1er Concurso 6 Mate Financiera

Hernn B. Garrafa araGn

M A T E M T I C A F I N A N C I E R A

Rector AurelioPadillaRos

PrimerVicerrector JosS.MartnezTalledo

SegundoVicerrector LuisCabelloOrtega

yPresidentedelaComisindelProgramaEditorial

EduardodeHabich-TextosUNI

Primeraedicin,juniode2008

MateMtica Financiera

ImpresoenelPer/PrintedinPeru

HernnB.GarrafaAragn Derechos reservados

EditorialUniversitariadelaUniversidadNacionaldeIngeniera

Av.TupacAmaru210,Rmac-Lima

PabellnCentral/Stano

Telf.:481-1070anexo240

E-mail:[email protected]

JefeEDUNI:Prof. lvaro Montao Freire

DiseoyDiagramacin:EDUNI

Impresopor...................................

ISBN:..............................................

HechoelDepsitoLegalenlaBibliotecaNacionaldelPerN.........................................

Prohibidalareproduccndeestelibroporcualquiermedio,totaloparcialmente,sinpermisoexpresodelautor.

A mi esposa, JessicaA mi hija, Yemitsu

A mis padres: Braulio y MargaritaA mi hermana, Ins

A mis hermanos: Jos, Franck, TinoA mi sobrina, Vanesa.

ConTEnIdo

Prlogoyagradecimientos 13Introduccin 15

Inters sIMPle

1.1.Introduccin 17 1.2.Elinterssimple 20 1.3.Perododetiempo 23 1.4.Intersexactoeintersordinario 23 1.5.Normacomercial 24 1.6.Valorpresente 24 1.7.Monto 24 1.8.Variacionesdetasas 26 1.9.Ecuacionesdevalor 28 Problemasresueltos 32 Problemaspropuestos 39

Inters CoMPuesto

2.1.Introduccin 43 2.2.Interssimpleeinterscompuesto 43 2.3.Monto 45 2.4.Valoractual 47 2.5.Montoconvariacionesdetasas 49 2.6.Ecuacionesdevalor 51 Problemasresueltos 55 Problemaspropuestos 68

DesCuento

3.1.Introduccin 73 3.2.Descuentoracional 74 3.3.Descuentobancario 76 3.4.Descuentocomercial 80

1

2

3

8 Hernn B. Garrafa araGn

Problemasresueltos 83 Problemaspropuestos 90

tasas

4.1.Introduccin 93 4.2.Tasanominalytasaproporcional 94 4.3.Tasaefectiva 96 4.4.Tasasequivalentes 98 4.5.Tasaactivaypasiva 103 4.6.Tasadeinterscompensatorio 106 4.7.Tasadeintersmoratorio 107 4.8.Tasadeinterslegal 109 4.9.Tasadeinflacin 110 4.10.Tasareal 113 4.11.Tasadedevaluacin 114 4.12.Tasasconcapitalizacincontinua 118 Problemasresueltos 120 Problemaspropuestos 131

anualIDaDes

5.1.Introduccin 137 5.2.Montodeunaanualidadvencida 138 5.3.Valorpresentedeunaanualidadvencida 140 5.4.Montodeunaanualidadanticipada 143 5.5.Valorpresentedeunaanualidadanticipada 144 5.6.Anualidadesdiferidas 146 Problemasresueltos 154 Casos 167 Problemaspropuestos 172

anualIDaDes PerPetuas

6.1.Introduccin 177 6.2.Valorpresentedeunaanualidadperpetua vencida 177

4

5

6

MateMtica financiera

6.3.Valorpresentedeunaanualidadperpetua anticipada 179 Problemasresueltos 181 Problemaspropuestos 194

GraDIentes

7.1.Introduccin 197 7.2.Valorpresentedeanualidadesquevaranen progresinaritmtica 197 7.3.Valorpresentedelosgradientesuniformes 198 7.4.Equivalenciasentreanualidadesuniformesy anualidadesquevaranenprogresinaritmtica 199 7.5.Valorpresenteconanualidadesenprogresin

geomtrica 203 Problemasresueltos 206

Problemaspropuestos 218

aMortIzaCIn

8.1.Introduccin 221 8.2.Fondodeamortizacin 221 8.3.CuadrodelFondodeAmortizacin 221 8.4.Amortizacin 224 8.5.CuadrodeAmortizacin 224 8.6.Valoractualneto 228 8.7.Tasainternaderetorno 231 8.8.Depreciacin 233 Problemasresueltos 237 Casos 265 Casopropuesto 276 Problemaspropuestos 277

oblIGaCIones

9.1Introduccin 281 9.2.Terminologa 282 9.3.Bonos 283

7

8

9


9.4Opcindecompra 284 9.5.Valuacindeunagraduacin 285 9.6.Larelacinentretasadeinterseinflacin 291 9.7.BonosBrady 392 BonosPar 292 BonosalDescuento 293 BonosFlirbs(FrontLoadInterestReduction Bonds) 293 BonosdeConversindeDeuda(DCBs)y NuevoDinero(NMBs) 293 BonosdeInteresesRetrasados 294 BonosdeInteresesCapitalizados 294 Problemasresueltos 295 Problemaspropuestos 300 Glosario 303 Citasbibliogrficas 313 Referenciasbibliogrficas 313 Anexo 315

11MateMtica financiera

nDICe De tablas

tabla Descripcin Pgina

1A Tasaactivapromedioensolesydlares.Fuente:BCRP. 105

1B Tasapasivapromedioensolesydlares.Fuente:BCRP. 105

2A ndicedepreciosalconsumidordeLima.(ndicebasediciembre2000=100).Fuente:INEI. 111

2B InflacinmensualdeLima(variacin%mensual).Elaboracin:propia. 111

3A TCydevaluacinorevaluacin(nuevosol/dlar).Fuente:BCRP,SBS,ReutersyDatatec. 116

nDICe De GrFICos

Figura Descripcin Pgina

1.1 Evolucindelatasadeintersensolesydlares.Fuente:DatosdelBCR.Grfico:Elaboracinpropia. 20

1.2 RelacinentrePysuvalorfuturo. 21

1.3 Relacinvalorpresenteymonto. 25

1.4 Interssimpleconvariacionesdetasa. 27

2.1 Relacinentreinterssimpleycompuesto. 44

2.2 Capitalizacinanualversuscapitalizacintrimestral. 45

2.3 Relacinentrevaloractualymonto. 48

8.1 EvolucindelVANenfuncindelcostodecapital. 230

Prlogo y agradecimientos

Estelibrorecogelasexperienciasquealolargodelosaosmehadadoelhaberdictandoestamateria,aunadasalasoperacionesconbancosque,comocualquierciudadano,herealizado.Adicionalmente,herecibidosugerenciaseideasdepartededocentesdeestamaterialoquemehapermitidomejorarlacalidaddeestetrabajo.

Expreso mi agradecimiento y aprecio al MBA Germn Ros,funcionariodeMiBanco,quepermitiincluirproblemasdeope-raciones financierasque segeneran, comnmente, en labancaprivadapara,deestamanera,hacermsefectivoytilestelibroparaestudiantesdelamateria.

TambinmireconocimientoalaSeccindePostgradodelaFIECSenlosprofesores:Mag.EnriqueSatoKurodayMag.UlisesHu-malaTassoporelapoyoaestapublicacin,convocandoalospro-fesoresDr.LuisNavarroHuamanyMag.JuanLamlvarezquie-nescolaboraronenlarevisindeestematerial.AlseorFreddyBartolaporlastilesideasparamejorarestaprimeraedicin.

EstelibrorecogeelesfuerzodelosestudiantesdelcursodeMa-temticaFinancieraconloscualesseresolvivariosejemplosyproblemasplanteadosenelpresentevolumen.

Introduccin

Este libro est dirigido al estudiante universitario en elcursodeMatemticaFinancieraenlasespecialidadesdecienciaseconmicas,ingeniera,administracinyconta-bilidadenlascualessedictaestecurso.

MatemticaFinancieraestconsideradaenelcampodelama-temticaaplicadaqueestudiaelvalordeldineroenel tiempo,teniendoencuentavariosfactores,como:latasa,elcapitalyeltiempoparaobtenerunmontoointersquepermitentomarde-cisionesdeinversin.

Conesaptica,permitiralalumnoelaborarmodelosmatemti-cosencaminadosainterpretaryresolverlosproblemasfinancie-rosque,confrecuencia,sepresentanenlagestindelasempre-sas,organismosdeinversionesyentidadesdelsistemabancarioyfinanciero.

Adicionalmente,ayudaaresolverproblemasqueselepresentaacualquierciudadanoensuvidadiaria,como,porejemplo,adqui-rirunautomvil,unacasa,cualquierbienoproductoobtenidoaplazo;solicituddecrditos,contratodeplizas,acciones,obliga-ciones(bonos)uotrotipodeinversinrentable.Elconocimientodelasmatemticasfinancieras,portanto,lepermitiralalumna-doprestaroinvertirsudineroenunaformamsracional.

Lacaractersticaprincipaldeestelibroesutilizarpocasfrmu-las,inusualenlostextosdeMatemticaFinanciera,para,deestamanera,darlesimplicidadalasolucindelosproblemasycasos.Sibienesciertoqueeldesarrollodelosmismosestrealizadoen


Excel,sehaceutilizandolasoperacionescomunes,potenciacin,radicacinylogaritmo.

A lo largo del libro se plantea y resuelve problemas prcticosparaasilustrarmejorlasfrmulasdesarrolladasenlateora.

Tambin, en este tomo, se ha recogido problemas al nivel demaestraeneconoma,administracinycontabilidadloscualeshan sido resueltos tratando siempre de que la solucin de losmismosseasimple.

Sepresentacasosrealesdeproblemasdeamortizacindenuestrabancanacionalydeprestamistasinformales.Puedesuceder,porejemplo,quelafrmulaaplicadaparadeterminarelmontodelpagoperidicoeslamismadesarrolladaenlateoraexistiendopequeas diferencias con respecto a cmo lo obtiene el bancoconrespectoaestateora.Esporelloquesemuestraeldesarrollodeestetipodeproblemasyculesladiferenciaconrespectoalateoramostradaenellibro.

Los temas financieros ocupan una posicin muy relevante ennuestrasociedad.Sepuedeobservarinformacinfinancieraenlosdiarios,revistas,televisin,etc.yesqueparatomarunadecisin,de ndole financiera, se debe estar informado y asesorado poruna persona con conocimientos en finanzas. Es esta crecientenecesidad de conocimientos de temas financieros lo que haceposible la edicin de libros de matemticas financieras comouninicionecesarioparaingresarenelimportantemundodelasfinanzas.

MatemticaFinancieraeselcursoinicialbsicoparalassiguientesmaterias:AnlisisFinancierooAdministracindeInversionesyIngeniera Financiera; su aplicacin se orienta a personas quetienen como funcin tomardecisionesde financiamiento; paraello deben tener y procesar informacin para, de estamanera,estarencondicionestomarunadecisinadecuada.

Finalmente,deboprecisar, con respectoal libro,que resultaraabsurdoreclamaroriginalidadporqueexistemuchomateriales-critoacercadeestostemas,porloquemeremitoalenunciadodeAdamSchaff(HistoriayVerdad):Lanicaoriginalidadquepuedepretenderelautorresideenlamaneraenquedispongaenunconjuntoloselementosyaconocidosyenelusoenquehagadeeseconjuntoensusrazonamientos.

Captulo

InTErs sIMPlE

1.1. Introduccin

Antesdedesarrollarestetema,explicarelconceptodeinters,debidoasuimportanciaenloscaptulosposteriores.Elinterseselprecioapagarporelusodedineroquenoesnuestro,esdecir,losprstamosquegeneralmentenosbrindan:unamigo,laempresadondelaboramos,unainstitucinbancaria,etc.Por este prstamo, solicitamos un tiempodeterminadopara su devolucin.Determinarestepreciosignificasaberculeslacuantadelprstamo?yporcuntotiemposelevaausar?Alvalordeeseprecio,cuandoseexpresaporunidaddecapitalyunidaddetiempo,selellamatasadeinters(magnitudindependientedelaunidadmonetariautilizadaparaelprstamo),elcualde-pendedelaunidaddetiempo.Estenivelestardeterminadoporlaofertaylademandadedineroenlaeconoma(ofertaodemandamonetaria)ystas,asuvez,dependendelapolticamonetariayfiscal;cuandoexisteescasezdedine-roenlaeconomasuniveldeprecioaumentarycuandoexisteabundanciadedinero,suniveldepreciodisminuir.Adicionalmente,paraesteniveltambininfluyenlasexpectativasdelosagenteseconmicossobreelcomportamientofuturodelaactividadeconmica.Todosestosfactoresdeterminanesteniveldeprecio.

AcontinuacinseexplicarelconceptoDinero,OfertaMonetaria,InversinyCrdito,antesdeiniciareltemadeinterssimple.

Dinero. Se conoce comnmentepor aquello quepuede ser utilizado comomediodeintercambio,detalformaqueporunacantidaddeesteelementosepuedeobtenerciertosbienesoservicios(Ayres,Jr.Frank).

Desde este puntodevista, son llamadosdinero: lasmonedasdemetal, lasmonedasdepapel(billetes),loschequesylastarjetasdecrdito(engeneral,llamadodineroplsticoodinerodeplsticoesunatarjetadeplsticoconunabandamagntica)Visa,MasterCard,etc., todasellaspuedenserutilizadascomomediodeintercambioparaobtenerproductososervicios.

1


oferta monetaria.Existenvariasposiblesdefiniciones,lamsrestringidaeslaqueexpresaqueestnconstituidosexclusivamenteporlosbilletesymo-nedasencirculacinmslosdepsitosalavistaoencuentacorrientequesehallanenelsistemabancario.Tambin,esllamadaofertamonetariabsicaocirculante.

Elbienestardeloshabitantesdeunpasestrelacionadoporlaofertamone-taria(Ayres,Jr.Frank).

Siexistepocodineroenunaeconoma,aparecelarecesin(existenciadebie-nesyserviciosdondeparadjicamenteloshabitantesengeneralnotienenlacapacidaddecompra).Elcasoopuesto,escuandoexisteexcedentededineroenlaeconoma,entoncesaparecelainflacin(escasezdeciertosbienesyser-vicios,locualconllevaalincrementoconstantedelosprecios).Enestecaso,unproductopuedetenerunprecioenlamaanayotromayorporlatarde.Tantolarecesincomolainflacinsonnocivasparalaeconomadeunpas.Porello,elBCRP1eslainstitucinquedebeproporcionaranuestropasunaofertamonetariadeacuerdoalasnecesidades;enesecontexto,stadebeserindependientedelmanejopolticodelgobierno.

Inversin.Eslaoperacindecolocarcapitalesenentidadesfinancieras(di-neroquesetransformaencapitalcuandoconlproducimosriqueza)conlafinalidaddeobtenerganancias,traducidasenbeneficioseconmicosporde-positareninstitucionesquepaganuninters,trabajandosucapital.Alrealizarestaaccin,seestinvirtiendosucapital.Porlogeneral,inviertenlaspersonasnaturales, empresas, instituciones y el gobierno.Al hacer estas inversionesbuscan:

1. no tener prdida de capital. Esimportantesaberdeunainstitucinseriaenlaquepuedacolocarsucapital,nodejndosellevarporlapropagandaacercadealtastasasdeinters,comofueCLAE(bancoinformal)enelcualmuchaspersonasnaturalesyjurdicasperdieroncompletamentesucapital.

2. Proteccin a las inversiones. Lasempresasalvenirainvertirlohacenenunmarcojurdicoynosepuedecambiarsteporqueunadelaspartesasloquiere.Alrespetarestascondiciones,estamosmostrandoseguridadenlainversin.Adicionalmente,mostramosseriedad,detalmaneraqueotras empresas extranjeras podran traer futuras inversiones. Para queestosuceda,sedebetenerunPoderJudicialautnomoynodependientedelgobiernodeturno.

BancoCentraldelaReservadelPer.


3. beneficios a corto plazo. Todaempresatrataderecuperarsuinversinenelmenortiempoposible;ejemplodeellosetieneaempresasqueencortotiemporecuperaronsuinversincomo:TelefnicayLuzdelSur.

4. Incrementar el valor de la inversin. Esto tambinpuedesucederdeformacasual;porejemplo,eltenerunacasadestinadaparaviviendaenunazonaurbanayenunmomentodeterminadoconstruyenfrenteaellaunaUniversidadounHospital, automticamentepasaa servalorizadaesacasacomounprediocomercial,loqueimplicaunaumentodelvalormonetariodelapropiedad.

5. Ventajas fiscales. Son medidas que adopta un ente para propiciar eldesarrollo de una zona determinada (frontera), y el sector productivo(exportaciones).Generalmente,elgobiernopropiciaestetipodeaccionescon la finalidad de atraer inversiones a zonas pobres como son las defronterayquepuedenconsistirennocobrarimpuestosalasempresasqueinviertanenesosmbitos.

Crdito.Cuandosecompraunacasasepuedehacerdedosformas:condine-ropropio,esdecir,pagaralcontadooalnocontarconeldinerosuficienteparacancelarelvalordelacasasepuedehacerentregadeunpagoinicialprevioacuerdodecancelarperidicamenteladiferenciaporuntiempodeterminado.Loquesehaceesadquirirunprstamo.Estaoperacinesconocidacomoob-tencindeuncrditoydeestamanerasecancelaelvalordelacasa.Cuandoalvalordeesteprstamoseleaplicaunfactorllamadotasadeinters(preciodelprstamoenelmercadofinancieroexpresadoenporcentaje)seestobtenien-doelintersocosto del crditoquesepagaporelvalordelprstamo.

EstatasadeintersesfijadaporelBancoCentraldecadapasalosotrosban-cosystos,asuvez,lafijanalaspersonasporlosprstamosodepsitos.ElBCRPeselentequeregulalatasadeintersparaprstamosodepsitos.Unadeestetipoeslatasadeintersactivapromedioennuevossoles(TAMN)ylatasadeintersactivapromedioendlaresoTAMEX.Laevolucindeestatasadeintersennuestropas,expresadoenporcentajeentrelosaos1997y2006.


Figura 1.1.Evolucindelatasadeintersennuevossolesydlares.

Sepuedeapreciarqueestatasaestreducindosetantoennuevossolescomoendlares.

1.2. el inters simple

Tambinllamadorgimendecapitalizacinsimpleenelquelosinteresespro-ducidosaltrminodelperiododecapitalizacinofechaquesedaporfina-lizadalaoperacinseretiranestosintereses(nosereinvierte),quedando,deestaforma,elcapitalinicialconstantehastalafechaenquesehayaconvenidosureembolso.Sedenominacapital inicialoprincipalalacantidaddedineroquerecibimoscomoprstamoodepositamosaliniciodeunaoperacin,sien-doelprecioquesepagaporelusodeestedinerointerselcualdependedelossiguientesfactores:

Elriesgo queconllevalaoperacin,implicarlamayoromenortasadeinters.Laseguridad,solvencia,respaldoogarantaquepuedepresentarelsolicitantedelprstamoparalacancelacindelmismopermitirobte-nerelprstamoencondicionesmsconvenientes.Ejemplo,elfinparaelquesevaausarestedinero;noeslomismoutilizarunprstamoparalacompradeunacasaqueparalacompradeunauto;noeslomismopres-taraempresasquesonconsideradasimportantesqueaotrasquenosonconsideradascomotales.


A mayor periodo de tiempo, habr un mayor pago por concepto deinters.

Delmercado, puede en determinadomomento existir una gran ofertamonetaria,entonceslatasadeinterstiendeabajar,comopuedesucederel caso contrario. Ejemplo, cuando la situacin econmica, social ypolticadeunpaspresentacaos,elriesgopas2(indicadordeconfianzaen la economadeunpas) tiende a subir automticamente, por tanto,la tasade inters sube, loque implica elmayorpagopor conceptodeinters.

Entonces,elinters(I)dependedecmoevolucionanestosfactores.Parade-terminarelinterssimple,lodefiniremoscomoelproductodelcapitalinicial(P),tasadeinters(r)yelperiododetiempo(n).

I=Prn(1)

Donde:

I Interspagadoporelprstamoocrdito.

P Capitalinicialoprincipal.

r Tasadeinterssimpleporunidaddetiempo.

n Periodo de tiempo, expresado en lasmismas unidades que la tasa deinters.

EsteintersserelacionaconP deacuerdoalasiguientegrfica:

Figura 1.2. RelacinentrePysuvalorfuturo.

ejemplo 1.UnapersonaconcediunprstamoaunamigoporS/.35000comprometindose ste a devolverlo dentro de un ao. Por elmencionadoprstamo le cobruna tasade inters simpledel 12%anual. Cul ser elintersquedeberpagaresteamigoporelprstamo?

solucin: En este caso, se tiene comodatosP, n y r, de la frmula (1) setiene:

ElPertieneunbajoriesgopasenrelacinaotrospasesdeAmricaLatina.


P=35000soles

r=12%anualcomoI=Prn

n=1aoentoncesI=35000x12%x1=4200soles

ElintersapagarserdeS/.4200.

ejemplo 2. Desarrolleelejemploanterior,considerandounatasadeintersdel12%semestral.

solucin:Comoryn tienenqueserexpresadosenunidadeshomogneas,entonces:

P=35000soles

r=12%semestral De(1)setieneque:

n=2semestres I=35000x12%x2=8400soles

EnestecasoelintersapagarserdeS/.8400.

ejemplo 3.Unaparejadeesposossolicitaunprstamoaunapersonaporunmontode$23000paracomprarunauto.Estapersonacobraunatasadein-terssimpleparaprstamosdel24%anual,silospagosmensualesarealizarsernde$520,qupartedelprimerpagosedestinaalpagodeintersyasaldarelprstamo?

solucin:Setienequecalcularelintersquesepagaporelprimermes,lain-formacindelatasadeintersesanual,comosenecesitamensual,porlotantosedivideentre12(nmerodemesesquetieneelao).Lapartequeamortizaladeudaesladiferenciaentreloquesepagamensualmenteyelinters.

P=23000dlares

r=2%mensual

n=1mes I=23000x2%x1=460dlares

Paraelpagodeintersdestin$460yparasaldarladeuda$60($520-$460).

ejemplo 4. UnseorsolicitunprstamodeS/.800paraliquidarloentresmesesypagporelloS/.120porconceptodeinters.Culeslatasadein-terstrimestralyanual?

solucin: Enestecaso,elperiodoes1trimestre,resumiendolosdatos:


P=800solescomo r=I/Pn P=800solescomor=I/Pn

n=1trim. r=120/800 n=3/12aos r=120/(800x3/12)

I=120soles r=0.15trim.I=120soles r=0.60anual

Latasadeintersesde15%trimestralo60%anual.

1.3. Perodo de tiempo

Bsicamente,setienedosformasdecuantificarelnmerodedascompren-didosentredosfechas.Tiempoexactoqueincluyetodoslosdas,exceptoelprimero.Laotrasereltiempoaproximado,elcualconsisteenconsiderar,porejemplo,quetodoslosmesestienen30das.

ejemplo 1.Calculareltiempoexactoyaproximadoentreel4deabrilyel28deagosto.

solucin: Serealizarestaoperacinmesamesydeestaformasedetermi-narelnmerodedasquetienecadames.

Mes t. exacto t. aproximado

AbrilMayoJunioJulioAgosto

26das(30-4)31303128

Vemosqueelnmerodemesesdel4deabrilal4deagosto,resultando4x30das,luegoleadicionamos24das(28ago-4ago)

total 146 das 144 das

1.4. Inters exacto e inters ordinario

Comnmentenosenfrentaremosantelasituacindequenecesitamosexpresarlosplazosqueestnendasaaosoviceversa,cuandoestosucedeyutiliza-mosundivisorde360selellamarinters ordinario anual.Ysiutilizamosundivisorde365366selellamarinters exacto anual.Desimilarformasepuedeobtenerelintersordinariooexactosemestral.

ejemplo 1.Calcularelintersexactoeintersordinariodeunprstamode$500a90das,silatasaesde18%anual.

solucin: SetieneP=500yr=18%anualdelafrmulasepuedeobtener:


Intersordinario=500x0.18x90/360=$22,50

Intersexacto=500x0.18x90/365=$22,19

Elhechodeusar365366dependersielaoesbisiestoono.

1.5. norma comercial

Deloanteriorsepuedeconcluirqueexistendosformasdecalculareltiempo(exactoyaproximado)ydostiposdeinters(exactoyordinario),estogeneracuatroformasparacalcularelinterssimple.

1. Tiempoexactointersordinario.

2. Tiempoexactointersexacto.

3. Tiempoaproximadointersordinario.

4. Tiempoaproximadointersexacto.

Delascuatroformas,eldeusomsfrecuenteeslaforma1,tiempoexactointersordinario,queestambinconocidocomonormabancaria.

1.6. Valor presente

Enel casode inters simple, tambines llamadocapital inicialy es aque-llacantidaddedineroqueestinvolucradaenunprstamoodepsitoenelmomentoinicialdelaoperacin,llamadomomentocero,yseobtienedeladefinicindeinterssimple:

P=I/(rn) (2)

DondelasvariablesP,I,rynsonlasmismasdefinidasanteriormente.

1.7. Monto

Cuandoalvalorpresente leadicionamosel inters,aestaexpresinsede-nominamonto(M)otambinvalorobtenidoalfinaldelaoperacinyserexpresadopor:

M=P+I

M=P(1+rn) (3)

DondelasvariablesM,P,I,rynsonlasmismasdefinidasanteriormente.Enlasiguientefigurasemuestralarelacinentrevalorpresenteymonto.


Figura 1.3. Relacinvalorpresenteymonto.

Comoseobserva,elvalorpresentePpuedeser llevadodesdeelperiodo0hastaelperiodon;deigualmanera,elmontoMpuedeserregresadodesdeelperiodonhastaelperiodo0 medianteesasrelaciones.

ejemplo 1. SetieneuncapitaldeS/.1500,queseencuentradepositadopor5trimestresaunatasade60%anual.Determinarelmontogeneradoalfinaldelplazomencionado.

solucin: Comonestexpresadoentrimestres,rtienequeestarexpresadoenlamismaunidad.Estosignificaquelatasaanualtienequeestarexpresadaentasatrimestral.Oenestecasocomolatasaestexpresadaanualmentesepuedeexpresarnenaos(5/4)yluegoaplicarlafrmula(3),obtenindose:

P=1500soles r=60%anual

n=5/4aos LuegoM=P(1+rn)=1500(1+60%x5/4)=2625

ElmontoserdeS/.2625.

ejemplo 2. Resolverelproblemaanteriorconsiderandounatasade60%se-mestral.

solucin:Comonyrtienenqueserexpresadosenunidadeshomogneas,enestecasolatasaestexpresadaenformasemestral,luegonqueestdadoentrimestres,tienequeserexpresadoensemestres.

P=1500soles

n=5/2semestres. Luego

r=60%semestral M=P(1+rn)=

1500(1+60%x5/2)=3750

ElmontoseradeS/.3750.


ejemplo 3.Unaempresaprev lanecesidaddeS/.50000parafinalesdeltercerao,Culeselcapitalinicialadepositareldadehoyparaobteneresemontosisesabequelatasaapagarporeldepsitoesde10%anual?

solucin: Enestecaso,laincgnitaeselcapitalinicialovalorpresentedelafrmula(3),despejandoPsetiene:

M=50000soles

n=3aos.Luego

r=10%anualP=M/(1+rn)=

50000/(1+10%x3)=38461,54

ElcapitalinicialadepositareldadehoyseraS/.38461.54.

ejemplo 4.Una inmobiliaria tienecomometaganarun inters simplede$100000enunperiododedosaosymedio.Culdebeserelcapitalinicialadepositar,sabiendoquepuedeobtenerunatasade1%trimestral?

solucin:Enestecaso,setienecomodatoelintersquedeseaobtenerlain-mobiliaria,expresandonentrimestresdetalmaneraqueseahomogneoconr,yaplicandolafrmula(2)setiene:

I=100000dlares

n=2.5x4trimestres. Luego

r=1%trimestral P=I/(rn)=

100000/(1%x10)=1000000

Elcapitalinicialadepositarserade$1000000.

1.8. Variaciones de tasas

Enunhorizontedetiempo[0,n]conperiodos[ni,ni+1]puedesucedervariacio-nesdetasa.Esdecir,seinicialaoperacineneltiempo0aunatasadetermi-nadadeinterssimpleparaunperiododeterminado;paraelsiguienteperiodoestatasapuedecambiar.Laaccinpuedesucederhastallegaraltiempon.UnejemplodeestetipodetasaeslaLibor3,queeslatasadereferenciaquesenegocianloseurodlares.Sepuedecalcularelinterstotalcuandoseproduceestetipodesituacionescomosemuestraenlasiguientefigura:

SigladelaLondonInterBankOfferRate.


Figura 1.4. Interssimpleconvariacionesdetasas.

SeaI1elintersgeneradoporlatasar1yelperiododetiempon1;aplicandolafrmula(1)setienequeI1=Pr1n1,deigualmaneraI2=Pr2n2yas,su-cesivamente,secalculaIq=Prqnq,elinterstotalserigualalasumadelosinteresesparciales

I1+I2+I3++Iq.

I=Pr1n1+Pr2n2++Prqnq

I=P=

q

i 1

i i nr (4)

Parahallarelmontosepuedeaplicarlafrmula(3),entonces

M=P(1+=

q

i 1

i i nr ) (5)

ejemplo 1.UnaseorarealizaunprstamodeS/.2000aunfamiliar,conlafinalidaddequeselosdevuelvadentrodeunao,ofrecindoleunatasade1%mensualdurantelosprimeroscuatromeses,ylosmesesrestantesaunatasade1,5%mensual.Culseralacantidadqueobtendraalfinalizarelao?

solucin: Se aplica directamente la frmula (5) a la informacin delejemplo1.

Capitalinicial=2000soles n1=4meses

r1=1%mensual n2=8meses

r2=1.5%mensualluego M=2000(1+1%x4+1.5%x8)

LacantidadqueobtendraalfinalizarelaoseradeS/.2320.

ejemplo 2.Enelejemploanterior,sielfamiliardesearapagarenvezder1yr2unatasanicar, Cultendraqueserestatasaparaqueestaseoranoseperjudique?


solucin:Paraqueestaseoranoseperjudique,alfinaldelaotendraquere-cibirigualmonto,utilizandoestatasar queenelcasoanteriorcuandoseutilizr1yr2,plantendoselasiguienteecuacin:

2320=2000(1+r x 12) r=1,33%

Latasanicasera1,33%mensual.

1.9. ecuaciones de valor

Muchasvecesnosencontramosconeldilemadecomparardiferentescapita-les.Porejemplo,S/.100dehoyesigual,mayoromenoraS/.100dentrodeunao,sifueraladevolucindeunprstamoodonacinQuprefiere?recibirhoyodentrodeunao.Haceresteanlisissignificadeterminarelvalordeldineroeneltiempo,ylarespuestaaestainterrogantedependerdediferentesfactores;porejemplo,latasadeintersinvolucradaenestaoperacin.Deahlaimportanciadeestetemaelcualpermitecompararcapitalesendiferentesmomentosdeltiempo,losotrosfactoresatenerencuentasonlossiguientes:

La inflacin,puestoquedentrodeunaoelpoderadquisitivode esedinerosermenor.Porejemplo,siconS/.100aliniciodeaosecompra10unidades,luegodetranscurrido1aopuedeserquesecompreslo8unidades.

El costo de oportunidad, los usos alternativos del dinero implicanexistenciadealternativas rentables, estedinerohoypuedegenerarunautilidad.

Elriesgoquesignifica la incertidumbrede loquepuedesucedereneltranscursodeunperiododetiempo.

Porlotanto,silaopcinfuerarecibirlosdentrodeunperiododetiempo,sepodraaceptarsolamentesiseentregaraunacantidadadicionalquecompen-saralosfactoresanteriormentemencionados,debidoaqueeldinerotienelacapacidaddeproducirmsdinero,generandoriqueza.

Tomandoencuentaelfactortasadeinters,analizaremoselsaldarunadeu-daqueestcompuestapordosdeudas;laprimera,porS/.200eldadehoyylasegundaporS/.112,quesetendrquepagardentrodeunaoaunatasadel12%anual.Parapoderobtenerelvalordeestadeuda,senecesitasaberculeselvalorpresentedelosS/.112.EllosignificatrasladarlosS/.112aldadehoy,ysepuedeobtenerdespejandoPenlafrmula(3),luegoP=112/(1+12%x1),entoncesP=S/.100.Parasaldarestadeudahoy,setendraquepagarS/.300(S/.200+S/.100).


Sepodraanalizarelejemploanteriorinteresadoensaberculseraelvalordedeudasisepagaracuandovencelasegundadeuda(dentrodeunao).Paraello,necesitamossaberculserelvalordelaprimeradeudaS/.200,dentrodeunao,ohallarelmonto(llamadotambinvalorfuturo)deestadeuda.Aplicandodirectamentelafrmula(3)setieneM=200(1+12%),luegoM=S/.224.Entonces,elvalordeladeudadentrodeunaoseralacantidaddeS/.224+S/.112=S/.336.

Finalmente,sepuedeafirmarque:

S/.200eldadehoyyS/.112dentrodeunao,esequivalentea:

S/.300eldadehoyy

S/.336dentrodeunao

Entonces,parapodercompararcapitalesqueestnendiferentestiemposesnecesariollevaratodosellosaunamismafecha.Astaseledenominafecha focalofecha de comparacin.Alllevarestoscapitalesaesafecha,seformaunaecuacinystaesllamadaecuacindevalor.

ejemplo 1.ElhospitalMaraAuxiliadoradeseaadquirirmaterialquirrgicoparapoderbrindarunmejorservicioycuentaparaellocondospropuestasquedebenseranalizadasporeldepartamentodelogstica,acargodelaseoraJessicaAricoche:

PropuestaA:

Cuotainicial$20000,00y2cuotasmensualesde$15000cadauna.

PropuestaB:

Cuotainicial$12554,11y2cuotasmensualesde$19000cadauna.

Sielcostodeldineroesel5%deinterssimplemensual,culeslamejoroferta?

solucin: Enestecaso,loquesetienequecompararesculdelosproveedo-restieneelmenorvalorpresente,siendoelmenorelmsconvenienteparaelhospital;delainformacinsetiene:

ProveedorA ProveedorB

Cuotainicial=$20000 Cuotainicial=$12554,11

Cuotamensual=$15000 Cuotamensual=$19000

Nmerodecuotas=2 Tasa=5%mensual


Comosetienequeobtenerelvalorpresente(VP)delosproveedores,consi-deramoselmomento0comolafechafocal;ellosignificallevarlascuotasmensualesaesteperiodo.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:

Diagrama de flujo para la propuesta a

Unavezquelascuotasmensualeshansidotrasladadasalafechafocal0seprocederacalcularelvalorpresentedelapropuestaA,queeslasumadetodasestascantidades.

VPpropuestaA=20000+15000/(1+5%)+15000/(1+5%x2)=$47922,08

Diagrama de flujo para la propuesta b

DeigualmaneraseprocederparalapropuestaBVPpropuestaB=12554,11+19000/(1+5%)+19000/(1+5%x2)=$47922,08

Conestaptica(fechafocalenelorigen),lasdoscantidadessoniguales,porello la seora JessicaAricochepuede afirmar que es indiferente aceptar laofertadelproveedorAoB.

ejemplo 2.Unpadredefamiliacolocasucapitalmedianteprstamosainterssimple.Elprimeroysegundoprstamosde$7500y$2800,respectivamente;realizaelsegundoprstamo7mesesdespusdelprimero.Latasaqueofrecen


pagarleesdel2%pormes,culeselmontogeneradoporestosprstamossiambaspartesdecidenmantenerestaoperacinporunaomsdespusdelltimoprstamo?

solucin:Enestecaso,sepidecalcularelmontogeneradoporestosdosprs-tamos;paraelprimerprstamoelnmerodeperiodoses19meses(7+12),paraelsegundoprstamoserde12mesesylatasadel2%mensual.Consi-derandolafechafocalalfinaldelao,setiene:

1erdepsito=7500dlares 2dodepsito=2800dlares

Periodos=19meses Periodos=12Meses

M = 7500 (1 + 2% x 19) + 2800 (1 + 2% x 12) M = 13 822 dlares

Elmontogeneradoporestosdosprstamosserade$13822.Elsiguientediagramadetiempovisualizaeldesarrollodeesteejemplo.


ProbleMas resueltos

1. SedepositaS/.3500por19meses,aunatasade12%anual.Culserelmontogeneradoporestaoperacin?

solucin:

P=3500soles

n=19meses

r=12%/12 EntoncesM=3500(1+1%x19)=4165

ElmontogeneradoseradeS/.4165.

2. Uninversionistacolocsucapitalde$30000comoprstamoaunaen-tidadcomercialpor5aosyainterssimple.Sesabequeduranteestelapsodetiempolatasadeinterstuvolassiguientesvariaciones:

0,5%quincenaldurantelosprimeros7meses.

2,5%semestralporlos5mesesconsecutivos.

1,2%mensualporlossiguientes4trimestres.

6%anualporlossiguientes5semestres.

0,016%diarioporlossiguientes4meses.

1,5%bimestralporlos2ltimosmeses.

a) Elinversionistadeseaconocerelintersgeneradoporsucapital.

b) Culeslatasaacumulada(tasatotaleneltiempoqueduralaoperacin)ylatasanicaanualdeestaoperacin?

solucin: (Ver Anexo pgina I).Como en esta operacin se producenvariacionesde tasas,se tienequeaplicar la frmula(4),peroparaellola tasa y los periodos de tiempo tienen que ser homogneos, es decir,expresadoenlasmismasunidades.

P=30000dlares

n1=7x2quincenas r1=0,5%

n2=5/6semestres r2=2,5%

n3=4x3meses r3=1,2%

n4=5/2aos r4=6%


n5=4x30das r5=0,016%

n6=1bimestre r6=1,5%

30000(0.5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+1,5%x1)

I=$12571

a) Elinversionistarecibirporsucapitalunintersde$12571alfinaldeloscincoaos.

Latasaacumuladaenestos5aos,esigual:

0,5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+1,5%x1=0,4190

LatasanicaconvierteP=$30000enunperiodode5aosenunmontoM=$42571($30000+$12571),de la frmula (3)setiene:

42 571 = 30 000 (1 + r x 5) r = 8,3806%

b) Latasaacumuladaenlos5aoses41,9%ylatasanicaes8,381%anual.

3. Unapersonainvierte$50000aunatasadel12%deinterssimpleanual;alcabode3aosinviertelautilidadaunatasadel3%deinterssimplemensual.Siluegodetranscurridountiemponlautilidaddelasegundainversinesel75%delautilidaddelaprimera(enlostresaos),ycomonovaharetirarlainversininicial,entonces,acuntoasciendeelmontototal?

solucin: En este caso, se tiene que analizar el inters que genera lautilidadparaalfinalpoderobtenerelmonto.

P=50000dlaresr=0,12anual

Deacuerdoalafrmula(1),elinterssimpleI3aosparalosprimeros3aosaestatasaser:

I3aos=50000x12%x3=18000

ConformeelenunciadodelproblemaennmesesmselinterssimpleI2generadoporunatasadel3%mensualesigualal75%deI3aos(utilidaddelaprimera),entonceselinterssimplegeneradoporestautilidadser:

I2=75%x18000=18000x3%xn

Elcualdacomorespuestaqueeltiempotranscurridoesn=25meses.


Adicionalmente,setienequeelcapitalinicialgenera,durante25meses,aunatasadel1%mensual(12%/12),uninterssimpleI3:

I3=50000x1%x25=12500

Entonces,elinterssimpleIgeneradoenestaoperacinser:

I=I3aos+I2+I3=18000+13500+12500=44000

SetienequeM=P+I=50000+44000.

Elmontototalasciendea$94000.

4. LaempresamineraBuenaventuratieneensuplandestinar$9000000aunainversindelaqueesperauningresode$5200000en6mesesyde$6300000dentrodeunao.Considerandoelorigencomopuntofocalyqueestaoperacinesrealizadaainterssimple,determinar:

a) Latasadeintersquehaceindiferentelainversin.

b) Lanuevatasadeinterssialcabodeloctavomesadiciona$500000alainversin.

solucin: Enunaoperacinenlaqueestninvolucradosegresoseingresosloquebuscatodoinversionistaesobtenerutilidades.Elloimplicaquelosegresosseanmenoresalosingresos;enelmomentoquestosseaniguales,sedicequeesindiferentelainversin,enelsentidoquenoexistenprdidasogananciasenlainversin.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:

Considerandocomopuntofocalelorigen,sumaremoslosingresosylosigualaremosalosegresos(lainversinrealizada)enestepunto,luego:

9000000=5200000/(1+rx6)+6300000/(1+rx12)

Considerandoarlatasadeinterssimplemensual.

a) Aplicandolainterpolacin,setienequeresiguala3,06212742%mensual.

b) es similar al caso anterior; se adiciona una nueva inversin a lainversininicial;entoncesse tienequehallarelvalor totaldeesta


inversin,locualsignificasumarestasdosinversionesenelpuntofocal,elorigen.Eldiagramadeflujoparaestecasoserdelasiguienteforma:

9000000+500000/(1+r1x8)=5200000/(1+r1x6)

+6300000/(1+r1x12)

Lanuevatasadeinterssimpler1es2,4260252%mensual.

5. Unafbricatienedosdeudasconunprestamista.Laprimeraesporunmontode$1350convencimientodentrode28dasylasiguientedeudaesde$5400quevenceralos42das.Lafbricadeseacancelareltotalde sus deudasmediante dos pagos de igualmonto dentro de 35 y 70das,respectivamente.Culserelmontodelospagosaefectuarporlafbricasielprestamistaaceptestaformadepagoyestandodeacuerdoambos en aplicar una tasa de inters simplemensual del 8% para lasoperacionesrealizadasdentrodelos42primerosdasyde7%mensualparalasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocalelda70.

solucin:Alconsiderarcomofecha focalelda70, significa trasladarfuturasdeudasypagosaesafecha,teniendoencuentalavariacindetasaqueserealizaelda42.Eldiagramadeflujoserelsiguiente:

ElmontodelospagosparacubrirladeudaserelvalordeXenelda70,adicionandoelvalordeXenelda35,perollevadoalda70,elcuales:

X+X(1+8%x7/30+7%x28/30)=2,084xX


Elvalordeladeudaserlasumadelasdosdeudasllevadasalda70,elcuales:

1350(1+8%x14/30+7%x28/30)+5400(1+7%x28/30)=7241,31

Elmontodelospagosdebeserigualalvalordeladeuda,elloimplicaque

2,084 x X = 7241,31 X = 3474,72

Elmontodelospagosarealizarserde$3474,72elda35yelmismomontoelda70.

6. Enelproblemaanterior,culserelmontodepagosalaplicarunatasadeinterssimplemensualdel8%paralasoperacionesrealizadasdentrodelos50primerosdas,yde7%mensualparalasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocalelda70.

solucin:Enestecaso,cambialafechaparalavariacindetasadelda42alda50,entoncesahoracalcularemosnuevamenteelmontodelospagoselda70.

X+X(1+8%x15/30+7%x20/30)=2,087xX

Elnuevovalordeladeudaser:

1350(1+8%x22/30+7%x20/30)+5400(1+8%x8/30+7%x20/30)=7259,40

Comoenelcasoanterior,elvalordeestasdosecuacionestienenqueserigualesimplicandoparaelloelmontoapagarque,enestecaso,serX=$3478,95elda35y70,respectivamente.

7. Unprestamistaanalizaunatransaccincomercialllevadaconanterioridadenlaqueinvirtiuncapitalalatasadeinterssimpledel6,5%mensual,lacualseconvirtien$3600.Sihubieseinvertidoala tasadeinterssimpledel5%mensualyunaomenosqueenelcasoanterior,elintersserade$450.Obtener:

a) Loinvertidoporelprestamista.

b) Eltiempodeestaoperacinenaos.

solucin:Paraelprimercaso,setienecomodatoelmontoylatasa;enelsegundocaso,setienecomodatoelintersgeneradoenestaoperacinylatasa,entonces:


1ercaso 2docaso

Monto=3600dlares Inters=450dlares

r=6.5%x12 r=5%x12

n=taos n=t-1aos

Paraelprimercaso,aplicandolafrmula(3),setiene:3600=P(1+6.5%x12xt);paraelsegundocaso,aplicandolafrmula(1),setiene:450=Px5%x12x(t-1),deestasdosecuacionessetieneque:

a) Loinvertidoporelprestamistafue$1693,82.

b) Eltiempodeestaoperacinfue1,44aos.

8. Una persona tiene hoy una deuda de S/. 23 000, comprometindose acancelartaldeudadentrode360das,aunatasadeinterssimplede1%mensual.Contandoconefectivo,dentrodelplazoprevistorealizaciertospagosdeS/.13500elda90,S/.4500elda180yS/.500elda270.Culserelpagofinalelda360?

a) Realizandolaoperacinelmismodadelpago.

b) Realizandolaoperacinteniendocomofechafocalelda360.

solucin:Ladeudaesnica,confechasfocalesdistintas;paraelcasoa)setienequellevarladeudahaciacadafechadelospagos,restandoluegoelvalordepagorealizadoenesafecha,entonces:

Paraelda90,elvalordeladeudaser:

23000(1+1%x90/30)-13500=10190


10190(1+1%x90/30)-4500=5995,7


5995,7(1+1%x90/30)-500=5675,57


5675,57(1+1%x90/30)=5845,84

a) En este caso, el pago final ser de S/. 5845,84. En el caso b) setienequellevarestospagos,yladeudaalafechafocal(da360),ladiferenciaeslaquesetendraquepagar.

Elvalordeladeudaenlafechafocales:


23000(1+1%x360/30)=25760

Elvalordelospagoses:

13500(1+1%x270/30)+4500(1+1%x180/30)

+500(1+1%x90/30)=20000

b) EnestecasoelpagofinalserS/.5760.

9. Sihoyinvertimos$10000enunCertificadodeDepsito,aunatasadeintersdel3%mensualduranteseismeses.

(www.gacetafinanciera.com).

a) Cuntoserelmontofinaldelosseismeses?

b) Cuntoserelmontoalfinaldecadames?

solucin:Delainformacinsetiene:

P=10000dlares

r=3%mensual M=P(1+rn)

n=6meses M=10000(1+3%x6)=11800

a)Alcabodelosseismeses,setendra$11800.

Paraelcasob),seobtieneelsiguientecuadroresumen:

Periodo Capitalinicial Inters Capitalfinal

1 10,000 300 10,300

2 10,300 300 10,600

3 10,600 300 10,900

4 10,900 300 11,200

5 11,200 300 11,500

6 11,500 300 11,800

Como se observa, el monto al final del sextomes es el mismo valorobtenidoparaelcasoa),comoeralgicodeesperar.


ProbleMas ProPuestos

1. Uninversionistacolocsucapital,deS/.150000,comoprstamoaunparticularpor6aosyainterssimple.Sesabequeduranteestelapsodetiempo,latasadeinterstuvolassiguientesvariaciones:

0,5%quincenaldurantelosprimeros6meses.

1,5%semestralporlos6mesesconsecutivos.

2%mensualporlossiguientes4trimestres.

1,5%anualporlossiguientes5semestres.

0,012%diarioporlossiguientes2meses.

1,25%bimestralporeltiemporestante.

a) Elinversionistadeseaconocerelintersgeneradoporsucapital

b) Culeselinterspromediomensual?

2. IsaacMattostieneuncapitalque,porconveniencia,lodivideen2partes.Unaparteoprimercapitalcolocadoaunaciertatasadeinterssimpledurante2/5deao.Elresto,queesmayoren$50000alprimercapital,escolocadoalamismatasadeintersdurante3/5deao.Ladiferenciaentrelosinteresesgeneradosasciendea$2250ylasumadeestosintere-seses$6250.Calcularelmontodeestoscapitalesylatasadeinters.

3. Unaempresainmobiliariaofreceunainversinqueduplicarsudineroen10aos.Qutasadeinterssimpleleestarnofreciendo?

4. Enformasimilaralproblemaanterior,supongaquelehanofrecidounainversinquetriplicarsudineroen10aos.Qutasadeinterssimpleleofrecern?

5. DoshermanostienenahorradociertocapitalquedifiereenS/.100000.Unprestamista lespagaporesecapitalel2%y6%anuales respecti-vamente,laoperacinespormedioao.Sesabe,adems,quesiestoshermanos juntaran sus capitales, les pagaran 8% por un ao y serasuperiorenS/.15000altotaldelosintereses.Culeselcapitalquetienenahorradoestoshermanos?

6. UnafamiliahalogradoreuniruncapitaldeS/.75000.Paradiversificarelriesgo,unterciodeestecapitalescolocadodurante15mesesal24%anual,mientrasquelosdosterciosrestantessoncolocadosdurante4mesesaunatasadeinters,detalmodoquealfinaldelplazoelintersgeneradoentotalasciendeaS/.17500.Culeslatasadeintersmensualalaquesecolocelsegundocapital?


7. Giancarlolvarez tiene dos opciones; la primera, depositar su dinero al1,2%trimestralporunperiodode2aos.UnasegundaopcinenelcasodequeincrementeelprimerdepsitoenS/.12000durante1ao,lepagaran2,6%semestralconloquesegeneraraunmontoigualaldobledelcapitaloriginal.Culeseldinerodepositadoyelmontodelaprimeraopcin?

8. Enelproblemaanterior,qupasasisegeneraraunmontoequivalentealdobledelcapitaloriginal.

9. DavidEspinozahalogradoreuniruncapitaldeS/.33000.Unapersonaleofrecepagar12%deinterssimple.Porlosriesgosqueestaoperacinrepresenta,slodecidedepositar1/3desucapital,porunlapsodetiempode8meses,yel restodelcapital logracolocarloal9%anuala interssimple,porunlapsodetiempo,detalformaquesegeneraraporestasdosoperacionesunagananciatotaldeS/.2860.Cuntotiempotendraqueestarcolocadoelsegundocapital?

10. ManuelMachucaesunprestamistayleexpresaaPedroBarrientosquesicolocasucapitalal3,5%mensualporunlapsodetiempo,legeneraunmontodeS/.2000.Finalmente, logracolocareste capital al18,5%mensualporelmismotiempo,generndoseunmontodeS/.6000.Pedroquieresaber.Culeseltiempoyelcapitalacolocar?

11. ElseorManuelCortstieneuncapitalde$12000quelogracolocarloaunatasadeinterssimpleanualdel4,2%.Pasadountiempo,leofre-cenunatasadeinterssimpleanualdel5%,considerandolamejoraenlatasa,decideretirarsucapitalyelintersgeneradoycolocarlopor6mesesmsqueenlaanterioroperacin.Alfinal,Manuellograobte-nerporlasegundaoperacin,entreelnuevocapitalyelintersgene-rado,$16000.Culfueellapsodetiempoenqueestuvocolocadoelcapitalenlaprimeraoperacin?

12. Conrelacinalproblemaanterior,cunto tiempo tendraquepasarsiparalasegundaoperacinsloretira3/4desucapital?

13. LaseoritaVanesalvareztieneuncapitaldeS/.9500.Estecapitalestuvoprestadoyhalogradogenerarunacantidad,detalformaqueaumentadaenun8%seraS/.1450.LaseoritaVanesasabequesucapitalestuvoprestadoporunaoyloquequieresaberes.Aqutasamensualestuvoprestado?

14. Conrelacinalproblemaanterior,qupasasienvezdeestaraumentadaenun8%estuvodisminuidaen4%?

15. Setieneunciertocapitalqueseplaneaprestaren2partes.Si3/7deestecapitalseprestaal7%anualyladiferenciaal9%anual,porestaoperacin


segeneraun inters.Comoamayormonto seobtieneunamejor tasa,decideaumentardichocapitalenS/.27000ylepagaran10%anual.Si,finalmente,elintersaumentaenS/.4500.Culeselcapitalinicialsilaoperacinseraporunao?

16. Conrelacinalproblemaanterior,qupasasilaspartesson3/5y2/5?

17. MaraMujica tiene los capitalesdeS/. 126000yS/. 94000,queporrazones de riesgo estn colocados a distintas tasas de inters. Comofueroncolocadosaplazofijodeunao,alfinaldelmismosetienequelasumadelosinteresesgeneradosporestosdoscapitalesesunacantidaddeS/.12460.Adicionalmente,setienequeelintersgeneradoporunodeloscapitalessuperaalotroenS/.1280.Culessonlastasasdeintersconlaqueestuvieroncolocadosdichoscapitales?

18. Seprestaundeterminadomontodedineropor1aoal10%mensual.Sipasadoslos6mesessetieneuntieneentotalS/.25000.Culserlacantidaddedineroquesetendraalfinalizarelao?

19. Seprestaunacantidaddedinero,ainterssimple,desdeel05/03al28/09.Durante los primeros 3meses, le pagaron 5%mensual y el resto deltiempoa12%anual.Culeslacantidaddedineroinicialmenteprestadasi,pornecesidadel28/07,retirS/.15000?

20. UnalavadoracuestaS/.1299,segnelpreciodelista,tratandodemostraralternativasdeventaesofrecidaendosmodalidades:

a) Alcontado:conundescuentodel20%sobreelprecioenlista;

b) Financiada: 50% de anticipo y el 50% restante a los 6 meses, sininters.

Enrealidad,qutasadeintersestcobrandolacompaa?

21. Se tieneuncapitalde$9000,quees colocadoel1/3/2004por elquepagan6%anualmente,yel23/8/2005,porunapuro,retiran$3600.Culeselsaldoal24/12/2007?

22. Unainmobiliariatienelaposibilidaddecomprarunterreno,eldueodelterrenolepropone2opcionesdeventa:

a) Unacuotainicialde$7000y$33000alfinaldelsegundoao.

b) $33000decontado.

Sieldineroquenoseutiliceparaelpagopuedecolocarseaunatasadeinterssimpledel9%anual.Porculde lasopciones la inmobiliaria,finalmente,decidira?


23. Conrelacinalproblemaanterior,culdeberaserelpagodecontado,detalmaneraquelasdosopcionesseanindiferentes?

24. JosAragnplanificasueconoma;esporelloquerealizundepsitodeS/.23000el1/3/2003aunatasadeinterssimpledel3%semestral;el6/2/2004retirunacantidaddedinero.El8/8/2005latasadeintersvara,detalformaqueel12/11/2007lograobtenerporestaoperacinunsaldofavorableporunmontodeS/.28420,00.Encuntovarilatasadeintersparalograrestesaldo?

25. Unprestamistacoloca sudinerocon la condicinque se lodevuelvandentrode4y14mesesS/.7500yS/.15000,respectivamente.Recibelacontraofertadepartedelprestatariodecancelarladeudaconunsolopagoa los7meses,si lecobraunatasadeinterssimplemensualdel1.5%porloqueelprestamistaacepta.Culeselpagoquetendrquerealizarste?

1er Concurso 6 Mate Financiera

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