1razonamiento aritmético

8/18/2019 1razonamiento aritmético

1/57

1razonamiento aritmético

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO EJERCICIOS DE PRÁCTICA PARA LA PAA 1.

Juan comra 1! "u#ce$ or %& e$o$. Si a# "'a $i(uiente e# recio "e

ca"a "u#ce $e incremento a ) e$o$* cuanto $e a+orro Juan or "u#ce a#

comrar#o$ con e# recio anterior. ,A- ! e$o$ ,- e$o$ ,C- % e$o$ ,D-

e$o$ ,E- / e$o$ !. E# re$u#ta"o "e #a oeraci0n e$ ,A- ,- ,C- ,D- ,E- %.

Si a 2ue e$ i(ua# ,A- % ,- ) ,C- 3 ,D- !4 ,E- /5 5. Si a 2ue e$ i(ua# ,A- 6!

,- ! ,C- 61) ,D- %! ,E- 6%! /. Si %78/91&% "etermina a 2ue e$ i(ua# :

,A- ; ,- 3 ,C- 1& ,D- 3; ,E- 1&% ).Determina e# #a ? @ 1 % % 4 5 ) 1% ,A- ; ,- 3 ,C- 1& ,D- 11 ,E- 1! 4.

Determina e# #a ? @ 1 ! ! / % 5 14 ,A-

; ,- 3 ,C- 1& ,D- 11 ,E- 1! ;. Determina e# #a ? @ 1 1 ! ; % 5 )5 ,A- 3 ,- 1) ,C- !/ ,D- !4 ,E- ;1 3.

Determina #a =0rmu#a 2ue "a e# termino (enera# en =unci0n "e n en #a

$i(uiente $ecuencia %* )* 11* 1;* ,con$i"era e# rimer término cuan"o

n91- ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 1&. Determina #a =0rmu#a 2ue "a e# termino

(enera# en =unci0n "e n en #a $i(uiente $ecuencia !* /* 1&* 14*

,con$i"era e# rimer término cuan"o n91- ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 11. Si 7 e$

un nBmero ar* cu# "e #a$ $i(uiente$ e7re$ione$ re$u#ta nBmero

imar ,A- 7 − 5 ,- 7 8 5 ,C- ! ,7 8 1- ,D- 7 ,7 − 1- ,E- 7 8 1 1!. La

$uma "e "o$ nBmero$ entero$ imare$ con$ecutien una "e #a$ cuatro ca#iHcacione$ A* *

C F D. Si o>tienen A* o>tienen * o>tienen C F !& a#umno$ reci>en D.

Cunto$ e$tu"iante$ +aF en tota# en #a e$cue#a ,A- %& ,- )& ,C- 1&&,D- !&& ,E- 5&& 14. E# #ar(o "e un rectn(u#o $e incrementa 1/ F e#


2/57

anc+o "e# rectn(u#o $e incrementa or !&. Determina e# orcentae

en 2ue e# rea $e incrementa. ,A- 1& ,- 1/ ,C- !& ,D- %; ,E-

5& 1;. Si $e tienen "o$ c'rcu#o$ "e ra"io 1cm F !cm re$ectio$ en #i$tone$ #o m$ #ar(o$ o$i>#e$ F "e

i(ua# #on(itu" $in 2ue #e $o>re materia#. ,A- / ,- 1& ,C- 1/ ,D- !/ ,E- 4/!/. A Juan F $u e$o$a #e$ a(an en "i=erente$ =ec+a$ a Juan ca"a1;

"'a$ F a $u e$o$a ca"a1/ "'a$. Si e# "'a "e +oF coinci"ieron* cunto$

"'a$ "e>en "e tran$currir ara 2ue e 2ue to"o$ tienen a# meno$ uno "e #o$ "o$ ,A- & ,- 5 ,C- )

,D- 4 ,E- 11 %!. En una rearatoria e# c#u> "e Matemtica$ tiene 1/

miem>ro$ F e# c#u> "e Ciencia$ tiene 1! miem>ro$. Si en tota# 1%

e$tu"iante$ ertenecen Fa $ea $o#amente a Matemtica$ o $o#amente aCiencia$* cunto$ e$tu"iante$ ertenecen a am>o$ c#u>e$ ,A- ! ,- )


3/57

,C- 4 ,D- 1! ,E- 15 %%. 51) e$tu"iante$ tienen un io"* un ce#u#ar o

am>o$. Si %1) $on "ueo$ "e ce#u#ar* cunto$ $on "ueo$ "e io" ero

no "e ce#u#ar ,A- %) ,- 1&& ,C- 1%) ,D- 1;& ,E- %1) %5. En una

encue$ta rea#iza"a a %&& con$umi"ore$* $e o>tuo$ En

#a ta>#a anterior* $i $e e#i(e uno "e #o$ con$umi"ore$ a# azar* cu# e$ e#

orcentae "e ro>a>i#i"a" "e 2ue +aFa re=eri"o $o#amente en e#

ro"ucto "e tio ,A- )& ,- 1%.%5 ,C- %& ,D- 5).)4 ,E- /!

%/. En una encue$ta rea#iza"a a %&& con$umi"ore$* $e o>tuo$ En #a ta>#a anterior* $i $e e#i(e uno "e #o$ con$umi"ore$ a# azar*cu# e$ #a ro>a>i#i"a" "e 2ue no reHera e# ro"ucto tio A ni e# ,A-

&.1 ,- &.! ,C- &.% ,D- &.5 ,E- &./ %). Si a #a ra'z cua"ra"a "e #a

"i=erencia "e 7 F % $e #e aa"e / F "a como re$u#ta"o 3. Determina e#


4/57

AD F C ara#e#o$. Cu# e$ #a me"i"a en (ra"o$ "e# n(u#o ADC ,A-

!!./ ,- 11!./ ,C- 5/ ,D- )4./ ,E- 11.!/ 5;. En #a $i(uiente H(ura*

* F #a recta L corta #o$ #a"o$ F en #o$ unto$ U F K. Si #a me"i"a "e#

n(u#o 1 e$ "e 1&/* cunto$ (ra"o$ mi"e e# n(u#o ! ,A- 4/ ,-1&/ ,C- %) ,D- 1;& ,E- 3& 53. E# n(u#o 7 e2uirea"a encent'metro$ cua"ra"o$ ,A- 1)! cm! ,- ;1 cm! ,C- 5&./ cm! ,D- !&.!/

cm! ,E- 1!1./ cm! /5. E# er'metro "e cua"ra"o e$ /


5/57

e$a $emana ,A- )& ,- 4& ,C- 3& ,D- 1&& ,E- /& )!. Kna encue$ta

rea#iza"a a 1/&& a#umno$ $o>re $u$ re=erencia$ "eortio# 1; At#eti$mo 15 Xut>o# )! Deorte$ & ! 5 ) ; 1&

Acierto$ A#umno$ )5. La $i(uiente (rHca mue$tra #a$ (anancia$

anua#e$ "e una emre$a en un erio"o "e 4 ao$. En 2ué ao$ #a

(anancia =ue maFor ,A- 1 F ! ,- ! F % ,C- % F 5 ,D- 5 F / ,E- / F ) )/.Se rea#iza una encue$ta a )&& c#iente$ "e una ca=eter'a $o>re e# tio "e

ca=é 2ue m$ #e a(ra"a* F #o$ re$u#ta"o$ $on #o$ $i(uiente$* mo$tra"o$

en #a $i(uiente (rHca. Cunto$ toman E7re$$ ,A- /! ,- 3) ,C- 1!&

,D- 4! ,E- %1! & ! 5 ) ; 1& 1 ! % 5 / ) 4 Mi##one$ "e Euro$ ao$ T'tu#o

"e# (rHco Americano !& E7re$$ 1! Cauc+ino /! MoYa 1)

Tio$ "e ca=é )). En una c#a$e "e 1& a#umno$ #a$ ca#iHcacione$ en #a

materia "e Arte Hna#e$ =ueron 4*4*4*4*4*;*;*;*;*1& Cu# e$ #ame"iana ,A- 4 ,- ; ,C- 4./ ,D- ;./ ,E- 4 F ; )4. La $i(uiente ta>#a

mue$tra #a a$i$tencia a cinco $a#a$ "e cine "e# centro comercia#. Sa#a

A$i$tencia A %;) 5&& C !3& D 5/& E n Si #a me"iana "e #a a$i$tencia a

#a$ cinco $a#a$ e$ %;) F no +aF "o$ $a#a$ con e# mi$mo nBmero "e

a$i$tencia$* Cu# e$ e# maFor #e ara n ,A- %;& ,- %3&

,C- /&& ,D- %;/ ,E- %;) );. La$ temeratura$ en una $emana =ueron * *

Cu# e$ #a me"iana ,A- ,- ,C- ,D- ,E- )3. Si e# "'a rimero "e un me$e$ #une$ F e# me$ tiene %1 "'a$* Cu#e$ $on #o$ "'a$ "e #a $emana "e

mo"a en "ic+o me$ ,A- Lune$* marte$ F miérco#e$ ,- Domin(o* #une$

F marte$ ,C- $o#o miérco#e$ ,D- S>a"o* "omin(o F #une$ ,E- Jueo$ P#aFa "e# Carmen PuertoUa##arta Ueracruz Mazat#n Puerto E$con"i"o 5 / 1 % ! 5 % 1 ! ,A- /


6/57

,- % ,C- 5 ,D- 1 ,E- ! 41. En una urna $e encuentran !& e$=era$ 4

>#anca$* / roa$ F ; azu#e$. Cu# e$ #a ro>a>i#i"a" 2ue a# $acar una

$ea azu# o roa ,A- ! ,- ,C- ,D- ,E- 4!. En un concur$o "e carta a un

ami(o $e encuentran !/& $o>re$ "e tre$ co#ore$ "i=erente$[ 14&re (ana"or $ea uno re no $ea amari##o ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 45. A# anotar e# co#or "e #o$

auto$ 2ue a$an en me"ia +ora en un unto "e carretera* $e o>tiene #a

$i(uiente in=ormaci0n #anco$ Roo$ Wri$e$ Ne(ro$ 3 4 5 1& Cu# e$ #a

ro>a>i#i"a" "e o>tener un auto "e co#or Roo ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 4/.aF 5/& a#umno$ "e tercer ao "e $ecun"aria F "e e##o$ 5&/ $e

(ra"uarn. ué arte "e# tota# no $e (ra"uar ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 4). E#

rome"io "e cuatro nBmero$ e$ %&* tre$ "e e##o$ $on 5/* %&* F !/. Cu#

e$ e# nBmero 2ue =a#ta ,A- 1&& ,- %/ ,C- 1!& ,D- !& ,E- 5& 44. Si e#

rome"io "e "o$ nBmero$ e$ 54 F uno "e e##o$ e$ !5* Cu# e$ e# otro

nBmero ,A- 35 ,- 4& ,C- 114 ,D- !% ,E- ;& 4;. La$ temeratura$

"urante una $emana en "etermina"a ciu"a" =ueron "e%!*!;*!/*!&*!/*!/*!4* Cu# =ue #a me"ia aritmética ,rome"io- "e

"ic+a$ temeratura$ ,A- 1;! ,- !/ ,C- %! ,D- !) ,E- !& 43. E#

rome"io "e 5 nBmero$ e$ 3[ e# rome"io "e otro$ / nBmero$ e$ ;.

Cu# e$ e# rome"io "e #o$ 3 nBmero$ ,A- ;.5 ,- 4.) ,C- ; ,D- 3 ,E- %;

;&. Materia$ Nota$ Ua#or E$ao# A 1& Matemtica$ A 1& In(#é$ ;

i$toria A 1& Arte C ) Ciencia$ io#o('a En #a ta>#a anterior $e

mue$tran #a$ ca#iHcacione$ "e A#=re"o en 4 materia$ "e octae o>tener en Ciencia$ F io#o('a ara 2ue $u rome"io

(enera# $ea "e ;. ,A- A*A ,- C*C ,C- A* ,D- * ,E- A*C ;1. Cu# "e #a$

$i(uiente$ ocione$ rere$enta e# "e$ee "e #a #e a "e #a

$i(uiente =0rmu#a ,A- ,- ,C- ,D- ,E- ;!. Cu# "e #a$ $i(uiente$

ocione$ rere$enta e# "e$ee "e #a #e U= "e #a $i(uiente

=0rmu#a ,A- ,- ,C- ,D- ,E- ;%. Cu# "e #a$ $i(uiente$ ocione$

rere$enta e# "e$ee "e #a #e r "e #a $i(uiente =0rmu#a ,A- ,-,C- ,D- ,E- ;5. Cu# "e #a$ $i(uiente$ ocione$ rere$enta e# "e$ee "e


7/57

#a #e #e "e #a "i=erencia "e# cua"ra"o "e "o$ nBmero$ ,-

E# cua"ra"o "e #a "i=erencia "e "o$ nBmero$ mu#ti#ica"o or ! ,C- E#

"o>#e ro"ucto "e# cua"ra"o "e #a "i=erencia "e "o$ nBmero$ ,D- E#

"o>#e ro"ucto "e cua"ra"o "e un nBmero meno$ e# cua"ra"o "e# otro

,E- E# cua"ra"o "e #a "i=erencia "e "o$ nBmero$ meno$ e# "o>#e

ro"ucto "e e##o$ ;4. Enri2ue tiene 7 e$o$* Juan e# "o>#e "e #o "e

Enri2ue F Pe"ro #a tercera arte "e #o "e Enri2ue* #a $uma "e #o 2uetienen #o$ tre$ e$ menor "e 1&& e$o$. Cu# "e #a$ $i(uiente$

e7re$ione$ rere$enta #o 2ue #e =a#ta a #a $uma "e #o 2ue tiene #o$ tre$

ara tener #o$ 1&& e$o$ ,A- ,- , - ,C- , - ,D- ,E- , - ;;. Cu# "e #a$

$i(uiente$ ocione$ rere$enta en =orma a#(e>raica #a $i(uiente

e7re$i0n a# E# "o>#e "e un nBmero meno$ e# cua"ra"o "e otro. ,A-

!7 6 F ! ,- !7 6 % 6F ! ,C- !,76%-6F ! ,D- !76,%6F-! ,E- !76%,76F-! ;3.

Cu# "e #a$ e7re$ione$ rere$enta una $o#uci0n "e #a $i(uienteecuaci0n ,A- 79! ,- 796% ,C- 79) ,D- 796) ,E- 79% 3&. Cu# "e #a$

$i(uiente$ ocione$ rere$enta e# rea "e# rectn(u#o cuFo #ar(o mi"e

78% F e# anc+o mi"e 761 ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 31. Cu# "e #a$ $i(uiente$

ocione$ rere$enta #a $o#uci0n "e #a $i(uiente oeraci0n , - ,A- ,- ,C-

: ,D- ,E- 3!. Cu# "e #a$ $i(uiente$ ocione$ e2uirica +aF

%&& er$ona$* 11& $on cat0#ico$* 1!& $on +om>re$ F /& $on +om>re$

cat0#ico$. Cunta$ "e e$ta$ er$ona$ $on muere$ cat0#ica$ ,A- 13&

,- 4& ,C- 1!& ,D- 1;& ,E- )& 3). En #a $i(uiente H(ura* ué arte "e #a

circun=erencia rere$enta e# arco C ,A- ,- ,C- ,D- ,E- 34. Lo$ ra"io$"e #o$ c'rcu#o$ A F e$tn en #a raz0n 1! Cu# "e #a$ $i(uiente$


8/57

aHrmacione$ e$ cierta con re$ecto a# rea "e #o$ c'rcu#o$ ,A- E# rea

"e# c'rcu#o A e$ #a mita" "e# rea "e# c'rcu#o ,- E# rea "e# c'rcu#o e$

e# tri#e "e# rea "e# c'rcu#o A ,C- Cuatro


9/57

5. % ^ / _ ,^4 ^ %- 9

Ni


10/57

2 Jerarquía de operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis,

corchetes y llaves.

2º.Calcular las potencias y raíces .

3º.Efectuar los productos y cocientes .

4º.Realizar las sumas y restas .

Tipos de operaciones combinadas

1. peraciones combinadas sin paréntesis

1.1 !ombinaci"n de sumas y di#erencias.

9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =

Comenzano por la iz!uiera" #amos efectuano las

operaciones se$%n aparecen.

= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7

1.2 !ombinaci"n de sumas, restas y productos.

& ' 2 - 5 + 4 ' & - 8 + 5 ' 2 =

Realizamos primero los prouctos por tener mayor

prioria.

= 6 - 5 + (2 - 8 + () =


11/57

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 - 5 + (2 - 8 + () = (5

1.3 !ombinaci"n de sumas, restas, productos y

divisiones.

() * 2 + 5 ' & + 4 - 5 ' 2 - 8 + 4 ' 2 - (6 * 4 =

Realizamos los prouctos y cocientes en el oren en el

!ue los encontramos por!ue las os operaciones tienen lamisma prioria.

= 5 + (5 + 4 - () - 8 + 8 - 4 =


= 5 + (5 + 4 - () - 8 + 8 - 4 = ()

1.4 !ombinaci"n de sumas, restas, productos,

divisiones y potencias.

2& + () * 2 + 5 ' & + 4 - 5 ' 2 - 8 + 4 ' 2 2 - (6 * 4 =

Realizamos en primer lu$ar las potencias por tenermayor prioria.

= 8 + () * 2 + 5 ' & + 4 - 5 ' 2 - 8 + 4 ' 4 - (6 * 4 =

e$uimos con los prouctos y cocientes.

= 8 + 5 + (5 + 4 - () - 8 + (6 - 4 =


12/57


= 26

2. peraciones combinadas con paréntesis

,(5 - 4 + & - ,(2 - 5 ' 2 + , 5 + (6 * 4 -5 + ,() - 2 &=

Realizamos en primer lu$ar las operaciones

contenias en ellos.

= ,(5 - 4 + & - ,(2 - () + ,5 + 4 - 5 + ,() - 8 =

uitamos par/ntesis realizano las operaciones.

= (( + & - 2 + 9 - 5 + 2 = (8

3.peraciones combinadas con paréntesis y corchetes

0(5 - ,2& - () * 2 1 ' 05 + ,& '2 - 4 1 - & + ,8 - 2 ' & =

rimero operamos con las potencias" prouctos y

cocientes e los par/ntesis.

= 0(5 - ,8 - 5 1 ' 05 + ,6 - 4 1 - & + ,8 - 6 =

Realizamos las sumas y restas e los par/ntesis.

= 0(5 -& 1 ' 05 + 2 1 - & + 2=

3peramos en los par/ntesis.


13/57

= (2 ' 7 - & + 2

ultiplicamos.

= 84 - & + 2=

Restamos y sumamos.

= 8&

4.!on #racciones

rimero operamos con las productos y n$meros

mi%tos e losparéntesis .

3peramos en el primer paréntesis " !uitamos else$uno" simplificamos en el tercero y operamos en el

%lt imo.

Realizamos el producto y lo simpli#icamos .


14/57

Realizamos las operaciones del paréntesis .

acemos

las operaciones el numerador " dividimos y simpli#icam

os el resultao.

&'ercicio de operaciones combinadas

(4 7 + 4 ' & - 0,-2 2 ' 2 - 61+ ,2 2 + 6 - 5 ' & + & - ,5

- 2& * 2 =

(rimero operamos con las potencias, productos y

cocientes de los paréntesis.

(4 07 + 4 ' & -,4 ' 2 - 61 + ,4 + 6 - 5 ' & + & - ,5 - 8 *2 =

peramos con los productos y cocientes de los

paréntesis.

(4 07 +(2 -,8 - 61 + ,4 + 6 - (5 + & - ,5 - 4 =


15/57

)eali*amos las sumas y di#erencias de los

paréntesis.

(4 ,7 +(2 -2 + ,-5 + & - ,( =

(4 ,(7 + ,-5 + & - , ( =

+a supresi"n de paréntesis ha de reali*arse

considerando que

i el par/ntesis #a preceio el si-no " se

suprimir manteniendo su si-no los t/rminos !ue

conten$a.

i el par/ntesis #a preceio el si-no / " al suprimir

el par/ntesis :ay !ue cambiar de si-no a too los

t/rminos !ue conten$a.

(4 (7 - 5 + & - ( = / 0

3 #racciones

1 Pasar a fracción los números mixtos y decimales.

2 Calcular las potencias y raíces.

3 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

4 Efectuar los productos y cocientes.

5 Realizar las sumas y restas.

Eem#o$


16/57

1 Primero operamos con los productos y números mixtos dentro de los

paréntesis.

2 peramos en el primer paréntesis, !uitamos el se"undo, simplificamos en el

tercero y operamos en el último.

3 Realizamos el producto y lo simplificamos.

4 Realizamos las operaciones del paréntesis.

5 #acemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el

resultado.

4razones con proporciones

Proporción


17/57

Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Constante de proporcionalidad

Propiedades de las proporciones

En una proporción del producto de los medios es igual

al producto de los extremos.

En una proporción o en una serie de razones iguales, la

suma de los antecedentes dividida entre la suma de los

consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

Si en una proporción cambian entre sí los medios o

extremos la proporción no varía.

Cuarto proporcional


18/57

Es uno cualquiera de los términos de una

proporción.

Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de

los otros dos términos.

Medio proporcional

Una proporción es continua si tiene los dos medios

iguales . Para calcular el medio proporcional de una

proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de

los extremos.

Tercero proporcional

En una proporción continua , se denomina tercero

proporcional a cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los

términos iguales, dividido por el término desigual.


19/57

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente

proporcionales cuando, almultiplicar o dividir una de

ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada

o dividida por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad directa

entre dos magnitudes cuando

! más corresponde más.

! menos corresponde menos.

Son magnitudes directamente proporcionales , el peso

de un producto " su precio.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente

proporcionales cuando, almultiplicar o dividir una de ellas

por un número cualquiera, la otra quedadividida o

multiplicada por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad

inversa entre dos magnitudes cuando

! más corresponde menos .

! menos corresponde más .


20/57


21/57

Son magnitudes inversamente proporcionales , "a que

a más obreros tardar+n menos (oras.

' obreros -# (

obreros x (

Regla de tres compuesta

Regla de tres compuesta directa

/ueve gri0os abiertos durante -% (oras diarias (an

consumido una cantidad de agua por valor de #% 1. !veriguar

el precio del vertido de -2 gri0os abiertos -# (oras durante

los mismos días.

3 gri0os -% (oras #% 1

-2 gri0os -# (oras x 1


22/57


23/57

Si 6 obreros realizan en 3 días traba4ando a razón de

(oras por día un muro de '% m. )*u+ntos días necesitar+n -%

obreros traba4ando 6 (oras diarias para realizar los 2% m de

muro que 0altan

6 obreros 3 días (oras '% m

-% obreros x días 6 (oras 2% m

Repartos directamente proporcionales

Se asocian tres individuos aportando 2%%%, 52%% " 3%%%

1. !l cabo de un a7o (an ganado $2% 1. )8ué cantidad

corresponde a cada uno si (acen un reparto directamente

proporcional a los capitales aportados


24/57

Repartos inversamente proporcionales

9epartir $#% 1, entre tres ni7os en partes inversamente

proporcionales a sus edades, que son ', 2 " .


25/57

Porcentaes

!l adquirir un ve(ículo cu"o precio es de 66%% 1, nos

(acen un descuento del 5.2:. )*u+nto (a" que pagar por el

ve(ículo

-%% 1 5.2 1

66%% 1 x 1

66%% 1 ; % 1 < !"#$ %

El precio de un ordenador es de -#%% 1 sin =>!. )*u+nto

(a" que pagar por él si el =>! es del -:

-%% 1 -- 1


26/57

-#%% 1 x 1

) ro>#ema$ con roorcione$

(. ;na m!uina :a proucio ()) piezas en 4 :oras" < Cuntas

proucir en 6 :oras

> (5)? (8)C (4)@ (25

2. ;n transportista coAra & por caa 4 Bm < Cunto coArar por un recorrio e (2) Bm

> 6)? 9)C ())@ 75

&. >na reciAe 2( por cuiar e un nio urante & :oras. < Cunto coArar si lo cuia 2 :oras

> (2? (4C ()

@ (6

4. Clara :a tarao & :oras en mecano$rafiar (6 :oDas e su traAaDoe literatura < Cuntas por mecano$rafiar en una :ora y meia

> 8? ()C 9@ 6

5. i un ciclista tara 2"5 :oras en lle$ar a una ciua a una #elociae &) Bm:. < Cunto tarar en lle$ar a una #elocia e 25 Bm:


27/57

> &? 2C 4@ 5

6. ;n c:ocolatero !uiere repartir AomAones en (5 caDas e 8uniaes caa una. 24? (8C 2)@ (5

7. Entre 6 compaeros relaizan un traAaDo en (2 :oras. 6? (8C 8@ ()

8. Con la paDa !ue ten$o pueo alimentar (5 #acas urante 6 ias.< Cuntas #acas por/ alimentar con la misma paDa urante 9 Fas

> ((

? 9C (2@ ()

9. >nano a 6) pasos por minuto taro 25 minutos en lle$ar a micasa. < Cunto tarar/ a 8) pasos por minuto

> 24 m.? (5 m.C 2) m. &) s$.@ (8 m. 45 s$.

(). 6 ami$os se reparten una caDa e $alletas" tocanoles a caa uno(5 $alletas < Cuntas $alletas les corresponerian si fueran 9 ami$os

> ()? (5C 8@ (2

4 oeracione con monomio$


28/57

1. Suma "e monomio$

$ólo podemos sumar monomios seme%antes.

&a suma de los monomios es otro monomio !ue tiene la misma parte literal y

cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axn + bxn= (a + b)xn

Eem#o

'x'y(z ) (x'y(z * +' ) (x'y(z * -x'y(z

$i los monomios no son seme%antes, al sumarlos, se otiene un polinomio.

Ejemplo:

'x'y( ) (x'y(z

!. Pro"ucto "e un nBmero or un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio seme%ante cuyo

coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo:

- / +'x'y(z * 01x'y(z

%. Mu#ti#icaci0n "e monomio$

&a multiplicación de monomios es otro monomio !ue tiene por coeficiente el

producto de los coeficientes y cuya parte literal se otiene multiplicando las potencias !ue ten"an la misma ase, es decir, sumando los exponentes.

axn · bxm = (a · b)xn + m

Ejemplo:

+-x'y(z / +'y'z' * +' / - x'y()'z0)' * 01x'y-z(


29/57

5. Di


30/57

; oeracione$ con o#inomio$

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los

coe&icientes de los términos del mismo grado.

P?x@ < #x' A 2x ; '

8?x@ < $x ; 'x # A #x'

".'rdenamos los polinomios, si no lo est+n.

8?x@ < #x ' ; 'x# A $x

P?x@ A 8?x@ < ?#x ' A 2x ; '@ A ?#x ' ; 'x# A $x@

(.)grupamos los monomios del mismo grado .

P?x@ A 8?x@ < #x ' A #x' ; ' x# A 2x A $x ; '

*.+umamos los monomios semeantes .

P?x@ A 8?x@ < $x '; 'x# A 3x ; '

9esta de polinomios

Ba resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el

opuesto del sustraendo.

P?x@ ; 8?x@ < ?#x ' A 2x ; '@ ; ?#x ' ; 'x# A $x@

P?x@ ; 8?x@ < #x ' A 2x ; ' ; #x ' A 'x# ; $x

P?x@ ; 8?x@ < #x ' ; #x' A 'x# A 2x; $x ; '

P?x@ ; 8?x@ < 'x # A x ; '


31/57

Cultiplicación de polinomios

Cultiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que t iene de grado el mismo delpolinomio " comocoe&icientes el producto de los

coe&icientes del polinomio por el n,mero .

' D ? #x ' ; ' x# A $x ; #@ < x ' ; 3x# A -#x ;

Cultiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos " cada uno de

los monomios que &orman el polinomio .

' x# D ?#x ' ; 'x# A $x ; #@ < x 2 ; 3x$ A -#x ' ; x#


P?x@ < #x# ; ' 8?x@ < #x' ; 'x# A $x

+e multiplica cada monomio del primer polinomiopor todos los elementos segundo polinomio.

P?x@ D 8?x@ < ?#x # ; '@ D ?#x ' ; 'x# A $x@ <

< $x2 ; x$ A 6x' ; x' A 3x# ; -#x <

+e suman los monomios del mismo grado.

< $x2 ; x$ A #x' A 3x# ; -#x

+e o-tiene otro polinomio cuo grado es la suma de

los grados de los polinomios que se multiplican.

ambién podemos multiplicar polinomios de siguiente

modo


32/57

Fivisión de polinomios

9esolver la división de polinomios

P?x@ < x2 A #x' ; x ; 6 8?x@ < x# ; #x A -

P/x0 1 2/x0

) la izquierda situamos el dividendo . Si el

polinomio no es completode4amos 3uecos en los lugares que

correspondan.

) la derec3a situamos el divisor dentro de una caa.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el

primer monomio del divisor.

x2 x # < x'

Multiplicamos cada término del polinomio divisor

por el resultado anterior lo restamos del polinomio

dividendo1


33/57

>olvemos a dividir el primer monomio del dividendo

entre el primer monomio del divisor. G el resultado lo

multiplicamos por el divisor " lo restamos al dividendo.

#x$ x # < # x#

Procedemos igual que antes.

2x' x # < 2 x

>olvemos a (acer las mismas operaciones.

6x# x # < 6


34/57

"$x 4 5 es el resto , porque su grado es menor que el

del divisor " por tanto no se puede continuar dividiendo.

x*6(x( 67x6! es el cociente .

Fivisión por 9u00ini

Si el divisor es un -inomio de la &orma x 8 a ,

entonces util izamos unmétodo más -reve para (acer

la división, l lamado regla de Ru&&ini .

9esolver por la regla de 9u00ini la divis ión

?x$ ;'x# A#@ ?x ;'@

"+i el polinomio no es completo9 lo completamos

a:adiendo los términos que &altan con ceros.

(Colocamos los coe&icientes del dividendo en una

l;nea.

*)-ao a la izquierda colocamos el opuesto del

término independendiente del divisor.

#Trazamos una raa -aamos el primer

coe&iciente.

7Multiplicamos ese coe&iciente por el divisor lo

colocamos de-ao del siguiente término.


35/57

5+umamos los dos coe&icientes.

olvemos a repetir el proceso.

>olvemos a repetir.

!El ,ltimo n,mero o-tenido , 75 , es el resto .

=El cociente es un polinomio de grado in&erior en

una unidad al dividendo cuos coe&icientes son los que

3emos o-tenido.

x* 6 * x( 6 5x 6"!

E4ercicios " problemas resueltos de polinomios


36/57

"Fados los polinomios

P?x@ < $x# ; -

8?x@ < x ' ; 'x# A x ; #

9?x@ < x # A x A -

S?x@ < -H#x# A $

?x@ < 'H#x# A2

U?x@ < x#

A #

*alcular

"P?x@ A 8 ?x@ <

< ?$x# ; -@ A ? x ' ; 'x# A x ; #@ <

< x' ; 'x# A $x#A x ; # ; - <


37/57

##P?x@ ; 9 ?x@ <

< #?$x # ; -@ ; ?x # A x A -@ <

< 6x# ; # ; x # ; x ; - <

< (x( 4 x 4 *

7S?x@ A ?x@ A U?x@ <

< ?-H#x# A $ @ A ?'H#x # A2 @ A ?x # A #@ <

< -H# x#

A 'H# x#

A x#

A $ A 2A # <

< *x( 6 ""

5S?x@ ; ?x@ A U?x@ <

< ?-H#x# A $@ ; ?'H#x # A2@ A ?x # A #@ <

< -H#x # A $ ; 'H#x# ; 2 A x# A # <

< "

(Fados los polinomios

P?x@ < x$ ; #x# ; x ; -

8?x@ < x ' ; x# A $

9?x@ < #x $ ;# x ; #

*alcular

P?x@ A 8?x@ ; 9?x@


38/57

< ?x$ ;#x# ; x ; -@ A ?x ' ; x# A $@ ; ? #x $ ; #x ; #@

<

< x$ ;#x# ; x ; - A x ' ; x# A $ ; #x $ A # x A # <

< x$ ; #x$ A x' ;#x# ; x# ; x A # x ; - A $ A # <

< 4x# 6 x* 4 !x( 4 #x 6 7

P?x@ A # 8?x@ ; 9?x@ <


39/57


40/57


41/57

(?x2 ; '#@ ?x ; #@

C/x0 > x# 6 (x* 6 #x( 6 !x 6 "5 R> $

* ?x$ ;'x# A# @ ?x ;'@

3ro"uct$ noa

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los

coe&icientes de los términos del mismo grado.

P?x@ < #x' A 2x ; '

8?x@ < $x ; 'x # A #x'

".'rdenamos los polinomios, si no lo est+n.

8?x@ < #x ' ; 'x# A $x

P?x@ A 8?x@ < ?#x ' A 2x ; '@ A ?#x ' ; 'x# A $x@

(.)grupamos los monomios del mismo grado .

P?x@ A 8?x@ < #x ' A #x' ; ' x# A 2x A $x ; '

*.+umamos los monomios semeantes .

P?x@ A 8?x@ < $x '; 'x# A 3x ; '


42/57

9esta de polinomios

Ba resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el

opuesto del sustraendo.

P?x@ ; 8?x@ < ?#x ' A 2x ; '@ ; ?#x ' ; 'x# A $x@

P?x@ ; 8?x@ < #x ' A 2x ; ' ; #x ' A 'x# ; $x

P?x@ ; 8?x@ < #x ' ; #x' A 'x# A 2x; $x ; '

P?x@ ; 8?x@ < 'x # A x ; '


Cultiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que t iene de grado el mismo del

polinomio " comocoe&icientes el producto de los

coe&icientes del polinomio por el n,mero .

' D ? #x ' ; ' x# A $x ; #@ < x ' ; 3x# A -#x ;

Cultiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos " cada uno de

los monomios que &orman el polinomio .

' x# D ?#x ' ; 'x# A $x ; #@ < x 2 ; 3x$ A -#x ' ; x#


P?x@ < #x# ; ' 8?x@ < #x' ; 'x# A $x

+e multiplica cada monomio del primer polinomio

por todos los elementos segundo polinomio.

P?x@ D 8?x@ < ?#x # ; '@ D ?#x ' ; 'x# A $x@


43/57

< $x2 ; x$ A 6x' ; x' A 3x# ; -#x <

+e suman los monomios del mismo grado.

< $x2 ; x$ A #x' A 3x# ; -#x

+e o-tiene otro polinomio cuo grado es la suma de

los grados de los polinomios que se multiplican.

ambién podemos multiplicar polinomios de siguiente

modo

Fivisión de polinomios

9esolver la división de polinomios

P?x@ < x2 A #x' ; x ; 6 8?x@ < x# ; #x A -

P/x0 1 2/x0

) la izquierda situamos el dividendo . Si el

polinomio no es completode4amos 3uecos en los lugares que

correspondan.

) la derec3a situamos el divisor dentro de una caa.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el

primer monomio del divisor.


44/57

x2 x # < x'

Multiplicamos cada término del polinomio divisor

por el resultado anterior lo restamos del polinomio

dividendo1

>olvemos a dividir el primer monomio del dividendo

entre el primer monomio del divisor. G el resultado lomultiplicamos por el divisor " lo restamos al dividendo.

#x$ x # < # x#

Procedemos igual que antes.

2x' x # < 2 x

>olvemos a (acer las mismas operaciones.

6x# x # < 6


45/57

"$x 4 5 es el resto , porque su grado es menor que el

del divisor " por tanto no se puede continuar dividiendo.

x*6(x( 67x6! es el cociente .

Fivisión por 9u00ini

Si el divisor es un -inomio de la &orma x 8 a ,

entonces util izamos unmétodo más -reve para (acer

la división, l lamado regla de Ru&&ini .

9esolver por la regla de 9u00ini la divis ión

?x$ ;'x# A#@ ?x ;'@

"+i el polinomio no es completo9 lo completamos

a:adiendo los términos que &altan con ceros.

(Colocamos los coe&icientes del dividendo en una

l;nea.

*)-ao a la izquierda colocamos el opuesto del

término independendiente del divisor.


46/57

#Trazamos una raa -aamos el primer

coe&iciente.

7Multiplicamos ese coe&iciente por el divisor lo

colocamos de-ao del siguiente término.

5+umamos los dos coe&icientes.

olvemos a repetir el proceso.

>olvemos a repetir.

!El ,ltimo n,mero o-tenido , 75 , es el resto .


47/57

=El cociente es un polinomio de grado in&erior en

una unidad al dividendo cuos coe&icientes son los que

3emos o-tenido.

x* 6 * x( 6 5x 6"!

E4ercicios " problemas resueltos de polinomios

"Fados los polinomios

P?x@ < $x# ; -

8?x@ < x ' ; 'x# A x ; #

9?x@ < x # A x A -

S?x@ < -H#x# A $

?x@ < 'H#x# A2

U?x@ < x# A #

*alcular

"P?x@ A 8 ?x@ <

< ?$x#

; -@ A ? x'

; 'x#

A x ; #@ <

< x' ; 'x# A $x#A x ; # ; - <


48/57

< $x# ; - ; x # ; # <

< *x( 4 *

*P?x@ A 9 ?x@ <

< ?$x# ; -@ A ?x # A x A -@ <

< $x# A x# A x ; - A - <

< "$x( 6 x

##P?x@ ; 9 ?x@ <

< #?$x # ; -@ ; ?x # A x A -@ <

< 6x# ; # ; x # ; x ; - <

< (x( 4 x 4 *

7S?x@ A ?x@ A U?x@ <

< ?-H#x# A $ @ A ?'H#x # A2 @ A ?x # A #@ <

< -H# x# A 'H# x # A x# A $ A 2A # <

< *x( 6 ""

5S?x@ ; ?x@ A U?x@ <

< ?-H#x# A $@ ; ?'H#x # A2@ A ?x # A #@ <

< -H#x # A $ ; 'H#x# ; 2 A x# A # <

< "

(Fados los polinomios


49/57

P?x@ < x$ ; #x# ; x ; -

8?x@ < x ' ; x# A $

9?x@ < #x $ ;# x ; #

*alcular

P?x@ A 8?x@ ; 9?x@ <

< ?x$ ;#x# ; x ; -@ A ?x ' ; x# A $@ ; ? #x $ ; #x ; #@

<

< x$ ;#x# ; x ; - A x ' ; x# A $ ; #x $ A # x A # <

< x$ ; #x$ A x' ;#x# ; x# ; x A # x ; - A $ A # <

< 4x# 6 x* 4 !x( 4 #x 6 7

P?x@ A # 8?x@ ; 9?x@ <


50/57

< x# 6 x* 4 #x( 6 #x 6 *

"?x$ ;#x# A# @ D ?x # ;#x A'@ <

< x ;#x2 A 'x$ ; #x$ A $x' ; x# A #x#; $x A<

< x ;#x2 ; #x$ A 'x$ A $x' A #x# ; x# ; $x A <


51/57

"?x$ ; #x' ;--x#A '%x ;#%@ ?x # A 'x ;#@

(?x A 2x$ A 'x# ; #x@ ?x # ; x A '@

* P?x@ < x2 A #x' ;x ; 6 8?x@ < x# ; #x A -


52/57

# Dividir por Ru&&ini

" ?x' A #x A5%@ ?xA$@

(?x2 ; '#@ ?x ; #@

C/x0 > x# 6 (x* 6 #x( 6 !x 6 "5 R> $

* ?x$ ;'x# A# @ ?x ;'@

1&Iinomio al cuadrado

Iinomio de suma al cuadrado

Un -inomio al cuadrado ?suma@ es igual es igual al

cuadrado del primer término, más el doble producto del

primero por el segundo más el cuadrado segundo.

/a 6 -0( > a( 6 ( ? a ? - 6 -(

?x A '@# < x # A # D x D' A ' # < x # A x A 3


53/57

Iinomio de resta al cuadrado

Un -inomio al cuadrado ?resta@ es igual es igual al

cuadrado del primer término, menos el doble producto del

primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

/a 4 -0( > a( 4 ( ? a ? - 6 -(

?#x ; '@# < ?#x@# ; # D #x D ' A ' # < $x# ; -# x A 3

Suma por di0erencia

Una suma por di&erencia es igual a di&erencia de

cuadrados .

/a 6 -0 ? /a 4 -0 > a ( 4 -(

?#x A 2@ D ?#x J 2@ < ?# x@ # ; 2# < $x# ; #2

Iinomio al cubo

Iinomio de suma al cubo

Un -inomio al cu-o ?suma@ es igual al cubo del

primero, más el triple del cuadrado del primero por el

segundo, más el triple del primero por el cuadrado del

segundo, más el cubo del segundo.

/a 6 -0* > a* 6 * ? a( ? - 6 * ? a ? -( 6 -*

?x A '@' < x ' A ' D x # D ' A ' D xD ' # A '' <

< x ' A 3x# A #5x A #5

Iinomio de resta al cubo


54/57

Un -inomio al cu-o ?resta@ es igual al cubo del

primero, menos el triple del cuadrado del primero por el

segundo, más el triple del primero por el cuadrado del

segundo, menos el cubo del segundo.

/a 4 -0* > a* 4 * ? a( ? - 6 * ? a ? -( 4 -*

?#x J '@' < ?#x@' J ' D ?#x@ # D' A ' D #xD ' # J '' <

< 6x ' J ' x # A 2$ x J #5

rinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del

primero, m+s el cuadrado del seguno, m+s el cuadrado del

tercero, m+s el doble del primero por el segundo, m+s el

doble del primero por el tercero, m+s el doble del segundo por

el tercero.

/a 6 - 6 c0 ( > a( 6 -( 6 c( 6 ( ? a ? - 6 ( ? a ? c 6 ( ?

- ? c

?x# ; x A -@# <

< ?x#@# A ?;x@# A -# A# ? x# ? ?;x@ A # x # ? - A

# ? ?;x@ ? - <

< x$ A x# A - ; #x ' A #x# ; #x <

< x$ ; #x' A 'x# ; #x A -

Suma de cubos

a* 6 -* > /a 6 -0 ? /a ( 4 a- 6 - (0


55/57

6x' A #5 < ?#x A '@ ?$x # J x A 3@

Fi0erencia de cubos

a* 4 -* > /a 4 -0 ? /a ( 6 a- 6 - (0

6x' ; #5 < ?#x ; '@ ?$x # A x A 3@

Producto de dos binomios que tienen un término común

/x 6 a0 /x 6 -0 > x ( 6 / a 6 -0 x 6 a-

?x A #@ ?x A '@ <

< x# A ?# A '@x A # ? ' <

< x# A 2x A

*ocientes notables

11>inomio$ conu(a"o$

3..2 inomios con'u-ados


56/57

El proucto e os n%meros por su iferencia es i$ual al cuarao el primer n%meromenos el cuarao el se$uno n%mero.

Consieremos el proucto*

Es ecir

E G E H 3 *

ultiplicar

3H;CIJK* Cuarao el primer n%mero*

Cuarao el se$uno n%mero*

>sF pues"

E G E H 3 *

ultiplicar

3H;CIJK* Cuarao el primer n%mero*


>sF pues"

E G E H 3 *

ultiplicar3H;CIJK* Cuarao el primer n%mero*


>sF pues"

E G E H 3 *

ultiplicar

3H;CIJK* Cuarao el primer n%mero e la iferencia*

Cuarao el se$uno n%mero e la iferencia*

>sF pues"

1!3..3. inomio con un término com$n

El proucto e os Ainomios el tipo es i$ual al cuarao el primer t/rmino" ms el proucto e la suma e los os se$unos t/rminos por el primer t/rmino" ms el proucto e los se$unos t/rminos.

e trata e emostrar !ue .


57/57

Lenremos !ue*

Es ecir " tal como !uerFamos emostrar. E G E H 3 *

ComproAar !ue .

3H;CIJK* Lenremos . E G E H 3 *

ComproAar !ue

3H;CIJK* Lenremos .

E G E H 3 *

ComproAar !ue .

3H;CIJK* Lenremos . E G E H 3 *

ComproAar !ue .

3H;CIJK* Lenremos .

1%

1razonamiento aritmético

Documents

Transcript of 1razonamiento aritmético