación lineal entre las variables? b) Encuentre la recta de regresión 7.4. Como parte de una investigación se trata de establecer si se puede utilizar la concentración de estrona en saliva para predecir la concentración del esteroide en plasma libre. Se obtuvieron los siguientes datos de 14 varones sanos, siendo X= concentración de estrona en saliva (en pg/ml) e Y Concentración de estrona en plasma libre (en pg/ml):

X 7.4 7.5 8.5 9 9 11 13 14 14.5 16 17 18 20 23

Y 30 25 31.5 27.5 39.5 38 43 49 55 48.5 51 64 63 68

a) Represente los datos en un diagrama de dispersión b) ¿Es razonable suponer que existe una relación lineal entre X e Y que permita predecir X en

función de Y? c) Calcule alguna medida del poder de predicción. Interprete el significado de esta medida

en este ejemplo.




21

Control de calidad

Ejemplo: Una vez al día se eligen al azar tres especímenes de aceites comestibles del proceso de producción y cada uno se analiza para determinar su viscosidad. Dado un período de 10 días de observación, se obtienen las siguientes medias, rangos y desvíos por muestra. La experiencia sugiere que cuando un proceso esta controlado, la viscosidad sigue una distribución normal con media 10.5 y desviación estandart de 0.18.

Promedios 10.31 10.43 10.51 10.35 10.71 10.58 10.46 10.46 10.39 10.49

rangos 0.18 0.34 0.55 0.21 0.31 0.27 0.11 0.12 0.16 0.43

Desvios 0.1 0.17 0.28 0.11 0.16 0.15 0.06 0.06 0.09 0.22

Promedios X =10.469, S =0.268 R =0.14 Limites para los gráficos de medias muestrales

Grafico tres sigmas: LIC/LSC=n

σ3±μ =

3

0.183±10.5

LIC=10.189, LSC=10.81

Grafico X basado en S: 3886.0

268.0±469.10=3±X=/

na

SLSCLIC

n

LIC= 10.294LSC=10.644

Grafico X basado en R: 369.1

14.0±469.10=3±X=/

nb

RLSCLIC

n

LIC=10.421 LSC=10.516

Guía teórica: a) ¿Que representan los puntos en un gráfico S? b) ¿Qué relación hay entre los errores de una prueba de hipótesis y un análisis de control de

calidad? c) Si me interesa controlar la cantidad de productos defectuosos de un lote, que gráfico

haría? d) ¿Qué gráficos conoce para controlar la variación de un proceso de producción? e) ¿Para que sirve un grafico p en teoría de control de calidad? ¿Que distribución de

probabilidad se asocia a un gráfico p? Por que? f) ¿Para que sirve un grafico c en teoría de control de calidad? ¿Que distribución de

probabilidad se asocia a un gráfico c? Por que? Ejercicios: 9.1. La siguiente tabla proporciona información sobre el contenido de humedad para muestras de cierto tipo carne. a) Determine los límites de control para un gráfico del promedio con línea central en 13 y con

60σ . . Realice el gráfico de control de calidad y comente los resultados b) Construya un gráfico para los promedios, basado en S ¿Hay alguna evidencia de que el

proceso está fuera de control?



22

c) Idem b) pero estimando por medio de los rangos muestrales. ¿El proceso parece estar dentro de control?

Nro. Muestra

Observaciones contenido de humedad Promedio Desvio Rango

1 12.2 12.1 13.3 12.53 0.67 1.2

2 12.4 13.3 12.8 12.83 0.45 0.9

3 12.9 12.7 14.2 13.27 0.81 1.5

4 13.2 13 13 13.07 0.12 0.2

5 12.8 12.3 12.2 12.43 0.32 0.6

6 13.9 13.4 13.1 13.47 0.40 0.8

7 12.2 14.4 12.4 13.00 1.22 2.2

8 12.6 12.8 13.5 12.97 0.47 0.9

9 14.6 13.4 12.2 13.40 1.20 2.4

10 12.8 12.3 12.6 12.57 0.25 0.5

9.2. La siguiente tabla muestra las medias y desvíos muestrales cada una basada en n=6 observaciones del índice corporal de cierto tipo de corderos. Construir un gráfico de control para la media y otro para la dispersión. Se encontró una causa asignable del índice corporal promedio muestral muy alto, para el día 22. ¿Qué sugiere hacer al respecto?

Día Promedio Desvío Día Promedio Desvio

1 95.47 1.3 13 97.02 1.28

2 97.38 0.88 14 95.55 1.14

3 96.85 1.43 15 96.29 1.37

4 96.64 1.59 16 96.8 1.4

5 96.87 1.52 17 96.01 1.58

6 96.52 1.27 18 95.39 0.98

7 96.08 1.16 19 96.58 1.21

8 96.48 0.79 20 96.43 0.75

9 96.63 1.48 21 97.06 1.34

10 96.5 0.8 22 98.34 1.6

11 97.22 1.42 23 96.42 1.22

12 96.55 1.65 24 95.99 1.18

9.3 - Las botellas de plástico para un jugo de fruta se forman por moldeo de impacto. Se toman 20 muestras, cada una con n= 100 botellas, son inspeccionadas en el orden en que se producen y se notifica la fracción de defectuosas de cada muestra.

0.12 0.15 0.18 0.10 0.12 0.11 0.05

0.09 0.13 0.13 0.10 0.07 0.12 0.08

0.09 0.15 0.10 0.06 0.12 0.13

Construir un diagrama p. ¿El proceso se encuentra bajo control estadístico? Analizar el tipo de grafico que haría si trabajase con la cantidad de botellas defectuosas por muestra.



23

HOJA DE FORMULAS:

Media aritmética: n

x

x

n

i

i 1

n

xf

x

n

i

ii

1

Mediana: 1 Ordenar los datos en forma creciente o decreciente

2 Orden de la mediana Mdº= n 1

2

3 Ubicar el valor de Md Rango o Amplitud: AP= Ls - Li

Desviacion Media: DM=1

1

n

xxn

i

i

Variancia: Fórmula (y fórmula alternativa de cálculo)

1

1

2

22

n

f)xx(Sˆ)x(var

n

iii

o 1

)(

)(var

2

1

2

n

xnx

x

n

i

i

Covariancia: Fórmula (y fórmula alternativa de cálculo):

1

)()(

),(cov 1

n

yyxx

yx

n

i

ii

o 1

).(

),(cov1

n

yxnyx

yx

n

i

ii

Desvio Estandar: S S 2 Error Estandar: n

S

n

See

2

..

Coeficiente de Variabilidad: C.V=S

X.100



24

Tamaño muestral: n= Z p p

D

2

2

1. o n=

2

22 .

D

Z

Distribución Binomial:

casootroenXP

nxparaqpxnx

nXP xnx

0)(

,,2,1,0..!!

!)(

Distribución Poisson:

casootroenXP

yxparax

eXP

x

0)(

0,2,1,0!

)(

Estandartización de variable: Z= x

Estandartización del promedio variable: Z=

n

x

Esperanza Matematica o Valor Esperado: ( ) .x x pii

n

i 1

Variancia: 2 V(x)= x x pi ii

n

2 2

1

.

Intevalos de Confianza:

P

1..

21

21 n

Zxn

Zx

P

1..

21,

21, n

Stx

n

Stx

glgl

1..

2

2

2

1

2

1

2121

2

2

2

1

2

1

21 2121

nnZxx

nnZxx

1..

2

2

2

1

2

1

21;221

2

2

2

1

2

1

21;2 21

2121

21

n

S

n

Stxx

n

S

n

Stxx

nnnn



25

P

1.1.1

2

),(

22

2

)1,(

2

22glgl

X

Sn

X

Sn

P

1

)1(.

)1(.

21

21 n

ppZpP

n

ppZp

Test “z”: zHo =

n

x

0

0

2

2

2

1

2

1

2121

nn

xxzHo

n

pp

PpzH

)1(

0

0

Test “t”: tHo =

n

S

x 0

2

2

2

1

2

1

2121

n

S

n

S

xxtHo

Test “t para datos apreados”: tHo =

n

S

d

D

D

Correlación:

)()(

,

YVarXVar

YXCovr

o

n

i

n

i

ii

n

i

ii

yyxx

yyxx

r

1 1

22

1

)()(

)()(

Regresión Lineal Simple:

xbay donde

n

i

i

n

i

ii

xx

yyxx

b

1

2

1

)(

)()(

ˆ xbya ˆˆ



26

Grafico X :

LIC = n

3σ

μ . LSC = n

3σ

μ .

.

LIC= na

S3x

n

LSC= na

S3x

n

3

4

5

6

7

8

an 0.886 0.921 0.940 0.952 0.959 0.965

LIC= nb

r3x

n

LSC= nb

r3x

n

3

4

5

6

7

8

bn 1.693 2.058 2.325 2.536 2.706 2.844

Gráfico S:

LIC= n

2n

a

a1S3S

LSC=

n

2n

a

a1S3S

Gráficos R

LIC= n

n b

RcR 3± LSC=

n

n b

RcR 3+

3

4

5

6

7

8

cn 0.888 0.880 0.864 0.848 0.833 0.820

Gráfico p:

LIC = n

p1p3p

)( , LSC =

n

ppp

)-1(3+ ,

k

p

p

k

1ii

ˆ

Gráfico c

LIC = λ3λ LSC = λ3λ xλ =ˆ

n

n

n



27

Tabla 1: Area acumulada bajo al curva normal (0,1) entre - y z z 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

-3.9 .00003 .00003 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00005 .00005 -3.8 .00005 .00005 .00005 .00006 .00006 .00006 .00006 .00007 .00007 .00007 -3.7 .00008 .00008 .00008 .00008 .00009 .00009 .00010 .00010 .00010 .00011 -3.6 .00011 .00012 .00012 .00013 .00013 .00014 .00014 .00015 .00015 .00016 -3.5 .00017 .00017 .00018 .00019 .00019 .00020 .00021 .00022 .00022 .00023 -3.4 .00024 .00025 .00026 .00027 .00028 .00029 .00030 .00031 .00032 .00034 -3.3 .00035 .00036 .00038 .00039 .00040 .00042 .00043 .00045 .00047 .00048 -3.2 .00050 .00052 .00054 .00056 .00058 .00060 .00062 .00064 .00066 .00069 -3.1 .00071 .00074 .00076 .00079 .00082 .00084 .00087 .00090 .00094 .00097 -3.0 .00100 .00104 .00107 .00111 .00114 .00118 .00122 .00126 .00131 .00135 -2.9 .00139 .00144 .00149 .00154 .00159 .00164 .00169 .00175 .00181 .00187 -2.8 .00193 .00199 .00205 .00212 .00219 .00226 .00233 .00240 .00248 .00256 -2.7 .00264 .00272 .00280 .00289 .00298 .00307 .00317 .00326 .00336 .00347 -2.6 .00357 .00368 .00379 .00391 .00402 .00415 .00427 .00440 .00453 .00466 -2.5 .00480 .00494 .00508 .00523 .00539 .00554 .00570 .00587 .00604 .00621 -2.4 .00639 .00657 .00676 .00695 .00714 .00734 .00755 .00776 .00798 .00820 -2.3 .00842 .00866 .00889 .00914 .00939 .00964 .00990 .01017 .01044 .01072 -2.2 .01101 .01130 .01160 .01191 .01222 .01255 .01287 .01321 .01355 .01390 -2.1 .01426 .01463 .01500 .01539 .01578 .01618 .01659 .01700 .01743 .01786 -2.0 .01831 .01876 .01923 .01970 .02018 .02068 .02118 .02169 .02222 .02275 -1.9 .02330 .02385 .02442 .02500 .02559 .02619 .02680 .02743 .02807 .02872 -1.8 .02938 .03005 .03074 .03144 .03216 .03288 .03362 .03438 .03515 .03593 -1.7 .03673 .03754 .03836 .03920 .04006 .04093 .04182 .04272 .04363 .04457 -1.6 .04551 .04648 .04746 .04846 .04947 .05050 .05155 .05262 .05370 .05480 -1.5 .05592 .05705 .05821 .05938 .06057 .06178 .06301 .06426 .06552 .06681 -1.4 .06811 .06944 .07078 .07215 .07353 .07493 .07636 .07780 .07927 .08076 -1.3 .08226 .08379 .08534 .08692 .08851 .09012 .09176 .09342 .09510 .09680 -1.2 .09853 .10027 .10204 .10383 .10565 .10749 .10935 .11123 .11314 .11507 -1.1 .11702 .11900 .12100 .12302 .12507 .12714 .12924 .13136 .13350 .13567 -1.0 .13786 .14007 .14231 .14457 .14686 .14917 .15151 .15386 .15625 .15866 -0.9 .16109 .16354 .16602 .16853 .17106 .17361 .17619 .17879 .18141 .18406 -0.8 .18673 .18943 .19215 .19489 .19766 .20045 .20327 .20611 .20897 .21186 -0.7 .21476 .21770 .22065 .22363 .22663 .22965 .23270 .23576 .23885 .24196 -0.6 .24510 .24825 .25143 .25463 .25785 .26109 .26435 .26763 .27093 .27425 -0.5 .27760 .28096 .28434 .28774 .29116 .29460 .29806 .30153 .30503 .30854 -0.4 .31207 .31561 .31918 .32276 .32636 .32997 .33360 .33724 .34090 .34458 -0.3 .34827 .35197 .35569 .35942 .36317 .36693 .37070 .37448 .37828 .38209 -0.2 .38591 .38974 .39358 .39743 .40129 .40517 .40905 .41294 .41683 .42074 -0.1 .42465 .42858 .43251 .43644 .44038 .44433 .44828 .45224 .45620 .46017 -0.0 .46414 .46812 .47210 .47608 .48006 .48405 .48803 .49202 .49601 .50000



28

Tabla 1 (cont.): Area acumulada bajo al curva normal (0,1) entre - y z z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586 0.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 .57535 0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409 0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173 0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 .67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793 0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240 0.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490 0.7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524 0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327 0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 .82894 .83147 .83398 .83646 .83891 1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214 1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298 1.2 .88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147 1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91308 .91466 .91621 .91774 1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 .92785 .92922 .93056 .93189 1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408 1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449 1.7 .95543 .95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327 1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062 1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670 2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169 2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574 2.2 .98610 .98645 .98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899 2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158 2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 .99324 .99343 .99361 2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520 2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643 2.7 .99653 .99664 .99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736 2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807 2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 .99856 .99861 3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .99900 3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929 3.2 .99931 .99934 .99936 .99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950 3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965 3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 .99976 3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983 3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989 3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 .99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992 3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995 3.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997



29

Tabla 2: Distribucion de “t” de Student

P(tm< t(1-):)= 1-

1-

0.90

0.95

0.975

0.99

0.995

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 50 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 80 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639

100 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 200 1.286 1.653 1.972 2.345 2.601 500 1.283 1.648 1.965 2.334 2.586

1.282 1.645 1.960 2.326 2.576



30

P(X2n<X

2p,n)=p

X2 (p,n)

Tabla 3: Cuantiles de la distribución de Chi-cuadrado 0.01 0.025 0.05 0.1 0.5 0.9 0.95 0.975 0.99 1 0.0002 0.0010 0.0039 0.0158 0.4549 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 2 0.0201 0.0506 0.1026 0.2107 1.3863 4.6052 5.9915 7.3778 9.2104 3 0.1148 0.2158 0.3518 0.5844 2.3660 6.2514 7.8147 9.3484 11.3449 4 0.2971 0.4844 0.7107 1.0636 3.3567 7.7794 9.4877 11.1433 13.2767 5 0.5543 0.8312 1.1455 1.6103 4.3515 9.2363 11.0705 12.8325 15.0863 6 0.8721 1.2373 1.6354 2.2041 5.3481 10.6446 12.5916 14.4494 16.8119 7 1.2390 1.6899 2.1673 2.8331 6.3458 12.0170 14.0671 16.0128 18.4753 8 1.6465 2.1797 2.7326 3.4895 7.3441 13.3616 15.5073 17.5345 20.0902 9 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682 8.3428 14.6837 16.9190 19.0228 21.6660

10 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652 9.3418 15.9872 18.3070 20.4832 23.2093 11 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778 10.3410 17.2750 19.6752 21.9200 24.7250 12 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038 11.3403 18.5493 21.0261 23.3367 26.2170 13 4.1069 5.0087 5.8919 7.0415 12.3398 19.8119 22.3620 24.7356 27.6882 14 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895 13.3393 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 15 5.2294 6.2621 7.2609 8.5468 14.3389 22.3071 24.9958 27.4884 30.5780 16 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122 15.3385 23.5418 26.2962 28.8453 31.9999 17 6.4077 7.5642 8.6718 10.0852 16.3382 24.7690 27.5871 30.1910 33.4087 18 7.0149 8.2307 9.3904 10.8649 17.3379 25.9894 28.8693 31.5264 34.8052 19 7.6327 8.9065 10.1170 11.6509 18.3376 27.2036 30.1435 32.8523 36.1908 20 8.2604 9.5908 10.8508 12.4426 19.3374 28.4120 31.4104 34.1696 37.5663 21 8.8972 10.2829 11.5913 13.2396 20.3372 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 22 9.5425 10.9823 12.3380 14.0415 21.3370 30.8133 33.9245 36.7807 40.2894 23 10.1957 11.6885 13.0905 14.8480 22.3369 32.0069 35.1725 38.0756 41.6383 24 10.8563 12.4011 13.8484 15.6587 23.3367 33.1962 36.4150 39.3641 42.9798 25 11.5240 13.1197 14.6114 16.4734 24.3366 34.3816 37.6525 40.6465 44.3140 26 12.1982 13.8439 15.3792 17.2919 25.3365 35.5632 38.8851 41.9231 45.6416 27 12.8785 14.5734 16.1514 18.1139 26.3363 36.7412 40.1133 43.1945 46.9628 28 13.5647 15.3079 16.9279 18.9392 27.3362 37.9159 41.3372 44.4608 48.2782 29 14.2564 16.0471 17.7084 19.7677 28.3361 39.0875 42.5569 45.7223 49.5878 30 14.9535 16.7908 18.4927 20.5992 29.3360 40.2560 43.7730 46.9792 50.8922 31 15.6555 17.5387 19.2806 21.4336 30.3359 41.4217 44.9853 48.2319 52.1914 32 16.3622 18.2908 20.0719 22.2706 31.3359 42.5847 46.1942 49.4804 53.4857 33 17.0735 19.0467 20.8665 23.1102 32.3358 43.7452 47.3999 50.7251 54.7754 34 17.7891 19.8062 21.6643 23.9522 33.3357 44.9032 48.6024 51.9660 56.0609 35 18.5089 20.5694 22.4650 24.7966 34.3356 46.0588 49.8018 53.2033 57.3420 36 19.2326 21.3359 23.2686 25.6433 35.3356 47.2122 50.9985 54.4373 58.6192 37 19.9603 22.1056 24.0749 26.4921 36.3355 48.3634 52.1923 55.6680 59.8926 38 20.6914 22.8785 24.8839 27.3430 37.3354 49.5126 53.3835 56.8955 61.1620 39 21.4261 23.6543 25.6954 28.1958 38.3354 50.6598 54.5722 58.1201 62.4281 40 22.1642 24.4331 26.5093 29.0505 39.3353 51.8050 55.7585 59.3417 63.6908 50 29.7067 32.3574 34.7642 37.6886 49.3349 63.1671 67.5048 71.4202 76.1538 60 37.4848 40.4817 43.1880 46.4589 59.3347 74.3970 79.0820 83.2977 88.3794 70 45.4417 48.7575 51.7393 55.3289 69.3345 85.5270 90.5313 95.0231 100.4251 80 53.5400 57.1532 60.3915 64.2778 79.3343 96.5782 101.8795 106.6285 112.3288 90 61.7540 65.6466 69.1260 73.2911 89.3342 107.5650 113.1452 118.1359 124.1162

100 70.0650 74.2219 77.9294 82.3581 99.3341 118.4980 124.3421 129.5613 135.8069

[2017] PRINCIPIOS DE ESTADISTICA - vet.unicen.edu.ar · [2017] PRINCIPIOS DE ESTADISTICA Lic. Tec....

Documents

Transcript of [2017] PRINCIPIOS DE ESTADISTICA - vet.unicen.edu.ar · [2017] PRINCIPIOS DE ESTADISTICA Lic. Tec....