lDshy

NINISTERIO DE EDUCACION y JUSTICIA

Secretaria de Educacioacuten

Centro Nacional de Informaci6n

Documentacioacuten y Tecnologia Educativa

J

PRO Y E C T O

D E

tlPOYO A LA ENSErltANZA MEDIA

bullHATEMATICA

PRIMER ANO

198586

MODULO VI

C E N T R O D E T E C N O L O G 1 A E D U C A T I V 11

Tinogasta 5268 Capital Buenos Aires TE 567-09170964 CP 1417 ARGENTINA

1

- 1 shy

INTRODUCCION

A traveacutes de este Moacutedulo seguiremos desarrollando nuestro obshyjetivo del Proyecto de Apoyo a la Ensentildeanza Media en la asignat~ ra Matemaacutetica de Primer Antildeo

- El Moacutedulo se propone

OBJETIVO GENERAL

Apoyar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje ~

I

correspondiente a triaacutengulo y congruencia de

triaacutengulos

t 1J l

l

- 2 shy

E M 1 S ION Ndeg 1

- 3 shy

OBJETIVO DE LA EMISION

a) Presentar el triaacutengulo en su aspecto histoacuterico enmarcaacutendolo dentro del progreso cientifico-tecnoloacutegico

b) Identificar los elementos que componen un triaacutengulo

c) Efectuar la determinacioacuten del triaacutengulo por diversos procedi mientos

d) Obtener las propiedades maacutes significativas del triaacutengulo

e) Presentar a la geometria euclideana como necesaria pero no suficiente para resolver las complejas necesidades humanas

- 4 shy

CONSIDERACIONES MATEMATICAS SOBRE EL TRIANGULO

La ensentildeanza de la geometriacutea presenta dificultades no siem pre superables con los recursos con que generalmente usted cu~ ta en la escuela Estos estaacuten limitados en la mayoriacutea de los c~ sos a tiza pizarr6n y uacutetiles geomeacutetricos

La TV es un auxiliar maacutes y es va~iosa para el aprendizaje cuando se aplica a los temas en que sin lugar a dudas constitushyye un recurso con mayores posibilidades

En esencia toda la geometriacutea es GEOMETRIA DEL TRIANGULO

Sin mayor esfuerzo podemos ver que en todas las figuras aparece de alguacuten modo el triaacutengulo Estaacute incluido en los cuadrilaacuteteros y poligonos en general Aparece en los cuerpos piraacutemides y poshyliedros y auacuten en la circunstancia cuando se la determina por tres puntos y tambieacuten en las relaciones radiales entre dos ci~

bullcunferencias s~cantes

Permite recordar loa conceptos previos de segmentos y eacuteng~

los que constituyen sus elementosy todas sus relaciones son vaacutelidas y necesarias para el estudio de otras figuras Por ello le concedemos un trato preferencial y previo en nuestras emisiQ nes

A traveacutes de ellas el alumno advertiraacute que estaacute sumergido en un contexto donde el triaacutengulO y sus condiciones de rigidez hashycen que las cosas y objetos que lo rodean le anticipen el conreR to geomeacutetrico al que llegaraacute Tambieacuten el estudio de esta figura conduce a las alturas de las geometrias no euclideanas y multi= dimensionales

Al triaacutengulo y suiexcl propiedades lo hemos elegido teniendo presente estos criterios

1- Importancia en el curriculum de primer antildeo y au posteshyrior aplicaci6n en otras figuras logradas a partir de eacutel cuadrilaacuteteros poliacutegonos y tambieacuten cuerpos

- 5 shy

z- Las posibilidades de visualizacioacuten previas

3- Las aplicaciones a otras aacutereas no matemAticas

4- La posibilidad de introducir situaciones abiertas a la exploraci6n

- 6 shy

CONSIDERACIONES DIDACTICAS DE LA PRIMERA EMISION

1- Se parte del elemento concreto cotidiano para pasar a la abstraccioacuten geomeacutetrica ayudando a establecer relaciones de la matemaacutetica con lo real

2- Se desea que~ matemaacutetica sea entendida como una ciencia viva por ello relacionamos la noci6n del triaacutengulo con ~ desarrollo cultural del hombre

3- Se analiza la determinaci6n del triaacutengulo haciendo apariexcl cer lo eminentemente matemaacutetico Se efectuacutean contrastes juegos de imaacutegenes etc

4- Se relaciona la propiedad de rigidez con algunas aplicaciacute~ nes para transferir la propiedad aprendida

5- Se generali~a ~l empleo de la geometriacutea euclideana pero marcando su limitacioacuten auacuten dentro del contexto terrestre de modo que Se entienda como insuficiente para el continuo desarrollo del hombre

6- Se presentan las geometriacuteas no euclideanas para que los lumnoB las relacionen con el progreso cientiacutefico-tecnoloacuteshygico

- 7 shy

-

~umtsiexclS DE LA EMISION Ndeg 1

1~ emisioacuten se inicia mostrando como la figura del triaacutengll 1oacute encuentra en una enorme cantidad de objetos con los cUi lee eacuteuaalumnos conviven

t

Deacute taacutes formas concretas se pasa a la representacioacuten graacutefj

ca del triaacutengulo y a la determinacioacuten de sus elementos preshyaet1~ldo ademaacutes unaresefla histoacuterica referente asu estudio

po~ la intersecci6n de semiplanos y de aacutengulos se dan dos formas de ~legar al triaacutengulo dejando a usted y a sus alumnos la posibilidad delestudio de las relaciones entre los lados

En form~ intuitiva se obtiene la propiedad de la suma de los aacutenguacuteios interiores de un triaacutengulosug1rieacutendo que en el aula se realice la demostracioacuten del correspondiente teorema

Se verifica la propiedad de rigidez del triaacutengulo y su ashyplicacioacuten en algunas situaciones

Tambieacuten se hace mansi6n a la necesidad de ampliar la geoshymtria plana planteando la existeneacuteia de triaacutengulOS esfeacutericos que no cumplen la propiedad de los aacutengulos interiores de modo 1411 loSalUlllllloliI aprecien que la matemaacutetica semiddot halla en permashynente revisioacuten y actualizacioacuten

gts IIIlolt$tracomo el deecubrimiento de geometrias no euclidei ~ pampsib-ilit6 al hombre el desarrollo de la teor1a de la relashytividad y la conquista del espacio

- 8 bull

ACTIVIDADES PREVIAS

Antes de ver la emisioacuten los alumnos deberaacuten repasar las n~ ciones de semiplano segmento aacutengulos y su clasificaci6n sushyas graacutefica de aacutengulos y las operaciones con aacutengulos en el sisshytema sexagesimal

Estas actividades son de suma importancia ya que represen shytan los pre-requisitos que tienen que tener los alumnos para en tender la emisi6n de TV y sacar de ella el mejor provecho

- 9 shy

ct1YIDA12ES POSTERIORES A LA EMISION Ndeg 1

middotl~ Confeccionar fichas sobre Euclides y su obra

2- Dibujar tres puntos no alineados a b c bull Con papel celofaacuten de tres colores construir

- Seiplano de borde ab que contiene al punto c

~ Seacutemipleno de borde bc que contiene al punto s

- Semipleno de borde sc que contiene al punto b

- iquestQueacute obtiene con la interseccioacuten de los tres semiplanos

3- Dibujar tres puntos no alineados a bull b bull e bull En papel celofaacuten de tres colores dibujar en cada uno de ellos los aacutengulOS

A A

a b c b e a e a b respecshybull tivamente

111) iquestQd se obtiene con la interseccioacuten de dos aacutengulos iquestPor queacute

b) iquestQueacute se obtiene con la interseccioacuten de los tres aacutengulos

c) Compare ambos resultados

4- Mencionar objetos cotidianos donde se observen triaacutengulos rectaacutengulos obtusaacutengulos o acutaacutengulos

5- En un plano dibuje tres puntos no alineados m bull n P bull

Trlse el A m n p

indique cuaacuteles son los veacutertices

Indique cuaacuteles son los aacutengulos interiores

Indique euaacuteles son los lados

Clasifique el triaacutengulo por sus lados

- Clasifique el triaacutengulo por sus aacutengulos

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

- 10 shy

alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

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INTRODUCCION

A traveacutes de este Moacutedulo seguiremos desarrollando nuestro obshyjetivo del Proyecto de Apoyo a la Ensentildeanza Media en la asignat~ ra Matemaacutetica de Primer Antildeo

- El Moacutedulo se propone

OBJETIVO GENERAL

Apoyar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje ~

I

correspondiente a triaacutengulo y congruencia de

triaacutengulos

t 1J l

l

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E M 1 S ION Ndeg 1

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OBJETIVO DE LA EMISION

a) Presentar el triaacutengulo en su aspecto histoacuterico enmarcaacutendolo dentro del progreso cientifico-tecnoloacutegico

b) Identificar los elementos que componen un triaacutengulo

c) Efectuar la determinacioacuten del triaacutengulo por diversos procedi mientos

d) Obtener las propiedades maacutes significativas del triaacutengulo

e) Presentar a la geometria euclideana como necesaria pero no suficiente para resolver las complejas necesidades humanas

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CONSIDERACIONES MATEMATICAS SOBRE EL TRIANGULO

La ensentildeanza de la geometriacutea presenta dificultades no siem pre superables con los recursos con que generalmente usted cu~ ta en la escuela Estos estaacuten limitados en la mayoriacutea de los c~ sos a tiza pizarr6n y uacutetiles geomeacutetricos

La TV es un auxiliar maacutes y es va~iosa para el aprendizaje cuando se aplica a los temas en que sin lugar a dudas constitushyye un recurso con mayores posibilidades

En esencia toda la geometriacutea es GEOMETRIA DEL TRIANGULO

Sin mayor esfuerzo podemos ver que en todas las figuras aparece de alguacuten modo el triaacutengulo Estaacute incluido en los cuadrilaacuteteros y poligonos en general Aparece en los cuerpos piraacutemides y poshyliedros y auacuten en la circunstancia cuando se la determina por tres puntos y tambieacuten en las relaciones radiales entre dos ci~

bullcunferencias s~cantes

Permite recordar loa conceptos previos de segmentos y eacuteng~

los que constituyen sus elementosy todas sus relaciones son vaacutelidas y necesarias para el estudio de otras figuras Por ello le concedemos un trato preferencial y previo en nuestras emisiQ nes

A traveacutes de ellas el alumno advertiraacute que estaacute sumergido en un contexto donde el triaacutengulO y sus condiciones de rigidez hashycen que las cosas y objetos que lo rodean le anticipen el conreR to geomeacutetrico al que llegaraacute Tambieacuten el estudio de esta figura conduce a las alturas de las geometrias no euclideanas y multi= dimensionales

Al triaacutengulo y suiexcl propiedades lo hemos elegido teniendo presente estos criterios

1- Importancia en el curriculum de primer antildeo y au posteshyrior aplicaci6n en otras figuras logradas a partir de eacutel cuadrilaacuteteros poliacutegonos y tambieacuten cuerpos

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z- Las posibilidades de visualizacioacuten previas

3- Las aplicaciones a otras aacutereas no matemAticas

4- La posibilidad de introducir situaciones abiertas a la exploraci6n

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CONSIDERACIONES DIDACTICAS DE LA PRIMERA EMISION

1- Se parte del elemento concreto cotidiano para pasar a la abstraccioacuten geomeacutetrica ayudando a establecer relaciones de la matemaacutetica con lo real

2- Se desea que~ matemaacutetica sea entendida como una ciencia viva por ello relacionamos la noci6n del triaacutengulo con ~ desarrollo cultural del hombre

3- Se analiza la determinaci6n del triaacutengulo haciendo apariexcl cer lo eminentemente matemaacutetico Se efectuacutean contrastes juegos de imaacutegenes etc

4- Se relaciona la propiedad de rigidez con algunas aplicaciacute~ nes para transferir la propiedad aprendida

5- Se generali~a ~l empleo de la geometriacutea euclideana pero marcando su limitacioacuten auacuten dentro del contexto terrestre de modo que Se entienda como insuficiente para el continuo desarrollo del hombre

6- Se presentan las geometriacuteas no euclideanas para que los lumnoB las relacionen con el progreso cientiacutefico-tecnoloacuteshygico

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~umtsiexclS DE LA EMISION Ndeg 1

1~ emisioacuten se inicia mostrando como la figura del triaacutengll 1oacute encuentra en una enorme cantidad de objetos con los cUi lee eacuteuaalumnos conviven

t

Deacute taacutes formas concretas se pasa a la representacioacuten graacutefj

ca del triaacutengulo y a la determinacioacuten de sus elementos preshyaet1~ldo ademaacutes unaresefla histoacuterica referente asu estudio

po~ la intersecci6n de semiplanos y de aacutengulos se dan dos formas de ~legar al triaacutengulo dejando a usted y a sus alumnos la posibilidad delestudio de las relaciones entre los lados

En form~ intuitiva se obtiene la propiedad de la suma de los aacutenguacuteios interiores de un triaacutengulosug1rieacutendo que en el aula se realice la demostracioacuten del correspondiente teorema

Se verifica la propiedad de rigidez del triaacutengulo y su ashyplicacioacuten en algunas situaciones

Tambieacuten se hace mansi6n a la necesidad de ampliar la geoshymtria plana planteando la existeneacuteia de triaacutengulOS esfeacutericos que no cumplen la propiedad de los aacutengulos interiores de modo 1411 loSalUlllllloliI aprecien que la matemaacutetica semiddot halla en permashynente revisioacuten y actualizacioacuten

gts IIIlolt$tracomo el deecubrimiento de geometrias no euclidei ~ pampsib-ilit6 al hombre el desarrollo de la teor1a de la relashytividad y la conquista del espacio

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ACTIVIDADES PREVIAS

Antes de ver la emisioacuten los alumnos deberaacuten repasar las n~ ciones de semiplano segmento aacutengulos y su clasificaci6n sushyas graacutefica de aacutengulos y las operaciones con aacutengulos en el sisshytema sexagesimal

Estas actividades son de suma importancia ya que represen shytan los pre-requisitos que tienen que tener los alumnos para en tender la emisi6n de TV y sacar de ella el mejor provecho

- 9 shy

ct1YIDA12ES POSTERIORES A LA EMISION Ndeg 1

middotl~ Confeccionar fichas sobre Euclides y su obra

2- Dibujar tres puntos no alineados a b c bull Con papel celofaacuten de tres colores construir

- Seiplano de borde ab que contiene al punto c

~ Seacutemipleno de borde bc que contiene al punto s

- Semipleno de borde sc que contiene al punto b

- iquestQueacute obtiene con la interseccioacuten de los tres semiplanos

3- Dibujar tres puntos no alineados a bull b bull e bull En papel celofaacuten de tres colores dibujar en cada uno de ellos los aacutengulOS

A A

a b c b e a e a b respecshybull tivamente

111) iquestQd se obtiene con la interseccioacuten de dos aacutengulos iquestPor queacute

b) iquestQueacute se obtiene con la interseccioacuten de los tres aacutengulos

c) Compare ambos resultados

4- Mencionar objetos cotidianos donde se observen triaacutengulos rectaacutengulos obtusaacutengulos o acutaacutengulos

5- En un plano dibuje tres puntos no alineados m bull n P bull

Trlse el A m n p

indique cuaacuteles son los veacutertices

Indique cuaacuteles son los aacutengulos interiores

Indique euaacuteles son los lados

Clasifique el triaacutengulo por sus lados

- Clasifique el triaacutengulo por sus aacutengulos

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

- 10 shy

alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 2 shy

E M 1 S ION Ndeg 1

- 3 shy

OBJETIVO DE LA EMISION

a) Presentar el triaacutengulo en su aspecto histoacuterico enmarcaacutendolo dentro del progreso cientifico-tecnoloacutegico

b) Identificar los elementos que componen un triaacutengulo

c) Efectuar la determinacioacuten del triaacutengulo por diversos procedi mientos

d) Obtener las propiedades maacutes significativas del triaacutengulo

e) Presentar a la geometria euclideana como necesaria pero no suficiente para resolver las complejas necesidades humanas

- 4 shy

CONSIDERACIONES MATEMATICAS SOBRE EL TRIANGULO

La ensentildeanza de la geometriacutea presenta dificultades no siem pre superables con los recursos con que generalmente usted cu~ ta en la escuela Estos estaacuten limitados en la mayoriacutea de los c~ sos a tiza pizarr6n y uacutetiles geomeacutetricos

La TV es un auxiliar maacutes y es va~iosa para el aprendizaje cuando se aplica a los temas en que sin lugar a dudas constitushyye un recurso con mayores posibilidades

En esencia toda la geometriacutea es GEOMETRIA DEL TRIANGULO

Sin mayor esfuerzo podemos ver que en todas las figuras aparece de alguacuten modo el triaacutengulo Estaacute incluido en los cuadrilaacuteteros y poligonos en general Aparece en los cuerpos piraacutemides y poshyliedros y auacuten en la circunstancia cuando se la determina por tres puntos y tambieacuten en las relaciones radiales entre dos ci~

bullcunferencias s~cantes

Permite recordar loa conceptos previos de segmentos y eacuteng~

los que constituyen sus elementosy todas sus relaciones son vaacutelidas y necesarias para el estudio de otras figuras Por ello le concedemos un trato preferencial y previo en nuestras emisiQ nes

A traveacutes de ellas el alumno advertiraacute que estaacute sumergido en un contexto donde el triaacutengulO y sus condiciones de rigidez hashycen que las cosas y objetos que lo rodean le anticipen el conreR to geomeacutetrico al que llegaraacute Tambieacuten el estudio de esta figura conduce a las alturas de las geometrias no euclideanas y multi= dimensionales

Al triaacutengulo y suiexcl propiedades lo hemos elegido teniendo presente estos criterios

1- Importancia en el curriculum de primer antildeo y au posteshyrior aplicaci6n en otras figuras logradas a partir de eacutel cuadrilaacuteteros poliacutegonos y tambieacuten cuerpos

- 5 shy

z- Las posibilidades de visualizacioacuten previas

3- Las aplicaciones a otras aacutereas no matemAticas

4- La posibilidad de introducir situaciones abiertas a la exploraci6n

- 6 shy

CONSIDERACIONES DIDACTICAS DE LA PRIMERA EMISION

1- Se parte del elemento concreto cotidiano para pasar a la abstraccioacuten geomeacutetrica ayudando a establecer relaciones de la matemaacutetica con lo real

2- Se desea que~ matemaacutetica sea entendida como una ciencia viva por ello relacionamos la noci6n del triaacutengulo con ~ desarrollo cultural del hombre

3- Se analiza la determinaci6n del triaacutengulo haciendo apariexcl cer lo eminentemente matemaacutetico Se efectuacutean contrastes juegos de imaacutegenes etc

4- Se relaciona la propiedad de rigidez con algunas aplicaciacute~ nes para transferir la propiedad aprendida

5- Se generali~a ~l empleo de la geometriacutea euclideana pero marcando su limitacioacuten auacuten dentro del contexto terrestre de modo que Se entienda como insuficiente para el continuo desarrollo del hombre

6- Se presentan las geometriacuteas no euclideanas para que los lumnoB las relacionen con el progreso cientiacutefico-tecnoloacuteshygico

- 7 shy

-

~umtsiexclS DE LA EMISION Ndeg 1

1~ emisioacuten se inicia mostrando como la figura del triaacutengll 1oacute encuentra en una enorme cantidad de objetos con los cUi lee eacuteuaalumnos conviven

t

Deacute taacutes formas concretas se pasa a la representacioacuten graacutefj

ca del triaacutengulo y a la determinacioacuten de sus elementos preshyaet1~ldo ademaacutes unaresefla histoacuterica referente asu estudio

po~ la intersecci6n de semiplanos y de aacutengulos se dan dos formas de ~legar al triaacutengulo dejando a usted y a sus alumnos la posibilidad delestudio de las relaciones entre los lados

En form~ intuitiva se obtiene la propiedad de la suma de los aacutenguacuteios interiores de un triaacutengulosug1rieacutendo que en el aula se realice la demostracioacuten del correspondiente teorema

Se verifica la propiedad de rigidez del triaacutengulo y su ashyplicacioacuten en algunas situaciones

Tambieacuten se hace mansi6n a la necesidad de ampliar la geoshymtria plana planteando la existeneacuteia de triaacutengulOS esfeacutericos que no cumplen la propiedad de los aacutengulos interiores de modo 1411 loSalUlllllloliI aprecien que la matemaacutetica semiddot halla en permashynente revisioacuten y actualizacioacuten

gts IIIlolt$tracomo el deecubrimiento de geometrias no euclidei ~ pampsib-ilit6 al hombre el desarrollo de la teor1a de la relashytividad y la conquista del espacio

- 8 bull

ACTIVIDADES PREVIAS

Antes de ver la emisioacuten los alumnos deberaacuten repasar las n~ ciones de semiplano segmento aacutengulos y su clasificaci6n sushyas graacutefica de aacutengulos y las operaciones con aacutengulos en el sisshytema sexagesimal

Estas actividades son de suma importancia ya que represen shytan los pre-requisitos que tienen que tener los alumnos para en tender la emisi6n de TV y sacar de ella el mejor provecho

- 9 shy

ct1YIDA12ES POSTERIORES A LA EMISION Ndeg 1

middotl~ Confeccionar fichas sobre Euclides y su obra

2- Dibujar tres puntos no alineados a b c bull Con papel celofaacuten de tres colores construir

- Seiplano de borde ab que contiene al punto c

~ Seacutemipleno de borde bc que contiene al punto s

- Semipleno de borde sc que contiene al punto b

- iquestQueacute obtiene con la interseccioacuten de los tres semiplanos

3- Dibujar tres puntos no alineados a bull b bull e bull En papel celofaacuten de tres colores dibujar en cada uno de ellos los aacutengulOS

A A

a b c b e a e a b respecshybull tivamente

111) iquestQd se obtiene con la interseccioacuten de dos aacutengulos iquestPor queacute

b) iquestQueacute se obtiene con la interseccioacuten de los tres aacutengulos

c) Compare ambos resultados

4- Mencionar objetos cotidianos donde se observen triaacutengulos rectaacutengulos obtusaacutengulos o acutaacutengulos

5- En un plano dibuje tres puntos no alineados m bull n P bull

Trlse el A m n p

indique cuaacuteles son los veacutertices

Indique cuaacuteles son los aacutengulos interiores

Indique euaacuteles son los lados

Clasifique el triaacutengulo por sus lados

- Clasifique el triaacutengulo por sus aacutengulos

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

- 10 shy

alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

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OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 3 shy

OBJETIVO DE LA EMISION

a) Presentar el triaacutengulo en su aspecto histoacuterico enmarcaacutendolo dentro del progreso cientifico-tecnoloacutegico

b) Identificar los elementos que componen un triaacutengulo

c) Efectuar la determinacioacuten del triaacutengulo por diversos procedi mientos

d) Obtener las propiedades maacutes significativas del triaacutengulo

e) Presentar a la geometria euclideana como necesaria pero no suficiente para resolver las complejas necesidades humanas

- 4 shy

CONSIDERACIONES MATEMATICAS SOBRE EL TRIANGULO

La ensentildeanza de la geometriacutea presenta dificultades no siem pre superables con los recursos con que generalmente usted cu~ ta en la escuela Estos estaacuten limitados en la mayoriacutea de los c~ sos a tiza pizarr6n y uacutetiles geomeacutetricos

La TV es un auxiliar maacutes y es va~iosa para el aprendizaje cuando se aplica a los temas en que sin lugar a dudas constitushyye un recurso con mayores posibilidades

En esencia toda la geometriacutea es GEOMETRIA DEL TRIANGULO

Sin mayor esfuerzo podemos ver que en todas las figuras aparece de alguacuten modo el triaacutengulo Estaacute incluido en los cuadrilaacuteteros y poligonos en general Aparece en los cuerpos piraacutemides y poshyliedros y auacuten en la circunstancia cuando se la determina por tres puntos y tambieacuten en las relaciones radiales entre dos ci~

bullcunferencias s~cantes

Permite recordar loa conceptos previos de segmentos y eacuteng~

los que constituyen sus elementosy todas sus relaciones son vaacutelidas y necesarias para el estudio de otras figuras Por ello le concedemos un trato preferencial y previo en nuestras emisiQ nes

A traveacutes de ellas el alumno advertiraacute que estaacute sumergido en un contexto donde el triaacutengulO y sus condiciones de rigidez hashycen que las cosas y objetos que lo rodean le anticipen el conreR to geomeacutetrico al que llegaraacute Tambieacuten el estudio de esta figura conduce a las alturas de las geometrias no euclideanas y multi= dimensionales

Al triaacutengulo y suiexcl propiedades lo hemos elegido teniendo presente estos criterios

1- Importancia en el curriculum de primer antildeo y au posteshyrior aplicaci6n en otras figuras logradas a partir de eacutel cuadrilaacuteteros poliacutegonos y tambieacuten cuerpos

- 5 shy

z- Las posibilidades de visualizacioacuten previas

3- Las aplicaciones a otras aacutereas no matemAticas

4- La posibilidad de introducir situaciones abiertas a la exploraci6n

- 6 shy

CONSIDERACIONES DIDACTICAS DE LA PRIMERA EMISION

1- Se parte del elemento concreto cotidiano para pasar a la abstraccioacuten geomeacutetrica ayudando a establecer relaciones de la matemaacutetica con lo real

2- Se desea que~ matemaacutetica sea entendida como una ciencia viva por ello relacionamos la noci6n del triaacutengulo con ~ desarrollo cultural del hombre

3- Se analiza la determinaci6n del triaacutengulo haciendo apariexcl cer lo eminentemente matemaacutetico Se efectuacutean contrastes juegos de imaacutegenes etc

4- Se relaciona la propiedad de rigidez con algunas aplicaciacute~ nes para transferir la propiedad aprendida

5- Se generali~a ~l empleo de la geometriacutea euclideana pero marcando su limitacioacuten auacuten dentro del contexto terrestre de modo que Se entienda como insuficiente para el continuo desarrollo del hombre

6- Se presentan las geometriacuteas no euclideanas para que los lumnoB las relacionen con el progreso cientiacutefico-tecnoloacuteshygico

- 7 shy

-

~umtsiexclS DE LA EMISION Ndeg 1

1~ emisioacuten se inicia mostrando como la figura del triaacutengll 1oacute encuentra en una enorme cantidad de objetos con los cUi lee eacuteuaalumnos conviven

t

Deacute taacutes formas concretas se pasa a la representacioacuten graacutefj

ca del triaacutengulo y a la determinacioacuten de sus elementos preshyaet1~ldo ademaacutes unaresefla histoacuterica referente asu estudio

po~ la intersecci6n de semiplanos y de aacutengulos se dan dos formas de ~legar al triaacutengulo dejando a usted y a sus alumnos la posibilidad delestudio de las relaciones entre los lados

En form~ intuitiva se obtiene la propiedad de la suma de los aacutenguacuteios interiores de un triaacutengulosug1rieacutendo que en el aula se realice la demostracioacuten del correspondiente teorema

Se verifica la propiedad de rigidez del triaacutengulo y su ashyplicacioacuten en algunas situaciones

Tambieacuten se hace mansi6n a la necesidad de ampliar la geoshymtria plana planteando la existeneacuteia de triaacutengulOS esfeacutericos que no cumplen la propiedad de los aacutengulos interiores de modo 1411 loSalUlllllloliI aprecien que la matemaacutetica semiddot halla en permashynente revisioacuten y actualizacioacuten

gts IIIlolt$tracomo el deecubrimiento de geometrias no euclidei ~ pampsib-ilit6 al hombre el desarrollo de la teor1a de la relashytividad y la conquista del espacio

- 8 bull

ACTIVIDADES PREVIAS

Antes de ver la emisioacuten los alumnos deberaacuten repasar las n~ ciones de semiplano segmento aacutengulos y su clasificaci6n sushyas graacutefica de aacutengulos y las operaciones con aacutengulos en el sisshytema sexagesimal

Estas actividades son de suma importancia ya que represen shytan los pre-requisitos que tienen que tener los alumnos para en tender la emisi6n de TV y sacar de ella el mejor provecho

- 9 shy

ct1YIDA12ES POSTERIORES A LA EMISION Ndeg 1

middotl~ Confeccionar fichas sobre Euclides y su obra

2- Dibujar tres puntos no alineados a b c bull Con papel celofaacuten de tres colores construir

- Seiplano de borde ab que contiene al punto c

~ Seacutemipleno de borde bc que contiene al punto s

- Semipleno de borde sc que contiene al punto b

- iquestQueacute obtiene con la interseccioacuten de los tres semiplanos

3- Dibujar tres puntos no alineados a bull b bull e bull En papel celofaacuten de tres colores dibujar en cada uno de ellos los aacutengulOS

A A

a b c b e a e a b respecshybull tivamente

111) iquestQd se obtiene con la interseccioacuten de dos aacutengulos iquestPor queacute

b) iquestQueacute se obtiene con la interseccioacuten de los tres aacutengulos

c) Compare ambos resultados

4- Mencionar objetos cotidianos donde se observen triaacutengulos rectaacutengulos obtusaacutengulos o acutaacutengulos

5- En un plano dibuje tres puntos no alineados m bull n P bull

Trlse el A m n p

indique cuaacuteles son los veacutertices

Indique cuaacuteles son los aacutengulos interiores

Indique euaacuteles son los lados

Clasifique el triaacutengulo por sus lados

- Clasifique el triaacutengulo por sus aacutengulos

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

- 10 shy

alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

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CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

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BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

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CONSIDERACIONES MATEMATICAS SOBRE EL TRIANGULO

La ensentildeanza de la geometriacutea presenta dificultades no siem pre superables con los recursos con que generalmente usted cu~ ta en la escuela Estos estaacuten limitados en la mayoriacutea de los c~ sos a tiza pizarr6n y uacutetiles geomeacutetricos

La TV es un auxiliar maacutes y es va~iosa para el aprendizaje cuando se aplica a los temas en que sin lugar a dudas constitushyye un recurso con mayores posibilidades

En esencia toda la geometriacutea es GEOMETRIA DEL TRIANGULO

Sin mayor esfuerzo podemos ver que en todas las figuras aparece de alguacuten modo el triaacutengulo Estaacute incluido en los cuadrilaacuteteros y poligonos en general Aparece en los cuerpos piraacutemides y poshyliedros y auacuten en la circunstancia cuando se la determina por tres puntos y tambieacuten en las relaciones radiales entre dos ci~

bullcunferencias s~cantes

Permite recordar loa conceptos previos de segmentos y eacuteng~

los que constituyen sus elementosy todas sus relaciones son vaacutelidas y necesarias para el estudio de otras figuras Por ello le concedemos un trato preferencial y previo en nuestras emisiQ nes

A traveacutes de ellas el alumno advertiraacute que estaacute sumergido en un contexto donde el triaacutengulO y sus condiciones de rigidez hashycen que las cosas y objetos que lo rodean le anticipen el conreR to geomeacutetrico al que llegaraacute Tambieacuten el estudio de esta figura conduce a las alturas de las geometrias no euclideanas y multi= dimensionales

Al triaacutengulo y suiexcl propiedades lo hemos elegido teniendo presente estos criterios

1- Importancia en el curriculum de primer antildeo y au posteshyrior aplicaci6n en otras figuras logradas a partir de eacutel cuadrilaacuteteros poliacutegonos y tambieacuten cuerpos

- 5 shy

z- Las posibilidades de visualizacioacuten previas

3- Las aplicaciones a otras aacutereas no matemAticas

4- La posibilidad de introducir situaciones abiertas a la exploraci6n

- 6 shy

CONSIDERACIONES DIDACTICAS DE LA PRIMERA EMISION

1- Se parte del elemento concreto cotidiano para pasar a la abstraccioacuten geomeacutetrica ayudando a establecer relaciones de la matemaacutetica con lo real

2- Se desea que~ matemaacutetica sea entendida como una ciencia viva por ello relacionamos la noci6n del triaacutengulo con ~ desarrollo cultural del hombre

3- Se analiza la determinaci6n del triaacutengulo haciendo apariexcl cer lo eminentemente matemaacutetico Se efectuacutean contrastes juegos de imaacutegenes etc

4- Se relaciona la propiedad de rigidez con algunas aplicaciacute~ nes para transferir la propiedad aprendida

5- Se generali~a ~l empleo de la geometriacutea euclideana pero marcando su limitacioacuten auacuten dentro del contexto terrestre de modo que Se entienda como insuficiente para el continuo desarrollo del hombre

6- Se presentan las geometriacuteas no euclideanas para que los lumnoB las relacionen con el progreso cientiacutefico-tecnoloacuteshygico

- 7 shy

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~umtsiexclS DE LA EMISION Ndeg 1

1~ emisioacuten se inicia mostrando como la figura del triaacutengll 1oacute encuentra en una enorme cantidad de objetos con los cUi lee eacuteuaalumnos conviven

t

Deacute taacutes formas concretas se pasa a la representacioacuten graacutefj

ca del triaacutengulo y a la determinacioacuten de sus elementos preshyaet1~ldo ademaacutes unaresefla histoacuterica referente asu estudio

po~ la intersecci6n de semiplanos y de aacutengulos se dan dos formas de ~legar al triaacutengulo dejando a usted y a sus alumnos la posibilidad delestudio de las relaciones entre los lados

En form~ intuitiva se obtiene la propiedad de la suma de los aacutenguacuteios interiores de un triaacutengulosug1rieacutendo que en el aula se realice la demostracioacuten del correspondiente teorema

Se verifica la propiedad de rigidez del triaacutengulo y su ashyplicacioacuten en algunas situaciones

Tambieacuten se hace mansi6n a la necesidad de ampliar la geoshymtria plana planteando la existeneacuteia de triaacutengulOS esfeacutericos que no cumplen la propiedad de los aacutengulos interiores de modo 1411 loSalUlllllloliI aprecien que la matemaacutetica semiddot halla en permashynente revisioacuten y actualizacioacuten

gts IIIlolt$tracomo el deecubrimiento de geometrias no euclidei ~ pampsib-ilit6 al hombre el desarrollo de la teor1a de la relashytividad y la conquista del espacio

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ACTIVIDADES PREVIAS

Antes de ver la emisioacuten los alumnos deberaacuten repasar las n~ ciones de semiplano segmento aacutengulos y su clasificaci6n sushyas graacutefica de aacutengulos y las operaciones con aacutengulos en el sisshytema sexagesimal

Estas actividades son de suma importancia ya que represen shytan los pre-requisitos que tienen que tener los alumnos para en tender la emisi6n de TV y sacar de ella el mejor provecho

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ct1YIDA12ES POSTERIORES A LA EMISION Ndeg 1

middotl~ Confeccionar fichas sobre Euclides y su obra

2- Dibujar tres puntos no alineados a b c bull Con papel celofaacuten de tres colores construir

- Seiplano de borde ab que contiene al punto c

~ Seacutemipleno de borde bc que contiene al punto s

- Semipleno de borde sc que contiene al punto b

- iquestQueacute obtiene con la interseccioacuten de los tres semiplanos

3- Dibujar tres puntos no alineados a bull b bull e bull En papel celofaacuten de tres colores dibujar en cada uno de ellos los aacutengulOS

A A

a b c b e a e a b respecshybull tivamente

111) iquestQd se obtiene con la interseccioacuten de dos aacutengulos iquestPor queacute

b) iquestQueacute se obtiene con la interseccioacuten de los tres aacutengulos

c) Compare ambos resultados

4- Mencionar objetos cotidianos donde se observen triaacutengulos rectaacutengulos obtusaacutengulos o acutaacutengulos

5- En un plano dibuje tres puntos no alineados m bull n P bull

Trlse el A m n p

indique cuaacuteles son los veacutertices

Indique cuaacuteles son los aacutengulos interiores

Indique euaacuteles son los lados

Clasifique el triaacutengulo por sus lados

- Clasifique el triaacutengulo por sus aacutengulos

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

- 10 shy

alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 5 shy

z- Las posibilidades de visualizacioacuten previas

3- Las aplicaciones a otras aacutereas no matemAticas

4- La posibilidad de introducir situaciones abiertas a la exploraci6n

- 6 shy

CONSIDERACIONES DIDACTICAS DE LA PRIMERA EMISION

1- Se parte del elemento concreto cotidiano para pasar a la abstraccioacuten geomeacutetrica ayudando a establecer relaciones de la matemaacutetica con lo real

2- Se desea que~ matemaacutetica sea entendida como una ciencia viva por ello relacionamos la noci6n del triaacutengulo con ~ desarrollo cultural del hombre

3- Se analiza la determinaci6n del triaacutengulo haciendo apariexcl cer lo eminentemente matemaacutetico Se efectuacutean contrastes juegos de imaacutegenes etc

4- Se relaciona la propiedad de rigidez con algunas aplicaciacute~ nes para transferir la propiedad aprendida

5- Se generali~a ~l empleo de la geometriacutea euclideana pero marcando su limitacioacuten auacuten dentro del contexto terrestre de modo que Se entienda como insuficiente para el continuo desarrollo del hombre

6- Se presentan las geometriacuteas no euclideanas para que los lumnoB las relacionen con el progreso cientiacutefico-tecnoloacuteshygico

- 7 shy

-

~umtsiexclS DE LA EMISION Ndeg 1

1~ emisioacuten se inicia mostrando como la figura del triaacutengll 1oacute encuentra en una enorme cantidad de objetos con los cUi lee eacuteuaalumnos conviven

t

Deacute taacutes formas concretas se pasa a la representacioacuten graacutefj

ca del triaacutengulo y a la determinacioacuten de sus elementos preshyaet1~ldo ademaacutes unaresefla histoacuterica referente asu estudio

po~ la intersecci6n de semiplanos y de aacutengulos se dan dos formas de ~legar al triaacutengulo dejando a usted y a sus alumnos la posibilidad delestudio de las relaciones entre los lados

En form~ intuitiva se obtiene la propiedad de la suma de los aacutenguacuteios interiores de un triaacutengulosug1rieacutendo que en el aula se realice la demostracioacuten del correspondiente teorema

Se verifica la propiedad de rigidez del triaacutengulo y su ashyplicacioacuten en algunas situaciones

Tambieacuten se hace mansi6n a la necesidad de ampliar la geoshymtria plana planteando la existeneacuteia de triaacutengulOS esfeacutericos que no cumplen la propiedad de los aacutengulos interiores de modo 1411 loSalUlllllloliI aprecien que la matemaacutetica semiddot halla en permashynente revisioacuten y actualizacioacuten

gts IIIlolt$tracomo el deecubrimiento de geometrias no euclidei ~ pampsib-ilit6 al hombre el desarrollo de la teor1a de la relashytividad y la conquista del espacio

- 8 bull

ACTIVIDADES PREVIAS

Antes de ver la emisioacuten los alumnos deberaacuten repasar las n~ ciones de semiplano segmento aacutengulos y su clasificaci6n sushyas graacutefica de aacutengulos y las operaciones con aacutengulos en el sisshytema sexagesimal

Estas actividades son de suma importancia ya que represen shytan los pre-requisitos que tienen que tener los alumnos para en tender la emisi6n de TV y sacar de ella el mejor provecho

- 9 shy

ct1YIDA12ES POSTERIORES A LA EMISION Ndeg 1

middotl~ Confeccionar fichas sobre Euclides y su obra

2- Dibujar tres puntos no alineados a b c bull Con papel celofaacuten de tres colores construir

- Seiplano de borde ab que contiene al punto c

~ Seacutemipleno de borde bc que contiene al punto s

- Semipleno de borde sc que contiene al punto b

- iquestQueacute obtiene con la interseccioacuten de los tres semiplanos

3- Dibujar tres puntos no alineados a bull b bull e bull En papel celofaacuten de tres colores dibujar en cada uno de ellos los aacutengulOS

A A

a b c b e a e a b respecshybull tivamente

111) iquestQd se obtiene con la interseccioacuten de dos aacutengulos iquestPor queacute

b) iquestQueacute se obtiene con la interseccioacuten de los tres aacutengulos

c) Compare ambos resultados

4- Mencionar objetos cotidianos donde se observen triaacutengulos rectaacutengulos obtusaacutengulos o acutaacutengulos

5- En un plano dibuje tres puntos no alineados m bull n P bull

Trlse el A m n p

indique cuaacuteles son los veacutertices

Indique cuaacuteles son los aacutengulos interiores

Indique euaacuteles son los lados

Clasifique el triaacutengulo por sus lados

- Clasifique el triaacutengulo por sus aacutengulos

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

- 10 shy

alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 6 shy

CONSIDERACIONES DIDACTICAS DE LA PRIMERA EMISION

1- Se parte del elemento concreto cotidiano para pasar a la abstraccioacuten geomeacutetrica ayudando a establecer relaciones de la matemaacutetica con lo real

2- Se desea que~ matemaacutetica sea entendida como una ciencia viva por ello relacionamos la noci6n del triaacutengulo con ~ desarrollo cultural del hombre

3- Se analiza la determinaci6n del triaacutengulo haciendo apariexcl cer lo eminentemente matemaacutetico Se efectuacutean contrastes juegos de imaacutegenes etc

4- Se relaciona la propiedad de rigidez con algunas aplicaciacute~ nes para transferir la propiedad aprendida

5- Se generali~a ~l empleo de la geometriacutea euclideana pero marcando su limitacioacuten auacuten dentro del contexto terrestre de modo que Se entienda como insuficiente para el continuo desarrollo del hombre

6- Se presentan las geometriacuteas no euclideanas para que los lumnoB las relacionen con el progreso cientiacutefico-tecnoloacuteshygico

- 7 shy

-

~umtsiexclS DE LA EMISION Ndeg 1

1~ emisioacuten se inicia mostrando como la figura del triaacutengll 1oacute encuentra en una enorme cantidad de objetos con los cUi lee eacuteuaalumnos conviven

t

Deacute taacutes formas concretas se pasa a la representacioacuten graacutefj

ca del triaacutengulo y a la determinacioacuten de sus elementos preshyaet1~ldo ademaacutes unaresefla histoacuterica referente asu estudio

po~ la intersecci6n de semiplanos y de aacutengulos se dan dos formas de ~legar al triaacutengulo dejando a usted y a sus alumnos la posibilidad delestudio de las relaciones entre los lados

En form~ intuitiva se obtiene la propiedad de la suma de los aacutenguacuteios interiores de un triaacutengulosug1rieacutendo que en el aula se realice la demostracioacuten del correspondiente teorema

Se verifica la propiedad de rigidez del triaacutengulo y su ashyplicacioacuten en algunas situaciones

Tambieacuten se hace mansi6n a la necesidad de ampliar la geoshymtria plana planteando la existeneacuteia de triaacutengulOS esfeacutericos que no cumplen la propiedad de los aacutengulos interiores de modo 1411 loSalUlllllloliI aprecien que la matemaacutetica semiddot halla en permashynente revisioacuten y actualizacioacuten

gts IIIlolt$tracomo el deecubrimiento de geometrias no euclidei ~ pampsib-ilit6 al hombre el desarrollo de la teor1a de la relashytividad y la conquista del espacio

- 8 bull

ACTIVIDADES PREVIAS

Antes de ver la emisioacuten los alumnos deberaacuten repasar las n~ ciones de semiplano segmento aacutengulos y su clasificaci6n sushyas graacutefica de aacutengulos y las operaciones con aacutengulos en el sisshytema sexagesimal

Estas actividades son de suma importancia ya que represen shytan los pre-requisitos que tienen que tener los alumnos para en tender la emisi6n de TV y sacar de ella el mejor provecho

- 9 shy

ct1YIDA12ES POSTERIORES A LA EMISION Ndeg 1

middotl~ Confeccionar fichas sobre Euclides y su obra

2- Dibujar tres puntos no alineados a b c bull Con papel celofaacuten de tres colores construir

- Seiplano de borde ab que contiene al punto c

~ Seacutemipleno de borde bc que contiene al punto s

- Semipleno de borde sc que contiene al punto b

- iquestQueacute obtiene con la interseccioacuten de los tres semiplanos

3- Dibujar tres puntos no alineados a bull b bull e bull En papel celofaacuten de tres colores dibujar en cada uno de ellos los aacutengulOS

A A

a b c b e a e a b respecshybull tivamente

111) iquestQd se obtiene con la interseccioacuten de dos aacutengulos iquestPor queacute

b) iquestQueacute se obtiene con la interseccioacuten de los tres aacutengulos

c) Compare ambos resultados

4- Mencionar objetos cotidianos donde se observen triaacutengulos rectaacutengulos obtusaacutengulos o acutaacutengulos

5- En un plano dibuje tres puntos no alineados m bull n P bull

Trlse el A m n p

indique cuaacuteles son los veacutertices

Indique cuaacuteles son los aacutengulos interiores

Indique euaacuteles son los lados

Clasifique el triaacutengulo por sus lados

- Clasifique el triaacutengulo por sus aacutengulos

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

- 10 shy

alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 7 shy

-

~umtsiexclS DE LA EMISION Ndeg 1

1~ emisioacuten se inicia mostrando como la figura del triaacutengll 1oacute encuentra en una enorme cantidad de objetos con los cUi lee eacuteuaalumnos conviven

t

Deacute taacutes formas concretas se pasa a la representacioacuten graacutefj

ca del triaacutengulo y a la determinacioacuten de sus elementos preshyaet1~ldo ademaacutes unaresefla histoacuterica referente asu estudio

po~ la intersecci6n de semiplanos y de aacutengulos se dan dos formas de ~legar al triaacutengulo dejando a usted y a sus alumnos la posibilidad delestudio de las relaciones entre los lados

En form~ intuitiva se obtiene la propiedad de la suma de los aacutenguacuteios interiores de un triaacutengulosug1rieacutendo que en el aula se realice la demostracioacuten del correspondiente teorema

Se verifica la propiedad de rigidez del triaacutengulo y su ashyplicacioacuten en algunas situaciones

Tambieacuten se hace mansi6n a la necesidad de ampliar la geoshymtria plana planteando la existeneacuteia de triaacutengulOS esfeacutericos que no cumplen la propiedad de los aacutengulos interiores de modo 1411 loSalUlllllloliI aprecien que la matemaacutetica semiddot halla en permashynente revisioacuten y actualizacioacuten

gts IIIlolt$tracomo el deecubrimiento de geometrias no euclidei ~ pampsib-ilit6 al hombre el desarrollo de la teor1a de la relashytividad y la conquista del espacio

- 8 bull

ACTIVIDADES PREVIAS

Antes de ver la emisioacuten los alumnos deberaacuten repasar las n~ ciones de semiplano segmento aacutengulos y su clasificaci6n sushyas graacutefica de aacutengulos y las operaciones con aacutengulos en el sisshytema sexagesimal

Estas actividades son de suma importancia ya que represen shytan los pre-requisitos que tienen que tener los alumnos para en tender la emisi6n de TV y sacar de ella el mejor provecho

- 9 shy

ct1YIDA12ES POSTERIORES A LA EMISION Ndeg 1

middotl~ Confeccionar fichas sobre Euclides y su obra

2- Dibujar tres puntos no alineados a b c bull Con papel celofaacuten de tres colores construir

- Seiplano de borde ab que contiene al punto c

~ Seacutemipleno de borde bc que contiene al punto s

- Semipleno de borde sc que contiene al punto b

- iquestQueacute obtiene con la interseccioacuten de los tres semiplanos

3- Dibujar tres puntos no alineados a bull b bull e bull En papel celofaacuten de tres colores dibujar en cada uno de ellos los aacutengulOS

A A

a b c b e a e a b respecshybull tivamente

111) iquestQd se obtiene con la interseccioacuten de dos aacutengulos iquestPor queacute

b) iquestQueacute se obtiene con la interseccioacuten de los tres aacutengulos

c) Compare ambos resultados

4- Mencionar objetos cotidianos donde se observen triaacutengulos rectaacutengulos obtusaacutengulos o acutaacutengulos

5- En un plano dibuje tres puntos no alineados m bull n P bull

Trlse el A m n p

indique cuaacuteles son los veacutertices

Indique cuaacuteles son los aacutengulos interiores

Indique euaacuteles son los lados

Clasifique el triaacutengulo por sus lados

- Clasifique el triaacutengulo por sus aacutengulos

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

- 10 shy

alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

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OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

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En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 8 bull

ACTIVIDADES PREVIAS

Antes de ver la emisioacuten los alumnos deberaacuten repasar las n~ ciones de semiplano segmento aacutengulos y su clasificaci6n sushyas graacutefica de aacutengulos y las operaciones con aacutengulos en el sisshytema sexagesimal

Estas actividades son de suma importancia ya que represen shytan los pre-requisitos que tienen que tener los alumnos para en tender la emisi6n de TV y sacar de ella el mejor provecho

- 9 shy

ct1YIDA12ES POSTERIORES A LA EMISION Ndeg 1

middotl~ Confeccionar fichas sobre Euclides y su obra

2- Dibujar tres puntos no alineados a b c bull Con papel celofaacuten de tres colores construir

- Seiplano de borde ab que contiene al punto c

~ Seacutemipleno de borde bc que contiene al punto s

- Semipleno de borde sc que contiene al punto b

- iquestQueacute obtiene con la interseccioacuten de los tres semiplanos

3- Dibujar tres puntos no alineados a bull b bull e bull En papel celofaacuten de tres colores dibujar en cada uno de ellos los aacutengulOS

A A

a b c b e a e a b respecshybull tivamente

111) iquestQd se obtiene con la interseccioacuten de dos aacutengulos iquestPor queacute

b) iquestQueacute se obtiene con la interseccioacuten de los tres aacutengulos

c) Compare ambos resultados

4- Mencionar objetos cotidianos donde se observen triaacutengulos rectaacutengulos obtusaacutengulos o acutaacutengulos

5- En un plano dibuje tres puntos no alineados m bull n P bull

Trlse el A m n p

indique cuaacuteles son los veacutertices

Indique cuaacuteles son los aacutengulos interiores

Indique euaacuteles son los lados

Clasifique el triaacutengulo por sus lados

- Clasifique el triaacutengulo por sus aacutengulos

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

- 10 shy

alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 9 shy

ct1YIDA12ES POSTERIORES A LA EMISION Ndeg 1

middotl~ Confeccionar fichas sobre Euclides y su obra

2- Dibujar tres puntos no alineados a b c bull Con papel celofaacuten de tres colores construir

- Seiplano de borde ab que contiene al punto c

~ Seacutemipleno de borde bc que contiene al punto s

- Semipleno de borde sc que contiene al punto b

- iquestQueacute obtiene con la interseccioacuten de los tres semiplanos

3- Dibujar tres puntos no alineados a bull b bull e bull En papel celofaacuten de tres colores dibujar en cada uno de ellos los aacutengulOS

A A

a b c b e a e a b respecshybull tivamente

111) iquestQd se obtiene con la interseccioacuten de dos aacutengulos iquestPor queacute

b) iquestQueacute se obtiene con la interseccioacuten de los tres aacutengulos

c) Compare ambos resultados

4- Mencionar objetos cotidianos donde se observen triaacutengulos rectaacutengulos obtusaacutengulos o acutaacutengulos

5- En un plano dibuje tres puntos no alineados m bull n P bull

Trlse el A m n p

indique cuaacuteles son los veacutertices

Indique cuaacuteles son los aacutengulos interiores

Indique euaacuteles son los lados

Clasifique el triaacutengulo por sus lados

- Clasifique el triaacutengulo por sus aacutengulos

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

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alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

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E M 1 S ION Ndeg 2

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OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

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CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

iquestCuaacutentas ternas distintas de puntos no plano Justifique bull

iquestCuaacutentos triaacutengulos distintos hay en un

iquestCuaacutentos son rectaacutengulos iquestCuaacutentos son

- 10 shy

alineados hay en un

plano

obtusaacutengu10s iquestCuaacute~ tos son acutaacutengulos iquestCuaacutentos son acutaacutengulos e isoacutesceles

Represente en un diagrama de Venn la c1asificaci6n

~- Dibujar un triaacutengulo rectaacutengulo un un triaacutengulo obtusaacutengulo repetir en siguiente procedimiento

a) Separar cada aacutengulo de la figura

j

triaacutengulo acutaacutengulo y iI cada uno de ellos el

b) Hacer la suma graacutefica de los tres aacutengulos

c) Consulte sus resultados con los obtenidos por sus comshypantildeeros iquestqueacute deduce

8- iquestPor queacute 108 doacutes aacutengulos agudos de un triaacutengulo rectaacutengushylo son complementarios

9-En la orilla opuesta a la que nos encontramos hay un mOj6n (c) inaccesible si conozco el valor de

C a b =25deg 15 23 Y sabiendo

que C b a 2 c a b

A a b iquestPuede encontrar el valor de a c b

10- En el cuadro siguiente se dan los valores de dos aacutengulos indicar si pueden pertenecer a un triaacutengulo y en caso afi~ mativo calcular el tercer aacutengulo Diga queacute clase de triaacutenshygulo es clasificaacutendolo por sus aacutengulos

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 11 shy

A - a b iquestSe forma c El Li es

90deg 35deg

90deg 90deg

135deg 127deg

45deg 45deg

50deg 2 a

35deg2512 A

+ r

2 b 75deg28 4

76deg 25 76deg 25

50deg 80deg

60deg 60deg

11- Los alumnos deberaacuten redactar con sus propias palabras el

concepto de rigidez del triaacutengulo y mencionar ejemplos en los que se aplique esta propiedad

12- Explicar por queacute fue necesaria la creacioacuten de nuevas geoshy

metriacuteas

13- Leer atentamente y en pequentildeos grupos el siguiente paacuterrafo

Una pareja de recieacuten casados partioacute el 21 de septiembre hacia EEUU En New York decishy

di6 continuar su viaje a Europa y partioacute hacia

Roma

Tiene que estar de regreso en Buenos Airesel

21 de octubre

- Ubicar en el globo terraacuteaueo las tres ciudades

- Unir las tres ciudades con un boliacutegrafo sin tinta o con

una tiza

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 12 shy

- iquestCuaacutel es la figura geomeacutetrica que quedoacute trazada

- iquestSe cuple en ella la propiedad de los aacutengulos interiores

de un triaacutengulo iquestPor queacute

14- Calcar en el globc) terraacutequeo

a) Un triaacutengulo esfeacuterico con un aacutengulo recto b) un triaacutengulo esfeacuterico con dos aacutengulos rectos c) un triaacutengulo esfeacuterico con tres aacutengulos rectos

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 13 shy

E M 1 S ION Ndeg 2

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 14 shy

OBJETIVOS DE LA EMISION

a) Confrontar el concepto de igualdad utilizado en el lenguaj e

cotidiano con el concepto de congruencia

b) Analizar la congruencia de triaacutengulos a traveacutes de las tranaacute

formaciones

c) Establecer criterios para la congruenc i a de triaacutengulos

d) Comprender la necesidad de diferenciar el lenguaje corrienshyte del lenguaje matemaacutetico

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 15 shy

CONSIDERACIONES MAlEMATICAS SOBRE LA CONGRUENCIA DE TRIANGlIL02

Las actuales tendencias para la ensentildeanza de la geometriacutea

aconsejan su estudio por transformaciones desde que los alumshy

nos i nician la ensentildeanza media Esto hace que pasen maacutes faacutecilshymente de lo concreto a lo abstracto haciendo un aprendizaje maacutes raacutepida

El estudio de la geometriacutea a traveacutes de las transformaciones permite estudiar las propiedades que permanecen invariables despueacutes de aplicaacuterselas

Esta concepcioacuten obtuvo su ratificacioacuten en el ceacutelebre proshy

grama de Erlangen de Feacutelix Klein a fines del siglo XIX

Sin embargo y pese a promover la actividad constructiva da

estudiante la influencia de las transformaciones como medio PS

ra organizar la geometriacutea no se sintioacute inmediatamente a nivel

escolar Se siguioacute con los antiguos casos de igualdad de triaacutel

gulas hasta que se revieron y recrearon a la luz del uso moshyderno de la congruencia atento a que se advierte una isometriacutea que surge de los veacutertices de un triaacutengulo y sus respectivas im~

genes No es por una circunstancia alea toria que todas las fig~

ras de la geometriacutea elemental tengan que ver con las transforshymaciones

Con esta fundamentacioacuten se presenta a la congruencia de

triaacutengulos como una transformacioacuten riacutegida de modo que facilite

el estudio posterior en segundo antildeo de los movimientos en e l plano rotaciones traslaciones y simetriacuteas

El Dr C Trejo expresa que el uso de las transformac ione s

es inevitable pero que la ensentildeanza tradicional no lo advi rtib

El enfoque conjuntista pone de mani f iesto que la congr uencia de figuras se extrae de las transformaciones llamadas isometriacuteas o congruencias bull 1

L J

Clf DtlOUMF NT Aacuteiexcliuacutej E IO~Oacute~iIA eacuteiacuteO N ~EDUumlCATi 3riexcliexclgUB i657 -le~ iso- Bueno~ Miesmiddot Rep Argontirshy

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 16 shy

En ambas emisiones primera y segunda del Moacutedulo damos ej~ pIos de la realidad cotidiana que anticipan tanto el lenguaj e I como el tema matemaacutetico que se aborda

El prop6sito es permitir que se encuentren sus alumnos con una matemaacutetica formativa uacutetil y de lo maacutes interesante posible no desc uidando por ello el caraacutecter cientiacutefico de la disciplina

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 17 shy

CONSIDERAC IONES DIDACTICAS DE LA SEGUNDA EMISIQN

1) A t raveacutes del contexto cotidiano se muestra el uso del teacutermi no i gual no coincidente con el concepto matemaacutetic o

2) Se diferencia el concepto matemaacutetico i gual del concepto de congruencia

3 ) Mediante el anaacutelisis inductivo se lleva a la adquisicioacuten de la nocioacuten de transformacioacuten riacutegida

4) Se i ntroduce el anaacutelisis de l os criter i os de congruencia me

diante el empleo de la condicioacuten necesaria y suficiente

5) Se comienza este anaacutelisis en el plano concreto - cotidiano

para luego realizarlo en el plano loacutegico - matemaacutetic o

6) Se enuncia el primer criterio de congruencia

7 ) Se generaliza el concepto de criteri o de congruencia de tri

aacutengulos a los otros casos

8 ) Se deja abierta la investigacioacuten de los restantes criterios

9) Se justifica el empleo de los dos niveles de lengua j e en e l contexto adecuado

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 18 shy

SINTESIS DE LA EMISION

En la segunda emisioacuten se afian za la idea de congruencia a

partir de un lenguaje corriente llevando progresivamente a los

alumnos al lenguaje cientiacutefico

Se ratifica el concepto de transformacioacuten riacutegida y se de te~ mina una de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triaacutengul06 sean congruentes Soacutelo se incluye el primer c r i-middot

terio

Con este ejemplo visualizado esperamos que usted y sus alu~ nos esteacuten en condiciones favorables para extender sus observashy

ciones y desarrollar 106 restantes criterios tal como lo sugi e shyre la emi sioacuten

Tambieacuten se visualiza el caso de los triaacutengulos con los tres

aacutengu los congruentes que no constituye caso de congruencia

Se hace referenc i a aunque en forma no 6ustantiva a con j un tos infinitos cuyos elementos son en este caso triaacutengulos

congruentes o no

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 19 shy

ACTIVIDADES ANTERIORES

- Repasar aacutengulos

- Repasar congruencia de segmentos y aacutengulos

- Construcci6n de segmentos y de aacutengulos congruentes

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 20 shy

ACTIVIDADES POSTERIORES

1) Dibuje un triaacutengulo y reproduacutezcalo tres veces por calcado iquestCoacutemo r esultan los cuatro triaacutengulos

2) Dibuje un hexaacutegono regular

a- Una el centro con los veacutertices

b- Recorte los triaacutengulos asiacute formados

c- Superpoacutengalos iquestCoacutemo resultan iquestPor queacute

3) Observe estructuras de puentes sostenes de techados etc

en l as que se hayan utilizado triaacuten gulos y donde dichos tri

aacutengulos sean congruentes

Investigue (Podraacute consultar a un in geniero o a un arquitecto )

a- iquestPor queacute se eligioacute el triaacutengulo

b- iquestPor queacute los triaacutengulos son congruentes

4) Pa ra deducir los criterios de triaacutengulo que no se dan en la

emisioacuten utilice el geoplano y construya en eacutel un triaacutengulo

(se aconseja que sea escaleno y oblicuaacutengulo)

a - Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado un l ado

y dos aacutengulos adyacentes respectivamente congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus com pantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

b- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado dos lado s

y el aacutengulo opuesto al mayor de los lados respecti vame~

te congruentes iquestqueacute observa Verifique su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten obtiene

c- Construya otro triaacutengulo que tenga con el dado los tres lados respectivamente congruentes iquestqueacute observa Veri fi shyque su resultado con el de sus compantildeeros iquestqueacute conclusioacuten

obtiene

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 21 shy

5) Si el triaacutengulo dado fuera rectaacutengulo iquestc6mo expresaria las

conclusiones anteriores

6) Dibu j e un triaacutengulo cualquiera y construya otros triaacutengulos

que t engan con el dado los tres aacutengulos respectivamente con

gruentes Verifique si son verdaderas o falsas estas proposl

ciones

a- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son iguales

b- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulos congruentes siemshy

pre son congruentes

c- Los triaacutengulOs que tienen sus aacutengulos congruentes a v~

ces son congruentes

d- Los triaacutengulos que tienen sus aacutengulOS congruentes tieshy

nen la misma forma

7) En pequentildeos grlp0E yluego en un panel de d jscusiAn 108 2shylumn06 reflexionaraacuten sobre la utilidad de los criterios de

congruencia de triaacutengulos

8) Los aacutengulos de un triaacutengulo tienen l os siguient es valores

1200 j 20deg j Y 40deg

s oacutel o un triaacutengulo

Se puode constru i r con ellos ~dOS triaacutengulos ~ ninguacuten triaacuten gul o

infinitos triaacuten gulos

iquestCuaacuteles proposiciones s on verdadera s y cuaacuteles s on falsas

9 ) Pa ra construir un tri aacuten gulo i s oacutesceles indique iquestCuaacutentos lado s

y aacute ngulos son suficientes

Veri fiacutequelo

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 22 shy

CONSIDERACIONES FINALES

El en foque conceptual y metodoloacutegico que sustenta a l a s eshymisiones no pretende ser el uacutenico

Su eleccioacuten se fundamentoacute por los motivos expuestos en el presente doc umento tratando de conciliar criterios psicoloacutegishycos pedagoacutegicos y matemaacuteticos actualizados

Usted coincidiraacute total o parcialmente con eacutel

En el primer paso al adoptarlo habraacute realizado y enriqu~

cido las actividades sugeridas a la vez que habraacute completado en la clase los aspectos que se presentaron solamente planteashydos

~n el segundo caso si no coincidioacute le sugerimos que este material sea igualmente aprovechable Compare y discuta con sus alumnos esta alternativa propuesta con la presentada por usted

De este mOdo el anaacutelisis de ambas metodologias reforzaraacute los conceptos a la vez que permitiraacute al alumno advertir coacutemo se puede aproximar al conocimiento matemaacutetico por caminos dishyfere ntes

Es te trabajo seraacute un aporte para la adquisicioacuten de procedi

mientas adecuados que anticipen la iniciacioacuten en la investigashycioacuten actitud que debemos promover en los alumnos

La evaluacioacuten que realicen con respecto a los materiales

impresos Y visuales nos permitiraacute ajustar los criterios inici~ les para acercarnos de este modo al objetivo de optimizar la produccioacuten del Centro de Tecnologia Educativa de modo que loshygre ser un auxiliar vaacutelido en la tarea educativa en la que es~ comprometidos

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

- 23 shy

BIBLIOGRAFIA

- BollMarcell Historia de la Matemaacutetica Edit Diana

- Babini Joseacute Historia suscinta de la Matemaacutetica Edit Austral

- Rey Pastor J y Babini J Historia de la Matemaacutetica Edi t Gedisa

- Piaget Choquet Dieudonneacute y otros La Ensentildeanza de la Matemaacutetica Moderna

Edit Alianza Universidad

- Vaacutezquez de Tapia Nelly y De l-iartino EIsa Apuntes de Geometriacutea Intuitiva

- Tirao Juan Alfredo Matemaacutetica 1

- Tre jo Ceacutesar A Boseh Jorge E

ca Moderna en el Primer Curso

- Trejo Ceacutesar A Bosch Jorge E ca Moderna -Primer Cursoshy

EditKapeluz

Ensentildeanza de la Matemaacuteti

Edi t Eude ba

Ciclo Medio de Matemaacuteti

Edit Eud e ba

- Varela Leopoldo y Foncuberta Juan A Matemaacutetica 1

(Magisterio)

Edit Riacuteo de la Pla ta

- Ceci AM Cosentino J B y Pagl i lla OMde Matemaacutet ica 1 Edit Guacta l upe

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- Puig Adam p La Matemaacutetica y su Ensentildeanza Actual

(Madrid - Ministerio de Educacioacuten Nacional)

- Mialaret Gastoacuten Psicopedagogiacutea de los Medios Audiovisue les en la Ensentildeanza Primaria

Edit Sudamericana

- Aebli Hans Una Didaacutectica Fundada en la PSicologiacutea de Jean Piaget

Edit Kapeluz

- Piaget Jean Seis Estudios de Psicologiacutea Edit Eudeba

- 25 shy

INDICE

Coptenido Paacutegina

Introduccioacuten 1

Objetivo General 1

Em1si6n Ndeg 1 Triaacutengulo 2

EII1si6n Ndeg 2 Congruencia de Triaacutengulos 13

Consideraciones Finales 22

B1bliografIacuteaacute 23

LC

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INDICE

Coptenido Paacutegina

Introduccioacuten 1

Objetivo General 1

Em1si6n Ndeg 1 Triaacutengulo 2

EII1si6n Ndeg 2 Congruencia de Triaacutengulos 13

Consideraciones Finales 22

B1bliografIacuteaacute 23

LC