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17 marzo 2009 InIn 6078- Sistemas de Control de Calidad

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Plan:

“Sequential Probability Ratio Test”

Introduccion:

SPRT se le debe a un estadístico famoso de apellido Wald, el cual el SPRT también se le

conoce como el Wald Ratio Test.

La motivación original del SPRT estuvo asociado con muestreo, el cual es un

componente de calidad que cada vez más y se va rezagando por el concepto de que el

muestreo se considera filosóficamente una técnica no preventiva.

Esto es, el grafico de control puede prevenir algunos problemas, los diseños de

experimentos pueden prevenir algunos problemas pero el muestreo cuando el asunto está

realizado ya no típicamente no previene un problema. Lo que se hace en un muestreo es

discernir si la producción o un lote estuvo razonable según un criterio pero ya no

previene, el problema ya es existente.

Como herramienta los muestreos, su aportación ha disminuido, su discusión ha

disminuido, pero sin embargo el muestreo todavía se usa en servicios o en manufacturas.

El origen den SPRT fue un origen del muestreo que después se extendió a otras áreas que

luego se hablaran aquí.

Un típico plan de muestreo para unos datos discretos es por ejemplo, tomar 125 artículos,

se inspeccionan, y si se encuentran uno o menos defectuosos, se acepta el lote, la

producción o subconjunto que se está evaluando. De igual manera se inspeccionan 800

artículos y si se encuentran 5 o menos defectuosos, se acepta el lote o subconjunto. Estos

son ejemplos de planes de muestreos típicos, discretos.

Como nos está pidiendo 800 artículos para investigar y si voy por 300 artículos y no he

encontrado ninguno defectuoso, se esperaría que en los próximos artículos que me

quedan por inspeccionar no encontrar 5 defectuosos. Entonces la pregunta importante es

el porqué llegar a los 800 artículos si ya yo tengo cierta información.

El SPRT lo que hace es que cada vez que se mira una observación de la muestra me voy a

realizar la siguiente pregunta, “con la información que tengo, ¿tengo suficiente evidencia


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para rechazar?, ¿tengo suficiente evidencia para aceptar?, ¿requiero tomar más

observaciones?

En los planes de muestreo normales no son así, ya que tengo que tomar los 800 artículos

para poder tomar una decisión. En otras palabras si tengo 794 artículos inspeccionados y

por el momento tengo 0 defectuosos me quedan 6 artículos para inspeccionar para ver si

encuentro 5 defectuosos, tengo que completar los 6 artículos para inspeccionarlos.

El SPRT tiene un atractivo natural, el cual es muy probable que yo con muchos menos

datos se pueda llegar a una decisión con los mismos riesgos. No se sin suscribe a

muestreo, pues lo podemos hacer para pruebas de hipótesis y para muchas otras cosas

más.

o Si desea buscar alguna referencia acerca este tópico puede buscar un libro titulado

“Probability and Statistics” del autor Papoulis.

Cuando estudiamos pruebas de hipótesis, planes de muestreo y otras herramientas el

tamaño de muestra n se fija de antemano; muchas veces indirectamente en términos de

los errores α y β. Es una pregunta que contestamos frecuentemente o sea, cual es el

tamaño de muestra para hacer determinada prueba de hipótesis o cual es tamaño de

muestra para hacer el plan de muestreo. En otras palabras se busca un tamaño de muestra

que cumpla con algunos errores.

El enfoque de SPRT es diferente ya que se continúa la prueba hasta que la evidencia nos

muestre que debemos concluir en una dirección o en la otra (aceptar o rechazar).

En este enfoque el largo de la prueba, es decir el número de intentos hasta tomar una

decisión es una variable aleatoria. En otras palabras, no la sabemos de antemano y no

sabemos dónde vamos a concluir. Esto es a diferencia de la prueba de hipótesis donde se

establece tomar una cantidad fija de observaciones para poder decidir, en SPRT vamos

uno a uno.

Podría ser arbitrariamente grande, pero en general, usando los mismos errores, es en

promedio menor que el número requerido para una prueba de tamaño fijo.

Este método es bastante sencillo si usted conoce el método de el “Maximun Likelihood”

Vamos a mirar ahora las hipótesis:

Hipótesis para la media


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Asumiendo que se tiene lo siguiente:

Típicamente las hipótesis se plantean de la siguiente forma: y .

Tomamos el siguiente cociente al que le llamamos donde m representa el tamaño de

muestra.

Se seleccionan dos constantes C0 y C1 donde C0 < C1.

En el intento m:

o Rechazamos Ho si

o Rechazamos Ho si

o Si no ocurre ninguna de las anteriores tomamos una nueva observación.

Básicamente esta es la metodología que se va a usar no importa si estamos en muestreo,

prueba de hipótesis o si estamos en una distribución discretea o función continua, todo va

a ser lo mismo.

Antes se planteaba que el cociente se puede obtener de forma recursiva.

Las constantes C0 y C1 deben ser expresadas en términos de los errores α y β.

La determinación precisa de estas constantes es compleja. Wald sugiere unas

aproximaciones que cuando son observadas tiene cierto sentido.

Cociente de probabilidad de rechazo.

Cociente de probabilidad de aceptación.

Recordando que α es la probabilidad de rechazar dado que debía aceptar y donde 1-β es

el power donde es la probabilidad de rechazar dado que debía de rechazar. Por debajo de

cero, rechazo.


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Recordando que 1-α es la probabilidad de aceptar dado que debía de rechazar y β es la

probabilidad de aceptar dado que debía aceptar.

Rechazo Ho

Acepto Ho

Continua

rm

C1

C0

En la grafica de arriba, en los puntos que se salen de la línea C0 o C1 se tiene evidencia

para la decisión. Se llama un ratio de cuando el parámetro esta en nivel cero o en nivel

uno.

Lo que se espera que la m cuando ocurra la decisión, sea lo suficientemente pequeña

comparada con la m cuando el tamaño de muestra es fijo.

1/C1

C0

β1

1

α + βCo = Co

α + βC1 = C1

α

(α, β)

En la región donde esta (α, β) es la región donde se puede operar. El punto donde se

encuentran ambas líneas es el punto donde se cumplen con los errores que se plantean y

en la región (α, β).


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Ejemplo:

Presumimos que hacemos una prueba de hipótesis para la media. Suponga que

Δ

Rechazo Ho

No Rechazo Ho

αβ

0 0K

Se establece un límite K que nos dice cuando caemos en una región u otra, el cual su

localización es tan arbitraria como la selección de los errores.

Pensando que las medias son normales obtenemos las siguientes dos ecuaciones (usando

el Teorema del Limite Central):

Para encontrar el tamaño de muestra:

Jugando con el algebra para una y .

Esto es lo que típicamente se hace con la n fija, para cualquier prueba de hipótesis, para

la media de una media normal, cuando estamos trabajando en una prueba de hipótesis.


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Esto es cierto para cualquier tamaño de muestra y para cualquier prueba.

o Si la varianza aumenta la n aumenta.

o Si el proceso es mas disperso, tiene más ruido, es más difícil de distinguir una

cosa de la otra.

o Si la campana es más ancha, es más difícil distinguir entre una distribución y otra

porque habría más área de solape.

o Si la distancia que yo quiero observar (pegar las dos curvas o distribuciones) es

más pequeña, se hace más difícil de detectar.

o Si yo quiero un error más pequeño, la Z se hace más grande. Z’s mas grandes

representan errores más pequeños. Los errores más pequeños están asociados con

n más pequeños, o sea si quiero errores pequeños tengo que tomar más datos.

1

2

Lo que se hace para tomar una decisión es lo siguiente:

o Se toma una muestra de tamaño n

o Se toma el X-barra de la n.

o Si la X-barra es menor que k, no podemos rechazar o aceptamos

o Si la X-barra es mayor, rechazamos.

SPRT

Ejemplo:


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Suponga que se tiene lo siguiente:

Esta protegido el productor porque quería rechazar menos veces de lo que debía aceptar,

pero no le importaba aceptar más veces de lo que debía rechazar.

La función probabilística de una normal es:

Suponemos que conocemos a σ.

El procedimiento nos pide que se haga un ratio, cuando la función está en su valor

nominal y cuando está en su valor desplazado.

El likelihood es maximizar el producto de la función:

Para poder manejar la ecuación anterior y al tener una exponencial, lo que se hace es

sacar algún logaritmo, pues estamos buscando cuando es el µ que se acepta o se rechaza.

o Nota: Un producto, al sacarle el logaritmo natural se convierte en una sumatoria.


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Recordado que :

=

Le tenemos que sacarle el logaritmo natural a Co y C1 porque le sacamos el logaritmo

natural al likelihood, para mantenerlo en la misma escala.

Establecemos los limites:

Decisiones:

o Si acepto Ho.

o Si voy a rechazar Ho.

o De otra forma continuo otro intento.

Haciendo varios puntos para poder graficar:

n

1 24.89 19.75

2 23.45 20.88

3 22.96 21.25

4 22.72 21.44


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El promedio de alguna manera va a tender a tomar una decisión relativamente pronto ya

que el área de continuar se va achicando.

o Nota: Se continúa tomando observaciones que al final va a conformar un tamaño

de muestra.

Ejemplo (discreto-Bernoulli) (para la hipótesis)

Suponga que:

Si es una Bernoulli tenemos que :

Donde = # de éxito en el intento m

19

20

21

22

23

24

25

26

1 2 3 4

Series1 Series2

Aceptación Ho

Rechazo Ho

Continua


10

Donde es equivalente a la p que se está buscando.

Típicamente en los muestreos que son de naturaleza discreta el diferencial del tamaño de

muestra entre el fijo y el SPRT va a ser mayor, va a ser mucho más amplio que en los

continuos.

Existen muestreos de tipo continuo y de tipo discreto, pero en la práctica el 95% de los

muestreos que se hacen son de naturaleza discreta a pesar que el muestreo continuo es

más robusto.

Lo típico que se hace en el muestreo continuo, se tiene la curva OC que lo vimos en el

ARL, ya que el ARL y la curva OC son “primos-hermanos”.

β

P1 P2

1-α

AQL RQL

LTPD

P2, β

P1, 1-α

P = fraccion de

defectuosos

Pa

= p

robab

ilid

ad

de

acep

tar


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Observando la curva OC arriba podemos encontrar dos puntos críticos que son típicos de

una curva OC.

Donde:

o P1 = AQL = Aceptable Quality Level = Es una calidad razonable, bajita en

defectuosos. En otras palabras, los lotes que vengan con esta calidad queremos

aceptarlos, pero a veces cometemos el error que es el α porciento de las veces y lo

rechazamos.

o P2 = RQL – Rejectable Quality Level = Es una calidad tan pobre, que siempre

quisiéramos rechazar, pero el β porciento de las veces cometemos el error y lo

aceptamos.

o LTPD = Lot Tolerance Percent Defective

La fracción de defectuosos va empeorando hacia la derecha de la curva, esto es, P2> P1

implicaría que hay mas defectuosos en el lote.

El concepto básico de la Curva OC es que si yo tengo una curva OC que pasa por los dos

puntos críticos establecido se tiene una protección de ambos lados:

o Se tiene la protección del productor, que no va a rechazar muchos que

consideraba bueno.

o Se tiene la protección del consumidor, que no se van a aceptar muchos que eran

malos.

Típicamente se diseña un plan que pasa por estas dos coordenadas de la Curva OC. Hay

varios métodos de hacerlo pero uno de ellos es por tanteo.

Plan discreto es determinar n (tamaño de muestra) y c (el numero de aceptación) que a

grande rasgos tomamos n objetos aleatoriamente del lote o periodo y aceptamos el mismo

si c o menos son encontrados defectuosos.

Ejemplo:

Suponga que

Diseña un plan que tenga las características mencionadas anteriormente.


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Por tanteo.

Es de naturaleza Binomial o Posisson.

Vamos a buscar una λ o un µ para c=0 que me dé 0.95 de probabilidad. Por tanteo

buscamos un valor para λ que me dé una probabilidad de 0.95 con X=0.

Se puede buscar la n en Binomial que de una probabilidad de 95% para X=0. El valor que

cumple esto es n=3.

Con n=3 cumple con el primer punto de la Curva OC, pero hay que cotejar el segundo

punto, el cual buscamos la probabilidad β.

El segundo punto la β da 0.77, el cual es mucho mayor que el 0.10 que es permitido. Por

lo tanto se cumple en el primer punto pero no cumple con el segundo punto.

Si

Si

Si

Con Poission

Estaría desprotegido el consumidor, porque está muy lejos de lo permitido.


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Desde la perspectiva fija, tenemos que llegar a 100.

Derivando el Sequential Sampling:

Se tiene el siguiente ratio:

Recordando que:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 5 9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

93

97

10

1

10

5

10

9

OC Curve

1 3 4


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Recurrimos al logaritmo nuevamente

Donde:

Donde:

Esas son las dos ecuaciones que constituyen el SPRT. Donde:

Ejemplo:

Por tanteo:

Si

Si

Se puede dejar fija c=2 y variar n.


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Llegamos a la conclusión de que n=135 y C=3.

Realizandolo con las acuaciones de SPRT:

Tenemos:

Aceptación Rechazo

Recordando que:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 61

11

62

12

63

13

64

14

65

15

66

16

67

17

68

18

69

19

61

01

10

61

11

11

61

21

12

61

31

13

6

OC Curve

0 2 3


16

Para ver la n mínima que necesito para resolver seria de la siguiente forma:

Si se llevan 44 inspeccionados y ninguno esta defectuosos, termino. Comparando este

valor con el n fijo de 135 inspecciones.

Si llevo dos y dos defectuosos, me paso de la línea.

Sin duda en un proceso en que la calidad es buena, no hay duda que en qué voy a

inspeccionar menos. No voy a encontrar muchos defectuosos en las 135 inspecciones que

me estaba pidiendo el otro método de actuar.

Nota:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Xa Xb

nX-barra = #

de

defectuosos Continuar

Rechazo

Aceptación


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o Un ratio de likelihood, y no importa la estadística por ejemplo el índice de Cpk, si

se encuentra la función de probabilidad del Cpk, le aplico un likelihood. Luego

puedo saber cuándo cumple cabalmente, o no tengo idea, o no cumple con una

expectativa.

o La estadística que se quiera establecer o la hipótesis, no importa lo que importa

es que se sepa la distribución y le aplique el likelihood.

o Todos van a ser en función del mismo planteamiento, o sea, una constante que

está basada en un rechazo, y una constante que está basada en aceptación.

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