COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoGeometra 1INDICE rea de un Tringulo 02 rea de un Cuadriltero..14 rea de Superficies Circulares .24 Operaciones con reas..39 Recta y Plano .... 50 rea de Slidos . 59 Volumen de Slidos ..... 66 Miscelnea . 74COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoTEMA: REA DE UN TRINGULOUn tringulo es una figura geomtrica que posee tres lados, que pueden ser rectas, curvos o mixtos.El rea de un tringulo se obtiene dividiendo entre dos al producto de su base por su altura.Demostracin:ACF EBhDbA = b h2xA B C ?Para realizar la demostracin de la frmula para hallar el rea del tringulo haremos uso de una construccinauxiliar: por el vrticeC, trazaremosunaparalelaal segmentoABypor el vrtice B, trazaremos una lnea paralela al segmento AC. El punto donde se cortan estas dos lneas(puntodeinterseccin) lollamaremosE. Entoncesseformarel cuadrilteroABEC. Asimismo, trazaremoslasalturasCDyFB, perpendicularesalossegmentosABy CE, respectivamente.El rea del tringulo lo podremos hallar por una diferencia de reas:AABC = AABEC ABCE (1)Ahora, si analizamos el cuadriltero ABEC, notamos que, como todos sus lados son paralelos dos a dos, entonces el cuadriltero ABEC es un paralelogramo. En consecuencia, si la longitud del segmento AB es b, por ser ABEC un paralelogramo, entonces la longitud del segmento CE tambin es b.Adems, como sabemos que el rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando su base por su altura, entonces:AABEC = b x h (2)Ahora, si analizamos los tringulos ABC y BCE, observamos que como los segmentos AB y CEtienen la misma longitud b, y las alturas CDy BFtienen la misma longitud h, entonces los tringulos ABC y BCE son figuras equivalentes; y, como son figuras equivalentes, por este motivo tendrn reas iguales.AABC = ABCE (3)Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtendremos:Geometra 2COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoABC ABCBCE ABEC ABCA h x b AA A A Pasando AABC al lado izquierdo de la igualdad AABC + AABC = b x h2AABC = b x hDividiendo cada trmino de la igualdad entre 2:A = b h2xA B C r e a d e l T r i n g u l oPor lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del tringulo.Esta frmula del rea del tringulo es aplicable a cualquier tipo de tringulo, el cual puede ser:a) Tringulo EscalenoAquel que no tiene lados iguales, es decir, la longitud de sus lados es diferente.acbb) Tringulo IsscelesTiene dos lados iguales, y al tercero se le considera como la base del tringulo.a abc) Tringulo Equiltero:Es aquel en el cual sus tres lados son iguales.6 0 6 0 6 0 NOTA:El rea del tringulo equiltero se puede hallar directamente si se conoce slo la longitud de su lado slo la longitud de su altura, haciendo uso de las siguientes frmulas:Geometra 3COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoA = 34l x2A h = 33x2hLa demostracin la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer nociones bsica de una rama de la Ciencia Matemtica: la Trigonometra, curso que recin aprenderemos en Tercero de Secundaria. Por este motivo, consideraremos como vlidas a priori estas dos frmulas anteriores.Conceptos Importantes1. Teorema de PitgorasEsteteoremasolamenteseaplicaalostringulosrectngulos(aquellosqueposeenun ngulo de 90). En un tringulo rectngulo los lados que se interceptan en un ngulo de 90 se llaman CATETOS y al tercer lado se le conoce como HIPOTENUSA.H i p o t e n u s ahC2C1 C a t e t o sEl teorema de Pitgoras se enuncia as: La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.Es decir:2 2221h C C +Teorema de PitgorasEjm.Si tenemos el siguiente tringulo rectngulo h34La longitud de la hipotenusa la podremos hallar haciendo uso del Teorema de Pitgoras. En efecto:Geometra 4COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao5 h 25 h25 9 16 h3 4 hC C h22 2 222212 + + + 2. Semejanza de Tringulos ( )Se dice que 2 tringulos son semejantes si cumplen con alguna de lo siguientes 3 criterios:a) Si al menos dos de sus 3 ngulos internos son iguales:abcda bc db) Si dosladosdel primertringulosonproporcionalesadosladosdel segundo, ylos ngulos formados por dichos lados son iguales.abcmnpS i :a bm na pm bc) Si los tres lados del primer tringulo son proporcionales a los tres lados del segundo.abcmnpS i :pcnbma 3) Congruencia de Tringulos ( ) .-Geometra 5COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoSe dice que dos tringulos son CONGRUENTES (iguales), si cumplen con alguno de estos 3 criterios.a) Si tienen congruentes un lado y los ngulos adyacentes a l.abcmanb = mc = nb) Si tienen congruentes dos lados y el ngulo comprendido entre ellos.abcm a c = mbc) Si los tres lados de cada tringulo son congruentes entre ellos.abcabcGeometra 6COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CLASE01. En el paralelogramo adjunto, C B ABy6 ECm. Calcular el rea del tringulo sombreado.ABCDEFG1 6 m .1 0 mRpta.:02. Siel segmento PQ tiene una longitud de 9 metros y la diferencia de las alturash1 h2 = 8 m. Calcular el reade la regin sombreada.12hhP QRRpta.:03. Si O es el centro del cuadrado ABCD, el cual tieneunladodelongitudq, entonces el rea de la regin sombreada esA BE FD COqRpta.:04. El permetro de un tringulo issceles es 16m,siC B AB. Calcular el rea del tringulo ABC si sabemos que m 4 BM.ABCMRpta.:05. Halar el rea de un rectngulo ABCD, si se sabe queAC= 50 cmy AB= 40 cm AB CDRpta.:06. Hallar el rea de un cuadrado si se sabe quesuladoesequivalenteal valordel rea de un tringulo equiltero de 8 m. de lado.Rpta.:07. Enlafigura, ABCDesunrectngulo dividido en cuatro rectngulos de igual rea. SiADmide 24 cm y trazamosDJ. Cunto mide MF?Geometra 7COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoA BC D FMJRpta.:08. Si el rea del cuadrado ABCD vale 40 m2. Cul serel readelafigura sombreada?.ABDCRpta.:09. Laalturadel rectnguloABCDmide h ylabaselos2/3delaaltura. Si DC DE, el readelaregin sombreada.A BD CERpta.:10. Se sabe que el siguiente tringulo equiltero tiene un rea de43m2. Determinar en que relacin se encuentra su base y su altura (en este mismo orden).hRpta.:11. La figura ABCD es un trapecio issceles. Adems, BCEF es un cuadrado. Hallar el readelaregin sombreada.AB CD E F1 0 m2 0 mRpta.:12. Enel siguientetringulorectngulo, se pide hallar la longitud del segmento PQ.PQ3 0 c m .4 0 c m .XRpta.:13. Dadoel siguientetrapecioABCD, se pide determinar en que relacin se encuentran las reas de los tringulos ABD y BCD. El rea del trapecio ABCD es 85 cm2.Geometra 8COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoABCD2 0 c m .1 4 c m .Rpta.:14. En el siguiente grfico, las figuras ABCE y BCDE son paralelogramos. Si el readel tringuloBCEes18cm2. Calcular el rea del trapecio ABCD.AB CDERpta.:15. Enel siguientetrapecioABCD, Mes puntomediodeBCyNespunto medio de AD. Si la longitud del segmento AMes 10 cm.Calcular el rea del tringulo ABM. Si adems: 21ADBCABCDMN6Rpta.:16. En el siguiente grfico, la figura ABCD esunparalelogramo. SI Mespunto mediodeBCyNespuntomedio deCN. Hallarel readelaregin triangular MNC, si el rea del paralelogramo es 100 m2.AB CDMNRpta.:Obs:Utilizar el teorema de los puntos medios de un tringulo.17. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, desde el pie de la altura BH se traza el segmento perpendicular HSaAB. Si m 12 AH BH +y el rea del tringulo rectngulo ABHes 16 m2, entonces el valor de segmento AB ser:ABCHSRpta.:18. Enuntringulo rectnguloMNP, se conoce que su permetro es 20 cm. y que el rea de este tringulo es 5 cm2. Hallar el valor de su hipotenusa.Rpta.:19. Dado el siguiente rombo ABCD, donde M es punto medio del lado BC y N Geometra 9COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Aoes punto medio del lado CD. Si se sabe que el rea total del rombo es 16 m2. Hallar el rea sombreada.DCABM NRpta.:20. Hallar el rea del trapecio MNPQ si se sabe que el rea del tringulo rectngulo MNH es 8 m2y que: . m 24 MH x PQ2Q H PM NRpta.:Geometra 10COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CASA01. El rea de la parte sombreada del rectngulo ABCD es:A BCDa) Menor quelamitaddel readel rectngulo.b) La mitad del rea del rectngulo.c) Mayor quelamitaddel readel rectngulo.d) Un tercio del rea del rectngulo.e) Menorqueuntercio del readel rectngulo.02. Calcular el rea sombreada si: ABCD es un cuadrado cuyo lado tiene 10 cm de longitud.ABDCa) 100 cm2b) 50c) 40 d) 25e) 7503. Calcular el rea del la regin sombreada si MNPQ es un cuadrado y MRQes un tringulo equiltero. El lado del cuadrado MNPQ es 18 cmMN PQRa) 126 cm2b) 216c) 162 d) 261e) N.A.04. En un tringulo rectngulo la suma de las longitudes de sus catetos es 7 cm. Calcular el rea de la regin de dicho rectngulo.ABC5 cm.Sugerencia: Usar la siguiente identidad algebraica: (a+b)2 = a2 + b2 + 2aba) 5 cm2b) 6 cm2c) 8 cm2d) 10 cm2e) N.A.05. Dado el siguiente rombo MNPQ donde A es punto medio del lado MN y B espuntomediodel lado. MPSe pide calcular el rea de la seccin sombreada, si el rea del rombo MNPQ es 64 cm2.PQA BMNa) 40 cm2b) 24 cm2c) 16 cm2d) 10 cm2e) N.A.Geometra 11COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao06. En la figura, las regiones ABCD y CEFG son cuadrados EDFH es un rectngulo . Si sesabequeel readel rectngulo EDFH es 42 cm2y el rea del cuadrado ABCD es 169 cm2 (GH > GF). Calcular el rea del cuadriltero ABGH.ABCDGE FHa) 175 cm2b) 49 cm2c) 600 cm2d) 260 cm2e) N.A.07. En el siguiente grfico, la figura MNPQ esunparalelogramo. Si Aespunto medio de MNy B es punto medio del lado MQ. Calcular el rea de la regin sombreada, si el rea del paralelogramo es 600 cm2.ABPQ MNa) 700 cm2b) 75 cm2c) 80 cm2d) 650 cm2e) 525 cm2 08. Enlasiguientefigura, MNPQesun cuadrado, cuyo lado tiene una longitud de 16 cm. Calcular el rea de la regin sombreada, si X es el centro cuadrado y RSes paralelo a MQy pasa por el punto X.MN PQS RXa) 96 cm2b) 69 cm2c) 44 cm2d) 60 cm2e) N.A.09. Enel siguienteparalelogramoABCD, M es el punto medio del lado AB, O es el punto medio de la altura BH y N es el punto medio del lado CD. SiAH=6cm. Hallarel readel tringulo rectngulo MBO.ABCD HOMN1 0 c m .(Sugerencia: usar semejanza de tringulos)a) 10 cm2b) 6 cm2c) 16 cm2d) 12 cm2e) N.A.10. En el siguiente grfico, los 4 tringulos pequeossonequivalentes. Hallar el rea del tringulo grande.5 c m4 c ma) 40 cm2b) 25 cm2c) 30 cm2d) 10 cm2e) 20 cm2Geometra 12COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao11. Hallar el rea del tringulo sombreado si el rea del tringulo ABC es 90 cm2.1 01 0a) 25 cm2b) 20 cm2c) 15 cm2d) 10 cm2e) N.A.12. Si el siguiente cuadriltero est formado por 2 tringulos equilteros deigual rea. Hallarel reatotal del cuadriltero.8 cma) 642cm 3 b)322cm 3c) 32 cm2d) 64 cm2e) N.A.13. Hallarel readel tringuloBOPsi O es el centro del cuadrado y POes paralelo a AD.DA BCPO8 c ma) 8 cm2b) 18 cm2c) 4 cm2d) 16 cm2 e) N.A.14. Colocar V o F segn corresponda.a) Dostringulossoncongruentessi tienen 1 ngulo y 1 lado congruente.b) El readeuntringulorectngulo es el semiproducto de sus catetos.c) El teorema de Pitgoras se aplica a cualquier tipo de tringulo.a) VFV b) VVFc) FFF d) FFVe) FVF15. Calcular el rea de la regin sombreada, si la base media del trapecio mide 19 cm1 0 c m5 c ma) 12 cm2b) 8 cm2c) 10 cm2d) 6 cm2e) N.A.Geometra 13COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoTEMA: REA DE UN CUADRILTEROUna vez conocidos estos teoremas importantsimos, estamos en condiciones de definir (y tambin de demostrar) el rea de las principales figuras geomtricas. Empezaremos por los cuadrilteros.Los cuadrilteros son figuras geomtricas que poseen cuatro lados. Los cuadrilteros pueden ser:* Rectngulo.* Cuadrado * Rombo * Paralelogramo * TrapecioA continuacin, pasaremos a detallar (y en algunos casos demostrar) el rea de cada uno de estos cuadrilteros.1. rea del rectnguloUn rectngulo es una figura geomtrica que posee 4 lados paralelos dos a dos, e interceptados bajo un ngulo de 90. Los lados paralelos tienen igual longitud. El rea de cualquier rectngulo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.A = B h XR E C T N G U L OHBDemostracin: AABCD = h x b? BACDAhMNPQHBA1bPararealizar lademostracindequeel readel rectnguloABCDesA=hxb, haremosuna construccin auxiliar: dibujaremos un rectngulo MNPQ de altura H y base B, donde H = B = 1; es decir, tenemos un rectngulo de lado unitario. Este rectngulo ser la unidad de rea, es decir A1 = 1. (Ntese que como la base y altura son iguales, este rectngulo recibe el nombre de cuadrado).Sabemos, por el Cuarto Teorema, que las reas de 2 rectngulos son proporcionales al producto de su base por su altura respectiva. Entonces:B x Hb x hAA1 . (1)Pero sabemos que A1 es uno, y que H = B = 1.Entonces reemplazando estos valores en la ecuacin (1).b x h A :rea del rectnguloPor lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del rectngulo.2. rea del CuadradoUn cuadrado es un tipo particular de rectngulo, donde la longitud del la base es igual a la longitud delaaltura.El readelcuadrado seobtiene elevando al cuadradola longituddelabase,o elevando al cuadrado la longitud de la altura. Es decir, multiplicando h x h b x b.Geometra 14COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoLDLDemostracin:Puesto que conocemos que el rea del rectngulo es:A = h x bY como hemos dicho, en un cuadrado: h = b = L2L L x L A rea del CuadradoObs. El rea del cuadrado tambin puede obtenerse as:Donde D es la diagonal del cuadrado2DA2 3. rea del ParalelogramoUn paralelogramo es una figura de 4 lados, donde sus lados son paralelos dos a dos, pero donde el ngulo de interseccin de los lados es distinto a 90.El rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura; es decir, igual que el rea del rectngulo, puesto que el paralelogramo es un tipo de rectngulo al cual se le han inclinado dos lados.Demostracin:h x b AA B C DAhCD EFbBPrimero, debemos notar que tanto los segmentosBC y AD tienen la misma longitud, as como los segmentos. CD y ABPara demostrar que el rea del paralelogramo esA = b x hharemosunaconstruccinauxiliar: prolongaremosel segmentoABytrazaremoslas perpendicularesBE y CF . Entonces se formarn los tringulos rectngulos ABE y CDF y el cuadriltero EBCF.Ahora, hallaremos el rea del paralelogramo ABCD mediante el uso de suma y diferencia de reas.Entonces: AABCD = AEBCF + AABE ACDF (1)Ahora, analicemos el cuadriltero EBCF: observamos que los segmentos CF y EB son paralelos y sabamos que los segmentosAD y BC eran paralelos, y como el ngulo de interseccin de los lados es 90, entonces el cuadriltero EBCF es un rectngulo. Entonces: AEBCF =EB x BC = b x h (2) Geometra 15COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoAhora, analicemos los tringulos rectngulos ABE y CDF: como los segmentosCD y ABson iguales y los ngulos interiores de los tringulos son iguales, entonces los dos tringulos son idnticos, (figuras equivalentes), por lo que tendrn la misma rea. Entonces: AABE = ACDF (3)Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtendremos: h x b AABCD rea del ParalelogramoPor lo que queda demostradala frmula para hallar el rea del paralelogramo.Notas:a. Un tringulo rectngulo es aquel que tiene un ngulo de 90 como ngulo interior.b. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PARALELOS si, pormsque extendamosdichasrectaso segmentos, estas dosnunca,secortarn. Un ejemplo de rectas paralelas son las lneas horizontales de un cuaderno cuadriculado.c. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PERPENDICULARESsi dichasrectasosegmentossecortanenunngulode90. Un ejemploderectasosegmentossecortanenunngulode90. Unejemploderectas perpendiculares sera el cruce de una lnea horizontal de un cuaderno cuadriculado con una lnea vertical del mismo,d. Cada vez que hablemos de la altura se considerar que la altura es perpendicular a la base de la figura analizada.4. rea del Rombo:Un rombo es una forma particular del paralelogramo, en donde las diagonales de ste paralelogramo se cortan perpendicularmente (en un ngulo de 90). El rea de un rombo se obtiene multiplicando las longitudes de sus diagonales y dividiendo el resultado entre dos. Es decir:M PQA1234AA AdS i l a d i a g o n a l M P e s d yl a d i a g o n a l N Q e s D E n t o n c e sA = D d2xNDNota:A1 = A2 = A3 = A4 si el rombo essimtrico5. rea del TrapecioGeometra 16ABE ABEDABCCDF ABE EBCF ABCDA A h x b AA A A A + + COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoUn trapecio es un cuadriltero que posee dos lados paralelos conocidos como base mayor (el lado ms grande) y base menor (el lado ms pequeo) y dos lados no paralelos.Elrea de untrapecio se obtiene sumando la basemayor con la basemenordividiendoel resultadoentredosy, finalmente, multiplicandoesteresultadoporlalongituddelaalturadel trapecio.A = b + B H xT R A P E C I O22Bbb m2D o n d e :b : b a s e m e n o rB : b a s e m a y o rb m : b a s e m e d i aH : a l t u r aNota:A esta semisuma (suma dividida entre 2) de la base mayor y la base menor se le conoce como BASE MEDIA. La base media viene a ser un segmento que se encuentra a la misma distancia de la base mayor y la base menor (H/2); es decir se encuentra en el medio de las 2 bases, adems es paralela a ellas.2B bbm+Por lo que el rea del trapecio tambin se puede formular as:ATRAPECIO =bm x H .Geometra 17COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CLASE01. SetieneuncuadradodeladoL y rea A. Si se aumentan 2 metros al ladodel cuadrado, entoncesel rea del mismo quedaaumentada en36 m2. Hallar el valor de L.02. Hallar el rea de la regin sombreada, sabiendoquelafiguraexteriorABCD esuncuadrado, cuyoladotieneuna longitud de 6 cm1 c m1 c m1 c m1 c mABCD03. Si el readel cuadradoABCDes40 m2. Cul serel readela figura sombreada?.AB CD04. En la siguiente figura el rea del trapecioMNCDesde16cm2ydel tringulo NCP es de 54 cm2. Hallar la relacin de reas de los trapecios ABNM y ABCD, sabiendo que MN es la base media del trapecio ABCD y NP es paralela a AD.A BC DM NP05. La siguiente figura es un trapecio issceles, cuya base media es MN y su altura es a. P es el punto medio de la base mayor AD . Hallar el rea total de las regiones sombreadas en funcin de a.Observacin:Se dice que un trapecio es issceles si losdosladosnoparalelostienenla misma longitud. Entonces, en la figura CD AB.AB CD P2 a4 a06. Qu porcentaje del rea del rectngulo es el readelareginsombreada?. Si se sabe que 2 / a DP CP y a MD AM ABCDNMP07. Si se sabe queMNes la base media del trapecio que aparece a continuacin y que el rea del mismo es 48m2.Cul es la longitud de su altura?M N808. Si uncuadradoaumentaen10%la longitud de su lado. En cunto aumento su rea?.09. Hallar el rea del siguiente rectngulo.3 . 5 m1 5 . 3 8 mGeometra 18COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao10. El permetro de una figura geomtrica se representa por 2p y es igual a sumar las longitudes de todos y cada uno de los lados de la figura geomtrica.Si el siguiente rectngulo tiene un permetro igual a 44 m. Hallar la longitud de su base y de su altura.11. Alejandro Fernndez posee un terreno rectangular. l desea cercarlo para evitar posibles invasiones. l sabe que su terreno tiene un rea total de 1440 m2. Adems sabe que el largo del terreno es 10 veces el ancho del mismo. Cuntosmetrosdemadera de 2m. de alto debe comprar para cercarlo completamente?A = 1 4 4 0 m2C e r c oP e r i m t r i c o12. La siguiente figura es un rombo.ACDBSi se sabe que la diagonal mayor CDy la diagonal menorABse encuentran en la siguiente relacin: 51CDAB . Si el rea total del rombo es845cm2. Hallar laslongitudesde las diagonales AB y CD.13. Dado el siguiente rombo simtrico.A CDBESi sesabequeel readel tringulo ABEes25m2. Cul serlalongitud del lado(L)deuncuadradoquesea equivalente a este rombo?.14. En el siguiente cuadradoLDLLLEl valor de D =8 m. Cul ser el valor de L?15. En la siguiente figura:AB CDESe sabe que el rea del tringulo ABD es 144m2. Cul ser el rea del paralelogramo BCDE?.16. Hallar el rea de la regin sombreada.ABCDE FGMAGeometra 19COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoSi se sabe que el rea total de la regin ACGF es 105 m2y adems se sabe queGE= 10m., DM= EF= 5my la base media del trapecioABDEes8m. CGFEesun paralelogramo.17. Hallar el rea del paralelogramo ABCD.ABCDMNSi el readel rectngulo DMBNes 1445 m2, donde:51MDMBy adems AM = MC= 1m.18. Hallar el rea del siguiente rectnguloNMDPQSi sesabequeel rectnguloMNPQ est formado por 3 cuadrados idnticos,quetienenunadiagonal de longitud D = . m 2 419. Antiguamente, se conoca como Lima Cuadrada a un conjunto de manzanas (viviendas distribuidas en forma de cuadrado), distribuidasjustamenteen una forma cuadrada. Si la longitud de una manzana es 100 m. y la distancia de separacin entre manzana y manzana es de 5 m. Cul era el rea de Lima Cuadrada?. Si se sabe que en cada lado del gran cuadrado haban 10 manzanas.20. Si la base de un rectngulo es el doble de su altura y su base es 288 m2. Si tomamossusdimensionesyconcada una formamos dos cuadrados. Cul ser el rea de cada uno de ellos?.Geometra 20COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CASA01. Hallar el rea del siguiente cuadrado ABCD.A BCDM NSi el rea del rectngulo MNDC es 96 cm2. Todos los cuadraditos son equivalentes.a) 288 cm2b) 244 c) 828d) 144 e) N.A.02. Qu porcentaje del rea del rectngulo es el rea de la regin sombreada?.a) 25% b) 10% c) 50%d) 75%d) N.A.03. Hallar el rea de la regin sombreada, si se sabe que FGHI es trapecio.B C DAGF EH I1 0 c m .AdemssesabequeABCGyCDEF son paralelogramos idnticos, donde AG=5cm. yGF=10cm. y HI = 5 cm. a) 25 cm2b) 15 c) 18d) 20 e) N.A.04. Si en la siguiente figura:ABC DM NQPSe sabe que las reas de los dos cuadrados estn en la siguiente relacin.15AAMNPQABCDy que el rea de la regin sombreada es 196 m2. Hallar la diagonal del cuadrado MNPQ.a) 82m b) 72c) 27d) 28m e) N.A.05. JuanCarlosdecide iren la semanade Fiestas Patrias a Ica. Para ello decide ir ensuauto. Perocuandolefaltank metrosparallegar, descubrequeestn asfaltando laautopista, por lo queno puede avanzar. Si la autopista tiene 5m de ancho y faltan por asfaltar 4500 m2 de pista. Hallar K. Considerar a la autopista como un rectngulo.a) 900 m b) 800 c) 700d) 600 e) 50006. El colegio Nuestra Seora de Guadalupe ha decidido pintar la fachada y todo el contorno del colegio. Si las 4 paredes tienen una base de 60 myunaalturade20m. Cuntole costarpintar todo?. Si sesabeque por cada 100 m2 se utiliza un galn de pintura que cuesta S/.25?.Geometra 21COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Aoa) S/. 1600 b) S/.1400c) S/. 1200 d) S/.1800e) S/. 200007. En el siguiente cuadrado:LDLLLEl valor de D = 2 8m. Cul ser el valor de L?.a) 8 m b) 2 c) 16d) 32 e) 408. En la siguiente figura:A BCD EABCDes unrectnguloy ABCEesun paralelogramo. SI el rea del paralelogramo es 105 m2 Cunto ser el rea del rectngulo? a) 210 m b) 115 m2c) 80 m2d) 105 m2e) N.A.09. Si el rea del cuadrado ABCDes 1600cm2. Cul serel readela regin sombreada?. Todos los cuadrados son idnticos.ABC Da) 100 cm2b) 200c) 300 d) 500e) 40010. Hallar el rea de la regin sombreada, sabiendoquelafiguraexteriorABCD esuncuadrado, cuyoladotieneuna longitud de 6 cm.A BC D3 c m .3 c m .1 c m .2 c m .a) 60 cm2b) 32 c) 18d) 44 e) 1611. Se tiene un cuadrado de diagonal D y rea A. Si se aumenta 2 unidades a la diagonal, entoncesel reaaumentaen 30u2. Cul es el valor de D? Cul es el valor de A?. Dar como respuesta su semisuma (la mitad de su suma).a) 36 m2b) 56 c) 112d) 144 e) N.A.12. El rea de un rectngulo es 216 m2y subasees6metrosmayor quesu altura. Hallar sus dimensionesydar como respuesta el cociente de ambas (menor entre mayor).a) 2/3 b) 4/3 c) 3/2d) 3/4 e) N.A. 13. Hallar el rea de la regin sombreada:AB CD E FGeometra 22COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoSi ABCD es un trapecio issceles y el rea del cuadrado BCEF es 40 m2 y el rea del tringulo CED es 10 m2.a) 20 m2b) 40c) 30 d) 50e) N.A.14. Se tiene 2 cuadrados. El primero tiene un lado de 4m. de longitud y el segundo tiene una diagonal de 2 4m. Cul es la relacin de reasentreel primeroyel segundo (en ese orden)?a) 1/2 b) 1/4c) 4 d) 3e) 215. Colocar V F:a) Entodorombo, las4reasque delimitan sus diagonales son iguales b) Lasreasdeunrectnguloyun paralelogramoseobtienendela misma frmula. c) El readeuntringulodelimitado por los extremos de un rectngulo y su diagonal es la mitad del rea del rectngulo.a) VVF b) FVFc) FFF d) VVVe) FVVGeometra 23COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoTEMA: REA DE SUPERFICIES CIRCULARESA continuacin detallaremos como obtener el rea de superficies circulares. La base es el rea del crculo, as que aprndete bien la frmula para su rea y las dems te sern fciles.1. rea del CrculoUn crculo es una figura geomtrica que tiene la particularidad de que la distancia que existe entre su centro (0) y sus extremos es siempre constante; a dicha distancia se le conoce con el nombre de RADIO (r).BA OrrrF i g u r a IObservacionesa) Hay que tener cuidado de no confundir crculo con circunferencia. La circunferencia es la lnea que delimita el rea circular, es decir, el borde del crculo; en cambio, el crculo abarca la circunferencia y todo el espacio (rea) que sta encierra.b) Cuando dos radios forman parte de una misma recta, es decir son colineales (como en el casodelosradios OB y OA ), al segmentoquevadesdeunextremoaotrodela circunferencia pasando por su centro (segmento AB) se le denomina DIMETRO (D). D = 2rc) La longitud de la circunferencia (L) se puede obtener as:L = 2 r L = DEl rea de un crculo es proporcional al cuadrado del radio del crculo. La constante de proporcionalidad es un nmero irracional que recibe la notacin de la letra griega (pi).= 3.1415927 14 . 3 Es decir, el rea de un crculo se puede calcular as:2r A rea del CrculoLa demostracin de sta frmula la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer conceptos deMatemticaSuperior, especficamenteenel campodeLmitesdefunciones, temaque (generalmente) se aborda en cursos de lgebra Universitaria. Por este motivo, consideraremos como vlida a priori esta frmula.9. rea de una Corona CircularUnacoronacircular esunasuperficiedelimitadapor lascircunferenciasdedoscrculos concntricos (dos crculos son concntricos si tienen el mismo centro).Geometra 24COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoRrC o r o n a C i r c u l a rEl readeunacoronacircular seobtienemultiplicandopor aladiferenciadelos cuadrados de los radios de cada crculo. Es decir:RrA2 2r R A x F i g u r a I IDemostracin:Sea la corona circular de la figura II, cuyas longitudes de sus radios son r y R para el crculo menor y crculo mayor respectivamente.Consideraremos que el rea del crculo de radio r es A1 y el rea del crculo del radio R es A2. Entonces, podemos representar el rea de la corona circular (A) de la siguiente manera:A = A2 A1 (1)Pero, como sabemos que el rea de un crculo es igual a por el radio elevado al cuadrado, el rea del crculo de radio r lo podemos expresar as:A1 = x r2 (2)Y el rea del crculo de radio R lo podemos expresar as:A2 = x R2 (2)Ahora, reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1) obtenemos:Geometra 25COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao2 21 2r x R x AA A A Factorizando de cada sumando, obtenemos:( )2 2r R x A rea de una corona circularPor lo que queda demostrada la frmula para obtener el rea de una corona circular.10. rea de un Sector Circular:Un sector circular es una porcin del crculo, que tiene la particularidad de estar limitado por 2 radios y por la circunferencia asociada al crculo.El rea de un sector circular se obtiene multiplicando la longitud del arco asociado al sector circular por el radio del crculo y dividiendo ste resultado entre dos.NOTA: El arcode un sector circular viene aser la porcin de la circunferencia que limita al sector circular. La longitud del arco de un sector circular se denota por ly es igual a: 180. r . Donde es la medida del ngulo que forman los 2 radios que delimitan al sector universal.La medida del ngulo debe darse en grados sexagesimales, los cuales se pueden obtener empleando cualquier transportador.Demostracin:rrOAPQA = r2b xP O Q ?Geometra 26COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoLoprimeroquedebemossaber, previoalademostracindestafrmula, esqueuncrculo completo tiene 360 (Comprubalo con tu transportador).Ahora, sabemos que el rea de un crculo se obtienen as: A = r2 y que este crculo barre un ngulode360. Si usamosunaRegladeTresSimplepodremoshallarel readeunsector circular de grados puesto que consideraremos al crculo como un sector circular de 360NGULO REASi:360 r2Si: A =? ? A = 360r x x2 (I)Si arreglamos este resultado convenientemente, obtendremos:) 1 ( . . .2 1 8 0r rAxX x x Pero: 180r x x (2)Entonces, reemplazando la ecuacin (2) en la ecuacin (1), obtendremos:2rAx lrea de un Sector CircularOBSERVACIONES:a. Apesardequelaanteriorfrmulaeslapresentacinformal decmohallarel readel sector circular, podemos hacer uso directamente de la frmula (I), ya que es ms directa.b. Al sector circular tambin se le llama SECCIN CIRCULAR, por ser una parte del crculo.c. El readeunsector circular esequivalentealadeuntringuloquetengaporbasela longituddel arcoquelimitaal sector yquetengapor alturalalongituddel radiodela circunferencia.En efecto:Geometra 27COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AorOrrABA BOr2rA2rAx xT R I N G U L OC I R C U L A RS E C T O Rl l Esto se debe a que el sector circular es una clase particular de tringulo, llamado TRINGULO MIXTILNEO, el cual est formado de lneas rectas y lneas curvas.11. REA DE UN TRAPECIO CIRCULAR Un trapecio circular viene a ser una seccin (porcin) de una corona circular.El rea de un trapecio circular limitado por 2 arcos y por radios diferentes de dos crculos se puede calcular mediante la siguiente frmula: 3 6 0r RA2 2 T r a p e c i o C i r c u l a rDemostracin:PQM NRA 3 6 0r RA2 2x x ?M N =P QLConsideremos que en el anterior grfico el rea del trapecio circular MNPQ es A. El crculo mayor tendr un radio de longitud R y la longitud de su arco PQ ser L. El crculo menor tendr un radio de longitud r y la longitud de su arco MN ser l. El ngulo entre los radios OP y OQ ser .El rea del trapecio circular se puede expresar como la diferencia del rea del sector circular OPQ menos el rea del sector circular OMN.Geometra 28COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoEntonces:AMNPQ = AOPQ AOMN (1)Pero sabemos que el rea de un sector circular es 2r x l AOPQ = 2R L x AOMN = 2r x lPero, usando el concepto de longitud de arco, tenemos: AOPQ = 2R 180Rxx x

,_

AOPQ = 360R2x x (2) AOMN = 2r 180rxx x

,_

AOMN = 2r2x x (3)Esto se debe a que el ngulo para las dos secciones circulares es el mismo y es igual a .Ahora, reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtenemos: 360r 360RAA A A2 2MNPQOMN OPQ MNPQx x x x Geometra 29COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoFactorizando,_

360xde cada sumando, obtenemos:( ) 360r RA2 2MNPQx x rea del Trapecio CircularPor lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea de un trapecio circular.Observaciones:a. Lademostracindestafrmulatambinpodraobtenersemedianteunaregladetressimple, haciendo una comparacin entre el rea de una corona circular (asociada a un ngulo de 360) y el rea de un trapecio circular (asociado a un ngulo ).b. El rea de un trapecio circular es equivalente a la de un trapecio rectilneo que tenga por bases a los arcos rectificados que limitan al trapecio circular y por altura la diferencia de los radios.En efecto:ADCORLBrR - rCDA BLR - r( ) 3 6 0r RA2 2C I R C U L A RT R A P E C I Ox x ( ) ( ) 3 6 0r R r RAx xC I R C U L A RT R A P E C I O+ + Geometra 30COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao( ) r R 1 8 0r 1 8 0R21A xx x x xC I R C U L A RT R A P E C I O1]1

+ Pero:L 180R x x yl 180R x x [ ] ( )T R A P E C I OC I R C U L A RT R A P E C I OA r R x L21A + lGeometra 31COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao12. rea del Segmento CircularUn segmento circular es una porcin de un sector circular que se encuentra delimitada por el arco de la circunferencia asociado al sector circular y el segmento que une las intersecciones de los radios con la circunferencia.A BS e g m e n t o C i r c u l a rEl rea de un segmento circular se obtiene mediante la diferencia del rea del sector AOB con el rea del tringulo AOB.REA DEL SEGMENTO CIRCULAR A O B T R I N G U L OA O B C I R C U L A RS E C T O RA A A Esta formula no necesita mayor demostracin.Geometra 32COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CLASE01. Si ABCD es un cuadrado de 4 cm. de longitud. Hallar el arco dela regin sombreada.AB CD4402. Hallarel readel siguientecrculo, si lospuntosA, B, CyDdel cuadrado pertenecen a la circunferencia y la diagonal del cuadrado mide m 2 4.ABCD03. En el siguiente grfico, ABCDes un rectngulo. Silos 2 crculos tienen igual rea y su radio r es 4 cm. Calcular el rea de la regin sombreada.AB CDrr04. Si la figura ABC es un tringulo equiltero cuyo lado tiene una longitud de10cmAdemsP, MyNconlos puntos medios de los ladosAB, BCyACrespectivamente. Hallar el rea de la regin sombreada.ABCM NP05. En la siguiente figura, calcular el rea de la regin sombreada.AB8 m06. Si ABCD es un cuadrado de 6 cm. de lado, el reasombreadaenlafigura mostrada es igual a: AB CDGeometra 33COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao(sugerencia: usar traslacin de reas)07. Enlasiguientefiguraseobservaal rombo ABCDcuyos lados son dos radios y dos cuerdas de una circunferencia de 16 cm. de radio. Los ngulosdeOAByOBCsonde60. Hallar el rea del rombo.ABCO08. Hallar el rea de un sector circular cuyo ngulo central mide 90 y su radio es igual al lado de un cuadrado de 2 4 cm. de diagonal.09. Si en una competencia automovilstica que se realiza en un circuito circular se sabe que para ganar la competencia el corredor debe dar 40 vueltas. Cuntosmetrosrecorreel ganador en la competencia si el rea del crculo es 16900m.10. Hallar el readeunacoronacircular cuyo radio interior y exterior tienen 13 y 12 metros, respectivamente.11. Hallar el rea de un crculo cuyo radio tiene una longitud igual al de la hipotenusade untringulorectngulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm. respectivamente.12. En la siguiente figura MNPQes un cuadrado. Si X es el centro del cuadrado. Hallarel readelaregin sombreada.MN PQ8 c mO13. En la figura siguiente, B es punto mediodeOCyE esmediode OD. Calcular el readelaregin sombreada.ABCDEF1 2 c mO3 0 3 0 3 0 Rpta.:14. Calcular el rea de la regin sombreada si el tringulo ABC es equiltero. Adems, el radio de la circunferencia es 12 cm. H es punto medio del segmento AB y OH mide 6 cm.A BCHOGeometra 34COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao15. Calcular el rea sombreada si MNPQ es un cuadrado de 10 cm. de lado y los 4 sectores circulares son equivalentes.MN PQ16. Hallar el rea de la regin total sombreada, si el tringulo ABC es rectnguloysuhipotenusatieneuna longitud de 8 cm.4 5 4 5 ABC17. Calcular el readelareginsombreada MNmide 40 cm. Q es tangente a la circunferencia interior.MNQO18. Calcular el rea de la regin sombreada siABCO es un trapecio y OAC es un sector circular de radio r = 8 cm. y ngulo central de 60. Adems MC OM.A BCM O19. Calcular el rea de la siguiente corona circular, si el cuadradotieneunrea de 64 m2y es tangente al crculo interior.O20. Hallar el rea del trapecio circular sombreado si R = 25 cm. y r = 24 cm. 6 0 ROrGeometra 35COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoGeometra 36COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CASA01. Si ABCD es un cuadrado de 8 cm de lado, calcular el rea de la regin sombreada.AB CDa) 16 (4- ) cm2 b) 32(4- ) cm2c) 32(2- ) cm2d) 4(32- ) cm2e) 16(2- ) cm202. Halla elreadelareginsombreada si AB= 16 cm.ABa) 32( -1) cm2b) 16(2 -1) cm2c) 64( -1) cm2d) 32( -2) cm2e) 64( -2) cm203. SiABCD es un cuadrado de 148 cm. de lado, el rea de la figura sombreada es:Oa) 10124 cm2b) 7894c) 16428 d) 16248e) N.A.04. Hallar el rea de un trapecio circular si el radiomayor tiene50cm., el radio menor tiene 48 cm. y el ngulo central tiene 120.a) 196/3 cm2b) 169/3 cm2c)173/3 cm2d) Faltan datose) N.A.05. Hallar el rea del siguiente sector circular, si su ngulo central es120MNQO 8 c m8 c m4 c ma) 2cm 33216 ,_

b) 2cm 33232 ,_

c) 2cm 3 23116 ,_

d) 2cm 33416 ,_

e) Faltan datos.06. Hallar el rea de la regin sombreada si BC AB y ABC es un tringulo rectngulo (recto en B).Geometra 37COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoABC4 2a) 4(2 -1) cm2b) 8( -2) cm2c) 4( -3) cm2d) 6( -1) cm.e) 8( -1) cm207. Hallar el rea de la regin sombreada si ABCD es un trapecio y OBC es un tringulo equiltero. OH = cm 3 4 ABOCD8 c mHa) 16( - 3 )cm2b)8( - 3 ) c) 16(2 -3 3 ) d) 16(2 - 3 )e) N.A.08. Hallar el rea del siguiente trapecio circular si R = 13 cm. y r = 12 cm.RR7 2 a) 5cm2b) 52c) 15 d) 10e) Faltan datos.09. Calcular el rea de la regin sombreadasiABCD esun trapecioy ACDesunsector circular, dondela medidadesungulocentral es60. Ademsdesungulocentral es60. Adems MD AM.ABCDM3 0 1 0a) ( ) [ ]2cm 100 3 3 b)

,_

33 100c)

,_

12 43 3100 d)

,_

123 3 100e) Faltan datos.10. Hallar el rea de la regin sombreada, si ABCD es cuadrado cuyo lado mide 10 cm.A BDCa) 25(2- /2) cm2b) 25(2- ) cm2c) 5(10- ) cm2d) 25(4- /2) cm2Geometra 38COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Aoe) Faltan datos.11. Hallar el rea de la regin sombreada, si R = 2r. Adems r = 13 cm.Oa) 3104cm2 b) 7505c) 2507 d) 2169e) N.A.(Sugerencia: usar traslacin de reas)12. Hallar el rea de la reginsombreada, si MNPQesuncuadrado, dondela longitud de su lado es 130 cm.(Sugerencia: usar traslacin de reas)a) 24225cm2b)24252 cm2c) 22245cm2d)242252 cm2e) Faltan datos13. Enel siguientegrafico, ABCDesun paralelogramo. Si lalongituddel lado BCes 8 cm. y la longitud del segmento BHes4 cm. Calcularel rea de la regin sombreada.CBH3 0 A DGeometra 39COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Aoa) 32 (1- /6) cm2 b) 32(1- /3) cm2c) 64(2- /6) cm2d) 32(1- /9) cm2 e) Faltan datos.14. Hallar el rea de la regin sombreada siAOD = DOC =BOCACODB6 c ma) 16cm2b) 6c) 9 d) 18e) N.A.15. Colocar V o F segn corresponda:i. El rea de un trapecio circular( )es anlogo al rea de un trapecio rectilneo ii. El rea de un sector circular se( )puede calcular por regla de tres simple iii. El nmero es un nmero( )irracional a) VFV b) FVVc) VFF d) VVVe) N.A.Geometra 40COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoCUADRO RESUMEN: REAS DE POLGONOSFIGURA REARectngulohbA = b x hCuadradoaaDA = a2 A = 2D2TringulohbA = 2h b xParalelogramobhA = h x bTrapeciohbBh2b BA x1]1

+RombodD2d DAxCrculorA = r2Corona CircularRrA = (R2 r2)Sector CircularrrA = 360r x x2 Trapecio CircularrRA =( ) 360r R2 2x x Segmento CircularA B( ) A O BT R I N G U L OC I R C U L A RS E C T O RA A A Geometra 41COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoGeometra 42COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoTEMA: OPERACIONES CON REASI. IntroduccinNosotros conocemos diversas formas geomtricas: conocemos el crculo, el cuadrado, elrectngulo, el rombo, el trapecio, el paralelogramo, el tringulo, adems de otras formas geomtricas que no tienen denominacin particular, pero que tambin se nos han presentado alguna vez.La forma que tienecadaunadestasentidadesgeomtricassedenominaSUPERFICIE. Porloquenoexisten superficies cuadradas, circulares, rectangulares, etc. La medida de una superficie se denomina REA. El rea se refiere al tamao. Para efectuarla medida de una superficies (es decir, calcular el rea de la superficie) se toma como unidad un cuadrado que tenga por lado la unidad de longitud. Pero en la prctica, el clculo del rea de una figura geomtrica se efecta de manera indirecta es decir se efecta la medicin de la longitud de alguno de los elementos de la figura y se realiza ciertas operaciones especficas con dichas medidas.II. Suma de reas, Diferencia de reas:Las reas tienen como una de sus propiedades, la propiedad de la aditividad. Esto quiere decir que el rea de una superficie compleja se puede obtener sumando las respectivas reas de las diversas figuras geomtricas simples que la componen. De forma anloga, si queremos hallar el rea de una superficie cualquiera, podemos obtenerla como la diferencia de otras dos reas.Ejemplos: Si tenemos el siguiente trapecio:ABC DAA121. Para hallar el rea A del trapecio, la podremos obtener SUMANDO el rea A1 y el rea A2, es decir sumando las respectivas reas de los tringulos ADC y ABC. Por lo tanto: r e a d e lT r a p e c i oA = A + A1 22. Igualmente, si quisiramos obtener el rea del tringulo ABC, la podramos hallar RESTANDO el rea del trapecio ABCD menos el rea del tringulo ADC. Por lo tanto: r e a d e lT r i n g u l o A B CA = A - A1 2Nota:El rea de una superficie geomtrica se denota con una letra a mayscula. Sin embargo, en varios libros el rea de una superficie geomtrica se denota con una letra S mayscula. Si bien estas notaciones se pueden usar indistintamente, nosotros usaremos la primera de stas rea = A.III. Figuras EquivalentesSon aquellas que son iguales o pueden obtenerse como suma o diferencia de figuras iguales. Todas las figuras equivalentes tienen IGUAL REA.Geometra 43COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoDel mismo modo, si dos figuras geomtricastienenigual rea, se dice quesonfiguras equivalentes.Es decir, dadas las siguientes figuras:A A1 2AB CD MNPQDonde: A1 es el rea del cuadrado ABCD y A2 es el rea del paralelogramo MNPQ, si A1 = A2 entonces las dos son figuras equivalentes.Las figuras equivalentes tienen algunas caractersticas:1. IdenticidadA es equivalente a A.2. ReciprocidadSi A1 es equivalente a A2, entonces A2 es equivalente a A1.3. TransitividadSi A1 es equivalente a A2 y A2 es equivalente a A3Entonces A1 es equivalente a A3* Estas caractersticas las podremos notarmejor en el desarrollo del tema.* Antes de presentar las frmulas para hallar el rea de las principales figuras geomtricas, con sus respectivas demostraciones, enunciaremos algunos teoremas imprescindibles, con el objeto de entender de una manera ptima las posteriores demostraciones.A. Primer TeoremaSi dos rectngulos tienen igual base e igual altura, entonces los dos rectngulos son igualesAB CDA l t u r a ( h ) : 34B a s e ( b )PQRSh = 3b = 4ComotantolabasecomolaalturadelosrectngulosABCDyPQRSsonlasmismas, entonces los rectngulos son iguales.B. Segundo TeoremaSi dos rectngulos tienen iguales las bases, sus reas son proporcionales a las alturas de cada uno de ellosGeometra 44COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoA1AB CDA2MN PQ3454Como los dos rectngulos tienen igual base (b= 4), entonces sus reas son D.P. a sus alturas.3A5AMNAABA2 1 2 1 C. Tercer Teorema:Si dos rectngulos tienen las alturas iguales, sus reas son proporcionales a las bases.D. Cuarto Teorema:Las reas de dos rectngulos son proporcionales a los productos de sus bases por sus alturasA1AB CDA2MN PQhbBH A3HSTURbDemostracin: ?H Bh bAAxx21Haremos primero una construccin auxiliar y formaremos un rectngulo RSTU con base b (igual a la del rectngulo ABCD) y con altura H (igual que la del rectngulo MNPQ).Sabemos, por el Segundo Teorema, que como los rectngulos ABCD y RSTU tienen la misma base (b), entonces sus reas sern proporcionales a sus alturas.Entonces:HAhA3 11 3AhHA (1)Adems, por el Tercer Teorema, sabemosque como los rectngulos MNPQ y RSTU tienen la misma altura (H), entonces sus reas son proporcionales a sus bases. Entonces:Geometra 45COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AobABA3 22 3ABbA (2)Al observar las ecuaciones (2) y (3), notamos que estas ecuaciones son iguales, ya que indican a qu es igual el rea A3.Por lo tanto:2 1 3ABbAhHA B x Hh x bAA21 Por lo que queda demostrado el Cuarto Teorema Relaciones Importantesentre reas:I. Tringulosa. A1A2b1b2A b1A2b21b.A h1A2HA1A2HhII. Paralelogramosc. Geometra 46COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoA1A2A3A4A = A = A = A = A1D o n d e A e s e l r e a d e l p a r a l e l o g r a m o42 3 4d.A = A1D o n d e P e s c u a l q u i e r p u n t o e n t r e B y C2A1AB CDPA B C De.A + A = A12A1AB CDPA B C DA22III. Trapecios:f.A = A12CA B C DABDA1g.A1A2A3A4 A = A + AA B C D3 42A . A = A . A1 23 4A = A12h.Geometra 47COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoA1A2A3AB CDA = A = A = A132 3Nota : Las unidades de las reas son metro cuadrado (m2), centmetro cuadrado (cm2), etc.Geometra 48COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CLASE01. Datos los siguientes grficos.A1A2ABCMNPQAHallar el valor del rea A sise sabe que43AA21, y A2= 396 u2; Adems, se sabe que el tringulo ABC, yeltrapecioMNPQsonfiguras equivalentes.02.RrHallar el rea de la regin sombreada si sesabequeel readel crculode radio res 8u2 yelradio delcrculo R es 14u2.03. Hallar la relacin entre las reas de los rectngulos ABCD y ABMN, si se sabe que sus alturas son 18 y 3 respectivamente.ABD CM N04. Si se sabe que en el siguiente grficoFC BF , y adems que A1 = 5m2, A2=4m2; A3=3m2; A4=2m2yA5= 6m2. Hallar A.ABCD EFA1A2A3A4A5A05. Si ABCD es un paralelogramo.Hallar el rea de la regin sombreada.A1A BC DA2Si se sabe que:75AA21y la constante de proporcionalidad es 10. 06. Si en el siguiente grfico.A1A2bcSe conoceque 21AA=5. Aqu es igual b en trminos de c?Geometra 49COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao07. En el siguiente grfico:A1A2HhSe sabe que H = 6 y h = 2. Calcular el rea total si la constante de proporcionalidad es K.08. En el siguiente paralelogramoA1A3A4A2Cul es el valor de A1+ A3+ A4si el rea total del paralelogramo es 248m2? 09. En el siguiente paralelogramo A1A2A3A4OQPSi se sabequeA1=17 m2. Enque relacin se encuentran los segmentos PQ y OP ?10. Demostrar el siguiente teorema.ABCDA1P2AAABCD1Donde P es cualquier punto entre B y C. ABCD es un paralelogramo.11. En el siguiente trapecio:A1A2A3A4Se sabe que A3 . A4 = 841 m2 Cul es el valor de A1?12. Si en el siguiente trapecio:A1A2A3A4Se sabe que A1 = 18 m2. Adems que 41AA43.Hallar el rea total del trapecio.13. Si en el siguiente trapecio.A3A2A1baSesabequeA1eslamitaddel rea total del trapecio. En qu relacin se encuentra A2 y A3, sise sabe que a = 4 y b = 16?.14. De los siguientes 2 rectngulos.hbHBCul eslarelacindesusreas, si se sabe que:Geometra 50COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao75Hhy53Bb ?15. En el siguiente grfico:a bcdMNPQRSi sesabequeel readel tringulo MNP es A. Hallar el rea del tringulo PQR si se sabe que: 23ba y 1710cd.16. Del siguiente grfico:AB CDA1Hallar el valor del rea A1, si se sabe que el rea total del trapecio es 354 m2?17. Del siguiente grficoA1A2A3A4MNPQ RSi se sabe que MNPQ es un paralelogramo y PQR un tringulo. Hallar el rea del tringulo PQR si se conoce que A1= 10m2y que las longitudes de los segmentos MQy QRson 4 cm y 3 cm, respectivamente.18. Hallar el rea total del siguiente trapecio.A1A2A3A4MN PQRSi sesabe queA1=100m2y que 41MRPR.19. En el siguiente grficoA1A2A3A4ABC M N PHallar el rea del tringulo ABC si A1 = 10 m2yAM= 5m,MN= 4my NP= 3m y m 2 PC.20. En el siguiente grfico:ABCRQPHallar el rea del tringulo BPQ, si el rea del tringuloBPRes5m2yBR= AR = 1m, AP= 2m, PC= 3m, QC= 2m y BQ= 3m.Geometra 51COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CASA01. Delsiguiente grfico:A1Hallar el rea de la regin sombreada, si se sabe que A1 = 27 m2. a) 21 m2 b) 27c) 64 d) 18e) 902. En el siguiente grfico:A1A2A3A4A5Hallar A5. Si el rea total es de 100 m2 y A1 + A2 = A3+ A4 = 47 m2.a) 9 m2b) 7c) 6 d) 5e) 803. De los 2 siguientes rectngulos:hbHBA1A2Cul es la relacin entre b y B, si A1 = 19 m2, A2 = 361 m2 y H = 2h?a) 1/19 b) 2/38c) 2/19 d) 1/38e) 3804. En el siguiente trapecio:A1A2A3A4Sesabequeel readel trapecioes 169 m2; si A4 = 81 m2 Cul es el valor de A1?a) 63 m2b) 38c) 35 d) 44e) 3605. Hallar el rea total del trapecio.A1A2A3A4MPNSi se sabe que A2 = 36 m2y adems NP 9 MN (en metros).a) 400 m2b) 401c) 200 d) 201e) N.A.06. En el siguiente tringulo.A1A2HhabM NPGeometra 52COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoSi A1 = 288 m2 y A2 = 36 m2. A qu es igual a x hb x HP ?a) 8 b) 64c) 32 d) 16e) N.A.07. En el siguiente paralelogramo.A1A3A4A2Se sabe que A2 = 1024m2. Cul es el rea total del paralelogramo?.a) 36 b) 62c) 128 d) 124e) N.A.08. En el siguiente trapecio.A1A2A3A4Se sabe que A4 = 36 m2 yA3 = 12 m2Cul es el valor del rea del trapecio?a) 32 m2b) 16c) 8 d) 4e) 12809. Dado el siguiente grfico:ABCDESi ABCD es un paralelogramo y CDE es un tringulo. Hallar el rea del paralelogramoABCD, si41ADDEy el rea del tringulo CDE es numricamenteigual al reatotal del trapecio de la pregunta anterior.a) 215 m2b) 256 c) 324 d) 418e) 51210. Dado el siguiente grfico:AB CDEFSi se sabe que ABCD es un paralelogramo y que FECF23DEAD y el rea del tringulo DEF es 4m2. Calcular el rea del trapecio ABCE.a) 40 m2b) 30 m2c) 24 m2d) 18 m2e) N.A.11. Del siguiente grfico.Geometra 53COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoADFC E BHallar el rea de la regin sombreada si ABCD y DECF son paralelogramos y el rea del tringulo ABE es 12 m2 y el rea del tringulo ECD es 24 m2.a) 50 m2b) 60c) 70 d) 80e) N.A.12. En el siguiente grfico:A1A2A3a b cHallar elrea totaldeltringulo (A1+ A2 + A3) si se sabe que:3c2b1a La constante de proporcionalidad de las razones es K.a) 5K b) 4K c) 6Kd) 10K e) 9K13. Colocar V F en: i) Si 2 figuras son equivalentes entonces poseen la misma rea.ii) Si 2rectngulostienensusalturas iguales, sus reas son proporcionales a sus bases.ii) Si el rea de un paralelogramo es A, entonces el rea limitada por los extremosdelparalelogramo y una de sus diagonales es A/2.a) VVF b) FVV c) FVFd) VVV e) FFFGeometra 54COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao14. Hallar el rea de la regin sombreada.A1 A2Si se sabe que:139AA21 y la constante de proporcionalidad es 5.a) 111 m2b) 92c) 55 d) 108e) 11015. Del siguiente grficoABCDEHallar el rea sombreada si el rea del tringulo ABC es400 m2.Adems: 51DCBDy32ECAE a) 40 m2b) 80c) 70 d) 60e) N.A.Geometra 55COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoTEMA: RECTA Y PLANO I. Introduccin.-Hasta el momento todo el desarrollo del curso ha sido realizado en las dos dimensiones de nuestro cuaderno: a lo largo y ancho del mismo. Pero nuestro mundo tienetres dimensiones; largo, ancho y alto. Todo lo que hemos desarrollado hasta el momento nos sirve para simplificar nuestro mundotridimensional a una realidad ms accesible, ms fcil de manipular. Pero es momento de empezar a estudiar los fenmenos geomtricos tridimensionales.En geometra bidimensional a las figuras que se nos presentaban las conocamos como polgonos; en la geometra tridimensional (conocida comoGeometradelEspacio)todos los entesquese nos presenten los conoceremos como slidos.La Geometra del Espacio se basa en los PLANOS. Un plano es por ejemplo esta hoja, o el lado de un cubo; es decir, una superficie bidimensional que se puede mover en el espacio. Puesto que es la base en que se apoya esta seccin, detallaremos algunas caractersticas de los planos.II. Planos:Determinacin, posicionesrelativasdedosplanos. Posicionesrelativasdeun plano con una recta. Teoremas. Distancias1. Determinacin de PlanosUn plano viene determinado:a) Por dos rectas que se cortan. b) Por 3 puntos no situadas en lnea recta (no colineales).c) Por una recta y un punto exterior a ella.d) Por 2 rectas paralelas.2. Posiciones Relativas de dos planosDos planos pueden ocupar las siguientes posiciones:a) Cortndose:En este caso tienen una recta comn que se llama interseccin de los dos planos.b) Ser Paralelos:Cuando no tienen ningn punto en comn.1212C o r t n d o s eP a r a l e l o s3. Posiciones Relativas de un Plano con una rectaUna recta y un plano pueden ocupar las siguientes posiciones:a) Estar la recta en el plano.b) Cortndose. En este caso tienen un punto A en comn.c)Ser paralelas. En este caso no tienen algn punto en comn.4. Posiciones Relativas de dos rectas en el espacioDos rectas en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones:a) Cortndose. En este caso tienen un punto en comn.b) Ser paralelas. En este caso estn en un mismo plano y no tienen algn punto en comn.c) Cruzndose. En este caso no estn en un mismo plano y no tienen ningn punto en comn. Tambin se les llama RECTAS ALABEADAS.5. Teoremas ImportantesGeometra 56COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Aoa) Las intersecciones a y b de dos planos paralelos y con un tercer plano son rectas paralelas.abb) Si dos rectas a y b son paralelas, todo plano que pase por una de las dos rectas es paralelo a la otra recta.bac) Si un plano corta a una de 2 rectas a y b paralelas corta tambin a la otra.abd) Si una recta corta a uno de dos planos paralelos, corta tambin al otro.e) Si secortandosrectaspor unsistemadeplanosparalelosentonces, lossegmentos correspondientes son proporcionales.Imagen I=ABCMN DE n t o n c e s :f) Si una recta es perpendicular a un plano , cualquier plano (y todos los planos paralelos a ) que pase por la recta es perpendicular a Distancia entre 2 puntosViene a ser la longitud del segmento que une dichos puntos.Geometra 57COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao6. Recta Perpendicular a un PlanoSe dice que una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por la interseccin. Al punto de interseccin se le llama Pie de la perpendicular (punto P).P7. Distancia de un punto P a un plano :Es el segmento PMde perpendicular trazada del punto al plano; se llama as por ser MENOR que cualquier otro segmento PNque une el punto con cualquier otro punto del plano.PMN8. Paralelismo y Perpendicularidad* Si de dos rectas paralelas a y b, una de ellas (a) es perpendicular a un plano, la otra (b) tambin es perpendicular al plano.* Recprocamente, dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas.* Dados dos planos paralelos, si una recta es perpendicular a uno de ellos, entonces tambin es perpendicular al otro.9. Distancia entre dos plano y paralelosEs el segmento MN perpendicular comprendido entre los 2 planos. O tambin, es la distancia de un punto cualquiera M de uno de ellos al otro.10. Proyeccin de un punto A sobre un plano La proyeccin de un punto A sobre un plano es el pie A de la perpendicular trazada desde el punto al plano.AA Geometra 58COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoLa proyeccin de una lnea ABsobre un plano es el conjunto B' A'formado por las proyecciones de todos los puntos de la lnea.A ABB 11. Distancia entre dos rectas que se cruzanEs el segmento perpendicular comn comprendido entre ambas rectas. Para trazar esta distancia, sean ay b las dos rectas alabeadas. Por un punto M de una de ellas (b) se traza la recta cparalela a la otra (a), la cual determina con bel plano . Se traza ahora al plano , perpendicular al plano , el cual cortaalarectaaenel puntoP. TrazandodesdePla perpendicularPQal plano , tenemos quePQes la distancia buscada entre las rectas a y b.PQaMbc* Paradesarrollar estecaptulodeunamaneraptimaesnecesariorecordar el Teoremade Pitgoras:cbac = a + b2 2 2Esto nos ayudar mucho en el momento de hallar distancias.Geometra 59COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar la distancia del punto P a la recta L, si la distancia del punto P al punto M es 13 cm. (M pertenece a la recta L).MNP5 cm02. Hallar la distancia del punto P al plano siPA=13cm. yABtiene una longitud igual al lado de un tringulo equiltero de 3 36 cm2de rea. AB .PBA03. En el siguiente grfico, los tringulos ABC y MBC son congruentes. Hallar la distancia del punto Bal plano si AC y MC .BM AC4504. En el problema anterior, hallar la distancia entre los puntos A y M si se sabe que el ngulo ACM es de 90.05. L1 es una recta que corta al plano en el punto P. Si tomamos un punto Q de la recta, notamos que la proyeccin del segmento PQmide 12 cm. Hallar la distancia del punto Pal plano , si PQ = 13 cm.06. En el siguiente grfico, determinar el valor deMN, si , , son planos (paralelos entre s) que cortan a las rectas L1y L2 cm 4 NP y BC AB .ABCMNPL12L07. Hallar el rea del cuadriltero sombreado si y son planos paralelos y es un plano que intercepta a y . H = 4 cm.bH 08. Un hombre se encuentra parado a 3 m. de un poste de luz de 5.8 m de alto. Si el hombre mide 1.8m de altura. Cul es la distancia entre la cabeza del hombre y la punta del poste? 09. Un barco divisa el faro del puerto. Si el faro mide 100 metros de alto y est a 20 m.s.n.m.y la distancia entre el barco y la punta del faro es 200 m. Cuntos metros separan al barco del puerto?10. Si otrobarcoquellegadenochese encuentraa288m. del puerto. Cul ser la longitud del haz de luz con el cual el faro ilumina al barco?11. L1y L2son 2rectasparalelasqueson cortadas por un plano en los puntos M y N, respectivamente. Si L3es una recta perpendicular a L1 y L2 y pasa por N y por Q (Q L1y QM ) yMQ = 7 cm. Hallar la distancia entre las rectas. MN= 25 cm.Geometra 60COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao12. Juan quiere saber cunto mide una palmera. Si sabe que otra palmera que est a 6 m. de la primera tiene 20 m. de altoyladistanciaentrelascopasde ambas palmeras es 10m. Cunto mide la palmera ms alta?13. Hallar laaltura queseencuentradel suelo una cometa, si se ha extendido 30 metros depabilo y la proyeccin del pabilo sobre el suelo mide 18 metros. 14. Suponiendo que una montaa tiene forma triangular y el camino que va a ella empieza en la ciudad. Hallar la altura de la montaa, si la distancia de la montaa a la ciudad es de 12 Km. y se tienen que recorrer 13 Km. para llegara su cumbre. 15. Un futbolista dispara unpenal,contan mal suertequelapelotapegaenun vrtice superior del arco. Si el punto del penal est a 4 metros del arco y el arco mide6metrosdelargoy2m.dealto. Qu distancia recorri el baln?16. Se desea colocar una rampa que una los puntosAyBparafacilitar untrabajo. Hallar la longitud de la rampa si la distancia entre C y B es 8 metros.ABC6 m17. Hallar la mxima distancia entre dos planos paralelos si se sabe que el rea del tringulo ABC es 6 cm2. 5 cmAB CP l a n o P l a n o18. Hallar lalongituddelaproyeccinde ABsi el readel trapecioquese forma es 60 cm2.A ABB C75 c m19. De la pregunta anterior:i) Cul esladistanciadeCal plano ?Rpta.:ii) Cul esladistanciade Cal punto A?.Rpta.:20. Marca con V o F segn corresponda.i. Si 2 rectas no se cortan entonces son paralelas ()ii. Si una recta es perpendicular a 2 rectas, estas rectas son paralelas entre s ( )iii. La interseccin de 3 planos es un punto ( )iv. Si una recta es perpendicular a 3 rectas dadas, stas 3 deben ser paralelas.( )Geometra 61COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar la distancia del punto P al plano siPA= 130 cm. yABtiene una longitud igual al lado de un cuadrado de 502 cm. de diagonal.PB Aa) 120 cm. b) 12c) 130 d) 13e) N.A.02. Hallar la distancia del punto P a la recta L, si la distancia de P a A es 30 cm y AB= 16 cmA BLPa) 21 cm b) 14 cm c) 15 cmd) 12 cm e) N.A.03. Un avin que va a aterrizar en una pista de un aeropuerto, inicialmente se encuentra a 1200 m de altura, si recorre 1500 m y finalmente aterriza, recorriendo sobre la pista 100 metros ms. Cul es la longitud total de la pista?a) 1100 m b) 1400c) 1500 d) 1200e) 100004. Unatuberade10mdelargoune2 paredesparalelas. Si ladiferenciade alturas entre ambos puntos de contacto con la pared es de 6 m. Hallar la separacin entre las paredes.a) 6 m b) 8c) 7 d) 5 e) N.A.05. Hallar la distancia del punto C al segmento AB, si el tringulo ABC tiene un rea de 10 m2.A BC1 0 ma) 1 m b) 2c) 3 d) 4e) 506. En el siguiente grfico, determinar el valor deMNsi , y son planos paralelosentre s,que cortana las rectas L1 y L2.cm 10 NP ; BC AB ABCMNPL12La) 10 cm. b) 8Geometra 62COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Aoc) 12 d) 14e) N.A.07. En el siguiente grfico, hallar la distancia de B a D, siAM= 10 y BC= 3 cm y AACM = 20 cm2.DBACMa) 5 cm b) 6c) 4 d) 7e) N.A.08. Cul esladistanciaqueseparaa2 edificios, si un cable que va de la azotea de un edificio al otro mide 52 m. y uno tiene 12 pisos ms que el otro (Considerar que cada piso tiene 4 m. de alto).a) 10 m b) 12c) 20 d) 18e) 509. Hallar laalturadelacaraABCdela siguiente pirmide, si H= 24 cm. y OH= 5 cm.ABCMOHa) 26 cm b) 24c) 25 d) 23e) N.A.10. Hallar lalongituddelaproyeccinde AB, si el readel trapecioquese forma es de 49 cm2.A ABB 9 c m5 c ma) 7 cm b) 8c) 14 d) 16e) N.A.11. De la pregunta anterior, hallar la distancia de B a A.a) 74 cm b) 74c) 75 d) 75e) Faltan Datos.12. Hallar la menor distancia del punto A al plano . 10 cm15 cmA25 cm2 4P l a n oa) 8 cm b) 9c) 10 d) 7e) 613. Un can dispara balas a un muro; si el caonero quisiera que la bala pase por encima del muro (con la justa), Geometra 63COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Aorecorriendo slo 50 m. A qu distancia deber colocar el can?. El muro tiene 30 m. de alto.a) 40 m b) 35c) 45 d) 50e) N.A.14. Hallar la distancia de C a L1.1 0C8 cmL1a) 10 cm. b) 8c) 6 d) 12e) N.A.15. Hallar la distancia entre L1 y L2 si ambas son paralelas.5 c mL1L21 3a) 12 cm. b) 13 c) 10 d) 8e) N.A.Geometra 64COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoTEMA: REA DE SLIDOS Los slidos (figuras de 3 dimensiones) poseen 2 magnitudes: rea y volumen. El volumen lo veremos en el siguiente captulo. El rea se refiere a la superficie exterior del cuerpo, el rea que abarca.A continuacin, presentaremos algunos slidos y pondremos a qu es equivalente su rea:a) TetraedroLlamado as porque posee 4 caras. Se obtiene uniendo en el espacio 4 tringulos equilteros iguales.A BCDD D A BCDD e s a r r o l l o d e l T e t r a e d r oT e t r a e d r oComo los 4 tringulos equilteros son iguales, entonces:Atetraedro = 4 Atring.equilteros = 4

,_

432l= 4

,_

33 h23 A2tetraedrol 2tetraedroh 334A b) Hexaedro (Cubo)Llamado as porque posee 6 caras. Se obtiene uniendo en el espacio 6 cuadrados iguales.ABCDEFG HF E G H H E ABCDEHGFD e s a r r o l l o d e l C u b o H e x a e d r o o C u b oLLLComo los 6 cuadrados son iguales:Acubo = 6 AcuadradoGeometra 65COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao Acubo = 6L2 .c) OctaedroLlamado as porque posee 8 caras. Est formado por 8 tringulos equilteros iguales, que se unen de 4 en 4 formando una pirmide de base cuadrada y finalmente uniendo las bases de ambas pirmides.ABCDEBPQPRND e s a r r o l l o d e l O c t a e d r oABCDRNPQCDQNPBAA c o p l a m i e n t o d e P i r m i d e s O c t a e d r oEComo los 8 tringulos equilteros son iguales, entonces:3 2 A2octaedrol 2octaedroh 338A d) ParaleleppedoEst formado por 6 paralelogramos: 4iguales entre s y 2 iguales entre s:

D e s a r r o l l o d e l P a r a l e l e p p e d oP a r a l e l e p p e d oSu rea se obtiene sumando las reas de cada paralelogramo. Una forma especial de paraleleppedo es el ortoedro, el cual tiene la particularidad de que est formando por rectngulos.Geometra 66COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoD e s a r r o l l o d e l O r t o e d r oO r t o e d r oAnlogamente, su rea se obtiene sumando las reas de cada rectngulo.e) Cilindro RectoEst formando por 2 crculos idnticos que se encuentran en planos paralelos, revestidos por una superficie convexa de forma rectangular.rrHr rH2 rD e s a r r o l l o d e l C i l i n d r o R e c t oC i l i n d r o R e c t oSu rea se obtiene sumando las reas de los crculos y el rectngulo. Acilindro = 2 r2+ 2 r(H)f) ConoFormando por un crculo y una seccin circular:Geometra 67COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoD e s a r r o l l o d e l C o n oAggrBA B = 2 rA r c o A BgrHC o n oPor Pitgoras: g 2 = H2 + r2.g = generatrizh = altura del conor = radioSu rea se obtiene sumando las reas del crculo y del sector circular.Geometra 68COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar el readeuntetraedroregular cuya arista mide 2 cm. 02. Si sabemos que el rea total de un tetraedro regular es 3 16 cm2. Calcular la longitud de su arista.03. Hallar el rea total de un cubo si su arista tiene una longitud de 7 cm.04. Hallar la diagonal de un cubo si su arista mide a metros.05. Una hormiguita se encuentra en un vrtice de un cubo de arista igual a 6 m. Si ella quiere llegar al vrtice opuesto. Calcular el recorrido mnimo que debe hacer por las caras del hexaedro.06. Si la diagonal de un cubo es 4 3cm. Cul es el rea del cubo?07. Hallar el rea de una cara de un octaedro regular cuya arista mide 12 cm.08. Hallar el rea total de un octaedro regular cuya arista mide 6 cm.09. Hallar el rea total de un octaedro regular si la altura de una de sus caras mide 3 cm.10. Hallar el rea total del siguiente paraleleppedode10cm. dealtura(la cara ABCD).AB8D10C1 211. Hallar el rea total del siguiente octaedro.54312. Hallar el rea total de una caja de zapatos que tiene las siguientes dimensiones: 12 cm. de alto, 30 cm. de largo y 20 cm. de ancho.13. Hallar el readeuncilindroderadio igual a 4 cm. y 10 cm. de altura.14. Si el rea total de un cilindro es 48cm2 y su altura es 10 veces la longitud del radiodel crculodesubase. Hallar el radio.15. Si el permetro del crculo de la base de un cilindro es 4cm.y sualtura es 12 cm. Calcular el rea del cilindro.Rpta.:16. Hallar el rea total de un cono cuya base tiene 5 cm. de radio , su generatriz mide 20 cm. y su ngulo central mide 90.17. Hallar el rea total de un cono que tiene 5 cm. de radio y 12 cm. de altura.18. Si la base de un cono tiene un rea de 49 cm2y su generatriz tiene una longitud de 25 cm. Cunto mide la altura del cono?19. Hallar el desarrollo del siguiente poliedro (longitudesencentmetros). Todoslos ngulosson rectos. Dar como respuesta el nmero de caras.20. Hallar el reatotal del poliedrodela figura anterior.Geometra 69COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar el rea de un tetraedro si el rea de una de sus caras es 8 cm2.a) 32 cm2b) 16c) 64 d) 8e) N.A.02. Hallar el rea total de un tetraedro regular cuya arista mide 2 cma) 42cm2b) 43c) 33d) 23e) N.A.03. Hallar el rea total de un tetraedro cuyo permetro es 36 cm.a) 333cm2b) 93c) 363d) 343e) N.A.04. Hallar el reatotal deuncubocuyo permetro es 120 cm.a) 2400 cm2b) 1200 cm2c) 1400 cm2d) 600 cm2 e) N.A.05. Hallar el permetro de un cubo de rea igual a 96 cm2.a) 80 cm b) 60c) 70 d) 90e) 4006. Hallar laaristadeunhexaedrosi se sabe que su rea total es 384 cm2 a) 8 cm b) 7 cmc) 6 cm d) 4 cme) 5 cm07. Hallar el rea de una cara de un octaedro regular cuya arista mide 4 cm a) 43cm2b) 42c) 33d) 53e) N.A.08. Si sabemosqueel reatotal deun octaedro regular es 183cm2. Calcular la arista.a) 6 cm b) 4 cmc) 5 cm d) 3 cme) N.A.09. Hallar el rea total del siguiente ortoedro.672a) 163 cm2b) 316c) 136 d) 400e) N.A.Geometra 70COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao10) Hallar el rea total de un cilindro de 6 cm. de radio y 10 cm. de altura.a) 192 cm2b) 192c) 129 d) 129e) N.A.11. Hallar la altura de un cilindro si se sabe que su rea total es 90cm2 y su altura es 4veces su radio.a) 10 cm. b) 11c) 9 d) 12e) N.A.12. Hallar el rea total de un cono de r = 5 y g = 10 cm.a) 75 cm2b) 75c) 50 d) 50e) N.A.13. Hallar el rea total de un cono si h = 6 cm. y r = 8 cm.a) 144 cm2b) 124c) 124 d) 144e) N.A.14. Hallar el rea total del siguiente poliedro (todos los ngulos son rectos).424222a) 72 cm2b) 27 cm2c) 44 cm2d) 61 cm2e) N.A. 15. Cuntascarastieneel poliedrodela pregunta anterior?a) 16 b) 10c) 12 d) 24e) 5Geometra 71COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoTEMA: VOLMEN DE SLIDOS El volumen de un slido se refiere al espacio que ocupa el slido.Teorema FundamentalEl volumen de un poliedro se obtiene multiplicando el rea de su base por la altura del poliedro.La unidad del volumen de un poliedro es el metro cbico (m3). As:HrA L T U R A A V XB A S ES L I D OB a s e Volumende los Principales Slidosa) Volumen de un Tetraedro Regular:aaaaH A V xA B C T e t r a e d r oHVBCb) Volumen del Cubo (Hexaedro)3C U B Oa V Geometra 72COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Aoc) Volumen de un Octaedro Regular:a3hx A 2 VA B C D O c t a e d r ohaaABCDd) Volumen de un ParaleleppedoH A V XA M O P A R A L E L O G RHac b a V x x bcO r t o e d r ohe) Volumen de un Cilindro Recto:G GHRRO OH R V x x2C i l i n d r oG : G e n e r a t r i z ; e n e s t e c a s o G = HH A V xC r c u l o C i l i n d r of) Volumen de una PirmideUna pirmide es un slido muy especial. Su base puede ser cualquier polgono y todas sus caras (excepto la base) se unen en un solo vrtice,llamado CSPIDE.Su volumen se obtiene multiplicando el rea de la base por la tercera parte de su altura.Geometra 73COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao3HA V xB A S EHaaaVC s p i d eB a s eSi observas cuidadosamente al octaedro, te dars cuenta que est formado por 2 pirmides de base cuadrada, motivo por el cual, en el clculo de su volumen, su altura se encuentra dividida entre 3. Esta divisin de la altura es una particularidad de los slidos de forma triangular.g) Volumen del ConoComo un cono tambin tiene forma triangular, para calcular su volumen dividiremos su altura entre 3.hrgg3hr V x x2C o n o g : G e n e r a t r i z d e l C o n oVComo se observa, el volumen del cono resulta siendo la tercera parte del volumen del cilindro.Geometra 74COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar el volumen de un cubo cuya arista tiene una longitud de 22m. Rpta.:02. Hallar el volumen de una caja de zapatos que tiene las siguientes dimensiones: 10 cm de alto, 40 cm de largo y 20 cm de ancho.Rpta.:03. Hallar el volumen de un paraleleppedo de 5 metros dealtura, si subaseesunparalelogramoque tiene las siguientes caractersticas.552Rpta.:04. Hallar el reatotal deuncuboque tiene 162 cm3 de volumen.Rpta.:05. Hallar el volumendeunaparedque tiene10m. delargo, 10mdealtoy 1m. de ancho.Rpta.:06. Hallar el volumen de un octaedro regular cuyo cuadrado asociado tiene 5 cm. de lado y su altura mide 9 cm.Rpta.:07. Hallar el volumen de un tetraedro regular si se sabe que la arista mide 12 cm. y su altura, 46cm.Rpta.:08. Si el volumen de un tetraedro regular es 182cm3ysuaristamide6cm. Cunto mide su altura?Rpta.:09. Hallar el volumen del siguiente cilindro si se sabe queOA = 26 cm y R = 10 cmROARpta.:10. De la pregunta anterior,sila alturadel cilindro fuera igual a la distancia entre los puntos O y A. Cul sera el volumen del cilindro?Rpta.:11. Hallar el volumen de un cilindro si el rea de su base es 4 veces el rea de la base del cilindro de la pregunta 9 y su altura es el triple del radio.Rpta.:12. La pirmide de Keops es una pirmide regular de base cuadrada de 100 metros dearista. Cul esel volumendela pirmide?Si su altura mide 502 m.Geometra 75COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoRpta.:13. Hallar el volumen de la siguiente pirmide; si su base es un tringulo equiltero.9 c m4Rpta.:14. Hallar el volumen de un cono si el radio del crculodelabasees12cm. yla generatriz del cono mide 13 cm.Rpta.:15. Hallar el volumen de un cono si su generatriz es el doble de su radio y su rea total es 27cm2.Rpta.:16. Hallar el volumen de un cono si su radio esasualturacomo5esa12ysu generatriz mide 50 cm.Rpta.:17. Hallar el volumendel siguienteslido. Todos los ngulos son rectos y las longitudes estn en centmetros.244244Rpta.:18. Hallar el volumenaproximadodeuna lata de leche si su altura es 11 cm. y su radio es 4 cm.(3.14)Rpta.:19. Hallar el volumen aproximado de un cono de helado, si su altura es 10 cm. y su radio es 3 cm. (3.14)Rpta.:20. Hallar el volumen de un estante de 1 m. de ancho, 2 metros de largo y 2 m. de altura.Rpta.:Geometra 76COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar el volumen de un cubo de 73 metros de arista.a) 10293 m3b) 10923c) 10323d) 10292e) N.A.02. Hallar el volumen de una habitacin cbica, cuya diagonal mayor mide 103 metros.a) 100 m3b) 1000c) 10000 d) 10e) N.A.03. Hallar el volumen de una refrigeradora quetiene1.5m. dealto, 0.5m. de largo y 0.8 m. de ancho.a) 0.3 m3b) 0.2c) 0.6 d) 0.4e) 0.0604. Hallar el volumen de un cilindro recto cuya generatriz es un nmero primo de 1 cifra mayor que 5 y su radio es 10 cma) 70cm3b) 700 cm3c) 70 cm3d) 700cm3e) N.A.05. Hallar el volumen de un cono cuya generatriz mide 50 cm y su altura mide 40 cma) 12000 cm3b) 36000 cm3c) 36 cm3d) 36000cm3e) 12000cm306. Hallar el volumen de un ladrillo que tiene lassiguientesdimensiones: 12cm. de largo, 8 cm. de ancho y 4 cm. de alto.a) 224 cm3b) 384c) 412 d) 124e) N.A.07. Hallar el volumen de uncubo cuya diagonal mayor es el doble del lado de un cuadrado de 3 cm2 de rea.a) 6 cm3b) 7c) 8 d) 9e) 1008. Hallar el volumen de una pirmide regular de base cuadrangular si el lado del cuadrado es 2 m. y su altura mide 32cm.a) 4 2 cm3b) 32 2c) 2 2 d) 334e)23409. Hallar el volumen de un paraleleppedo de10 cm de altura,si su base es el siguiente paralelogramo.41 08a) 200 3 cm3b) 2002c) 100 3 d) 1002e) N.A.10. Hallar el volumen del siguiente cilindro si OA mide 5 cms. y r = 4 cms.Geometra 77COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AorAa) 48 cm3b) 48c) 24 d) 24e) N.A.11. Hallar el volumen del siguiente slido si su base es un tringulo equiltero.3 c m4 c ma) 10 cm3b) 11c) 12 d) 13e) N.A.12. Hallar el volumen del siguienteslido (todos los ngulos son rectos).424222a) 32 cm3b) 16c) 44 d) 28e) N.A.13. Hallar el volumen de un cubo de 83 metros de arista.a) 215 m3b) 216c) 511 d) 500e) 51214. Hallar el volumen de un ortoedro si sus dimensiones son 5, 10 y 15 m. a) 750 m3b) 570c) 500 d) 600e) N.A.15. Hallar el volumen del siguiente cilindro, si r = 8 cm.2a) 128cm3b) 128c) 124 d) 124e) N.A.Geometra 78COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoPrisma y Tronco de Prisma:Llamaremos PRISMA, al slido limitado por la superficie prismtica cerrada y 2 planos paralelos y secantes a dicha superficie. En este curso slo nos interesaremos de los prismas RECTOS, es decir, aquellos cuyas caras laterales son rectngulos.DEFABCMNhh x A VA B CA B C - D E Fe s u n p r i s m aSe llama TRONCO DE PRISMA al slido determinado al cortar un prisma mediante un plano NO paralelo a sus bases. Del grfico anterior, ABC-DMN es un tronco de prisma.Casos de Troncos de Prismas:

,_

+ +3c b ax A VB A S Eabc ac

,_

+3b ax A VB A S Ei ) i i )a

,_

3ax A VB A S Ei i i )Geometra 79COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoMISCEL NEA 1) Adolf tenia en su taberna barricas de forma cilindra circular recta, de modo tal que una de ellas contenaaguahastaunosdel total de su volumen. Hallar la relacin que se presenta entre las alturas del cilindro y la del contenido de agua en este, respectivamente, si la generatriz de la barrica tiene una longitud igual al dobledel dimetrodela base.Rpta.:2) En la siguiente figura:K PLM1 6 mSi KLMPesuncuadrado, hallar el rea de la regin sombreada. (KP = semicircunferencia)Rpta.:3) Si laalturadel rectnguloKMNL mide a metros y con la base esta en la relacinde 21 a 13 y si LN LP , hallar e, rea correspondiente a la regin sombreada.KPLMNRpta.:4) En la figura:ODZFGEYLos puntos o ; y ; z son los centros de la semicircunferencias. Si el permetro del rectngulo DEFG es de 24m, calcular el rea de la regin sombreada.Rpta.:5) Se solicita la construccin de una torredeaguadeformacilndrica que pueda albergar un volumen equivalente a 320 cm3, se tiene un radio de base equivalente a R, hallar el rea total de la torre.Geometra 80COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoRpta.:6) Si o vieneaser el centrodel cuadrado de lado L, hallar el rea de la regin sombreada mostrada:MPLTRQUONRpta.:7) En la siguiente figura:LTodos los tringulos son equilteros, si la longitud de todos los tringulos pequeosesk metros, hallar el volumen del slido que resulta de la rotacin del triangulo sombreado alrededor del eje LRpta.:8) Al unir los puntos medios , , , , , de las aristas del cubo de la figura, la cual tiene 729m3, se ha de obtener una regin sombreada cuyo valor de su rea ser:Rpta.:9) Indicar el valor del verdad de cada una de las proposiciones siguientes:i) Si una recta es paralela a un plano, entonces dicha recta es paralela a todas las rectas que estn contenidas en dicho punto.ii) Tres rectas que son paralelas entre si son, adems, coplanares. iii) Si una recta es tangente a una circunferencia, la recta y la circunferencia son coplanares.Rpta.:10) Las aristas de un ngulo triedro tri rectngulo oson interceptadas, en los puntos A; B; C por unplano. Setraza OF de modo que sea perpendicular al plano A , B ; C de manera que las medidas angulares del AOF ; COF ; sean iguales si 3 2 OF , hallar el rea del triangulo ABC.Rpta.:11) TenemosunromboABCD, el cual forma un ngulo rectngulo ABE, el cual es recto en B sabemos, adems, que las Geometra 81COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Aomedidas de los ngulo C BAy los segmentos EH y BEson respectivamente. 60 ; 2 5 BCy3 2 u. Hallar ladistanciaentreBEy CH; donde H es la proyeccin de c sobre AD .Rpta.:12) Hallar el rea absoluta de un tetraedro regular; si la distancia del puntomediodeunaaristaal centro de su cara opuestas respectiva es dRpta.:13) Hallar el readelaregin correspondienteal paralelogramo ABCDsi la bisectriz del ngulo BADinterfectaalamediatrizde BC enF, detal modoquela medidadel ABF=90 yse cumple, ademsque, u 7 AB yu 8 AD Rpta.:14) Un cono circular recto es dividido endos partes por mediodeun plano que es paralelo a la base. Si las reas del conoque resulta de la divisin del cono original (su rea) estnenlamismarelacin quelosnmeros2y5; hallar la relacin que existe entre las reas lateralesdel conoqueresultade la divisin y el tronco de cono que se determina de esta.Rpta.:15) En la presente figura:PQRSTWQR QTestn en relacin de 3 a 1 yPS STson proporcionales a 2 y 1; respectivamente; si el rea de la regin WQR es igual a 5u2 Cul ser el rea de la regin triangular PWS?Rpta.:16) Si el cubo tiene 12cmde arista, hallar el radio de la esfera que esta inscrita en el tetraedro K LMN. R: Radio de la esferaKENDCBL1 2MRpta.:17) Si un tetraedro regular UNCH posee un volumen de Vm3, calcular el volumen de la pirmide cuyovrticeesUylosvrtices delasbasessonpuntosmedios de las aristas CN ;NH; UCyUHrespectivamente.Rpta.:Geometra 82COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao18) Un prisma recto JUV MAD se determina de modo tal que en la aristaVDsetomaun punto o de modo tal que el segmentoODes de doble longitud con respecto al segmentoOV . Hallar la relacin en la cual se encuentran los volmenes del prisma antes mencionadodel tetraedro O DPQ si las prolongaciones de los segmentosOJ y UO intersectan al plano de la base MAD en P y Q, respectivamente.Rpta.:19)Si las aristas AP ; AN ; AMde un tetraedroregular AMNPestn determinados de forma tal que los puntosWCDseubicanal centro, en orden, de las aristas mencionadas en ese orden. Calcular la razn que se establece entre el rea de la superficie triangular WCD y la superficie del trapecio PDCN.a) 1/2 b) 1/4c) 4/7 d) 1/3e) 2/520)Se describe una circunferencia tomandoparaelloslaalturadeun triangulo equiltero cuya medida lateral es de 4h. hallar la medida del rea de la regin comn que encierran ambas figuras geomtricas.a) ) 3 3 2 (2b2+ b)) 3 ( b2 c) ) 3 (2b2+ d)) 3 3 ( b2 +e)) 3 3 2 ( b2 21) En la figura:BDCNMAABCD es un cuadrado de lado L, si AyCsoncentrosdelosarco BDy BD; hallar el rea de la regin no sombreada.a) 4 ) 7 4 ( a2b) 8 ) 7 8 ( a2c) 2 ) 14 2 ( a2d) 4 ) 21 4 ( a2e) 3 ) 14 3 ( a222)Del grafico: ABCDy ADEFson respectivamente que pertenecen a planos perpendiculares: si u 6 AB ; u 10 AF y u 12 AD . Hallar la distancia del punto medio Mde CF a AD.Geometra 83COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer AoBACDEMFa)u 29 b) 4c)26 d) 7e)3423)Si A1 y A2 son rectas alabeadas y CD eslamismadistanciaque hay entre ellos, luego se cumple:DCA 1A 2a) 1A CD b) 2A CD c) CD ; A1 y A2 so coplanares (respectivamente)d) 2 1A CD y A CD e) Ninguna alternativa es correcta24)Los puntos P; Q ; R pertenecen al plano L. hallar la medida del ngulo que forman los segmentos ST y PR; si 8 PR , 6 WQ ; 5 ST ; SW PS yTR QT .PQSTWRa) 37 b) 45c) 53 d) 75e) 9025) Unapirmideescortadapor un plano paralelo a la base, de maneraqueel reaqueresulta tieneunreaigual alos3/7del rea de la base. Hallar la relacin que existe entre los volmenes de dichos slidos.a)21 ) 49 3 (b)21 3 49 ) 21 3 ( c)21 7 49 ) 21 3 ( d)21 ) 71 8 (e) N.A.26) Hallar el rea de un crculo inscrito enuntrapeciorectngulocuyas base miden 2u y 3u.a) 2u ) 25 36 ( b) 2u ) 36 25 ( c) 2u ) 9 16 ( d) 2u ) 25 9 ( Geometra 84COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Aoe) 2u ) 25 18 ( 27) En la siguiente figura:CDEABFGBC // EF ;13ECAE ; 32EDBE . Si el readela regin triangular EFG es 5 metros, hallar el rea de la regin triangular AEG.a) 10m2b) 15c) 20 d) 25e) 3028)En un triangulo escaleno y acutngulo ABC se traza la altura MN, de modo que P es el punto medio deAC ; si O; G; K son el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de dicho triangulo, respectivamente. Hallar la razn quesedaentelasreasdelas regiones triangulares OMG y NPK.a) 5/4 b) 6/5c) 4/3 d) 7/5e) 3/229) Un triangulo rectngulo esta determinadodemodotal quelas longitudesdesuscatetoshande sumar 7u (la hipotenusa mide 5u). hallar el rea de la regin de dicho triangulo.a) 10u2b) 9c) 8 d) 6e) 530)En un triedro O MNP; la medida del ngulo MON = 90; la medida del ngulo NOP = 60. Si en la arista OPse ubica un punto k de modo talque se trazan las perpendicularesKQ y KPa las aristasOMyON, respectivamente. Si3 OK; calcular PQ.a)3 2 b)3d) 2 2d) 3e)5Geometra 85COLEGIO PRE UNIVERSITARIORobert LetourneauPrimer Ao31)Hallar AW si el rea del cuadradosombreado es de8u2y AR2 + SW2 = 20PAR SWa)8 5 + b)8 6 +c)8 7 + d)8 8 +e)8 9 +32) En todo tetraedro, los puntos medios de las aristas viene a ser losvrticesdeunoctaedrocuyo volumen es de dicho tetraedro.a) Un tercio b) Un octavoc) Un medio d) Dos terciose) Un cuarto33)Una esfera esta circunscrita en un cubo. Si la arista de dicho cubo es 2a; hallar el rea de la esfera.a) 4 a2b) 6 a2c) 8 a2d) 10 a2e) 12 a2Geometra 86