Estadística. U.P.A.O. Tema 4: Probabilidad 1

Estadística

Tema 04: Probabilidad

Tema 4: Probabilidad 2Estadística. U.P.A.O.

¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística?

¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme un atasco en la combi cuando voy a clase?

Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad e incluso los que hayas visto poco de la materia en cursos anteriores, tienes una idea intuitiva lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso.

En este tema vamos a: Recordar qué entendemos por probabilidad. Recordar algunas reglas de cálculo. Ver cómo aparecen las probabilidades en tu especialidad. Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en para tu

profesión.

Tema 4: Probabilidad 3Estadística. U.P.A.O.

Nociones de probabilidadTipo de Servicio

Nº Turistas %

Clase A 39 35.45

Clase B 41 37.27

Clase C 30 27.27

Total 110 100.00

Frecuentista (objetiva): Probabilidad de un evento es la frecuencia relativa (%) de veces que ocurriría el evento al realizar un experimento repetidas veces.

Subjetiva (bayesiana): Grado de certeza que se posee sobre un evento. Es personal.

En ambos tipos de definiciones aparece el concepto de evento. Vamos a recordar qué son y algunas operaciones que se pueden realizar con sucesos.

Turismo en Trujillo

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00

clase A

clase B

clase C

Po r c e n t a je s

Tema 4: Probabilidad 4Estadística. U.P.A.O.

Eventos Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son

posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (Ω).

Se llama evento a un subconjunto de dichos resultados.

Se llama evento contrario (complementario) de un evento A, A’, al formado por los elementos que no están en A

Se llama evento unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos.

Se llama evento intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los elementos que están en A y B

Ω espacio muestral

Ω espacio muestral

A

A’

Ω espacio muestral

A

B

Ω espacio muestral

A

B

Ω espacio muestral

A

B

UNIÓN INTERS.

Tema 4: Probabilidad 5Estadística. U.P.A.O.

Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a cada evento A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas)

P(Ω)=1

0≤P(A) ≤1 P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø

Ø es el conjunto vacío.

Puedes imaginar la probabilidad de un subconjunto como el tamaño relativo con respecto al total (evento seguro)

Definición de probabilidad

Ω espacio muestral

100%

B

Ω espacio muestral

A

Tema 4: Probabilidad 6Estadística. U.P.A.O.

A

Probabilidad condicionada Se llama probabilidad de A condicionada a B, o

probabilidad de A sabiendo que pasa B:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

∩=

Ω espacio muestral

B

“tam

año”

de

uno

resp

ecto

al

otro

Error frecuentísimo: No confundas probabilidad condicionada con intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…

En P(A∩B) con respecto a P(Ω)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)

Tema 4: Probabilidad 7Estadística. U.P.A.O.

Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en teoría mediante aplicación de los axiomas. Sin embargo, es más cómodo conocer algunas reglas de cálculo:

P(A’) = 1 - P(A)

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(AB) = P(A) P(B|A)

= P(B) P(A|B)

Prob. de que pasen A y B es la prob. de A y que también pase B sabiendo que pasó A.

Algunas reglas de cálculo prácticas

Tema 4: Probabilidad 8Estadística. U.P.A.O.

Dos eventos son independientes si el que ocurra uno, no añade información sobre el otro.

A es independiente de B

P(A|B) = P(A)

P(AB) = P(A) P(B)

Independencia de eventos

Tema 4: Probabilidad 9Estadística. U.P.A.O.

Ejemplo (I)

Se ha repetido en 110 ocasiones el experimento de elegir a un Turista de una población muy grande. El resultado está en la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que un Turista utilice el

servicio “Clase B”?

P(Clase B)=41/110=0,373=37,3% Noción frecuentista de probabilidad

Tipo de Servicio

Procedencia

TotalTrujillo Otros

clase A 33 6 39

clase B 35 6 41

clase C 26 4 30

Total 94 16 110

Tema 4: Probabilidad 10Estadística. U.P.A.O.

Ejemplo (II)

¿Probabilidad de usar Clase B ò Clase C? P(Clase B u Clase C)=41/110+30/110=0,6454

Son eventos disjuntos Clase B ∩ Clase C=Ø

¿Probabilidad de ser de Trujillo o usar Clase A? P(trujillo U Clase A)=94/110+39/110-33/110=0,5818

No son eventos disjuntos

¿Probabilidad de un turista clase “A”? (entiéndase…) P(clase A)=39/110=0,35 P(clase A)=1-P(clase A’)=1-P(Clase BU clase C) =1-0,70=0,30

Tipo de Servicio

Procedencia

TotalTrujillo Otros

clase A 33 6 39

clase B 35 6 41

clase C 26 4 30

Total 94 16 110

Tema 4: Probabilidad 11Estadística. U.P.A.O.

Ejemplo (III)

Si es Trujillano… ¿cuál es la probabilidad de que use el servicio de Clase A? P(clase A|Trujillo)=33/94=0,3511

¿Probabilidad de que sea de Trujillo y que utilice el servicio clase B? P(Trujillo ∩ Clase B) = 35/110=0,32

Otra forma:

32,0110/359435

11094

)/()()(

==×=

=×= TrujilloClaseBPTrujilloPClaseBTrujilloP

Tipo de Servicio

Procedencia

TotalTrujillo Otros

clase A 33 6 39

clase B 35 6 41

clase C 26 4 30

Total 94 16 110

Tema 4: Probabilidad 12Estadística. U.P.A.O.

Ejemplo (IV)

¿Son independientes Trujillo y Clase B? Una forma de hacerlo

P(Clase B)=41/110=0,3727 P(Clase B|Trujillo)=35/94=0,3723

¿Otra forma? P(Trujillo ∩ Clase B) = 35/110 = 0,318181 P(Trujillo) P(Clase B)= (94/110) x (41/110) = 0,3185123

La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes.

Tipo de Servicio

Procedencia

TotalTrujillo Otros

clase A 33 6 39

clase B 35 6 41

clase C 26 4 30

Total 94 16 110

Tema 4: Probabilidad 13Estadística. U.P.A.O.

Sistema exhaustivo y excluyente de eventos

A1 A2

A3 A4

Son una colección de eventos

A1, A2, A3, A4…

Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.

¿Recuerdan cómo formar intervalos en tablas de frecuencias?

Eventoseguro

A1

A2

A3

A4

Tema 4: Probabilidad 14Estadística. U.P.A.O.

Divide y vencerás

A1 A2

A3 A4

B

Todo evento B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema.

B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )

Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples. Creedme . Funciona.

Eventoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

Tema 4: Probabilidad 15Estadística. U.P.A.O.

Teorema de la probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de eventos, entonces…

… podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )

=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …

Eventoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

P(A1)

P(A2)

P(A3)

P(A4)

P(B|A1)

P(B|A2)

P(B|A3)

P(B|A4)

Tema 4: Probabilidad 16Estadística. U.P.A.O.

Ejemplo (I): En una aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%.

¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)

= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)

=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2

= 0,13 =13%

T. Prob. Total.Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de eventos

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

Tema 4: Probabilidad 17Estadística. U.P.A.O.

Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de eventos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

P(B)

Ai) P(B B)|P(Ai =

Tema 4: Probabilidad 18Estadística. U.P.A.O.

Ejemplo (II): En una aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.

¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13

(Resuelto antes)

Se elije a un individuo al azar y es… fumador¿Probabilidad de que sea un hombre?

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

46,013,0

2,03,0

)(

)|()(

)(

)()|(

=×=

=⋅=∩=FP

HFPHP

FP

FHPFHP

Tema 4: Probabilidad 19Estadística. U.P.A.O.

Ejemplo

Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25 ; p2 = 0,50 ; p3 = 0,25.Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes:

i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante 10000 horas.

ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el período de 10000 horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido del 3er fabricante?

Tema 4: Probabilidad 20Estadística. U.P.A.O.

Solución

i) P(C) =

= 0,1*0,25 + 0,2*0,5 + 0,4*0,25 = 0,225.

ii) P(F3/C) = P(C/F3) P(F3) / P(C)

= 0,4 * 0,25 /0,225 = 0,444.

Tema 4: Probabilidad 21Estadística. U.P.A.O.

¿Qué hemos visto?

Álgebra de sucesos Unión, intersección, complemento

Probabilidad Nociones

Frecuentista Subjetiva o Bayesiana

Axiomas Probabilidad condicionada Reglas de cálculo

Complementario, Unión, Intersección Independencia de sucesos Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

Teorema probabilidad total. Teorema de Bayes

Pruebas diagnósticas A priori: Incidencia, prevalencia. Eficacia de la prueba: Sensibilidad, especificidad. A posteriori: Índices predictivos.