Leyes de la Dinmica y aplicacionesUnidad 14

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Contenidos (1).1.-Cantidad de movimiento.2.-Primera ley de Newton (ley de la inercia).3.-Segunda ley de la Dinmica.4.-Impulso mecnico.5.-Conservacin de la cantidad de movimiento6.-Tercera ley de la Dinmica (accin y reaccin).7.-Sistemas de referencia:7.1.Inerciales.7.2.No inerciales (slo introduccin y algn ejemplo sencillo).

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Contenidos (2).

8.- La fuerza de rozamiento.9.-Estudio de algunas situaciones dinmicas:9.1.Dinmica de cuerpos aislados. Planos inclinados.9.2.Dinmica de cuerpos enlazados. Clculo de la aceleracin y de la tensin.9.3. Dinmica del movimiento circular uniforme.

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Cantidad de movimiento (p)Es el producto de la masa de una partcula por su velocidad. p = m vEs un vector que tiene la misma direccin y sentido que v y es por tanto tambin tangente a la trayectoria.Como: v = vx i + vy j + vz k p = m v = m(vx i + vy j + vz k) = m vx i + m vy j + m vz k p = px i + py j + pz k

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Principio de inercia (primera ley de Newton)Se basa en las apreciaciones de Galileo.Si no acta ninguna fuerza (o la suma vectorial de las fuerzas que actan es nula) los cuerpos permanecen con velocidad (v) contante.Es decir, sigue en reposo si inicialmente estaba en reposo, o sigue con MRU si inicialmente llevaba una determinada v.

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Segunda ley de NewtonLa fuerza resultante aplicada a un objeto es igual a la variacin de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo, o lo que es lo mismo, al producto de la masa por la aceleracin. d p d (m v) d v F = = = m = m a d t d t d tya que la masa, al ser constante, sale fuera de la derivada.En general, suele existir ms de una fuerza por lo que se usa: F = m a

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Deduccin del principio de inerciaEn realidad el primer principio, se deduce fcilmente a partir del anterior: F = m a.Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es nula ( F = 0) a = 0 v = constante.Tambin puede deducirse:Si F = 0 dp = 0 p = constante v = constante.

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Ejemplo: Un coche de 900 kg de masa parte del reposo y consigue una velocidad de 72 km/h en 6 s. Calcula la fuerza que aplica el motor, supuesta constante.p = m v2 m v1 = m (v2 v1) == 900 kg 20 m/s i 0 i = 18000 i kg m/s p 18000 i kg m/s F = = = 3000 i N t6 sSe pueden sustituir diferenciales por incrementos, pues aunque as obtendra Fuerza media, sta coincidira con F al considerarla constante.

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Impulso mecnico (I).En el caso de que la fuerza que acta sobre un cuerpo sea constante, se llama impulso al producto de dicha fuerza por el tiempo que est actuando. I = F t = p = m v2 m v1 = m v

El impulso mecnico aplicado a un objeto es igual a la variacin en la cantidad de movimiento de ste.

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Ejemplo: Un tenista recibe una pelota de 55 g de masa con una velocidad de 72 km/h; y la devuelve en sentido contrario con una velocidad de 36 km/h. Calcula el impulso que recibe la pelota y la fuerza media que aplica el tenista, si el contacto de la pelota con la raqueta dura una centsima de segundo.I = F t = p = m v2 m v1 = = 0,055 kg (10 m/s) i 0,055 kg 20 m/s i = I = 1,65 i kg m/s I 1,65 i kg m/s F = = = 165 i N t0,01 sLgicamente, tanto la componente del impulso como la de la fuerza tienen signo negativo pues tienen sentido contrario al inicial de la pelota.

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Teorema de conservacin de la cantidad de movimiento.De la propia definicin de fuerza: dp F = dtse deduce que si F = 0, ( o F, resultante de todas aplicadas sobre una partcula, es 0, entonces p debe ser constante.Lo que significa que deben ser constantes cada una de sus componentes cartesianas: px, py y pz, y por tanto tambin las de la velocidad MRU

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Principio de accin y reaccin (tercera ley de Newton)Si tenemos un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan entre s, pero aislados de toda fuerza exterior, la cantidad de movimiento total de dicho sistema permanecer constante. ptotal = p1 + p2 = 0Si dividimos ambos miembros por t ptotall p1 p2 F = = + = 0 F1 = F2 t t t Es decir, la fuerza que ejercida sobre 1(debido a la interaccin de 2) es igual que la ejercida sobre 2 (producida por 1).

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Principio de accin y reaccin (tercera ley de Newton) (cont).Al actuar las dos fuerzas sobre cuerpos distintos ejercer, en general efectos tambin distintos (aceleraciones distintas).Por ejemplo, la fuerza con la que nos atrae la Tierra (Peso) tiene el mismo mdulo y sentido contrario que la Fuerza con nosotros atraemos a la Tierra.Es evidente, en este caso que mientras la Tierra ejerce sobre nosotros un efecto apreciable (aceleracin de la gravedad), el efecto de 60 o 70 kp que ejercemos sobre la Tierra es absolutamente despreciable.

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Ejemplo: Un libro est apoyado en la superficie horizon-tal de una mesa y se tira de l horizontalmente con una cuerda ligera. Identifica las fuerzas que actan sobre el libro y sus correspondientes pares accin-reaccin.Hay tantas fuerzas como parejas de cuerpos interaccionan. Con el libro interaccionan: la Tierra, la cuerda y la mesa.La Tierra acta sobre el libro (peso) y el libro atrae a la Tierra (despreciable para la Tierra).La cuerda aplica al libro la Tensin y el libro acta sobre la cuerda con una fuerza igual pero de sentido contrario.El libro empuja a la mesa con una fuerza igual a su peso. La reaccin de la mesa es la fuerza normal.Igualmente, la mesa se opone al deslizamiento del libro con una fuerza de rozamiento y el libro acta sobre la mesa con una fuerza igual pero de sentido contrario.

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Conservacin de la cantidad de movimiento en dos cuerpos.Ya hemos visto que si F= 0, p debe ser constante.En el caso de que la interaccin sea un choque: pantes = pdespus m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2En el choque elstico v1 y v2 (velocidad con que salen rebotados los objetos) son distintos.En el choque inelstico v1 = v2. (los dos objetos salen juntos incrustado el uno en el otro)

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Ejemplo: Una canica de 8 g lleva una velocidad constante de 4 m/s, y golpea una bola de madera de 200 g que est en reposo. Si como resultado del choque la canica sale rebotada con una velocidad de 2 m/s, calcula la velocidad con que comienza a moverse la otra bola.m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v28 g 4 m/s i + 200 g 0 i = 8 g (2 m/s) i + 200 g v2Despejando v2 obtenemos: 32 gm/s i + 16 gm/s i v2 = = 0,24 i m/s 200 g

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Ejercicio: Una bola de billar choca a una velocidad de4 m/s con otra bola igual que est parada. Despus del choque, la primera bola se mueve en una direccin que forma 30 con la inicial, y la segunda con 60 con la direccin inicial de la primera. Calcula el mdulo de la velocidad final de cada bola. (Sol: 2 m/s y 3,46 m/s) m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2Descomponiendo la ecuacin vectorial en dos escalares:x)m (4 + 0) m/s = m [v1 cos 30 + v2 cos (-60)] y)m (0 + 0) m/s = m [v1 sen 30 + v2 sen (-60)] 4 m/s = 0,866 v1 + 0,5 v20 m/s = 0,5 v1 0,866 v2 Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas obtenemos:v1 = 1,732 m/s ; v2 = 2 m/s

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Sistemas de referenciaInerciales: El origen (observador) est en reposo o MRU.Son aplicables las leyes de Newton.Las aceleraciones son producidas por fuerzas debidas a la interaccin entre cuerpos (contacto o a distancia).No inerciales: El origen (observador) lleva una determinada aceleracin.No son aplicables las leyes de Newton.

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Sistemas no inercialesNo son aplicables las leyes de Newton.Se introducen las llamadas fuerzas de inercia Finercia (virtuales) que no son el resultado de la interaccin entre cuerpos sino un artificio matemtico para poder aplicar las leyes de Newton. (Fi = m a )Cuando el sistema se encuentra en equilibrio se cumple el principio de DAlembert: Freales + Finercia = 0

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Viaje en autobsAl arrancar con aceleracin a, la persona se siente impulsada hacia atrs:Sist. Inercial: (fuera del autobs)No existe fuerza y por tanto tampoco a (nadie le empuja, permanece quieto por inercia).Sist. No inercial: (dentro del autobs) Como experimenta el viajero una aceleracin a (hacia atrs) deber existir una fuerza Fi = m a

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Dentro de un ascensorSea un cuerpo de masa m suspendido del techo por una bscula. Al subir el ascensor con aceleracin a, el objeto marca en la bscula una fuerza superior a su peso:Sist. Inercial: (fuera del ascensor)No existe equilibrio puesto que el objeto acelera con a luego T + P = m a (T m g = m a) T = m (g + a) (T es la fuerza que marca la bscula)Sist. No inercial: (dentro del ascensor)Hay equilibrio. Se aplica el principio de DAlembert: F = 0; T + P + Fi = 0 (T m g m a = 0) T = m (g + a)

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Al tomar una curvaSea una pelota de masa m que viaja sobre una plataforma mvil con velocidad lineal constante. Al tomar la curva la plataforma se produce sobre sta una aceleracin normal an, mientras que sobre la pelota ho existe aceleracin. Sist. Inercial: (fuera de la plataforma)La pelota sigue recta con v constante y se sale de la plataforma que gira.Sist. No inercial: (dentro de la plataforma)La pelota sale lanzada hacia el exterior una aceleracin igual cuyo mdulo vale v2/R. Ello implica la existencia de una fuerza (virtual) hacia el exterior que se conoce como fuerza centrfuga.

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Fuerza de rozamiento (Fr)Es la fuerza que aparece en a superficie de contacto de los cuerpos, oponindose siempre al movimiento de stos. Depende de:Los tipos de superficie en contacto.La fuerza normal N de reaccin de la superficie sobre el objeto (normalmente igual en mdulo a PN excepto que se aplique una fuerza no horizontal sobre el mismo).No depende de:La superficie (cantidad).

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Tipos de fuerza de rozamientoEsttico: Es igual a la fuerza necesaria para iniciar un movimiento (de sentido contrario).Cuando un cuerpo est en reposo y se ejerce una fuerza lateral, ste no empieza a moverse hasta que la fuerza no sobrepasa un determinado valor (Fre).La fuerza de rozamiento se opone y anula a la fuerza lateral mientras el cuerpo est en reposo.Cintico o dinmico: Es la fuerza que se opone a un cuerpo en movimiento (Frc).Es algo menor que Fre (en el mismo caso).

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Clculo de FrFre(mxima) = e N Frc = c N

En donde e y c son los coeficientes de rozamiento esttico y dinmico respectivamente, que dependen ambos de la naturaleza de las superficies en contacto y N es la normal (perpendicular a).La normal N es la fuerza de reaccin de la superficie de deslizamiento sobre el objeto debido a la PN y al resto de componentes perpendiculares al movimiento.

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Manera prctica de obtencin de Fre y Frc.Se pone el objeto sobre la superficie y se va inclinando sta hasta que empiece a moverse el objeto.En ese instante: PT = FreAl no haber fuerzas exteriores: N = PNmgsen = re mg cos sen re = = tg cos Una vez iniciado el movimiento puede bajarse el ngulo hasta .Anlogamente,

Fr

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Dinmica de cuerpos aislados.Se basa en la segunda ley de Newton: F = m aHay que determinar todas las fuerzas que acta sobre el cuerpo y sumarlas vectorialmente.Si hay fuerzas oblicuas al movimiento suelen descomponerse stas en paralelas y perpendiculares al mismo.Esttica: Estudia los cuerpos en equilibrioSe cumple que: a = 0 F = 0

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Movimiento sobre plano horizontal.Si arrastramos un objeto tirando con una fuerza F de una cuerda que forma un ngulo con la horizontal.Dibujamos todas las fuerzas que actan.Descomponemos la fuerza F en Fx y Fy.Si existe rozamiento determinamos si Fx > Fre para comprobar si se mueve. Aplicamos : Fx = m a; Fy = 0

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Ejemplo: Calcular las fuerzas de rozamiento esttico y cintico al arrastrar una caja de 5 kg con una fuerza de 20 N aplicada a una cuerda que forma un ngulo con el suelo de 30, sabiendo que e = 0,15 y c = 0,12. Se mover la caja?F = 20 N se descompone en:Fx = 20N cos 30 = 17,3 N; Fy = 20N sen 30 = 10,0 NN = P Fy = 5 kg 9,8 m/s2 10 N = 39 NFre= e N = 0,15 39 N = 5,85 N Frc = c N= 0,12 39 N = 4,68 N S se mover hacia la derecha, pues Fx > Fre

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Ejemplo: Calcular la aceleracin de la caja del ejemplo anterior:m = 5 kg F = 20 N, = 30,d = 0,12.Calculamos todas las componentes de las fuerzas existentes:Fx = 20N cos 30 = 17,3 N; Fy = 20N sen 30 = 10,0 N Fy = 0 N = P Fy = 5 kg 9,8 m/s2 10 N = 39 NFrd = d N = 0,12 39 N = 4,68 N Una vez que sabemos que Fx> Fre, aplicamos: Fx = m a; 17,3 N 4,68 N = 5 kg a17,3 N 4,68 N a = = 2,528 m s2. 5 kg

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Planos inclinados.Puede descender sin necesidad de empujarlo si PT > Fre. Si arrastramos o empujamos con una fuerza F haca abajo, descender si F + PT > Fre. Si arrastramos o empujamos con una fuerza F haca arriba:Ascender si: F > Fre + PT No se mover si: PT Fre F Fre + PT Descender si F < PT Fre Recordad que Fr tiene siempre sentido contrario al posible movimiento.

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Ejemplo: Se mover un bal de 100 Kg situado en una superficie inclinada 15 con la horizontal, sabiendo que e y d valen 0,30 y 0,28 respectivamente.PT = P sen = 980 N sen 15 = 253,6 N PN = P cos = 980 N cos 15 = 946,6 NAl no existir otras fuerzas oblicuas: N = PN (sentido contrario)Fre= e N = 0,30 946,6 N = 284 N Como PT < Fre el bal no se mover.No se mueve hacia arriba porque Fre no toma su valor mximo

Fr

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Ejemplo: Qu fuerzas habr que realizar a) hacia abajo, b) hacia arriba, para que el bal comience a moverse? c) Con qu aceleracin se mover si se empuja hacia abajo con una fuerza de 100 N. Datos: m = 100 kg, = 15, e = 0,30 y d = 0,28PT = 253,6 N ; PN = N = 946,6 N; Fre= 284 N

a) Fmnima (abajo) > 284 N 253,6 N = 30,4 Nb) Fmnima (arriba) > 284 N + 253,6 N = 537,6 N

c) Frd = d N = 0,28 946,6 N = 265,0 N F = 100 N + 253,6 N 265,0 N = 88,6 N = 100 kg aa = 0,886 m s2

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Dinmica de cuerpos enlazados. Clculo de aceleracin y tensin.La accin que ejerce un cuerpo sobre otro se traduce en la tensin de la cuerda que los enlaza, que es lgicamente igual y de sentido contrario a la reaccin del segundo sobre el primero.Se aplica la 2 ley de Newton a cada cuerpo por separado, obtenindose una ecuacin para cada uno con igual a.

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Dinmica de cuerpos enlazados. Clculo de aceleracin y tensin.Tenemos en cuenta nicamente las fuerzas que tienen la direccin del movimiento, pues las perpendiculares se anulan (P1 = N).Utilizaremos componentes escalares con los que se consideran positivas las fuerzas a favor y negativas las que van en contra.Al sumar las ecuaciones miembro a miembro deben desaparecer las tensiones.

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Ejemplo: Cul ser la aceleracin del sistema y la tensin de la cuerda suponiendo que hay movimiento y que m1 = 5 kg y m2 = 2 kg y d vale 0,08?Cuerpo 1: T Frd = m1 a T d m1 g = m1 a Cuerpo 2: P2 T = m2 a m2 g T = m2 a 2 kg 9,8 m/s2 0,08 5 kg 9,8 m/s2 = (5 kg + 2 kg) a2 kg 9,8 m/s2 0,08 5 kg 9,8 m/s2 a = = 2,24 m/s2 5 kg + 2 kgT = 5 kg 2,24 m/s2 + 0,08 5 kg 9,8 m/s2 = 15,12 N

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Ejercicio: Se mover el sistema de la figura y en caso de que lo haga hacia qu lado?Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ; e = 0,12; d = 0,10; = 30.Calculamos el valor numrico de todas las fuerzas implicadas:P1T = P1 sen 30 = 6 kg 9,8 m/s2 0,5 = 29,4 N P1N = P1 cos 30 = 6 kg 9,8 m/s2 0,866 = 50,9 NP2 = 2 kg 9,8 m/s2 = 19,6 NFre = e N = e PN = 0,12 50,9 N = 6,1 NComo P1T > P2 + Fre (29,4 N > 19,6 N + 6,1 N)Se mover hacia la izquierda.

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Ejercicio: Calcular la aceleracin del sistema y la tensin de la cuerda del ejemplo anterior.Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ; e = 0,12; d = 0,10; = 30.P1T = 29,4 N; P1N = 50,9 N; P2 = 19,6 NFrd = d N = d PN = 0,10 50,9 N = 5,1 N 1: P1T T Frd = m1 a 29,4 N T 5,1 N = 6 kg a 2: T P2 = m2 a T 19,6 N = 2 kg a 29,4 N 5,1 N 19,6 N = (6 kg + 2 kg) a29,4 N 5,1 N 19,6 N a = = 0,59 m/s2 6 kg + 2 kgT = 2 kg 0,59 m/s2 + 19,6 N = 20,8 N

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Dinmica del M.C.U. Se cumplen las siguientes condiciones:v = v = k at = 0an = an= v2 / R = v2 / R = cte donde an es un vector dirigido hacia el centro de la trayectoria.Aplicando la 2 ley de Newton deber haber una fuerza tambin dirigida hacia el centro cuyo Fn= man= m v2 / R que se conoce como fuerza centrpeta (FC).En caso de objetos que giran horizontalmente debido a una cuerda: FC = T .En caso de un coche que gira FC = Fr.

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Dinmica del M.C.U.

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Ejemplo: Una bola de 200 g, sujeta a una cuerda de 1,5 m se mueve a v cuyo mdulo constante es 6 m/s sobre una mesa sin rozamiento describiendo un crculo. Calcular la tensin de la cuerda. El peso de la bola P queda compensado por la reaccin del plano N, por lo que ambas fuerzas se anulanLa tensin T es la responsable del movimiento circular. Es por tanto la fuerza centrpeta. m v2 0,2 kg (6 m/s)2 T = = R 1,5 mT = 4,8 N

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Ejemplo: La misma bola de 200 g, sujeta a una cuerda de 1,5 m se hace girar en aire a velocidad constante describiendo un pndulo cnico. Si la cuerda forma un ngulo de 30 con la vertical. cul ser la velocidad de la bola?La tensin es ahora una fuerza oblicua que descomponemos en Tx que ser la fuerza centrpeta y Ty que neutralizar el peso de la bola: 0,2 kg v2 Tx = T sen 30 = 1,5 m sen 30 Ty = T cos 30 = 0,2 kg 9,8 m/s2 = 1,96 N Resolviendo el sistema obtenemos que: v = 2,06 m/s

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Movimiento de un cubo en vertical. T + P = m an Ecuaciones escalares: Arriba: T + m g = m an = m v2 / R Abajo: T m g = m an = m v2 / RSi v = cte, T tiene que ser mucho mayor abajo.La velocidad mnima para que el agua no caiga se obtendr cuando T (arriba) tome el mnimo valor posible, es decir 0. m g = m v2 / R v = g R

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Ejemplo: La misma bola gira ahora en un plano vertical. Sabiendo que vA = 10 m/s, vB = 8,4 m/s, vC = 6,4 m/s, calcular la tensin de la cuerda en cada punto y la aceleracin tangencial. a) m v2 TA m g = R 0,2 kg (10 m/s)2 TA = 1,96 N + = 15,3 N 1,5 mb) m v2 0,2 kg (8,4 m/s)2 TB = = = 9,4 N R 1,5 mc) m v2 0,2 kg (6,4 m/s)2 TC = m g = 1,96 N = 3,5 N R 1,5 mSlo existe at en B pues FT = P (m at = m g) at = g = 9,8 m/s2En a) y c) at es nula.

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Curvas sin peralte (con rozamiento)La fuerza de rozamiento hacia el interior de la curva es precisamente la fuerza centrpeta. v2 FR = e m g = m REliminando la masa podemos obtener el radio en funcin de la velocidad o viceversa:

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Ejemplo: Un coche de 1500 kg circula a 30 m/s por una carretera siendo 0,2 su coeficiente de rozamiento esttico entre las ruedas y el suelo. Calcula el radio mnimo de la curva sin peraltar. v2 (30 m/s)2 R = = = 459 m g (9,8 m/s2) 0,2

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Curvas peraltadas (sin rozamiento)Nx = N sen ; Ny = N cos m g Fy = 0 N cos m g = 0 N = cos La Nx es la responsable del giro: m g Nx = N sen = sen cos v2 Nx = m g tg = m R

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Ejemplo: Un coche de 1200 kg circula por una curva de 50 m de radio peraltada 30. Suponiendo que no exsta rozamiento cul ser la velocidad que deber llevar para no derrapar. Qu ocurrira si llevara una velocidad inferior?v = (R g tg ) = (50 m 9,8 ms2 tg 30)v = 16,8 m/sSi v fuese inferior ira cayendo hacia el interior del peralte al no existir rozamiento.

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Ejercicio: Por qu los astronautas situados en la Estacin Internacional Alfa a slo unos cientos de km de la superficie terrestre flotan en la nave?Su peso es algo menor que en la superficie de la Tierra, pero es bastante significativo.Debido a que el peso est dirigido hacia el centro de la Tierra, acta de fuerza centrpeta que lo mantiene en rbita (est continuamente cayendo).Si utilizramos un sistema de referencia no inercial (la nave), tendramos que acudir a una fuerza inercial (centrifuga) para explicar el aparente equilibrio.

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Ejercicio: Cual ser la altura de una rbita geoestacionaria? (los satlites permanecen siempre en la vertical de un punto de la Tierra) La velocidad angular del satlite es igual a la terrestre: 2 rad / 86164 s = 7,29 105 rad/s El peso del satlite es igual a la fuerza centrpeta: MT m G = m 2 (RT + h) (RT + h)2 MT N m2 5,981024 kg (RT + h)3 = G = 6,67 1011 2 kg2 (7,29 105 s1)2RT + h = 4,22 107 m h = 4,22 107 m 6,37 106 m = 3,58 107 m

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Ejercicio: Cuntas veces menos pesar un objeto situado en un satlite en rbita geoestacionaria en comparacin la superficie terrestre?El peso de un objeto en la superficie terrestre es: m 9,8 m/s2.El peso en la rbita geoestacionaria es: MT N m2 5,981024 kg m G = m 6,67 1011 (RT + h)2 kg2 (4,22 107 m)2= m 0.224 m/s2El cociente es: m 9,8 m/s2 = 43,8 veces menos m 0.224 m/s2