Dept. de Vibraciones y Aeroelasticidad 13-Nov-2015UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

Número de ExpedienteApellidosNombre

PROBLEMA 1 (40 minutos - 4 puntos)CONTESTAR EN EL REVERSO DE LA HOJA. NO SE TENDRÁN EN CONSIDERACIÓN HOJAS ADICIONALES.

Enunciado: La �gura inferior representa la sección típica de un ala con �echa nula volando a velocidad U∞. En un momentodado, las bombas de combustible se estropean y generan movimientos de combustible en el ala que se traducen una variación dela posición del centro de gravedad (distancia al eje elástico d) según la ley d = d0 + x0 sinωt, siendo d0 la distancia inicial delcentro de gravedad al eje elástico en el instante previo al fallo. El movimiento es lo su�cientemente lento como para que se puedaconsiderar un fenómeno de aeroelasticidad estática. Considérense conocidos los siguiente datos:

Geometria: cuerda c, distancia del eje elástico al centro aerodinámico e. Distancia del eje elástico a la posición inicial delcentro de gravedad d0.

Inercia: peso del per�l W (W = Mg, donde M es la masa del per�l y g la gravedad).

Aerodinámica: coe�cientes aerodinámicos CLα, CMAC , CLδ, CMACδ con la nomenclatura y parámetros de adimensionali-zación convencionales. Presión dinámica q∞.

Se pide:

1. (2 puntos) En el caso de que la rotación de la super�cie de control se mantenga constante e igual a la de�exión inicial previaal fallo, determinar la torsión elástica incremental (después del fallo de las bombas de combustible) en función del movimientodel centro de gravedad. Expresarlo en función de los parámetros adimensionales Wc/Kα, x0 = x0/c y q∞ = q∞/qD, dondeqD es la presión dinámica de divergencia.

2. (2 puntos) En el caso de que la super�cie de control pueda moverse, determinar la rotación de la super�cie de controlnecesaria para que la torsión elástica incremental (después de fallo de las bombas de combustible) disminuya en un factor

f la torsión del apartado 1, es decir αONe =

αOFFe

f, siendo αOFF

e la torsión elástica del apartado anterior (leyes de control

OFF) y αONe la torsión elástica de este apartado con las leyes de control ON que activa el movimiento de la super�cie de

control.

SOLUCIÓNApartado 1: La ecuación de equilibrio de las fuerzas incrementales queda:

q∞SeCLααe +Wx0 sinωt = Kααe → (1 punto)

αe =Wx0 sinωt

Kα − q∞SeCLα=

Wc

Kαx0

1− q∞sinωt → (1 punto)

Apartado 2:

q∞SeCLααe + q∞SeCLδδc + q∞ScCMACδδc +Wx0 sinωt = Kααe → (1 punto)

q∞qD

αe +q∞qD

CLδ

CLαδc +

q∞qD

c

e

CMACδ

CLαδc +

Wc

Kα

x0

csinωt = αe

q∞CLδ

CLαδc + q∞

c

e

CMACδ

CLαδc +

Wc

Kα

x0

csinωt = (1− q∞)αe = (1− q∞)

1

f

Wc

Kαx0

1− q∞sinωt =

1

f

Wc

Kαx0 sinωt

q∞CLδ

CLαδc + q∞

c

e

CMACδ

CLαδc =

(1

f− 1

)Wc

Kαx0 ⇒ δc =

(1

f− 1

)Wc

Kαx0

q∞

(CLδ

CLα+

c

e

CMACδ

CLα

) → (1 punto)

Dept. de Vibraciones y Aeroelasticidad 13-Nov-2015UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

Número de ExpedienteApellidosNombre

PROBLEMA 1 (60 minutos - 6 puntos)CONTESTAR EN EL REVERSO DE LA HOJA. NO SE TENDRÁN EN CONSIDERACIÓN HOJAS ADICIONALES.

Enunciado: La �gura inferior representa la sección típica de un ala con �echa nula volando en �ujo supersónico durante unensayo típico de �ameo consistente en forzar la rotación de la super�cie de control a una determinada frecuencia ω. Considerenseconocidos los siguientes datos del per�l:

Geometría: posición del eje elástico Λ1c y posición del eje de charnela Λ3c (coincidente con el borde de ataque de la super�ciede control, es decir, Λ2 = Λ3). Per�l con dos grados de libertad: �exión h (positivo hacia abajo) y rotación de super�cie decontrol δc (positivo si el borde de salida de la super�cie de control desciende). Sistema de referencia con origen en el bordede ataque del per�l.

Propiedades másicas: M (incluyendo la super�cie de control), Sδ y el parámetro adimensional xδ = Sδ/Mc.

Propiedades estructurales: rigidez a �exión Kh. La frecuencia natural del modo a �exión es ωh =√

Kh/M .

Amortiguamiento estructural despreciable.

Se pide:

1. (1 punto) Establecer la ecuación del movimiento vertical del per�l z1 (x; t) (positivo hacia arriba) en función de las coorde-nadas generalizadas h (t) y δc (t).

2. (1 punto) Asumiendo movimiento armónico y �ujo supersónico cuasi-estacionario, calcular el complejo ∆Cp1 (x) asociado ala distribución del salto de coe�ciente de presiones ∆Cp1 (x; t) = ∆Cp1 (x) e

iωt. Se deberá expresar ∆Cp1 (x) en función delas coordenadas generalizadas complejas h y δc, donde h = heiωt y δc = δce

iωt.

3. (1 punto) Establecer la ecuaciones de la dinámica en en el grado de libertad h en el dominio del tiempo y en el dominio dela frecuencia, dejando las fuerzas aerodinámicas indicadas como Qh (t) y Qh respectivamente.

4. (1 punto) Calcular el complejo asociado a la fuerza generalizada en el grado de libertad h, es decir, Qh.

5. (1 punto) Establecer la ecuación de la dinámica (dominio de la frecuencia) que permite obtener el complejo adimensional dela respuesta h/c en función de la rotación de la super�cie de control δc, determinando la función de respuesta en frecuenciaHhδ (ω) tal que h/c = Hhδ (ω) δc. NOTA: adimensionalizar la ecuación y la función de respuesta en frecuencia utilizando lafrecuencia reducida k = ωc/U∞ y el parámetro másico µ = M/(πρ∞c2).

6. (1 punto) A la vista de los resultados, razonar si el sistema es susceptible de alcanzar una condición de vuelo en la que ocurra�ameo.

SOLUCIÓNApartado 1:

z1 = −h− (x− Λ3c)H (x− Λ3c) δc → (1 punto)

Apartado 2:

∆Cp1 = − 4

β

w

U∞= − 4

β

z1xU∞ + z1tU∞

⇒ ∆Cp1 = − 4

β

[z1x + ik

z1c

]→ (0,5 puntos)

z1x = −H (x− Λ3c) δc

z1c

= − h

c−(xc− Λ3

)H (x− Λ3c) δc

∆Cp1 =4

β

{H (x− Λ3c) δc + ik

[h

c+(xc− Λ3

)H (x− Λ3c) δc

]}→ (0,5 puntos)

Apartado 3:

Mh+ Sδ δc +Khh = Qh → −ω2Mh− ω2Sδ δc +Kkh = Qh → (1 punto)

Apartado 4:

Qh = q∞c

ˆ 1

0

∆Cp1 (ξ)δz1δh

dξ = −q∞c

ˆ∆Cp1 (ξ) dξ =

= −q∞c4

β

ˆ 1

0

[H (ξ − Λ3) δc + ik

h

c+ ik (ξ − Λ3)H (ξ − Λ3) δc

]dξ =

= −q∞c4

β

[(1− Λ3) δc + ik

h

c+ ik

(1

2− Λ3 +

Λ23

2

)δc

]→ (1 punto)

Apartado 5:

−ω2Mch

c+Khc

h

c− ω2Sδ δc = −q∞c

4

β

[(1− Λ3) δc + ik

h

c+ik

(1

2− Λ3 +

Λ23

2

)δc

]

− h

c+(ωh

ω

)2 h

c= − q∞

ω2M

4

β

[(1− Λ3) δc + ik

h

c/2+ ik

(1

2− Λ3 +

Λ23

2

)δc

]+ xδ δc =

= − 1

2πµk2

{4

β

[1− Λ3 + ik

(1

2− Λ3 +

Λ23

2

)]δc +

4

βik

h

c

}+ xδ δc

[−1 +

(ωh

ω

)2

+1

2πµk2

(4

βik

)]h

c= − 1

2πµk24

β

[1− Λ3 + ik

(1

2− Λ3 +

Λ23

2

)]δc + xδ δc

H (ω) =

− 1

2πµk24

β

[1− Λ3 + ik

(1

2− Λ3 +

Λ23

2

)]+ xδ

−1 +(ωh

ω

)2

+1

2πµk2

(4

βik

) δc → 1 punto

Apartado 6: El sistema no puede tener �ameo porque el amortiguamiento aerodinámico nunca se anula → 1 punto