1.Analisis Del Error

7/24/2019 1.Analisis Del Error

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Mtodos Numricos I

UNIDAD 1.ANLISIS DEL ERROR

Introduccin

1.1 Introduccin2

Las frmulas matemticas y cientficas pueden usarse para obtener respuestas numricasa una gran diversidad de problemas reales. Sin embargo, se debe estar preparado paraenfrentar situaciones, como se muestra en los siguientes problemas:

Encontrar el valor mnimo o mximo que adquiere en el intervalo [0,1] la funcin

F(x) =x6+ 5x4 9x + 1

Dado un valor b > 0, evale la integral definida dxxb

+03

1

Encuentre todos los puntos (x, y) en el cuadrado 0x y 1y

que minimicen o

maximicen

F(x, y) =x2y4+ 2x 4y

Encontrar la curva y = Y (x) que pase por el punto (0, 1) cuya pendiente de latangente en cualquier punto P(x, y) iguala al cuadrado de la distancia de P(x, y)al origen, esto es, resolver la ecuacin diferencial:

,22 xy

dx

dy+= como 1=y cuando 0=x

Estos problemas se pueden resolver de forma analtica para obtener una solucin exacta(aunque algunas veces esta forma se complica o no hay solucin).

Afortunadamente, rara vez se necesita la solucin exacta ya que de hecho en el mundoreal los problemas son por lo general soluciones inexactas, ya que se plantean entrminos de parmetros que se miden los cuales son aproximados.

Lo que suele ser necesario es, no una respuesta exacta, sino una aproximacin a ella conun rango de error definido. Es por ello que en ocasiones basta con utilizar un mtodonumrico que nos aproxime a la solucin, cuando la solucin analtica es compleja o noexiste.

Aun cuando una frmula est disponible se debe tener cuidado porque los clculosmatemticos nos pueden llevar tanto a respuestas correctas como incorrectas, ya quedebemos tener cuidado con los supuestos bajo los cuales se puede aplicar el mtodo obien con las medidas que se obtienen para formular el modelo.

En el siguiente ejemplo mostraremos como tres ecuaciones que al desarrollar nos danresultados similares si trabajamos con aproximaciones el error puede propagarse dediferente manera:

(Burden, 1998; Chapra, 1999; Maron, 1995; Nieves, 2003; Sheid, 1995; Wheatley, 2000)


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Introduccin

Ejemplo

Ecuacin 1

Ecuacin 2 Ecuacin 3

n

0

1

2

3

Suponiendo que redondeamos los resultados a 5 decimales en la segunda y terceraecuacin, entonces se obtiene lo siguiente:

Series Redondeando a cinco decimales

n 1er Polinomio 2o Polinomio Error absoluto 3er Polinomio Error absoluto

0 1 1 0 1 0

1 0.333333333 0.33333 3.33333E-06 0.33333 3.33333E-06

2 0.111111111 0.11111 1.11111E-06 0.1111 1.11111E-05

3 0.037037037 0.03704 2.96296E-06 0.037 3.7037E-05

4 0.012345679 0.01235 4.32099E-06 0.01223 0.000115679

5 0.004115226 0.00412 4.77366E-06 0.00377 0.000345226

6 0.001371742 0.00137 1.74211E-06 0.00034 0.001031742

7 0.000457247 0.00046 2.75263E-06 -0.00264 0.003097247

8 0.000152416 0.00015 2.41579E-06 -0.00914 0.009292416

9 5.08053E-05 0.00005 8.05263E-07 -0.02783 0.027880805

10 1.69351E-05 0.00002 3.06491E-06 -0.08363 0.083646935

n

nP

=

3

1 1Para3

101

=

=

PPP nn

3

1,1ParaP-

3

10102-n1

==

=

PPPP nn

9

1

3

12

=

27

1

3

1 3=

M M M M

3

1

1 1 1

( )3

11

3

1=

9

1

3

1

3

1=

27

1

9

1

3

1=

3

1

( )9

11

3

1

3

10=

27

1

3

1

9

1

3

10=


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Introduccin

Si graficamos los errores absolutos que se obtuvieron al hacer los clculos, tenemos lasiguiente grfica:

Podemos observar que en el segunda ecuacin el error se propaga de en forma linealmientras que en la tercera ecuacin polinomio el error es exponencial, esto es mientrasms iteraciones se hacen el error que se comete es mayor.


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Tipos de error

1.2 Tipos de error3

Entre las primeras fuentes de error tenemos las siguientes:

No medible.- San aquellos que se cometen cuando se toman medidas de maneraaproximada (error de medicin) o bien cuando se excluyen por error algunaexactitud (error humano).

Medibles.- Son aquellos que se cometen cuando no podemos manejar todos losdecimales conocidos o con valores muy grandes (error de redondo o detruncamiento).

1.2.2 Error de Redondeo

Una forma de minimizar los errores al realizar clculos es redondear las cifras a undeterminado nmero de dgitos.

Por ejemplo, cuando una calculadora o computadora se utiliza para realizar clculosnumricos se incurre en un error de redondeo, ya que en ocasiones el nmero de dgitosque se requieren para representar un nmero es insuficiente con la cantidad que maneja.Para evitar perder dgitos significativos en las operaciones se han generado las siguientesreglas de redondeo:

1. Si el primero de los dgitos a descartar es menor que 5 no se cambian losanteriores.

2. Si es mayor que 5 se agrega incrementa un uno al ltimo dgito que se queda.

3. Si es igual a 5 y los dems son cero se procede como en 1 y si existe algn dgito

diferente de cero se procede como en 2.

1.2.3 Error de Truncamiento

Este error se comente cuando se trunca el nmero a ciertos dgitos determinado, por talmotivo se pierden las cantidades que vayan descartando. Este error tambin se cometecuando en el clculo de operaciones se tiene algn valor irracional y nos vemos en lanecesidad de truncar el nmero a un cierto nmero de cifras, o bien cuando se deseacalcular algunos trminos de la serie infinita.

Ejemplo

L+++++=

16

1

8

1

4

1

2

11nS

L

9

4

7

4

5

4

3

44 ++=

Una forma de medir los errores que se van convirtiendo al redondear o truncar es obtenerel error relativo y el error absoluto.



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Tipos de error

1.2.4 Error Relativo

El error relativo nos indica un porcentaje del error que se est cometiendo al realizar

redondeo en las operaciones de los mtodos numricos.Se describe como el error absoluto entre el valor exacto:

Ejemplo:

1) El valor de 5 con la aproximacin de 2.24.

%17.00017.0

5

24.25=


%16.00016.07

65.27=

1.2.5 Error Absoluto

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto en valorabsoluto, esto es, nos da la magnitud entre los dos valores.

Ejemplo:


0039.024.25 =


0042.065.27 =

1.2.6 Aritmtica del punto flotante

Introduccin

Los nmeros que conocemos como escritos en notacin cientfica o notacinexponencial se asemejan a la notacin de punto flotante.

Un sistema de nmeros en punto flotante es un subconjunto F de nmeros reales,cuyos elementos x, x R-{0} se pueden escribir como:


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Tipos de error

x = m E10 , con 1 m


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Tipos de error

En el caso general, la expresin de m en binario es: ,).( 2(3210 Lbbbbm = con 10 =b

0 E=2 1.0010

{bit1

{bits8

321bits23

Ejemplo:

210 100011171 ==x

Expresando en forma de nmero flotante en base B=2, con exponente E=6 al desplazar6

2 2)000111.1()( =xf , siendo su representacin en bits:

0 E=6 1.000 11 100

Notas:

1) El punto decimal que aparece entre 0b y 1b en el tercer campo de 23 bits es mostrado

a los fines didcticos pero no suele ser almacenado realmente. Por consiguiente, los 23bits se enumeran desde 1b hasta 23b .

2) El exponente se coloca en base 10, pero en rigor tiene expresin binaria.

3) El bit del signo: 0 indica un nmero positivo; 1 es negativo.


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Propagacin del Error

1.3 Propagacin del error en distintas operaciones

aritmticas4

1. Suma

2. Resta

3. Multiplicacin

4. Divisin

5. Evaluacin de Funciones

1.3.1. Suma

Si se suman las aproximaciones de dos nmeros a y b se tiene un resultado c y el errorabsoluto que se comete cumple.

Esto es, la suma de los errores de las aproximaciones de a y b en valor absoluto sonaproximadamente mayores o iguales al error del resultado, conocido como el error depropagacin.

Demostracin:

Se espera que al sumar ba + sea exactamente c

( ) ( )babaerror ++= **

Donde aeaa +=*

y bebb +=*

( ) ( ) cbaba eeebaebeaerror =+=++++=

Esto es:

cecc +=*

El error absoluto es:

baba eeeebb ++=++ )(a)(a **

O bien:

bac eee +


bac eeebaba +=++ )()( **


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Ejemplo:

Si a=1.00009 y b=2.00009

c=a+b=3.00018

Si tenemos un equipo que slo maneje 4 decimales

a*=1.0000, b*=2.0000 y c*=3.0001

00009.00009.00018. +

+ bac eee

1.3.2. Resta

Si se restan las aproximaciones de dos nmeros a y b se tiene un resultado c y el errorabsoluto que se comete cumple.

Esto es, la resta de los errores de las aproximaciones de a y b en valor absoluto sonaproximadamente mayores o iguales al error del resultado, conocido como el error depropagacin.

Demostracin:

Se espera que al restar ba sea exactamente c

( ) ( )babaerror = **

Donde aeaa +=*

y bebb +=*

( ) ( ) cbaba eeebaebeaerror =+=++=

Esto es:

cecc +=*

El error absoluto es:baba eeeebb ++= )(a)(a

**

O bien:

bac eee +

bac eeebaba += )()( **


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1.3.3. Multiplicacin

Si se multiplican las aproximaciones de a y b, el error relativo que se comete cumple:

( ) ( )( ) b

e

a

e

a

e

b

e

ba

baba baab++

**

Esto es, el error de propagacin relativo en valor absoluto en la multiplicacin esaproximadamente menor o igual a la suma de los errores relativos de a y b en valorabsoluto.

Demostracin:

cba =

= =

=

=

El error absoluto es:

b

e

a

e

a

e

b

e

ba

bbba

ba

baba

a

aa baab ++=

=

=

=

)(

)*)(*(

)(

)(*)*(

Ejemplo:a= 1.004

b= 3.001

Aproximacin:

= 1

=3

Operaciones:

a * b = c (1.004)(3.001)= 3.0130

= |3- 3.0130|=-0.0130

b

e

a

e

a

e

b

e

a

aa baab ++=

=

=

=

001.3

)001.33)(004.11(

0130.3

)0130.3()3(


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1.3.4. Divisin

Si se dividen las aproximaciones de a y b, el error relativo que se comete cumple:

b

e

a

e

b

e

a

e

b

ab

a

b

a

baba+

*

*

Esto es, el error de propagacin relativo del cociente en valor absoluto esaproximadamente menor o igual a la suma de los errores relativos de a y b en valorabsoluto.

Demostracin:

c

b

a=

b

ab

a

b

a

a

= *

*

=+=

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

a

a

b

a

b

aa

*

*

*

*

*

***

*

*

..

b

e

a

e

b

e

a

e

b

a

b

b

a

a

b

a

b

a

b

a

a

aa baba +=

=

=

=

**

*

*

Ejemplo:

a= 10.0005

b= 3.3300

Aproximacin:

= 10

=3

Operaciones:

Cb

a=

0031.33300.3

0005.10=


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=+===b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

a

a

b

a

b

aa

*

*

*

***

*

*

=+===

3300.3

0005.10

3

005.10

3300.3

10

3

10

3300.3

3

0005.10

10

3300.3

0005.10

3

10a

0001.00031.33335.30030.33333.3 =+=a

b

e

a

e

b

e

a

e

b

a

b

b

a

a

b

a

b

a

b

a

a

aa baba +=

=

=

=

**

*

*

b

e

a

e

b

e

a

e

a

aa baba +=

=

==

3300.3

0005.10

3300.3

3

0005.10

10

3300.3

0005.10

3300.3

0005.10

3

10

0031.3

9009.0

0031.3

9999.0

0031.3

9009.09999.0+

6328.00329.02999.329.30329.0 =+

1.3.5. Evaluacin de Funciones

Supngase operaciones bsicas sin errores, cuando se evala una funcin )(xf en un

punto a:

*)( afee af

Esto es, el error al evaluar una funcin en un argumento inexacto es proporcional a laprimera derivada de la funcin en el punto donde se ha evaluado.


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Estrategias para minimizar el error

1.4 Algunas estrategias para minimizar el error5

Cuando se realizan clculos en los mtodos numricos es importante conocer algunastcnicas que nos ayudan a minimizar los errores que puedan cometerse.

1.4.1. Estrategia de respuesta final

Si se tiene una exactitud conocida de alguno de los datos que se utilizan en lasoperaciones se redondea la respuesta final al nmero de dgitos de la exactitudconocida.

Ejemplo

Si un clculo bien conocido resulta 23.3876 y el dato de entrada menos exacto seconoce slo con exactitud a 3 cifras, entonces la respuesta final debe anotarse como

23.4 es decir se redondea a 3 cifras.

1.4.2. Estrategia de operaciones mnimas

Para ayudar a minimizar el error de redondeo escondido, evale las expresionesmatemticas de forma que requieran el menor nmero de operaciones aritmticas,siempre que al hacerlo no permita la posibilidad de cancelacin sustractiva.

Ejemplo

8= yu se evala con ms eficiencia obtenindola en cuatro pasos ;yyu

;uuu u

u 1 (tres multiplicaciones y un recproco).

1.4.3. Estrategia de precisin extendida parcial

Cuando haga una suma acumulada en un ciclo, hgalo usando precisin extendidasiempre y cuando sea posible.

1.4.4. Estrategia de multiplicacin anidada

Evale los polinomios en forma anidada.

Ejemplo

Encontrar ( )[ ]{ } 5662.2417.2849.285.91)( +++= cccccp cuando c=-2


)2(3602.265397.13149.515.111

794.26298.1020.230.2

5667.2417.2849.285.912

=

p


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Estrategias para minimizar el error

Las fechas diagonales indican multiplicacin por c=-2.

)2(

3602.26537.13149.515.11

)2(

)( 23

++=

x

xxx

x

xp

Se obtuvo )(xp como )2()2)(( + pxxQ , sintticamente.


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Orden de convergencia

1.5 Orden de Convergencia

Los criterios que nos ayudan a ver si los mtodos iterativos convergen a una solucin o laforma en que se aproximan a las soluciones.

Ejemplo:

errorxx ii 1

Este se utiliza cuando algn mtodo acota una solucin en un intervalo determinado

errorxfi )(

Este se puede utilizar cuando se requiere que el mtodo numrico se aproxime a unasolucin.


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Herramientas para anlisis numrico

1.6 Herramientas disponibles para el anlisis

numrico6

1.6.1. Mathematica

El lenguaje de programacin de Mathematica est basado en re-escritura de trminos(que se identifica tambin como computacin simblica), y soporta el uso deprogramacin funcional y de procedimientos. Est implementado en una variante delLenguaje de programacin C orientado a objetos, pero el grueso del extenso cdigo delibreras est en realidad escrito en el lenguaje Mathematica, que puede ser usado paraextender el sistema algebraico. Usualmente, nuevo cdigo puede ser aadido en formade paquetes de Mathematica, como los archivos de texto escrito en el lenguaje deMathematica.

Algunas de las caractersticas incluyen:

Bibliotecas de funciones elementales y especiales para matemticas.

Herramientas de visualizacin de datos en 2D y 3D.

Matrices y manipulacin de datos, as como soporte de matrices tipo" sparse".

Capacidad de solucionar sistemas de ecuaciones, ya sea ordinarias, parciales odiferenciales, as como relaciones de recurrencia y algebraicas en general.

Herramientas numricas y simblicas para clculo de variable continua o discreta.

Estadstica multivariable.

Restringida y no restringida optimizacin de local y global.

Lenguaje de programacin que soporta programacin funcional.

Un kit de herramientas para aadir interfaces de usuario para clculos yaplicaciones.

Herramientas para procesamiento de imgenes.

Herramientas de anlisis y visualizacin.

Minera de datos, como anlisis de clusters, alineamiento de secuencias, y "patternmatching".

Bibliotecas de funciones para teora de nmeros.

Transformaciones de integrales continuas y discretas.

Capacidades de importacin y exportacin de informacin de datos, imgenes,vdeo y sonido, as como otros formatos biomdicos y de intercambio dedocumentos en general.

Una coleccin de bases de datos incluidas de matemticas, ciencia e informacinsocio econmica (astronoma, diccionarios, clima, poliedros, pases, instrumentosfinancieros, componentes qumicos, el genoma humano, entre otros).

(Burden, 1998; Chapra, 1999)


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Soporte para variable compleja, aritmtica de precisin infinita y computacinsimblica para todas las funciones incluidas.

Interfaz de tipo documento que permite la reutilizacin de entradas y salidas

previas, incluidas grficas y anotaciones de texto.

Funcionalidad como procesador de palabras tcnico (cuaderno de notas),incluyendo un editor de frmulas.

1.6.2. Maple7

Cdigo de ejemplo en Maple

Las siguientes lneas de cdigo calculan la solucin exacta de una ecuacin lineal

diferencial ordinaria, cabe menciona que estos tipos de problemas no se abarcan enesta materia, sin embargo; se presentan para ejemplificar el uso que se le puede dar aesta herramienta:

xxyxdx

yd= )(3)(

2

2

Sujeto a las condiciones iniciales:

2,0)0(0 ==

=ydx

dyy

dsolve( {diff(y(x),x, x) - 3*y(x) = x, y(0)=0, D(y)(0)=2}, y(x) );

Raz cuadrada del nmero 2 hasta 20 cifras decimales:

> sqrt(2) = evalf (sqrt(2), 21); 73095048804142135623.12 =

Simplificacin de fracciones:

> simplify (35/42 - 5/30);

3

2

30

5

42

35=

Solucin de ecuaciones cuadrticas:

> solve (3*x^2 + b*x = 7, x);

6

84

6,

6

84

6

22+

+

+bbbb

(Burden, 1998; Chapra, 1999)


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Solucin de ecuaciones diferenciales simblicas:

> f:= x -> tan(x)*sqrt(x):

> D(f)(x);

x

xxx

)tan(

2

1))tan(1(

2++

Funciones integrales, solucin simblica, y solucin numrica:

> Int (sin(x)^2, x);

+ 21

)cos()sin( xx

> value (%);

2)cos()sin(2

1 xxx +

> int (sin(x)^2, x = 0..Pi/2);

4

Evaluacin de ecuaciones diferenciales lineales en forma simblica y numrica:

> DGL:= diff (y(x),x, x) - 3*y(x) = x:> DGL;

xxyxydxd =

)(3)(2

2

> dsolve ({DGL, y(0)=1, D(y)(0)=2}, y(x));

318

37

2

1

2

1

18

37)(

33 xeexy xx

+

+=

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