Eduardo Espinoza Ram Graduado y Titulado en Matemt

Catedrtico de las principales Universidades de la Capital

B R A S P U B L I C A D A S J i

. !Ilk$r' "(Vil

U B E J

m

1 r T:W -~*VW / T (X) * V Variable Compleja y sus Aplicaciones Solucionarlo de Anlisis Matemtico por Deminovich tomo I, II, III Solucionarlo de Anlisis Matemtico por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemtica Aplicada a la Administracin y Economa por

E.WEBER. Solucionado de Leithold 2da. Parte. Geometra Vectorial en R2 Geometra Vectorial en R3

SOLUCION ARIO DE B. MAKARENKO

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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Eduardo (Espinoza RamosLim a - P e r

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS

SOLUCIONARIO

A. KI SEL ION - M. Krsnov - G. MAKARENKO

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

LIMA - PER

IMPRESO EN EL PERU

Fecha de publicacin Ejemplares impresos Nmfo de edicin Autor*

0 9 - 0 2 - 2 0 1 0 1 0 0 0 libros 3a EDICINEduardo*Espinoza Ramos

Este libro no puede reproducirse total parcialmente por ningn mtodo grfico, electrnico o mecnico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magniicos o de alimentacin de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor.

DERECHOS RESERVADOS D.L. N 822Derechos copyright Edukperu 2009 reservados

RUC N 20520372122Ley de Derechos del Autor N 13714Hecho el depsito legal en la Biblioteca Nacional del Percon el nmero N 2007-12593

PROLOGO

La presente obra intitulada Ejercicios y Problemas de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias Solucionario del libro de Makarenko y otros autores, en su

3ra. Edicin, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos

fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, as como

sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homognea y no

homogneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales

de coeficientes variables, solucin de ecuaciones diferenciales por series de potencias,

sistemas de ecuaciones diferenciales, solucin de ecuaciones diferenciales lineales por

medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por

medio de Transformada de Laplace.

El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formacin de los

futuros profesionales en las reas de ciencia e ingeniera, tanto en los aspectos

cientficos, como tcnicos relacionadas con la impresin.

Deseo expresar mi ms profundo agradecimiento a mis colegas del rea de

matemtica de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han

contribuido para mejorar ste trabajo. Tambin mi reconocimiento especial al Doctor

Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento est contribuyendo en mis trabajos,

a fin que el beneficiado sea el estudiantado.

Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis

publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su

avance y desarrollo intelectual.

Eduardo Espinoza Ramos

IN D IC E

Pag.

1. Conceptos Fundamentales. i

2. Ejercicios de Verificacin. 2

3. Ecuacin con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas 14

4. Ecuaciones Homogneas y Reducibles a ellas 48

5. Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuacin de Bemoulli 72

6. Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante 100

7. Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto

a la derivada. 130

8. Ecuacin de Lagrange y Clairout 143

9. Composicin de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de

curvas, problemas de Trayectorias. 154

10. Soluciones Singulares 166

11. Diversos Problemas 175

12. Ecuacin Diferencial de orden superior, Reduccin del orden

de la ecuacin. 196

13. reduccin del orden de la Ecuacin 210

14. Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n 245

15. Ecuaciones Lineales Homogneas de coeficientes constantes

16. Ecuaciones Lineales no Homogneas de coeficientes Constantes

17. Ecuacin de Euler

18. Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables

19. Composicin de la Ecuacin Diferencial dado el Sistema

Fundamental de Soluciones

20. Integracin de las Ecuaciones Diferenciales mediante series

21. Sistemas de Ecuacin Diferencial de coeficientes constantes

22. Reduccin de un sistemas a una Ecuacin Diferencial de orden n

23. Mtodo Operacional y su aplicacin para la resolucin de

Ecuacin Diferencial

24. Propiedades de Transformada De Laplace

25. Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con

Transformada de Laplace).

26. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada

de Laplace

27. Apndice

j

ni38U33 i 3b ks

260

272

333

345

394

396

430

431

454

455

470

489

510

ICONCEPTOS FUNDAMENTALES!

Una ecuacin diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la funcin incgnita y = y(x) y sus derivadas; y^n): es decir: es una ecuacin de laforma.

Si la funcin incgnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuacin diferencial se llama ecuacin diferencial ordinaria.

El orden de una ecuacin diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuacin.

Se llama solucin de la ecuacin diferencial a una funcin y = \|/(x), determinada en el intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al hacer la sustitucin y = \|/(x) en la ecuacin diferencial, esta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b).

La grfica de una solucin de la ecuacin diferencial se denomina curva integral de la ecuacin.

La forma general de una ecuacin de primer orden es:

F ( x , y ; f ) = 0

Si en la ecuacin (1) es posible despejar y ' , resulta;

. . . (2)

Que representa una ecuacin de primer orden, resuelta con respecto a la derivada.

1

Verificar, en los ejercicios que se dan a continuacin, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas.

sen*11.- y = -------, xy'+y = eos*

xSolucin

y - scn y'= x cos* se.n. 9 reemplazando en la ecuacin dada.

jc eos jc-sen* sen* x 2 co sx -x sen x sen*2 y v2X * *

senx senx = eos X---------+ ------- -- eos X

X X

.*. xy'-Hy = cosx

12. - >> = ce2jr+ , y + 2j = e*

Solucin

_ c e ~2jr + _ => y = - 2c e _2jr + , reemplazando en la ecuacin dada.

i "\lp fii-X ex

y'+2y = -2ce~lx + + 2ce~Zr +2 = e x3 3

y'+2y = e x

13.- >> = 2 + c V l- x 2 , ( l - j c 2)y+xy = 2x

Solucin

y = 2 + cV i- * 2 => y=-ex

2

( l - j r 2).y'+jrv = - ( l - x 2) ^ = r + x(2 + cV l-x 2) = - V l- x 2cc + VTV l-J -x2

(1 - j t 2)j '^+jcv = 2jc

14.- j = x V l - x 2", >y= x - 2 x 3

Solucin

.y = W l - * 2 => / = V l - x 2 ------= T 2*V i- * 2 V i- * 2

r. 5". 1 2jc ,= W l - s ( ,----- - ) = s - 2 x 3

>y' = JC-2:c3

15.- , = , x /= > ;tg (ln j;)

Solucin

aresenexj; = ^aresener ^ l =

'Jl -(cx)2

X c e * m c x x c yxy - r - - = ^ = tg(ln_v).^

V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(cx)2

x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex =>

tg(lny) = v h ^ F

f* 216.- ^ = e J0 dt+ceX > y ' - y = e

- x 2cx + 2x

3

Solucin

y = e * J * e ' 1 d t + c e * = > y ' = e x e ' 2 d t + e * . e * ' + c e * , reemplazando

y - y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e *~* .e*1

y ' - y = ex+j;2

f * sen t17.- y = x \ ~ d t , x y = y + Jo t

xsenx

Solucin

ex Sen t Cx sen i sen x r > sen t .v x l ------ dt ^ y' = I dt + x - I dt + sen xy J0 t 7 Jo t X Jo t

r* sen t r*senxy= x ( ------ Xy _ J dx + c)=> / = J dx + c + e* \ reemplazando en la ecuacin dada.

x f *xy'-y = x( dx + x + ex) - x ( | dx + c)

J x J x

e x f e x dx + xc + xc x I - dx xc xcX J X

x y '-y = xex

4

X = COS19.- L x+ yy' = 0

y = sen /

20. -

Soiucin

, _ / (O _ eos/ cos* '(0 sen ^ sen/

, , eos/* + = cos/ + sen/(---------) = c o s /-c o s / = 0sen/

JC + J> /= 0

x = e t

y = e(l + xy)y'+y2 =0

Solucin

... y\ - e "y = r = --------------7 =>y '= -, reemplazando en la ecuacin' - ' e (1+ t)

_ -/(l + xy)/+j>2 = (l + )(-----------) + e~2' = - e 2' + e 2' = 0

e' 0 + 0

(1 + xy)y'+y2 =0

x = e rctg(f)21.- L y + xy= 0^ = e -arctg(,)r*

jx = esrctg

22 . -

23.-

y ' = = e 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(')

y + jcy= -arc,8(,) + earct* y in = 4x

y = (21n + l)j 4

Solucin

jt = / ln / => jcJ = ln f+ 1

y = f2(21n/ + l) => y} = 2f(21n / + l) + 2f = 4(ln/ + l)

y [= 4 r ( ln / + l ) =4 ^ y,= 4, ' x1 ln + 1

y i n = 4 ln( ) = 4 ln t = 4x 4 4

jc = ln / + sen y = r(l + senO + cosJ

y' ln = 4x4

, x = ln v+ sen j'

Solucin

, 1 1+/COS/x = in + sen t=>x\ = - + cos / = ----- ------

y = /(l + sen) + cos ^ .V/ = 1 + sen l + t eo s / sen / = l + f eos/

6

, >>} 1 +eosr= - ---------- = t=>y'=t

r 1 + cos_____ _

l n y + s e n /= ln + sen = .

x = ln y + sen y

x = t + aresen , x = y + a re s e n /

x = + aresen x; = 1 +

Solucin

1

1

(l+/ . i -

1 + 1= t=>y'=t

y'+ aresen y' = t + aresen r = x

x = y '+ aresen /

x = t 2 +er

2 3y = + ( r - i y

y +ey' = x

Solucin

x = t 2 +e' x\ = 2 t + e'3 s *y = * - + ( , - l ) e y'(t) = 2t2 +e' + ( - l )e ' =t( 2t + e)

, y\ t(2 t+ e') , ,y = - ---- - = / = > / = x\ 2t + e

y 2+ey' = t 2 +el = x

y '2+ey = x

Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de diferenciales indicadas.

las ecuaciones

26.- y = -------, y '- tg x .y = 0cosx

Solucin

y ------- y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuacincosx

Qy '- tg x .y = c sec x . tg x - tg x .------ = c .secx .tg x -csecx .tg .t = 0

cosx

y - t g x .^ = 0

27.- = y '= 3 y 23x + c

Solucin

y = -

/ =

i3x + c3

y =(3x + c)

= 3( ) 2 = 3 ( - y )2 = 3 y2(3x + c) 3 x + c

y '= 3 y 2

8

28.- y = ln(c+ex) , y '= e x~y

Solucin

y - ln(c+ex)=t> y = -------- , adems y= ln(c + ex)=>c + ex = eyc+ ex

e x e xy'-.---------- -- ---- = e ' - ' => y = ex~yc+ e x ey

29.- y = -Jx2 - e x , (x2 + y 2)d x - 2 x y d y - 0

Solucin

y = 4 * 2 - ex => dy = rl : . c dxx 1 - e x

(2 x -c )d x -2 ^ J x 2 -cxd y = 0 , dedonde (2x2 -x c )d x -2 x y d y = 0

(x 2 - x c + x 2)d x -2 x y d y = 0 entonces ( y 2 + x 2)dx -2xydy = 0

30.- j = x(c-ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0

Solucin

y = x ( c lnjxj) => dy = (c -\v \x \)dx-dx

x d y = x ( c - \n \ j f y d x - x d x , como y - x{c - lnjx|) entonces:

xdy = y d x - x d x => ( x - y ) d x + xdy = 0

31) x = y e * * \ / =x ( ln x - ln ^ )

Solucin

9

x - y e \ n x - \ n y = cy + \ => ln = cy + \ , dedonde

x = y e V +l => e ^ 1 = -

jc = l = / ^ +1+ o ^ +V = ^ ( 1 + 0 0 / = ~ ( in x - ln .y )y

1 = (ln jc - ln y ) / entonces: y '= -^ x (ln x - ln y )

32) * = >>lncy, / ( * + >>) = .V

Solucin

x e yx = yhicy => = lncy => = c , derivando se tiene:y y

y e h * ^ f ) - y 'y y _ x y '

------------------------- = 0 simplificando - ----- - / = 0 => y -x y '-y y '= 0y y

' ( x + y ) y '= y

La relacin 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implcita determina la solucin general que se llama integral general de la ecuacin diferencial de primer orden.

La relacin que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuacin diferencial.

El problema de resolucin o de integracin de una ecuacin diferencial consiste en hallar la solucin general o la integral de la ecuacin diferencial considerada, si adems, se ha dado alguna condicin inicial, se pide tambin hallar la solucin particular o la integral particular que satisface a la condicin inicial considerada.

Como geomtricamente las coordenadas x e y son equipotentes, adems de la ecuacin

= f ( x , y ) se considera tambin la ecuacin = - *dx dy f ( x , y )

10

( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante).

33) e~y - e x = 1, jty'+l = ey

Solucin

e~y - 1e y - ex - 1 => ---------= c derivandox

-x e ~yy'-(e~y - \ ) n _v , _v . ------------ ------------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0

x

x y '+ l-e y = 0 => xy'+l = ey

, a\ 3 1 c 2 j 3 f dx*4) y , xy dy + y dx = X X X

Solucin

>>3 = + r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x 3

3x2y 3dx + 3x3y 2d y - 2 x d x = 0 => xy2dx + x 2yd y =3 y

Luego no es integral de la ecuacin.

35) x 3 - 4 x 2y + 2 x y 2 - y 3 = 0 , (3x2 -8xy + 2 y 2) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y2)dy = 0

Solucin

x 3 4 x 2y + 2xy2 y 3 = 0 , diferenciando se tiene:

3x2 dx - Sxydx - 4x 2 dy+ 2 y 2 dx+ 4xydy - 3 y 2 dy - 0

11

(3x2 - i x y + 2 y 2) d x - ^ x 2 -4 x y + 3y2)dy = O

Si es integral de la ecuacin diferencial.

36) y 2 + 2cx - c 2 y yy '2 +2xy'=x +1

Solucin

y 2 + 2cx = c 2 => c = x tJx 2 + y 2 derivando se tiene:

0 = 1^ M = => f sen t 2dt = , de donde0 Jo y

x = yj0 sen 12 ^ * = y' JQ sen r 2 dt + y sen x 2 , reemplazando se tiene:

l = / y + .y s e n x 2 => y = xy'+y2 senx2

Si es integral de la ecuacin diferencial.

Cx sen t39) -d - y \ n y , xy'+xiny = x senx + y ln y

Solucin

f*senr f*senr y ln vx \ dt = y \ n y => ------ di = ------

t Jo t X

cx sen t cx sen t Jx Jo - dt = y ln y => tf + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene:

y ln y ----hsenx - (lny + l)y' => y \ n y + xsenx = x(\ny + l)y'

No es integral de la ecuacin diferencial.

13

ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS

dySi en una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden y primer grado = g (x , y )

dxse reduce a la forma:

donde M es una funcin solo d conoce con el nombre de Ecm solucin general se obtiene por

M(x)dx + N(y)dy = 0

le x, y N es una funci' icin Diferencial Ordin integracin directa, es c

n sola de y, a esta ecuacin s aria de Variable Separable y la lecir:

j M (x)dx + J[ N(y)dy = c

Donde c es una constante cualquiera.

La ecuacin diferencial de la forma:

= f ( a x + by + c) dx

donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuacin con variable separable haciendo la sustitucin z = ax + by + c.

Integrar las ecuaciones:

81) (\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0

Solucin

(1 + y 2)dx + (1 + x 2)dy = 0 , separando la variable

dx dy . ,------ r- + ------ = 0 integrando1 + x 1 + y 2

14

f dx f dyJ 7 7 7 r + J 7 7 ^ J = C arctgx + arctg.v = c

Nota.- tg (A + B) =

x + y = c ( l - x y )

tgA + tgB1-tgA.tgB

82) (l + y 2)dx+xydy = 0

Solucin

(1 + y )dx + xydy = 0. Separando la variable.

dx y dy \ ? + ------- = 0 integrando lnx + ln(l+ v ) = A:X l + y 2 2

21nx + ln(l + >'2) =2k de donde ln x 2(l + y 2)=

83) ( y 2 +xy2)y +x2 - y x 2 = 0

Solucin

( y 2 + xy2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupando

y 1 (\ + x ) - ~ + x 2( l - y ) = 0. Separando la variable.

^ -+ ~ = 0 , integrando: f + ^ , c1 - y 1 + x j 1 - y i 1 + X

( x + y ) ( x - y - 2) + 21n-

yl + x1 - y

= c

=> x(l + y 2) = c

. De donde se tiene:

15

84) (1 + y 2)dx = xdy

Solucin

(1 + y 2 )dx = x d y separando las variables

dx dy = ------ y , integrando ln xk = arctg yx 1 + y

y = tg(ln(fcc))

85) x j l + 'y2 + yy'yfl + x 2 = 0

Solucin

x ^ l + y 2 + y^ l + x 2 ^ = 0 . Separando las variables.

xdx ydyr + -jrr-r = 0 , integrando

Vl + * 2 + y 2

r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde + - c

86) x - J l - y 2dx + y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1

Solucin

X i j l - y 2 dx + y j l - x 2dy = 0, separando las variables

ydy r xdx c ydyxdx ydy c xdx c yd- = = = + - = = = 0 , integrando a/Tv ^ 7 J VT^r J VTT

d donde, -\fl-x2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1

> 2 = c

16

V i- * 2 + V i- .v 2 = i

87) < r '( l + / ) = l

Solucin

e - * ( i + / ) = i => i + y = ^ => y = ^ - i

v r ^ + v n = * => * = i

= - 1, separando las variables, - -- = d:dx ey -1

t dy c c e ydyi ~ l = i dx+c => J T 7 7 7 ^ +A:

l n ( l - e ^ ) = x+A: => l - e -* ^ * - e V =

/. ex = (1 - 0

88) >>ln.y>)) = k => x ln y = c de donde ln y = -

para x = 1, y = 1 => l = e c => c = O

x ln y = O => lny = O => y = 1

, integrando se tiene:

e * = - L ( l - e -y )e

=> lnx + ln(lny) = k =>

=> y = e x

89) y '= a x+y(a > O, a * \ )

Solucin

dy + = a x y = a x .ay separando las variablesdx

a~yd y - a xdx => a xd x - a ydy = 0 integrando Ja xd x - Ja~ydy = k

a x +a~y =c

90) e y (\ + x 2)d y -2 x ( \ + ey )dx = 0

Solucin

e y (1 + x 2 )dy - 2x(l + ey )dx - 0 . Separando las variables.

eydy 2xdx f eydy r 2xdx----------------- = 0 , integrando ------7 - ------7 = k ,l + ey 1 + x 2 J l + ey J 1 + x 2

ln(l + ey ) - ln ( l + x 2) = k

. l + e y , l + eyln ------T = k => ------ t~ c

1 + x 1 + xl + ey =c(l + x 2)

91) (l + ex )yy '= ey , y\x=0 = 0

Solucin

dy(1 + e x )y = ey , separando las variables dx

dx r _v , c dx- + c

de donde:

ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = -l + e x J J 1

de donde (1 + y)e~y = ln( * ) + 1 - x

18

Solucin

(1 + >>2 )(e2xdx - eydy) - (1 + y)dy = 0 , separando

92) (1 + y 2 )(e2xdx - ey dy) - (1 + y)dy = 0

e 2xdx - dy = 0 , integrandol + >>2

j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c

e 2x^ - e y -a rc tg y - ln ^ l + y 2 = c

93) (xv2 - y 2 +x- l)dx + (x2y - 2xy + x 2 + 2y - 2x + 2)dy = 0

Solucin

(xry2 - y 2 + x - l ) * + (x2jy - 2;*7 + x 2 + 2y - 2x + 2)/y = 0 , agrupando

[y1 ( * - ] ) +(x-V\dx+[y(x2 - 2x + 2) + (x2 - 2 x + 2)]dy = 0 , factorizando

(y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable

( x - 1 )dx y + 1 ,-------------- + -------- dy - o , integrandox 2 ~ 2x + 2 y 2 + l

f ( x - 1 )dx f 7 + 1I I-------------------------------------------- + ~~----dy = k de dondeJ x - 2x + 2 J y +11 9 1 ?~-ln(x + 2x + 2) + ln(j/ + 1) + arctg y = k

ln(x2 - 2 x + 2){y2 + l) = - 2 arctgy + k=>(x2 - 2 x + 2)(y2 +1 ) = e -2tICX*y+k

entonces: (x 2 - 2 x + 2)(y2 + l)e2arct8y = c

19

94) y = sen (x -j> )Solucin

_ dz ( , . . dzSea z = x - y => = 1 - y entonces y = 1-----dx dx

Como y = se n ( jc -y ) reemplazando se tiene:

\ - = senz => 1- senz = , separando las variables: dx dx

dz dz = 1 - sen z => ---------- = d x , integrandodx 1 - sen z

= [dx + c=> f(sec2 z + tgz.secz)/z = x + c entonces J 1- s e n z J J

tgz + secz = x + c => tg(jc-y) + sec(jc-y) = x + c

95) y' = ax + by + c , a,b,c constantes

Solucin

Sea z = ax + by + c => = a + bydx

y - i . - a) reemplazando en y'= ax + by + c entoncesb dx

- ( - a ) = z => - a =bz => = a+bz separando la variableb dx dx dx

= dx integrando ---- --- = f dx + k , de dondea + Z>z J 0 + ?z J

~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a + bz) = bx + bk => a+bz = cebx b

+ c) + a =

20

96) (x + y ) 2y' = a 2

Solucin

dzS e a z = x + y => = 1 + y' entonces:

dx

dz "y/ = - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a entonces

2 dz 2z ( - 1) = a separando las variables:

dx

z Z dz = dx integrando z - a. arctg() = x + ka +z a

ysimplificando x + y = a . tg( + c)

2

97) ( l - y ) ey y '+ ^ = 0x \n x

Solucin

(1 - y )ey + = 0 separando las variables dx x ln x

( l - y ) e y d x .------ ----- d y + ---------- 0 , integrando

y L x l n x

r ( l - y ) e y r d x r ( y - l ) e y------ ----- dy+ = c=> - ------ -----dx + ln(lnx ) - c

j y J x l n x J y 2

r e y e y- J d ( ) + ln(ln x ) = c, de donde: - + ln(ln x) = c

eyln(lnx) = + c

y

21

Solucin

(1 - y 2 )dx = (y - J l + y 2 )(1 + x 2)% dy separando las variables

98) ( l - y 2)dx = (y - -J \ + y 2)(l + x 2)'/ idy

dx y - y i + y 2------- = ---------------- ---- dy integrando( 1 + X 2 ) A l + y 2

f dx ,------- rr = ----------^ dy + c entoncesJ (1 + *2)X J l + y 2

I rf(7 = r ) =I {r h - ~ r =^ )dy+cv i+x 1+^ V1+^

* - l n'l + y 2

J \ + x 2 _y + -\jU y 2 _+ c

ioo) jty2(V + > O = 0 2

Solucin

dz x ----- z2"

Sea z = xy => y = => y ' =

Como x y 2 (xy' + y) = a 2, reemplazando se tiene

zX

dz zX ------- ZH-----

dx x= a , simplificando

z 2dz = a 2xd x , integrando se tiene:

22

Z3 Q2X2 ~ 3 3 >% 2 2 i = -------- + c=> 2x y =3a x +k3 2 '

100) (x 2y 2 +l)dx + 2 x 2dy = 0

Solucin

0 z , xdz - zdxSea z = xy => y = => dy = ------ ------x x 2

(x2y 2 +1 )dx + 2x2dy = 0 , reemplazando

(z2 +l)dx + 2x2(*-Z y ^ ) =0 => (z2 + \)dx + 2xdz 2z/z = 0 x

( z 2 - 2 z + V)dx + 2xdz = 0 => + - Z- = 0 , integrando2x (Z- l )2

1 m x --------- = c2 x y - 1

101) (1 + x y )y + ( x y - l ) xy'=0

Solucin

dzx ----- zSea z = xy => / = , reemplazando

xdz x ---- z

(1 + z 2) + (z - 1)2 x( ) = 0 , simplificando * x 2

(1 + z 2 )z + (z - 1)2 x - (z - 1)2 z = 0 entonces dx

23

( z - l ) 2xdz + 2 z 2dx = O => + dz = O integrandox z

2 \n x + z - 2 \ n z ~ = k => - 21n y = - x v + k =>Z JCJ>

lncy2 = * y - => cy1 ^ e gr xl. 3ty *y

102) ( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0

Solucin

dz x ------zSea z = xy => / = entonces

2 3 3 2* y + j> + jc- 2 + (jc y + jc) = 0 , reemplazando se tiene:dx

dz3 JC--------Z

Z Z 1 d x + + x - 2 + (xz +*)(- ) = 0 , simplificandoX X x 2

dz3 Z --------Z

+ + x - 2 + (z2 + 1)(----- ) = 0 entoncesX X X

( z 2 + l ) - + x - 2 = 0 dedonde (x -2 )d x + ( z 2 +l)dz = 0 dx

integrando - - + z + - - 2 x = c

3 x2 - l 2 + 2 x 3y 3 +6xy = c

24

103) (x6 - 2 x 5 + 2x4 - y 3 +4x 2y)dx+(xy2 - 4 x 3)dy = 0

Solucin

Sea y = tx => dy = tdx + x d t entonces reemplazando se tiene:

(x6 - 2 x 5 + 2x4 - f V + 4txi )dx + (x i 2 - 4jc3){tdx + xdt)

x 3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t * + 4t)dx+x3(t2 -4){tdx+xdt) = 0

(jc3 - 2 x 2 + 2 x - t i + 4 t+ i - 4 )dx+(/2 - 4 )xdt = 0, simplificando

(x3 - 2x + 2)dx+ (t2 - 4)dt = 0 , integrando

X3 2 f3------x +2x-\------- 4t = c por lo tanto:3 3

* 3 - y 3 4 y------x + 2 x+ ,------ = c3 3x x

104) y + i= (x + ^(x+.>>)' + (*+ > ')'

(cSolucin

Sea z = x + y => y = _ i . Reemplazando en la ecuacin diferencialdx

dz z n z n + z p( - 1) +1 = ---------- simplificando ------------d z - d x , integrandoz " + z * z m

r z n + z ' rJ ------ dz = j d x + c , de donde

= x + c , n m * -1, p - m ^-1n - m + 1 / 7-/W + 1

25

105) (ln x + y 3 )d x -3 x y 2dy = 0

t Solucin

i dz 1 ^ 2 . Sea z = ln x + y => = + 3y y dx x

3x y 2y % = - 1 reemplazando en la ecuacin diferencial:dx

lnx + y 3 - 3 x y 2 = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0 x x

ln|z + l j - ln x = lnc => l n ^ - ^ = lnc =>

z + l = x c de donde y 3 - e x - ln x -1

106) (xy+ 2xyln2 y + y ln y )d r + (2x 2 \n y + x)dy = 0

Solucin

Sea xlny = t => lnj> = => y = etlxx

Reemplazando en la ecuacin diferencial dada:

, tlx 2elxt 2 et/x w ^ # . tl xd - d x(xe 1 x + ---------- + ------- )dx + (2x + x)e (-r ) = 0x x x

simplificando

26

/ r x d t - td x _ ^(x + -----------------------+ )t + (2/ + 1)(------ ) = 0x x x

( x 2 + 2 t2 + t)dx + (2t+l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx + (2t+ l)xdt = Q

x 2 ,x* + (2/ + l)rf = 0 integrando +1 + 1 = Cj entonces:

2x2 + 4/ 2 + 4 + l = c => 2x2 + (2/ + 1) 2 = c por lo tanto:

/. 2x 2 + (2x ln y + 1)2 - c

107) y - x y ' = a(\ + x 2y')

Solucin

y - x y ' = a + ax2y' => y - a = (x + ax2)-^- separando las variablesdx

Y ~ = ^ integrando f ( - ----- t )dx= lnc entoncesax + x y - a J x ax + l J y - a

xc 1 . . ex= y - a por lo tanto y = a +ax + \ ax + l

I0K) (a2 + y 2)dx + 2x^Jax-x2 dy = 0, } \x=a = 0

Solucin

Separando las variables de la ecuacin diferencial se tiene:

dx dy+ ------ - = 0 integrando

2 x ^ a x - x 2 a 2 + y

dx r dyf dx r dy

27

Sea x = - => dx = , reemplazando en la integral

f * . - f . 2x^ox--x^

dt 'J a t - l* - 1

-2 J l y fa t - l a

reemplazando (2 ) en (1 )

- (2)

- - 1 .y i y + arctg = c, x = a , y = 0 entonces a a a

0 + 0 = c => c = 0, Luego - ----- + arctg() = 0a a a

* - 1

a a=> y = a. tg

--1

109) y %+ sen ( ) = sen(^y^)

Solucin

+ sen() cos() + s e n A c o s ) = sen(^) c o s - sen(^) c o s ) dx 2 2 2 2 2 2 2 1

2 sen(^) cos() separando las variables

^ = - 2 cos()dx integrando ln | tg() | = - 2 sen()+cy 2 4 2

sen 2

28

110) Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces.

Solucin

El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = ,,y de acuerdo adx

las condiciones del problema se tiene:dy dy 's

= 3y => = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke comodx

pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto y = -2e 3 x

II I) Hallar la curva para la cual el rea Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas x = 0, x = x, sea una funcin dada de Y.

Q = a 2 ln a

Solucin

y = f(x)

Q = = a 2 ln() , derivando se tiene:

a dy J a 1 a 1y - , entonces d x ---- - dy = 0 integrando se tiene: x + = c

ay dx y y

de donde : y = -c - x

(hiprbola)

29

112) Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en lnea recta debido a la ecuacin de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 4 dinas. Que velocidad tendr el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?.

Solucin

t 2 Como F = ma = k donde Q = 4 cm/seg v

t = 10 seg. v = 50 cm/seg.

1 . 4 = Ar => k = 20 y m ^ - = 2 0 - =>50 dt v

v2 = 2012 + c , para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg.

502 =20(10) 2 +c => c = 500 entonces v 2 = 2 0 2 +500 x _,

para t = 60 seg. v = ? de donde:

v = -^20(60)^+500 = a/725 cm / seg

k \ '' t -Vv> \ \ *v v ' ^ , * ^

113) Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante es una circunferencia.

Solucin

Sea Ln : y = b x , de donde mLN =b

Adems mL, = , y como LNI X , , entonces: dx

1 d* A hmLN = ---------= - , es decir que > = - N mL, dy dy

30

Xb , l = ,Como y = bx

x xSeparando las variables se tiene:

dy

y dx + x dx = 0, integrando se tiene: x 2 + y 2 - k

114) Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad VQ = 200 m /seg traspasndole con la velocidad Vx = 80 m / seg. suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla.

Solucin

F = ma = m dvdt

condicin del problema:

d^ . 2m = kv dt

integrando:

m dv----- T = dtk v

m rvi dv _ r'k Jvf2 V

-r*Jo

k vj v0

* V,

31

k v0v.... (1)

dvadems m = m

dtd 2xdt2

2 dv dv dx entonces: kv = m = m r "

dt dt dx

r dv dx dv kv2 = m = mv-

dx dt dx

m dvdx = .

k v

* 1 A >v0

reemplazando (2) en (1)

. . . (2)

j _ ^ (Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es.

ln( ) v0

V0V1

=40 ln(2.5)

seg.

115) Un barco se retrasa su movimiento por la accin de la re s is te n c ia del a g ^ que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, 10 m/seg. despus de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg.

Solucin

La descripcin m ,Km idc, c. f - * > ' * dt'd' al resolver '*

tiene: V = Ae -kt

Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene 10 - Ae => A 10 =>V 10e para

t = 5 se g ., v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e

F = 10e/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5

-5 k 1 8k = ln( ) entonces: 5 10

32

Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parbola.

Solucin

Se conoce que: mLt = - j - , y adems por la condicin del problema se tiene

mLt = k x . Luego ~ = entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c ,

que es una parbola.

Segn la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20C y el cuerpo se enfra en 20minutos desde 100C hasta 60C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura descender hasta 30C.

Solucin

Sean T = temperatura del cuerpo.Tm = temperatura del aire = 20C.T0 = temperatura inicial.

La descripcin matemtica es:

dT = ~k(T - T m ) , de donde la solucin es: T = Tm + ( r0 - T m )e~kt

para t = 20, r = r 0 =60C entonces: 60 = 20 + (100-20)T2*

40 = 80e 20A => k = ^-^- por lo tanto: T = 20 + 80e~(ln2/20)

r = 20 + 80.2 '//2

para t = ? , T = 30C

30 = 20+ 80.2' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 608

118) Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es nveces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.

Solucin

dx

te 0 = n tg a entonces: = n() => dy = n()dx , de dondedx x x

= dx integrando; ln y = n ln x + ln c => In y ln x nc , por lo tanto:y x

y - e x

119) Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P recorre lOOm. y en 15 seg., 200m.

Solucin

34

Sean s = el camino recorrido

t = el tiempo en seg.

v = ~ = velocidad del cuerpo

dsla descripcin matemtica es: = k s , de donde la solucin general es:

dts = Aeh , para t = 10 seg. , s= 100m . => 100 = ei0k

de donde = . . . ( 1)e

para t= 15 seg. , s = 200 m. => 200 = ,4e15*

de donde se tiene : A = ... (2)15Ae

a / n 1 0 0 2 0 0 i l n 2comparando (1) y (2) se tiene: ^ = ^ 7- => k = -e

reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido ser:

s = 25.2r,s

120) El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentracin en el instante dado y la concentracin de la disolucin saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal que contendr la disolucin al cabo de una hora.

Solucin

Sea x = cantidad de sal que concentre la disolucin, la concentracin en el instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua.

xLa concentracin de la disolucin saturada = -----;

300

35

= velocidad con que se disuelve la sal, la descripcin matemtica es: dt

- - k l - ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuacin dt 3 300

diferencial se tiene:

jc = 100( -A e k,' m ), encontraremos la constante A p ara t = 0, x = 0 =>

A =100, luego x = 100-100e*'/30 , para determinar la constante k, para1 1 299

t= lm in . , x = - k g . se tiene - = 100-100* '300 => fc = 3001n()3 3 3UU

x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100(299)'

para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) 18.1542 g. porlotanto:

x = 18.1542 kg.

121) Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvi la mitad de la sal contenida. Cunta sal se disolvera durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua?La velocidad de disolucin es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a la diferencia entre la concentracin en el instante dado y la concentracin de la disolucin saturada (1 kg. para 3 litros).

Solucin

Sea x = cantidad de sal que concentra la disolucin

= velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del dt

dx 1 0 -x 1problema la descripcin matematica es: =

De donde resolviendo la ecuacin diferencial y reemplazando los datos dados se tiene que: x = 5.2 kg.

36

122) Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el punto de contacto.

Solucin

2 yComo mLt = -------= ----- , entre los puntos P y A

x x----- X2

Adems ~~ = mL, => = - ^ de donde + = 0 dx dx x y x

Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c => xy = c

123) Cierta cantidad de substancia, que contena 3 kg. de humedad, se coloc en una habitacin de 100 m i de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad por l 3. Si durante el primer da la substancia perdi la mitad de su humedad, qu cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo da?

Solucin

Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia

(3 s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire.

37

12 = humedad del aire saturado para 100 m 3

dsLa descripcin matemtica es: = -k s(-s + 6-12) = ks(s + 6)

de donde resolviendo se tiene: = Ae6kts + 6

para t = 0, s = 3 => A = para t 1, s 1.5 entonces:

k = - ln( ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg.6 7.5

Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. de sal se somete a la accin de 30 litros de agua, despus de 5 minutos sedisuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempo se disolver el 99% de lacantidad inicial de sal.

Solucin

Sea s = cantidad de sal por disolverse.

dsLa descripcin matemtica es: = As, donde k es el factor de la

proporcionalidad, la solucin de la ecuacin diferencial es:

s = Aekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2

Luego s = 2ekt, determinaremos k.

Para t = 5 m in., s = lk g . => k = - l n

Por lo tanto: s = 2e (/5)lnl/ 2 => s = 2(~ )r/5

Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg.,

entonces: 1.98 = 2( - ) ' /5 => 0.99 = ( - )v/5 luego: t = 1 M ? 99) mirL2 2 1

ln 2

125) Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20 y en el exteriora 0o. Hallar tambin la cantidad de calor expedida por la pared (por 1 m 2 ) al exterior durante un da.

Solucin

Segn la ley de Newton, la velocidad Q de propagadn del calor a travs de una superficie A, perpendicular al eje OX, es:

de donde k es el coeficiente de conductibilidad trmico, T la temperatura; t el tiempo y s el rea de la superficie A, (k = 0.0015).

dT OLuego la descripcin matemtica es: = - , donde Q constantedx kA

Resolviendo la ecuacin diferencial y usando los datos dados se tiene:2

T = x ; 864000 cal/da.3

126) Demostrar que la ecuacin con la condicin inicial vi _n = 0 tienedx x 1 r_u

infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuacin con la condicininicial jyj x=0 y 0 ^ 0 no tiene solucin alguna. Trazar las curvas integrales.

Solucin

dy y dy dx . J t ~ => - integrando ln y = ln ex => y = ex dx x y x

39

para y = O, x = O se tendr infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se satisface la ecuacin as si c = 6, y = 6x satisface _yj = Y Para

}\ x=o = * 0 => = 0 > cua ^contradice por lo tanto:

cuando x = 0, y = y 0 * 0 no tiene solucin alguna.

Demostrar que el problema ~~ = y a , y\ x=o 0 , tiene al menos dos

soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para

Solucin

. i- = y a => y~ady = dx integrando ------ = x + cdx 1 -a

gl-asi x = 0, y = 0 ------ = c solo si 1 - a > 0

3 1- a

sea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones.

Si a = 1 => = dx => ln y = x + cy

De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la nica solucin.

128) Hallar la solucin de la ecuacin = y \ \ n y \ a , (a>0) que satisface a ladx

condicin inicial >'j x=0 = 0 , para qu valores de a tiene solucin nica.

Solucin

~~ ~ y I ln y | => = dx integrandodx | ln |a

| ln v |1_a i , --------= x + c => y = 0 , x = 0 => -------1 ln v | = 0 + c

1- a I -

ln y >oo, as - a + l > 0 => a < l entonces y 0

El primer miembro se hara cero, as c = 0, lo que significa una solucin nica.

129) Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuacin diferencial y + y tg x = x tg + 1, en los puntos de sus intersecciones con el ejeO Y son paralelas entre si. Determinar el ngulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY.

Solucin

-Stgxdx r ftgjratry = e [ J e (x tg x +1 )dx + c ] , por ser ecuacin lineal.

y = e ln (tg x sec x+sec x d^ x + ^ efectuancj0 ia integral,

y = eos x[x sec x + c] = x + c eos x entonces:

y = x + c. eos x , interceptando con el eje Y, para x = 0 , y = c => P(0,c)

= (1 - e s e n x)\p = 1 => mL, = 1

L, : y - c = l (x -0 ) de donde L, : x - y + c = 0

41

mL, = ' dx

Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales.

130) cosyf = 0

Solucin

KComo y eos y ' = 0 => / = arccosO = (2n + l)

= (2 + l) => dy = (2n + l)dx, integrando. dx 2 2

y = ^ (2n + l)x + c, n e Z.

131) ey = l

Solucin

dyey =1 => y'= 0 => = 0 => y = cdx

donde c es constante.

132) s e n / = x

Solucin

s e n /= J t => /= a rc se n jt + fl7r entonces:

= arcsenjt +w;r de donde y = (arcsenx + w7r)/x dx

integrando J dy = J (aresen x + n n)dx + c

y = jta rc se n x -V l- * 2 +mx+c donde n = 0, l , 2,.

133) l n / = x

Solucin

ln y '= x => y '= ex

dy = exdx => j dy = J e xdx => y = ex +c

134) t g / = 0

Solucin

t g / = 0 => y = arctgO = nn

dy = nn=> dy = nn dx integrando y = nrc + c

135) =jc

Solucin

e ~ x ^ y =\nx de donde dy = l n x d x , ahora integrando

j d y = J lnxdx => y = x l n x - x + c

136) tgy '= x

Solucin

tgy ' = x => y'= aictgx+nn , n = 0, 1, 2,...

dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene

y = ^{ t tc tgx + njz)dx+c entonces: y = x2 x c tg x -^ \n ( \ + x 2) + njtx + c

43

En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo.

, 16137) x y 'eos>> + 1 = 0 , y - > n => x-+o

Solucin

x 2 vco sy + l = 0 => cos>'.>'+ - 1r- = 0 , separando la variablex

dx 1eos ydy H r- = 0 , integrando sen>> + cx x

16 16 . 1 l6n cuando y - * n parax->+oo => c = sen luego sen . y - -se n ^

10138) x 2 /+ c o s 2 ^ = l , y-+ n => x->+*>

Solucin

x 2/ + c o s 2y = 1 => x 2y = l - e o s 2>', separando la variable

___= => = j integrandol - c o s 2 >' x 2 2 sen y x

f = l ^ r~ c de donde c tg y = + c J sen2 y x x

10 1 cuando y - * n , x H-ao => c - j~

2 1 2 1 Luego c tg y = +j ^ => y - arct^T+ ^J'*

44

139) jr3y -s e n y = 1, y -* 5 i t => x-H-oo

Solucin

x 3y ~ sen v = 1 => x 3 -^ = 1 + sen y , separando la variabledx

dy dx r dy r dx --------- = r integrando - ----- = + c1 +sen.y x * l+senj> J x

para y-+ 5n , x -H-oo => c = 1

por lo tanto y = 2 arctg(l i)2x

140) (l + x2)y - |c o s 22y = 0 , y ~ ^~ ti , x->-oo

Solucin

(l + x2)y - -c o s2 2 ^= 0 , separando la variable se tiene:

dy dx= 0 integrando = k

eos 2y 2 (1 + x ) 2 2

ytg 2 y - arc.tg x = c cuando y - n , x ->-oc => c =

2 2

tg 2y - arctg x = => tg 2y = - + arctg x => y = arctg( + arctg x)2 2 2

141) ey =e4y y'+1, y es acotada para x >+oo

Solucin

45

eAydve y = e 4yy '+ l ; e 4yy'= ey -1 entonces --------= dx

ey -1

r e4y fintegrando J ---- dy = J dx + c entonces:

^ y + e 2y + ey + - )dy = x + c y calculando la integralJ e y -1

e3y e2-----+ + ey + ln(l + e y) = x + c ,3 2

como y es acotado y x ->oo entonces y = 0.

(x + \)y' = y - \ , y es acotada para x >+oo

Solucin

(x + 1) / = y - 1 ; (x + \)dy = ( y - 1 )dx separando la variable

dy _ dxy - \ Jt + 1

integrando se tiene: ln(y 1) - ln(x + 1) + ln c

i i y - iln ------= ln c => -------= cy + 1 x +1

cuando x >oo entonces > 0 por lo tanto c = 0JC+ 1

t . o = y . 1* + 1

y ' 2x(n + y ) , y es acotada para x-H-oo

Solucin

y'= 2x(n +y) => - = 2xdx integrandoy + n

y + n = J entnces ln (y+n) = x 2 +c entonces:

jr2y + n =ke , y es acotado para x >00 entonces k = 0

Luego y + n = 0 => y = -n

2 11144) x y'+ sen 2y = 1, y - * rc => x-M-oo4

Solucin

2 5x / + sen 2 ^ = 1 => x dy = l -sen2ydx separando la variable

dy dx=> integrando se tiene:1 - sen 2y x 2

f dy ( dx 2 y sec2 v 1J l ^ 2 7 = J ^ ' C => t g - - - + ci2 y J x 2 2 2

cuando y > ;r , x >+oc se tiene que: y = arctg( x)

X

47

[ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS|

A la funcin f(x,y) llamaremos funcin homognea de grado n si se cumple la identidad.

Una ecuacinin diferencial de la forma = f ( x , y ) , se denomina homognea si f(x,y)dxes una funcin homognea de grado cero.

La ecuacin diferencial homognea siempre se puede representar en la forma:

H

dx x... (1)

Introduciendo una nueva variable incgnita u = ~ , la ecuacin (1) se reduce a la

ecuacin con variable separable:

du , x x - = \/(u)-u dx

Observacin.- Al resolver las ecuaciones homogneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitucin y = ux.

Las ecuaciones diferenciales de la forma:

dy _ ^ axx-\-bxy + c l ^dx a 2x + b2y + c2

. . . (2)

se reduce a homognea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de interseccin de las rectas: axx + bxy + c, = 0 y a 2x + b2y + c 2 = 0 ; y esto se consigi|

haciendo la sustitucin de las variables x = z. + x0 , y = w + y

48

El mtodo indicado no es aplicable cuando las rectas ax + b{y + cx = 0 y

a 2x + b2y + c2 = 0 son p

puede escribir en la forma:

a 2x + b2y + c2 = 0 son paralelas, en este caso = ^ - = A a la ecuacin (2) seax bx

dy _ axx + bxy + cx x ^ f x ~ ------- r -------) = F(axx + bxy)dx (axx + bxy) + c2 ... (3)

que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable.

Si la ecuacin diferencial viene expresada en la forma:

P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0

Ser homognea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogneas del mismo grado.

A veces, la ecuacin se puede reducir a homognea mediante la sustitucin de la variable y = z a , esto ocurre cuando todo los trminos de la ecuacin son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1

a la derivada .dx

Integrar las Ecuaciones:

145) 4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0

Solucin

Observamos que la ecuacin es homognea, entonces:

Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuacin diferencial escribiremos as:

(4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene:

(4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando

(4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando

49

(2u 2 - 6 u+4)dx + x(2u - 3)du = O , separando la variable

dx 2 u -3 , , f dx f , 2 -3 NJ2 -----1------------du= 0 , integrando 2 ----- 1-1 (=---------- )du = cx u -3 u + 2 J x J u -3 u + 2

entonces: 21nx + ln(w2 -3w 4 2) = c => \n x 2(u2 -3 u + 2) = c , levantando el

logaritmo se tiene: .\ y 2 - 3 xy + 2x2 =k

146) xy' = y + -yjy 2 - x 2Solucin

A la ecuacin escribiremos as: xdy = (y + ^ 2 - x " ) d x , es homognea.

Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx + xdu) = (ux + J u 2x 2 - x 2 )d x ,

simplificando xdu = J u 2 - \d x separando las variables -------V 2 -1

integrando se tiene: ln | u+ Vu2 - 11= lnx + ln c entonces:

du dx9

X

ln -----12 = ln c , levantando el logaritmox

u + ^Ju2 -1 - e x => y + ^ y 2 - x 2 - e x 2 de donde /. 2cy = c 2x 2 +1

147) 4x2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y + 4 y 2) =0

Solucin

La ecuacin diferencial (4x2 - xy + y 2 )dx + (x2 - x y + 4 y 2 )dy = 0 , es homognea

sea y = x => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin.

(4x2 - u x 2 + u2x 2)dx + (x2 - u x 2 + 4u2x 2)(udx + xdu) = 0

50

simplificando (4u 3 + 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 \)du = 0 , separando las variables

dx 4u 2 u + 1 . c dx c 4u2 u + \4 4*------------- du = 0 , integrando: 4 4- - -------- d u = c entonces:

X u 3 + 1 J X J u 3 +1

41nx4- ( + ~ 1 )du = c J u+ l u - u + \

lnx4 4-21n(w4l)4ln| u 2 - u + l\=c => ln x4 (w4 l )2 (u2 - u 4 l) = c

x*(u + l)(u3 + \ ) = k donde w= por lo tanto: (x 4 y )(x 3 + y 3) = k

148) 4x2 + x y - 3 y 2 + y '( -5 x 2 +2xy + y 2) = 0

Solucin

(4x + x y3 y 2)dx + {5x2 +2xy + y 2)dy = 0, es homognea entonces:

y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuacin

(4x2 4 x 2w 3x2u 2)dx4 (5x2 + 2x2w4xV)(wrf*4xrfw) = 0, simplificando:

(u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u 5)xdu = 0 , separando las variables se tiene:

dx u 2 + 2 u - 5 J ^ .+ ^----- 1-----------du = 0 , integrando

* W -W -4W4-4

c dx f u 2 + 2 u - 5" + -----5----------- d u = c , integrando por fracciones parciales se tiene;

J x J u - u - 4^ 4-4

( y - x ) * ( y - 2 x f = c(y + 2x)5

51

Solucin

9 2'Ixydx - (3jc - y )dy = 0, es homognea entonces:

y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin

2x2udx-(3x2 - x 2u2)(udx + xdu) = 0 => (u3 -u)dx + (u2 -3)xdu = 0

separando las variables + - du = 0 , integrando + - du x u 3 - u J x J u 3 ~u

f + f (---- --------- )du = c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2)J x J u u - 1 w+ 1

150) 2xy'(x2 + y 2) = y ( y 2 +2x2)

Solucin

2x(x2 + y 2)dy = y (y2 -h2x2)dx , es homognea

y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin

2x(x2 + x 2u2)(udx + xdu) =ux(u2x 2 + x 2)dx

2(1 + w 2 )(mx; + x/w) = u(u2 +1 )dx f simplificando

(u3 + w)rfx + 2(1 + u 2)xdu = 0 , separando las variables

dx 2 (u 2 + l ) , . c dx c 2 (u2 + 1) _ r dx du- + (i* + 1) , _ . , f dx C2{u + 1) . ftfx--------du = 0 9 integrando + ------- d u - c => + 2 u 3+u J x J u3 +u J x J u

2 y 2entonces: ln x + 21n w = c => lnx.w =c => x = c porlo tanto: yx

151) x y '= j y 2 - x 2

Solucin

xdy = ^ y 2 - x 2 d x , es homognea y = ux => dy = u dx + x du

ux(udx + xdu) = *J2x 2 - x 2 dx , simplificando

udx+xdu = u 2 -1 dx , separando la variable

/w dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin

(ax2 +2bx2u+cx2u 2)dx+(bx2 +2c2u+ f x 2u2 )(udx+xdu) = 0 , simplificando

(a + 2ftw + cu2)dx + (b + 2cu + f u 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable

dx b + 2cu + fu 2 ,---- 1--------------- -------- d u - 0 , integrando*

r dx C b + leu + f u 1 + 1 ---------------- --------- du = c entonces

J x J a + 3bu + 3cu + fufu

i 2 3 y\nx + \n \a + 3bu + 3cu + fu |= c , donde para u = se tiene:3 x

f y 3 +3cxy2 + 3bx2 y + ax3 - c

153) ( y 4 - 3 x 2)dy = -xydxSolucin

y = z a => dy - a za ld z , reemplazando en (y 4 - 3 x 2)dy = - xydx

(z4a - 3 x 2)aza~1dz = - x z adx => (z5a~l - 3 x 2 z a l )odz = - x z adx

para que sea homognea debe cumplir:

1 2 25 a - l = c t+ l = a + l => a = => (z 3jc )/z = - I x z d z , es homognea

x = uz => dx = u dz + z du entonces:

(z 2 - 3u 2 z 2 )dz = -2 z 2 u(udz + zdu) => (1-3w2)/z-2m(w/z + z/w)

(w 2 -l)rfz = 2wz/w separando la variable = - integrando* w2 - l

* z r 2u

54

f = \ ^ du + c => lnz = ln(w2 - l ) + cJ ^ J w2- i

para w = , z = y 2 por lo tanto: x 2 = y 4 +c:y6z

154) y 3dx + 2(x2 - x y 2)dy = 0

Solucin

Sea y = z a => rfy = aza-1, reemplazando en la ecuacin

z 3ar + 2(x2 - x r 2a )aza_1/z = 0 , agrupando

z 3adx + 2(x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homognea debe cumplir:

1 2 23 a = a + l = 3 a => a = r=> z~dx + (x - x )d z = 0 , es homognea,

x = uz => dz = u dz + z du, simplificando

zdu + u2dz = 0 , separando la variable + = 0u 2 z

1 X 2integrando + lnz = c de donde para u= , z - y se tienew z

1 2 1reemplazando en - + ln z = c por lo tanto: y = x ln ky

u

155) ( y -xy ' )2 =x2 + y 2

Solucin

( y - x y ' ) 2 = x 2 + y 2 => y - x y '= ^ j x 2 + y 2 , es homognea

y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin

(mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces:

(u - ^ | l - - u 2 )dx- udx-xdu = 0 , simplificando

r T , dx du-V l + w dx - xdu = 0 => + - ___ : = 0 , integrando

-Y Vl + t/ 2

55

+ =.U = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-cJ * J

x(u + 4\~+u2 ) = k , para w = se tiene: y + J x 2 + v2 = &x v

156) 3* + >,- 2 + j>,( j t - l ) = O

Soiucin

Z1 :3x + ^ - 2 = 0l Sean ^ LX^ L 2 entonces existe un punto

L2 :x - \ J

/>(*o>J o ) G A n 2 Y Para encontrar el P(x0, y {)) se resuelve el sistema:

3 x + y -2 = Oj x 0 =1x _ 1 = 0 j - y 0 = - l Lueg = P(1~ l)

Sean x = z + 1 , y = w - 1 => (3x + y -2 )d x + (x - l)dy = 0

(3z + w)dz + z dw = 0, es homognea sea w = uz => dw = udz + zdu

(3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando

(2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable:

dz du . r dz r dudz du . r dz r + --------= 0 , integrando + -z 2u + 3 J z J 2u +3

entonces: (x - l)(3x + 2y - 1) = k

157) 2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0

Solucin

= c

(2x + 2y l)dx + (x + y 2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces:

56

dy = du - dx => (2u - 1 )dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces

(u + 1 )dx + (u - 2)du = 0 => dx + du = 0 integrandou -1

u 2 2x+yJdx + J - - d u - c => x + y + l = ce 3

(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0

Solucin

Lx : 3 y - l x + l = 0l Sean > => entonces

L2 : 3 x - l y - 3 = 0 1 2

3v-7jc + 7 = 0l Xq \3 P(x, y a)&Lx a ! 2 de donde: ' . n => n

3 x -7 > '-3 = 0 J J>0 =0

x = z + l , y = w entonces reemplazando en: (3x7y+7)dx (3x7y3)dy

(3w 7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuacin homognea,

w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuacin

(3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando:

(7w2 - l ) d z + (lu - 3)zdu = 0 , separando la variable:

_ dz l u - 3 . . , _ f dz c l u - 3 .7 + du = 0 , integrando 7 + I ----du = c

Z U2 - i J Z J u 2 + 1

dedonde: .\ (x + y - \ ) 6( x - y - l ) 2 - c

(y + y ^ 2y 4 + l)dx + 2xdy = 0

Solucin

c z , xdz - zdxaea xy - z => y = => dy = ------ ----- , reemplazando en la ecuacinx x 2

( + J T- + l)dx + 2x( Z ZC^X) = 0 9 simplificandoX x \ j x 2 * 2

, Z Z [~~4 2 x ^ (xdz - zdx)( + y ^ z +x )dx + 2 -------------- = 0 entonces:X X2 X

z(Vz4 + x 2 -x)dx-\-2x2dz = 0 sea x = u 2 => dx = 2udu

z(y]z4 + u 4 - u 2 )2udu + 2u4dz = 0 , simplificando

z(*J~z^ +u 2 -u )du + u}dz = 0 , es homognea

sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuacin

z(>/z4 + z 4w2 - z 2w2 )(zchi+ wdz) + z 3w3dz = 0

wyjl + w4 dz -i- z(s/l + vv4 - w2 = 0 , separando la variable

dz 4 l + w 4 - w 2 r dz f 1 w---- h---- ..... dw = 0 integrando + I (---------=====?) dw = cZ W l + VV4 Z W ^ /1+w4

lnz + ln w ln \w 2 + ^ l + w 4 \=c => ln z w - \n \w 2 + ^ l + w4 |= dy = ctza d z , reemplazando en la ecuacin

4xz2adx + (3x2z a - \ ) a z a~ldz = 0 , agrupando

4jcz2of c + (3jc 2 z 2a_1 - z a~l )adz = 0 para que sea homognea debe cumplir:

2a + 1 = 2a + 1 = a 1 => a = -2, reemplazando en la ecuacin

4xz~4dx + (3x2z~5 - z~3)(-2rfz) = 0, simplificando

2jcz dtc - (3jc 2 - z 2 )tfz = 0 , es homognea

sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuacin

2uz2(udz + zd u )-(3u2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando

(-u 2 +1 )dz + 2wzfw = 0 => ---- du = 0 y integrandoz u -1

dz C 2u - du = c => ln z - ln(u 2 - 1) = cJ Z J w2 -1

Jlf 1 ^ 2de donde para w= , z = - p r se tiene: .\ y (x ^ y - l) =

161) (jc + y 3)t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0

Solucin

y = za dy = a za~ld z , , reemplazando en la ecuacin

(x + z 3a )c + (3z5 -3z21)oza_1/z = 0 , agrupando

(x + z3a )dx+(3z6a~1 - 3 z 3a~1x)a dz = 0 para que sea homognea debe cu nplir:

59

1 - 3a - 6a l = 3 a => a = \ ' reemPlazan dz = u dz + z du

(uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando

(u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando

(u 2 + 1 )dz + z(u + \)du = 0 , separando las variables

dz u + 1 z

~ Y ~ ~ du = 0 , integrando f + du = c U2 + 1 J z J u 2 + 1

1 2 x lnz + ln(w + 1) + arctgu = c , para u = , z = y 3

2 z

y 3 1 ? se tiene: arctg- = ln(x + y ) + k

x 2

162) 2(x2y + ^ \ + x 4y 2 )dx + x 3dy = 0

Solucin

Sea z = x 2y => x 2dy=dz2xrydx. Reemplazando en la ecuacin diferencial:

2(z +Vl + z 2 )dx + x(dz - 2zdx) - 0, simplificando

2 {z+ 4 -z2 )dx + x/z - 2z/x = 0

de donde 2^1 + z 2 dx + xdz = 0, separando las variables

dx dz _2 + = , = 0, integrando* Vi + z 2

J 2 + f = lnc => x 2(x2y + ^ l + x 4y 2) = c x Vl + z 2

60

163) (2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0

Solucin

Lx : 2 x -4 y = 0 1Sean > => Lx4 fL 2 => 3 P(xQ, y 0) e L x n L 2 de donde

L2 : x + y - 3 = 0J

2x - 4y = 0 | * o = 2 sea x = z + 2 , y = w + 1, reemplazando en :x + ^ - 3 = 0j Jo =1 (2x-4y)fy + (x + y-3)rfy = 0

(2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homognea

sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuacin

(2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene:

(w 2 - 3 + 2)dz + (m + 1 )zdu = 0, separando la variable

4- . + *---- du = c => ( j ; - 2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2z t/ - 3w + 2

164) (x 2y l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0

Solucin

Sea z = x 2y => dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuacin

(x - 2y l)dx + (3x 6y + 2)dy = 0, se tiene:

(z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando

(z l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables

(1 - )dz + 5dy = 0 ; integrandoz

z - ln z + 5 y - c , como z = x - 2 y entonces: x + 3 y - ln |x - 2y| = c

61

165) ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0

Solucin

Lj : x - y + 3=0 1L2 - 3x+y+l = 0\ ^ ^ Ll entonces 3 ^ o J o ) g i n 2 de donde

x - y + 3 = 0 ] x0 = - l- 1 * r =* ^ sea x = z 1 , y = w + 23x + y + l= 0 J .Vo =2

(x y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0

(z w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homognea

w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuacin

(z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando

(1 u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando

(w 2 + 2w + Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables

dz u 3 r dz r u 1 + ~ 2 ------du= 0 , integrando + ----------- w = cz w + 2w + l J z J u 2 + 2w + l

2 2ln z + ln(w + 1) -------= c entonces ln z(u +1) ------ = c donde

+1 +1

2x+2w y - 2 ------w = = ------ setiene y = 1 - x + ce r+>

z x + 1

166) (x + y)dx + (x + y - l)dy = 0

Solucin

Sea z = x + y dy = dz dx, reemplazando en la ecuacin

62

z dx + (z l)(dz dx) = 0, separando la variable

dx + (z l)dz = 0 , integrando J dx + J ( z - \)dz = c entonces

2x + - - ~ - - = c porlotanto: 2x + (x + y - l ) 2 =k

167) y cosx dx + (2y sen x)dy = 0

Solucin

Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuacin

y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene:

y dz + (2y - z)dy = 0, es homognea

sea y = uz dy u dz + z du, reemplazando en la ecuacin

uz dz + (2uz z)(u dz z du) = 0, simplificando

u dz + (2u - 1 )(u dz + z du) = 0, agrupando

dz 2u - \ J , r dz c 2u - 1 , , ,---- h---- - du = 0 , integrando + du = c de dondez 2u2 J z J 2u

2y ln y + sen x = 2cy

y y168) ((x -y )co s )/x + xcos dy = 0x x

Solucin

ySea u = => y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin

x

(x ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0

63

(1 u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando

dx + x eos u du = 0, separando las variables

+ eos udu = 0 , integrando f + f eos udu = c x J x J

V VIn x + sen u = c, como u = => ln x + sen = cx x

por lo tanto x = ke~SQnylx

y 3dy + 3y2xdx + 2x3dx = 0

Solucin

y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin

w3x 3(udx + xdu) + (3x3m2 + 2x3)dx = 0, simplificando

u3 (udx + xdu) + (3u2 + 2)dx = 0, agrupando

(u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables

dx u3 ,---- 1_ __ -----du - 0 , integrandox u 4 +3u2 +2

U -----du = c de donde c J x 2 + y 2 = y 2 +J x J u 4 +3u +2

ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0

Solucin

y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin

udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =* 0 , simplificando

2u^fdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables

2dx 2a/w -1 , . . , c dx c du f du-----h------- j=du = 0 , integrando I + ------ = c

X u^lu J x J u J u 3 2

2 [x21n x + 21ni/Hj=r = c de donde ln y - c - entoncesVw v y

y = entonces y e = k

171) Hallar la curva que teiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto.

Solucin

Por dato del problema d = x0

Adems mLt | = y' (x0) y la ecuacin de la tangente es:

Lt : y - y o = mLt ( x - x 0)

65

Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y ' (*o) = O por distancia de punto a recta

d ( 0 , L , ) J ^ =VO(

por condicin del problema se tiene: /(O, Lt ) = x 0

\yxo/(xo JF"" = xo generalizando en cualquier punto se tiene:

- M * o))2+i

y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ \ simplificando

>2 ~ * 2 2xv;v' = 0 de donde ( y 2 x 2 ) dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin

(u2x~ x )dx 2 x 2u(udx + xdu) = 0> simplificando

(u -1 )dx 2u(udx + xdu) = 0 , agrupando

(u ~ + l)r 2uxdu = 0 , separando las variables.

2w ^ a * ^ f , + ---- du = 0 , integrando + ------- fa= lnc* u 2 +l i x J u 2 + 1

lnx+ln/2 -+1) = lnc => x(u2 + 1) =c* de donde u = por lo tanto: x2 + y 2 =cjcx

Hallar la curva para la cual la razn del segmento interceptado por la tangente en el eje O Y, el radio vector es una cantidad constante.

Solucin

o /(* o )|

o))2 + l

La ecuacin de la recta tangente es: Lt \ y - y0 = m (x - x0), de donde

Lt : y = y '(x0) x - y ' ( x 0Kx0) + y 0

parax = 0, se tiene d 1 = y Q- y ' ( x 0)(x0)

r r 7 Vn ~ y'(^o)(xn)adems = V*o .Vo lueg :--1 =*== = generalizando se tiene:

4 xo + y v - y ' x , rr~ rj =C => y - x y =c^Jx + y

i * 2 +jV2

(c-jx1 + y 2 - y)dx + xdy = 0 , es homognea

sea y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin

(c\Jx2 + x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando ,

(c^l + u 2 -u )dx + udx + xdu = 0 , agrupando

67

c^l + u2 dx + xdu = O, separando las variables

= 0 , integrando c ln x + ln(w + \/l+M2 ) = ln&dx duc--4- - ^ ^* + u2

x c (u + *K+u2 ) =k dedonde y + ^ Jx2 + y 2 - k x l c

x 2 + y 2 = k 2x 2^ ~c>i -2kyxl~c +y2, dedonde

. 1 / 1 (T 1 1+C.. y = k v ----x2 * k

173) Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una direccin dada.

Solucin

dy , t a O - * ) + 4 7 2 + ( i - * ) 2 = tg^ = c tg 0 = ----------- 2-----------------dx y

ydy-( l-x)dx _ . r ~5 7--p . ... = dx integrando ^ y + ( l - j t )~ = j t + c , parax = y = 0, 1 = dy = u dx + x du , simplificando

(1 + w2 - u ^ l + u2 )dx + x (u -^ \ + u2 )du = 0

69

dx U -V l + M2x 1 + u 2 -u V l + W^

du= O, integrando y reemplazando

y 1 / 2 Ku = se tiene: y = (cx )x 2 c

175) Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas.

Solucin

Condicin del problema x {)d\ = 2 d \ , la ecuacin de la recta tangente es:Ly - y - y o = y \ x 0) ( x - x 0)

ecuacin de la normal es: LN : y - y 0 = 7 7 ( x - x 0)/ ( * o )

x *ol n ' y = 77

y (Xf) y (*0)

para x = 0 => d, = i- y 0, d2 =-Jxj + Jo Pr 1 tanto:y'(x0)

70

x0d 1 = 2d \ => x n( -X + y (i) = 2(Jx + y l )2 , generalizandov (jc0 )

2 dx , 2 2\x +xy = 2(x + y ) dy

x 2dx + ( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homognea

sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin

x 2dx + (x2u - 2 x 2 - 2 x 2u2)(udx + xdu) = 0 , simplificando

dx + ( u - 2 - u 2)(udx + xdu) = 0 , agrupando

(u 2 - 2u - u3 + \)dx + x(u - 2 - u2 )du = 0 , separando la variable

dx u - 2 - u 2 . A t , y + ---------- -----du = 0 , integrando y reemplazando para u = se tiene:* u 2 - 2 u- u3+\ x

71

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: ECUACIONES DE BERNOULLI

La ecuacin diferencial de la forma:

^ - + P(x)y = Q(x) dx

donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuacin diferencial lineal de primer orden.

Si Q(x) = 0, la ecuacin (1) se llama ecuacin diferencial lineal homognea, y es de variable separable y su solucin es dada por:

- f p(x)dxy = ce J

si Q(x) * 0, la ecuacin (1) se llama ecuacin diferencial lineal no homognea, y su solucin es dada por la expresin.

Ecuacin de Bernoulli. La ecuacin diferencial de Bernoulli es de la forma:

^ + p(x)y = Q(x)yn dx

..(2)

donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuacin se transforma en una ecuacin diferencial lineal, mediante la sustitucin.

i-

72

Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes:

176) y +2y = x 2 +2x

Solucin

La solucin es:

y = e ^p{x]d\ ^ e ^ pix)dxQ(x)dx + c] . . . ( 1)

donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x ... (2)

luego reemplazando (2) en (1) se tiene:

- 2 dx r ' f 2 dx 2y = e J [ \ eJ (x +2x)dx + c] , efectuando la integral

y = e~2x[ j e 2x(x2 + 2x)dx + c]

y = e~2x[ - e 2x +-1-c] por lo tanto:2 4

2x2 + 2x V= 4

177) {x2 + 2 x - \)y ' - { x + \)y = x - \

Solucin

/ 2 n , / , x + l JC 1(x + 2x-l)y '- (x + l)y = x - \ => y ' ---------- = ----------x + 2 x - l x + 2 x -

- \p(x)dx r (p(x)dxy = e J [ \ e J Q(x)dx + c]

-2 v + ce

- la solucin es: 1

73

donde P(x) = ---- + * y O(x) = - - 1 , reemplazando se tiene:x + 2 x - l x 2 + 2x - \

- \ - ^ dx , - x - \y = e } x +2x-l r \ e ' x +2x-l f _ J ----rfX + C]

J x + 2 x - l

iln(*2+2j-l) ( -iln(A:2+2.t~l) x ~l , ..y = e2 [ \ e i-------fo + c]

x + 2x -1

y = V*2 + 2 * - l [ f

180) 2xy'-y = 3x2

Solucin

^ , - 2 , 12xv - y = 3x => v ------y = 2 x ' 2

como la solucin es: y = e ^ H * Q(x)dx + c]

1 3xdonde P(x) = ------y (?(jc) = , reemplazando se tiene:

2x 2

f dx r dx

= e 2x[ j e 2x dx + c\

1 , ln x ^ ln x r j r ry = e 2 [J e 2 xdx + c] => y = ^Jx(j ^ x d x + c)

y = -Jx(x*/2 + c) => y = x 2 +c*Jx

181) (x + \)dy-[2y + {x + \)*]dx = ti

Solucin

(x + \)dy ~[2y + (x + \)A ]dx - 0

dy 2dx Jt + l

V = (jc-h l)3, como la solucin es:

= e ~ ^ x)Jx[ \ J P^ dxQ(x)dx + c]

donde P(x) = y Q(x) = (.v + 1)3 x + 1

76

f 2> + 2sen 2y

Solucin

1 dy 1y = ---------------------------- n> J L = -----------------------------x sen y + 2 sen 2y dx x sen y + 2 sen 2^

- /je = x + sen>> + 2sen2y = > ---------------- (sen y)x = 2sen 2vV fv

la solucin es: x = e

de donde P(x) = -seny , Q(y) = 2sen2y, reemplazando se tiene:

f sen vrfv f f sen yrfyx = e J [ J e J 2 sen 2ydy + c]

x = e cos>'[4j ecos> sen y co sy d v + c]

x = T cos>[ ( 4 - 4 c o s \e * * y + c ] => x = 4 ( l - e o s >) + > -cos v

por lo tanto: x = n 2 -- + c> C0S1'

77

183) y'-2xy = 2xe*2

Solucin

y = e - ^ x)dx[ J pMJxq(x)dx + c] donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex

- f - 2 xdx r i-2.xdx JJ.2reemplazando se tiene: y - e J [ \e i 2xe dx + c]

y = exl [^2xdx + c] = e * \ x 2 + c) por lo tanto:

y - (x2 +c)ex2

x 3 2184) x(x3 + l)y'+(2x3 - l ) y = --------

Solucin

x 2 2x(x3 + l ) /+ ( 2x 3 + l)y = -------- dividiendo entre x(x3 + 1) entonces:

y'+ -r y = , ecuacin lineal en y, la solucin es:x(x +1) X (x +1)

y = e \ p(x)=-^y y ?(*) = 2 3J x(x + 1) x (x + 1)

f 2.v3- l ^ f 2 / - 1 ^ 3

reemplazando se tiene: y = e +1) [ f e r(< " * ^ dx + c]J x 2(x3 +l)

y = e, jr3+l . , * 3+l . , 3

-ln------- r ln(-------) (x - 2) ,[ i e x ~ 2 ----- dx + c]J x 2(x3 + l)

78

* r f X ~ 2 j n x , 1y = - 3 - [ I ------- X + c ] = - y (x + + C )x J +l J x 3 x 3 +l x 2

expor lo tanto: y = - + x +1 X

185) y'+y eos x = sen x eos x , y\ x_0 = 1

Solucin

y = e /p(vWr[Je^p(x)d'q(x)dx + c] donde: p(x) = cosx y q(x) = sen x eos x

. . . - I eos xdx f eos xdxreemplazando se tiene: y = e J [ \ e J senx eosxdx + c]

y = e~ *enx [ J esen x sen x eos xdx + c]

y = e~'senA[senxesen v - esenA + c] y = s e n x - l + cTsenK

para x = 0 , y = l = > 1 = 0 1 + c entonces c = 2, por lo tanto:

y = 2e~scnx + s e n x - l

186) x ln * / - ( l + ln x)y + ^ ~Jx (2 + ln x) = 0

Solucin

x lnx.y'-(\+ lnx)y+~ (2 +lnx) = 0 , dividiendo entre x l nx entonces se tiene:

1 + lnx (2 + lnx) .. i iy _ -----v = --------==----- , ecuacin lineal en y, la solucion es:x l nx ' 2^xlnx

79

y = e ^p{x) - -- z = x 2, ecuacin lineal .3 dx 3x 3 dx x1 dz 2 x dz 2 _ i

dx + c]

80

- f - -d x c f -dxcuya solacin es: z - e x [ \ e x x~dx + c] entonces:

'[ J f r + c]z = e 2lnx[ \ dx+c] => v 3 = x y +cx2

188) 8 xy '-y = - 1yl)x + \

Solucin

o . i dy i i , ^8x y - y = --- p=^ L_1 entonces -------- v = ----------y^ , ecuacin de Bernoulliy^Jx + 1 tte 8x %xy\lx + l

multiplicando por y 3 se tiene: y 3 - v 4 = - - *dx 8x 8xa/x+T

s e a z = y 4 entonces = 4^ 3 , reemplazando en la ecuacin se tiene: /x ' dx

\ dz \ 1 dz 1 1 ., .. z = ------7= = - ~ => --------z = -7= , ecuacin lineal4 x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l

f ^ f r ^ cuya solucin es: z = e 2* [ - 1 e 2* ----- ........+ c]

J 2xvx + l

lmr / ln.rz - e 1 [ - \ e 2 ----- - + c] entonces

J 2xVx+l

z = V x [ - f j J ^ j = + c] => Z = -Vx[frf(^ ^ ) + c]J 2V*W* + 1 J V*

= V^(7=~ + c) = por lo tanto: v4 =4x + \ + c^fxVx

81

189) (Jty + x 2y 3)y '= lSolucin

(xy + x 2y 3)y '= l => (xy + x 2y 3) ~ = \

dy 1 dx 2 3 = -------- entonces = xy + x ydx xy + x y dv

- xy = x 2y 3 multiplicidad por x-------- ->dy

-2 dx - 1 3 -1 v-2 dxx ----- yjc = y , sea z = x => = -x dy dy dy

- vz = v3 => +yz = - y 3, la solucin es: dy y^

r f , zi^ = e- ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e ' 2 [ - J e V ^ + c l =>

_zl z = c 2 [ - y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto:

190) / - y = 2*e*+x2

1 2 "T = 2 - y + ce 2

Solucin

Como y = e /^(r)/r[ | e ^ (v)/X^ (jc)dx + c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe*

Reemplazando se tiene: y = e ^ [Je^ 2xev+v dx + c]

82

y = ex[ j2 x e x dx+c] entonces y = ex (ex +c)

por lo tanto: y = ex x + ce

191) xy' = y + x 2 senx

Solucin

2 dy 1 .,xy = y + x sen x => ----- y = x sen x , ecuacin linealdx x

la solucin es: y = e

r dx r dx

y - e x [ f e x xsenxdx + c]

y = e lnx[ j e~lnx x sen x dx + c] = x(- eos x + c)

por lo tanto: y = -x eos x + ex

192) x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2)

Solucin

x 2y'+2x3y = y 2 (1+2jc2 ) entonces y'+2xy = y 2 - , ecuacin de Bemoullix

multiplicando por y~2 se tiene: y~2y'+2xy~xx 2

sea z = y 1 => = -y 2y' reemplazando dx

+2xz= - => -----2xz=------- , ecuacin lineal donde la solucin es:dx x2 dx x2

83

- f - 2 xdx f [ -2 xdx (l + 2 x 2 )Z e J I I p j ------ 4----

r r \ -2xdx (l + 2x~) , _[ - U J ----- - d x + c]

J X

= ^ [ - j dx + c] = e"2 [ J r f ( ^ - ) + c]

1 1 *2 por lo tanto: + + cey *

2 2 2 x - y - aSolucin

2xy dx x 2 - v 2 - a 2 ^ ^ dx 1 __ y 2 +a2 ,y -------- ------- = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x

x 2 - y 1 - a 1 dy 2xv dy 2y 2y

. . dx \ 2 v2 + z2multiplicando por x se tiene: x x = ------ -----y dy 2 y 2 y

0 dz dx . \ dz \ y 2 + # 2 , A Asea z - x => = 2x , reemplazando z = ----- ----- de donde

dy dy 2 dy 2 y 2y

1 cuya solucin es: J y'*, )dy+c] dondedy y y J

1 2 + a 2p (y ) = ---- y q(y) = -----a reemplazando se tiene:

r J v y + a[ - le y - -------- dy + c]J v

2 2 2

: = e ln;l'[-1 -- dv + c] = y ( - y + + c) entoncesJ y 2 ' ' y

84

z = - y 2 + a2 +cy porlotanto: x 2 + y 2 - a 2 =cy

194) 2 senx.y'+y eosx = y 3 ( x eosx - sen jc)

Solucin

2 sen x ./+ y eos x = y 3 (jc eos x - sen x) de donde

dy c tg x 3, x e o s* -se n * .. , + - y = y (----------------- ), ecuacin de Bernoullidx 2 2 sen*

multiplicando por y 3 se tiene: y 3 + c ^ x y 2 j [cosx_senxdx 2 2 sen x

sea z = >,-2 =* = -2y~3 reemplazando - 1 ^ +M Z= ? Z ^ dx dx 2 dx 2 2senx

dz c tg x.z = -(xc tg x - 1) ecuacin lineal cuya solucin es: dx

-\-cX%xdx f f-rtgjr dxz - e f J e (xctgx X)dx+ c]

_ lnsenjc- f - ln se n jr / . nz - e [- \ e (x c tg x -l)ax + c]

_2 r fx c o s x -s e n x ,y = sen x[ - 1 --------- -------- dx + c] entonces:J sen x

2 X Xy = sen x[/(--------------------------------------) + c] = sen x(------h c) por lo tanto:sen x sen x

l = x + c sen x

85

Solucin

3x2 dx x3+y + l , , ,y'=----------- => = ------- de dondex3 + y +1 dy 3x

- x = - + x 2, ecuacin de Bernoulli dy 3 3

2 . 2

, 2 . x2 +a2 1 *(3jc2 - g 2)Multiplicando por y se tiene: 3 y y + ^ >' ^2 _ a 2

sea z = y 3 => = 3 y 2 y \ al reemplazar se tiene:djc

ffe , y2 +fl2 - _ ecuacin lineal cuya solucin es:

_r_5l_rf, , f x?fl ~ = - y 2y ', reemplazando en la ecuacin: dx

= - - ( x + l ) 3 => = - ( x + l ) 3 , ecuacin lineal cuya solucin e /jc 1 + jc 2 jc 1 + jc 2

x c dxr dx f dx

z = e J l+x[ j e J ,+x ~ ( x + l)3dx + c]

z = e ,n(,+*)[ fe - ' n(,+x> (l + x )3 dx + c]

z = (1 + x)[ J + ^ dx + c] por lo tanto:

1 + = + c(l + x)V O

200)

201)

(x 2 + y 2 +1 )dy + xydx = 0

Solucin

xy + x 2 + y2 +l = 0 = + x = - x 1, ecuacin de Bernoulli dy dy y y

dx 1 2 y +1 multiplicando por x se tiene: x + x = ----- ----dy y y

sea z = x 2 = = 2x , reemplazando en la ecuacin dy dy

1 dz 1 y2 + 1 dz 2 a v i i - ^-----+__Z==_Z------ ^ 4 z = _2(i------ ), ecuacin lineal cuya solucion es:2 y y y dy y . y

/y+ c]

z = e - ^ y [_2 e m y ( ^ - )dy + c] => x 2 = - ^ f " 2^ + + c]J v v 4 2

por lo tanto:

/ = 2y lny + y- j cSolucin

/;t _ 2x ln y + y - x dy x

+ L x = 2 \ny + l , ecuacin lineal cuya solucin es: dy y

90

- J - f J -z = e v fj e y (21n y + \)dy + c] entonces:

,z ~ e ln) [ J e lnv(21n y + Vfdy + c] =$ x = [J (2y ln y + y)dy + c]

Qpor lo tanto: x = y ln y +

202) x(x - l)y +y = x 2 (2x - 1)

Solucin

1 (2jc - 1) ^+ ~ (-- ^ =---r x ecuacin neal cuya solucin es: 1J X ~ X

r dx r dx

y = e 4*4) [ j ^ ) x< ^ I )d x + c]J x - l

1 / x X , JC1jc-T r f T / 2 x ~ l w y = e x 1 [ j e x x( )dx + c]

J x - l

y = - ^ [ \ (2 x - l )d x + c] => y = - ^ (x2 - x + c) X - l J x - l

por lo tanto: y = x 2 +-

x - l

.2 , CX

x - l

*W) y ' - y tgx = sec;c, y|^=o= 0

Solucin

- f - t g xdx f f - tg jxdxy = e \ \ e J sec xdx + c]

91

204)

205)

eos X

y = e Ulc:>s;c[J e lnsec* secxdx + c] entonces:

C sec xy = L .x x ( ------ dx + c) =secx(x + c ) , parax = 0 setienec = 0l sec x

Xpor lo tanto: y = sec x (x + 0) => y = -

y' eos y + sen y = x + 1

Solucin

Sea z = sen y => = eos y.y ' , reemplazando en la ecuacin:dx

+ z = x + 1, ecuacin lineal cuya solucin es:dx

z - e ^ [ je^ (x + l)dx + c] => z - e * [Je* (x + l)dx + c]

por lo tanto: sen y = x + ce'

y'+ sen y + x eos y + x = 0

-x

Solucin

y y 2 y 2 ySea sen y = 2 sen eos , eos y = eos - sen 2 2 2 2

y y i y 2 y ^y '+2 sen eos + x e o s ----xsen + x = 02 2 2 2

y'+2 seneos + x eos 2 - x ( l - e o s 2 ) + x = 0 , simplificando2 2 2 2

92

/ + 2 sen ^os + 2xcos2 = 0 2 2 2

2 y ysec y1+2 tg + 2x = 0 entonces: 2 2

sea z = 2 tg => = sec2 .y', reemplazando en la ecuacin: 2 dx 2

dz + z = - 2x , ecuacin lineal cuya solucin es: dx

z - e [ -2 ^ e^lXxdx + c] => z = e~x[-2(xex - e x ) + c]

2 tg 2' = ^ + * entonces ig~- = ke x - x + l

206) / - - ^ = >*(l + x)'1x + l

Solucin

- f

J ii/(ax)da = nilf(x) reemplazando = n\/(x), derivando:

1 ex 1 f x V ( x ) , / x \\ir{z)dz = n\f{x) => lf(z)dz + ny /(x )x Jo X Jo x

como f y/(z)da=nxyf'(x) entonces ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x) Jo X2

(1- ) , y / ' ( x ) _ \ - n { x )L - - = n {x) entonces:

integrando ln(y/tx)) = ln x. (- ) + In cn

i-n

ln y/(x) = ln c.x " entonces: y/(x) = c.x n

- x 2 2y'+xsen2y = xe eos y

Solucin

2

y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y+2xtg y = xe~x

sea z = tg v => = sec1 x y .y \ reemplazando se tiene J - + 2xz =dy X

z = e~i2xx\ j J 2xdxXe~x~dx + c\ entonces tg y = e~x [Jxdx + c]

xe~x - x 1por lo tanto: tg y = - + ce

En los problemas que se dan a continuacin hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas.

209) y'-2xy = eos x - 2x sen x , y es una funcin acotada cuando x ->oo

Solucin-f-2xdx f f-2xdt

v = e J [I e J (eosx-2xsenx)dx + c]

y = e A [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces:

y - e x [Jd(d~x senx) + c] => y = e x (e x senx + c)

. x2y = 3 sen x + ce como sen x varia entre -1 y 1 adems y es acotada cuandox >qo => c = 0 , por lo tanto: y = sen x

210) i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo

Solucin

, 1 senV *+cosV * ., ..y ----- t= y = -------------7=-------- , ecuacin lineal cuya solucin es:2v * 2V*

_ e~^TJ7{ f sen^x+cos^xy = e f , l^ ~ V c o w 1 i4 x

J 2Vjc

y = e^[J y - eos~Jx+c)

y = eos a/x + c e ^ como eos x varia entre -1 y 1, adems y es acotada cuando

x-H -a o = > c = 0 por lo tanto > = eos Vx

95

211) ln 2 = 2sen x (eos x -1) ln 2 , y es acotada cuando x -*+oo

Solucin

y = e - \ - la2 y = 2 senx +cexln2

como sen x varia entre -1 y 1, adems y es acotada cuando x ->+oo => c = 0

por lo tanto: >' = 2sen'

212) 2 x 2y '-xy = 2x cosx -3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo

Solucin

1 2 x co sx -3 sen xy ------y = ------------ ---------

2x 2x

- f f f t 2 x co sx -3 se n x ,y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c]

lnjr lnx r t - 2 x eo sx -3 se n x v = e 2 [ \ e 2 (--------------5--------)dx + c]

J 2x

/ r sen x / ^ sen x sen x r~y = J x [ ] d ( - j jY ) + c ] => y = 'Jx(^jY+c)= - +cV*

como sen x varia entre -1 y 1 adems y 0 cuando x ->+oo => c = 0

96

por lo tanto: y = -~n *

, sen 2 xy senx - y eosx -------- - , y > 0 cuando x -> oox

Solucin

. * sen xy c tg x.y - ------ , ecuacin lineal cuya solucin es:

x

- j - c tg x d x f j - c tg xd x senxv ,y = e J [ \ e } (-r~)dx + c]

J x

.. _ ln(senx)r f lnsenjr^COSXy - e L J e ( Y~) * + entonces:

J x

f dx i senxy = senx[-J c] => y = + csenx

como sen x varia entre -1 y 1 adems y - 0, cuando x r=> c = 0

por lo tanto: y = senx

(1 -f x 2) ln(l + x 2)y '-2xy = ln(l + x 2) - 2x aretgx , y - ^ - ~ cuando x->-oo

Solucin

dy 2x 1 2xarctfc//v ,1 . 2x, * 27^ 2 ~ ---------r ecuacin lineal, la solucin es:dx (l+xz)ln(l+x2) 1+x2 (1+x )ln(l+x )

f - 2 x d x f -2 a v

v = ? MMbO+j:2) r f J(l+*2)ln(l+jr2W 1 2x.arctgxJ 1 + x2 (l + x2)ln(l + x 2)

= e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1------------ 2 x . a r c t g y x + c,jj (l + x 2)ln(l + x - ) (1 + x )ln(l + x )

y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^_) + c]> ln(l + x )

n, r arctgx ,y = ln(l + x )[------^ + ^ 1

ln(l + x )

y = arctgx+ cln(l + x 2) , para y - > - | , cuando x ->*> => c

por lo tanto: y = arctg x

215) y' - exy = -y s e n -e * eos, y > 2, cuando x >-oo x * x

Solucin

= ^ f e dx[J e ^ sen -e * eos )dx + c]

y = e [[e~e (-^-sen -e * eos )dx + c] x 2 * x

y = ke\ J d ( e ~ eX cos^-) + c] => y = ee [ e e co s^ + e]

y = eos + ce6 cuando y ->2, x -> -oo x

1^ - eos

c _ _________ => c = 2 - 1 => C = 1 , por lo tanto:

1y = e -heos x

98

216) y ' - y l n x = - ( l + 21nx)x *, y - * 0 cuando x-+qo

Solucin

- f - ln .v f - lnj rry = e J [-1 eJ (l + 21nx)x dx + c]

y = e xlDX-x[ - e x~xln* (1 + 2 In x)x Xdx+c]

y = x xe~x [ - J e x (1 + 2 ln x)x~2xdx+c]

y - X xe~x[ jd ( e x jc~2x )+c] => y = x*e~*(e*jc~2x +c)

y - x ~ x +cxxe~x para y->0, cuando x->oo => c = 0

por lo tanto: y - x~x

99

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTORi n t e g r a n t e !

La ecuacin diferencial de la forma:

M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0 ... (1)

Se denomina ecuacin diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una funcin u(x,y)

du duMdx + Ndy = du = dx + dy

ox oy

la condicin necesaria y suficiente para que la ecuacin (1) sea una ecuacin diferencial exacta es que se cumpla la condicin.

dM dNdy dx

. . . (2)

La integral general de la ecuacin (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien.

M (*, y)dx + P N(x, y)dy = cJx0 Jy0

... (3)

En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuacin diferencial exacta, se consigue hallar una funcin u(x,y) tal que al multiplicar el primer miembro de (1) por ella, resulta una diferencial total:

du = u Mdx + u Ndy ... (4)

Tal funcin u(x,y) se llama factor integrante, segn la definicin de factor integrante se tiene:

duM d Ar A . . K1du A du .dM dN.------ = uN de donde N - M = (------- )u

dy dx ox oy oy ox

consideremos los siguiente casos:

100

Primer Caso.- Si u es una funcin solo de x.

r: f ^u dM dN duEntonces: = 0 => u(------------ ) = N dy dy dx dx

du i M N du 1 dM dN J - ( ) de donde = (----- )dx = f ( x ) d x , integrando se tiene:dx N y x u N dy dx

\

ln u = J f ( x )d x => u = e f {x)dx

Segundo Caso.- Si u es una funcin solo de y entonces:

dU . . ,dM dN ^ t r du = 0 luego m(------- ) = - M ox dy dx dv

du _ u dM dN du 1 dM dN ^ , Jdedonde v = _ (1 7 &"Mv = g(v)^ mtegrand0

ln u = \ g ( y ) d y = u = J sWdy

Integrar las ecuaciones.

217) x(2 x2 + y 2) + y ( x 2 + 2 y 2)y '=0

M = x (2x 2 + y 2)

[N = y ( x 2 + 2 y 2)

Solucin

dMdydNdx

= 2xy

= 2xy

Luego dM _ dN dy dx

la ecuacin es exacta

101

218)

df(x ,y ) d f(x ,y ) 3 f ( x , y ) tal que v. = M y

Sx 5v

d /fo -jj. = x(2x2 + y2 ) integrando respecto a x.cfcc

4 2 2

f ( x , y ) = j x ( 2x 2 + y 2)dx + g(y) = ^ + ~ - + g (v ) , derivando

- x 2y + g ' (y) = N entonces x 2>y + g '(v) y(x + )5v

g (^) = 2 ^ 3 => g(y) = + c , reemplazando en la funcin

f ( x , y ) = + ^ ^ + + c porlotanto: x* + x ~ y 2 +y2 2 2

(3x2 + 6x y 2 )dx+(6x 2y + 4;y3 )dy = 0

Solucin

\m = 3x2 +6xy2

[N = 6x 2y + 4 y

= 12 xyd M _dy

8N 10 = 12xy. dx

Luego = la ecuacin es exactady dx d f(x ,v ) , , d f(x ,y ) Entonces 3 / (x , v) tal que ^ - = M y = N

y) _ 2x 1 + 6xy2 integrando respecto a x. dx .

102

f ( x , y ) -V3 +3x 2y 2 + g(y) derivando respecto a y

df(x,y) 2 , , r ---- = 6x y + g (y) = Ndy

6x y + g '(y) = 6x 2y + 4 y 3 entonces g '(y ) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 +c

f ( x , y ) x 3 + 3x2_y2 + y 4 + c por lo tanto: /. x* + 3 x 2y 2 + y 4 =k

2I9) < - = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) ' - ('V* + / x y 4* + y y y '

Solucin

x 1 1 M = . = + + ^

y i X_____ i_ __yfx2 T y 2 y y 1

xvdMdy (x 2 + y 2)3/2 y 2

xy

T dM dN 1Luego = - la ecuacin es exacta

220)

^jx2 + y 2 yr +'CK) =

1 Xr + ------

J 7 + 7 y y

g' (y) = i . => g(y) = lny + c', reemplazando en la funcin:

f ( x , y ) = J x ^ + y ^ + ln x+ + ln y+ c por lo tanto

J x 2 + y 2 +ln xy+ = kv ' y

(3x2 tg y -^ Y -)d x + (x2 sec2 y + 4y3 + ~ - ) d v = 0

Solucin

2 2/M = 3x tg y -----x

1 3N = x 3 sec2 y + 4y3 h

dM ~ 2 2 6y-----= 3x sec y ------ r-dy x

dN , 2 2 6.v2----= 3x sec y ------ ydx x

Lueg0 la ecuacin es exacta, entonces:dy dx

Qf (*> y ) _ 3x2 tg y - integrando con respecto a x.a* x3

f ( x , y ) = \ ( 3x 2t g v - ~ - ) d x + g(y) = x 3 tg y + ^ y + g (y ), derivando

( x , y ) 3 2 3y ,, Ar ------= x sec y + - y - + g (y ) = JV

oy x

3 2 3 2x 3 sec2 y + - ^ - + g (y) = X 3 sec2 y + 4y3 + -=y entonces

g (y) = 4 y 3 entonces g(y) = y 4 + c , reemplazando en la funcin:

/ ( x ,y ) = x 3 tgy + -y + y 4 + c por lo tanto: x

33 4 V ,x tg y + y + ~ = k .

x

221) (2x + ^ 4 ) d x = ^ l ^x 2y xy2

Solucin

M =2x +x 2 + v2

x 2y

N = -x 2 + y 2

A^2

rW 1 1 + ry x-dy

d N ____I_ax " / + x 2

dM dN tLuego -----= ----- la ecuacin es exacta, entonces:

dy dx

3 / 0 , y) tal que - = M y = A/- de dondeox

d/(x ,y) x 2 + y 2 .------ = 2x + -- integrando respecto a x se tiene:

S* x y

/ ^ | y ^ y

f ( x , y ) = (2x + ---- )dx+g(y) = x 2 + ----- + g (y ) , derivandox y y x

105

dy y x

X 1 X 1 r--------------------------------------------------------------------------------- f- g ' (y) = ---- ---------- entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando:j '2 * v2 *

f ( x , y ) = x 2 + - + c por lo tanto:.V x

2 * Vx + ------- --= ky x

sen 2x sen2x x , .222) (------ + x)dx + (y x )dy = 0y y

sen 2x M = -------- + x

N = v - sen2 x

Solucin

dM sen 2xdy y 1

dN _ 2 sen x. eos x sen2xdx y 2 y 2

dM dNLuego -----= ----- la ecuacin es exacta.

dy dx

Entonces 3 / (x , y) tal que =M y ^ - = N de dondedx dv

d f (x, y) _ sen 2x 5x

+ x integrando respecto a x

sen 2x+ x)fr + g(.y) = - cos2x x .---- + _ + g^y} ^ derivando

2y 2

dl ^ ^ + g

X_V----1- 2x y integrando respecto a x se tiene' *

f ( x , y ) = y-jl + x 2 + x 2y - y ln x + g (y ) , derivando

Qf(x ' y ) =-y/l + x 2 + x 2 - ln x + g '(y) = Ndy

-Jl+~x* + x 2 - ln x + g '( y ) = Vl + * 2 + x 2 - ln x

g '(y ) = 0 => g(y) = c reemplazando en la funcin:

/ ( x , y) = yV1 + x 2 + x 2y - y ln x + c , por lo tanto:

y j l + x 2 + x2v - y \ n x = k

xdx+ydy + xdy - vdx _

p- + y 2 + * 2

Solucin

agnlpando+.V2 *

d ( J x 2 + y 2 ) + rf() = 0 integrando trmino a trminov ' x

|d (^ /x 2 + y 2") + Jrf() = * entonces: -sjx2 + y 2 + ~ = c

(sen v + ysenx + )dx + (xcos y -c o s x + )dy = 0r x y

Solucin

226)

M = sen y + y sen x + x

N = x eos y - eos x + 7

dydN_dx

eos y + sen x

= cosy + senx

dM dN ,Luego = la ecuacin es exacta, entonces :

dy k

3 / ( x , y) tal que d^ x ' y) = m y S J ^ I l = N de dondedx dv

d f(x ,y ) 1 .= sen y + y sen x + integrando respecto a x.

OX X

f ( x> y) - J (seny+ y senx+ + g(y) =