2-Factorizacic3b3n-Polinomios Soluciones de Algunos Ejercicios (1)
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IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) )4(282 −=− xx }4{=Raíz
b) )3(5155 −−=+− xx }3{=Raíz
c) )5(5255 −=− xx }5{=Raíz
d)
+=+4
134134 aa
−=
4
13Raíz
e)
−=−3
113113 xx
=
3
11Raíz
f)
+=
+=+2
56
6
156156 xxx
g)
−−=
−−=+−3
89
9
249249 xxx
h)
+=+6
12
3
12 xx
−=
6
1Raíz
i)
−−=+−20
18
5
28 xx
=
20
1Raíz
j) )2(363 2 −=− xxxx 0{=Raíces
k) )4(282 2 −−=+− xxxx Raíces
l) )3(5155 223 −=− xxxx =Raíces
m) ( )93273 2 −−=+− xxxx Raíces
n) ( )55255 334 −=− xxxx =Raíces
o) ( )27147 2 +=+ xxxx {=Raíces
p) ( )66366 2 +=+ xxxx {=Raíces
q) )4(3123 223 −−=+− xxxx Raíces
r) )6(2122 223 −−=−− xxxx Raíces
s) )1(3
1
3
1
3
1 334 +=+ xxxx Raíces
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS . SOLUCIONES
Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
4
13
−=
2
5Raíz
3
8
=3
8Raíz
20
1
}2,0
}4,0{=
}3 , (doble) 0{=
{ }9,0=Raíces
{ }5 (triple), 0=
{ }2 , 0 −
{ }6,0−
}4 , (doble) 0{=Raíces
}6 , (doble) 0{=Raíces
} 1 (triple), 0 { −=Raíces
4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
1
. SOLUCIONES
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) 1072 +− xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅−−±
=⇒=+−12
4)7(70107
22 xxx
2º) Factorización: 5(1072 −=+− xxx
b) 1872 −− xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅−−±
=⇒=−−12
4)7(70187
22 xxx
2º) Factorización: 9(1872 −=−− xxx
c) 963 2 −− xx
1º) Extraemos factor común 33 2 −⇒ x
2º) Hallamos las raíces del polinomio (
)1)(3(32
12
14)2(2032
2
22
+−=−−⇒
⋅⋅−−±
=⇒=−−
xxxx
xxx
3º) Factorización: (3963 2 −=−− xxx
d) 253 2 +− xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅−−±
=⇒=+−32
4)5(50253
22 xxx
2º) Factorización: −=+− 1(3253 2 xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
=±=±=−±=⋅⋅
2
37
2
97
2
40497101
x
x
)2)(5 −x }2,5{=Raíces
±=±=+±=−⋅⋅
2
117
2
1217
2
72497)18(1
)2)(9 +x }2,9{ −=Raíces
)32(396 2 −−=−− xxx
)32( 2 −− xx
2
42
2
162
2
1242)3(1
=±=±=+±=−⋅
x
x
)1)(3 +x }1,3{ −=Raíces
=
==±=±=−±=
⋅⋅6
15
6
15
6
2425523
x
x
−3
2)1 x
=
3
2 , 1Raíces
4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
2
=⇒−=
=⇒+=
22
37
52
37
x
x
−=⇒−=
=⇒+=
=2
2
117
92
11711
xx
xx
12
42
32
42
⇒
−=⇒−=
=⇒+=
xx
xx
=⇒=−=
=⇒+=
3
2
6
4
6
15
16
15
x
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
e) 32 2 ++ xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
22
)1(1032
22
⋅−±−
=⇒=++ xxx
2º) Factorización: )32( 2 ++ xx es irreducible
f) 202 −+ xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅⋅−±−
=⇒=−+12
14)1(1020
22 xxx
2º) Factorización: )(4(202 −=−+ xxx
g) 16 2 −+ xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅⋅−±−
=⇒=−+62
64)1(1016
22 xxx
2º) Factorización:
−=−+3
1616 2 xxx
h) 1572 2 −− xx
1º) Hallamos las raíces del polinomio
⋅−−±
=⇒=−−22
4)7(701572
22 xxx
2º) Factorización: −=−− (21572 2 xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
tieneno4
231
4
2411324=−±−=−±−=
⋅⋅−
es irreducible
±−=±−=+±−=−⋅
2
91
2
811
2
8011)20(1
)5)( +x }5,4{ −=Raíces
=±−=±−=+±−=−⋅
12
51
12
251
12
2411)1(6
+
2
1
3
1x
−=
2
1 ,
3
1Raíces
±=±=+±=−⋅⋅ 7
4
1697
4
120497
2
)15(24
+−2
3)5 x
−=
2
3 , 5Raíces
4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
3
realsolución tiene
−=⇒−−=
=⇒+−=
=5
2
91
42
91
xx
xx
−=⇒−=
=⇒==
2
1
12
6
3
1
12
4
xx
xx
−=⇒−=
=⇒==±
2
3
4
6
54
20
4
13
xx
xx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
i) 234 862 xxx ++−
1º) Extraemos factor común 22x−
2−
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio
)1)(4(43
12
14)3(3043
2
22
+−=−−⇒
⋅⋅−−±
=⇒=−−
xxxx
xxx
3º) Factorización: 862 234 =++− xxx
j) xxx 4113 23 −−
1º) Extraemos factor común “x ”
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio
⇒
−=⇒−=
=⇒+=
=±=
⋅−−±
=⇒=−−
3
3
1
6
1311
46
1311
6
1311
32
)11(1104113
22
xx
xx
xxx
3º) Factorización: =−− (4113 23 xxxx
−=
3
1 , 0,4Raíces
k) 345 45396 xxx −−−
1º) Extraemos factor común “ 33x− ”
6 5− x
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
)43(2862 22234 −−−=++ xxxxxx
y factorizamos el polinomio )43( 2 −− xx
2
53
2
253
2
1693)4(1
=±=±=+±=−⋅
x
x
)1)(4(2)43(2 222 +−−=−−− xxxxxx Raíces
)4113(4113 223 −−=−− xxxxxx
) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )4113( 2 −− xx
+−=−−
=±=+±=−⋅⋅−
3
1)4(34113
6
16911
6
4812111
3
)4(34
2 xxxx
−=
+−⋅⋅=−− (33
1)4(3)4113( 2 xxxxxxx
)15132(34539 23345 ++−=−− xxxxx
4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
4
12
53
42
53
⇒
−=⇒−=
=⇒+=
x
x
}1,4 (doble), 0{ −=Raíces
+−3
1)4 x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio
⇒
−=⇒−−=
−=⇒+−=
=±−=
±−=⇒=++
54
713
2
3
4
713
4
713
2
)13(13015132
22
xx
xx
xxx
3º) Factorización: −−− 45396 345 xxx
−−=
2
3 , 5 (triple), 0Raíces
l) xxx7
6
7
1
7
1 23 −+
1º) Extraemos factor común “x7
1”
2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio
)3)(2(6
12
14)1(106
2
22
+−=−+⇒
⋅⋅⋅−±−
=⇒=−+
xxxx
xxx
3º) Factorización: 7
1
7
6
7
1
7
1 23 =−+ xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )15132( 2 ++ xx
++=++⇒
±−=−±−=⋅
⋅⋅−
2
3)5(215132
4
13
4
12016913
22
)15()2(4
2
2
xxxx
+⋅⋅−=++−= )5(23)15132(3 323 xxxxxx
)6(7
1
7
6
7
1
7
1 223 −+=−+ xxxxxx
y factorizamos el polinomio )6( 2 −+ xx
2
51
2
251
2
2411)6(=±−=±−=+±−=
−⋅
)3)(2(7
1)6(
7
1 2 +−=−+ xxxxxx
4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
5
=49
++−=
+2
3)5(6
2
3 3 xxx
32
51
22
51
⇒
−=⇒−−=
=⇒+−=
xx
xx
}3,2 ,0{ −=Raíces
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
4. Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y
e indica las raíces en cada caso:
a) 22 )8(6416 −=+− xxx =Raíces
b) 223 168(580405 ++=++ xxxxxx
c)
−=
+
−=−10
4
10
4
100
162 xxxx
d)
−=
−=−3
49
9
169169 22 xxx
e) (5)16(5805 22224 =−=− xxxxxx
f) 223 12(272242 +−=−−− xxxxxx
g) 23345 6(218122 +−=+− xxxxxx
h) 23345 6(7
1
7
9
7
6
7
1 −=+− xxxxxx
i) 2()2)(2(4 224 −=+−=− xxxx
j) (9)25(92259 24226 =−=− xxxxx
}5,5(doble), 0{ −=Raíces
k) 22234 (15606015 −=−+− xxxxx
l) 22
4
5)12(
4
5
4
5
2
5
4
5 =+−=+− xxxx
m) 22 (3)12(3363 =+−=+− xxxxx
n) 223 8(348243 ++−=−−− xxxxxx
o) 5)81(54055 45 −=−−=+− xxxxx
p) )(2()4)(4(16 224 −=+−=− xxxx
q) )(2(5
3)4(
5
3
5
12
5
3 244 −=−=− xxx
r) 5)64(53205 45 −=−−=+− xxxxx
s) )(1()1)(1(1 224 −=+−=− xxxxx
t) ()16)(16(256 2448 =+−=− xxxx
u) (2)25(2502 22224 =−=− xxxxxx
v) 22234 (5125505 +−=−−− xxxxx
w) )16(2322 23 +=+ xxxx =Raíces
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y/o con ayuda de las identidades notables
}(doble) 8{=
2)4(5)16 += xx }(doble) 4,0{ −=Raíces
+
−5
2
5
2x
−=
5
2,
5
2Raíces
+3
4x
−=
3
4,
3
4Raíces
)4)(4 +− xx }4,4(doble), 0{ −=Raíces
2)6(2)36 +−=+ xxx (doble) 6, 0{ −=Raíces
23 )3(2)9 −=+ xx (doble) 3(triple), 0{=Raíces
23 )3(7
1)9 −=+ xx
(doble) 3(triple), 0{=Raíces
)2)(2)(2 2 ++ xx }2,2{−=Raíces
5)(5)(5(9)5)(5( 2222 ++−=+− xxxxxx
22 )2(15)44 −−=+− xxx (doble), 0{=Raíces
2)1(4
5 −x
}(doble) 1{=Raíces
2)1− }(doble) 1{=Raíces
2)4(3)16 +−=+ xx (doble) 4, 0{ −=Raíces
)9)(3)(3(5)9)(9( 222 ++−−=+− xxxxxxx
)4)(2)( 2 ++ xx }2,2{ −=Raíces
)2)(2)(2(5
3)2)( 22 ++−=+ xxxx
Raíces
)(8)(8(5)8)(8( 222 ++−−=+− xxxxxxx
)1)(1 2 ++ x }1,1{ −=Raíces
4)(2)(2()16)(4)(4 2422 ++−=++− xxxxx
)5)(5 +− xx }5,5(doble), 0{ −=Raíces
22 )5(5)2510 +−=++ xxx (doble), 0{=Raíces
}0{=
4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
6
con ayuda de las identidades notables
}(doble)
}(doble)
}(doble)
)5
}(doble) 2(doble),
}(doble)
}3,3, 0{ −=Raíces
}2,2{−=Raíces
)8 }8,8,0{ −=Raíces
)16)(4 4 +x }2,2{ −=Raíces
}(doble) 5(doble),−
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
5. Factoriza completamente los siguientes polinomios
a) )1()2510()16( 222 =+⋅+−⋅− xxxx
Los dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible
}5(doble),4,4{ −=Raíces
b) )22()45( 32 xxxx +−⋅+−
� ±
=⇒=+−2
)5(5045
22 xxx
)1)(4(452 −−=+−⇒ xxxx
� (2)1(222 23 −=−−=+− xxxxx
Por tanto,
)(4()22()45( 32 −=+−⋅+− xxxxx
}1,4(doble),1 ,0{ −=Raíces
c) =−⋅+−⋅− )25()168()1( 422 xxxx
)(5()4)(1)(1( 2 +−−+−= xxxxx
Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.
}5,5(doble), 4,1,1{ −−=Raíces
d) )87()4()4( 222 −+⋅+⋅− xxxx
� )2)(2(42 +−=− xxx
� 42 +x
Es irreducible
� ±−
=⇒=−+7(7
0872 xxx
)8)(1(872 +−=−+⇒ xxxx
Por tanto,
()87()4()4( 222 =−+⋅+⋅− xxxxx
}8,1,2,2{ −−=Raíces
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
Factoriza completamente los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso
)1()5)(4)(4( 22 +−+−= xxxx
dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible
=±=±=−±=⋅
⋅⋅−2
35
2
95
2
16255
12
)4(14
)1)(1( +− xx
)(4()1(2)1)(1)(2)(1)( 2 −−−=+−−− xxxxxxx
=+−−+−= )5)(5()4)(1)(1( 222 xxxxx
)5)(5 2 ++ x
Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.
±−=+±−=⋅
−⋅⋅−2
817
2
32497
12
)8(14)7 2
)8)(1)(4)(2)(2 2 +−++− xxxxx
4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
7
e indica las raíces en cada caso:
dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible
⇒
=−=
=+==
12
35
42
35
x
x
)1+x
⇒
−==
=±−=8
1
2
97
x
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
e) 96()56()1( 222 +−⋅+−⋅+ xxxxx
� )1( 2 +x
es irreducible
� −±
=⇒=+−2
)6(60562 xxx
)5)(1(562 −−=+−⇒ xxxx
� 22 )3(96 −=+− xxx
Identidad notable
Por tanto,
222 )96()56()1( +−⋅+−⋅+ xxxxx
}(doble) 3,5, 1{=Raíces
f) )49()753( 435 −⋅+− xxx
� )25(3753 2335 =−−=+− xxxx
� ()7)(7(49 224 −=+−=− xxxx
Por tanto,
5(3)49)(753( 3435 −−=−+− xxxxx
}7,7,5,5(triple), 0{ −−=Raíces
g) )25()1()84( 22 xxxx −⋅++⋅+−
� )2(484 −−=+− xx
� 12 ++ xx
Es irreducible
12
)1(101
22
⋅±−
=⇒=++ xxx
� 5()5)(5(25 2 −−=+−=− xxxx
Por tanto,
)25()1()84( 22 −=−⋅++⋅+− xxxx
}5,52,{ −=Raíces
h) )5()16()16( 242 xxx −⋅−⋅−
� 4()4)(4(16 2 −−=+−=− xxxx
� ()4)(4(16 224 −=+−=− xxxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
)9
±=±=−±=⋅
⋅⋅−2
46
2
166
2
20366
12
514)2
Identidad notable
22 )3)(5)(1)(1() −−−+= xxxx
)5)(5(3 3 +−− xxx
)7)(7)(7 2 ++− xx
)7)(7)(7)(5)(5 2 ++−+ xxxx
tieneno 2
31
2
411
1
114⇒
−±−=−±−=⋅⋅−
)5)(5 +x
2(4)]5)(5()[1)(2(4 2 −=+−−++−− xxxxxx
)4)(4 +x
)4)(2)(2 2 ++− xx
4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
8
⇒
==
=1
5
x
x
realsolución tiene
)5)(5)(1)(2 2 +−++ xxxx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
� ()5)(5(5 2 −=+−=− xxxx
Por tanto,
)(4)(2)(2)(4)(4(
()5()16()16(2
242
++−+−=
−−=−⋅−⋅−
xxxxx
xxxx
}5,5,2,2,4,4{ −−−=Raíces
i) )363()4914( 22 −+−⋅+− xxxx
� 22 )7(4914 −=+− xxx
� 22 )12(3363 +−−=−+− xxxx
Por tanto,
22 ()363()4914( =−+−⋅+− xxxxx
}(doble)1(doble), 7{=Raíces
j) )66()1213()5( 22 +⋅++⋅− xxxx
� )5)(5(52 +−=− xxx
� ±−
=⇒=++13
012132 xxx
)12)(1(12132 ++=++⇒ xxxx
� )1(666 +=+ xx
Por tanto,
()66()1213()5( 22 =+⋅++⋅− xxxxx
}12,(doble)1,5,5{ −−−=Raíces
s) (2)125(22502 34 =+=+ xxxxxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSDepartamento de Matemáticas
)5)(5 +− x
)5)(5)(
)(5()[4)(2)(2)(4)(4 2
+−
+−−++−+−
xx
xxxxxx
2)1(3 −−= x
2222 )1()7(3)1)(3()7 −−−=−−− xxxx
±−=−±−=⋅
⋅⋅−2
1113
2
4816913
12
1214)13( 2
(6)1(6)12)(1)(5)(5 −=++++− xxxxxx
)255)(5 2 +−+ xxx }5,0{ −=Raíces
4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 3º ESO
9
)]5 =+
⇒
−=
−==
12
111
x
x
)12()1)(5)(5 2 +++ xxx