7/25/2019 2007 Septiembre

1/4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

MrendB

delta

10-1

100

101

102

103

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Magnitud

rad/s

d

B

10-1

100

101

102

103

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90Fase

rad/s

grados

0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

6

7

8

ciclos(k)

0 5 10 15 20 25 30 35 40-25

-20

-15

-10

-5

0

5

tiempo(s)0 10 20 30 40 50 60

0

1

2

3

4

5

tiempo(s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-pi/2

-1.55

-1.53

-1.51

-1.49

-1.47

tiempo(s)

Teora del Control Automtico. 3 Ing. Telecom.Curso 06-07. Examen Septiembre

Nombre y Apellidos: ______________________________________________________________________Puntuacin: C1.a:0.5, C1.b:0.5, C1.c:1, C1.d:0.5, C2:2, C3:2, C4:2, C5:1.5Tiempo: 25h

C1. Dibuje las respuestas temporales frente a escaln unitario a la entrada de los sistemas siguientes. Indique las

escalas de tiempos y magnitud correspondientes en cada caso (sin ellas no se dar por vlida la respuesta):

Nota:En el caso c)debe considerarse el punto de operacin correspondiente a un valor de la salida igual a pi/2

radianes. En este caso, indicar tambin en el recuadro la funcin de transferencia correspondiente.

C2. Identifique la funcin de transferencia cuya respuesta temporal aparece en la figura (la grfica de la esquinainferior derecha puede ser de utilidad):

Identificamos un integrador y una ganancia esttica de 10dB. A continuacin, uncero de fase no mnima en 1 rad/s. Siguen un par de polos complejos conjugadosestables, con un pico de resonancia de 2.08 = dB , y una sradwn /10= . Lafuncin de transferencia, por tanto, es:

06-09-2007

c

sfnd

d

p

d

s tMSOttSO e

2),60(6.1,1,,

)acos(, %

21 2 ==

==

G1.1

2)2.0(

1)(

+

=

s

ssG

)4()1.0(

)1(2)(

2 +++

+=

sss

ssG

1)())((20)(10)( +=+ tUtYsentYtY& )8.0( )2.0(2)( = zzzzG

a) b)

d)c)

)1004(

)1(316)(

2 ++

=

sss

ssG

)10(

1)(

+=

ssG

7/25/2019 2007 Septiembre

2/4

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

d=1

=0.707

Root Locus

C3. Dado el sistema:)4(

8910)(

2

+

++=

ss

sssG .Se pide disear un controlador, mediante el mtodo del lugar de las

races, que permita conseguir en BC una respuesta cuya dinmica ms dominante sea la de un par de poloscomplejos conjugados con un nivel de sobreoscilacin igual al 4.5% ( 707.0= ), y un tiempo de pico inferiora 3.14 segundos. Adems se desea garantizar que el error en rgimen permanente ante escaln sea menor del 1%.

Elija el controlador ms sencillo, de acuerdo con el siguiente orden de preferencia: P, PD, PI, PID, RA, RR,RM, PD+PD, PI+RA, PI+RR, PI+RM, PID+RA, PID+RR, PID+RM. Dibuje lo ms precisamente posible ellugar de las races del sistema en BA resultante, detallando los pasos necesarios.

El sistema de partida tiene un integrador, con lo que la especificacin de Erp se satisfar sin necesidad de que elcontrolador aporte otro integrador. Dibujamos, en primer lugar el LR del sistema dado, para una gananciapositiva. Dibujamos tambin, en rojo, las restricciones (radial correspondiente al amortiguamiento deseado y lahorizontal correspondiente al tiempo de pico mximo especificado, por encima de la cual debern estar los polosdeseados en BC). En este caso, los clculos ms crticos para dibujar con precisin suficiente el LR son el puntode ruptura y el ngulo de llegada a los ceros complejos, puesto que, dependiendo de ellos, la interseccin del LRcon la recta radial, se producir en un punto u otro.Tramos del eje real en LR:

Para 0>cK , el tramo entre los dos polos reales pertenece al LR.Puntos de ruptura:

De las dos soluciones: 51.27,16.2 == ss , la

primera s es punto de ruptura para 0>cK .

ngulo de llegada a los ceros complejos:)12(180212 +=+ ke , Siendo: 902 =

12.97)1/8(atan,122)5/8(atan 21 ====

Resultando: 88.50=e (ojo con relacin de aspecto).

Cortes con eje imaginario:

Sustituyendo js= en la ecuacin caracterstica:

Se comprueba que no existen cortes con eje imaginariopara 0>cK .

Conocido el ngulo e y sabiendo que las ramas salen del eje real en direccin vertical, podemos trazar una

curva suave como la de la figura.Vemos que un controlador proporcional cumplir las especificaciones. En particular, eligiendo el valor deganancia para que los polos en BC estn en el lugar indicado por los recuadros en rojo: js 4.24.22,1 += .

15.08910

4

4.24.2

2 =++

+

=+= js

css

ss

K . Luego el controlador propuesto es un P con ganancia 15.0=cK

Nota:Esta cuestin no se valorar si el controlador propuesto no es correcto.

C4.Se ha identificado en frecuencia un sistema continuo, obtenindose las grficas de la pgina siguiente. Indiqueen el recuadro el nombre del controlador ms sencillo(de acuerdo con el orden de preferencia: P, PD, PI, PID,RA, RR, RM, PD+PD, PI+RA, PI+RR, PI+RM, PID+RA, PID+RR, PID+RM), que permita satisfacer lassiguientes especificaciones: margen de fase mayor o igual a 40 grados, frecuencia de corte igual a 10 rad/s yerror en rgimen permanente ante rampa menor o igual al 1%. Escribir NO, en caso de que se considere que

ninguno de los controladores enumerados permite satisfacer las especificaciones.

Nota:Si se responde a esta cuestin y la respuesta es incorrecta, se restarn 0.5 puntosa la nota del examen.

G1.2

035617860)()()()(' 2 =++= sssDsNsNsD

== jssDBC ,0)(

=+

=+

0)104(

0)1(89 2

c

cc

K

KK

PI+RR

7/25/2019 2007 Septiembre

3/4

10-2

10-1

100

101

102

103

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

rad/s

dB

Magnitud

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0Fase

rad/s

grados

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 205

6

7

8

9

10

11

12

13

14

tiempo(s)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

tiempo(s)

C5.Se dispone de un sistema discreto, cuya funcin de transferencia se desconoce. Al aplicarle a dicho sistema una

secuencia escaln entre 4 y 5 unidades, la salida se comporta como aparece en la figura. Explique detalladamentecmo identificara dicho sistema discreto. No es necesario realizar todos los clculos numricos.

En la grfica se ve que el periodo de muestreo essTm 5.0= .

Como no conocemos la forma exacta de la funcin detranferencia discreta, no podemos hacer la identificacina partir de la ecuacin en diferencias tomando medidasen varios instantes de muestreo.

Lo que haremos ser reconstruir la respuesta de unsistema continuo ficticio del que procediera, medianteequivalente discreto con ZOH, el sistema discreto dado.Curva roja en la grfica.

Parece que la respuesta dibujada se puede aproximar porla de un sistema de segundo orden subamortiguado, cuyaganancia esttica ser: 6)45/()511( ==K , cuyocoeficiente de amortiguamiento y frec. natural sern:

3.0= ( %376/)112.13(% == SO ), 33.1=n ( 48.11

)(acos2=

=

n

st ). De modo que la funcin de

transferencia del sistema continuo sera:

Ahora tendramos que calcular el equivalente discreto con ZOH. Para ello, seguimos los pasos:

-8.18.0)8.18.0(

8.10)()(

2321

2

*

++

++=

++==

ss

asa

s

a

ssss

sGsG

-Buscaramos en las tablas de transformadas la transformada en Z correspondiente a cada una de las dosfracciones simples. Con ello obtendramos )(* zG .

-Finalmente: )()1()( 1 zGzzG =

Deberamos obtener una expresin como la siguiente:

Donde los polos sabemos que deben coincidir con la conversin de los polos continuos mediante msTez= y laganancia esttica debe coincidir con la del sistema continuo.

G1.3

)8.18.0( 8.10)( 2 ++= sssG

6703.03134.1

)(

)1(

3569.06)(

2 +

+

+=

zz

cz

czG

7/25/2019 2007 Septiembre

4/4

yyYyuY

fy

Y

fy

U

fuYUfYYUf

YUYUYU

&L&

&& ++=++

+

+ 0

0,,0,,0,,00 cos20100)0,,(),,(

000000

yyuYYUf && ++ 10),,(

10-2

10-1

100

101

102

103

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

rad/s

dB

Magnitud

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0Fase

rad/s

grados

COMENTARIOS ADICIONALES

C1.c. Linealizamos la ecuacin diferencial:0),,(1)())((20)(10)( =+=+ YYUftUtYsentYtY && , siendo:

1)())((20)(10)(),,( += tUtYsentYtYYYUf && Desarrollando por Taylor esta funcin en torno a unos valores nominales de las variables:

)(0)(),()(),()( 00 tytYtyYtYtuUtU && +=+=+= , obtendramos:

A partir de la ecuacin de equilibrio, se llega a que, en el punto de equilibrio en el que 3.32/ 00 == UY .

Aplicando estos valores concretos para 00 , UY ,la expresin anterior queda:

La ecuacin diferencial linealizada quedara: uyyYYUf =+= 100),,( && Aplicando transformada de Laplace, tendramos la funcin de transferencia para el punto de operacin deseado:

La respuesta ante escaln unitario de este sistema es la que aparece en el recuadro correspondiente.

C4.Necesitaremos incluir un integrador en BA. En primer lugar, nos plantearamos probar un controlador PI:

De acuerdo con la especificacin de Erp y considerando la ganancia esttica del sistema de partida:

10001.01

= vv

rampa KK

Erp . Como 1010 =i

c

i

c

vT

K

T

KK . Dibujamos el diagrama de Bode del

sistema original con ganancia 100 (en azul en la figura). Vemos que con esta ganancia la frecuencia de cortequeda en 30 rad/s, a la derecha de la frecuencia deseada. Vemos que a la frecuencia de corte deseada tendramosde partida un margen de fase de unos 50 grados. Podramos permitirnos perder casi 10 grados y estaramosdentro de la especificacin de margen de fase mnimo. Si colocamos la frecuencia de esquina del PI una dcadaantes de 10 rad/s, perderamos unos 6 grados y cumpliramos la especificacin. Haciendo esto, tendramos:

1/1 =i

T . Dibujando la curva de magnitud del PI, ste estara asentado sobre 0dB a frecuencias a la derecha de 1

rad/seg. (en verde). Esto hara que la frecuencia de corte no se modificara respecto a la que tenamosinicialmente. Vemos que sera por tanto necesario aadir una red de retardo para, manteniendo el error dergimen permanente deseado, poder llevar la frecuencia de corte de los 30 a los 10 rad/s (no dibujado).

)10(

1

)(

)()(

+==

ssu

sysG

sT

sTKsC

i

ic)1(

)( +

=

G1.4