m

m m m

m m w

m m ü

m

( i

m m m m m

m m B

m m m m m

L c £ c j r i U j t y i k e K c r i s m e - F<Ó.O¡ H T .

19.2 Capacitores y capacitancia E l c a p a c i t o r más s e n c i l l o ; y q u e e x a m i n a r e m o s e n d e t a l l e , c o n s i s t e d e d o s p l a c a s metálicas p l a n a s y p a r a l e l a s , s e p a r a d a s p o r u n a c o r t a d i s t a n c i a d. L a región e n t r e l a s p l a c a s p u e d e s e r e l vacío ( o e l a i r e , q u e t i e n e prácticamente l a s m i s m a s p r o p i e d a d e s eléctricas) u o t r o m a t e r i a l n o c o n d u c t o r c o m o a c e i t e , v i d r i o , o m i c a . S u p o n g a m o s q u e s e t o m a u n c a p a c i t o r d e a i r e , d e s c a r g a d o e n s u s p l a c a s , y s e c o n e c t a c o n u n a batería, c o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 9 . 2 . A n t e s d e c e r r a r e l i n t e r r u p t o r , l a s d o s p l a c a s d e l c a p a c i t o r están a l ' m i s m o p o t e n c i a l , y l a región e n t r e e l l a s está l i b r e d e c a m p o eléctrico. S i s e c i e r r a e l i n t e r r u p t o r S , l a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l e n t r e l a s d o s p l a c a s , q u e l l a m a r e m o s V, será i g u a l a l p o t e n c i a l q u e está e n t r e l a s t e r m i n a l e s d e d i c h a batería.*

S i h a y u n a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l V e n t r e l a s p l a c a s A y B, d e b e h a b e r u n c a m p o eléctrico E e n l a región e n t r e l a s p l a c a s . E n l a sección 1 8 . 1 5 s e comentó q u e l a m a g n i t u d d e l c a m p o e n t r e d o s s u p e r f i c i e s p a r a l e l a s e q u i p o t e n c i a l e s e s

E = (19.1)

d o n d e Ves l a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l e n t r e l a s s u p e r f i c i e s y d e s s u separación. L a s líneas d e c a m p o eléctrico e n t r e l a s d o s p l a c a s s o n p e r p e n d i c u l a r e s a

d i c h a s p l a c a s ( F i g u r a 1 8 . 3 7 ) y s u d e n s i d a d e s u n i f o r m e . E s a s líneas d e c a m p o d e b e n o r i g i n a r s e e n c a r g a s p o s i t i v a s y t e r m i n a r e n c a r g a s n e g a t i v a s . P o r c o n s i g u i e n t e ; l a e x i s t e n c i a d e u n v o l t a j e Vy d e u n c a m p o E i n d i c a n l a p r e s e n c i a d e u n a c a r g a p o s i t i v a +Q e n l a s u p e r f i c i e d e l a p l a c a A , y u n a c a r g a n e g a t i v a i g u a l a -Q e n l a s u p e r f i c i e d e l a p l a c a B. L a m a g n i t u d d e e s a s c a r g a s e s p r o p o r c i o n a ! a l a d e n s i d a d d e l a s líneas d e c a m p o , e s t o e s , a l a i n t e n s i d a d d e l c a m p o E ; p o r t a n t o , EaQ. P e r o c o m o V = Ed, l a c a r g a Q también d e b e s e r p r o p o r c i o n a l a l a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l V.

DEFINICIÓN : L a capacitancia C e s l a c o n s t a n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d q u e r e l a c i o n a Q c o n V:

Q = cv, o b i e n C -y

( 1 9 . 2 )

E n l a ecuación 1 9 . 2 V 7 e s e l v o l t a j e a través d e l c a p a c i t o r , y Q e s l a c a r g a d e una p l a c a ( n o l a c a r g a n e t a e n l a s d o s p l a c a s , q u e sería c e r o e n e l c a s o q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o ) . L a u n i d a d d e c a p a c i t a n c i a , e l c o u l o m b p o r v o l t , s e l l a m a farad ( F ) , e n h o n o r d e l científico inglés M i c h a e l F a r a d a y ( 1 7 9 1 - 1 8 6 7 ) , q u i e n i n t r o d u j o e l c o n c e p t o d e c a n a c i t a n c i a e h i z o o t r a s n u m e r o s a s c o n t r i b u c i o n e s a l a e l e c t r i c i d a d y e l m a g n e t i s m o . C o m o u n v o l t e s i g u a l a u n j o u l e p o r c o u l o m b , l a dimensión d e l f a r a d e s

1 J [V] [QftT]2

W] [M][L]2 •

d o n d e [C] r e p r e s e n t a l a s d i m e n s i o n e s de. l a c a p a c i t a n c i a , [Q] l a c a r g a , [V] e l p o t e n c i a l y [W] l a energía t r a b a j o , r e s p e c t i v a m e n t e .

S a b e m o s q u e u n c o u l o m b e s u n a c a n t i d a d m u y g r a n d e d e c a r g a , según l o s estándares d e l a b o r a t o r i o . C o m o u n c a p a c i t o r d e 1 F a c u m u l a u n a c a r g a d e ] C c u a n d o se t i e n e t a n sólo u n v o l t a través d e l a s p l a c a s , n o n o s s o r p r e n d e q u e l o s c a p a c i t o r e s típicos d e l a b o r a t o r i o t e n g a n c a p a c i t a n c i a s q u e v a n e n t r e f r a c c i o n e s d e p i c o f a r a d i o ( 1 p F = 1 0 1 2 F ) , y u n o s p o c o s m i l e s d e m i c r o f a r a d i o s ( 1 , /vF = 1 0 " 6 F ) p a r a l a s u n i d a d e s r e l a t i v a m e n t e g r a n d e s .

*En esle Capítulo la V se utilizará para indicar no un potencial absoluto, sino la diferencia de potenciar o voltaje a través del capacitor.

487 79 .2 Capacitor as y capacitancia

+ Q

— i

F i g u r a 1 9 . 2 Un capacitor de placas p a r a l e l a s con a i r e como substancia a i s l a n t e . Después de c e r r a r el i n t e r r u p t o r S; el p o t e n c i a l Y a través del capacitor será i g u a l a l p o t e n c i a l e n t r e las t e r m i n a l e s de ¡a balería, que aquí se representa por T.. L a m a g n i t u d del campo eléctrico en el espacio e n t r e las dos placas separadas u n a distancia d es entonces E - Vid, con E a p u n t a n d o t a l como se m u e s t r a .

m m

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488 Capacitores

S e p u e d e e s p e r a r q u e l a c a p a c i t a n c i a d e u n c a p a c i t o r d e p l a c a s p a r a l e l a s d e p e n d a d e t r e s parámetros: e l área A d e l a s p l a c a s , d e l a separación d e n t r e l a s p l a c a s , y d e l a n a t u r a l e z a d e l m a t e r i a l a i s l a n t e e n t r e l a s p l a c a s . R e a l m e n t e , c o m o l o d e m u e s t r a n l o s s i g u i e n t e s cálculos, d i c h o s f a c t o r e s sí i n t e r v i e n e n e n e l r e s u l t a d o f i n a l .

P a r a c a l c u l a r l a c a p a c i t a n c i a d e l s i s t e m a d e l a f i g u r a 1 9 . 3 , r e c u r r i r e m o s a l a l e y d e G a u s s (sección 1 8 . 1 0 ) . L a s u p e r f i c i e g a u s s i a n a q u e u s a m o s t i e n e l a f o r m a d e paralelepípedo a p l a n a d o , c u y a s u p e r f i c i e más g r a n d e e s i g u a l a l a s u p e r f i c i e d e l a p l a c a d e l c a p a c i t o r , q u e e n l a f i g u r a 1 9 . 3 se m u e s t r a v i s t a d e s d e u n e x t r e m o . U n a c a r a d e e s t e paralelepípedo q u e d a c o m p l e t a m e n t e d e n t r o d e ! m e t a ] d e u n a d e l a s p l a c a s , y l a o t r a c a r a g r a n d e q u e d a e n e l e s p a c i o e n t r e l a s p l a c a s . S i s u p o n e m o s q u e s e p u e d e i g n o r a r l a distorsión d e l c a m p o c e r c a d e l o s l a d o s d e l c a p a c i t o r , l a única p a r t e d e l a s u p e r f i c i e g a u s s i a n a q u e a t r a v i e s a n l a s líneas d e ! c a m p o eléctrico e s e l área e n t r e l a s d o s p l a c a s . ( E n c o n d i c i o n e s estáticas e l c a m p o E e n u n c o n d u c t o r e s c e r o . )

F i g u r a 19.3 Sección transversal de u n capacitor de placa paralelas mostrando las cargas superficiales positivas y negativas, las líneas del campo eléctrico, y la superficie gaussiana ( p u n t e a d a ) .

J ^ v » » Superficie

gaussiana

P a r a e s t e c a s o , l a l e y d e G a u s s , ecuación ( 1 8 . 8 ) e s

e0EA - Q ( 1 9 . 3 )

s i e n d o A e l área d e l a p l a c a d e l c a p a c i t o r . U s a n d o l a definición, l a ecuación 1 9 . 2 y l a ecuación 1 9 . 1 s e o b t i e n e a h o r a

L V Ed ~€°d ( 1 9 . 4 )

s i e n d o e 0 = 8 . 8 5 x I 0 n F / m p e r m i t i v i d a d d e l e s p a c i o vacío. O b s e r v e q u e C e s p r o p o r c i o n a l a l área A e i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a l a

separación d. E s a s d e p e n d e n c i a s t i e n e n lógica. S i e! v o l t a j e V y !a separación d s e m a n t i e n e n c o n s t a n t e s , E q u e d a f i j o . L a c a r g a t o t a ) Q e s e n t o n c e s p r o p o r c i o n a ] a l área,4 y p o r t a n t o , C-Q/Vtambién d e b e s e r p r o p o r c i o n a l aA. S i , p o r o t r o l a d o , e l área A y l a c a r g a Q s e m a n t i e n e n c o n s t a n t e s , d e n u e v o E q u e d a d e t e r m i n a d o d.e a c u e r d o a l a l e y d e G a u s s ; e l v o l t a j e V e n t o n c e s e s p r o p o r c i o n a l a l a separación d, y p o r c o n s i g u i e n t e C = Q/V e s i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a d. S e c o n c l u y e q u e p a r a a l c a n z a r u n a g r a n c a p a c i t a n c i a e l área cié l a p l a c a se d e b e h a c e r t a n g r a n d e c o m o s e a p o s i b l e y r e d u c i r l a separación d e l a s p l a c a s a l mínimo c o m p a t i b l e c o n l a s c o n d i c i o n e s mecánicas y eléctricas.

3 Ejemplo 19.1 U n c a p a c i t o r d e p l a c a s p a r a l e l a s s e c o n s t r u y e c o n d o s h o j a s

>x metálicas d e 7 x 1 5 m , s e p a r a d a s p o r u n a c a p a d e a i r e d e 0 . 5 0 c m d e e s p e s o r . . v ¿Cuál e s l a c a p a c i t a n c i a d e e s e s i s t e m a y qué v o l t a j e d e b e a p l i c a r s e p a r a q u e

« - O * e l c a p a c i t o r a d q u i e r a u n a c a r g a d e 0 . 0 1 0 C ?

f ) - 9 , C j 3 C » Solución O b s e r v e q u e l a s p l a c a s metálicas a p r o x i m a d a m e n t e s o n d e ! I tamaño d e u n salón d e c l a s e p a r a 3 0 a 4 0 e s t u d i a n t e s .

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L a c a p a c i t a n c i a Ja d a l a ecuación 1 9 . 4 489

c = d

( 8 . 8 5 X 1 Q - ' 2 F / m ) ( 7 . 0 m ) ( 1 5 . 0 m ) ' 5 . 0 X 1 0 ~ 3 m

= 1 . 8 6 X 1 0 - 7 F « 0 . 2 / x F

P a r a a d q u i r i r u n a c a r g a d e 0 . 0 1 0 C h a y q u e a p l i c a r u n v o l t a j e d e

1 ( ) - 2 C C 2 X 1 0 " 7 F

5 0 0 0 0 V

E i c a m p o eléctrico e n t r e l a s p l a c a s sería e n t o n c e s 1 0 7 V / m , q u e r e b a s a e l v a l o r a l c u a l c o m i e n z a e l a r q u e o e n e l a i r e . E n o t r a s p a l a b r a s , e s t e c a p a c i t o r n o p u e d e m a n t e n e r u n a c a r c a d e 0 . 0 1 0 C .

L o s c a p a c i t o r e s d e a i r e g e n e r a l m e n t e se u s a n sólo c o m o c a p a c i t o r e s v a r i a b l e s d e sintonización e n r a d i o r r e c e p t o r e s y t r a n s m i s o r e s . D i c h o s c a p a c i t o r e s c o n s i s t e n e n u n g r u p o d e p l a c a s metálicas p a r a l e l a s f i j a s , c o n e c t a d a s eléctricam e n t e e n t r e sí, y o t r o c o n j u n t o d e p l a c a s i n t e r c o n e c t a d a s , a i s l a d a s d e l a s p l a c a s f i j a s , y m o n t a d a s s o b r e u n e j e g i r a t o r i o . E l g r u p o d e p l a c a s m o v i b l e s e n c a j a e n l o s e s p a c i o s e n t r e l a s p l a c a s f i j a s , y g i r a n d o e l e j e s e p u e d e a j u s t a r e l área e f e c t i v a d e l c a p a c i t o r .

Fambién se h a c e n c a p a c i t o r e s d e d o s h o j a s metálicas d e l g a d a s , s e p a r a d a s p o r u n a h o j a d e l g a d a d e m a t e r i a l a i s l a n t e o dieléctrico. P o r e j e m p l o , e n l a f i g u r a 1 9 . 4 b s e m u e s t r a u n método b a r a t o p a r a c o n s t r u i r u n c a p a c i t o r t u b u l a r .

19.2 Capacitores y capacitancia

F i g u r a 1 9 . 4 a) Un capacitor de sintonizaron variable usado en algunos radiorreceptores, b) D i b u j o esquemático de u n capacitor t u b u l a r de papel. Las-dos hundas de h o j a metálica están separadas por bandas largas y delgadas de papel impregnado en aceite. Las hojas metálicas sobresalen del papel en los extremos opuestos, y las parles sobresalientes se sueldan a los alambres de conexión. E l capacitor completo, c i l i n d r i c o y compacto, se e n c i e r r a en u n tubo de cartón, y sus características eléctricas se i n d i c a n en él. c) Fotografía de u n capacilor comercial de película de poliéster. d) Símbolo de u n capacitor fijo en circuitos.

\

M o j a r , metál icas P a p e l

© 225 P .15110% 75DC

\ fi1

a) b) d)

E i a i s l a d o r dieléctrico q u e se u s a e n l o s c a p a c i t o r e s t u b u l a r e s y d e o t r o t i p o t i e n e d o s v e n t a j a s s o b r e e l a i r e . P r i m e r a , p e r m i t e u n a construcción rígida y c o m p a c t a , c o n u n a separación d m u y pequeña e n t r e l a s d o s s u p e r f i c i e s c o n d u c t o r a s . S e g u n d a , l a polarización eléctrica i n d u c i d a e n e l dieléctrico p o r e l c a m p o e n t r e l a s p l a c a s a u m e n t a m u c h o l a c a p a c i t a n c i a c o n r e s p e c t o a s u v a l o r e n a i r e o vacío c o m o dieléctrico.

P a r a v i s u a l i z a r cómo se p r o d u c e e s i e a u m e n t o e n c a p a c i t a n c i a , c o n s i d e r e -m< s u n c a p a c i t o r d e a i r e , d e p l a c a s p a r a l e l a s , c o n c a r g a s +Q y -Q e n s u s p l a c a s , c o r n o e n l a F i g u r a 1 9 . 6 «, E l p o t e n c i a l e n t r e l a s p l a c a s e s V - Q/Co, Y e l c a m p o eléctrico e n t r e l a s p l a c a s e s E = Vid: e l subíndice " o " i n d i c a q u e n o s r e f e r i m o s a l v a l o r d e C c u a n d o e i m a t e r i a l a i s l a n t e e s a i r e .

S u p o n g a m o s q u e i n t r o d u c i m o s u n dieléctrico p o l a r i z a b l e e n e l e s p a c i o e m r e l a s d o s p l a c a s . C o m o se d i j o e n e l capítulo 1 8 y s e i l u s t r a e n l a f i g u r a 1 9 . 5 , e i c a m p o eléctrico e n t r e l a s p l a c a s tenderá a o r i e n t a r a d i p o l o s p e r m a n e n tes y a l a v e z también a i n d u c i r d i p o l o s . E l r e s u l t a d o d e e s t a polarización es

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a l c a m p o eléctrico e n e l dieléctrico,

m

i

i

•^0 { t a c\ 1 9 . 1 Capacitores y capacitancia

d e f i n e l a constante dieléctrica. E n l a t a b l a 1 9 . 1 s e c i t a n l a s c o n s t a n t e s dieléct r i c a s d e v a r i o s sólidos y líquidos a i s l a n t e s .

T a b l a 1 9 . 1 Constante dieléctrica y resistencia dieléctrica de varias substancias

Resistencia dieléctrica, M e t e r i c l Constante dieléctrica K kVjmm

11 1 ' V a c i o

1 . 0 0 0 0 0 00 A i r e seco 1 . 0 0 0 5 4 0 . 8 A g u a 7 8 — A c e i l e de t r a n s f o r m a d o r M i c a

4 . 5 5 .4

1 2 1 0 - 1 5 0

P a p e l / - 3 . 5 1 4 P y r e x ' 4 . 5 1 3 R a q u e l i t a 4 . 8 1 2 P o l i e t i l e n o 2 . 3 5 0 P o l i e s t i r e n o 2.6 2 5 Teflón 2 . 1 6 0 N e o p r e n o 6 . 9 12 Dióxido de t i t a n i o 1 0 0 6

NOTA: LOS valores citados son aproximadamente a temperatura ambiente y para campos eléctricos fijos.

S i e l dieléctrico l l e n a c o m p l e t a m e n t e a l e s p a c i o e n t r e l a s p l a c a s d e l c a p a -f t c i t o r , l a relación d e v o l t a j e s a través d e l c a p a c i t o r s i n y c o n e l dieléctrico e n s u

l u g a r e s

Ve Eod 1 VK EKd K

I I I fe fe fe fe

y p o r t a n t o .

E s t o e s ,

c0 _ Q/v0 i CK Q/Vx K

C K = K C 0 (19.6)

La substitución del vacío, o del aire, por un dieléctrico tal como aceile de transformador, baquelita o mica, aumenta considerablemente la capacitancia

\ de un capacitor. P e r o éste n o e s e l único b e n e f i c i o q u e s e o b t i e n e c o n e l dieléctrico. H a y u n

límite a l a i n t e n s i d a d d e l c a m p o eléctrico q u e s e p u e d e m a n t e n e r e n u n a región i d e m a t e r i a l a i s l a n t e . P o r e j e m p l o , e n a i r e s e c o , e l c a m p o eléctrico máximo

es d e u n o s 8 0 0 0 0 0 V / m . S i E r e b a s a e s t e v a l o r ; e l a i r e t e m p o r a l m e n t e s e v u e l v e c o n d u c t o r , y s a l t a u n a c h i s p a a través d e l a región. E s t a c h i s p a t r a n s p o r t a c a r g a q u e u e n d e a n e u t r a l i z a r e l d e s e q u i l i b r i o d e c a r g a s q u e o c a s i o n a e l i n t e n s o c a m -

| p o q u e a s u v e z originó l a c h i s p a . E l c a m p o máximo q u e p u e d e m a n t e n e r s e e n u n dieléctrico s i n t a l r o m p i

m i e n t o s e c o n o c e c o m o resistencia dieléctrica o f u e r z a dieléctrica. E n l a t a b l a

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492 Capacitores

3 - • A O

F i g u r a 1 9 . 7 L a carga de u n capacitor i n i c i a l m e n t c descargado i m p l i c a la transferencia de cargas desde u n a placa hasta la o t r a . Cuando la carga positiva tsQ se mueve desde la placa A hasta l a placa D , se establece el campo E , que señala de D a A . Se debe efectuar trabajo contra la f u e r z a debida a este campo p a r a mover más carga desde A hasta D .

F i g u r a 1 9 . 8 V = QIC p a r a u n capacitor. Por tanto, u n a gráfica de V contra Q es u n a recta cuya pendiente es 1/C. E l trabajo AVV que debe efectuarse p a r a llevar u n a carga AQ a través del capacitor cuando existe u n voltaje V entre sus placas es AVI' = V A Q (ver el rectángulo más sombreado). E l trabajo total efectuado a l cargar el capacitor a l voltaje V está dado por el área bajo l a recta, o sea, \ Q V .

1 9 . 1 también s e c i t a n l a s r e s i s t e n c i a s dieléctricas. L a mayoría d e l o s dieléctric o s c o m e r c i a l e s t i e n e n u n a r e s i s t e n c i a dieléctrica d o s órdenes d e m a g n i t u d m a y o r e s q u e l a d e l a i r e . Así, u n c a p a c i t o r d e p a p e l n o sólo m a n t i e n e m a y o r c a r g a a u n a d i f e r e n c i a d e t e r m i n a d a d e p o t e n c i a l , s i n o q u e también p u e d e m a n t e n e r v o l t a j e s c e r c a d e v e i n t e v e c e s m a y o r e s d e l o s q u e p u d i e r a n a p l i c a r s e a u n c a p a c i t o r d e a i r e d e d i m e n s i o n e s s e m e j a n t e s .

Ejemplo 19.2 S u p o n e r q u e l a s d o s p l a c a s metálicas d e l e j e m p l o 1 9 . 1 están s e p a r a d a s p o r u n a l o s a d e b a q u e l i t a d e 0 . 5 c m d e e s p e s o r . ¿Cuál sería l a c a p a c i t a n c i a d e l s i s t e m a , y cuál e s l a c a r g a máxima q u e p u e d e a l m a c e n a r e s t o c a p a c i l o r ?

Solución L a b a q u e l i t a t i e n e u n a c o n s t a n t e dieléctrica d e 4 . S . S i e n d o a i r e e l a i s l a d o r , l a c a p a c i t a n c i a d e ! c a p a c i t o r e s 0 . 1 8 6 / / F ( e j e m p l o 1 9 . 1 ) . D e l a ecuación 1 9 . 6 s e d e d u c e q u e c o n b a q u e l i t a c o m o dieléctrico, l a c a p a c i t a n c i a e s

CK = 4 . 8 ( 1 . 8 6 X 1 0 - 7 F ) = 8 . 9 X 1 0 " 7 F

L a r e s i s t e n c i a dieléctrica d e l a b a q u e l i t a e s d e 1 2 k V / m m = 1 . 2 x 1 0 7 V / m . E l p o t e n c i a l máximo q u e s e p u e d e m a n e j a r e n e l c a p a c i t o r e s a h o r a

F m , l x = ( 1 2 k V / m m ) ( 5 . 0 m m ) - 6 0 k V = 6 0 . 0 0 0 V

Y l a c a r g a máxima q u e p u e d e a l m a c e n a r e s t e c a p a c i t o r e s

O = CV •

= ( 8 . 9 X 1 0 ~ 7 F ) ( 6 X 1 0 4 V )

^5.34JXAÍT^C^ 0 . 0 5 C

19.3 Energía electrostática de un capacitor; ) _gjiejq?íajilnjuieer^ eléctrico^

S e g e n e r a u n a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l e n u n c a p a c i t o r a l t r a n s p o r t a r c a r g a s d e s d e u n a p l a c a h a s t a l a o t r a . A ! p r i n c i p i o , c o n a m b a s p l a c a s n e u t r a s y a l m i s m o p o t e n c i a l , l a p r i m e r a porción pequeñísima AQ s e p u e d e t r a s l a d a r d e l a p l a c a A a l a p l a c a B d e l a f i g u r a 1 9 . 7 c a s i s i n c o n s u m i r energía. S i n e m b a r g o , a l h a c e r e s t o a p a r e c e u n a pequeña d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l A V = AQ/C través d e ! c a p a c i t o r , y e l t r a n s p o r t e u l t e r i o r d e c a r g a n e c e s i t a d e t r a b a j o s o b r e e s a c a r g a p a r a t r a s l a d a r l a a través d e l p o t e n c i a l e x i s t e n t e , p o r pequeño q i k s e a . A m e d i d a q u e s e a c u m u l a más y más c a r g a e n l a s p l a c a s d e l c a p a c i l o r , a a m e n t a p r o p o r c i o n a l m c n t e e l v o l t a j e e n t r e l a s p l a c a s , c o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 9 . 8 . S i , h a b i e n d o a l c a n z a d o u n p o t e n c i a l V, q u e r e m o s a h o r a t r a s l a d a r a l g o

A

A

A

AQ

m

m m m 0 m m m m 0 0 0 0 0 0 m

0 m m 0 0 m 0 0

0 0

0 0

0

m

0 € t

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más d e c a r g a AQ d e s d e l a p l a c a n e g a t i v a h a s t a l a p o s i t i v a , d e b e m o s e m p l e a r 493 u n a c a n t i d a d d e energía i g u a l a

19.3 Energía electrostática de un AW — V AQ (19.7) capacitor; energía almacenada

p a r a s u p e r a r l a f u e r z a electrostática q u e t i e n d e a r e g r e s a r a l a c a r g a h a c i a l a p l a c a n e g a t i v a .

D e l a f i g u r a 1 9 . 8 s e c o n c l u y e q u e l a c a n t i d a d t o t a l d e t r a b a j o e f e c t u a d o a l c a r g a r u n c a p a c i t o r a u n v o l t a j e Vía d e t e r m i n a e l área d e l triángulo b a j o l a c u r v a V c o n t r a Q. E l área d e u n triángulo e s i g u a l a l a m i t a d d e l p r o d u c t o d e l a b a s e p o r l a a l t u r a . Así,

W={QV (19.8)

Y a q u e e s t e t r a b a j o s e p u e d e e f e c t u a r s i n pérdidas p o r fricción, y y a q u e e l c a m p o electrostático e n sí e s c o n s e r v a d o r p o r l a conservación d e l a energía, s e d e d u c e q u e l a energía a l m a c e n a d a e n e l c a p a c i t o r d e b e s e r i g u a l a W. La energía potencial almacenada en un capacitor cargado se determina por

w = \oy = \ cv1 = (19.9)

L a s t r e s e x p r e s i o n e s s o n c o m p l e t a m e n t e e q u i v a l e n t e s y s e o b t i e n e n u n a d e o t r a a p l i c a n d o l a ecuación 1 9 . 2 . L a ecuación q u e s e u t i l i c e e n c a d a c a s o e s l a más c o n v e n i e n t e , c o m o s e ilustrará e n l o s s i g u i e n t e s e j e m p l o s !

M i e n t r a s q u e e l e s t a b l e c i m i e n t o d e u n c a m p o eléctrico n e c e s i t a d e u n d e s p l a z a m i e n t o d e c a r g a s y u n c o n s u m o c o n c o m i t a n t e d e energía, a m e n u d o e s útil i m a g i n a r s e a l a energía a l m a c e n a d a y r e l a c i o n a r l a c o n l a e x i s t e n c i a intríns e c a d e l m i s m o c a m p o electrostático, s i n r e p a r a r e n cómo s e estableció d i c h o c a m p o . P a r a o b t e n e r u n a relación e n t r e l a energía a l m a c e n a d a y c l c a m p o eléct r i c o , d e n u e v o r e g r e s a r e m o s a l c a p a c i t o r d e p l a c a s p a r a l e l a s .

S i s e c a r g a u n c a p a c i t o r , c u y a c a p a c i t a n c i a e s

r _ K€0A a

h a s t a u n v o l t a j e V, l a m a g n i t u d d e l c a m p o eléctrico E e n t r e s u s p l a c a s e s

V

L a ecuación 1 9 . 9 d e f i n e a l a energía a l m a c e n a d a e n e l c a p a c i t o r ,

E P =^CV2 = ^Ke0(^J(Edy = ^Ke0E2(Ad) (19.10)

E i p r o d u c t o Ad n o e s más q u e e l v o l u m e n d e n t r o d e l c u a l e l c a m p o eléctrico está ( i d e a l m e n t e ) c o n f i n a d o . Así l l e g a m o s a l r c s u l i a d o q u e

Energía electrostática p o r u n i d a d d e v o l u m e n = IKÍJE1 ' (19 .11)

en un campo eléctrico

A m e n u d o se l e l l a m a densidad energética a l a energía p o r u n i d a d d e v< l u m e n d a d a p o r l a ecuación 1 9 . 1 1 .

A u n q u e e s t e r e s u l t a d o s e h a d e d u c i d o a l e x a m i n a r u n a configuración e s p e c i a l d e l c a m p o , s e p u e d e d e m o s t r a r q u e l a ecuación 1 9 . 1 1 e s d e v a l i d e z g e n e r a l , aún c u a n d o E s e a u n a función d e posición, c o m o e n e l c a s o d e l a región q u e está c e r c a d e u n a c a r g a p u n t u a l .

¡ :cmplo 19.3 U n c a p a c i t o r d e p l a c a s p a r a l e l a s s e c o n s t r u y e m e d i a n t e d o s c i s c o s metálicos d e 1 0 . 0 c m d e r a d i o s e p a r a d o s p o r u n e s p a c i o d e a i r e d e

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1 . 0 m m , ¿Cuál e s Ja c a r g a e n e s t e c a p a c i t o r c u a n d o e i v o l t a j e e n t r e , ¡as p l a c a s e s d e 1 0 0 V ? ¿Cuánta energía está a l m a c e n a d a e n e s t e c a p a c i t o r ?

Solución Según l a ecuación 1 9 . 2 t e n e m o s q u e Q = CV. P a r a d e t e r m i n a r Q, p r i m e r o d e b e m o s c a l c u l a ! C. L a ecuación 1 9 . 4 d a l a c a p a c i t a n c i a .

a

( 8 . 8 5 X J O " 1 2 F / m ) ( ] . 0 0 X 1 0 " 1 m ) 2 ^ ; , , ñ ' — = 2 . 7 8 X J O " ' " F « 2 7 : . p l 1 . 0 0 X 1 0 3 m K

P o r t a n t o , l a c a r g a d e l c a p a c i t o r e s

Q= CV = ( 2 . 7 8 X 1 0 - 1 0 F ) ( 1 0 0 V ) = 2 . 7 8 X 1 0 ~ 8 C = 0 . 0 2 7 8 ¿ C

L a energía a l m a c e n a d a e s

P P - , o F - ( 2 - 7 8 X 1 0 - « C X l 0 0 V ) . „ . EF - i Q V = 1 . 3 9 / J

Ejemplo 19.4 E l c a p a c i t o r d e l e j e m p l o 1 9 . 3 s e d e s c o n e c t a d e l a batería d e 1 0 0 V después d e h a b e r l o c a r g a d o c o m p l e t a m e n t e . S i l a separación e n t r e l a s p l a c a s s e a u m e n t a e n t o n c e s a 2 . 0 m m d e m o d o q u e n o h a y a f u g a s d e c a r g a d e l a s p l a c a s , ¿cuál e s e l p o t e n c i a l a través d e l a s p l a c a s d e l c a p a c i t o r ? También, d e t e r m i n a r l a energía a l m a c e n a d a e n e l c a p a c i t o r a n t e s y después d e h a b e r s e p a r a d o l a s p l a c a s e n e l 1 . 0 m m a d i c i o n a l .

Solución E x a m i n a n d o l a ecuación 1 9 . 4 v e m o s q u e u n a u m e n t o e n d d e s d e 1 . 0 0 m m h a s t a 2 . 0 0 reducirá C e n u n f a c t o r d e 2 . P o n i e n d o u n a p r i m a a l a s c a n t i d a d e s p o s t e r i o r e s a l a u m e n t o e n d, t e n e m o s q u e

C d ~ 2d; A'=A; p o r t a n t o , C - —

P e r o s a b e m o s q u e Q' = Q p o r q u e n o h e m o s p e r m i t i d o q u e se f u g e c a r g a a l g u n a d e l a s p l a c a s . R e a c o m o d a n d o l a ecuación 1 9 . 2 , V-Q/C, v e m o s q u e V - Q'/C = 2Q/C = 2V. E n t o n c e s , c u a n d o l a s p l a c a s están s e p a r a d a s 2 . 0 0 m , l a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l a través d e l c a p a c i t o r a u m e n t a a 2 0 0 V .

P a r a c a l c u l a r l a energía a l m a c e n a d a , u s a r e m o s u n a d e l a s t r e s f o r m a s e q u i v a l e n t e s d e 1 9 . 9 ; l a s más c o n v e n i e n t e s s o n l a p r i m e r a o l a última, p o r q u e l a s d o s m e n c i o n a n a l a c a r g a Q, q u e e n e s t e c a s o p e r m a n e c e i n a l t e r a d a .

C o m o c a l c u l a m o s e n e l e j e m p l o 1 9 . 3 , l a energía a l m a c e n a d a i n i c i a l m e n t e e s E P = 1 . 3 9 fiü.

Después d e l a separación a í = 2 . 0 0 m m e n t r e l a s p l a c a s , Q' = Q: p e r o V = 2V, c o m o a c a b a m o s d e c a l c u l a r . P o r t a n t o ,

E P ' - i Q ' V = i Q ( 2 V ) = 2 E P = 2 . 7 8 (d

A l p r i e i p i o , e s t e r e s u l t a d o parecerá insólito. H e m o s h e c h o a l g o q u e h a disminuido l a c a p a c i t a n c i a d e l s i s t e m a , p e r o s i n e m b a r g o l a energía a l m a c e n a d a h a aumentado. A u n q u e l a f o r m u l a E P = | Q 2 / C n o s d i c e q u e l a E P d e b e a u m e n t a r s i m a n t e n e m o s f i j a a Q y d i s m i n u i m o s a C , e n r e a l i d a d e s t o sólo e v a d e l a p r e g u n t a . Deberíamos p r e g u n t a r , p a r a c o m p r e n d e r l o q u e está s u c e d i e n d o , " s i l a energía a l m a c e n a d a e n e l c a p a c i t o r a u m e n t a , ¿de dónde v i e n e e s t a energía a d i c i o n a l ? " T a n p r o n t o c o m o e l a s u n t o s e e n u n c i a e n e s o s términos, e n e l l e n g u a j e d e l a conservación d e l a energía n o e s difícil e n c o n t r a r l a r e s p u e s t a .

L a s c a r g a s +Q y -Q e n l a s d o s p l a c a s d e l c a p a c i t o r s e a t r a e n e n t r e sí, c o m o

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- - 3 !

m m m m m

m m m m m m m m

m m m m m m m m

m m m

Jo h a c e n t o d a s l a s c a r g a s d e s i g n o c o n t r a r i o . P o r t a n t o , s e d e b e e f e c t u a r t r a b a j o c o n t r a l a f u e r z a electrostática d e atracción, p o r u n a f u e r z a e x t e r n a , p a r a s e p a r a r l a s p l a c a s a u n a d i s t a n c i a m a y o r . E l t r a b a j o e f e c t u a d o p o r l a f u e r z a e x t e r n a s e r e c u p e r a y a p a r e c e c o m o energía a l m a c e n a d a e n e l c a p a c i t o r .

Ejemplo 19.5 U n a c a p a c i t o r d e p l a c a s p a r a l e l a s d e 6 . 0 ¿uF s e c o n e c t a a l a s t e r m i n a l e s d e u n a batería d e 1 0 0 - V . Después d e c a r g a r c o m p l e t a m e n t e e l c a p a c i t o r s e d e s c o n e c t a l a batería y s e i n t e r c a l a u n a lámina d e dieléctrico q u e ¡lena c o m p l e t a m e n t e e l e s p a c i o e n t r e l a s p l a c a s . S i l a c o n s t a n t e dieléctrica d e l m a t e r i a l e s K = 8 . 0 , ¿qué p o t e n c i a l h a y a través d e l c a p a c i t o r después d e i n t r o d u c i r l a p l a c a ? ¿Es n e c e s a r i o e f e c t u a r e l t r a b a j o y a s e a p a r a i n t r o d u c i r o p a r a r e t i r a r l a lámina? S i e s así, ¿cuál d e l o s d o s p r o c e s o s ( i n s e r t a r o r e t i r a r ) n e c e s i t a d e t r a b a j o e f e c t u a d o s o b r e e l s i s t e m a , y qué c a n t i d a d d e t r a b a j o ?

Solución P r i m e r o n o s a s e g u r a r e m o s d e h a b e r c o m p r e n d i d o l a situación física. U n a v e z q u e s e h a c a r g a d o e l c a p a c i t o r y se h a d e s c o n e c t a d o l a batería, n o p u e d e h a b e r c a m b i o e n l a c a r g a d e l a s p l a c a s d e l c a p a c i t o r . S i n e m b a r g o , l a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l e n e l c a p a c i t o r sí p u e d e c a m b i a r . P r i m e r o d e t e r m i n a r e m o s l a c a r g a d e l c a p a c i t o r y después c a l c u l a r e m o s l a c a p a c i t a n c i a u n a v e z q u e s e h a i n t r o d u c i d o e l dieléctrico. U s a n d o l a ecuación 1 9 . 2 y m a n t e n i e n d o c o n s t a n t e l a c a r g a O, p o d e m o s d e t e r m i n a r e l v o l t a j e V i e n t r e l a s p l a c a s después d e l a introducción d e l dieléctrico. P a r a c o n t e s t a r a l a última p r e g u n t a , c a l c u l a -r e m o s l a energía a l m a c e n a d a e n e l c a p a c i t o r a n t e s y después d e i n t r o d u c i r l a p l a c a .

4 9 5

L a c a r g a e n e l c a p a c i t o r d e a i r e e s

Qo = C0V= ( 6 . 0 >< K ) - 6 F ) ( 1 0 2 V ) - 6 . 0 X i O"" 4 C S i e l e s p a c i o e n t r e l a s p l a c a s está l l e n o c o n dieléctrico, l a c a p a c i t a n c i a

a u m e n t a a

Q = K C 0 = 8 . 0 ( 6 . 0 / / , F ) = 4 8 jiF

C o m o l a c a r g a n o h a c a m b i a d o , e l v o l t a j e a través d e e s t e n u e v o y m a y o r c a p a c i t o r e s

(. 6 . 0 X 1 0 " 12.5 V l Si

CK 4 8 X 1 0 " 6

/míes d e i n t r o d u c i r c l dieléctrico, l a energía a l m a c e n a d a e s

E P t . = l g K ^ ( 6 - 0 X 1 ( r ; C ) ( 1 0 0 V ) - 3 . 0 X 1 0 - ^ J

Después d e i n t r o d u c i r e l dieléctrico, l a energía a l m a c e n a d a e s

„ „ 1 , ( 6 . 0 x l o " 4 C ) ( 1 2 . 5 V ) E P o E P , = - Q \ , = 1 1 = 0 . 3 7 5 x 1 0 - 2 J = — -

2 2 8 C o m o l a energía a l m a c e n a d a e n e l c a p a c i t o r e s menor s i e l a i s l a n t e e s e l

dieléctrico, s e d e d u c e q u e t e n d r e m o s q u e efectuar trabajo sobre el sistema para quitar ¡aplaca del dieléctrico, a u m e n t a n d o p o r e l l o l a energía a l m a c e n a d a . C a d a s i s t e m a n o r m a l m e n t e b u s c a l a configuración d e m e n o r energía p o t e n c i a ! . E n e s t e c a s o , e l dieléctrico será atraído a l e s p a c i o e n t r e l a s p l a c a s d e l c a p a c i t o r , y p o r e l l o l a energía d e ! s i s t e m a se reducirá.

E l t r a b a j o n e c e s a r i o p a r a s a c a r a l dieléctrico es l a d i f e r e n c i a e n t r e E P C y E P , . e s d e c i r ,

19.3 Energía electrostática de un capacilor; energía almacenada

en un campo eléctrico

W = E P , .:'.r<! 8

2 . 6 3 x 1 0 2 J

|

I

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A - o -

a

V b-±-2 t T

i c

+ 0 —Q

O •a

C 3

o — c r a—i S

F i g u r a 1 9 . 9 a) Combinación de tres capacitores en serie, b) C a p a c i t a n c i a equivalente de esta combinación.

F i g u r a 1 9 . 1 0 a) Combinación de tres capacitores en p a r a l e l o , b) C a p a c i t a n c i a equivalente de esta combinación.

F i g u r a 1 9 . 1 1 Citándose c i e r r a cl interruptor S p a r l e de ¡a carga de 2 4 0 /tC que i n i c i a l m e n t e residía en el capacilor de 8 fi¥ fluye h a c i a el capacitor 4 /jF. de modo que el voltaje a través de cada uno de los capacitores sea el mismo.

19 A Capacitores en combinaciones en serie y en paralelo S e d i c e q u e d o s o más c a p a c i t o r e s están c o n e c t a d o s en serie s i e l v o l t a j e t i a través d e l a combinación e s l a s u m a a l g e b r a i c a d e l a d i f e r e n c i a d e n o ; c i a l a través d e l o s c a p a c i t o r e s i n d i v i d u a l e s d e l a combinación. E n l a f i g 1 9 . 9 s e m u e s t r a n t r e s c a p a c i t o r e s c o n e c t a d o s e n s e r i e .

S e d i c e q u e d o s o más c a p a c i t o r e s están c o n e c t a d o s en paralelo ú s u s pía están c o n e c t a d a s a m o d o d e f o r m a r u n p a r d e s u p e r f i c i e s e q u i p o t e n c i a l e s , l a f i g u r a 1 9 . 1 0 s e m u e s t r a u n a combinación d e t r e s c a p a c i t o r e s e n p a r a n E n l a s c o m b i n a c i o n e s e n p a r a l e l o , l a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l e s i g u a l a t n d e l a combinación q u e a través d e c a d a u n o d e l o s c a p a c i t o r e s .

nal cali ra

• l o . vés

A - O -

b)

P a r a c u a l q u i e r combinación d e c a p a c i t o r e s , s i e m p r e e s p o s i b l e e n c o n t r a r u n a capacitancia equivalente; e s t o e s , u n c a p a c i t o r único d e c a p a c i t a n c i a a d e c u a d a p a r a q u e l a relación d e v o l t a j e c o n t r a c a r g a e n l a s t e r m i n a l e s d e l a combinación s e a l a m i s m a q u e l a relación d e v o l t a j e c o n t r a c a r g a d e l c a p a c i t o r e q u i v a l e n t e . E l c a p a c i t o r e q u i v a l e n t e r e s p o n d e a u n v o l t a j e a p l i c a d o c o m o l o h a c e l a combinación, y a c u m u l a l a m i s m a energía p a r a u n a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l d e t e r m i n a d a q u e l a combinación. C o m o es m u c h o m e j o r u t i l i z a r u n e l e m e n t o s e n c i l l o e n l o s cálculos q u e v a r i a s c a p a c i t a n c i a s d e d i f e r e n t e s v a l o r e s , h a y q u e s a b e r cómo r e d u c i r l a s c o m b i n a c i o n e s e n s e r i e o e n p a r a l e l o a s u s e q u i v a l e n t e s .

D e l a s d o s , l a combinación e n p a r a l e l o e s l a más fácil, p o r l o q u e s e estudiará p r i m e r o .

E n l a f i g u r a 1 9 . 1 0 a l a s p l a c a s c o n e c t a d a s a l a t e r m i n a l p o s i t i v a d e l a batería s e c o n e c t a n e n t r e sí; l a s p l a c a s c o n e c t a d a s a l a t e r m i n a l n e g a t i v a d e l a b a t e ría también están c o n e c t a d a s e n t r e sí. E n t o n c e s ,

v\ = v2=v. v

L a c a r g a e n c a d a c a p a c i t o r s e d e t e r m i n a p o r l a ecuación 1 9 . 2 :

<2. = C,K Q2 = C 2 V Q3 = C 3 V

S i s e q u i e r e r e e m p l a z a r e s o s t r e s c a p a c i t o r e s , p o r u n c a p a c i t o r único q u e a l m a c e n e l a m i s m a c a r g a t o t a l Q = Q¡ + Q2 + Q3 c u a n d o e l p o t e n c i a l e n t r e l a s t e r m i n a l e s e s V, l a c a p a c i t a n c i a d e e s e c a p a c i t o r d e b e s e r

r _Q_Qi + Q2

p v v Q 3 - c, + c\ + c 3

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m

P r a l , p a r a u n a combinación d e N c a p a c i t o r e s c o n e c t a d o s e n p a r a l e l o , 497

_ 7 9 . 4 Capacitores en 9 p ~ ¿¡L i ( 1 9 . 1 2 ) combinaciones en serie

P P

I

Ejemplo 19.6 E n l a f i g u r a 1 9 . 1 1 c l i n t e r r u p t o r S a l p r i n c i p i o está a b i e r t o y e l c a p a c i t o r d e 8 . 0 / / F t i e n e u n a c a r g a d e 2 4 0 /JC; e l c a p a c i t o r d e 4 . 0 juF está d e s c a r g a d o . E n c o n t r a r l a c a r g a e n c a d a c a p a c i t o r después d e c e r r a r e l i n t e r r u p t o r S .

Solución Después d e c e r r a r e l i n t e r r u p t o r S , l o s d o s c a p a c i t o r e s están c o n e c t a d o s e n p a r a l e l o . C o m o a l c e r r a r c l i n t e r r u p t o r n o c a m b i a l a c a r g a t o t a l e n e l s i s t e m a , e s t a c a r g a s e distribuirá d e m o d o q u e e l v o l t a j e d e c a d a u n o d e l o s d o s c a p a c i t o r e s s e a e l m i s m o .

L a c a p a c i t a n c i a d e l a combinación e n p a r a l e l o d e 8 . 0 ¡uF y d e 4 . 0 ¡uF e s d e 12.0 JUF. C o m o l a c a r g a t o t a l e n e s e c a p a c i t o r d e 1 2 . 0 uF e s d e 2 4 0 ¡uC, e l v o l t a j e a través d e e s a combinación e s

C 1 2 . 0 fiF

E n t o n c e s l a c a r g a e n e l c a p a c i t o r d e 8 . 0 uF será

<2„ = ( 2 0 V X 8 . 0 / i F ) = 1 6 0 fiC

y l a c a r g a e n e l c a p a c i t o r d e 4 . 0 /¿F será

Q4 = ( 2 0 V ) ( 4 . 0 uF) = 8 0 pC

A continuación se_analizará l a combinación e n s e r i e . S u p o n e m o s q u e l o s t r e s c a p a c i t o r e s d e l a f i g u r a 1 9 . 9 a i n i c i a l m c n i c estárTcíescargados, d e m o d o q u e e l v o l t a j e a través d e c a d a u n o d e e l l o s , así c o m o a través d e l a combinación, es c e r o a n t e s d e c e r r a r c l i n t e r r u p t o r S . D e n u e v o , q u e r e m o s d e t e r m i n a r cuál

§fc c a p a c i t o r único podría c o n e c t a r s e e n t r e l a s t e r m i n a l e s A y B d e l a f i g u r a 19.9¿> ^ p a r a que . e l a c u m u l a d o r s u m i n i s t r e l a m i s m a c a r g a a e s t e c a p a c i t o r e q u i v a l e n t e

q u e c u a n d o l a s u m i n i s t r a a l a combinación e n s e r i e d e l a f i g u r a 1 9 . 9 a . 9 Supóngase q u e l a batería d e p o s i t a u n a c a r g a +Q s o b r e l a p l a c a a d e l * c a p a c i t o r C , después d e c e r r a r e l i n t e r r u p t o r . E s t a c a r g a inducirá o t r a i g u a l , ^ p e r o o p u e s t a -Q e n l a p l a c a a' d e C , . S i n e m b a r g o , c o m o l a c a r g a t o t a l d e

c u a l q u i e r s u p e r f i c i e eléctricamente a i s l a d a d e b e p e r m a n e c e r c o n s t a n t e , l a 5> c a r g a t o t a l s o b r e l a s u p e r f i c i e e q u i p o t e n c i a l q u e c o m p r e n d e a l a p l a c a a' d e C , 1^ y l a p l a c a b d e C2 d e b e s e r c e r o . P o r c o n s i g u i e n t e , d e b e a p a r e c e r u n a c a r g a

p o s i t i v a +Q e n l a p l a c a b d e C2. S i g u i e n d o e l m i s m o r a z o n a m i e n t o , v e m o s q u e l a c a r g a e n e l c a p a c i t o r C3 también d e b e s e r Q.

•k Así, l a condición q u e d e b e s a t i s f a c e r s e p o r l a combinación e n s e r i e e s

B (2. = <?2 = Q> = Q

E l v o l t a j e i o t a ! e n t r e l a s t e r m i n a l e s ^ y B e s

H E l c a p a c i t o r único q u e almacenaría u n a c a r g a Q c u a n d o se a p l i c a r a u n a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l V e n t r e s u s p l a c a s , d e b e c u m p l i r c o n l a condición

_L _L — J_ c . " c, + a + c

y en paralelo

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4 9 8 Capacitores

3 0 V

F i g u r a 1 9 . 1 2 Un capacitor de 12 uF y otro de 6 uF se conectan en serie con u n a batería de 3 0 V.

E n g e n e r a l , p a r a A 7 c a p a c i t o r e s c o m b i n a d o s e n s e r i e , l a c a p a c i t a n c i a e q u i v a l e n t e s e d e t e r m i n a p o r

1 A T 1

2 - (15.13) c. I L >

E n e s t e c a s o , a u n q u e l a c a r g a e n c a d a u n o d e Jos c a p a c i t o r e s e n s e r i e e s l a m i s m a , s i n i m p o r t a r e ! v a l o r d e l a c a p a c i t a n c i a , e l v o l t a j e t o t a l s e d i v i d e e n t r e l o s c o m p o n e n t e s e n s e r i e e n proporción inversa a s u s c a p a c i t a n c i a s ; e l v o l t a j e m a y o r a p a r e c e a través d e l c a p a c i t o r c o n l a m e n o r c a p a c i t a n c i a .

Ejemplo 19.7 U n c a p a c i t o r d e 1 2 . 0 pF y o t r o d e 6 . 0 pF se c o n e c t a n e n s e n e c o n l a s t e r m i n a l e s d e u n a batería d e 3 0 V , c o m o e n l a f i g u r a 1 9 . 1 2 . D e t e r m i n a r l a c a p a c i t a n c i a e q u i v a l e n t e d e e s a combinación e n s e r i e , l a c a r g a e n c a d a c a p a c i t o r y e l v o l t a j e e n c a d a u n o d e l o s c a p a c i t o r e s .

Solución L a c a p a c i t a n c i a e q u i v a l e n t e d e l a combinación e n s e r i e s e d e t e r m i n a p o r l a ecuación 1 9 . 1 . 3 , s i e n d o A 7 = 2 , e s d e c i r ,

_ 1 _ C ,

_ 1 _

C2

1

C s C , C 2 1 2 . 0 pF 6.0 pF 4 . 0 pF L a c a p a c i t a n c i a e q u i v a l e n t e d e e s t a combinación e n s e r i e d e 1 2 . 0 u F y

6 . 0 pF e s u n c a p a c i t o r d e 4 . 0 pF. L a c a r g a q u e s e depositaría e n e s t e c a p a c i t o r e q u i v a l e n t e m e d i a n t e l a batería

d e 3 0 V s e d e t e r m i n a p o r l a ecuación 1 9 . 2 ,

Q = CV= ( 4 . 0 X ¡ O - 6 F ) ( 3 0 V ) = 1 2 0 p C

E s t a e s también l a c a r g a q u e f l u y e e n c a d a u n o d e l o s c a p a c i t o r e s e n s e r i e ; l o s v o l t a j e s c o r r e s p o n d i e n t e s s o n e n t o n c e s

t , _ 1 2 0 pC

V,

\2.QpF

1 2 0 pC

= 1 0 V

= 2 0 V 6 . 0 pF

O b s e r v e q u e e l v o l t a j e t o t a l a través d e l a combinación s e d i v i d e e n proporción i n v e r s a a l a c a p a c i t a n c i a ; e s t o e s , p a r a l a combinación d e d o s c a p a c i t o r e s e n s e r i e ,

v2 Ci

Resumen

U n capacitor c o n s i s t e d e d o s c u e r p o s c o n d u c t o r e s s e p a r a d o s p o r u n a i s l a d o r . L a capacitancia d e u n c a p a c i t o r s e d e f i n e c o m o l a relación

<4 s i e n d o Q l a c a r g a e n u n a s u p e r f i c i e c o n d u c t o r a y Vía d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l e n t r e l a s s u p e r f i c i e s c o n d u c t o r a s .

L a c a p a c i t a n c i a d e u n c a p a c i t o r d e placas paralelas e s „ A

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. i c n d o A ' J a constante dieléctrica d e l m a t e r i a l a i s l a d o r e n t r e l a s p l a c a s metálicas , e ^ l a permitividad del espacio vacío, A e l área d e c a d a u n a d e l a s p l a c a s d e l c a p a c i t o r y d l a separación e n t r e l a s p l a c a s . L a c o n s t a n t e dieléctrica d e l a i r e es l a u n i d a d ( a t r e s c i f r a s s i g n i f i c a t i v a s ) ; e n l a t a b l a 1 9 . 1 s e m e n c i o n a n l a s c o n s t a n t e s dieléctricas d e v a r i o s l íquidos y sól idos a i s l a n t e s .

¡ara c a r g a r u n c a p a c i t o r i n i c i a l m c n l e d e s c a r g a d o h a y q u e c o n s u m i r e n e r gía. E s a energía q u e d a a l m a c e n a d a e n c l c a p a c i l o r c o m o energía p o t e n c i a l electrostática; s u v a l o r s e d e t e r m i n a p o r

2 Í C F 2 = Í 2 ! 2 2 C

L o s c a p a c i t o r e s a v e c e s se c o n e c t a n eléctricamente e n combinaciones en serie o en paralelo. L a c a p a c i t a n c i a , q u e e s e q u i v a l e n t e a N c a p a c i t o r e s c o n e c t a d o s e n p a r a l e l o , s e d e t e r m i n a p o r

N

L a c a p a c i t a n c i a e q u i v a l e n t e d e u n a combinación e n s e r i e e s

1 £ 1 - 2 ' c,

499 Prcguiuas de opción múltiple

Preguntas de opción múltiple 19.1 U n c a p a c i t o r de p l a c a s p a r a l e l a s , de a i r e , se

c o n e c t a a u n a batería. M i e n t r a s está c o n e c t a d o a l a batería, se i n t r o d u c e u n dieléctrico c u y a c o n s t a n t e dieléctrica es 2 , l l e n a n d o e l e s p a c i o e n t r e l a s p l aca s . L a energía a l m a c e n a d a e n e l c a p a c i t o r an t e s de i n t r o d u c i r e l dieléctrico es E 0 . L a energía a l m a c e n a d a después de i n t r o d u c i r e l d i e léctrico es E t . L a relación EdEo es

a i 1/4. c ) l . e ) 4 . b ) 1/2. d ) 2 . 1 3 . 2 U n c a p a c i t o r se c a r g a c o l o c a n d o ca rgas +Q y -Q

en sus p l a c a s . L a s i g u i e n t e afirmación es l a c o r r e c t a .

a ) L a energía a l m a c e n a d a en e i c a p a c i t o r es QVI2. •• b) E l p o t e n c i a l e n c l c a p a c i t o r es CIQ.. c ) E i p o t e n c i a l e n c l c a p a c i t o r es Q C . d) L a energía a l m a c e n a d a e n e l c a p a c i t o r es Q2C/2. 1 9 . 3 S e c o n e c t a n en s e r i e t r e s c a p a c i t o r e s , c u y a s ca

p a c i t a n c i a s s o n C < C < C . E n t o n c e s , 1 a b e '

a) l a c a p a c i t a n c i a e q u i v a l e n t e es m a y o r que C . b) la c a p a c i t a n c i a e q u i v a l e n t e es m a y o r que C:i, p e r o m e n o r q u e C . c) l a c a p a c i t a n c i a e q u i v a l e n t e es m e n o r q u e C•. d) n i n g u n a de l a s a f i r m a c i o n e s a n t e r i o r e s n e c e s a r i a m e n t e es c o r r e c t a . 1 9 . 4 C o n las t e r m i n a l e s de u n a batería se c o n e c t a n e n

ser ie d o s c a p a c i t o r e s d e s i g u a l e s i n i c i a l m e n t e d e s c a r g a dos . Señalar l a afirmación c o r r e c t a .

a) E l p o t e n c i a l e n cada c a p a c i t o r es e l m i s m o . b ) L a c a r g a e n cada c a p a c i l o r es i a m i s m a . c) E l c a p a c i t o r m a y o r tendrá la ca rga m a y o r .

d ) E l c a p a c i t o r m a y o r tendrá e l m a y o r p o t e n c i a l . e ) L a energía a l m a c e n a d a e n c a d a c a p a c i t o r es l a m i s m a . , , 1 9 . 5 U n c a p a c i t o r de p l a c a s p a r a l e l a s está c o n e c t a d o

a u n a batería q u e t i e n e u n v o l t a j e c o n s t a n t e e n t r e sus t e r m i n a l e s . S i e n t o n c e s se s e p a r a n l a s p l a c a s d e l c a p a c i t o r ,

a ) d i s m i n u y e n t a n t o e l c a m p o eléctrico c o m o i a c a r g a e n l a s p l a c a s . b ) e l c a m p o eléctrico p e r m a n e c e c o n s t a n t e , p e r o la c a r g a e n l a s p l a c a s a u m e n t a . c ) e l c a m p o eléctrico p e r m a n e c e c o n s l a n i e , p e r o ¡a c a r g a e n las p l a c a s d i s m i n u y e . tí) e l c a m p o eléctrico a u m e n t a , p e r o l a c a r g a e n las p l a c a s d i s m i n u y e .

1 9 . 6 U n c a p a c i t o r de a i r e c o n p l a c a s p a r a l e l a s t i e n e u n a c a r g a Q. C u a n d o se i n t r o d u c e u n dieléctrico c o n K - 3 e n t r e l a s p l a c a s ,

a ) e l v o l t a j e en e l c a p a c i l o r d i s m i n u y e en u n f a c t o r de 3 . b ) e l v o l t a j e e n e l c a p a c i t o r a u m e n t a e n u n f a c t o r de 3 . c ) l a c a r g a e n l a s p l a c a s a u m e n t a e n u n f a c t o r de 3 . d ) l a c a r g a e n l a s p l a c a s d i s m i n u y e e n u n f a c t o r de 3 . e ) n o sucede n i n g u n o de l o s e f e c t o s an t e s c i t a d o s .

1 9 . 7 D o s c a p a c i t o r e s i g u a l e s , q u e i n i c i a l m e n t e es ta b a n d e s c a r g a d o s , se c o n e c t a n e n s e r i e a l as t e r m i n a l e s de u n a batería de 1 0 V . S i sólo u n o de esos c a p a c i t o r e s se c o n e c t a e n t r e esa batería de 1 0 V , la energía a l m a c e n a d a e n él es £ r L a energía t o t a l a l m a c e n a d a c u a n d o se c o n e c t a a l a balería la combinación e n s e r i e es

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