1MLfactorizacionNM1.docx

FACTOR COMUN

1) Me pregunto qu letra tiene igual? a

2) Cul es el exponente mas pequeo de la a? 2

3) Entonces escojo el

4) Coloco la y abro un parntesis

(

5) Divido cada trmino entre

(

6) Coloco la respuesta dentro del parntesis restando los exponentes asi: No se te olvide que para dividir se copia la base igual y se restan los exponentes No se te olvide cualquier base elevada a la cero es igual a 1.

Se copia el signo

= =

Ejemplo guiado:

1) Me pregunto qu letras tiene igual? _________________ .2) De las letras que escog Cules son los exponentes ms pequeos? _____________.

3) Entonces escojo las letras con exponentes ms pequeos y abro parntesis.

_________ (

4) Divido cada trmino entre las letras con menor exponente:

_________ (

5) Divido y coloco la respuesta dentro del parntesis.

_________ ( _____________________)Factorizacin de binomiosDIFERENCIA DE CUADRADOS

Caractersticas: Tienen dos trminos ( es un binomio = bi significa 2) El signo que los separa siempre es menos Las potencias de letras estn elevadas con nmeros pares 2, 4, 6 Tiene raz cuadrada exacta el primer trmino Tiene raz cuadrada exacta el segundo trmino

Forma de factorizar:

(Primero abro parntesis

3)5)6)3)1)(2)Segundo saco raz cuadrada al nmero si no la se, le saco los factores primos al nmero asi:

Por cada pareja de 2 sale un dos

2 x 2 = 4 y esta es la raz cuadrada 162222 21Multiplico los nmeros circulados

22

4)

Coloco la respuesta asi:

Tercero saco la raz cuadrada de la letra asi:

7) y la respuesta es la raz de la letra.

Coloco la respuesta asi

Cuarto copio el signo.

Coloco asi

Quinto saco la raz cuadrada del segundo trmino siguiendo los pasos segundo y tercero.

Coloco la respuesta asi

Sexto cierro parntesis. asi

Sptimo copio el primer parntesis solamente que le cambio el signo a +. Asi

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

Caractersticas: Tienen dos trminos ( es un binomio = bi significa 2) El signo que los separa pude ser + - Las potencias de letras estn elevadas con nmeros mltiplos de 3, 6, 9 Tiene raz cbica exacta el primer trmino Tiene raz cbica exacta el segundo trmino


Primero abro parntesis

(1)(

2)Segundo saco raz cbica al nmero si no la se, le saco los factores primos al nmero asi:

Por cada tro de 2 sale un dos

3)

4)2 x 2 = 4 y esta es la raz cbica de 64 64 2 32 2 16 28 24 22 21 Multiplico los nmeros circulados

2

5)

6)2

Coloco la respuesta asi:

Tercero saco la raz cbica de la letra asi:

Coloco asi

Cuarto copio el signo.

Coloco asi

Quinto saco la raz cbica del segundo trmino siguiendo los pasos segundo y tercero.

Coloco asi

Sexto cierro parntesis.

Coloco asi

EL SEGUNDO PARENTESIS SE FORMA ASI:Sptimo abro un segundo parntesis

Coloco asi

Octavo: elevo al cuadrado el primer trmino de mi respuesta del parntesis.

8)

Noveno: pongo el signo contrario que tengo en mi respuesta del primer parntesis

9)

Dcimo: multiplico el primer trmino por el segundo de mi respuesta del primer parntesis.

10)

X

Onceavo: siempre pongo signo +

Doceavo: elevo al cuadrado el segundo trmino de mi respuesta del primer parntesis.

Treceavo: cierro parntesis.

TRINOMIOS

TRINOMIO DE LA FORMA

Caractersticas: Tienen tres trminos No tiene numero delante del

Forma de factorizar:Primero: ordeno el trinomio en forma descendente.

Segundo: abro dos parntesis

Tercero: saco raz cuadrada del primer trmino y lo coloco en cada uno de los parntesis

La raz cuadrada de

Cuarto: copio el primer signo del ejercicio en el primer parntesis

Quinto: multiplico el primer signo por el segundo del ejercicio y lo coloco en el segundo parntesis

Opero + . - = -

Sexto: Observo cuidadosamente la respuesta que tengo en los parntesis y analizo los signos:

Me pregunto son signos iguales o diferentes?En este caso son diferentes porque tengo + y - entonces leo la opcin B que viene a continuacin.A. si en los dos parntesis tengo signos iguales necesito dos nmeros que multiplicados me den el tercer trmino y sumados me den el segundo trmino.

B. Si en los dos parntesis tengo signos diferentes necesito dos nmero que multiplicados me den el tercer trmino y restados me den el segundo trmino.

Necesito dos nmeros que multiplicados me den 14 y restados me den 5

Si no se cuales son los nmeros hago una tabla de factores primos que forman el nmero y con ello encuentro todas las posibilidades para hallar el segundo trmino menos la posibilidad del nmero multiplicado por 1.

14 2 qu nmeros podrn ser?

7 714 x 1 = 14 pero 14 - 1 5 1 7 x 2 = 14 y 7 2 = 5 Esta es la respuesta que cumple con la regla.Entonces 7 y 2 son los nmeros.

Sptimo:Para terminar siempre coloco el nmero mayor en el primer parntesis y el menor en el segundo.

Casos especiales:

a) Cuando tenemos parntesis como en ste caso se realiza asi:

Primero: saco raz cuadrada del primer trmino

Segundo: abro dos corchetes y coloco mi respuesta de la raz cuadrada del primer trmino en cada uno y opero la ley de signos como el caso anterior.

Tercero: como tengo dos signos iguales encuentro dos nmeros que multiplicados me den 20 y sumados me den 12 ( el nmero que esta fuera del parntesis del segundo trmino) asi:

Si no se realizo la tabla de factores primos de un nmero asi:20 210 2 55 1Posibilidades:4 x 5 = 20 4 + 5 = 9 como no es igual a 12 entonces no son los nmeros10 x 2 = 2010 + 2 = 12 como si me da 12 que era el nmero que buscaba entonces estos son los nmeros 10 y 2. Para finalizar coloco en los parntesis siempre el nmero mayor en el primer parntesis y luego el menor nmero en el segundo parntesis.

b) Primero ordeno el polinomio

Segundo : observo que el signo que tiene es menos( ).

Tercero: factorizo el signo menos ( no se te olvide que un signo menos delante de un parntesis le cambia de signo a todo el trinomio al ingresarlo):

Cuarto: ahora procedes como siempre: sacas raz cuadrada del primer trmino lo colocas en cada parntesis y luego realizas la operacin de signos.

Quinto: buscas dos nmeros que multiplicados te den 30 y que restados ( porque tienes signos diferentes ) te den 1.

Posibilidades:6 x 5 = 306 5 = 1 estos son los nmeros 6 y 5. No olvides de colocar el nmero mayor en el primer parntesis y el menor en el segundo parntesis.30 215 3 5 5 1

TRINOMIOS

TRINOMIO DE LA FORMA

Caractersticas: Tienen tres trminos Si tiene numero delante del

Forma de factorizar:Primero: ordeno el trinomio en forma descendente.

Segundo: abro dos parntesis

Tercero copio el nmero del primer trmino en cada uno de los parntesis.

Cuarto: saco raz cuadrada de la letra del primer trmino y lo coloco en cada uno de los parntesis

La raz cuadrada de

Quinto: copio el primer signo del ejercicio en el primer parntesis

Sexto: multiplico el primer signo por el segundo del ejercicio y lo coloco en el segundo parntesis

Opero + . + = +

Sptimo multiplico el nmero del primer trmino por el tercero y lo cambio por el tercero trmino

6 x 2 = 12

Octavo: Observo cuidadosamente la respuesta que tengo en los parntesis y analizo los signos:

Me pregunto son signos iguales o diferentes?En este caso son iguales porque tengo + y + entonces leo la opcin A que viene a continuacin.

A. si en los dos parntesis tengo signos iguales necesito dos nmeros que multiplicados me den el tercer trmino y sumados me den el segundo trmino.

B. Si en los dos parntesis tengo signos diferentes necesito dos nmero que multiplicados me den el tercer trmino y restados me den el segundo trmino.

Necesito dos nmeros que multiplicados me den 12 y sumados me den 7

Si no s cuales son los nmeros hago una tabla de factores primos que forman el nmero y con ello encuentro todas las posibilidades para hallar el segundo trmino mas la posibilidad del nmero multiplicado por 1.

12 2 qu nmeros podrn ser?

6 212 x 1 = 12 pero 12 + 1 7 no es

3 3 2 x 6 = 12 pero 2 + 6 7 1 4 x 3 = 12 y 4 + 3 = 7 Esta es la respuesta que cumple con la regla. Entonces 4 y 3 son los nmeros.Noveno:Coloco el nmero mayor en el primer parntesis y el menor en el segundo.

Dcimo:Debo dividir por el nmero del primer trmino (6 ) o por sus factores primos (3 y 2 ) un parntesis o los dos para que cumpla con la siguiente regla: al dividir cada nmero el residuo debe ser cero.

Si utilizramos el 6 en el primer parntesis tenera:6/6 = 1 residuo 04/6 = 0.666 queda decimal no se puede utilizar.

Si utilizamos el 6 en el segundo parntesis tendra:6/6 = 1 residuo 03/6 = 1.5 si tiene decimal

Observo cuidadosamente mis parntesis y veo que el primer parntesis son nmeros pares y el segundo son mltiplos de 3 por lo que si divido el primer parntesis entre 2 y el segundo entre 3 me da una a respuesta sin decimal y con residuo cero.

Y esta es mi respuesta final.

TRINOMIOSTRINOMIO CUADADO PERFECTO

Caractersticas: Tienen tres trminos (ordenarlo en forma descendente) El primer trmino y el tercero tienen raz cuadrada exacta. El segundo trmino es la multiplicacin de la raz cuadrada del primer trmino por la raz cuadrada del tercer trmino multiplicada siempre por 2, si da como resultado el segundo trmino entonces es un trinomio cuadrado perfecto.


Primero: ordeno el trinomio en forma descendente

Segundo: saco raz cuadrada del primer trmino tanto a al nmero como la letra.

Tercero: saco raz cuadrada del segundo trmino tanto a al nmero como la letra.

Cuarto: realizo la prueba para ver si es un trinomio cuadrado perfecto. Multiplico el primer trmino ( ) de mi respuesta con el segundo ( )y luego multiplico siempre por 2 para ver si me da el segundo trmino ( )

Siempre se multiplica por 2

Como son iguales si es un trinomio cuadrado perfecto

Quinto : opero los signos del ejercicio y lo coloco al centro

Quinto : lo encierro entre parntesis y lo elevo al cuadrado.

TRINOMIOSTRINOMIO CUADADO PERFECTO POR ADICIN Y SUSTRACCIN

Caractersticas: Tienen tres trminos (ordenarlo en forma descendente) El primer trmino la debe estar elevado a una potencia mltiplo de 4 y el nmero debe tener raz cuadrada exacta . El tercer trmino el nmero debe tener raz cuadrada exacta y si tiene letra debe estar elevada a un mltiplo de 4. Debe tener raz cuadrada exacta el primer y tercer trmino pero al multiplicar el primer trmino con el tercero y por dos no da el tercer trmino.

Forma de factorizar:1) Observo cuidadosamente el ejercicio que me da y observo lo siguiente:a) tiene tres trminos

1 2 3 si

b) el nmero del primer trmino tiene raz cuadrada exacta

sic) la letra del primer trmino esta elevado a una potencia mltiplo de 4.

si

d) el nmero del tercer trmino tiene raz cuadrada exacta

si

e) si tiene letra el tercer trmino esta elevado a una potencia mltiplo de cuatro.

si

f) ahora multiplico la raz del primer trmino por la del tercero si no me da el segundo trmino como respuesta entonces si es un trinomio cuadrado por adicin y sustraccin.

2)

La respuesta que me dio sera el centro de un trinomio cuadrado perfecto, ahora debo ver cuanto le hace falta al para llegar a ser resto .3) Esta respuesta la sumo y resto al trinomio que me dieron

4) Observo que los primeros tres trminos de mi respuesta son un trinomio cuadrado perfecto y lo opero y copio el .

5) Observo que mi respuesta es una diferencia de cuadrados y la opero y con esto he terminado de factorizar.

POLINOMIOFACTOR COMUN POR AGRUPACION

Caractersticas: Tienen mas de tres trminos

Forma de factorizar:Primero:observa cuidadosamente y notaras que los dos primero trminos tienen factor comn x y los dos ltimos trminos tienen factor comn y ahora lo operamos:

Los parntesis me deben de quedar iguales si no es as entonces busco otras parejas o tros.

Segundo:

Observamos que nos queda como factor comn el parntesis factorizamos

Es el factor comn para saber cual es el otro parntesis tapa con tu dedo los parntesis lo que te queda es el otro parntesis

Lo que te queda al tapar los parntesis es x + y esto lo colocas en el otro parntesis y terminaste.

FORMA DE DISTINGUIR LOS CASOS DE FACTORIZACIN

Primero encuentro los que tienen FACTOR COMN (los iguales)

Marco todos los que tienen 2 trminosBINOMIOS

DIFERENCIA DE CUADRADOSDentro de este listado busco:1) las letras que estn elevadas a una cifra par2) que el signo sea menos3) que tenga raz cuadrada exacta ambos trminosSUMA O DIFERENCIA DE CUBOSDentro de este listado busco:1) las letras que estn elevadas a mltiplos de tres. 2) que el signo puede ser menos o mas.3) que tenga raz cbica exacta

TRINOMIOS

Primero marco todos los que principien con o x elevado a potencia par

Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Ordeno el trinomiosaco la raz cuadrada del primer trminosaco la raz cuadrada del tercer trmino (si no tiene sigo la siguiente flecha)multiplico los resultados anteriores por 2 si me da el segundo trmino es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Ordeno el trinomiosi la potencia esta elevada a un mltiplo de 4 ( si no continuo a la siguiente flecha)saco la raz cuadrada del primer trminosaco la raz cuadrada del tercer trmino (si no tiene sigo a la siguiente flecha) multiplico los resultados anteriores por 2 si no me da el segundo trmino es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIN O SUSTRACCIN.ENTONCES ES UN TRINOMIO DE LA FORMA SI NO SIGO LA FLECHA

TRINOMIOS

Primero marco todos los que principien con nmero delante deo x elevado a potencia par

Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Ordeno el trinomiosaco la raz cuadrada del primer trminosaco la raz cuadrada del tercer trmino (si no tiene sigo la siguiente flecha)multiplico los resultados anteriores por 2 si me da el segundo trmino es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

ENTONCES ES UN TRINOMIO DE LA FORMA

SI NO SIGO LA FLECHA

Hago la prueba para TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Ordeno el trinomiosi la potencia esta elevada a un mltiplo de 4 ( si no continuo a la siguiente flecha)saco la raz cuadrada del primer trminosaco la raz cuadrada del tercer trmino (si no tiene sigo a la siguiente flecha) multiplico los resultados anteriores por 2 si no me da el segundo trmino es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIN O SUSTRACCIN.

ENTONCES ES UN TRINOMIO DE LA FORMA

NM1: FACTORIZACIN

Factorizar una expresin algebraica consiste en escribirla como un producto.

Cuando realizamos las multiplicaciones :

1. 2x(x2 3x + 2) = 2x3 6x2 + 4x2. (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorizacin es el proceso inverso de la multiplicacin.La factorizacin es de extrema importancia en la Matemtica, as es que debes tratar de entender lo ms que puedas sobre lo que vamos a trabajar.

Existen varios casos de factorizacin :

1. FACTOR COMUN MONOMIO:

Factor comn monomio: es el factor que est presente en cada trmino del polinomio :

Ejemplo N 1: cul es el factor comn monomio en 12x + 18y - 24z ?

Entre los coeficientes es el 6, o sea, 62x + 63y - 6 4z = 6(2x + 3y - 4z )

Ejemplo N 2 : Cul es el factor comn monomio en : 5a2 - 15ab - 10 ac El factor comn entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto 5a2 - 15ab - 10 ac = 5aa - 5a3b - 5a 2c = 5a(a - 3b - 2c )

Ejemplo N 3 : Cul es el factor comn en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2El factor comn es 6xy porque 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy )

Realiza t los siguientes ejercicios :

EJERCICIOS. Halla el factor comn de los siguientes ejercicios :

1. 6x - 12 2. 4x - 8y =

3. 24a - 12ab =4. 10x - 15x2 =

5. 14m2n + 7mn =6. 4m2 -20 am =

7. 8a3 - 6a2 =8. ax + bx + cx =

9. b4-b3 =10. 4a3bx - 4bx =

11. 14a - 21b + 35 =12. 3ab + 6ac - 9ad =

13. 20x - 12xy + 4xz =14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =

15. 10x2y - 15xy2 + 25xy =16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =

19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

20.

21.

22.

2. FACTOR COMUN POLINOMIO:

Es el polinomio que aparece en cada trmino de la expresin :

EJEMPLO N 1. Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =Existe un factor comn que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) = = ( a + b )( x + y )

EJEMPLO N 2. Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = = 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b )

EJERCICIOS

23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) =24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =

25. x2( p + q ) + y2( p + q ) =26. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

31. (a( a + b ) - b ( a + b ) =32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO

Se trata de extraer un doble factor comn.

EJEMPLO N1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor comn p de los dos primeros trminos y q de los dos ltimosp(a + b ) + q( a + b )Se saca factor comn polinomio( a + b ) ( p + q )

EJERCICIOS :33. a2 + ab + ax + bx =34. ab + 3a + 2b + 6 =

35. ab - 2a - 5b + 10 =36. 2ab + 2a - b - 1 =

37. am - bm + an - bn =38. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

39. 3x2 - 3bx + xy - by =40. 6ab + 4a - 15b - 10 =

41. 3a - b2 + 2b2x - 6ax =42. a3 + a2 + a + 1 =

43. ac - a - bc + b + c2 - c =

44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =

45. ax - ay - bx + by - cx + cy =

46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

48.

49.

4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso :

EJEMPLO N 1. Descomponer x2 + 6x + 5

1 Hallar dos factores que den el primer trmino x x

2 Hallar los divisores del tercer trmino, seccionando aquellos cuya suma sea 6 1 5 -1 -5

pero la suma debe ser +6 luego sern (x + 1 )( x + 5 )EJEMPLO N 2:

Factorizar x2 + 4xy - 12y2

1 Hallar dos factores del primer trmino, o sea x2 : x x

2 Hallar los divisores de 12y2 , stos pueden ser : 6y -2y -6y 2y 4y -3y -4y 3y 12y -y -12y y

pero la suma debe ser +4 , luego servirn 6y y -2y, es decirx2 + 4xy - 12y2 = ( x + 6y )( x - 2y )

EJERCICIOS:

Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :50. x2 + 4x + 3 = 51. a2 + 7a + 10 =

52. b2 + 8b + 15 =53. x2 - x - 2 =

54. r2 - 12r + 27 =55. s2 - 14s + 33 =

56. h2 - 27h + 50 =57. y2 - 3y - 4 =

58. x2 + 14xy + 24y2 =59. m2 + 19m + 48 =

60. x2 + 5x + 4 =61. x2 - 12x + 35 =

5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2+ bx + c

EJEMPLO

Factoriza 2x2 - 11x + 5

1 El primer trmino se descompone en dos factores 2x x

2 Se buscan los divisores del tercer trmino 5 1 -5 -1

3 Parcialmente la factorizacin sera ( 2x + 5 )( x + 1 ) pero no sirve pues da : 2x2 + 7x + 5 se reemplaza por ( 2x - 1 )( x - 5 )y en este caso nos da : 2x2 - 11x + 5

EJERCICIOS :

62. 5x2 + 11x + 2 =63. 3a2 + 10ab + 7b2 =

64. 4x2 + 7x + 3 =65. 4h2 + 5h + 1 =

66. 5 + 7b + 2b2 =67. 7x2 - 15x + 2 =

68. 5c2 + 11cd + 2d2 =69. 2x2 + 5x - 12 =

70. 6x2 + 7x - 5 =71. 6a2 + 23ab - 4b2 =

72. 3m2 - 7m - 20 =73. 8x2 - 14x + 3 =

74. 5x2 + 3xy - 2y2 =75. 7p2 + 13p - 2 =

76. 6a2 - 5a - 21 = 77. 2x2 - 17xy + 15y2 =

78. 2a2 - 13a + 15 =

6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS: EJEMPLO:

Factorizar 9x2 - 16y2 =

Para el primer trmino 9x2 se factoriza en 3x 3xy el segundo trmino - 16y2 se factoriza en +4y -4y luego la factorizacin de 9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )

EJERCICIOS:

79. 9a2 - 25b2 =80. 16x2 - 100 =

81. 4x2 - 1 =82. 9p2 - 40q2 =

83. 36m2n2 - 25 =84. 49x2 - 64t2 =

85. 169m2 - 196 n2 =86. 121 x2 - 144 k2 =

87. 88.

89. 3x2 - 12 =90. 5 - 180f2 =

91. 8y2 - 18 =92. 3x2 - 75y2 =

93. 45m3n - 20mn =94. 2a5 - 162 a3 =

7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo:

Factorizar 9x2 - 30x + 25 =

1 Halla la raz principal del primer trmino 9x2 : 3x 3x2 Halla la raz principal del tercer trmino 25 con el signo del segundo trmino -5 -5luego la factorizacin de 9x2 - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2

EJERCICIOS:

95. b2 - 12b + 36 = 96. 25x2 + 70xy + 49y2 =

97. m2 - 2m + 1 =98. x2 + 10x + 25 =

99. 16m2 - 40mn + 25n2 =100. 49x2 - 14x + 1 =

101. 36x2 - 84xy + 49y2 =102. 4a2 + 4a + 1 =

103. 1 + 6 + 9a2 =104. 25m2 - 70 mn + 49n2 =

105. 25a2c2 + 20acd + 4d2 =106. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

107. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

EJERCICIOS DIVERSOS:

108. 2ab + 4a2b - 6ab2 =109. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

110. b2 - 3b - 28 = 111. a2 + 6a + 8 =

112. 5a + 25ab =113. bx - ab + x2 - ax =

114. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =115. ax + ay + x + y =

116. 8x2 - 128 = 117. 4 - 12y + 9y2 =

118. x4 - y2 = 119. x2 + 2x + 1 - y2 =

120. (a + b )2 - ( c + d)2 =121. a2 + 12ab + 36b2 =

122. 36m2 - 12mn + n2 =123. x16 - y16 =

**************************************

FACTORIZACIN PARA LOS FUTUROS MATEMTICOS.

1. DIFERENCIA DE CUBOS : a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2)

Ejemplo : 8 x3 = (2 x)(4 + 2x + x2)

2. SUMA DE CUBOS: a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)

Ejemplo: 27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 3a + 1)

125. 64 x3 =126. 8a3b3 + 27 =

127. 27m3 + 6n6 = 128. x6 y6 =

129. =130. =

1. Expresa como un producto de tantos factores como sea posible:

a) 3b 6x =b) 5x 5 =c) 20u2 55u =d) 16x 12 =e) 6x 12y + 18=f) 15x + 20y 30=g) 14c 21d 30=h) 152x2yz 114xyz2=i) 30m2n2 + 75mn2 105mn3 =j) 28pq3x + 20p2qx2 44p3qx + 4pqx=k) 14mp + 14mq 9np 9nq =l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =m) 175ax + 75ay 25bx 15by=n) 20abc 30abd 60b2c + 90b2d =) 10abx2 + 4ab2x2 40aby2 16ab2y2 =o) 4g2 + 2gh =p) 25a 30ab + 15ab2 =q) m2 64 =r) 144y2 256 =s) 144 9x2=v) 25x6 4y4 = w) ap + aq + bm + bn=x) xy x + 3z 6 =y) x2 + xy + xz + yz=z) 15 + 5x + 3b + xb =z) ab + a b 1 =

2. Expresar como un producto:

a) x2 + 6x + 8=b) x2 16x + 63=c) x2 + 10x 56=d) x2 13x 48 =e) y2 7y 30=f) x2 14x + 48=g) x2 5x 84=h) x2 + 27x + 180=i) x2 + 7x 120=j) x2 30x + 216=

FACTORIZACIN

Factorizar:

1. 6x - 12 =2. 4x - 8y =

3. 24a - 12ab =4. 10x - 15x2 =

5. 14m2n + 7mn =6. 4m2 -20 am =

7. 8a3 - 6a2 =8. ax + bx + cx =

9. b4-b3 =10. 4a3bx - 4bx =

11. 14a - 21b + 35 =12. 3ab + 6ac - 9ad =

13. 20x - 12xy + 4xz =14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =

15. 10x2y - 15xy2 + 25xy =16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4

19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

20.

21.

22.

23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) =24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =

25. x2( p + q ) + y2( p + q ) =26. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

31. (a( a + b ) - b ( a + b ) =32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )

33. a2 + ab + ax + bx =34. ab + 3a + 2b + 6 =

35. ab - 2a - 5b + 10 =36. 2ab + 2a - b - 1 =

37. am - bm + an - bn =38. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

39. 3x2 - 3bx + xy - by =40. 6ab + 4a - 15b - 10 =

41. 3a - b2 + 2b2x - 6ax =42. a3 + a2 + a + 1 =

43. ac - a - bc + b + c2 - c =

44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =

45. ax - ay - bx + by - cx + cy =

46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

48.

49.

50. x2 + 4x + 3 = 51. a2 + 7a + 10 =

52. b2 + 8b + 15 =53. x2 - x - 2 =

54. r2 - 12r + 27 =55. s2 - 14s + 33 =

56. h2 - 27h + 50 =57. y2 - 3y - 4 =

58. x2 + 14xy + 24y2 =59. m2 + 19m + 48 =

60. x2 + 5x + 4 =61. x2 - 12x + 35 =

62. 5x2 + 11x + 2 =63. 3a2 + 10ab + 7b2 =

64. 4x2 + 7x + 3 =65. 4h2 + 5h + 1 =

66. 5 + 7b + 2b2 =67. 7x2 - 15x + 2 =

68. 5c2 + 11cd + 2d2 =69. 2x2 + 5x - 12 =

70. 6x2 + 7x - 5 =71. 6a2 + 23ab - 4b2 =

72. 3m2 - 7m - 20 =73. 8x2 - 14x + 3 =

74. 5x2 + 3xy - 2y2 =75. 7p2 + 13p - 2 =

76. 6a2 - 5a - 21 = 77. 2x2 - 17xy + 15y2 =

78. 9a2 - 25b2 =79. 16x2 - 100 =

80. 4x2 - 1 =81. 9p2 - 40q2 =

82. 36m2n2 - 25 =83. 49x2 - 64t2 =

84. 169m2 - 196 n2 =85. 121 x2 - 144 k2 =

86. 87.

88. 3x2 - 12 =89. 5 - 180f2 =

90. 8y2 - 18 =91. 3x2 - 75y2 =

92. 45m3n - 20mn =93. 2a5 - 162 a3 =

94. b2 - 12b + 36 = 95. 25x2 + 70xy + 49y2 =

96. m2 - 2m + 1 =97. x2 + 10x + 25 =

98. 16m2 - 40mn + 25n2 =99. 49x2 - 14x + 1 =

100. 36x2 - 84xy + 49y2 = 101. 4a2 + 4a + 1 =

102. 1 + 6a + 9a2 = 103. 25m2 - 70 mn + 49n2 =

104. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 105. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

106. 2ab + 4a2b - 6ab2 = 107. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

108. b2 - 3b - 28 = 109. a2 + 6a + 8 =

110. 5a + 25ab = 111. bx - ab + x2 - ax =

112. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 113. ax + ay + x + y =

114. 8x2 - 128 = 115. 4 - 12y + 9y2 =

116. x4 - y2 = 117. x2 + 2x + 1 - y2 =

118. (a + b )2 - ( c + d)2 = 119. a2 + 12ab + 36b2 =

120. 36m2 - 12mn + n2 = 121. x16 - y16 =

122. 64 x3 = 123. 8a3b3 + 27 =

124. 27m3 + 6n6 = 125. x6 y6 =

126. = 127. =

1. 6x - 12 =

2. 4x - 8y =

3. 24a - 12ab =

4. 10x - 15x2 =

5. 14m2n + 7mn =

6. 8a3 - 6a2 =

7. b4-b3 =

8. 14a - 21b + 35 =

9. 4m2 -20 am =

10. ax + bx + cx =

11. 4a3bx - 4bx =

12. 20x - 12xy + 4xz =

13. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

14. 3ab + 6ac - 9ad =

15. 6x4 - 30x3 + 2x2 =

16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

17. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =

18.

19.

20.

21. 10x2y - 15xy2 + 25xy =

22. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =

23.

24.

25.

26.

124. a (x + 1) + b ( x + 1 ) =

125. x2( p + q ) + y2( p + q ) =

126. ( 1 - x ) + 5c ( 1 - x ) =

127. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =

128. a ( a + b ) - b ( a + b ) =

129. m (2a + b ) + p ( 2a + b ) =

130. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

131. a (2 + x ) - ( 2 + x ) =

132. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

133. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

11. a (x+1) + b (x+1) =

12. x (a+1) - 3 (a+1) =

13. 2 (x-1) + y (x-1) =

14. m (a-b) + (a-b) =

15. 2x (n-1) + 3y (n-1) =

16. a (n+2) + n+2 =

17. x (a+1) a - 1 =

18.

19. 3x ( x-2) -2y ( x-2) =

20. 1-x + 2a (1-x) =

21.

22.

23.

24.

25.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

1. 9a2 - 25b2 =

2. 4x2 - 1 =

3. 36m2n2 - 25 =

4. 169m2 - 196 n2 =

5.

6. 3x2 - 12 =

7. 8y2 - 18 =

8. 45m3n - 20mn =

9. 16x2 - 100 =

10. 9p2 - 40q2 =

11. 49x2 - 64t2 =

12. 121 x2 - 144 k2 =

13.

14. 5 - 180f2 =

15. 3x2 - 75y2 =

16. 2a5 - 162 a3 =

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

FACTOR COMUN:

1. c4-c3 =

2. 15m2n + 30mn =

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

1. 64 x3 =

2. 27m3 + 6n6 =

3. =

4. 8a3b3 + 27 =

5. x6 y6 =

6.=

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

FACTOR COMUN

1. 3b 6x =

2. 15x + 20y 30=

3. 14c 21d 30=

4.

5. 4g2 + 2gh =


1.

2.

3.

4.


1.

2.

3.

4.

5.

MICELANEA

FACTOR COMUN

1. 4g2 + 2gh =

2. 25a 30ab + 15ab2 =

3.

4. 25x6 4y4 =


1.

2.

3.

4.

5. 144 9x2=


1.

2.

3.

4.

5.

MICELANEA

1. 30m2n2 + 75mn2 105mn3 =

2. 5x 5 =

3. 20u2 55u =

4. 30m2n2 + 75mn2 105mn3 =


1.

2.

3.

4.

5. 169 81x2=


1.

2.

3.

4.

5.

MICELANEA

FACTOR COMUN

1. 16x 12 =

2. 6x 12y + 18=

3. 28pq3x + 20p2qx2 44p3qx + 4pqx=

4. 20abc 30abd 60ab2c + 90ab2d2 =

5. 30m2n2 + 75mn2 105mn3 =


6.

7.

8.

9.

10.


11.

12.

13.

14.

15.

MICELANEA

16.

17.

18.

19.

20.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

NOMBRE : _________________________________ FECHA: __________________HOJA 15

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

FACTOR COMUN

1. 6p2q + 24pq2 =

2.

3.


4.

5.

6.


7.

8.

9.

Trinomio de la forma

10.

11.

12.

13.

14.

15.


16.

17.

18.

19.

20.

FACTOR COMUN

1.

2.

3.


4.

5.

6.


7.

8.

9.


10.

11.

12.

13.

14.

15.


16.

17.

18.

19.

20.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

1MLfactorizacionNM1.docx

Documents

Transcript of 1MLfactorizacionNM1.docx