15i Apuntes Investigacion Operaciones

Indice general

1. Introduccion 1

1.1. Concepto de la investigacion operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1.1. Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1.2. Organizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1.3. Metodo cientfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1.4. Grupo interdisciplinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1.5. Toma de decisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1.6. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Tecnicas que integran a la investigacion operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Historia de la INVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Perspectivas de la Investigacion de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Modelacion de problemas de optimizacion 15

2.1. Modelos usados por la programacion matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. El proceso de construccion de modelos de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Reconocer el problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2. Definir el problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3. Construir el modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.4. Solucionar el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.5. Validar el modelo y la solucion obtenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

i

2.2.6. Control de la solucion o analisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.7. Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.8. Modelacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.9. Paso 0: Entendimiento del enunciado (modelo descriptivo del problema). . . . 25

2.2.10. Paso 1: Definicion de las variables de decision. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Paso 2: Determinacion de las restricciones del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1. Relacion del tipo de la igualdad (x1i x1j = b1) . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2. Relacion del tipo mayor o igual que (x1i x1j b1) . . . . . . . . . . . . . . 272.3.3. Relacion del tipo menor o igual que (x1i x1j b1) . . . . . . . . . . . . . . 272.3.4. Restricciones de no negatividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.5. Paso 3: Determinacion de una medida de desempeno del sistema. . . . . . . . 28

2.3.6. Paso 4: Estructuracion o sntesis del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.7. Ejemplos del procedimiento para modelar un problema. . . . . . . . . . . . . 28

2.3.8. Problema 1. Control de contaminantes. (Haeussler E. F., 1997) . . . . . . . . 29

2.3.9. Formulacion del modelo matematico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.9.1. Paso 0: Entender el enunciado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.9.2. Paso 1: Determinacion de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.9.3. Paso 2: Determinacion de las restricciones. . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.9.4. Paso 3: Determinacion de la funcion objetivo. . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.9.5. Paso 4: Estructuracion o sntesis del modelo. . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.10. Problema 2. Diseno de terapia (J., 2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.10.1. Formulacion del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


2.3.10.3. Paso 1: Determinacion de variables de decision. . . . . . . . . . . . . 33

2.3.10.4. Paso 2: Determinar las restricciones del problema. . . . . . . . . . . 33

2.3.10.5. Paso 3: Determinacion de la funcion objetivo. . . . . . . . . . . . . . 34


2.3.11. Problema 3. Ensamble de automoviles. (J., 2001) . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ii

2.3.11.1. Formulacion del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


2.3.11.3. Paso 1: Determinacion de las variables de decision. . . . . . . . . . . 36

2.3.11.4. Paso 2: Determinacion de las restricciones. . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.11.5. Paso 3: Determinacion de funcion objetivo. . . . . . . . . . . . . . . 38


2.3.11.7. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.11.8. RESOLUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.12. 3. Otras clases de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.12.1. Problema de produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.13. Problema de Seleccion de Portafolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.13.1. RESOLUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.14. Problema de cubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.15. Problema de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.15.1. RESOLUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.16. Problema de asignacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.16.1. RESOLUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.17. Problema de Flujo Maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.18. Problema de planeacion de la produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.19. Problema de Mercadotecnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3. Elementos basicos de la Programacion lineal 51

3.1. Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1.3. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.4. Operaciones basicas con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.4.1. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.4.2. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iii

3.2. Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.0.3. Optimo local y global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.0.4. Espacio de busqueda y espacio factible . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2.0.5. Paisaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.0.6. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3. Problemas clasicos de la programacion lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.1. Problema de dieta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3.2. Problema 1. Problema de dieta (fertilizantes en un cultivo) . . . . . . . . . . 76

3.3.3. Paso 3. Formulacion de la Funcion Objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3.4. Paso 4. Sintetizar el modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3.5. Problema 2. Problema de dieta (dieta humana). . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3.6. Problema de mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3.7. Problema 3. Problemas de mezcla (mezclas qumicas) . . . . . . . . . . . . . 81

3.3.8. Problema 4. Problema de mezclas (Composicion de pinturas) . . . . . . . . . 83

3.4. Problema de Inversion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.4.1. Problema 5. Problema de inversion (herencia). (Gallagher C. A., 1982) . . . . 86

3.4.2. Problema 6. Problema de inversion (combinacion de productos para maximizar

la utilidad). (Haeussler E. F., 1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.4.3. Problema 7. Problema de inversion (Poltica de prestamos bancarios) (A., 2004). 90

3.4.4. Problema de Transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4.5. Problema 8. Problema de transporte (distribucion de cosechas). . . . . . . . . 97

3.4.6. Problema de transporte. (energa electrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4.7. Modelo general de los problemas de asignacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4.8. El Problema de ruta mas corta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.4.9. Problema del Flujo Maximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4.10. Ruta Critica en la Planificacion de Proyectos de Redes. . . . . . . . . . . . . 113

3.4.11. Problema de Flujo de Costo Mnimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.4.12. Problema de redes (arbol de expansion minima). . . . . . . . . . . . . . . . . 115

iv

3.5. Solucion de problemas por el metodo grafico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4. Algoritmo simplex 125

4.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2. Busqueda exhaustiva de soluciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3. Metodo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.4. Estructura del metodo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.5. Clases de problema de acuerdo a la solucon obtenida con el algoritmo simplex . . . . 146

4.5.1. Solucion unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.5.2. Multiples soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.5.3. Soluciones no acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.5.4. No tiene solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.6. Motivacion geometrica del algoritmo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.7. Algebra del metodo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.8. Recontruyendo el tablero inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5. Solucion inicial y convergencia 167

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.2. Como se obtiene una solucion basica factible inicial? . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.3. El metodo de las dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3.1. FASE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3.2. FASE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.4. El metodo de la gran M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6. Dualidad 192

6.1. Dualidad y Analisis de Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.1.2. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.1.3. Relaciones entre Primal y Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

v

6.1.4. Adaptacion a otras formas del Primal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

6.1.5. Introduccion al analisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.1.6. Aplicacion del analisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

6.2. METODO SIMPLEX Y DUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.2.1. PROBLEMA DUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.2.2. Analisis de sensibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.2.3. El algoritmo dual simplex y analisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . 242

7. Problemas de transporte y asignacion 248

7.0.4. Definicion y propiedades del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7.0.5. Representacion grafica del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

7.0.6. Solucion Inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.0.6.1. Algoritmo de la esquina noroeste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

7.0.6.2. Algoritmo de costo mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.0.7. Optimalidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

7.0.8. Algoritmo de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

7.0.8.1. Algoritmo de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7.1. Problema de ordenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

7.1.1. Problema de ordenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

7.1.2. Formulacion PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.1.3. Algoritmo de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

7.1.4. Justificacion del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

7.2. ARBOL DE PESO MINIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

7.2.1. ALGORITMO DE DIJKSTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

7.2.2. ALGORITMO KRUSKAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

7.2.3. ALGORITMO DE PRIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

7.2.4. TRANSPORTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

7.2.5. ALGORITMO DE TRANSPORTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

7.2.6. RUTA MAS CORTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

vi

7.2.7. FLUJO MAXIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

7.2.8. TEOREMA DE FLUJO MAXIMO CON EL CORTE MINIMO . . . . . . . 331

7.2.9. TSP SIMETRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

7.2.10. COLORACION DE NODOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

7.2.11. PLANARIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

7.2.12. PROBLEMA DE ASIGNACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

7.2.13. ACOPLAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

7.2.14. FLUJO CON COSTO MNIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

7.2.15. METODO COSTO MNIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

7.2.16. CONEXIDAD EN REDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

7.2.17. ANALISIS DE REDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

7.2.18. RUTA CRITICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

vii

Captulo 1

Introduccion

El objetivo de este captulo es dar una panoramica general sobre la investigacion de operaciones

(INVO). En este se da el concepto de INVO y conceptos relacionados, as como una breve descripcion

historica de la INVO.

1.1. Concepto de la investigacion operaciones

El hombre esta en contacto con el mundo real y capta por medio de sus sentidos situaciones o

hechos que le cautivan. Por el proceso de razonamiento abstrae dicha informacion y crea ideas e

imagenes sobre la realidad con objeto de obtener conocimiento. A dichas imagenes delimitadas y

conceptualizadas de la realidad se les denomina sistema.

La comprension del sistema, la formulacion adecuada en un modelo, las bases teoricas utilizadas

en la resolucion de los problemas, as como la experiencia, interpretacion de los resultados y el juicio

que se haga de estos permiten llegar a soluciones significativas. De manera informal se puede decir

que el termino Investigacion de Operaciones (INVO) es el uso del metodo cientfico para solucionar

los problemas dentro de sistemas a fin de lograr un objetivo, ya que el termino de investigacion

indica el uso de un enfoque similar al metodo cientfico para solucionar los problemas; mientras que

el termino de operaciones implica que se analizan sistemas de actividad donde se tiene que lograr

un objetivo y se tiene recursos escasos.

1

Algunas de las definiciones construidas para definir investigacion de operaciones son:

Definicion 1 La investigacion de operaciones es una rama de las matematicas aplicadas, que con-

siste en el uso del enfoque cientfico en la toma de decisiones con el objeto de mejorar el diseno u

operacion de un sistema [?]

Definicion 2 La investigacion de operaciones es la aplicacion por grupos interdisciplinarios del

metodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de

que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organizacion [?]

De las definiciones anteriores, se deben resaltar los siguientes terminos: organizacion, sistema,

metodo cientfico grupo interdisciplinario y toma de decisiones; ya que estos conceptos interrelacio-

nados dan la idea central del concepto INVO. A continuacion, se describen estos conceptos, ademas

se define el concepto de modelo.

1.1.1. Conceptos basicos

1.1.1.1. Sistema

El hombre esta en contacto con el mundo real y capta por medio de sus sentidos situaciones

o hechos que le cautivan. Por el proceso de razonamiento abstrae dicha informacion y crea ideas

e imagenes sobre la realidad con objeto de obtener conocimiento. Dichas imagenes delimitadas y

conceptualizadas de la realidad se les denomina sistema.

Acko define a un sistema como un conjunto de elementos interrelacionados[?], en contraste

Winston, como una organizacion de componentes interdependientes que trabajan juntos para alcan-

zar un objetivo [?]. En terminos generales, se puede definir a un sistema como :AAuna serie de

objetos con determinada relacion e interaccion entre esos objetos y entre sus atributos. Entendiendo

por objetos las partes o componentes del sistema y a los atributos como las propiedades del objeto.

Debido a la naturaleza tan amplia del concepto de sistemas es necesario clasificarlos para poder

entender el concepto, en la figura 1.1 se da una clasificacion de los sistemas; cabe mencionar que

existen otras clasificaciones de sistemas.

2

Figura 1.1: Tipos de modelos

Sistemas conceptuales: son una unidad formada por un conjunto organizado de definiciones,

nombres, smbolos y otros instrumentos de pensamiento o comunicacion. Ejemplos de este tipo de

sistemas son la notacion musical, las matematicas, etc.

Sistemas reales: son una entidad material formada por partes organizadas que interactuan entre

s. Ejemplos de estos sistemas son la sociedad, una celula, etc.

Sistemas naturales: Es un conjunto de elementos fsicos (bioticos y abioticos) que se encuentran

estructurados y organizados. Ejemplos de este tipo de sistemas es el cuerpo humano, la biosfera, la

tierra misma.

Sistemas humanos: son un conjunto de elementos organizados, estructurados y sistematizados por

el hombre con la finalidad de obtener algun grado de beneficio. Ejemplos de este tipo de sistemas

son: la sociedad, una unidad de manejo forestal, un campo de maz, una fabrica, etc.

Sistemas sociales: es un conjunto interrelacionado y estructurado por el hombre que proporciona

algun servicio o bien a la sociedad pero cuyo objetivo primordial no es el generar riqueza. Ejemplos

de este tipo de sistemas son: la cruz roja, la iglesia, un club de beneficencia, etc.

Sistemas productivos: es un conjunto de elementos interrelacionados y estructurados que llevan

a cabo un proceso de transformacion con un objetivo determinado (generalmente producir riqueza).

Ejemplos de este tipo de sistemas es un aserradero, una tienda, una mina, una fabrica de tableros,

etc.

3

1.1.1.2. Organizacion

Una organizacion puede entenderse como un sistema, en el cual existen componentes; canales

que comunican tales componentes e informacion que fluye por dichos canales. En todo sistema las

componentes interactuan unas con otras y tales interacciones pueden ser controlables e incontrola-

bles. En un sistema grande, las componentes se relacionan de muchas maneras, pero no todas son

importantes, o mejor dicho, no todas las interacciones tienen efectos importantes en las componentes

del sistema.

1.1.1.3. Metodo cientfico

El metodo cientfico es un procedimiento que ha caracterizado a la ciencia natural desde el siglo

XVII, que consiste en la observacion sistematica, medicion y experimentacion, y la formulacion,

analisis y modificacion de las hipotesis. El metodo cientfico se basa en los preceptos de falsabilidad

1 y reproducibilidad 2.

Los pasos que conforman el metodo cientfico son: a) observacion (el investigador debe apelar a

sus sentidos para estudiar el fenomeno de la misma manera en que este se muestra en la realidad)

b) la induccion (partiendo de las observaciones, el cientfico debe extraer los principios particulares

de ellas), c) el planteo de una hipotesis (surgido de la propia observacion), d) experimentacion (con

base a ella se obtienen datos que se utlizaran para aceptar o rechazar la hipotesis), e) analisis de

resultados y f) presentacion de resultados.

1.1.1.4. Grupo interdisciplinario

Un grupo interdisciplinario es un conjunto de profesionales formados en diferentes areas del saber;

el trabajo conjunto de estos profesionales permite poseer una vision integral del problema de estudio;

con base en lo cual crean sistemas metodologicos integrales, se aportan soluciones y recomendaciones

que, por su caracter holstico, superen el vaco de la accion multidisciplinar.

1indica que cualquier proposicion de la ciencia debe resultar susceptible a ser falsada2un experimento tiene que poder repetirse en lugares indistintos y por un sujeto cualquiera

4

1.1.1.5. Toma de decisiones

Seguramente alguna vez en el trabajo o en la escuela se ha planteado alguna de las siguientes

interrogantes Cual decision se debe tomar en estas circunstancias? La decision tomada es la mejor?.

Estas preguntas son las incognitas fundamentales en el proceso de toma de decisiones.

Se define a la toma de decisiones como el conjunto de herramientas que permiten seleccionar una

alternativa entre un conjunto de ellas. Es cierto que cuando se toma una decision se toma como base

la experiencia personal, la tradicion, la costumbre o la fe pero estos aspectos no garantizan que la

alternativa seleccionada sea la mejor.

Cuantas veces usted ha odo frases como bien o mal ya esta hecho, siempre se ha hecho as,

etc. como repuestas de personas cuando se les cuestiona por una decision mal tomada. Si bien es

cierto que la naturaleza humana (gustos, preferencias, afinidades) juegan un papel importante en

las decisiones que se toman es necesario entender que no pueden ser la base fundamental para un

decisor racional.

Un decisor racional debe cumplir con los siguientes aspectos para garantizar que sus decisiones

son basadas en elementos no subjetivos.

Debe estar bien informado: El decisor debe conocer todos los hechos y relaciones pertinentes

sobre el problema a tratar.

Conocer todas las alternativas: Identificar todas las alternativas posibles de solucion al proble-

ma.

Ser objetivo: Entender que las decisiones se basan en obtener el maximo de beneficios posibles.

A causa de la complejidad del ser humano es muy difcil alcanzar el estado racional para las

decisiones. Pero es posible llegar con facilidad al estado de racionalidad acotada. Estado al que

se llega tratando de ser lo mas racional posible dentro de las fronteras de informacion limitada

mitigando lo mas posible los objetivos en conflicto.

5

1.1.1.6. Modelo

Un modelo es una representacion o abstraccion selectiva (cuantitativa o cualitativa) de las

caractersticas de un sistema. Un modelo permite abordar un problema de forma tal que se hace

posible la identificacion y evaluacion sistematica de todas las alternativas de decision del problema,

es decir, el objetivo de los modelos es el brindar algun grado de certidumbre en la toma de decisiones.

Cabe mencionar que los modelos no trasladan enteramente al sistema real a terminos comprensivos.

La elaboracion de modelos conceptualiza, sistematiza y organiza el conocimiento y la experiencia

del tomador de decisiones con respecto al sistema. Y tambien revela y aclara lo que no se entiende

ni se conoce pero debera comprenderse, de las operaciones del sistema. Por lo tanto se dirige a un

importante proceso de conocimiento. Debe hacerse notar que un mismo sistema puede ser represen-

tado por diferentes modelos, de acuerdo con el problema que se desee enfrentar y resolver; en otras

palabras el tipo de modelo que se utilice para hacer frente a una situacion siempre dependera del

proposito y la naturaleza del estudio, ademas es posible combinar distintos tipos de modelos con

objeto de comprender mejor el sistema bajo estudio.

Los modelos se pueden clasificar de acuerdo con sus caractersticas ( forma o grado de abstraccion,

el grado adaptacion a cambios del sistema en el tiempo y la forma de manipulacion del modelo). A

continuacion, se da una breve descripcion de los tipos de modelos mas utilizados.

Modelos materiales

Son transformaciones de los sistemas reales (sistemas fsicos) en otros sistemas tambien fsicos

mas sencillos que el original, pero que conservan las caractersticas esenciales de estos. Ejemplos

de esta clase de modelos son: las maquetas y modelos a escala usadas por los arquitectos e

ingenieros, los mapas y planos de todo tipo, las fotografas, pinturas o esculturas, etc. Los

modelos materiales tambien se conocen como modelos iconicos y pueden ser subdivididos en

tres tipos de acuerdo con el grado de semejanza que se tenga con la realidad.

Tipo replica. Son representaciones fsicas de los sistemas fsicos originales; que conservanla dimensionaldad de los objetos reales. Dichas representaciones pueden tener reducciones

o aumentos en la escala de las dimensiones con respecto al objeto material, no tenerlas o

no tener la proporcionalidad en todas sus dimensiones. Ejemplos de este tipo de modelos

6

son: modelos a escala de un barco o avion, las maquetas usadas por los ingenieros, etc.

Tipo cuasi-replica. Son representaciones fsicas de los sistemas originales, en los cuales,una o mas de las dimensiones del objeto original no son reflejadas en el modelo.Un ejemplo

de cuasi-replicas es una fotografa donde en general el objeto original es tridimensional y

el modelo es bidimensional. Otros ejemplos son. Las cartas topograficas, los mapas y los

planos.

Tipo analogicos. Son representaciones fsicas de los sistemas reales, en los cuales, el modelono tiene un parecido directo con los objetos reales. Sin embargo es posible establecer una

relacion directa uno a uno entre las variables del sistema y las del modelo. Ejemplos de

este tipo de modelos son: en el campo de la Psicologa el comportamiento de aprendizaje

de los animales ha servido para crear modelos de aprendizaje para el ser humano, en

medicina el comportamiento que tienen los medicamentos sobre los animales sirve para

crear modelos de comportamiento en los seres humanos.

Modelos simbolicos

Consisten en una serie de declaraciones expresadas en terminos logicos que representen las

propiedades esenciales de los sistemas originales. Ejemplos de esta clase de modelos son: la

constitucion de Mexico, los diez mandamientos de la iglesia catolica, la ley de Ohm, etc. Los

modelos simbolicos tambien son conocidos como modelos formales, y se pueden distinguir tres

categoras de acuerdo al grado de abstraccion utilizada.

Tipo descriptivos (tambien llamdos modelos linguisticos). Este tipo de modelos consistenen una serie de aseveraciones sobre el sistema original, expresadas en lenguaje comun.

Constituye la clase menos abstracta de los modelos simbolicos y solo pueden ser manipu-

lados y transformados usando las reglas gramaticales. Ejemplos de este tipo de modelos

son: la constitucion de los Estados Unidos Mexicanos, los estatutos y reglamentos de

alguna empresa, un libro de divulgacion sobre teora economica.

Tipo graficos. Son representaciones de los sistemas reales en los que se hace uso de esque-mas, grafos o diagramas. Este tipo de modelos es muy utilizado en la vida diaria por la

facilidad que ofrece de organizar una gran cantidad de informacion. Ejemplos de este tipo

7

de modelos son: los diagramas de flujo, los diagramas de actividades, los grafos, etc.Los

modelos graficos pueden ser clasificados de acuerdo a tipo de representacion y el tipo de

informacion utilizada en su construccion.

Representaciones esquematicas. Son representaciones del sistema real o de una partede el por medio de esquemas en los que se hace uso de informacion estructurada y

sistematizada. En dicha representacion se manifiesta las relaciones y propiedades de

los sub-sistemas esenciales que forman el objeto de estudio.

Grafos. Es una representacion constituida por un conjunto de puntos (distintos ynumerables), llamados vertices y un conjunto de ramas orientadas a las que se les

denomina arcos que unen a dos vertices en un sentido determinado. Son en senti-

do estricto las representaciones mas abstractas de los modelos graficos. Los grafos

generalmente son utilizados para registrar informacion acerca de las relaciones o co-

nexiones entre cada elemento (vertice). Por la gran generalidad de la definicion de

los grafos se pueden utilizar para modelar multiples problemas, de los que se pueden

dar como ejemplos: redes de transporte, redes de distribucion electrica, etc.

Tipo formales. Son representaciones de los sistemas reales que consisten en una serie deaseveraciones sobre el sistema original, expresadas en smbolos, manipuladas mediante

una estructura formal. Ejemplos de estos se tienen, el algoritmo de ruta critica, la ley de

Ohm, etc. De acuerdo con la estructura formal utilizada para la manipulacion de dichos

modelos es posible clasificarlos.

1. Modelos matematicos. Son representaciones de los sistemas reales, en los cuales se

utilizan expresiones matematicas. Es preciso que la representacion matematica tenga

una forma utilizable y que traduzca la realidad de los hechos lo mas fielmente como

sea posible.

a) Modelos de programacion matematica corresponde al modelo ideado para selec-

cionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la optima.

b) Modelo descriptivo. Constituye sencillamente una descripcion matematica de una

condicion real del sistema, es decir, este modelo solo intenta describir la situacion

8

no elegir una alternativa.

c) Modelo Probabilstico. Aquellos basados en la estadstica y probabilidades (donde

se incorpora las incertidumbres que por lo general acompanan nuestras observa-

ciones de eventos reales).

d) Modelos deterministas. Son aquellos que no contienen elementos aleatorios, que

afecten el desempeno del sistema. Ecuaciones lineales, ley de Newton, etc.

e) Entre otros.

2. Pseudocodigos. Son representaciones del sistema real en los que se realizan una serie

de aseveraciones expresadas en un lenguaje de simulacion, aunque tambien puede con-

tener expresiones de lenguaje natural, formulas o expresiones matematicas. Ejemplos

de estos modelos son: el algoritmo de ruta critica, el programa de una computadora,

etc.

1.2. Tecnicas que integran a la investigacion operaciones

Las caractersticas basicas de las tecnicas y metodos que conforman a la investigacion de opera-

ciones son:

Un enfoque de sistema (el paradigma sistemico). Con lo cual se usa el enfoque del telescopio

para concebir los problemas en un sistema

Aplicar el metodo cientfico. Es decir se utiliza un procedimiento estructurado, comprobable y

objetivo para el planteamiento, analisis y solucion de problemas.

Bases cuantitativas para la toma de decisiones. Se refiere a utilizar modelos matematicos para

que den una idea cuantificable del impacto de las decisiones que se propongan en un sistema.

Enfoque de equipo para resolver los problemas. Con lo que se busca enriquecer y estructurar el

conocimiento disponible sobre el problema a tratar. Los equipos pueden ser multidisciplinarios

o interdisciplinarios de acuerdo con la naturaleza del problema.

9

Es posible clasificar las herramientas de la INVO de acuerdo al objetivo que se busca al aplicarlas.

As pues se tienen dos categoras que son las de optimizacion y las de analisis. Lo anterior se

esquematiza en la figura ??

Figura 1.2: Herramientas de la Investigacion de operaciones

La optimizacion es una idea fundamental en diversas disciplinas del conocimiento, como son:

investigacion de operaciones, administracion, finanzas, telecomunicaciones... la cual se utiliza en el

diseno, el analisis y toma de decisiones en sistemas. Algunas definiciones del termino son:

1. Luenberger precisa que la optimizacion es uno de los principios basicos del analisis de proble-

mas3 complejos de decision, y su proceso consiste en la asignacion de valores a un conjunto de

variables interrelacionadas, centrando la atencion en un mecanismo disenado para cuantificar

la calidad de la decision [?].

3Un problema es una diferencia, desviacion o un desequilibrio entre el estado real e ideal de un sistema, ademas

de ser lo suficientemente importante para justificar su resolucion.

10

2. Hall expresa que la optimizacion es lograr la mejor armona entre el sistema y sus integrantes;

y su proceso comprende desde el planteamiento de un problema, hasta el analisis y seleccion

de la mejor alternativa [?].

3. La optimizacion es seleccionar de un conjunto de alternativas posibles a la mejor de ellas, con

base en algun criterio de decision [?].

4. Optimizacion es obtener la mejor solucion posible de una actividad o un proceso, a traves del

uso adecuado de informacion y conocimientos disponibles.

5. La optimizacion (tambien denominada programacion matematica) es una parte de la inves-

tigacion de operaciones4, la cual trata de resolver problemas de decision en los que se deben

determinar las acciones que optimicen un determinado objetivo, pero satisfaciendo ciertas li-

mitaciones en los recursos disponibles [?].

6. La programacion matematica es una potente tecnica de modelado usada en el proceso de

toma de decisiones [?].

Basado en lo anterior, el termino optimizacion se puede entender como el conjunto de cono-

cimiento, principios, teoras, tecnicas, herramientas utiles y necesarias para resolver problemas de

programacion matematica.

De manera general, resolver un problema es un proceso racional que involucra desde identificar

el problema de interes hasta la eleccion y ejecucion de alguna accion a fin de eliminarlo o reducirlo.

Este proceso debe ser sistematico y guiado por el conocimiento disponible sobre el sistema.

Un problema de optimizacion puede ser expresado como encontrar el valor de unas variables

de decision para las que una determinada funcion 5 objetivo (o varias funciones objetivo) alcanza su

4La investigacion de operaciones es una rama de las matematicas aplicadas, que consisten en el uso del enfoque

cientfico en la toma de decisiones con el objeto de mejorar el diseno u operacion de un sistema. [?]. Acko la define

como la aplicacion por grupos interdisciplinarios del metodo cientfico a problemas relacionados con el control de las

organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organizacion

[?].5Una funcion f : D Rn ! Rm es cualquier criterio que a cada punto x 2 D le asigna un unico punto f(x) 2 Rm.

El conjunto D se llama dominio de la funcion y f(x) es la imagen de x por f .

11

valor maximo o mnimo, de acuerdo con las caractersticas del problema. En ocasiones el valor de

las variables de decision esta sujeto a un conjunto de restricciones [?].

La INVO es una ciencia y un arte que sirve como herramienta para la toma de decisiones. Es

una ciencia por el uso de una metodologa estructurada y comprobable (metodo cientfico) y es un

arte porque el exito de todas las fases dependen la creatividad y experiencia de los analistas.

Todo problema de optimizacion debe ser formulado a traves de un modelo matematico; ya

que estos modelos describen de modo conciso y sin ambiguedad las relaciones o condiciones del

problema a resolver por medio del lenguaje y estructuras matematicas; lo cual permite emplear

tecnicas matematicas y computacionales de alto poder, para analizar y resolver dicho problema. En

el anexo 3 , se analiza el proceso de modelacion de los problemas de optimizacion.

Cuando se aplica la INVO para definir, analizar y solucionar problemas presentes en un sistema

se puede perder de vista el objetivo central del estudio.

Este riesgo esta presente cuando se manipulan los problemas para ajustarlos a las diferentes tecni-

cas en lugar de analizar y resolver los problemas. En otras palabras el analista tiene como objetivo

central de su estudio lucirse aplicando tecnicas complejas en lugar de solucionar problemas. Para

llegar a hacer un uso apropiado de las herramientas de la INVO, es necesario primero comprender la

metodologa para resolver los problemas, as como los fundamentos de las tecnicas de solucion para

de esta forma saber cuando utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

1.3. Historia de la INVO

La investigacion de operaciones se formalizo como un conocimiento a partir de la primera mitad

del siglo XX como un desarrollo de tecnicas belicas durante la segunda guerra mundial. Existe dis-

tintos puntos de vista dentro de la literatura disponible sobre el pas de origen de este conocimiento,

algunos autores como Taha (8) afirman que este conocimiento es de origen britanico, mientras otros

como Haeusseler (9) afirman que este conocimiento tubo sus origen en E.U.A.

Algunas de las investigaciones realizadas por los britanicos comprendan el determinar el tamano

optimo de las caravanas que permitiera minimizar las perdidas por los ataques de los contrarios.

Mientras que los estudios de los americanos comprendan la solucion a problemas logsticos, la

12

planeacion de nuevos patrones de vuelo. Las bases iniciales de estos estudios en un principio se

fundamentaban en analisis estadstico simple.

La IO nace con los primeros intentos de aplicar el metodo cientfico a la administracion ya que

se tena la necesidad de asignar recursos escasos a una serie de actividades de la forma mas efectiva

posible. (10)

Despues de la guerra los conocimientos generados por la INVO fueron adoptados por las em-

presas con gran entusiasmo, ya que buscaban soluciones a problemas causados por el aumento en

la complejidad y especializacion. Lo que se traduca como problemas complejos de decision. Por lo

que la INVO fue adoptada como una tecnica de decisiones para problemas, pero fueron necesarios

algunas aportaciones para concretar este conocimiento de las cuales se destacan las siguientes.

A) Se mejoraron y desarrollaron las tecnicas disponibles (programacion lineal, programacion

dinamica, lneas de espera y teora de inventarios que fueron desarrollados casi en su totalidad antes

de la decada de los 50).

B) El desarrollo de modelos inter-industriales en economa por Leontief.

C) La revolucion y facilidad de manejo de problemas complejos con el uso de las computadoras.

D) El desarrollo por George B. Danzig del algoritmo del metodo simplex.

1.4. Perspectivas de la Investigacion de operaciones

El impacto de la INVO ha sido impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numero-

sas organizaciones en todo el mundo. Y ha hecho contribuciones significativas al incremento de la

productividad dentro de la economa de varios pases. (10). Lo que se refleja en el creciente numero

de asociaciones dedicadas a promover este conocimiento en el mundo. Ahora existen 48 pases que

son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS) (11). Y a

nivel America Latina existe la Asociacion Latinoamericana de Investigacion de operaciones (ALIO)

cuyo objetivo es el de promover, el intercambio de informacion experiencias entre investigadores,

academicos, y profesionales relacionados con la Investigacion Operativa en la region, as como de

nuevas tecnicas y conocimientos relacionados. (12) Sin duda, la demanda de profesionales de la in-

vestigacion de operaciones continuara aumentando. Pero se espera que el empleo de los analistas de

13

la investigacion de operaciones crezca mas lentamente que el promedio del resto de las ocupaciones

a partir del 2014 (13), reflejando crecimiento lento en el numero de trabajos con el ttulo .analista

de la investigacion de operaciones.Sin embargo cada vez los trabajos seran mas atractivos, ya que

sera un reto para las organizaciones lograr la competitividad y uso racional de los recursos en la

aldea global.

14

Captulo 2

Modelacion de problemas de

optimizacion

2.1. Modelos usados por la programacion matematica

Estos modelos, generalmente, contienen los siguientes elementos: [?, ?, ?]:

Alternativas o variables de decision: Son n decisiones cuantificables, cuyo valor afecta el

desempeno del sistema.

Restricciones: Representan un conjunto de m relaciones o condiciones (expresadas como

ecuaciones e inecuaciones) que un subconjunto de variables estan obligadas a satisfacer.

Funcion objetivo (o funciones objetivo): Es una medida cuantitativa sobre la calidad de

las soluciones de un problema. Se expresa como una funcion matematica de las variables de

decision.

Modelar es un proceso creativo-intelectual para la generacion de modelos, el cual debe ser sistematico,

racional y teoricamente guiado, su objetivo es analizar y resolver problemas. La modelacion de

problemas de optimizacion ha sido abordada, estudiada y sistematizada por la investigacion de

operaciones (vease Figura 2.1). La modelacion es de crucial importancia, ya que permite generar un

15

Figura 2.1: Fases de la modelacion de un problema de optimizacion

instrumento para describir, estudiar, analizar y comprender el comportamiento del sistema. Debido

a su importancia se analiza brevemente esta proceso intelectual.

2.2. El proceso de construccion de modelos de optimizacion

De la modelacion de un problema se obtienen algunos beneficios implcitos y explcitos, como:

a) el modelo del sistema; b) favorece el intercambio de opiniones y conocimiento entre los actores

involucrados; c) organizacion, sistematizacion y explotacion de la informacion disponible sobre el

sistema; d) el analisis de los resultados obtenidos servira como guia para la toma de decisiones, entre

otros.

Generalmente, se utilizan los principios de parsimonia -tambien conocido como principio de senci-

llez, Navaja de Occam u Ockham- y el de no contradiccion como guias en la modelacion. El principio

de parsimonia (Guillermo de Ockham, 1280-1349), establece no emplear mas conceptos, ideas u ob-

jetos teoricos que los estrictamente necesarios para generar una explicacion que sea satisfactoria del

fenomeno (o fenomenos) de interes [?, ?, ?].

Principio 2.1 (Principio de parsimonia) Entia non sunt multiplicanda praeter necessi-

tatem (el numero de entes no debe ser multiplicado sin necesidad.)[?]

El principio de no contradiccion, establece que dos juicios contradictorios sobre un objeto o

evento no pueden ser simultaneamente validos; y por lo tanto, basta con reconocer la validez de uno

16

de ellos para poder negar formalmente el otro. En otras palabras: no se puede atribuir al mismo

concepto dos cualidades opuestas en las mismas condiciones y en el mismo instante. A continuacion,

se expresa este principio en la logica proposicional:

Principio 2.2 (Principio de no contradiccion) (p ^ p)

2.2.1. Reconocer el problema

En esta fase se detectan, definen y plantean los problemas presentes en el sistema; para lo cual se

crean, comparan y analizan un modelo ideal y otro real del sistema, las actividades que conforman

esta fase son:

Determinar las fronteras del sistema.

Determinar y caracterizar el medio ambiente en el que se desenvuelve el sistema.

Identificar, caracterizar y analizar la funcion 1, los fines 2 y los medios 3 del sistema.

Evaluar la situacion actual del sistema.

Crear la situacion ideal del sistema.

Detectar las posibles causas de los problemas.

Identificar las posibles consecuencias de los problemas.

Plantear los problemas.

Lo anterior, se basa en el hecho de que para la planeacion adecuada se requiere adicionar la

informacion de los elementos que influyan directamente en el desarrollo del sistema. Por lo que el

equipo de INVO debe detectar, conocer y clasificar los siguientes aspectos del sistema:

Entradas1Es la accion principal que realiza el sistema.2Son los resultados que persiguen las acciones del sistema, pueden ser usados como una guia en la toma de

decisiones.3Son el conjunto de elementos que interactuan para alcanzar los fines del sistema.

17

Son elementos que fluyen del exterior al interior del sistema con el fin de proveer al sistema de

los recursos necesarios para alcanzar sus fines. Lo anterior se basa en el hecho de que todo sistema

requiere de bienes y servicios producidos por otros sistemas.

Subsistemas

Son los elementos que lo forman e interactuan para alcanzar los fines del sistema. Para lo cual

se utiliza la construccion por descomposicion funcional del sistema.

Salidas del sistema

Son elementos que fluyen del interior del sistema hacia el exterior. Estos son, en un sistema

productivo: a) desperdicios del sistema: son salidas producto de las transformaciones del sistema y no

representan al bien central de transformacion y B) productos: son el resultado de las transformaciones

hechas por el sistema a las entradas, es decir, son los resultados de la funcion del sistema.

La informacion obtenida de esta fase sera utilizada en la etapa siguiente.

2.2.2. Definir el problema

En la fase crtica se establecen los lmites del problema a resolver; por ende, esta etapa afecta en

forma significativa los resultados y conclusiones obtenidos de la modelacion ; ya que generalmente es

difcil obtener una respuesta correcta de un problema equivocado [?]. En esta fase, se tomara la

decision sobre cual de los problemas presentes en el sistema se debe solucionar, para lo que es

conveniente tomar como referencia los fines del sistema. Las actividades que se realizan en esta fase

son:

Definir el problema que va a ser investigado.

Especificar los supuestos bajo los cuales el sistema sera modelado.

Identificar y describir las alternativas de solucion.

Determinar los objetivos del estudio.

Recolectar informacion sobre el problema.

Descripcion verbal del problema.

18

2.2.3. Construir el modelo matematico

Consiste en el reemplazo del objeto cognitivo por su imagen matematica. Durante la escritura

matematica, se deben definir: las caractersticas de las variables de decision, estructurar las ecua-

ciones o inecuaciones que representen correctamente las relaciones existentes entre las variables de

decision en el problema real, la funcion objetivo (funciones objetivos), y los parametros necesarios.

Esta es una fase creativa, en la cual se debe prestar atencion a la precision de la formulacion.

Los modelos matematicos usados por la INVO constan de las siguientes partes: a) Variables y

parametros de decision: Los parametros son valores conocidos relacionados a las variables de decision

Las variables son incognitas (decisiones) que deben ser determinadas al resolver el modelo. b) La

medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una

funcion y se le conoce con el nombre de funcion objetivo. c) Las limitantes del problema denominadas

generalmente como restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen

las barreras (fronteras del modelo) y obstaculos para la consecucion del objetivo.

La construccion de un modelo adecuado para reproducir la realidad, es una etapa crucial para

obtener una solucion satisfactoria del problema real. Los modelos de programacion matematica

pueden ser clasificados de acuerdo a las caractersticas y propiedades de sus elementos en [?, ?]:

a) Modelos continuos y modelos discretos.

Si todas las variables de decision del modelo pueden asumir cualquier valor R entonces se

dice que el modelo de optimizacion es un modelo continuo; en contraste, cuando al menos

una variable de decision debe asumir valores en: Z o N; entonces, se dice que el modelo de

optimizacion es mixto, si todas las variables asumen valores en Z o N, se dice que el modelo

es discreto. En el ejemplo 2.1, se muestran algunos problemas de optimizacion de estos

modelos.

Ejemplo 2.1

Modelo continuo

19

mnPn

j=1 ci xisujeto a:Pn

j=1 ai,j xi,j , o = bj 8 i = 1, 2, . . . ,mxi 0

x 2 Rn, c 2 Rn

Modelo discreto

maxPn

i=1 ci xisujeto a:Pn

j=1 ai,j xi,j , o = bj 8 i = 1, 2, . . . ,mxi 0x 2 Zn

Modelos lineales y modelos no lineales.

Un modelo lineal implica que todas las restricciones y el conjunto de funciones objetivo

cumplen con los principios de proporcionalidad 4 y superposicion 5, pero si alguna restriccion

o alguna de las funciones objetivo no cumplen con dichos principios entonces se trata de un

modelo no lineal. En el ejemplo 2.2, se muestran algunos problemas de optimizacion de

estos modelos.

Ejemplo 2.2

Modelo lineal

mnPn

i=1 ci xisujeto a:

ai,j xi , o = bj 8 j = 1, . . . ,mxi 0

x 2 Zn ^ x 2 [0, 1]4Implica satisfacer la propiedad:f( x) = f(x)5Se satisface la propiedad f(x+ y) = f(x) + f(y)

20

Modelo no-lineal

mnPn

i=1 ci xkisujeto a:

ai,j xi , o = bj 8 j = 1, . . . ,mx 2 Rn

k 6= 1

Modelos mono objetivo o multiobjetivos.

En un modelo multiobjetivo se plantea un conjunto de funciones objetivo dos o mas

normalmente en conflicto entre s. La existencia de multiples funciones objetivo plantea una

diferencia fundamental con un modelo mono objetivo: no existira una unica solucion al

problema, sino un conjunto de soluciones que plantearan diferentes compromisos entre los

valores de las funciones a optimizar.

Ejemplo 2.3

Modelo mono objetivo

mnPn

i=1 ci xisujeto a:

ai,j xi , o = bj 8 j = 1, . . . ,mxi 0

x 2 Zn ^ x 2 [0, 1]Modelo multiobjetivo

mn{f1(x), f2(x), . . . , fk(x)}sujeto a:

ai,j xi , o = bj para todo j = 1, . . . ,mxi 0

x 2 Rn, c 2 Rn, A 2 Rnm, b 2 Rn

Modelos determinsticos y estocasticos.

Un modelo determinista es aquel donde se supone que todos los datos pertinentes

21

se conocen con certeza; es decir, para cualquier conjunto de valores de las variables de

decision se conoce con seguridad el valor de la funcion objetivo (o funciones objetivo) y si

las restricciones se cumplen o no. En contraste, en los modelos estocasticos tambien

conocidos como probabilsticos se presupone que algunas variables son aleatorias y por lo

tanto, no se conocera su valor con exactitud hasta tomar las decisiones correspondientes,

tal desconocimiento debe ser incorporado al modelo. En el ejemplo 2.4, se muestran algunos

problemas de optimizacion de estos modelos.

Ejemplo 2.4

Modelo determinstico

mnPn

i=1 ci xisujeto a:

ai,j xi , o = bj 8 j = 1, . . . ,mxi 0

x 2 Zn ^ x 2 [0, 1]Modelo estocastico

mnPr

i=1G(i)

sujeto a:

T 0 ^ T 2 Zn

x(1) 0x(i+ 1) x(i), i = 1, . . . , T

x(N) horizonte de planeacionx(i) 0 ^ x(i) 2 Zn

Modelos estaticos y dinamicos.

Un modelo estatico se utiliza para analizar un sistema en un instante en el tiempo, por

lo cual en su formulacion no se considera el avance del tiempo. Por el contrario, en un

modelo dinamico se considera que al menos un elemento de decision evoluciona o cambia

con respecto del tiempo; por ende, en el modelo se describen las variables de decision como

22

funciones del tiempo, describiendo trayectorias temporales. En el ejemplo 2.5, se muestran

algunos problemas de optimizacion de estos modelos.

Ejemplo 2.5

Modelo estatico

mnPn

i=1 ci xisujeto a:

ai,j xi , o = bj 8 j = 1, . . . ,mxi 0

x 2 Zn ^ x 2 [0, 1]Modelo dinamico

mnR T0

c1[x0(t)]2 + c2x(t)

dt

sujeto a:

x(0) = 0

x(T ) = B

x0(t) 0

Las ventajas de utilizar un modelo matematico con objeto de entender, analizar y solucionar un

problema, sobre otro tipo de modelos son las siguientes: a) Un modelo matematico describe un pro-

blema en forma mas concisa. b) Facilita el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas

sus interrogaciones. c) Forma un puente para poder emplear tecnicas matematicas y computacio-

nales de alto poder, para analizar el problema. Pero tambien existen desventajas entre los modelos

matematicos y otros tipos de modelos las cuales son: a) Un modelo requiere de aproximaciones,

suposiciones y simplificacion con objeto de hacerlo manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo

tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representacion sencilla pero valida del

problema. b) Debe existir una alta correlacion entre la prediccion del modelo y lo que ocurre en la

vida real. Es decir el modelo debe representar de manera fiel el problema que se desea analizar.

23

2.2.4. Solucionar el modelo

Despues de construir el modelo, se utilizan mecanismos, generalmente un algoritmo6, con el objeto

de encontrar la solucion optima (o cuasi-optima) del problema en cuestion. El metodo de solucion a

usar en la resolucion de cualquier problema esta en funcion de las caractersticas y propiedades de su

modelo matematico. Durante esta fase es posible el desarrollo o adecuacion de algun (os) algoritmo

(s) para resolver un modelo de programacion matematica.

2.2.5. Validar el modelo y la solucion obtenida

Tiene como proposito perfeccionar el modelo propuesto de tal forma que, dicho modelo sea una

herramienta adecuada para analizar y predecir el comportamiento del sistema. Comprobar si el

modelos hace lo que se espera que haga, Atiene sentido la solucion?

2.2.6. Control de la solucion o analisis de sensibilidad

AComo se modifica la solucion optima si cambia o cambian algunos de los parAmetros del

problema?

2.2.7. Implementacion

Traduccion de los resultados en instrucciones de operacion detallada emitidos en forma compren-

sible para administradores del sistema.

2.2.8. Modelacion

Aunque el lector lo dude la parte mas difcil de la IO es la formulacion matematica del siste-

ma que desea estudiar. Ya que esta actividad involucra n decisiones relacionadas a la percepcion y

razonamiento de los involucrados en el sistema. Una vez que se ha definido el problema el analista

del sistema tiene que traducir del lenguaje de uso comun a un lenguaje matematico una represen-

tacion del sistema que desea estudiar. Esta es la fase tres de la metodologa de la investigacion de

operaciones. Antes de iniciar esta fase el analista debe verificar que los aspectos son directrices del

6Un algoritmo es un procedimiento con un numero finito de pasos bien definidos para realizar una tarea.

24

problema que se esta estudiando. El procedimiento para formular el modelo matematico a partir de

un modelo descriptivo del problema bajo estudio conlleva cinco pasos los cuales se esquematizan a

continuacion.

Figura 2.2: Figura 1

A continuacion se da una breve descripcion de cada uno de los pasos. As como las consideraciones

generales a considerar durante cada uno de ellos.

2.2.9. Paso 0: Entendimiento del enunciado (modelo descriptivo del pro-

blema).

En este paso comienza con una lectura del enunciado sobre el problema. Durante la lectura el

analista debe separar las ideas centrales que describan al problema de forma general. Dichas ideas

podran ser identificadas por el analista contestando las siguientes interrogantes:

25

* Cual es el problema?

* Por que es un problema que se desee resolver?

* Para que se desea resolver ese problema en particular?

* Cual es el objetivo que se busca al resolver el problema?

* Cuales son los elementos que intervienen en el problema y cual es su importancia?

* Cuales son las relaciones e interacciones entre los elementos que intervienen en el sistema?

En caso de ser necesario se puede hacer uso de modelos graficos u otro instrumento que le permita

al analista una mayor comprension del problema.

2.2.10. Paso 1: Definicion de las variables de decision.

Una vez comprendido el problema se procede a determinar a las variables de decision del sistema.

Entendiendo como variables de decision a aquellas que al ser manipuladas afectan el estado del

sistema. Por convencion se utiliza la notacion x1 para indicar el numero de variable del que se

trata. Esta notacion representa el hecho de que las variables seleccionadas representan un vector de

soluciones factibles al sistema.

Cuando se este definido cada una de las variables es necesario expresar las unidades que seran

cuantificadas cada una de ellas con el objeto de tener una mejor interpretacion de las soluciones

obtenidas.

2.3. Paso 2: Determinacion de las restricciones del modelo.

En esta fase se representan las relaciones entre las variables del sistema en terminos de afirma-

ciones logicas. Ademas de establecer las relaciones entre variables tambien establece un lazo entre

estas y los recursos de el sistema.

Xalgo xalgo xalgo

26

No existe un lmite del numero de restricciones que puede contener un modelo. Las relaciones se

expresan en termino de ecuaciones en forma de desigualdades e igualdades. El signo de las ecuaciones

representa el tipo de relacion logica que se establece entre las variables de decision y los recursos.

2.3.1. Relacion del tipo de la igualdad (x1i x1j = b1)

Se establece que la combinacion de las variables i hasta j debe ser estrictamente igual a la cantidad

de recurso. El enunciado incluira terminos como: que se garantice utilizar la totalidad del recurso b,

que sea igual a b, que se ocupe todo b, etc.

2.3.2. Relacion del tipo mayor o igual que (x1i x1j b1)

Se establece que la combinacion de las variables i hasta j debe ser por lo menos igual a la cantidad

de recurso. Es decir la combinacion de variables puede tomar valores superiores al establecido en

el enunciado. El modelo descriptivo incluira terminos como: mayor o igual que b, por lo menos b,

cuando menos b, con lmite inferior de b, etc.

2.3.3. Relacion del tipo menor o igual que (x1i x1j b1)

Se establece que la combinacion de las variables i hasta j debe ser cuando mucho la cantidad de

recursos del sistema. Es decir la combinacion de variables podra tomar siempre valores inferiores a

lo establecido en el enunciado y se tomara como lmite superior a los recursos del sistema. El modelo

descriptivo incluira terminos como: menor o igual que b, a lo mucho b, a lo sumo b, con lmite

superior en b, etc.

2.3.4. Restricciones de no negatividad.

Son una serie de condiciones que establecen que el valor mas pequeno que puede asumir una

variable es cero. En caso de que las variables pudiesen asumir valores negativos existen tecnicas para

salvar este obstaculo que se veran mas adelante.

27

2.3.5. Paso 3: Determinacion de una medida de desempeno del sistema.

Es el objetivo que se busca alcanzar al satisfacer todas las restricciones del modelo. Los mo-

delos lineales solo pueden contener uno y solo un objetivo. La forma matematica del objetivo se

llama funcion objetivo. El cual se expresa siempre en terminos de maximizacion (conseguir el va-

lor mas grande) o minimizacion (conseguir el valor mas pequeno). Ademas sirve como una medida

de cuantificacion numerica del comportamiento de determinada combinacion de recursos. Su forma

convencional es:

Funcion objetivo ! Max o Min(Z)=a1 x1 + a2 x2 + . . .+ an xn

2.3.6. Paso 4: Estructuracion o sntesis del modelo.

Este paso consiste en dar la estructura convencional a lo obtenido en los pasos 2 y 3 de este

procedimiento de forma tal que se enuncie en primer lugar a la funcion objetivo del modelo y

despues las restricciones a la que queda sujeto este objetivo dentro del sistema.

Funcion objetivo ! Max o Min(Z)= a1 x1 + a2 x2 + . . .+ an xn

Sujeto a:

a11 x1 + a12 x2 + . . .+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + . . .+ a2n xn = b2

......

am1 x1 + am2 x2 + . . .+ amn xn = bmx1 , x2 0, . . . , xn 0

2.3.7. Ejemplos del procedimiento para modelar un problema.

A continuacion se muestran unos ejemplos de como aplicar esta metodologa a los problemas con

objeto de encontrar el modelo matematico correspondiente.

28

2.3.8. Problema 1. Control de contaminantes. (Haeussler E. F., 1997)

A causa de las reglamentaciones de la nueva ley de equilibrio ecologico sobre emisiones de conta-

minantes para las industrias, una compana x ha pensado introducir un nuevo y costoso procedi-

miento para la fabricacion del producto A que reemplazara al procedimiento actual de forma total

o parcial.

El proceso actual descarga 15 g de dioxido de azufre y 40 g de dioxido de carbono por cada

unidad de A. Mientras que el nuevo proceso descargara 5 g de dioxido de azufre y 20 g de dioxido

de carbono a la atmosfera por cada unidad de A. La compana obtiene una utilidad de $1.25 pesos

por cada unidad nuevo proceso. La ley establece que la empresa descargue a la atmosfera diariamente

a lo sumo 10500 g de dioxido de azufre y de no mas de 30000 g de dioxido de carbono. La compana

desea saber cuantas unidades de A deben producir /da en cada uno de los procesos con objeto de

obtener la mayor cantidad de utilidades posibles.

2.3.9. Formulacion del modelo matematico.

2.3.9.1. Paso 0: Entender el enunciado.

Para lograr esto se hace uso en este caso de un modelo grafico del sistema Figura 2. Modelo

grafico de problema de la compana x

2.3.9.2. Paso 1: Determinacion de variables.

Observe que los elementos que influyen directamente en el problema son la cantidad de productos

A hechos en el proceso actual y la cantidad de A hecha en el nuevo proceso. Por lo tanto estas son

las variables de decision del sistema.

x1 : Unidadesproducidasaldiaenelsistemaactual

x2 : Unidadesproducidasaldiaenelnuevosistema

2.3.9.3. Paso 2: Determinacion de las restricciones.

En el modelo grafico se observa que las restricciones del problema estan relacionadas con la

cantidad de contaminantes que es posible descargar a la atmosfera diariamente por producir n

29


cantidad de A. Pero para reafirmar esta idea se analizaran los enunciados del problema original.

a) La ley establece que la empresa descargue a la atmosfera diariamente a lo sumo 10500 g de

dioxido de azufre. Esta cantidad sera resultado de la combinacion de la cantidad producidas en

el sistema actual (15 g/unidad) y de la cantidad producida en el nuevo sistema (5 g/unidad). Lo

anterior queda representado en la siguiente afirmacion.

15x1 + 5x2 10500

b) La ley establece que la empresa descargue a la atmosfera diariamente no mas de 30000 g de

dioxido de carbono. Esta cantidad sera resultado de la combinacion de las cantidades producidas en

el sistema actual (40 g/unidad) y por el nuevo sistema (20 g/unidad). Lo anterior queda representado

en la siguiente afirmacion.

40x1 + 20x2 30000

c) Las condiciones de no negatividad resultan logicas si se parte del hecho de que la cantidad

30

mnima de artculos que se pueden fabricar con cualquiera de los dos proceso es de 0. Lo que se

representa en las siguientes afirmaciones.

x1 0

x2 0

2.3.9.4. Paso 3: Determinacion de la funcion objetivo.

El objetivo de la empresa es obtener la mayor cantidad de utilidades como sea posible. Dichas

utilidades seran resultado del aporte de las utilidades resultado de la venta de las unidades producidas

en el sistema actual (contribuye $1.25/unidad) y del nuevo proceso (contribuyen $0.87 / unidad).

Lo anterior se traduce en la siguiente afirmacion.

Max (Z) 1,25x1 + 0,87x2

2.3.9.5. Paso 4: Estructuracion o sntesis del modelo.

Funcion Objetivo:

Max (Z) 1,25x1 + 0,87x2

15x1 + 5x2 1050040x1 + 20x2 30000

x1 0 x2 0

2.3.10. Problema 2. Diseno de terapia (J., 2001)

Acaban de diagnosticarle a Silvia cancer de estomago en etapa 2. Lo que lleva a Silvia a buscar

las mejores opciones medicas de tratamiento que le ofrezcan mayores posibilidades de supervivencia.

Uno de los medicos oncologos que Silvia visita le explica que el tratamiento con radiacion le ofrece

mejores posibilidades de supervivencia. El medico le explica tambien que la base del tratamiento es

pasar radiacion ionizante a traves de su cuerpo que danara los tejidos cancerosos pero que tambien

danara a los tejidos sanos y que el dano en estos tejidos sera mas severo cuanto mas cercanos esten

31

los tejidos a la zona del tumor. As mismo que las celulas cancergenas generalmente se encuen-

tran diseminadas entre celulas sanas. Una vez terminada la explicacion del oncologo Silvia decide

someterse al tratamiento.

Ahora el medico se encuentra en la disyuntiva de balancear con cuidado todos los factores invo-

lucrados en la terapia de radiacion. Con el objetivo de disenar la combinacion adecuada de rayos a e

intensidades de cada uno para generar el tratamiento que sea lo mas efectivo posible para eliminar

el tumor, y a su vez sea lo menos danino para Silvia. Despues de una serie de analisis exhaustivos

el equipo dirigido por el oncologo estima que solo es necesario utilizar dos rayos de los cuales es

necesario estimar la dosis a aplicar.

El equipo considera como objetivo prioritario del tratamiento es minimizar la radicacion en el

tejido sano. Los datos necesarios a considerar en el tratamiento de Silvia se muestran en la siguiente

tabla.


2.3.10.1. Formulacion del modelo.


Lea otra vez el problema y se dara cuenta que los primeros parrafos solo dan el contexto de

referencia en el cual surge el problema el cual servira como base al momento de tomar decisiones.

Y que el problema propiamente dicho esta expresado en los dos ultimos parrafos y en la tabla

correspondiente.

32

2.3.10.3. Paso 1: Determinacion de variables de decision.

Los elementos que afectan directamente al problema es la dosis (en kilorads) a aplicar con cada

uno de los rayos en el tratamiento. Lo cual queda expresado en las siguientes sentencias.

x1 : intensidaddelrayo1 x2 : intensidaddelrayo2

2.3.10.4. Paso 2: Determinar las restricciones del problema.

A continuacion se sistematizan las restricciones del modelo que se encuentran enunciadas en la

tabla anterior.

a) La dosis total que puede aplicarse a los tejidos crticos (tejidos sanos cercanos al tumor) es

como maximo de 2.7. Esta radiacion es una combinacion de la dosis aplicada por el rayo 1 y el rayo

2. Lo que se representa con la siguiente afirmacion.

0,3x1 + 0,1x2 2,7

b) La dosis total a aplicarse a la region del tumor es de 6 Kilorads. Esta dosis es una combinacion

de lo aplicado con el rayo 1 y rayo 2.

0,5x1 + 0,5x2 = 6

c) La dosis total a aplicarse en el centro del tumor es de cuando menos 6 Kilorads. Esta dosis es

una combinacion de lo aplicado con el rayo 1 y 2.

0,6x1 + 0,4x2 6

33

d) Las condiciones de no negatividad resultan logicas si se parte del hecho de que la dosis mas

pequena que se puede aplicar con cualquiera de los dos rayos de cero. Lo cual se expresa en las

siguientes sentencias.

x1 0

x2 0

2.3.10.5. Paso 3: Determinacion de la funcion objetivo.

El enunciado dice que el objetivo prioritario del tratamiento es minimizar la radicacion en el

tejido sano. Lo que se expresa en la siguiente sentencia.

Min (Z) 0,4x1 + 0,5x2


Funcion objetivo:

Min (Z) 0,4x1 + 0,5x2

0,3x1 + 0,1x2 2,70,5x1 + 0,5x2 = 6

0,6x1 + 0,4x2 6x1 0 x2 0

2.3.11. Problema 3. Ensamble de automoviles. (J., 2001)

Una gran compana manufacturera dedicada a ramo automotriz organiza los vehculos que fabrica

en tres grupos distintos de acuerdo a sus caractersticas los cuales son A) Camiones, B) Automoviles

compactos C) Automoviles familiares.

34

Una de las plantas de la compana que se encuentra localizada en Queretaro ensambla dos

modelos del grupo de automoviles familiares. El primer modelo es un TSURU-87 de cuatro puertas

con asientos de vinil, recubrimientos de plastico de caractersticas austeras y de buen rendimiento.

Este modelo es generalmente comprado por familias de clase medio y por cada unidad vendida la

compana recibe una utilidad de $5 600. El segundo modelo es un TSURU-91 con cuatro puertas,

asientos e interiores en piel negra, con un sistema de navegacion guiado va satelite con caractersticas

de lujo. Este modelo es comprado por familias de clase media-alta y por cada unidad vendida se

genera una ganancia de $9 400.

Un gerente de la compana debe decidir el programa de produccion para el proximo mes en la

planta. Es decir el debe determinar cuantas unidades de TSURU-87 y TSURU-91 debe ensamblar la

fabrica con el objeto de maximizar las ganancias de la compana. El sabe de antemano que la planta

cuenta con 50 000 h/mes de mano de obra y que el ensamble de una unidad TSURU-87 tarda 8.5 h

mientras que una unidad TSURU-91 tarda 10.2 h.

Debido a que la planta solo ensambla los automoviles requiere de partes que le son suministradas

por otras 2 fabricas de la compana. El gerente conoce que la fabrica A solo proporcionara a la

planta de Queretaro 10000 pares de puertas, los modelos fabricados ocupan la misma cantidad de

puertas. Y la fabrica de llantas solo proporcionara a lo sumo 5000 juegos de llantas de las que ocupa

el modelo TSURU-91 y cuando menos 2000 juegos de las que ocupa el modelo TSURU-87 .

Un pronostico hecho por el departamento de ventas de la compana estima que las ventas del

TSURU-91 esta limitada a 3500 autos al mes. Y que las ventas del TSURU-87 es superior a 2000

autos al mes

2.3.11.1. Formulacion del modelo.


En este caso sera util valerse de un modelo grafico del problema, para ayudar a la concepcion

del modelo matematico.

35


2.3.11.3. Paso 1: Determinacion de las variables de decision.

Note que la cantidad de vehculos producidos de cada uno de los modelos son los elementos que

afectan directamente al problema por lo cual se escoge a estas como las variables de decision del

problema.

x1 : CantidaddevehiculosproducidospormesdelmodeloTSURU 87x2 : CantidaddevehiculosproducidospormesdelmodeloTSURU 91

2.3.11.4. Paso 2: Determinacion de las restricciones.

a) La cantidad disponibles de puertas es a lo mas de 10000 juegos. Estas cantidad sera consumida

por una combinacion de ambos modelos en una proporcion de 1 por cada unidad producida.

x1 + x2 10000

36

b) La cantidad disponible de mano de obra al mes es a lo sumo de 50000. Esta cantidad sera con-

sumida por una combinacion del TSURU-87 (requiere 8.5 h/unidad) y del TSURU-91 (requiere

10.2h/ unidad).

8,5x1 + 10,2x2 50000

c) La cantidad de llantas disponibles para el TSURU-87 es de por lo menos 2000 juegos.

x2 2000

d) La cantidad de llantas disponibles para el TSURU-91 es de por lo menos 5000 juegos.

x1 5000

e) La demanda del TSURU-87 es cuando menos de 2000 unidades al mes.

x2 2000

f) La demanda de TSURU-91 es cuando mucho de 3500 unidades al mes.

x2 3500

37

g) Las condiciones de no negatividad resultan logicas si se considera el hecho de que la cantidad

mnima de ambos modelos que puede producir la planta es de cero.

x1 0

x2 0

Note que la restriccion c y e son iguales ya que representan la misma region en el plano por lo

tanto al momento de estructurar el modelo solo se escribira un ves esta para no ser redundante en

el sistema.

As mismo que cumplir la condicion f involucra cumplir la condicion d, ya que si

x1 3500 necesariamente involucra que x2 sea menor que 5000.

2.3.11.5. Paso 3: Determinacion de funcion objetivo.

El gerente debe determinar cuantas unidades de TSURU-87 y TSURU-91 debe ensamblar la

fabrica con el objeto de maximizar las ganancias de la compana. Lo que se traduce en la siguiente

afirmacion.

Max (Z): 5600x1 + 9400x2


Funcion objetivo:

Max (Z) 5600x1 + 9400x2

Sujeta a:

x1 + x2 100008,5x1 + 10,2x2 50000

x1 2000x2 3500x1 0x2 0

38

A lo largo del presente capitulo se seguira utilizando este procedimiento para la formulacion de

modelos matematicos con el objeto de que el lector se habitue a el. En los posteriores se dara por

hecho que esta habilidad ha sido ya adquirida.

2.3.11.7. Ejemplo 1

Un fabricante manufactura un producto en dos versiones diferentes: estandar (E) y lujo (L). Las

principales operaciones relacionadas con la fabricacion del producto son las siguientes:

corte y tenido

Costura

Acabados

Inspeccion y empaque

Datos:

El jefe de produccion ha estimado, para cada artculo, los siguientes tiempos unitarios de procesa-

miento (horas)


Asi mismo, la disponibilidad total de tiempo para cada departamento es la siguiente:


39

El departamento de contabilidad y finanzas estima que la contribucion marginal a la utilidad de

la empresa segun el tipo de producto que se fabrique es la siguiente:

Producto Estandar =$ 10 por unidad

Producto de Lujo = $ 9 por unidad

Desarrollar un modelo matematico que permita maximizar la utilidad marginal de la empresa.

2.3.11.8. RESOLUCION

1) Definimos variables de decision: X= Numero de piezas producidas del tipo i I 2 1, 2 FuncionObjetivo = Max Z: 10x1 + 9x2 Sujeto A

7/10x1 + x2 6301/2x1 + 5/6x2 600x1 + 2/3x2 708

1/10x1 + 1/4x2 135X1, x2 0

Formulacion verbal del problema:FO + Restricciones Formulacion del problema: variables + FO +

Restricciones Formulacion clasica de un PL (completa)

Ejemplo 2

La empresa Qumica M&D desea programar la produccion del proximo mes de dos de sus pro-

ductos (A y B), a partir del mismo equipo. Conforme a la poltica de produccion de la empresa, el

programa de produccion para el mes siguiente debe cumplir con las condiciones:

* La produccion combinada de ambos productos debe ser de al menos 350 litros.

* El cliente principal ha hecho un pedido de 125 litros del producto A para el proximo mes.

Datos.

- La fabricacion de un litro de producto A requiere de 2 horas de procesamiento

- La fabricacion de un litro de producto B requiere de 1 hora de procesamiento,

40

- La disponibilidad del equipo para el proximo mes es de 600 horas,

- Los costos de produccion son de $2 por cada litro de producto A y de $3 por cada litro de

producto B.

Proponga un plan de produccion que minimice los costos.

Formulacion verbal del problema: FO + restricciones Formulacin del problema: variables + FO

+ restricciones Formulacion clasica de un PL (completa)

2.3.12. 3. Otras clases de problemas

2.3.12.1. Problema de produccion

La compana QUIMEX produce pinturas para interiores y exteriores, a partir de las materias

primas M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos de disponibilidad de materias primas,

requerimientos de las mismas y utilidad de cada tipo de pintura.


De acuerdo con su nivel de participacion en el mercado, la gerencia de la empresa estima que

puede vender la produccion total de pintura de cada da, por lo que desea obtener el nivel de

produccion que le permita maximizar sus utilidades. Se debe producir al menos el doble de pintura

para interiores que de pintura para exteriores. Se pueden producir cuando mucho 8 toneladas de

pintura cada da. El objetivo es maximizar la utilidad. Problema de la Dieta Se desea determinar

los ingredientes a incluir en el menu mas economico, que satisfaga los requerimientos nutricionales

41

diarios. Los nutrientes a considerar en este ejemplo, junto con el requerimiento diario de los mismos;

as como los alimentos disponibles, su precio, y su contenido nutricional se muestran en la tabla

siguiente:


Generalizacion. En una instancia del problema de la dieta se tienen:

n alimentos

m nutrientes

Para los cuales se conoce:

El requerimiento diario del nutriente i, i = 1, 2,. . . ,m

El costo de una unidad del alimento j, j = 1, 2,. . . ,n

La cantidad del nutriente i contenida en una unidad del alimento j (i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n)

Se definen las variables de decision (controlables). Sea xj la cantidad del alimento j (j = 1, 2,. . . ,n)

incluida en la dieta. Problema de Mezclado.

El nutriologo de un laboratorio de investigacion en alimentos esta trabajando en el desarrollo

de un nuevo tipo de harina multigrano. En la elaboracion de la harina tiene contemplado el uso de

cuatro granos cuya composicion en nutrientes y precio se muestran a continuacion:

Por consideraciones de gusto, la mezcla no debe contener mas del 20% del grano dos, pero debe

contener al menos 30% del grano tres, y entre 10% y 25% del grano uno. Ademas, la harina debe

42


contener al menos 18% de protenas, entre 8% y 13% de gluten y no mas de 50% de fibra. Se

desea encontrar la mezcla de granos que permita obtener la harina mas economica, que satisfaga las

condiciones dadas.

2.3.13. Problema de Seleccion de Portafolios

Usualmente, se trata de maximizar el retorno de inversion o minimizar el riesgo asociado a la

inversion. Las restricciones tpicamente toman la forma de inversion maxima permitida (legislacion o

poltica de la empresa), maximo riesgo permitido, etc. Considere el caso de Welte Mutual Funds, Inc

(WMF), quienes han obtenido $100,000 al convertir bonos industriales en efectivo, y ahora buscan

otra oportunidad para invertir. . . Especficamente, existen 5 oportunidades diferentes:


Especificaciones:

- Ninguna industria (Petroleo y Acero) debe de tener invertidos mas de $50,000.

43

- Los bonos de gobierno deben ser al menos iguales al 25% de la inversion en industria del acero.

- La inversion en Pacific Oil no debe ser mayor al 60% del total de la industria del petroleo.


Definimos variables de decision:

Xi: Cantidad de dinero invertida F.O: Z= 0,073x1 + 0,103x2 + 0,64x3 + 0,075x4 + 0,045x5

x1 + x2 50, 000x3 + x4 50, 000

X5 0,25x1 0,25x2 0 (industria de petroleo)x5 0,25(x3 + x2) (industria del acero)

x2 0,60(x1 + x2)

despejando

06x1 + 0,4x2 0

2.3.14. Problema de cubrimiento

Cada hora, desde las 10 a.m. hasta las 7 p.m., un banco recibe cheques y debe procesarlos. Su

objetivo es procesar todos los cheques el mismo da en que los recibe. El banco tiene 13 maquinas

procesadoras de cheques, cada una de las cuales tiene la capacidad de procesar hasta 500 cheques

por hora.

Se requiere un trabajador que opere cada maquina. El banco contrata empleados de tiempo

completo y de medio tiempo. os trabajadores de tiempo completo trabajan de 10 a.m. a 6 p.m., de

11 a.m. a 7 p.m. o de medio da a 8 p.m., y cobran $160 diarios. Los empleados de medio tiempo

trabajan de 2 p.m. a 7 p.m. o de 3 p.m. a 8 p.m. y se les paga $75 diarios. El numero de cheques

44


que se reciben cada hora esta representado en la tabla. Dado que al banco le interesa conservar la

continuidad, opina que debe tener por lo menos tres trabajadores de tiempo completo bajo contrato.

Desarrollar un horario de trabajo de costo mnimo que tenga procesados todos los cheques a las 8

p.m.

Definimos variables de decision:

Xij I= tipo de empeado J=horario de trabajo F.O: Min Z= 160(x11+x12+x13+75(x21+x22))

S.A

x11 + x12 + x13) 3

500(x11 + x12 + x13 + x21 + x22) 5, 000

2.3.15. Problema de transporte

Problema de transporte. La compana azucarera Diamante tiene dos ingenios localizados en

Cordoba, Ver. y Ciudad Valles, SLP. La compana surte el azucar que requiere una compana pro-

ductora de refrescos con plantas en Ro Blanco, Ver., San Luis Potos, SLP y Tehuacan, Pue. La

compana Diamante produce 5 y 8 toneladas de azucar por semana en los ingenios de Cordoba y

Ciudad Valles, respectivamente, mientras que las embotelladoras requieren de 3, 5 y 4 toneladas de

azucar por semana en Ro Blanco, San Luis Potos, y Tehuacan, respectivamente. El azucar puede

ser enviado de cualquier ingenio a cualquier embotelladora, pero el costo de transporte difiere segun

la trayectoria. Los costos de enviar una tonelada de azucar del ingenio i a la embotelladora j se

45

muestran en la tabla siguiente:


Se desea determinar la manera de transportar el azucar de los ingenios a las embotelladoras que

tenga un mnimo costo.


Xij = i = 1, 2j = 1, 2, 3 Min Z= 2x11 + 6x12 + 3x13 + 5x21 + 3x22 + 7x23

S.A

x11 + x12 + x13 5x21 + x22 + x23 8

x11 + x21 = 3

x12 + x22 = 5

x13 + x23 = 4

2.3.16. Problema de asignacion

Cuatro trabajos deben realizarse simultaneamente y se dispone de cuatro maquinas diferentes

para ello, en las cuales es posible realizar cualquiera de los trabajos, pero con diferentes costos. Los

costos de realizar el trabajo i en la maquina j, para cada pareja (i,j), se muestran en la siguiente

tabla:


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Se desea determinar la asignacion de los trabajos a las maquinas que permita realizar los trabajos

con el menor costo posible.


Determinar variables de decision: Min Z: 3x11+4x12+2x13+7x14+4x21+6x22+3x23+8x24+

5x31 + 3x32 + 3x33 + 9x34 + 6x41 + 7x42 + 4x43 + 6x44

S.A: Nota: estas restricciones aseguran que para cada trabajo hay una maquina.

x11 + x12 + x13 + x14 = 1

x21 + x22 + x23 + x24 = 1

x31 + x32 + x33 + x34 = 1

x41 + x42 + x43 + x44 = 1

Nota: estas restricciones aseguran que para cada maquina se le asigno un trabajo.

x11 + x21 + x31 + x41 = 1

x12 + x22 + x32 + x42 = 1

x13 + x23 + x33 + x43 = 1

x14 + x24 + x34 + x44 = 1

xi 0

2.3.17. Problema de Flujo Maximo

Considerese una red de tubera (drenaje, cables electricos, etc), teniendo, cada una, una capacidad

(lmite superior de la cantidad de flujo que por ella puede pasar por unidad de tiempo). Se busca

determinar la cantidad maxima de flujo que se puede enviar desde un vertice origen o fuente F a un

vertice destino o sumidero S, sabiendo que el flujo es conservativo (la cantidad de flujo que entra en

un vertice intermedio es igual a la cantidad de flujo que sale del mismo).

Suponga que se trata de una red de agua potable constituida por la grafica G = (V,A) mostrada en

la figura siguiente, en la cual se indica para cada arista su capacidad, en m3/seg. Se desea determinar

la cantidad del lquido que debe viajar por cada arco de manera que se maximice el flujo enviado de

F a S. Problema de corte Una empresa papelera vende rollos de papel en tres presentaciones: Rollos

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de 1.5 pulgadas, rollos de 2.5 pulgadas y rollos de 3.5 pulgadas. Para producirlos, utiliza un rollo

maestro de papel de 10 pulgadas de ancho, el cual puede ser cortado de acuerdo a las siguientes

alternativas de corte. Por ejemplo, si se corta el rollo maestro de acuerdo a la alternativa 1, se

obtienen 6 rollos de 1.5 pulgadas de ancho y un r

15i Apuntes Investigacion Operaciones

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