U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística TEORÍA DE COLAS. Introducción y propiedades básicas

Sesión 3.a TEORIA DE COLAS

INTRODUCCIÓN y PROPIEDADES BÁSICAS

1. OBJETO Y MOTIVACIÓN de los SISTEMAS de ESPERA. Ejemplos.2. ESTRUCTURA DE LOS S.E. Características de los componentes. Proceso de llegadas y de servicio. Notación de KENDALL-LEE3. MAGNITUDES FUNDAMENTALES de los S.E. Tiempo de espera por cliente. Comportamiento de un S.E.4. FORMULA de LITTLE.

Resultado de Little y ocupación media del S.E.5. ESTADO ESTACIONARIO. Valores medios a largo término.

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OBJETO Y MOTIVACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ESPERA

A menudo se presenta la situación en que los elementos de una poblaciónsolicitan, en instantes de tiempo diferentes, un servicio el cual es ofrecidopor un sistema S que tan sólo puede atender simultáneamente a unnúmero limitado de peticiones.

Habitualmente se da la circunstancia de que, estando el sistema Stotalmente ocupado, se producen nuevas peticiones de servicio las cualesno pueden ser atendidas inmediatamente y por tanto éstas deben esperar aser atendidas.

CONFLICTO: ¿ cuál de las peticiones que permanecen a la espera pasará aser atendida en 1er lugar ?

Se establece una regla para decidir la primera petición que pasará a ser atendida deentre las que esperan servicio.

Típicamente: por antigüedad de la petición.

SE FORMA ASÍ UN SISTEMA DE ESPERA

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EJEMPLOS COTIDIANOS

• PERSONAS QUE ACUDEN A UNA TIENDA PARA COMPRARUN PRODUCTO EN LA QUE HAY UN NÚMERO LIMITADODE EMPLEADOS QUE ATIENDEN A LOS COMPRADORES.

• AUTOMÓVILES QUE ENTRAN EN UNA ESTACIÓN DE PEAJEDE UNA AUTOPISTA .

• SISTEMA INFORMÁTICO CON UNA IMPRESORA EN UNCENTRO DE TRABAJO DONDE DEBEN IMPRIMIRSE LOSDOCUMENTOS DE LOS EMPLEADOS.

• OFICINA BANCARIA CON UN NÚMERO LIMITADO DEVENTANILLAS PARA ATENDER A LOS CLIENTES DELBANCO.

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ESTRUCTURA GENERAL DE LOS SISTEMAS DE ESPERA (S.E.)

Población Sistema de Espera

Cola Sistema de servicio

Control de Entrada

COMPONENTES:

POBLACIÓN de CLIENTES: GENERA CLIENTES/PETICIONES DE SERVICIO

CONTROL de ENTRADA: CRITERIO QUE PERMITE O DENIEGA LA ENTRADA DE LOS CLIENTES

SISTEMA de ESPERA: COLA: Lugar físico donde se espera servicio.

SISTEMA DE SERVICIO: Lugar donde se recibe el servicio.

POLÍTICA DE SERVICIO: REGLA QUE DETERMINA CUÁL DE LOS CLIENTES EN ESPERA ("HACIENDO COLA") PASARÁ A SER ATENDIDO PRIMERO.

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CARACTERÍSTICAS de los COMPONENTES de los S.E.

POBLACIÓN de CLIENTES: Finita o Infinita.

FINITA. Correspondiente a S.E. cerrados: Hay siempre N clientes (población+S.E.)

Tras salir del S.E. el cliente se reintegra en la Población

Población Sistema de Espera

INFINITA: Correspondiente a S.E. abiertos.

Tras salir del S.E. el cliente sale al exterior (se pierde)

Población Sistema de Espera

Exterior

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CARACTERÍSTICAS de los COMPONENTES de los S.E.

CAPACIDAD del S.E.: Finita o Infinita

INFINITA: No hay limitación para el número de clientes N(t) que en un momento dado t puede contener el S.E.

FINITA (K): El número máximo de clientes N(t) presentes en el S.E. debe ser ≤ K

Si el S.E. está lleno al llegar un cliente éste se pierde:

Población Sistema de Espera

Si N (t) < K

Si N (t) = K

La capacidad del S.E. es una forma natural de control de entrada.

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CARACTERÍSTICAS de los COMPONENTES de los S.E.

SISTEMA DE SERVICIO:

• Integrado por una o más unidades de servicio (servidores) en número s.• Generalmente los servidores se suponen idénticos entre sí.• Cada uno de los servidores sólo puede atender un cliente a la vez.• Al finalizar un servicio el servidor queda libre y selecciona un cliente de

entre los que esperan en la COLA de acuerdo con la "POLÍTICA deSERVICIO".

POLÍTICA DE SERVICIO:

• FIFO (First In First Out)• LIFO (Last In First Out)

• Al azar

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CARACTERÍSTICAS COMUNES EN LOS S.E.

Tiempo de permanencia en el S.E. = tiempo de espera (en cola) + tiempo de servicio

Proceso de llegadas: Los instantes en los que se producen las peticiones son aleatorios: (P.ej. los instantes de llegada de los clientes a una tienda)

Proceso de servicio: Los tiempos de servicio son también aleatorios: (v.a. continua)

τ1 τ2 τ3 τk-1 τk … …

t

Tiempo de servicioTiempo de espera en cola

Tiempo de permanencia en el S.E.Instante deentrada en el S.E.

Instante desalida del S.E.

Modelización:

Intervalo τ entrellegadas:

Proceso de renovación

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NOTACIÓN de KENDALL-LEE

X/Y/s/[K]/[N]

Sigla que especifica elproceso de llegadas

Sigla que especifica lav.a. tiempo de servicio deun servidor

Número deservidores.Idénticos entresí, con tiempode servicio Y

Capacidad del S.E.(Opcional).

Si no aparece seentiende K=∞

Población.(Opcional).

Si no aparece seentiende N=∞

X, Y

• M - v.a. exponencial.• D - v.a. degenerada E[τ]=T, Var[τ]=0.• En - v.a. n-Erlang.• G - v.a. cualquiera (tiempos correlacionados

entre sí o no)• GI - v.a. cualquiera. Tiempos mútuamente

independientes.

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EJEMPLOS

• M/M/2 Proceso de llegadas: tiempo entre llegadas =proceso de renovación con variable τ exponencial, Proceso de servicio: tiempos de servicio iguales en cada servidor aleatorios y exponenciales, s=2 servidores, K=∞, N=∞.

• M/M/2/8 Igual que el anterior pero como máximo 8 clientes en el S.E.

• M/M/1/./4 Proceso de llegadas: tiempo entre llegadas =proceso de renovación con variable τ exponencial, Proceso de servicio: tiempo de servicio v.a. exponencial, s=1 servidor, K=∞, N=4.

• M/D/1 Proceso de llegadas: tiempo entre llegadas =proceso de renovación con variable τ exponencial, Proceso de servicio: tiempos de servicio constantes, s=1 servidores, K=∞, N=∞.

• GI/M/1 Proceso de llegadas: tiempo entre llegadas =proceso de renovación con variable τ cualquiera, Proceso de servicio: tiempo de servicio v.a. exponencial, s=1 servidor, K=∞, N=∞.

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E.

SERVIDOR

COLA

Cn Cn+1 Cn+2 τn τn+1

Cn Cn+1 Cn+2

wq,n

Cn-1 Cn+2Cn Cn+1

xn+1 xn xn+2

wn

TIEMPO

wn+2

τn - Tiempo entre llegada delcliente n y n+1.

wn - Tiempo de permanenciaen el S.E. del cliente n.

wq n - Tiempo de permanenciaen cola. del cliente n.

xn - Tiempo de servicio delcliente n.N (t) - Número de clientes enel instante t en el S.E.

Nq(t) - Número de clientes enel instante t en Cola.

Pn(t) = P (N(t) =n)

N(t)

t

1

2

3

0

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E.

COMPORTAMIENTO: Pueden presentarse dos situaciones:

1. En promedio la afluenciade clientes al S.E.sobrepasa la capacidad detrabajo del Sistema deServicio:

N(t) PRESENTA UNATENDENCIA CRECIENTE

2. El Sistema de Servicio tienesuficiente capacidad detrabajo frente a la afluenciade clientes:

N(t) puede crecer en ocasiones,pero el S.E. siempre retorna al

estado 0 (vacío)

t

N(t)

N(t)

t

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E.

Tiempo medio de espera por cliente en el S.E.

Tiempo medio de espera por cliente en Cola.

Número de llegadas en [0,t]: e(t)

Tasa media de llegadas en [0,t], Tasa media de llegadas a largo término:

Teorema de renovación

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES en los S.E.

Resultado de Little. Para cualquier N(t) posible se verifica:

Análogamente, para cualquier Nq(t) posible se verifica:

N(t)

Ocupación media(nº medio de clientes) delS.E. a lo largo del tiempo.

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FÓRMULA DE LITTLE Situación 2.

siempre existe un número ilimitado de intervalos Io =[t', t''] con N(t)=0, t ∈ Io.

N(t)

t

1

2

3

0

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FÓRMULA DE LITTLE

• Ws = Tiempo depermanencia medio en elS.S.

• Ls = Longitud media declientes en el S.S.

5 ecuaciones, 6 incógnitas:L, Lq, Ls, W, Wq, Ws

( λ se supone conocida )

λ λλ

Cola S.S.

S.E.

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ESTADO ESTACIONARIO (E.E.)

Definición: Existe el e.e. cuando:

Pn : Interpretación: fracción del tiempo que el sistema está en el estado n.

Si se conocen Pn , n=0,1, … K (≤∞) pueden calcularse L, Lq

• Mediante las fórmulas de Little pueden determinarse el restode magnitudes.

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( Sistema de Servicio: sservidores )

τi1 τi2

τi3 τik … …t

Tasa media λ de llegadas al S.E. : Puede ocurrir que el tiempoentre llegadas τ sea v.a. con distribución dependiente del estadoN del sistema.Ejemplo: los clientes de una tienda llegan con menos frecuenciasi observan que la tienda está muy llena (N alto)

N=i1 … …

t

N=i2N=i3 N=ik

τik

Para Lq:

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Práctica 3. Comportamiento de la cola M/M/1. Estimación de los parámetros de entrada

Objetivo: Se dispone de una muestra de los tiempos entre llegadas a un S.E. y de los tiemposde servicio del servidor de este S.E. En ambos casos el tamaño de la muestra es de 1000observaciones. Se sabe que corresponden a distribuciones exponenciales de tiempo. Sepretende:a) Verificar mediante el test de χ2 que efectivamente corresponden a una distribución

exponencial.b) Obtener los intervalos de confianza para la tasa de llegadas por unidad de tiempo

(parámetro λ de la distribución exponencial del proceso de llegadas) y para el factor decarga ρ del S.E.

c) Simular mediante la macro mm1.mtb el comportamiento del S.E. comparando lasmagnitudes L, W, Wq obtenidas mediante la simulación con los que proporciona la teoríade colas.

3. Simulación del S.E. M/M/1.La simulación puede efectuarse mediante la macro mm1.mtb.

K1 = N, número de clientes.K2 = 1/λ, tiempo medio entre llegadas.K3 = 1/µ tiempo medio de servicio.

MTB> let K1= 300MTB> let K2= 10MTB> let K3= 11MTB> let K4= 0,9MTB> exec "mm1.mtb"

4. Presentación de resultados de la macro "mm1.mtb".

∫= t dNt

tL 01 ττ )()(

5. Intervalos de confianza para las tasas λ y µ y para el factor de carga ρ =λ/µ.Se dispone de dos muestras t1, t2, …, tn y s1, s2, …, sm para los procesos de llegada yde servicio (tiempos distribuidos exponencialmente). Se quiere encontrar un intervalode confianza de probabilidad 1-α para las tasas de llegada λ y de servicio µ a partir delas dos muestras.El estimador máximo verosímil para λ y µ es:

Tt nn

ii

nn ==∑=1

λ̂ , Ss m

m

ii

mm ==∑=1

µ̂

Dado que Tn se distribuye según una ley n-Erlang de parámetro θ = λ/k (o tambiénuna Gamma(λ, n) ),

[ ] [ ] χλλλ 221 2

12222 nnnn

ii nGammanEE TTt =

⇒==∑

=,~

Fmn mnmn 2222

22 22 ,~

ˆˆ

ˆ~ˆ

,~ˆ ρρ

µµ

λλ

χµµχ

λλ =⇒

Intervalo de confianza al 1-α para λ :

+− xnxn 22

λλ ˆ,

ˆ

Intervalo de confianza al 1-α para ρ : [ ]ff +− ρρ ˆ,ˆ

La siguiente tabla ilustra los tamaños de muestra necesarios para obtener intervalos deconfianza del 95% y la amplitud de los mismos.

n=m f- f+ ef(%) x-/2n x+/2n ex(%) . 10 0,405 2,461 143 0,479 1,708 112 100 0,757 1,321 54 0,813 1,205 38 1000 0,916 1,091 17 0,939 1,062 1210000 0,972 1,028 5 0,980 1,019 3

6. Test de Bondad de Ajuste de χ2

Utilizad la macro "x2.mtb" para efectuar un test de bondad de ajuste de χ2 a unadistribución k-Erlang a partir de una muestra de tiempos para los procesos de llegadasy/o de servicios a un S.E.

Calcula una medida global de la discrepancia entre ni y ne :

( )∑

−

==

N

i en

neniX

1

22

La variable X2 se distribuye según una ley χ 21−−mN , Se rechazará la distribución

propuesta si P(x ≥ X2) = p-valor < α

7. Procedimiento para usar la macro "x2.mtb":Supongamos, por ejemplo, que se dispone de una muestra para la que las estadísticasbásicas son:Variable N Mean Median TrMean StDev SE Meansample 500 19,914 19,607 19,702 5,990 0,268

Variable Minimum Maximum Q1 Q3sample 6,607 41,172 15,660 23,373

1) Haced una estimación de los parámetros de la distribución de la quepresumiblemente proviene la muestra.

2) Estableced los valores de las constantes k100, k101, k102, k103.

MTB> let k100=9,95MTB> let k101=2MTB> let k102=500MTB> let k103=7

Proporciona:

- El p-valor en la constante k105 y el resto de constantes k100-k104 bajo las que haejecutado.

- El valor de X2

- Gráficos con el histograma de la muestra, la función de densidad de probabilidadpara la distribución y el diagrama de barras para las frecuencias ni.

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(3.b) MODELOS EXPONENCIALES de COLAS

INTRODUCCIÓN A LOS PROCESOS DE NACIMIENTO YMUERTE. Ecuaciones de equilibrio. Condición de E.E.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO: La cola M/M/1. Ilustración del comportamiento.

MODELOS DE COLAS EXPONENCIALES. Trabajo de servidores en paralelo. Casos importantes: M/M/s , M/M/s/K , M/M/s/./N. Propiedades. Longitudes medias y Tiempos de permanencia.

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PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE

Puede ocurrir que el tiempo entre llegadas τ sea v.a. condistribución dependiente del estado N del sistema.

τi1 τi2

τi3 τik … …t

τik

• "Nacimiento" indica llegada al S.E• "Muerte" indica salida del S.E.

1. Si ( ) ntN = el tiempo entre llegadas τ ~ exp. de parámetro nλ .2. Si ( ) ntN = el tiempo de servicio ~exp. De parámetro nµ .

Sólo una llegada o una salida al/del sistema puede darse encada instante t.

Diagrama de tasas de transición

Muestra las posibles transiciones permitidas en el estado del sistema enun instante.

La distribución de probabilidades del estado del sistema, N(t), en régimenestacionario es relativamente intuitivo de deducir a partir del diagrama detasas de transición.

0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •

λ0 λn-1λ2λ1 λn λn+1

µ1 µ2 µ3 µn µn+1 µn+2

Tasas del proceso de llegadas al S.E.

Tasas del proceso de servicio en el S.E.