1.4 Programacion Lineal Ejemp 1

8/11/2019 1.4 Programacion Lineal Ejemp 1

1/10

ITsUED Investigacin de Operaciones I

Material de Estudio Tema 1.4 Ing. Jos Luis Ochoa de la Rosa1

Programacin Lineal (un ejemplo)

Ejemplo 1: GIapetto Woodcarving (juguetes de madera Giapetto)

Giapetto woodcarving, manufactura dos tipos de juguetes de Madera,

soldados y trenes. Un soldado se vende en 27 dlares y requiere 10 dlares de

materia prima. Cada soldado que se fabrica incrementa la mano de obra variable y

los costos globales de Giapetto en 14 dlares. Un tren se vende en 21 dlares y

utiliza 9 dlares de su valor en materia prima. Todos los trenes fabricados aumentan

la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 10 dlares.

La fabricacin de soldados y trenes de madera requieren dos tipos de mano

de obra especializada: carpintera y acabados. Un soldado necesita dos horas de

trabajo de acabado y una hora de carpintera. Un tren requiere una hora de acabado

y una hora de carpintera .Todas las semanas, Giapetto consigue todo el material

necesario, pero solo 100 horas de trabajo de acabado y de 80 de carpintera. La

demanda de trenes es ilimitada, pero se venden cuando mucho 40 soldados por

semana. Giapetto desea maximizar las utilidades semanales (ingresos costos).

Disee un modelo matemtico para la situacin de Giapetto que se use para

maximizar las utilizadas semanales de la empresa

Solucin:

Variables de decisin. Se empieza por definir las variables de decisin

pertinentes .En cualquier modelo de programacin lineal, las variables de decisin

deben describir por completo las decisiones que se tienen que tomar (en este caso

Giapetto) .Evidentemente, Giapetto, debe decidir cuntos soldados y trenes se deben

fabricar cada semana. Sin olvidar lo anterior, se define.

X = cantidad de soldados fabricados cada semana

X = cantidad de trenes fabricados cada semana
http://www.its.mx/http://www.its.mx/


2/10



Funcin Objet ivo En cualquier programa de programacin lineal, el que

toma las decisiones desea maximizar (por lo regular los ingresos o las utilidades) o

reducir al mnimo (casi siempre los costos) algunas funciones de las variables de

decisin. La funcin que se desea maximizar o minimizar es el nombre de funcin

objetivo. En lo que se refiere al problema de Giapetto, se observa que los costos fijos

(como la renta o los seguros) no dependen de los valores X y X. Por consiguiente

Giapetto se puede concentrar en maximizar (los ingresos semanales) (costos de

compra de materia prima)(otros costos variables).

Los ingresos y los costos por semana de Giapetto se pueden expresar en

trminos de las variables de decisin X y X. Sera una tontera que Giapettofabricara ms soldados de los que pueden venderse, as que se supone que todos lo

juguetes producidos se vendern. Entonces

Ingresos por semana = ingresos por semana proporcionados por los soldados

+ ingresos por semana proporcionados por los trenes

= dlares soldados + dlares trenes

soldado semana tren semana

= 27 X + 21 X

Asimismo

costos de la materia prima a la semana = 10 X + 9X

otros costos variables a la semana = 14X + 10X

Entonces, Giapetto quiere maximizar

( 27X + 21X)( 10X+9X)( 14X+10X) = 3X + 2X

Otra manera de ver que Giapetto quiere maximizar 3X + 2X es observar que

ingresos semanales = contribucin semanal a la utilidad por parte de los soldados

- costos fijos semanales

+ contribucin semanal a la utilidad por parte de los trenes


3/10



contribucin a las utilidades soldados

= ________________________ ________

soldado semana

+ Contribucin de utilidades tren

tren semana

Tambin

Contribucin a las utilidades

_______________________ = 2710 -14 = 3

soldado

contribucin a las utilidades

________________________ = 219 10 = 2

tren

Entonces al igual que antes se obtiene

ingresos semanales - costos no fijos semanales = 3X + 2x

Por consiguiente el objetivo Giapetto es escoger X y X para maxizar 3x +

2X . Se utiliza la variable Z para denotar el valor de la funcin objetivo de cualquier

PL (programacin Lineal). La funcin objetivo de Giapetto es

Maximizar Z = 3X + 2X

(De aqu en adelante se abrevia maximizar como max y minimizar como

min). El coeficiente de una variable en la funcin objetivo se denomina coeficiente

de la variable de la funcin objetivo. Por ejemplo el coeficiente de la funcin

objetivo para X es 3, y el coeficiente para X es 2. En este ejemplo (y en muchos

otros problemas) el coeficiente de la funcin objetivo para cada variable es

simplemente la contribucin de la variable a la utilidad de la compaa.


4/10



Restr iccin A medida que X y X se incrementan, la funcin objetivo de

Gaipetto se hace mas grande. Esto quiere decir que si Giapetto fuera libre para

escoger cualquier valor para X y X la compaa podra tener utilidades

arbitrariamente grandes al escoger X y X muy grandes. Desafortunamente, los

valores de X y X estan controlados por las siguientes restricciones (con frecuencia

llamadas limitaciones)

Restriccin 1: Se pueden usar cada semana no ms de 100 horas de tiempo de

acabado

Restriccin 2: Cada semana se pueden usar no ms de 80 horas de tiempo de

carpintera

Restriccion3: Debido a la demanda limitada, cuando mucho se deben producir cadasemana 40 soldados.

Se supone que la cantidad de materia prima en existencia es ilimitada, as que no

hay restriccin alguna relacionada con esto.

El siguiente paso en el planteamiento de un modelo matemtico para el

problema de Giapettoes expresar las restricciones 1 a 3 en trminos de las variables

de decisin X y X.

Para expresar la restriccin 1 de acuerdo con X y X obsrvese que

Total de horas de acabado = horas de acabado soldados fabricados

semana soldado semana

+ horas de acabado trenes fabricados

tren semana

= 2(X) + 1(X) = 2X+ X

Entonces la restriccin 1 se expresa como

2X + X 100

Observese que las unidades de todos los trminos en (2) son horas de acabado

por semana. Para que una restriccin sea razonable, todos los trminos de la

restriccin deben tener las mismas unidades. De lo contrario, uno esta sumando

peras con manzanas, por lo que la restriccin no tendra significado alguno.


5/10



Para expresar la restriccin 2 en trminos de X y X ntese que

horas carpintera = horas carpintera trenes

semana soldado semana

+ horas carpintera trenes fabricados

tren semana

= 1( X) + 1(X) = X + X

Entonces la restriccin 2 se escribe como

X + X 80

Obsrvese una vez ms que las unidades de todos los trminos en (3) son

las mismas (en este caso, horas de carpintera a la semana).

Por ltimo el hecho de que cuando mucho se venden a la semana 40 soldados, seexpresa limitando la produccin semanal de soldados a mximo 40 de ellos. As se

tiene la siguiente restriccin.

X 40

Por consiguiente, las ecuaciones (2) a (4) expresan las restricciones 1 a 3

en trminos de las variables; se designa con el nombre de restricciones para el

problema de programacin lineal de Giapetto. Los coeficientes de las variables de

decisin en las restricciones se conocen con el nombre de coeficientes

tecnolgicos. La razn del nombre es que los coeficientes tecnolgicos reflejan a

menudo las tecnologas utilizadas para producir distintos productos. Por ejemplo, el

coeficiente tecnolgico de X en (3) es 1, lo cual indica que un soldado requiere una

hora de carpintera.

El nmero en el segundo miembro de cada restriccin se denomina

segundo miembro de la restriccin (smr), con frecuencia el smr representa la

cantidad de un recurso que est disponible.


6/10



Restricciones de signo se tiene que dar respuesta a las preguntas

siguientes para cada variable de decisin, con el fin de complementar la formulacin

de un problema de programacin lineal: la variable de decisin puede asumir solo

valores no negativos, o bien la variable de decisin pude asumir valores tanto

positivos como negativos?

Si una variable de decisin X solo puede asumir valores no negativos,

entonces se aade la restriccin del signo X 0. Si una variable X puede asumir

tanto valores positivos como negativos (o cero), entonces se dice que X no tiene

restricciones de signo se abrevia como (nrs). Por lo que se refiere al problema de

Giapetto es evidente que X 0 y X 0. Pero algunas variables podran ser nrs enotros problemas. Por ejemplo si X presenta un saldo en efectivo de la empresa,

entonces X podra ser considerado como negativo si la empresa debe ms dinero

del que tiene a la mano. En este caso sera conveniente clasificar X como nrs.

Si se combinan las restricciones de signo X 0 y X 0 con la funcin objetivo (1) y

las restricciones (2) a (4) se obtiene el modelo de optimizacin siguiente:

max Z = 3X + 2X (Funcin objetivo) (1)

sujeto a:

2X + X 100 (Restriccin de acabado) (2)

X + X 80 (Restriccin de carpintera) (3)

X 40 (Restriccin por la demanda de soldados) (4)

X 0 (Restriccin de signo) (5)


Como determinar la solucin factible

Ahora se ilustra cmo resolver en forma grafica PL (programacin lineal) de

dos variables mediante la resolucin del problema de Giapetto. Para empezar se

determina en forma grafica la regin factible para el problema de Giapetto. Esta el

conjunto de todos los puntos (X , X) que satisfacen


7/10



2X + X 100 (Limitaciones) (2)

X + X 80 (3)

X 40 (4)


X 0 (6)

Para que un punto (X,X) este en la regin factible (X,X) debe satisfacer

todaslas desigualdades (2) a (6). Obsrvese que los nicos puntos que cumplen (5)

y (6) quedan en el primer cuadrante del plano X - X . Lo anterior se indica en la

figura 2 mediante las flechas que sealan a la derecha del eje X y hacia arriba deleje X.

Por lo tanto, cualquier punto que este fuera del primer cuadrante no puede

estar en la regin factible. Esto significa que la regin factible es el conjunto de

puntos que se encuentra en el primer cuadrante y que cumplen con (2) a (4).

El mtodo para combinar el conjunto de puntos que satisface una

desigualdad lineal tambin identificara los que cumplen con (2) a (4). En la figura 2

se observa que todos los puntos que se encuentran debajo de la recta AB o sobre

ella (AB es la recta 2X +X = 100) Todos los puntos que se encuentran debajo de la

recta CD o sobre ella (CD es la recta X + X = 80) cumplen con la desigualdad (3).

Por ltimo todos los puntos que se encuentran a la izquierda de la recta EF o sobre

ella (EF es la recta X = 40), cumplen con (4) .El lado de una recta que satisface una

desigualdad se indica por la direccin de las flechas en la figura 2.

En la figura 2 se observa que el conjunto de puntos del primer cuadrante

que cumple con (2),(3) y (4) est limitado por el polgono de cinco lados DGFEH.

Cualquier punto en este polgono o en su interior est en la regin factible. Cualquier

otro punto no satisface ni una de las desigualdades (2) a (6). Por ejemplo el punto


8/10



(40,30) queda fuera de DGFEH porque est arriba del segmento AB. Por lo tanto

(40,30) es no factible por qu no satisface (2).

Un modo fcil de encontrar la regin factible es determinar el conjunto de

puntos no factibles. Ntese que todos los puntos por arriba de la recta AB de la figura

2 son no factibles por que incumplen con (2). De manera similar, todos los puntos por

arriba de CD son no factible por qu no satisfacen (3). As mismo todos los puntos a

la derecha de la vertical EF son no factibles por qu no se ajustan a (4). Despus de

que todos estos puntos son eliminados, solo quedan los de la regin factible

(DGFEH).

X

B

100

(2)

D

80

60G

(4)

40

(40,30)

Z= 100

20 (3)

F

Z = 60

z=180

E A

H 10 20 40 50 60

Fig 2 Solucion garfica del problema de Giapetto.


9/10



Como determinar la solucin optima.

Tras haber identificado la regin factible para el problema de Giapetto se busca

la solucin optima, la cual es el punto de la regin factible con el valor ms grande de

Z = 3X + 2X.

Para encontrar la solucin ptima es necesario graficar una recta en la cual

todos los puntos tengan el mismo valor Z. En un problema de maximizacin esta

recta recibe el nombre de recta de isoutilidad (en un problema de minimizacin,

recta de isocostos). Para trazar la recta de isoutilidad se escoge un punto en la

regin factible y se calcula su valor de Z. sea el punto (20,0). Para (20,0), Z= 3(20) +2(0) = 60. Por consiguiente (20,0) queda en la recta de isoutilidad Z = 3X + 2X = 60.

Si se vuelve a escribir 3X + 2X = 60 como X = 30 - // X, entonces la recta de

isoutilidad 3X + 2X = 60 tiene una pendiente - /.

Puesto que todas la rectas de isoutilidad son de la forma 3X + 2X =

constante, todas las rectas de isoutilidad tienen la misma pendiente. Esto significa

que una vez que se trazo una recta de isoutilidad , es posible encontrar todas las

rectas de isoutilidad , desplazndose e forma paralela a la recta de isoutilidad que ya

se grafico.

Ya queda claro cmo encontrar la solucin optima para un PL de dos variables.

Despus de trazar una sola recta de isoutilidad , es posible generar otras rectas de

isoutilidad desplazndose en forma paralela a la recta ya graficada en una direccin

en que se incremente Z (en el caso de un problema de maximizacin). Despus de

un punto, las rectas de isoutilidad ya no interseca la regin factible. La ltima recta de

isoutilidad que corta (toca) la regin factible, define el valor de Z ms grande de

cualquier punto en la regin factible, e indica la solucin optima para la PL. En este

problema la funcin objetivo Z = 3 X + 2X aumenta al desplazarse en una direccin

para la cual tanto X como X se incrementan.


10/10



Por lo tanto usted puede construir otras rectas de isoutilidad mientras se

desplaza en forma paralela de 3X + 2X = 60 en una direccin hacia el noreste

( hacia arriba y hacia la derecha).

En la figura 2 se puede observar que la recta de isoutilidad que pasa por el

punto G es ltima recta que interseca la regin factible. Por consiguiente G es el

punto con el valor Z ms grande en la regin factible y por lo tanto la solucin optima

de Giapetto. Obsrvese que el punto G es donde se cortan las rectas 2X + X = 100

y X + X = 80. Al resolver estas ecuaciones en forma simultnea, se obtiene que (X

= 20, X = 60) sea la solucin ptima para el problema de Giapetto. El valor optimo

de Z se encuentra al sustituir estos valores de X y X en la funcin objetivo.Entonces, el valor ptimo de Z es

Z = 3(20) + 2(60) = 180.

1.4 Programacion Lineal Ejemp 1

Documents

Transcript of 1.4 Programacion Lineal Ejemp 1