県トレ・特色検査　問題編

- 33 -

練習問題 4数学の発展的問題

問１ハワイ島にある、世界最大の光学望遠鏡（2013 年現在）「すばる」の主鏡は、加工そのものの精度の高さと、アクチュエイターによ

る微調整によって、空前の高精度が達成されている。主鏡の直径 8.2m に対し、表面の歪ひず

み（でこぼこ）の許容範囲は 12nm（ナノメートル）である。では、「すばる」の主鏡を関東平野（およそ直径 80km の円にあたる）の大きさに拡大すると、歪みの許容範囲はどのくらいになるかを、1nm を 10 億分の 1m として数値を求め、次の説明文を完成させなさい。なお、空欄［　Ａ　］にふさわしい素材の名を後の語群から選んで書き、［　Ｂ　］にはふさわしい 1 けたの整数を答えなさい。

■説明文　すばるの主鏡を関東平野だとすると、表面の歪みの許容範囲は［　Ａ　］およそ［　Ｂ　］枚分である。［　Ａ　］の素材　一円玉（1.5mm)・新聞紙 (0.1mm)・セロハンテープ（0.05mm)・金閣寺の金箔 (0.001mm)

〔Ａ　　　　　　　　　　　　　　　/B　　　　　　　　枚分 〕

問２円周率が３以上であることを証明しなさい（解答は下の空欄に書くこと・考える際に右の図を用いてもよい）。

問３18 世紀、北東ヨーロッパの都市ケーニヒスベルク（現ロシア・カリーニン

グラード）で、次のような問題が話題となっていた。「右上の図のような、川とその川に架かる a 〜 g の 7 本の橋がある。この 7

つの橋を全部、しかも 1 回だけ通って散歩ができるか。」スイスの数学者レオンハルト・オイラー (1707 〜 1783) は、この問題を、陸

地（A 〜 D）を点に、橋（a 〜 g）を線分として、右下のような図に置き換えて考えた。結果、この問題は「不可能である」ことが証明できた。

この問題は、一筆書き問題とも呼ばれ、下の図について、左側の図 1 は一筆で書くことが可能である。中央の図 2 は、一筆で書くのは不可能で、右側の図 3 は、A か B のどちらかからスタートさせたときのみ一筆で書くことができる。これは、各点に集まる線分の数に着目すると判断が可能である。

以上を参考にして、a 〜 g の橋のうち、1 本だけを通行止めにして、すべての橋を回れるようにしたい。点 A を出発点とするとき、どの橋を通行止めにすればよいか答えなさい。ただし、動ける範囲は図にある範囲のみとし、「船で渡る」などといった方法は使えないものとする。

〔　　　　　　　　　　　　　　 〕

県トレ・特色検査　問題編

- 3� -

練習問題 5

数学の発展的問題

四つ以上の面で囲まれた立体を、多面体と呼ぶ。すべての多面体の間には、「オイラーの多面体定理」という有名な定理がある。この定理は、次のような式で表される。

　　式　　A ＋ B － C ＝ 2

このことについて、次の問いに答えなさい。

(1)　上の「式」において A、B、C は、それぞれ何を表すか。次のア〜カの中から一つずつ選び、記号で答えなさい。　ア　多面体の面の数　　 イ　一つの頂点に集まる面の数　　 　ウ　多面体の頂点の数　エ　多面体の辺の数　　 オ　一つの頂点に集まる辺の数　　 　カ　多面体の表面積

〔A　　　　　　　　/B　　　　　　　　/C　　　　　　　　〕

(2)　正六面体と正五面体からなる多面体は、サッカーボールの形として有名である。サッカーボールは、頂点の数が 60、辺の数が 90、一つの頂点に集まる面の数、辺の数ともに 3 である。これらを利用して、サッカーボールは何面体であるかを求め、答えなさい。

〔　　　　　　　　　　　　　　〕

(3)　 正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五つしかない。次の文章は、このことをオイラーの多面体定理で説明したものである。文章中の（　　　）にあてはまる語句や式を、下のア〜ツの中からそれぞれ一つずつ選び、記号で答えなさい。

一つの頂点に集まる面の数に着目する。多面体は、一つの頂点には少なくとも 3 面が集まらなければ組み立てることができない。ここから、正多面体に使える面の形は、（　①　）、（　②　）、（　③　）の三つの場合が考えられる。

面の形が（　①　）の場合を考える。この場合、一つの頂点のまわりに並べられる面は、最大で 5 枚である。正多面体のすべての面の数が n 枚であるとする。（　①　）の辺の数は 3 本であるが、多面体を組み立てるときには 2 本の辺を合わせて 1 本の辺にするため、正多面体のすべての辺の数は n を用いて表すと（　④　）本となる。

また、（　①　）の頂点の数は 3 個である。（　①　）が一つの頂点に 3 面集まったときは、正多面体のすべての頂点の数は n個になる。ここで、オイラーの多面体定理を使うと、この場合の正多面体は（　⑤　）になることがわかる。（　①　）が一つの頂点に 4 面集まったときと 5 面集まったときも同様に考えると、4 面集まったときの正多面体は（　⑥　）、

5 面集まったときの正多面体は（　⑦　）になることがわかる。次に、面の形が（　②　）の場合を考える。この場合、一つの頂点のまわりに並べられる面は 3 枚である。正多面体のすべて

の面の数が n 枚であるとする。（　②　）の辺の数は 4 本であるが、多面体を組み立てるときには 2 本の辺を合わせて 1 本の辺にするため、正多面体のすべての辺の数は 2n 本となる。（　②　）の頂点の数は 4 個である。一つの頂点には 3 面が集まるので、正多面体のすべての頂点の数を n を用いて表すと（　⑧　）個になる。ここで、オイラーの多面体定理を使うと、この場合の正多面体は（　⑨　）になることがわかる。

面の形が（　③　）の場合も同じように考えれば、正多面体は（　⑩　）になることがわかる。よって、正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の 5 種類しかない。

　ア　n　　　イ　 n　　　ウ　2n　　　エ　 n　　　オ　3n　　　カ　 n　　　キ　 n　　　ク　 n　　ケ　正三角形　　　コ　正四面体　　　サ　正方形　　　シ　正五角形　　　ス　正六面体　　　セ　正六角形　ソ　正八面体　　　タ　正八角形　　　チ　正十二面体　　　ツ　正二十面体

〔①　　　　　　　　/ ②　　　　　　　　/ ③　　　　　　　　/ ④　　　　　　　　/ ⑤　　　　　　　　　

/ ⑥　　　　　　　　/ ⑦　　　　　　　　/ ⑧　　　　　　　　/ ⑨　　　　　　　　/ ⑩　　　　　　　　〕

question４　理科・社会の発展的問題 はじめに

県トレ・特色検査　問題編

- �6 -

通信手段の 1 つであるファクシミリの仕組みを説明する。まず、紙の内容を、縦・横のマス目に分けて読み取る。これを、マス目データと呼ぶ。次に、マス目データの白の部分を 0、黒の部分を 1 で表したデータにする。このデータを、数データと呼ぶ。さらに、通信速度を向上させるために、数データの量を減らす。このことを圧縮といい、以下のルールで行う。1 行ごとに左から右へ、「0 がいくつ並ぶか」「1 がいくつ並ぶか」「0 がいくつ並ぶか」「1 がいくつ並ぶか」…を順に数で表す。

これによってできたデータを圧縮データと呼ぶ。「数データの個数をもとにしたときの、圧縮データの個数の占める割合」のことを、圧縮率と呼ぶ。

なお、この「圧縮」はコンピュータやテレビのなどのさまざまなデータの保管や通信に用いられる方法の基本的な原理でもある。

(1)　左下の図の圧縮データは、ある 4 ケタの整数を表している。その整数を答えなさい。なお、右側のマス目は解答を求めるのに使用してよい。

〔　　　　　　　　　　　　　　 〕

(2)　(1) の整数が、西暦年号を表すとした場合、その年号があてはまるのは、次のア〜カのできごとのうちのどれとどれの間になるか。年号のすぐ前とすぐ後のできごとをそれぞれ記号で答えなさい。

ア　不平士族らが鹿児島で政府に対する反乱を起こした。 イ　朝鮮半島で大規模な農民の反乱が発生し、我が国が勝利する戦争に発展した。 ウ　日本の歴史上初の選挙による国会議員の決定が行われた。 エ　バルカン半島の都市でオーストリア皇太子夫妻が殺害された。 オ　日本はロシアとの間の条約で、北緯 50°以南の樺太を手に入れた。 カ　陸軍の将兵が政府の要人を暗殺し、東京の都心を占拠する事件が起きた。

〔前　　　　　　　/ 後　　　　　　　〕

(3)　下の 8 × 8 のマス目データを圧縮データにしたとき、圧縮率はいくつになるか。小数第 2 位を四捨五入して、百分率で答えなさい。

〔　　　　　　　　　　　　パーセント 〕

練習問題 4パズル的問題

県トレ・特色検査　問題編

- �7 -

問1m を自然数とする。原点 O、A（ m, 0 ）、B（ m, 3m ）、C（ 0, 3m ） の 4 つの点を頂

点とする長方形 OABC がある。長方形 OABC の周上および対角線 AC 上にある、x 座標、y 座標がともに整数である点を○で表し、白い点とよぶことにする。また、△ OACおよび△ ABC の内部にある、x 座標、y 座標がともに整数である点を●で表し、黒い点とよぶことにする。

図のように、たとえば、m ＝ 3 のとき、白い点の個数は 26 個、黒い点の個数は 14 個である。

このとき、次の問いに答えよ。

(1)　m ＝ 4 のとき、白い点の個数および黒い点の個数を求めよ。

〔白い点　　　　　　　　　　個 / 黒い点　　　　　　　　　　個 〕

(2)　白い点の個数が 458 個である m の値を求めよ。また、そのときの黒い点の個数を求めよ。

〔m の値　　　　　　　　　　　/ 黒い点　　　　　　　　　　個 〕

問２図 1 のように 4 × 4 に並んだ 16 個の○の中に、次の 2 つの条件を満たすように A、B、C、D の文字を配置するパズルを考える。

　条件 1　縦、横、斜めの直線上に並ぶ 4 つの○の中には、A、B、C、D のすべてが入る。　条件 2　グレーの四角形に含まれる 2 × 2 に並んだ 4 つの○の中には A、B、C、D のすべてが入る。

(1)　図 2 のような A、B、C、D の配置を含むパズルの解を下の欄を利用して 2 つ示しなさい。

(2)　図 3 のような A、B、C の配置を含むパズルの解は何通りあるか答えなさい。

〔　　　　　　　　　　通り 〕

練習問題 5パズル的問題

yB

xO A

C

県トレ・特色検査　問題編

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練習問題 3データ読解問題

問１　ある映画の前売り券または当日券を購入して鑑賞した客の全員に対して、映画の内容に「満足した」または「満足しなかった」の二者択一によるアンケート調査が行われ、全員から回答が得られた。次の①〜③のことがわかっているとき、次の１〜４の中から、このアンケート結果を表す図として確実に正しいといえるものを一つ選び、その番号を答えなさい。ただし、前売り券と当日券の両方を購入した客はいなかったものとする。

　①　「満足した」と回答した客の人数と「満足しなかった」と回答した客の人数は等しかった。　②　アンケートに回答した客の 40％が前売り券を購入していた。　③　「満足しなかった」と回答した客の 80% が当日券を購入していた。

１ ２

３ ４

前売り券で満足

しなかった 2％

前売り券で満足

した 32％

当日券で満足

しなかった 48％

当日券で満足

した 18％

前売り券で満足

しなかった 25％

前売り券で満足

した 15％

当日券で満足

しなかった 55％

当日券で満足

した 5％

当日券で満足

しなかった 40 人

前売り券で満足

しなかった 10 人

前売り券で満

足した 30 人

当日券で満足

した 20 人

当日券で満足

しなかった 40％

前売り券で満足

しなかった 10％

前売り券で満

足した 30％

当日券で満足

した 20％

〔　　　　　　　　　　　　 〕

問2　下のようなグラフを「三角グラフ」と呼ぶ。三角グラフは、三つの構成要素の比率を表すのに用いられる。図 I は、ある年のある高校について、通学手段 ( 徒歩、バス、電車のうち、主要なものの一つ ) 別の生徒の割合 ( 単位：%) を示したものであり、矢印の向きに数値を読み取ることによって . 徒歩通学が 30%、バス通学が 50%、電車通学が 20% であるとわかる。　図 II は、A、B、C の三つの高校について、1995 年と 2015 年における通学手段別の生徒の割合を示したものである。図 II から確実に正しいといえるのはあとの 1 〜 5 までのうちのどれか。一つ選び、番号を答えなさい。

　　100%

100% 50

50

20

20

00 100%

50

0

電車

徒歩 バス

100%

100% 50

50

20

20

00 100%

50

0

電車

徒歩 バス

Ａ校Ｂ校

Ｃ校

Ａ校Ｂ校

Ｃ校

〇：1995 年

●：2015 年　　　

　1．3 校のうち 1 校、2015 年における徒歩通学の生徒の割合とバス通学の生徒の割合が等しい。　2．3 校とも、バス通学の生徒の割合は、1995 年よりも 2015 年の方が高い。　3．1995 年における徒歩通学の生徒の割合は、3 校のうち A 校が 2 番目に高い。　4．2015 年における電車通学の生徒の数は、3 校のうち B 校が最も多い。　5．1995 年と 2015 年を比較すると、C 校については、電車通学の生徒の割合が変わっていない。

〔　　　　　　　　　　　　 〕

図 I 図 II

県トレ・特色検査　問題編

- 6� -

練習問題 4データ読解問題

問1　次の資料1、資料2は、社会科の授業で、さくらさんが、ごみ排出量とリサイクル率についてまとめるために用意したものである。資料１、資料 2 から読み取れることとして最も適当なものを、あとのア〜エのうちから一つ選び、その記号を書きなさい。

エチオピア

インド

オーストラリア

アメリカ合衆国

ブラジル

110

329

769

983

852

国土面積( 万㎢ )

9696

129529

2362

31945

20608

人口( 万人 )

386

1561

60167

56031

11493

1 人あたりのGNI( ドル )

事業系ごみ

279

259259

279

( 注 )　生活系ごみと事業系ごみを足しても、１人１日当たりのごみ排出量にならない場合がある。

( 資料 1、資料 2とも、「環境省ホームページ」より作成 )

平成 10 年度 平成 15 年度

11181017

11061056

平成 20 年度

1033 1037

平成 25 年度

958 956

平成 28 年度

925 913

0

400

600

800

1000

1200( g/ 人日 ) ( % )

5

0

10

15

20

25

30

200

１人１日当たりのごみ排出量

リサイクル率

１人１日当たりのごみ排出量■ 全国　■ 千葉県

リサイクル率　 全国　　 千葉県

(注 )　g/ 人日は１人１日当たりのごみ排出量を表す単位。

生活系ごみ

736

646

全国の１人１日当たりのごみ排出量 千葉県の１人１日当たりのごみ排出量

平成 10 年度

平成 28 年度

事業系ごみ

382

278

生活系ごみ

738

654

資料 1 1 人 1 日当たりのごみ排出量及びリサイクル率の推移

資料 2　平成 10 年度及び平成 28 年度の 1人１日当たりのごみ排出量の内訳（ｇ/人日 )

ア 平成 10 年度、平成 15 年度、平成 20 年度、平成 25 年度及び平成 28 年度における全ての年度で、１人１日当たりのごみ排出量は千葉県が全国より少なく、平成 10 年度及び平成 28 年度の１人１日当たりの事業系ごみ排出量も千葉県が全国より少ない。

イ 平成 10 年度、平成 15 年度、平成 20 年度、平成 25 年度及び平成 28 年度における全ての年度で、リサイクル率は千葉県が全国より高く、平成 10 年度及び平成 28 年度の１人１日当たりの生活系ごみ排出量は千葉県が全国より少ない。

ウ 平成 10 年度と平成 28 年度を比較すると、１人１日当たりのごみ排出量、１人１日当たりの生活系ごみ排出量及び１人１日当たりの事業系ごみ排出量における千葉県と全国の差は小さくなっている。

エ 平成 10 年度と平成 28 年度を比較すると、リサイクル率における千葉県と全国の差は小さくなり、１人１日当たりのごみ排出量に占める生活系ごみと事業系ごみの割合は、千葉県では事業系ごみの割合が高まっている。

〔　　　　　　　　　　　　 〕

問2　次の表は、2014 年における国土面積、人口、１人あたりのＧＮＩ、農地面積、牛の家畜頭数、牛乳生産量を示したものです。表から読みとれる内容を述べた文として正しいものを、下のア〜オの中からすべて選び、その記号を書きなさい。

エチオピア

インド

オーストラリア

アメリカ合衆国

ブラジル

110

329

769

983

852

国土面積( 万㎢ )

9696

129529

2362

31945

20608

人口( 万人 )

耕地・樹園地

牧場・牧草地

386

1561

60167

56031

11493

1626

16936

4731

15721

8659

2000

1024

35896

25100

19600

1 人あたりのGNI( ドル )

3626

17960

40627

40821

28259

農地面積( 万 ha )

5671

18700

2910

8853

21237

牛の家畜頭数( 万頭 )

334

6642

954

9346

3512

牛乳生産量( 万ｔ)

( 世界国勢図会　2017/18 年版などから作成 )

事業系ごみ

279

259

平成 10 年度 平成 15 年度

11181017

11061056

平成 20 年度

1033 1037

平成 25 年度

958 956

平成 28 年度

925 913

0

400

600

800

1000

1200( g/ 人日 ) ( % )

5

0

10

15

20

25

30

200

１人１日当たりのごみ排出量

リサイクル率

１人１日当たりのごみ排出量■ 全国　■ 千葉県

リサイクル率　 全国　　 千葉県

(注 )　g/ 人日は１人１日当たりのごみ排出量を表す単位。

生活系ごみ

736

646

全国の１人１日当たりのごみ排出量 千葉県の１人１日当たりのごみ排出量

平成 10 年度

平成 28 年度

事業系ごみ

382

278

生活系ごみ

738

654

資料 1 1 人 1 日当たりのごみ排出量及びリサイクル率の推移

資料 2　平成 10 年度及び平成 28 年度の 1人１日当たりのごみ排出量の内訳（ｇ/人日 )

ア アメリカ合衆国とエチオピアを比べると、人口密度はアメリカ合衆国の方が高い。イ オーストラリアとブラジルを比べると、農地面積に占める牧場・牧草地の割合はオーストラリアの方が高い。ウ ５か国のうち、農地面積に占める耕地・樹園地の割合が最も高い国は、インドである。エ ５か国においては、国土面積が大きい順に、１人あたりのＧＮＩが多い。オ ５か国においては、牛の家畜頭数が多い順に、牛乳生産量が多い。

〔　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 〕

県トレ・特色検査　問題編

- 6� -

練習問題 5データ読解問題

問1ギターの弦 1 本を使って、弦をはじいたときに出る音の高さとそのときの弦の長さの関係を調べることにした。図 1 のように、指で

弦を押さえて、アの部分をはじいて音を出し、はじいた側の弦の長さを測った。図 2 は弦を押さえる指の位置を変えて、ハ長調の音階になるように音を出して、音の高さと弦の長さの関係を表したものである。

図１

図２

図３

図 2 から、弦の長さが半分になっているところを調べ、弦の長さと音の高さに規則があることを見つけた。この規則を使って、図 3

の高さの音を出したい。このときの弦の長さは何 cm か、求めなさい。

〔　　　　　　　　　　　　 〕

問2おいしいご飯を作りたいと思い、図書室で調べていたところ、「おいしいご飯を作るための方法」という題名の記事を見つけた。そ

の内容を要約すると、次の２つになる。

　○　使う水は、洗う前の米に対して 1.5 倍の重さにすること。　○　炊き上がったご飯は、洗う前の米に対して 2 〜 2.2 倍の重さになるのが理想。

以上の内容から、次の１〜４のうち、おいしいご飯を作るための条件として適切といえるものには○，適切とはいえないものには×を書きなさい。ただし、お米 1 合は 150g であるとする。

　１．お米：3 合、水：675g、炊き上がり：1125g　２．お米：5.5 合、水：1200g、炊き上がり：1650g　３．お米：2 合、水：450g、炊き上がり：645g　４．お米：4 合、水：900g、炊き上がり：1248g

〔１　　　　　　　　/ ２　　　　　　　　/ ３　　　　　　　　/ ４　　　　　　　　〕