INVESTIGACIN 1 -Funciones de Variables Aleatorias-

Estadstica II Instituto Tecnolgico de Monterrey Campus Aguascalientes Nombre: Shandrell Alejandra Arceo Solano Matricula: A01400549 Fecha: 22 de Febrero, 2015

Introduccin:

En el curso de estadstica II se ha tratado el tema de las Distribuciones Multivariadas, para el caso de variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas, en donde aprendimos a plantear, aplicar y resolver problemas de Probabilidad conjunta, Distribucin acumulada conjunta, Distribucin de probabilidad marginal, Distribucin de probabilidad condicional y la Independencia entre estas variables aleatorias.

En esta ocasin se realiz una investigacin para comprender mejor sobre

las diferentes tcnicas que se pueden aplicar en un problema que implique una o ms variables aleatorias, con la finalidad de encontrar la densidad o distribucin de probabilidad de una variable aleatoria a partir de la distribucin de probabilidad conjunta de las variables. Las tres tcnicas que se trataran a continuacin son la Tcnica de la funcin de distribucin, Tcnica de la transformacin de la variable y la Tcnica de la funcin generatriz de momentos.

Otras definiciones: Variables aleatorias discretas Una variable aleatoria se llama variable

aleatoria discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles (Walpole, (2012), P.83).

Variables aleatorias continuas Cuando una variable aleatoria puede

tomar valores en una escala continua, se le denomina variable aleatoria continua (Walpole, (2012), P.84).

Tcnica de la funcin de distribucin

Este mtodo consiste bsicamente en encontrar primero su funcin de

distribucin y despus su densidad de probabilidad por diferenciacin (Freund, (2000), P237).

Variables aleatorias Y, !,!,!,! Conjunto de variables aleatorias !,!,!,!

Relacin de las variables aleatorias = (!,!,!,!)

El primer paso es determinar la expresin adecuada para la probabilidad

= = [ (1,2,3,) ]

Una vez planteada, se realiza la diferenciacin de la siguiente manera:

= !"(!)

!"

Ejemplo Problema: La densidad de probabilidad f(x) es:

f (x) =6x(1 x) 0 < x

Tcnica de la transformacin de la variable

Este mtodo se basa en la existencia de una relacin unvoca,

transformacin uno a uno, entre las variables involucradas. Se dice que existe una transformacin uno a uno entre dos variables X y Y, si cada valor de X le corresponde uno y solo uno en Y, y a cada valor de Y corresponde uno y solo uno en X. (Obagi, (2003), P.240). Para variables aleatorias discretas:

Se cambia la variable X con su funcin de densidad de probabilidad conocida por la variable Y basndose en la relacin establecida, y esto da como resultado una funcin inversa x= w(y).

! = ![()] De igual forma se puede hacer la sustitucin de x= w(y) en la funcin base !()para as obtener ! . Ejemplo: Problema: X tiene una distribucin geomtrica con parmetro 1/3 Pregunta: Cul es la funcin de densidad de probabilidad si Y=4-5X? Respuesta: = = 4 5 = () = 1/5(4 )

! = !1

5 4 =13

23

!!!!!

; y=-1,-6,-11 Para variables aleatorias continuas

Condiciones:

! 0 La ecuacin y=u(x) puede expresarse x=w(y) para los valores de X, y la densidad de probabilidad de Y, Y=u(X) se da como:

! = |()|

En caso de que la condicin ! 0 no se cumpla, el resultado sera ! = 0. Ejemplo: Problema: La densidad de probabilidad f(x) es:

! 2; 0 1 0;

Pregunta: Cul es la distribucin de probabilidad de Y si, Y=3x-1? Respuesta: Paso 1. Se obtiene:

= = 3 1

= = + 13

Paso 2. ! :

! = 1/3

! = ! ! = 2 + 13

13

R.

! 29

+ 1 ; 1 2 0;

Tcnica de la funcin generatriz de momentos Definicin de momentos:

Para una variable aleatoria X, los momentos son valores que se esperan de algunas de sus funciones de la misma variable. Mediante estos se puede formar un conjunto de puede ayudar a llegar a la distribucin de probabilidad X y posteriormente comprobar que los momentos son conocidos. Los momentos se definen alrededor de 0 o del mismo valor esperado.

Para variables aleatorias continuas

= ! = ! !

!!

Para variables aleatorias discretas

= ! = !!

Para el caso en el que se tienen n numero de v.a. independientes X, y por otro lado Y=X1,X2,X3. Se aplica el teorema:

MY (q) = MXi (t)i=1

n

*Mxi(t) .valor de la funcin de generacin de momentos de ! en q Ejemplo: Problema: Obtener la distribucin de probabilidad de la suma de n v.a. que tengan distribucin con parmetros 1,,n, Respuesta: Si !! =

!!(!!!!) Entonces aplicando la ecuacin

MY (q) = ei (e

t1)

i=1

n

= e(1+i )et1)

Conclusin

Me pareci muy interesante realizar la investigacin, debido a que durante el curso vimos una seria de formulas para llegar a la probabilidad marginal, condicional o para determinar la independencia de variables, pero en cuanto a la funcin de densidad de probabilidad en el caso de variables aleatorias continuas y discretas no me haba quedado muy claro cmo se pueden plantear las soluciones para ambos casos. En realidad la tcnica de la funcin generatriz de momentos me pareci un poco confusa a la hora de la aplicacin para resolver los problemas, pero por lo dems, que fueron la tcnica de la funcin de distribucin y la de transformacin de la variable me parecieron muy tiles y espero que prximamente en el curso me quede ms claro al realizar problemas que las apliquen.

Bibliografa

John E. Freund, Irwin Miller, Marylees Miller. (2000). Estadstica matemtica con aplicaciones. Mxico: PEARSON EDUCACIN.

RONALD E. WALPOLE, R. H. (2012). Probabilidad y estadstica para ingeniera y ciencias (Vol. Novena edicin). Mxico: PEARSON EDUCACIN.

Araujo, J. J. (2003). Elementos de teora de probabilidad para ingenieros (Vol. Primera edicin). Bogot, Colombia: Centro Editorial Javeriano.