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MATRIZ DE CHEQUEO DE PARIDADMatriz de Chequeo de Paridad

Definiremos una matriz H, a la cual llamaremos la matriz de chequeo de paridad, la cual nos permitir decodificar los vectores recibidos.

Para cada matriz generadora G existir una matriz H de tal forma que las filas de G son ortogonales a las filas de H; es decir, GHT = 0. HT es una matriz cuyas filas son las columnas de H y viceversa.

Para cumplir con las condiciones de ortogonalidad de un cdigo sistemtico, las componentes de la matriz H se escriben como;

Y la matriz HT se escribe como:

El producto UHT para cada palabra codificada U (generada por G) y la matriz HT es;

Una vez que se ha obtenido la matriz H se usa esta para probar si un vector recibido hace parte del conjunto de palabras codificadas. U es una palabra codificada generada por G, si y solo si, UHT = 0.

Prueba de Sndrome

Tenemos un vector recibido, al cual llamaremos r (una de las 2n n-tuplas posibles). Este vector r es el resultado de la transmisin de U = u1, u2, , un (una de las 2k n-tuplas).

Podemos entonces describir r como:

Donde e = e1, e2, , en es un vector de error patrn de error causado por el canal. Hay un total de 2n-1 patrones de error potenciales diferentes de cero en el espacio de 2n n-tuplas.

El sndrome de r se define como:

El sndrome es el resultado de un chequeo de paridad realizado en r para determinar si es un miembro del conjunto de palabras codificadas. Si es as, el sndrome tendr un valor de cero; 0.

Si r contiene errores detectables, el sndrome tendr un valor diferente de cero. Si r contiene errores corregibles, el sndrome tendr un valor diferente de cero que puede distinguir el patrn de error particular.

Dependiendo de cmo se haya implementado el decodificador, FEC ARQ, este tomar una accin para localizar el error y corregirlo (FEC), o har una peticin de retransmisin (ARQ).

El sndrome de r se puede escribir como:

Pero el primer trmino es cero. De tal forma que:

La prueba del sndrome puede ser realizada en el vector codificado errneo, en el patrn de error que lo causa, teniendo en ambos casos el mismo resultado.

La matriz de chequeo de paridad debe cumplir con dos propiedades:

Ninguna columna de H puede tener solo ceros, porque un error en la palabra codificada correspondiente no afectara al sndrome y no podra ser detectado.Todas la columnas de H deben ser nicas, porque si existiesen dos iguales los errores en las dos palabras codificadas correspondientes no sera distinguibles.

Ejemplo.

Tenemos la palabra codificada U = 1 0 1 1 1 0, la cual es transmitida.

Como resultado se recibe el vector r = 0 0 1 1 1 0

El primer bit de la izquierda se recibe con error.

Encuentre el valor del vector sndrome S = rHT y verifique que es igual a eHT.

Solucin:

S = rHT

Sndrome del vector codificado corrupto

eHT = Sndrome del patrn de error

Correccin de error.

Hemos detectado un error sencillo y hemos demostrado que la prueba de sndrome realizada tanto en la palabra codificada corrupta como en el patrn de error que lo causa, tienen el mismo valor.

Esto nos lleva a que no solamente podemos detectar los errores, sino que el hecho de tener una correspondencia uno a uno entre los patrones de error corregibles y los sndromes, podemos corregir esos errores.Primero vamos a organizar en un arreglo las 2n n-tuplas que representan los posibles vectores recibidos. A este arreglo lo llamaremos arreglo estndar.

La primera fila contiene todas las palabras codificadas, comenzando con la de todos ceros, y la primera columna contiene todos los patrones de error corregibles.

A cada fila la llamaremos un coset (abreviatura de conjunto de nmeros que tiene una caracterstica comn). Cada coset tiene en su primera columna un patron de error, el cual es llamado el coset lder, seguido de las palabras cdificadas modificadas (perturbadas) por ese patrn de error.

Formato de arreglo estndar para un cdigo (n,k)

La palabra codificada U1 esta compuesta por todos ceros y cumple doble funcin; es una palabra codificada y adems, como patrn de error, representa el hecho de no haber errores, es decir, r = U. El arreglo contiene todas la 2n n-tuplas en el espacio Vn. Cada n-tupla aparece una sola vez. No falta ninguna, y ninguna se repite.

El algoritmo de decodificacin esta encargado de reemplazar un vector corrupto (cualquier n-tupla excepto las de la primera fila) por una palabra codificada vlida que se encuentra en la parte superior de la columna del vector corrupto.

Suponga que se transmite una palabra codificada Ui a travs de un canal ruidoso, y como resultado se recibe un vector corrupto Ui + ej.

Si el patrn de error ej, causado por el canal es un coset lder, el vector recibido ser decodificado correctamente, en caso contrario la decodificacin ser errnea.Sndrome de un coset.

Si ej es el coset lder patrn de error del coset j-esimo, entonces Ui + ej es una n-tupla en ese coset. El sndrome de esa n-tupla se puede escribir como:

Como es un vector codificado, y entonces:

Que es lo que tienen en comn los miembros de cualquier fila (coset)? Todos los miembros de un coset tienen el mismo sndrome. El sndrome de cada coset es diferente a los dems.

Correccin de error

El procedimiento para la correccin de error es el siguiente:

Calcular el sndrome de r usando S = rHT.Localizar el patrn de error (coset lder) ej, cuyo sndrome es igual a rHT.Se asume que este patrn de error es la corrupcin causada por el canal.El vector correcto recibido, o palabra codificada, se identifica como U = r + ej. Se puede decir que se ha recuperado la palabra codificada correcta restando el error.

Localizando el patrn de error

Retomando el ejemplo (6,3) manejado hasta ahora, podemos organizar las 26 = 6-tuplas en un arreglo estndar.

Las palabras codificadas vlidas son los 8 vectores de la primera fila. Y los patrones de error corregibles son los siete coset lderes de la primera columna. Todos los patrones de error de un bit son corregibles.

Todava queda cierta capacidad de correccin de errores que no ha sido incluida. Y tambin falta un coset lder por asignar. Se escoge este ltimo coset de una forma algo arbitraria para llenar el arreglo.

Ahora calculamos el sndrome correspondiente a cada una de las secuencias de error corregibles calculando ejHT para cada coset lder;

El resultado se muestra en la siguiente tabla.

Como cada sndrome en la tabla es nico, el decodificador puede identificar el patrn de error e al cual corresponde.Ejemplo de correccin de error.

Se ha transmitido la palabra codificada U = 1 0 1 1 1 0 y se ha recibido el vector r = 0 0 1 1 1 0. Muestre de que manera el decodificador puede corregir el error.

Se calcula el sndrome de r;

Usando la tabla Sndrome - Patrn de error, tenemos que el patrn de error para este sndrome es:

El vector corregido se calcula mediante: