Funcin de transferencia pulso de un de un controlador PID digital

La accin de control PID en controladores analgicos esta dada por:

Donde e(t) es la entrada al controlador (seal de erroractuante ), m(t) es la salida del controlador (seal manipulada),k es la ganancia proporcional , Ti es el tiempo integral (tiempode reajuste ) y Td es el tiempo derivativo(tiempo de adelanto):

Para obtener la funcin de transferencia pulso del controladorcontrol PID digital se puede discretizar la ecuacin del PID,aproximando el termino integral mediante la sumatoriatrapezoidal y el termino derivativo mediante la diferencia dedos puntos .

Algoritmo de control PID analgico y su funcin de transferencia

)()(

1)()( sESTdsE

STisEKsM

)(1

1)( sESTdSTi

KsM

STd

STiK

sE

sM 11

)(

)(

STd

STiKsF

11)(

(1)

(2)

Aproximacin discreta de la integral

Aproximacin discreta de derivada

2

1)()(

1

zzEzX

Sustituyendo X(z) en Y(z) tenemos:

)()1(2

1)(

2

1

1

1)(

1

11

1zE

z

zzE

z

zzY

)()1()1()( 1 zEzTkekTe

De las tablas tenemos que:

De tabla de transformada Z tenemos:

Encontrando la transformada Z de la ecuacin m(kT)

Si hacemos

Factorizando tenemos :

k

h

hTeThekTysi

1 2

)()1()(

2

)()1()(

hTeThehTx

2

)()()(

1 zEzEzZX

)(2

1)(

1

zEz

zX

Organizando :

)(1

1)()()(

11

zXz

zYhTxkTyk

h

1. Trasformada Z de la aproximacin discreta de la accin integral

2. Trasformada Z de la aproximacin discreta de la accin derivativa

)()1()1()()( 1 zXzkxkxkx

Sustituyendo en la aproximacin discreta de la deri9vada tenemos :

TkekTeT

Td

T

TkekTeTd )1()(

)1()(

)()1()1()( 1 zEzT

TdTkekTe

T

Td

)()1(2

1

2

)()1(1

1

1

zEz

z

Ti

ThTeThe

Ti

T k

h

(1)

(2)

Sustituyendo (1) y (2) en m(kT) tenemos M(Z)

(3)

3. Ahora la podemos encontrar la transformada de Z de la ecuacin m(kT)

)1(2

2)1(

1

1

2

11

1

1

z

z

z )1(2

1

)1(2

211

1

1

1

z

z

z

z

)1(2)1(

1

2

1

)1(2

1111

1

zTi

T

Ti

T

zTi

T

z

z

Ti

T

Si :

Sustituyendo en M(z) temas:

3. Reorganizando la parte integral :

Tenemos :

Despejando E(z):

Si ,

21

Ti

TKKp y

Ti

TKKi

T

TdKKd

Tenemos:

Podemos representar en diagrama a bloque el PID como

Funcin de transferencia pulso de un de un controlador PID digital

La ventaja del esquema de control PID en forma de velocidad es que no es necesario la inicializacin cuando se conmuta de operacin manual a automtico. Adems de ser til en la supresin de correcciones excesivas en sistemas de control de procesos.

Se puede obtener otra forma de esquema del control PID digital partiendo de la diferencia hacia atrs en:m(KT) y m((k-1) T)y es conocido como forma de velocidad:

Diagrama a bloques un de un controlador PID digital en su forma de velocidad

Encontrar la funcin de transferencia en lazo abierto y lazo cerrado , si el periodo de muestreo es T=1. Si el controlador PID tiene como parmetros Kp =1, Ki = 0.2 y Kd = 0.5. La planta tiene una funcin de transferencia igual a :

Si la realimentacin es igual 1 tenemos siempre:

Solucin.

1. Encontrar la funcin de G(z)

)()()( sGpZOHsGsi

)2(

11)(

sss

esG

Ts

)2(

1)1()(

2 ssesG Ts

)2(

1)1()(

2 ssesG Ts

)2(

1)1()(

2

1

ssZzzG

Resolviendo por fracciones parciales

)2()2(

122

s

C

s

B

s

A

ss

5.02

1

)20(

1

)2(

1

0

zs

A

10

)2()2(

1

s

ds

d

sds

dB

z

2

0

2 )20(

1

)2(

1

zs

B

25.04

1

)2(

112

2

2

zsC

2

2

)2(

1)2(

sds

dssB

25.04

1

)2(

12

B

)2(

25.025.05.0

)2(

122

sssss

Sustituyendo valores tenemos

)2(

25.025.01

)2(

122 sss

Zss

Z

)2(

25.025.01

)2(

122

sssssZ

)1(

25.0

1

25.0

)1(

5.0

)2(

112121

1

2

zezz

Tz

ssZ

T

Si T=1 tenemos

)1(

25.0

1

25.0

)1(

5.0

)2(

112121

1

2

zezz

z

ssZ

)1(

25.0

1

25.0

)1(

5.0)1()(

12121

11

zezz

zzzG

)2(

1)1()(

2

1

ssZzzGSustituyendo en:

Tenemos::

)1353.01(

25.0

1

25.0

)1(

5.0)1()(

1121

11

zzz

zzzG

)1353.01(

25.0)1(

1

25.0)1(

)1(

5.0)1()(

1

1

1

1

21

11

z

z

z

z

z

zzzG

)1353.01(

25.0)1(25.0

)1(

5.0)(

1

1

1

1

z

z

z

zzG

)1353.01)(1(

25.0)1)(1()1353.01)(1(25.05.0)1353.01()(

11

111111

zz

zzzzzzzG

)1353.01)(1(

25.0)1()1353.01)(25.025.0()06765.05.0()(

11

211121

zz

zzzzzzG

)1353.01)(1(

25.0)1()033825.025.0033825.025.0()06765.05.0()(

11

2121121

zz

zzzzzzzG

)1353.01)(1(

25.0)21()033825.025.0033825.025.0()06765.05.0()(

11

2121121

zz

zzzzzzzzG

)1353.01)(1(

)25.05.025.0()033825.0283825.025.0()06765.05.0()(

11

212121

zz

zzzzzzzG

)1353.01)(1(

25.05.025.0033825.0283825.025.006765.05.0)(

11

212121

zz

zzzzzzzG

)1353.01)(1(

25.05.025.0033825.0283825.025.006765.05.0)(

11

212121

zz

zzzzzzzG

)1353.01)(1(

148525.0283825.0)(

11

21

zz

zzzG

211

21

1353.01353.01

148525.0283825.0)(

zzz

zzzG

21

21

1353.01353.11

148525.0283825.0)(

zz

zzzG

1353.01353.1

148525.0283825.0)(

2

2

zz

zzG

zportodondomultiplica

zz

zzzG

zporndoMultiplica

PID

2

2

2

5.027.1)(

1

21

1

5.0)5.0(215.02.01)(

5.02.0,1

z

zzzG

tenemosKdyKiKpSi

PID

1

21

1

5.027.1)(

z

zzzGPID

1

111

1

)1)(1()1()(

z

zzKdKiKpzzGPID

1

211

1

)21()(

z

zzKdKiKpzKpzGPID

1

21

1

)2()(

z

KdzzKdKpKdKiKpzGPID

1

211

1

2)(

z

KdzKdzKdKiKpzKpzGPID

2.Encontrar la funcin de transferencia de controlador PID:

La solucin es :

1353.01353.1

148525.0283825.05.027.1)(

22

2

zz

z

zz

zzzG abiertoLazo

1353.01353.1

148525.0283825.0)(

2 zz

zzG

Si tenemos que:

y zz

zzzGPID

2

2 5.027.1)(

z 0.1353 - z 1.271 z 2.135 - z

0.07425 z 0.1551 - z 0.3152 - z 0.4825)(

234

23

zG abiertoLazo

3. Encontrar la funcin de transferencia de lazo abierto

Realizando la multiplicacin y el proceso de reduccin encontramos la funcin de transferencia de lazo abierto