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MICROECONOMA II

PRCTICA TEMA 5: El Modelo de Equilibrio General conIntercambio Puro

PRIMERA PARTE: La Caja de Edgeworth y la Curva de Contrato

Problema 1

El conjunto de asignaciones eficientes est recogido en la curva de contrato. La curva de

contrato muestra todas las combinaciones de asignaciones posibles que son ptimos de

Pareto. Es decir, recoge todas aquellas asignaciones tal que no es posible mejorar la

utilidad de un individuo sin empeorar la del otro.

En una economa de dos bienes y dos individuos, podemos encontrar el conjunto de

asignaciones eficientes igualando la relacin marginal de sustitucin de los dos

individuos:

Sabemos que la relacin marginal de sustitucin de un individuo genrico viene dadopor:

,

,

, .

Calculando la relacin marginal de sustitucin para cada individuo, obtenemos que:

,

,

2

,

,

Si sumamos las dotaciones que tiene el individuo A y el individuo B del bien 1,

obtenemos que el total de dotaciones del bien 1 son 20 (=15+5). De igual forma, el total

de dotaciones del bien 2 son 20 (=3+17). Por la condicin de factibilidad, sabemos que

20 y que 20 . Igualando las relaciones marginales de sustitucinde ambos individuos e introduciendo las condiciones de factibilidad, obtenemos que:

2 20 20 Finalmente, aislamos de esta ecuacin y obtenemos que el conjunto de asignacioneseficientes son las asignaciones que satisfacen la siguiente ecuacin:

20

40 Similarmente, podramos haber obtenido la curva de contrato como el conjunto de

asignaciones eficientes que satisfacen la ecuacin 40/20 . Para ello,


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deberamos haber introducido en la igualdad de las relaciones marginales de sustitucinde los dos agentes las condiciones de factibilidad 20 y 20 .Si dibujamos en una caja de Edgeworth el conjunto de asignaciones eficientes,obtendramos:

Donde el color rojo representa el individuo A y el azul el B. Los nmeros en rojo de lacaja de Edgeworth son las dotaciones de A y los nmeros en azul son las dotaciones deB. La curva roja representa las preferencias de A, mientras la azul las de B. Losnmeros en negro son la cantidad de dotacin total del bien 1 y el bien 2. La curva lila

es la curva de contrato, que muestra el conjunto de asignaciones eficientes.


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Problema 2

Primero, dibujamos la caja de Edgeworth:

Las preferencias rojas son las de A, mientras que las azules son las de B. Los nmerosen rojo son las dotaciones de A, mientras que los nmeros en azul son las de B. La lnealila es la curva de contrato.En este ejercicio, los bienes son complementarios perfectos para A y sustitutos perfectos

para B. Debido a la forma de las preferencias, no podemos utilizar la condicin detangencia. Las asignaciones eficientes estarn situadas sobre los vrtices de las curvasde indiferencia del consumidor A; es decir, las asignaciones eficientes son 2.La dotacin inicial no est en la curva de contrato, ya que todos los intercambios en laregin con rallas son mutuamente beneficiosos para los dos consumidores (alcanzan

curvas de indiferencia mejores ambos), y slo el vrtice es un intercambio eficiente.


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Problema 3

a) La ley de Walras consiste en que, en caso de que las preferencias seanmontonas, el valor de la funcin de exceso de demanda es 0. Formalmente, lamonotona implica que 0.La demostracin consiste en lo siguiente: La monotona implica que y ,

p=0, donde es un vector de bienes (o componentes) que muestrala demanda neta del inviduo para cada bien. La demanda neta es la diferenciaentre la demanda del bien y la dotacin, de forma que ,donde es un vector de dotaciones de bienes (o componentes). Sumando

p=0 para agentes de la economa, obtenemos que p =0. Datecuenta que la funcin de exceso de demanda , de forma que 0.Recuerda que nuestro ejercicio solo tiene 2 bienes y 2 individuos.La intuicin de ley de Walras, consiste en explicar que los mercados se vacan,

pues el valor de la funcin de exceso de demanda bajo monotona es 0. sta leytiene dos implicaciones:1) Si un mercado tiene exceso de oferta, existe algn otro mercado con exceso

de demanda.2) Si

1mercados estn en equilibrio, el mercado

tambin lo estar.

b)

Para calcular el equilibrio competitivo de esta economa, primero tenemos queresolver el problema de maximizacin de los individuos A y B.Empezamos con el individuo A. Su problema consiste en resolver:

1 5 3El lagrangiano del problema sera el siguiente:

1 5 3


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Toma la condicin de primer orden del lagrangiano con respecto y , yobtn:

0 2

0

Divide las dos condiciones de primer orden entre s, y obtn que:

2

Asla y obtn que:

2

Introduce en la restriccin presupuestaria del individuo A, y obtn:

2 1 5 3

Ahora, fcilmente asla de esta ecuacin lineal, y obtn que:

10 2 10 2Hemos llamado /. Con esto, estamos normalizando el precio del bien 2a 1, y consideramos como el precio del bien 1 relativo al precio del bien 2.Ahora, introduce en la previa ecuacin de y obtn que:

2 10 2 5 1

De forma que ya hemos obtenido las funciones de demanda del individuo A para

el bien 1 y 2:

10 2 5 1Ahora, tenemos que obtener la funcin de demanda para el individuo B. Elindividuo B resuelve el siguiente problema:

5 17Debido a la similitud de ambos problemas, el procedimiento ser omitido (es

exactamente el mismo). Fcilmente, debes obtener que:

2.5 8.5 2.5 8.5Ahora analizamos para que precios en el mercado de un bien, la funcin de

exceso de demanda es 0. Por ejemplo, coge la funcin de exceso de demanda del

bien 2 e iguala a 0:

=0Por lo tanto

5 1 2.5 8.5 3 17 0Resolviendo esta ecuacin, obtenemos que P=1.4. Adems, por la ley de Walras

sabemos que si el mercado del bien 2 est en equilibrio, el mercado del bien 1

tambin lo est para estos precios (puedes comprobarlo vaciando el mercado del

bien 1). Finalmente, introducimos los precios en las funciones de demanda


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obtenidas anteriormente y obtenemos que el equilibrio competitivo viene dadopor:

10 2 11.43 5 1 8

2.5 8.5 8.57

2.5 8.5=12Grficamente:

Donde los nmeros en lila representa el equilibrio competitivo.

c) La asignacin s que puede formar parte de un equilibrio competitivo de esta

economa. Para verlo, simplemente introduce el equilibrio propuesto en la curvade contrato

, 40/20 , y date cuenta que las igualdades secumplen. Vemos que esta asignacin puede ser un equilibrio competitivo,siempre y cuando los agentes tuvieran distintas dotaciones a las que les da elejercicio. Vamos a mantener las dotaciones del bien 2 como constantes, y vamosa determinar con que distribucin de dotaciones para el bien 1 obtendramos elequilibrio propuesto.Primero, date cuenta que, para unas dotaciones y genricas, obtenemosque:

1.52

2

8.5

Introduce en la condicin de factibilidad 20 . Adems, sabemosque en el equilibrio propuesto, 10. Por lo tanto, tenemos el siguientesistema de ecuaciones con dos incgnitas:

10

1.52


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10 20

2 8.5

Resolviendo el sistema, obtenemos que 1.333, 12.75y finalmente, 20 20 12.75 7.25.Con estas dotaciones y precios, obtendramos el equilibrio competitivo

propuesto.

Problema 4

a) Primero, resolvemos el problema grficamente. El problema tiene los mismosdatos que en el ejercicio 2, por lo que la caja de Edgeworth es la siguiente:

Debemos encontrar un vector de precios tal que la restriccin de ambos agentessea tangente a la relacin marginal de sustitucin de las preferencias de ambos.Debido a la naturaleza de las preferencias, la tangencia no se dar. De todasmaneras, esta restriccin debera pasar por el vrtice de las preferencias de A ysobreponerse sobre las preferencias de B. Por ello, la restriccin debe tener lamisma forma que las preferencias de B. Como las preferencias de B sonindiferentes en una relacin 1 a 1 entre los dos bienes, los precios de los dos

bienes deben ser el mismo para que la restriccin se solape con dichaspreferencias.Por lo tanto, tomando el precio del bien 2 como numerario, P=1 vaca el

mercado, de forma que el equilibrio grfico sera as:


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Resolvemos el problema analticamente. El problema de A viene dado por:

min 2, 2 8Debido a que las preferencias son complementarios perfectos, obtenemos que2 (esto corresponde con la curva de contrato, debido a que las

preferencias de B son lineales). Introduciendo esta igualdad en la restriccinpresupuestaria y aislando, obtenemos que:

2 8 2

4 16 2 Por el razonamiento anterior, P=1, de forma que:

10/3 20/3Mientras lo que no consume A es obtenido por B:

5/3 10/3Date cuenta que con el intercambio, la utilidad de A ha aumentado de 2 a 10/3,mientras que la utilidad de B se mantiene constante con el intercambio (pues nosmovemos a lo largo de su curva de indiferencia).

b)

La nueva asignacin propuesta si puede formar parte de un equilibriocompetitivo. Para ver sto, date cuenta de que ((x1A,x2

A), (x1

B,x2

B)) =((3.5,7),(1.5,3)) forma parte de la curva de contrato, dada por 2 (simplemente introduce la asignacin en la curva de contrato y comprueba quese da la igualdad).Debido a que las preferencias siguen siendo las mismas para ambos agentes, ycomo la restriccin debe sobreponerse a las preferencias de B y pasar por elvrtice de las preferencias de A, los precios han de ser los mismos que en elejercicio anterior: P=1.


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Para alcanzar ste equilibrio, por lo tanto, las dotaciones deben ser tales que seencuentren sobrepuestas a la curva de indiferencia de B que pasan por el puntode equilibro propuesto. En particular, este equilibrio se alcanzar si (, )son tales que 4.5, satisfaciendo 5, 10.Grficamente:

Problema 5

Brevemente, explicaremos analticamente por que no existe un vector de precios quevacia el mercado. Luego, lo analizamos grficamente.Primero, vamos a resolver el problema del agente A, que viene dado por:

min ,

2

Debido a que las preferencias son complementarios perfectos, obtenemos que .Introduciendo esta igualdad en la restriccin presupuestaria y aislando, obtenemos que: 2

Normaliza con /. Obtenemos que: 2 1

Ahora, resolvemos para el agente B. Su problema es el siguiente:


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2 Resolviendo el problema exactamente igual que hicimos en el ejercicio 3, obtenemosque:

2

1

2 1 1Vaciamos los mercados, por ejemplo, para el bien 2, tal y como hicimos en el ejercicio3, y obtenemos que:

4 4 3 0Si intentamos resolver esta ecuacin de 3r grado, veramos que solo hay una solucinnegativa, que no tiene sentido econmico. De modo que no existe un vector de preciosque vace el mercado.La razn por la que esto pasa es que la funcin del agente B es cncava. Para ver sto,toma la funcin del agente B:

Asla

y obtn:

Si tomas la primera y la segunda derivada con respecto , vers que son negativas.Esto implica que la funcin de utilidad del agente B es cncava.De esta forma, si representamos ambas preferencias en una caja de Edgeworth,obtendramos que:

Las preferencias rojas son las de A, mientras que las azules son las de B. El reamarcado con rallas representa la zona de intercambio, y la lnea lila es la curva decontrato. Desde el punto de la dotacin, deberamos encontrar hiperplano tangente aambas curvas de indiferencia que represente el sistema de precios. Vemos que resultaimposible dibujar un hiperplano que sea tangente a ambas curvas, de forma que no hayun vector de precios que vace el mercado.sto se debe a la naturaleza de las preferencias del individuo B. En particular, estas

preferencias son cncavas, rompiendo las condiciones necesarias para que se den losteoremas del bienestar.


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Problema 6a) Falso. El equilibrio parcial analiza para un nico bien las funciones de oferta y

de demanda exclusivamente en funcin de su precio, sin tener en cuenta el

precio de otros bienes. Sin embargo, el equilibrio general analiza la forma en

que las condiciones de demanda y de oferta de diversos mercados determinanconjuntamente los precios de muchos bienes.

b)

Cierto. En una economa de intercambio puro, los individuos tienen dotaciones

fijas de bienes y los intercambian entre s, pero no hay produccin.c) Falso. Una asignacin es factible si las decisiones de compraventa son

compatibles con las dotaciones:

Esto es, para todo bien l, la asignacin es factible si la cantidad que obtienen A y

B de cada bien es menor o igual a la dotacin total de ese bien.

d) Cierto. La ley de Walras dice que el valor de la funcin de exceso de demandaes 0 en caso de monotona. Esto tiene dos implicaciones. Una es que si hay un

mercado con exceso de oferta, debe existir otro mercado con exceso de

demanda. Y por lo tanto, de aqu surge la implicacin que si n-1 mercados estnen equilibrio, el mercado n tambin lo estar.

e)

Cierto. El primer teorema del bienestar dice que en caso de que las funciones de

utilidad sean montonas, el equilibrio competitivo es un ptimo de pareto. Por

definicin, el ptimo de pareto es una situacin en la que no se puede mejorar la

utilidad de un agente sin empeorar la del otro.

f) Falso. Esto depender de las preferencias de los agentes. Piensa por ejemplo, enel caso en el que un individuo considere uno de los bienes como un mal,

mientras que el otro lo considera un bien. En este caso, este individuo dar todo

su mal al otro agente, y su origen nunca formar parte de la curva de contrato.

g) Falso. Si una asignacin forma parte de un equilibrio competitivo, ste, por elprimer teorema del bienestar, es un ptima de pareto, de forma que no es posible

mejorar la utilidad de un agente sin empeorar la del otro. Dicho de otra manera,

no existe otra asignacin que mejore la utilidad de ambos agentesh)

Falso. Esto depende de las preferencias de los agentes. Sera el caso si los dos

agentes tuvieran las mismas preferencias Cobb Douglas bsicas. Pero podra no

ser el caso, por ejemplo, si ambos agentes tienen preferencias lineales con

distinta valoracin de cada bien (en el que la curva de contrato seran algunos de

los bordes de la caja de Edgeworth.

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