Leccin 8

Antonio Oliva FacerasFsica y Qumica1 de Bachillerato

Leccin 8. Dinmica

1.- Leyes de Newton para un punto materialDefinimos previamente:

Mecnica. Parte de la Fsica que estudia las fuerzas y sus movimientos asociados. Incluye a:

* Cinemtica. Estudia el movimiento, independiente de sus causas; MRU, MRUA, MCU, etc.

* Esttica. Estudia las condiciones de equilibrio, de fuerzas (

) y momentos (

).

* Dinmica. Estudio de fuerzas (y momentos) en relacin con los movimientos producidos.

* Punto material. Partcula ideal con masa pero sin dimensiones, por lo que no puede observarse en ella rotacin ni deformacin; s puede conocerse su posicin, velocidad, carga, etc.

* Sistema de referencia (S.R.). Sistema de coordenadas cartesianas al cual referimos la posicin de un punto material.

* Sistema de referencia inercial (S.R.I.). Se llama as al S.R. que est en reposo o se mueve con velocidad constante.

* Sistema de referencia no inercial (S.R.N.I). S.R. que se mueve con movimiento acelerado (con aceleracin constante o variable).

* Fuerza. Es una magnitud vectorial que puede producir dos tipos de efectos en los cuerpos:

i/ Una variacin en el estado de su movimiento (una aceleracin). ii/ Su deformacin.

Ambos efectos se emplean para medirlas. Se acepta que se ejercen por contacto, a distancia, por intermedio de un campo o por intercambio de partculas.

a/ Las leyes de Newton (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687) son unos principios que se aceptan sin demostracin. Al aplicarlos a un problema fsico y mediante razonamiento matemtico deductivo se obtienen unos resultados cuantitativos que, en todos los casos de la "vida ordinaria, coinciden con precisin extraordinaria con los hechos experimentales. Con ellos se disean puentes y aviones o se va a la Luna. Junto a los avances y generalizaciones posteriores (Euler, Laplace, Legendre) constituyen la Mecnica Clsica.

b/ Los Principia rompen con la concepcin del mundo de Aristteles, basada en una visin intuitiva y cualitativa de la naturaleza (la fsica del sentido comn que elaboramos en nuestra mente desde la infancia) y no en el mtodo cientfico, en el que es esencial la medida y la confirmacin experimental. Muchas afirmaciones aristotlicas carecen de validez experimental aunque son coherentes con la lgica de su sistema cosmolgico. Newton cambia la visin aristotlica (mundo cerrado, finito) a un universo abierto, sin lmites espacio-temporales.c/ Precursores:

i/ Galileo. Establece el mtodo experimental galileano en tres pasos. 1 La medida: Cree que el libro de la naturaleza est escrito en el lenguaje de las matemticas; pero, a diferencia de pitagricos y platnicos, es atomista y hace corresponder los nmeros con las medidas de los fenmenos (Todos los fenmenos son expresables en trminos matemticos porque las nicas propiedades de los tomos son las geomtrico-mecnicas). 2 Formulacin de una hiptesis matemtica, lo ms simple posible, de la que matemticamente deduce consecuencias. 3 Verificacin experimental (cimento). Si la naturaleza no la ofrece espontneamente, el cientfico interrogar a la naturaleza, proyectar modelos experimentales que proporcionen previsiones mensurables cuyos resultados expresen de manera explcita la verdad o no de la hiptesis.

Su mtodo no es un sistema de explicacin general de la naturaleza como el aristotlico.

Estudia el movimiento de los proyectiles, el pndulo, el termmetro, la cada libre (en la torre de Pisa), plano inclinado, telescopio (satlites de Jpiter, crteres lunares, fases de Venus, manchas solares), defiende el sistema heliocntrico. Con sus observaciones ataca sistemticamente el sistema de explicacin aristotlico.

* Principio de relatividad de Galileo. El resultado de cualquier experimento mecnico realizado en un laboratorio en reposo, es indistinguible del obtenido en un laboratorio que se mueve con velocidad constante respecto del primero. (Cada libre desde el mstil de un barco en movimiento). Se mueve la Tierra?* Ley del movimiento de los proyectiles. La velocidad de un proyectil puede descomponerse en suma de dos movimientos independientes entre s, con la regla del paralelogramo. (Tiro oblicuo).

* Principio de inercia. El estado natural de los cuerpos terrestres es el reposo o la

cte. (El descenso/ascenso de un cuerpo por un plano inclinado es un MRUA, con aceleracin +/. Si el plano es horizontal, la aceleracin no es ni + ni , es 0, y

= cte. Utiliza el plano inclinado para obtener aceleraciones ms pequeas que g (a = g sen (). Acepta la idea aristotlica de que los astros poseen MCU naturalmente, lo que est en contradiccin con su Principio de Inercia.

ii/ Descartes. Formula la geometra analtica (ejes coordenados cartesianos) y el Principio de Inercia, antes que Newton. Supone la existencia de un espacio y un tiempo absolutos. No acepta las fuerzas a distancia (ni siquiera las gravitatorias) ni la existencia del vaco (el espacio es una propiedad de los cuerpos; los tomos no existen). Los planetas se mueven en vrtices de ter en torno del vrtice del Sol. Define el impulso mecnico.d/ Consecuencias: El xito de los Principia fue tal que se pens que con ellos se podran explicar todos los fenmenos de la naturaleza, incluso a los seres vivos, o la evolucin de todo el universo, conocidas las condiciones iniciales. Esta visin filosfica tan reduccionista de la realidad se llama mecanicismo.

e/ Las leyes de Newton fracasan (sus previsiones no coinciden con los datos experimentales) cuando son aplicadas a dos conjuntos de problemas planteados a principios del siglo XX:

i/ Partculas que se mueven a velocidades prximas a la de la luz (c = 3108 m/s). Einstein lo resolvi formulando la Mecnica Relativista, basada en que la velocidad de la luz es la mxima posible y su valor es siempre el mismo, medido desde cualquier S.R. (y por tanto no existe el tiempo absoluto, sino que para cada partcula el tiempo transcurre de forma distinta, que depende de su velocidad). Sus ecuaciones se reducen a las de la Mecnica Clsica cuando se aplica a partculas que se mueven a bajas velocidades.

ii/ Cuando se estudian las propiedades de tomos y partculas subatmicas. Se resuelve considerando que las partculas tienen naturaleza ondulatoria (Mecnica Ondulatoria, Schrdinger) o mediante matrices (Mecnica Matricial, Heisemberg). Ambas formulaciones son equivalentes y por basarse en la hiptesis de los cuantos de Planck, reciben el nombre de Mecnica Cuntica. Sus ecuaciones se reducen a las de la Mecnica Clsica cuando se aplica al mundo macroscpico.

iii/ Aadidas estas dos generalizaciones, la Fsica actual explica prcticamente todo el mundo fsico.

f/ Las leyes de Newton slo se cumplen en los Sistemas de Referencia Inerciales (SRI).

1 principio o principio de inercia. Si la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una partcula es cero (

) entonces el cuerpo permanece en reposo o se est moviendo con velocidad constante. En el lenguaje simblico de la matemtica:

Si

* Los cuerpos tienen tendencia a continuar como estn (inercia), movindose a la misma

.

* El reposo no es el estado natural de los cuerpos; se puede considerar como un caso particular de movimiento con

e igual a cero.

* Para modificar la velocidad de un cuerpo hace falta una resultante de fuerzas ( 0.

* Las fuerzas son las causas de los cambios de

(y no las causas de la

) de los cuerpos.

2 principio o ecuacin fundamental de la dinmica. La resultante de todas las fuerzas que actan sobre una partcula es proporcional a la aceleracin que adquiere. La constante de proporcionalidad se llama masa o inercia de la partcula.

* La relacin se establece entre

y

, y no entre fuerza y velocidad. La fuerza es causa de aceleracin, no de velocidad.

* Bajo la accin de una fuerza, un cuerpo no vara su

instantneamente, sino poco a poco; el cambio de velocidad (la

) es tanto mayor cuanto menor sea la inercia del cuerpo.

* La masa es una magnitud escalar aditiva que mide la inercia, tendencia de un cuerpo a seguir en movimiento. Se conserva en un sistema cerrado, es siempre positiva y es independiente del movimiento. Tambin establece la cantidad de materia de un cuerpo; se mide con la balanza.

* El 2 Principio incluye al primero como caso particular:

Si

3 principio o principio de accin y reaccin. "Si una partcula 1 ejerce sobre otra partcula 2 una fuerza

(accin), la 2 ejerce sobre la 1 otra fuerza

(reaccin), igual y de sentido contrario."

* Las fuerzas de accin y reaccin actan sobre cuerpos distintos.

* Slo se equilibran si 1 y 2 pertenecen a un mismo slido rgido.

Slo existen fuerzas de contacto (Descartes) salvo las que se ejercen por intermedio de un campo gravitatorio, elctrico o magntico (Faraday).

En un problema, se debe poder identificar qu partcula hace la fuerza sobre qu otra, mediante contacto entre ambas.

Ejercicio 1.- Dibuja las fuerzas de accin y reaccin y explica los movimientos que se producen al abandonar: a/ dos imanes situados sobre corchos que flotan sobre el agua de un recipiente, y b/ un cuerpo que es atrado por la Tierra.

Ejercicio 2.- Un cuerpo de masa m est situado i/ sobre una mesa o ii/ colgado de un hilo, en ambos casos en reposo. Aplica los tres Principios de Newton sucesivamente a cada caso.

a/ Explica la aparicin de la fuerza normal N. Por qu es perpendicular al suelo? Por qu no tiene componente horizontal? Cmo cambia al inclinar el suelo? Cul es su par de reaccin?

b/ Explica la aparicin de la tensin de la cuerda T. Cul es su par de reaccin? Valor de T en los distintos puntos del hilo; explcalo cortndolo con una tijera a distintas alturas.

c/ Aplica la 2 ley de Newton a la cada libre.

Ejercicio 3.- El montaje va sobre el techo de un autobs que se mueve con

. Aplicando las leyes de Newton, calcula el valor de las tensiones en funcin del peso y del ngulo.

Sol.

Ejercicio 4.- Se lanza un cuerpo con v = 8 m/s hacia arriba de un plano inclinado de 5 m de longitud y 4 m de altura. Si no hay rozamientos, calcular:

a/ Altura mxima a la que sube.

b/ Velocidad cuando llega abajo al descender.

a/ Sol. h = 3,2 m. b/ 8 m/s

Ejercicio 5.- Un vagn de una montaa rusa de masa m = 200 kg se mueve con v = 20 m/s por una va horizontal sin rozamientos. A continuacin la pista se convierte en una circunferencia vertical de radio R = 10 m que el vagn recorre hasta salir por el mismo plano horizontal, con la misma direccin y sentido (riza el rizo). Se pide:

a/ La aceleracin y la N en el punto ms bajo de la trayectoria circular. Peso aparente.

b/ Qu tipo de movimiento tiene mientras asciende por la pista? Haz un dibujo con las fuerzas que actan sobre el vagn y las aceleraciones que le producen. No las calcules.

c/ Aceleracin tangencial cuando ha subido (o bajado) un cuarto de circunferencia.

d/ Velocidad mnima en el punto ms alto para que describa una circunferencia vertical.

e/ Supn que la velocidad en el punto ms bajo es menor que la mnima. Explica el movimiento del vagn cuando "despega" de la pista y la trayectoria que describe a continuacin.

f/ Compara este problema con una piedra atada a una cuerda (o un cubo con agua) que describe una circunferencia vertical.

Sol. a/ an = 4g. N = 5mg. c/ aT = g. d/ . Ejercicio 6.- Dos bloques mA = 5 kg y mB = 10 kg estn en contacto y sobre una superficie horizontal. Sobre A acta una fuerza F que les produce una a = 2 m/s2.

a/ Calcula F y las fuerzas de accin y reaccin.

b/ Qu vara, si es B quien empuja a A?

c/ Dos grupos de personas tiran desde los extremos de una cuerda jugando al conocido juego a ver quien puede ms. Gana el grupo ms fuerte?

Sol. a/ F = 30 N. FB(A = 20 N

Ejercicio 7.- Una mquina de Atwood tiene dos cuerpos iguales que penden de los extremos de una cuerda que pasa por una polea sin masa ni rozamiento. Pesan 8 kg cada uno e inicialmente estn a la misma altura.

a/ Qu carga hay que poner sobre uno de ellos para que se desnivelen 8 m en 2 s?

b/ Halla la tensin de la cuerda.

Sol. a/ 4 kg. b/ T1 = 96 N2.- Ley de Hooke

Un cuerpo se deforma al ser sometido a la accin de una fuerza. Se dice que el cuerpo es elstico cuando recupera su forma original al dejar de actuar la fuerza. sta no debe sobrepasar el lmite de elasticidad a partir del cual la deformacin se hace permanente.

Aplicando una fuerza P1 a un muelle, sufre un estiramiento x1. Aplicando una fuerza P2 el alargamiento es x2. Al dividir fuerza aplicada por estiramiento producido, sale un valor constante k, que depende de cada muelle. P/x = kLa fuerza recuperadora del muelle es proporcional a su elongacin.

k es la constante recuperadora. El signo negativo indica que la fuerza recuperadora del muelle tiene sentido opuesto al estiramiento.

La fuerza exterior necesaria para estirar o comprimir un muelle es igual a la fuerza recuperadora del muelle pero de sentido opuesto.

Una vez calibrado, el resorte se emplea para medir fuerzas (dinammetros).

Ejercicio 8.- Dos poleas sostienen un muelle atado con cuerdas de las que penden dos cuerpos. Calcula lo que marca el muelle y como evoluciona el sistema si:

a/ m1 = m2 = 1 kg.

b/ m1 = 1 kg; m2 = 3 kg:

Sol. a/ 10 N. b/ 15 N

3.- Fuerzas de rozamientoLa 1 Ley de Newton parece que se contradice con la experiencia: un cuerpo en movimiento abandonado a s mismo (es decir, sin actuar sobre l), al final se detiene.

En realidad no hay contradiccin, porque, aunque no se acte sobre l, siempre existen unas fuerzas que se oponen a su movimiento y que son las fuerzas de rozamiento. Son de dos tipos: por deslizamiento y por rodadura.

Caractersticas de las Froz por deslizamiento:

1/ Son independientes del tamao del rea de contacto. Ejemplo: al arrastrar un mismo ladrillo por cualquiera de sus caras, la Froz es la misma (En la ecuacin no aparece el rea que roza).

2/ Dependen de la naturaleza de las superficies que rozan. Ejemplo: no es igual arrastrar hielo sobre hielo que un arado por un campo; la diferencia se mide cuantitativamente mediante el coeficiente de rozamiento .

3/ Dependen directamente de la fuerza con que se "aprietan" ambas superficies (son proporcionales a la Normal). Ejemplo: se arrastran dos bloques iguales por el mismo suelo, con lo que la Froz es igual en ambos; ahora, si sobre uno se va aadiendo masa, la Froz crece proporcionalmente.

4/ Se oponen al movimiento y tienen su misma direccin.

5/ Todas estas caractersticas cambian en funcin de si el cuerpo parte del reposo o si ya estaba en movimiento.

a/ Si hay movimiento estas caractersticas se resumen en: Froz,d = N(d.... Donde d es el coeficiente dinmico de rozamiento. Se calcula para dos superficies dadas, midiendo la Froz y dividiendo por la N. Como es un cociente de dos fuerzas, es adimensional.

b/ Si no hay movimiento la ecuacin es: Froz,e ( N(e....e es el coeficiente esttico de rozamiento. Obsrvese que el valor de la Froz,e no es constante sino que depende de las condiciones del problema. Su valor mnimo es cero. Alcanza su valor mximo cuando (Froz,e)mx = Ne y el cuerpo est en reposo, lo que se emplea en medir el valor de e.

c/ Experimentalmente e > d . Se explica al observar con un microscopio las superficies de contacto entre el cuerpo y el suelo: ambas poseen irregularidades, resaltes y huecos. Si el cuerpo est en movimiento, desliza de pico a pico, sin encajarse en los huecos; si el cuerpo est en reposo, estn encajadas las irregularidades, y ponerlo en movimiento requiere vencer una Froz mayor. Una vez iniciado, es ms fcil mantener un movimiento.

Ejercicio 9.- Un bloque que pesa 20 kg descansa sobre una superficie horizontal. e = 0,4 y d = 0,2. Calcular:

a/ Froz sobre el bloque.

b/ Froz si acta una fuerza horizontal F = 60 N.

c/ Fuerza mnima necesaria para iniciar el movimiento.

d/ Fuerza mnima que mantiene el movimiento una vez iniciado.

e/ Si F valiera 100 N, cunto vale la Froz? Qu movimiento tendra el cuerpo?

f/ La aceleracin con que desciende por un plano inclinado 60.

Sol. a/ Froz = 0. b/ Froz = 60 N. c/ 80 N. d/ 40 N. e/ 40 N. 3 m/s2. f/ 7,66 m/s2.Ejercicio 10.- Explica y dibuja las fuerzas existentes al caminar una persona por un suelo horizontal con rozamientos.

a/ Sobre la persona y sobre el suelo.

b/ Cmo se debe caminar sobre hielo para disminuir el riesgo de resbalar?

c/ Cmo se puede salir de un lago helado si lo suponemos sin rozamientos?

Ejercicio 11.- Explica y dibuja qu fuerzas actan:

a/ Cuando arranca un coche y empiezan a rodar las ruedas. Qu ocurre si al arrancar, las ruedas giran sobre el hielo (o el coche est subido al gato hidrulico del taller).

b/ Explica cmo toman las curvas los coches. Qu ocurre si hay hielo?

c/ Cmo es el relieve grabado en los neumticos de coches y motos y para qu sirve?

d/ Sabes qu es el sistema de frenado ABS (Anti Blocking Sistem) y qu objeto tiene?

e/ Una carretera horizontal tiene una curva con un radio de 160 m. Si = 0,125, calcular la velocidad mxima a que se puede circular por ella sin derrapar.

Sol. e/ 14,14 m/sEjercicio 12.- Calcula el ngulo de peralte necesario para que en la curva anterior, cubierta con una capa de hielo, el coche pueda tomarla a la misma velocidad sin salirse de la curva.

Sol. ( = 7,125 Ejercicio 13.- Un motorista toma una curva plana de radio 80 m a 108 km/h. Se pide:

a/ Dibuja las fuerzas que actan sobre el motorista. Calcula su aceleracin.

b/ Dibuja las fuerzas que actan sobre las ruedas de la moto, explicando su origen. Existe Froz? Es esttica o dinmica? Calcular el ngulo que se inclina la moto para tomar la curva.c/ Calcula el valor de la Froz con la rueda y el ngulo con que se inclina al tomar la curva.

d/ Si = 0,4, calcula la velocidad y el ngulo mximos con que puede tomar esa curva.

Sol. a/ 11,25 m/s2. b/ 41 39. c/ mv2/80. d/ vmx = 17,89 m/s. ( = 68 12Ejercicio 14.- Un motorista da vueltas por las paredes interiores de un cilindro vertical (el cilindro de la muerte). Si el radio del cilindro es de 5 m y e = 0,4 calcula la velocidad mnima para no sufrir un accidente. Haz un dibujo con todas las fuerzas.

Sol. vmn = 11,2 m/s4.- Fuerzas de inerciaPara resolver un problema dinmico tenemos que aplicar las leyes de Newton. Para ello, necesitamos conocer la posicin, velocidad, etc. de las partculas, y por tanto, elegir (es libre, en cada problema elegimos uno) un sistema de referencia.

* Si elegimos un sistema de referencia inercial (se mueven con ), las leyes de Newton se cumplen perfectamente (en la mecnica clsica).

* Si al aplicar las leyes de Newton al mismo problema, elegimos un sistema de referencia no inercial (tiene movimiento acelerado), aparece una fuerza cuyo origen es inexplicable para el observador que viaja en este SR. Hay que suponer que existe aunque no se ve ninguna causa material, no hay ninguna fuerza de contacto que la haga, sumndola como una fuerza ms, para que se cumplan las leyes de Newton. Se llama fuerza de inercia, porque es proporcional a la masa.

Ejercicio 15.- Un autobs toma una curva con rapidez constante. Explica cmo lo hace.

a/ Qu sienten los pasajeros? Cmo explica lo que sucede un observador que viaja en el autobs y otro que est en reposo en el suelo?

b/ Un pasajero deja un boli sobre una mesa sin rozamientos cuando el autobs va a 20 m/s en una curva de R = 40 m. Calcula la aceleracin con que lo ve moverse.

Ejercicio 16.- Un pndulo va sujeto en el techo de un coche que se mueve con aceleracin

constante. Se pide la ecuacin que relaciona al ngulo que forma el pndulo con la vertical y la aceleracin:

a/ Desde el punto de vista de un observador inercial.

b/ Desde el interior del coche.

Sol. a/ ( = arctg a/g. b/ ( = arctg fi/mgSea un sistema de referencia inercial (SRI) Oi que se mueve con velocidad constante. Referimos a l la posicin de otro sistema de referencia no inercial (SRNI) Oni que se mueve con movimiento acelerado respecto al primero, y cuyo vector posicin es

.

Sea m un punto material cuyos vectores posicin respecto del SRI y del SRNI son respectivamente

y

.

Observando el dibujo, podemos escribir:

Derivando respecto a t:

Volviendo a derivar: donde:

*

es la aceleracin de la partcula medida desde el SRI,

*

es la aceleracin del SRNI respecto del SRI, llamada aceleracin de arrastre,

*

es la aceleracin que se observa en la partcula desde el SRNI.

Multiplicando los dos miembros de la ltima ecuacin por m:

Aplicando la 2 ley de Newton en el SRI: sobre la partcula

Sustituyendo:

O bien:

Si por definicin, es la fuerza de inercia,

Esta es la forma de la 2 ley de Newton que se cumple en los SRNI: la resultante de todas las fuerzas que actan sobre la partcula, ms la fuerza de inercia que se postula, debe ser igual a la masa por la aceleracin que se mide en el SRNI ().

Ejercicio 17.- Un cuerpo de masa m est situado sobre una bscula que viaja en el interior de un ascensor. Calcular lo que marcar la bscula y la fuerza de inercia si:

a/ El ascensor est en reposo

b/ Sube con v = 2 m/s.c/ Baja con v = 2 m/sd/ Sube con a = 2 m/s2.

e/ Baja con a = 2 m/s2.

f/ Se rompe el cable del ascensor.

g/ El pasajero de f/ saca el boli, lo pone a la altura de la nariz y lo suelta. Explica qu ocurre.

h/ Resuelve todo lo anterior desde dentro del ascensor.

i/ Subiendo con a = 2 m/s2 se suelta la lmpara del techo, situado a 3 m, a los 4 s de iniciado el movimiento. Cunto tiempo le costar caer al suelo?

Sol. a/ b/ y c/ N = mg. d/ N = P + ma. e/ N = P - ma. f/ N = 0. f/ tch = 0,707 s

Ejercicio 18.- En el interior de una vagoneta, una persona de 60 kg est subida en una bscula de bao. Cul ser su peso aparente en los siguientes casos?

a/ Se mueve por un tramo horizontal a 10 m/s.

b/ Movindose a 5 m/s en lo alto de una "colina" de 5 m de radio.

c/ Movindose a 20 m/s en la parte inferior de una hondonada de radio de curvatura 10 m.

d/ En cada caso, deja caer su bolgrafo. Qu tipo de movimiento observa? Calcula su aceleracin.

Sol. a/ 600 N. b/ 300 N. c/ 3.000 N. d/ a/ 10 m/s2. b/ 5 m/s2. c/ 50 m/s2

Ejercicio 19.- Un camin debe transportar un bloque de M = 1000 kg en su plataforma. Con el camin en reposo, el conductor hace que se levante la plataforma lentamente observando que el bloque empieza a deslizar para un ngulo de 30. Se pide:

a/ El coeficiente de rozamiento. Supn que (e = (d.b/ La aceleracin mxima del camin con la plataforma horizontal para que el bloque no deslice.

c/ Por descuido, el conductor acelera con un valor que es 1,5 veces el valor de la aceleracin anterior. Calcular la aceleracin del bloque respecto del camin y la fuerza de inercia que acta.

Sol. a/ 0,577. b/ amx = 5,77 m/s2. c/ ani = -2,88 m/s2. fi = 8.663 NEjercicio 20.- Un avin se lanza en picado a 720 km/h y describe una circunferencia vertical a esa velocidad. Calcular:

a/ El radio mnimo para que la aceleracin en el punto ms bajo no exceda de "7g".

b/ Cul ser en ese punto el peso aparente del piloto.

Sol.a/ R = 571,43 m. b/ 8mgEjercicio 21.- Un avin describe una trayectoria circular horizontal de radio 1080 m y con velocidad constante de 648 km/h. Se pide:

a/ ngulo de inclinacin del avin.

b/ Peso aparente del piloto.

c/ El piloto deja caer su bolgrafo. Con qu aceleracin lo ve caer.

Sol. a/ = 71 33' 54,1. b/ 3,17mg. c/ a = 31,62 m/s2 opuesta a N.

5.- Momento lineal: teorema de conservacin. Impulso mecnicoDefinicin: momento lineal o cantidad de movimiento de una partcula es:

Es un vector con igual direccin y sentido que , y por tanto, tangente a la trayectoria. Veamos la utilidad de esta magnitud calculando su variacin con el tiempo:

a/ Relacin con la 2 ley de Newton:

Derivando respecto de t: ya que m = cte, no cambia con el tiempo.

La variacin con respecto al tiempo del momento lineal de un punto material, es igual a la resultante de las fuerzas que actan sobre l. Es otra forma de expresar la 2 ley de Newton.

Ejercicio 22.- Una masa m = 2 kg se desplaza con un movimiento definido por las ecuaciones: x = 3t + 1 , y = t2 - 2 , z = t3 + 1 (SI). Se pide:

a/ Escribe los vectores posicin, velocidad, aceleracin, fuerza y momento lineal.

b/ Comprueba que la derivada con respecto al tiempo del momento lineal es igual a la fuerza que acta sobre la masa m.

a/ . . .

EMBED Equation.3 b/ Impulso mecnico. En la ecuacin anterior:

Al producto fuerza por tiempo se le denomina impulso mecnico, y es igual a la variacin de la cantidad de movimiento de la partcula.

Para integrar es preciso conocer cmo vara con t. Estudiamos dos casos particulares:

* Si = cte., sustituyendo:

* Si en el tiempo, se conserva.

Este es el Teorema de conservacin de la cantidad de movimiento para un punto material: si la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula es cero, (, condicin de la 1 ley de Newton), se conserva constante la cantidad de movimiento de la partcula.

Ejercicio 23.- Una pelota de 160 g llega a la pared del frontn a 50 m/s. Si permanece en contacto con la pared 0,02 s y sale rebotada con la misma direccin y rapidez, se pregunta:

a/ Se conserva el momento lineal de la pelota?.

b/ Hallar el impulso que la pared ejerce sobre la pelota y la fuerza media que opone la pared.

Sol. a/ No. b/ 16 kgm/s. 800 N6.- Centro de masas de un sistema de puntos materialesVamos a describir un conjunto de puntos materiales respecto de un sistema de referencia:

i/ Dadas dos partculas situadas en el eje X, definimos un punto (al que llamamos centro de masas del sistema, CM) mediante su coordenada x:

Llamando a y despejando:

es el lugar donde estara toda la masa del sistema si estuviera concentrada en un punto.

ii/ Para tres partculas situadas en el plano, la posicin del CM del sistema viene determinado por:

iii/ Si el sistema tiene n puntos en el espacio, el CM del sistema es un punto ideal determinado por:

iv/ El vector posicin de la partcula i, una cualquiera del sistema:

Anlogamente, el vector posicin del CM del sistema es:

Sustituyendo:

O bien, despejando:

En la ltima ecuacin vectorial estn incluidas las tres definiciones del CM por coordenadas.

7.- Momento lineal de un sistema de partculasSi las partculas se mueven, derivando respecto al tiempo la ecuacin anterior:

EMBED Equation.2 y como las masas son constantes:

y recordando que

* es la cantidad de movimiento del centro de masas o momento lineal de una partcula que contiene a toda la masa del sistema M, y que se mueve con la velocidad del CM, .

* La suma de los momentos lineales de todas las partculas del sistema, es decir, la cantidad de movimiento total del sistema, es igual al momento lineal del CM:

Ejercicio 24.- Tres masas de 2, 3 y 4 kg se mueven por el eje de abscisas con velocidades de 5, -2 y 3 m/s, respectivamente. Se pide:

a/ La cantidad de movimiento del sistema.

b/ Velocidad del CM.

Sol. a/ PSist = 16 kgm/s. b/ vCM = 1,77 m/s

8.- 2 Ley de Newton para un sistema de partculasDerivando nuevamente respecto al tiempo:

y siendo las masas constantes

y recordando que

Porque por la 2 Ley de Newton.

es la resultante de todas las fuerzas que actan sobre la partcula i, y

representa a la resultante de todas las fuerzas que actan sobre todas las partculas del sistema. Incluye a:

* Todas las fuerzas que proceden del exterior del sistema (

)

* Todas las fuerzas que se ejercen entre s las partculas del sistema, llamadas por ello fuerzas interiores (

). Pueden ser de contacto, gravitatorias, elctricas, etc. Todas ellas dan como resultante cero, por la 3 Ley de Newton:

. (No incluyen a las fuerzas del interior de cada partcula, las que la mantienen unida, si no se rompe). Por tanto:

El CM se comporta como una partcula de masa M, la de todo el sistema, y que bajo la accin de la

se mueve con la

.

Ejercicio 25.- Un tren de juguete est formado por la mquina de 5 kg y tres vagones de 0,5 kg cada uno. Si no hay rozamientos, cuando lleva una aceleracin de 1 m/s2, calcula:

a/ Fuerza motriz de la mquina.

b/ Las tensiones entre las unidades.

Sol. a/ 6,5 N. b/ T1 = 0,5 N. T2 = 1 N. T3 = 1,5 N.

9.- Conservacin de la cantidad de movimiento de un sistema de partculasa/ Expresin la 2 ley de Newton para un sistema de partculas en funcin de la cantidad de movimiento del sistema de partculas. A partir de las dos ltimas ecuaciones recuadradas:

La derivada con respecto al tiempo del momento lineal de un sistema de partculas es igual a la resultante de las fuerzas exteriores que acta sobre l.

b/ Teorema de conservacin. Si la resultante de las fuerzas exteriores que actan sobre un sistema de partculas es cero, se conserva constante el vector cantidad de movimiento del sistema.

Ejercicio 26.- Un hombre de 60 kg se encuentra en el centro de una plataforma circular de 540 kg que flota en un estanque en reposo. Si el hombre camina 4 m desde el centro de la plataforma en direccin a la orilla, calcula:

a/ El movimiento del CM.

b/ Cunto se ha acercado a la orilla.Sol. a/ v = 0. b/ 3,57 m

Ejercicio 27.- Un bote de 2 kg explota rompindose en tres trozos. Dos de ellos, de masas 0,5 kg cada uno, salen despedidos en direcciones perpendiculares a 20 m/s. Calcula la direccin y mdulo de la velocidad del tercer trozo despus de la explosin.

Sol. v = 14,14 m/s. ( = 45

Ejercicio 28.- Un ncleo atmico de masa M se mueve a una velocidad de 10 m/s. En un instante dado se desintegra en tres fragmentos: dos de ellos, de masas M/3 cada uno, se desvan de su trayectoria unos ngulos de 30 y 60 respectivamente; el 3 queda en reposo. Calcula:

a/ La velocidad de cada fragmento.

b/ La posicin del CM a los dos segundos.

Sol. a/ v1 = 26 m/s. v2 = 15 m/s. b/ 20 m sobre el eje X desde el punto de ruptura.Ejercicio 29.- Dos carritos unidos mediante un muelle comprimido se mueven juntos con una velocidad de 0,5 m/s. El muelle comienza a recuperar su longitud inicial y separa a ambos carritos. Uno de ellos se mueve en un instante dado con una velocidad de 0,7 m/s, manteniendo invariable el sentido de su movimiento. Sabiendo que los dos carritos tienen una masa de 1 kg, calcular la velocidad del otro carrito en ese instante:

a/ Respecto a un sistema de referencia situado en el CM.

b/ Respecto a un S.R. exterior.

Sol. a/ u2 = 0,2 m/s. u1 = 0,2 m/s en sentido opuesto. b/ v1 = 0,3 m/s

10.- Choques. Cuando se produce un choque entre partculas, hay dos modelos extremos:

a/ Choques totalmente inelsticos. Quedan incrustados una en otra (choque de coches, bola de barro contra una pared, etc.). Se conserva

pero hay una prdida de energa cintica que se transforma en calor y/o deformacin.

b/ Choques totalmente elsticos. Los objetos rebotan; (idealmente, choque de dos bolas de billar, de una pelota contra un frontn, etc.). Se conserva

y la energa cintica del sistema.

c/ Choques reales. Se encuentran entre estos dos casos lmite. Son inelsticos, se conserva

y hay cierta prdida de energa cintica. Tambin puede suceder que, como consecuencia del calor / deformacin producidos en el choque, se libere energa potencial de origen mecnico, qumico, elstico, etc., resultando que el sistema tiene ms energa cintica despus, que antes del choque.

Ejercicio 30.- Por el eje X se mueve un cuerpo de 15 kg con v = 2 m/s. Por el eje Y lo hace otro de 10 kg y v = 4 m/s. Chocan en el origen de coordenadas. Si permanecen juntos despus del choque, calcular su vector velocidad.

Sol. ( = 53,13. v = 2 m/s

Ejercicio 31.- Un jugador de billar lanza la bola A a 5 m/s sobre la bola B, de la misma masa, que est en reposo. La bola A es desviada 30 en su direccin. Calcular las velocidades de ambas despus del choque, suponiendo que es totalmente elstico.

Sol. vB = 2,5 m/s. vA = 4,33 m/s

11.- Ley de Newton de Gravitacin Universal

Dos masas M y m, una en presencia de otra, se atraen con una fuerza que, medida experimentalmente, y con el origen de coordenadas sobre M, vale:

Donde:

r = distancia entre los centros de las masas

= vector unitario en la direccin de

El signo - indica que y tienen sentido opuesto, es decir, la fuerza gravitatoria entre dos masas es siempre de atraccin.

G = 6,6710-11 Nm2/kg2 es la Constante de Gravitacin Universal; universal significa que su valor no cambia con el medio, el lugar o el tiempo.

Ejercicio 32.- Calcula la fuerza gravitatoria entre:

a/ Dos bolas de billar de 1 kg de masa cada una, situadas a una distancia de 1 m.

b/ Un camin de 1.000 toneladas y un hombre de 100 kg situados a 10 m de distancia.

c/ Calcula la fuerza que ejerce la Tierra y la Luna sobre cada uno de ellos.

d/ Calcula la fuerza que se ejercen entre s la Tierra y la Luna

Datos: dTierra-Luna = 384.000 km. MLuna = 7,341022 kg. G = 6,6710-11 Nm2/kg2. RTierra = 6,37106 m. MTierra = 61024 kg.

Sol.: a/ Fbolas = 6,6710-11 N. b/ Fcamin-hombre = 6,6710-5 N. c/ FLuna-bola = 3,4310-5 N. FLuna-hombre = 3,4310-3 N. FLuna-camin = 34,3 N. Pbola = 9,8 N. Pcamin = 9,8106N. Phombre = 980 N. d/ FLuna-Tierra = 1,991020 NEjercicio 33.- Con los datos: dTierra-Sol = 1,51011 m. MSol = 21030 kg; mTierra = 61024 kg, calcula:

a/ La fuerza gravitatoria entre el Sol y la Tierra.

b/ La an de la Tierra.

c/ Su velocidad orbital.

Sol.: a/ 3,521022 N. b/ an = 0,0059 m/s2. c/ v = 29.822 m/s

Ejercicio 34.- a/ Calcula el valor de la Normal que acta sobre una caja de 10 kg que est en reposo en el suelo en un punto del Ecuador terrestre. Para hacer los clculos, utiliza los siguientes datos: Perodo de rotacin de la Tierra, T = 24 horas. RTierra = 6.370 km.

b/ Cunto valdra N en los Polos?c/ Qu marcara una bscula si colocamos la caja sobre ella? Y una balanza?

Sol.: a/ N = 97,66 N. b/ N = 98 N. c/ La N. La masa, 10 kg.12.- Campos gravitatorios

En una regin del espacio existe un campo gravitatorio, si al colocar una masa en cualquier punto de ese espacio, aparecen fuerzas (de origen gravitatorio) sobre ella. La fuerza es igual a la intensidad de campo en ese punto por la masa.

a/ Intensidad del campo gravitatorio en un punto

. Es igual a la fuerza que actuara sobre una masa de 1 kg colocado en ese punto.

si m = 1 kg (

b/ El campo gravitatorio terrestre. Si la masa que crea el campo es la Tierra, MT, la fuerza que ejerce sobre cualquier otra masa, m, se llama Peso.

Siendo la intensidad del campo gravitatorio terrestre. Su valor en un punto es igual al peso de 1 kg colocado en ese punto.* Si una masa m de 1 kg est situada en la superficie de la Tierra, su distancia al origen de coordenadas es igual al radio de la Tierra, RT; el peso de este kg es igual al valor de g en la superficie de la Tierra. Se le llama g0 y vale:

En mdulo: g0 = 9,8 N/kg = 9,8 m/s2

* Si m = 1 kg est a una altura h sobre la superficie de la Tierra, el valor de g es:

Multiplicando por y teniendo en cuenta que

Ejercicio 35.- Calcula: a/ La fuerza que la Tierra ejerce sobre un satlite de 1.000 kg situado una rbita circular a 3.000 km de altura sobre la superficie de la Tierra.

b/ El peso del satlite a esa altura. Pesa igual que en la superficie de la Tierra? Por qu?

c/ Su aceleracin.

d/ La intensidad del campo gravitatorio terrestre en ese punto.e/ Su velocidad.

Datos: MTierra = 61024 kg. RTierra = 6.370 km. G = 6,6710-11 Nm2/kg2.Sol.: a/ b/ FTierra-satlite = P = 4.558,25 N. No, cambia g. c/ d/ g = 0,456 m/s2. e/ v = 2.067 m/s

Ejercicio 36.- RTierra = 6.370 km. g0 = 9,8 m/s2. Calcula la intensidad del campo gravitatorio en:

a/ La superficie de la Tierra. b/ A 300 km de altura. c/ A 3.000 km de altura.

d/ En un punto situado a una altura igual al radio terrestre. h = 6,37106 m.e A una altura de unas 59 veces el radio terrestre (distancia Tierra-Luna)

f/ Calcula el peso de un cuerpo de 70 kg en esos puntos.

Datos: Sol. a/ PSup = 686 N; g0 = 9,8 m/s2. b/ P300 km = 625,68 N. g300 km = 8,94 m/s2. c/ P3000 = 317,05 N. g3000 = 4,53 m/s2. e/ PRT = 171,5 N. gRT = 2,45 m/s2. e/ P60RT = 0,18 N. g60RT = 0,0026 m/s2Ejercicio 37.- Calcula la altura y la velocidad a la que orbita un satlite geoestacionario como el Meteosat. (Geoestacionario: est todo el tiempo sobre la vertical del mismo punto del Ecuador)Datos: RTierra = 6,37106 m. g0 = 9,8 m/s2

Sol.: h = 35.837,6 km. v = 2861,1 m/s

c/ Principio de superposicin de campos. Si hay varias masas, cada una crea su propio campo y el campo resultante en un punto es igual a la suma de los campos:

Ejercicio 38.- Dos masas iguales m1 y m2 estn en un espacio vaco y situadas una a cada lado del origen, a igual distancia x de l. Calcular el valor de en cualquier punto del eje Y. Aplcalo al punto x = 3, y = 4 si m1 = m2 = 109 kg. G = 6,6710-11 N.m2/kg2.Sol. gtotal = (2Gmy) / (x2 + y2)3/2 con sentido hacia el origen.13.- Momento de una fuerza respecto de un punto OPor definicin:

En mdulo: M = rFsen ( = Fd

no cambia si

desliza a lo largo de su direccin, puesto que d (), mnima distancia, permanece constante.* Si

es resultante de otros vectores:

Teorema de Varignon: El momento de la resultante de un sistema de vectores concurrentes, con respecto a O, es igual a la suma de los momentos, respecto de O, de cada uno de los vectores.

Ejercicio 39.- Halla el momento del vector definido por M (2,3,4) y N (1,-3,-2), respecto del origen de coordenadas.

Sol.

Ejercicio 40.- Calcula el momento respecto del punto O (0,1,2) del vector si est aplicado en el punto M (2,3,4).

Sol.

* Proyeccin de un vector

sobre una recta r, siendo el vector unitario en la direccin de r, es igual:

* Momento de un vector

respecto de un eje. Es otro vector: siendo O un punto cualquiera contenido en el eje.

Ejercicio 41.- Dados los vectores y , determina:

a/ La proyeccin de sobre

b/ La proyeccin de sobre el eje Z.

Sol. a/ 0. b/

14.- Momento de un par de fuerzas

Sean y los respectivos vectores posicin de los puntos de aplicacin de cada fuerza. El momento de dos fuerzas del mismo mdulo, con direcciones paralelas y sentidos opuestos, respecto el mismo origen O es:

* Mdulo. M0 = (r2 r1)F2sen ( = F2d

* Direccin. Perpendicular al plano determinado por las dos fuerzas.

* Sentido. El determinado con la mano derecha.

Aunque la resultante de dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario es cero (condicin de equilibrio de traslacin), el momento resultante es igual al producto de una por la distancia entre ellas y produce un giro.

15.- Expresin de la 2 ley de Newton de rotacin

Las fuerzas son causa de aceleracin (cambian la velocidad) o de deformacin de los cuerpos. Tambin pueden crear un momento que produce una aceleracin angular (y cambiar la velocidad angular de rotacin de un cuerpo). La 2 ley de Newton para la rotacin adquiere la forma:

Donde:

es la resultante de los momentos de las fuerzas que actan sobre el cuerpo.

es el momento de inercia que mide la inercia de rotacin del cuerpo.

es la aceleracin angular producida.

16.- Condiciones de equilibrio

* Equilibrio de traslacin. Un sistema est en equilibrio de traslacin cuando:

(

* Equilibrio de rotacin. Un sistema est en equilibrio de rotacin cuando gira con velocidad angular constante, es decir, cuando el momento de las fuerzas exteriores es cero:

(

Ejercicio 42.- Una barra de 8 m de longitud y sin masa est apoyada sobre su extremo A. Halla la fuerza que es necesario aplicar en el extremo para que la palanca en reposo y apoyada en A sostenga un cuerpo de masa m = 100 kg. Halla tambin el valor de la Normal que ejerce el punto de apoyo sobre la barra.

Sol. F = 250 N. N = 750 N

Ejercicio 43.- Se quiere levantar un cuerpo de 100 kg utilizando una palanca de 4 m. Si slo podemos hacer una fuerza de 40 N en el otro extremo, dnde debe situarse el punto de apoyo?

Sol. 0,154 m

Ejercicio 44.- Una escalera de 20 kg est en reposo apoyada en la pared formando un ngulo de 60 con el suelo. El coeficiente de rozamiento esttico (e = 0,3.

a/ Calcula todas las fuerzas que actan sobre ella si la pared es lisa.

b/ El ngulo mnimo a que se puede inclinar antes de deslizar si la pared no roza.

Sol. a/ P = Nsuelo = 200 N. Npared = 57,73 N = Froz,e,suelo. b/ ( = 32Ejercicio 45.- Una viga homognea y horizontal de 10 m de longitud y 1.000 kg que acta como una gra est incrustada en un piln vertical, mientras que el otro extremo lo sostiene un cable formando un ngulo ( = 30 como se muestra en la figura.

Determina la tensin del cable cuando se cuelga sobre la viga y a 8 m de la torre un objeto de 500 kg. Calcula las fuerzas que ejerce el piln sobre la viga.Sol. T = 18.000 N. Nx = 7.794 N. Ny = 6.000 NEjercicio 46.- Una escalera de 5 m de longitud y 40 kg permanece apoyada sobre una pared lisa si la distancia que va del pie del muro al pie de la escalera no es mayor de 3 m. Calcula:

a/ La fuerza de la pared vertical sobre la escalera.

b/ El coeficiente de rozamiento.

c/ El ngulo (.

Sol. a/ Npared = 150 N. b/ (e = 0,375. c/ ( = 69,44Ejercicio 47.- Sobre una masa M = 10 kg est situada otra m = 5 kg, ambas unidas con un hilo que pasa por la garganta de una polea sin masa ni rozamientos; horizontalmente hacia la izquierda acta sobre M una fuerza de 200 N. Si el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies que rozan es ( = 0,2, calcular:

a/ La aceleracin de los cuerpos y del CM.

b/ La tensin del hilo.

Sol. a/ T = 60 N. b/ aCM = 3,33 m/s2Ejercicio 48.- Una bomba estalla en dos fragmentos de masas m1 = 100 g y m2 = 300 g. El primer fragmento se mueve, justo despus de la explosin, en paralelo al suelo con v1 = 300 m/s. a/ Si la granada estaba inicialmente en reposo, demuestra que el segundo fragmento tiene que viajar en la misma direccin que el primero y sentido opuesto. Determina su velocidad v2.

b/ Supn ahora que la bomba, antes de estallar, se mova con una velocidad horizontal v0 = 50 m/s en el mismo sentido que la v1 dada. Calcula, en este caso, la velocidad del segundo fragmento tras la explosin. Cul ser la velocidad de cada fragmento respecto del CM del sistema?

Sol. a/ v2 = -100 m/s. b/ v2 = -33,33 m/s. u1 = 250 m/s. u2 = - 83,33 m/s

Ejercicio 49.- Un pndulo cnico est constituido por una masa m = 1 kg que cuelga de un hilo de longitud L = 1 m describiendo un crculo horizontal de radio R. Calcular:

a/ La velocidad del cuerpo y

b/ la tensin de la cuerda, si el ngulo que forma el hilo con la vertical es de 30.

Si gira dentro de las paredes de un cilindro de radio 0,6 m

c/ hallar el nuevo valor de T.

d/ Expresar la reaccin de las paredes en funcin de la velocidad de m.

e/ Para que v la masa entra en contacto con la pared?

Sol. a/ v = 1,69 m/s. b/ T = 11,55 N. c/ T0,6 = 12,47 N. d/ N = 1,67 vd2 - 7,45. e/ vd = 2,11 m/s

Ejercicio 50.- Una fuerza F empuja a una masa m1 = 10 kg producindole una aceleracin de 6 m/s2. Una masa m2 = 2 kg desliza por encima de m1 con una a = 4 m/s2 en el mismo sentido (y por tanto deslizando hacia atrs de la masa m1). ( tiene el mismo valor para los dos pares de superficies que rozan. Calcular:

a/ Fuerza de rozamiento que ejerce la masa de 10 kg sobre la de 2 kg.

b/ (.

c/ Valor de F.

d/ La aCMSol.a/ Froz,2 = 8 N. b/ ( = 0,4. c/ 116 N. d/ aCM = 5,67 m/s2

Ejercicio 51.- Dos cuerpos m1 = 3 kg y m2 = 2 kg cuelgan de la cabina de un ascensor unidos por dos dinammetros como se indica en la figura. Calcular lo que marcan los dinammetros:

a/ Antes de iniciar el movimiento.

b/ Si el ascensor desciende con una aceleracin de 3 m/s2.

c/ Explica si existe alguna fuerza de inercia, cundo aparece y cunto vale.

Sol. a/ F2 = 20 N. F1 = 50 N. b/ F2 = 14 N. F1 = 35 N. c/ -6 N.

Ejercicio 52.- Una bala de masa m y velocidad v, se incrusta en un bloque de madera de masa M que se encuentra en reposo en una superficie horizontal. Como consecuencia del impacto, el bloque se desliza una distancia x hasta que se detiene. Si el coeficiente de rozamiento es , hallar la frmula que permite deducir la velocidad del proyectil en funcin de los datos anteriores.

Sol.

Ejercicio 53.- Una masa m se apoya en un plano inclinado 60 que acelera de forma que m est en reposo respecto del plano.

a/ Determinar la aceleracin si no hay rozamientos.

b/ Si el coeficiente de rozamiento es 0,2, hallar la aceleracin mnima para que no deslice.

Sol. a/ a = 17,32 m/s2. b/ a = 11,38 m/s2Ejercicio 54.- Dos partculas mA = 4 kg y mB = 2 kg situadas en el espacio vaco (sin Tierra, Sol, etc.) separadas 30 m e inicialmente en reposo, se atraen con una fuerza muy pequea. Hallar:

a/ Calcula el movimiento del CM.

b/ En un momento dado A se mueve a 0,05 m/s. A qu velocidad se mueve B?

c/ La distancia a la posicin inicial de A del punto de choque.

Sol. a/ vCM = 0. b/ vB = -0,1 m/s. c/ xCM = 10 mEjercicio 55.- Un cuerpo de masa m = 2 kg situado sobre una mesa horizontal, est atado con un hilo del que pende un cuerpo de masa M a travs de un agujero en el centro de la mesa. El cuerpo m se mueve a 2 m/s describiendo una circunferencia de radio 50 cm sin rozamientos. Calcular:

a/ La tensin de la cuerda.

b/ El valor de M.

Sol. a/ T = 16 N. b/ M = 1,6 kgEjercicio 56.- Un cuerpo de masa m1 = 1,3 kg est atado con un hilo a la pared, formando un ngulo de 37. Adems descansa sobre otro cuerpo de masa m2 = 3 kg, sobre el que acta una fuerza horizontal F, que le produce una aceleracin de 1 m/s2. Si el coeficiente de rozamiento dinmico entre todas las superficies que rozan es ( = 0,4, calcula:

a/ La tensin de la cuerda.

b/ El valor de las fuerzas de rozamiento.c/ El valor de la fuerza F.

Sol. a/ T = 5 N. b/ Froz1 = 4 N. Froz2 = 16 N. c/ F = 23 NEjercicio 57.- Calcula la constante recuperadora equivalente y los alargamientos de dos resortes idnticos de constante k, puestos en paralelo y en serie.

Sol. A/ kequ A = 2k. xA = x/2. B/ kequivalente B = k/2. xB = 2xEjercicio 58.- Un vagn de 1.200 kg se desplaza por una va rectilnea horizontal a 72 km/h cuando alcanza a otro vagn idntico, quedando ambos enganchados. La velocidad final del conjunto fue de 54 km/h. Calcula la velocidad que tena del vagn alcanzado.

Sol. v2 = 10 m/s en el mismo sentidoEjercicio 59.- Un satlite espa orbita a 300 km de altura sobre nuestras cabezas. Calcula:

a/ Su velocidad y su aceleracin.

b/ La intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura.

c/ El nmero de veces que pasa sobre nosotros cada da.

Datos: RTierra = 6.370 km. g0 = 9,8 m/s2

Sol. a/ v = 7.721,3 m/s. an = 8,94 m/s2. b/ g = 8,94 m/s2. c/ 15,93 vueltas/da

Ejercicio 60.- Un cuerpo de masa m = 2 kg cuelga del techo de un ascensor mediante un muelle de constante k = 200 N/m, como se indica en la figura. Calcula lo que marca el dinammetro y el estiramiento del muelle:

a/ Antes de iniciar el movimiento.

b/ Si el ascensor desciende con una aceleracin de 3 m/s2.

c/ Explica si existe fuerza de inercia, cmo aparece y cunto vale.Sol. a/ 0,1 m. b/ 0,07 m. c/ Fi = -6 NEjercicio 61.- Un hombre que pesa 70 kg se encuentra fijo encima de una bscula sin masa. Ambos resbalan por un plano inclinado 60. Si = 0,3, calcular:

a/ La aceleracin con que descienden.

b/ Lo que marcar la bscula.c/ El hombre deja caer su bolgrafo. Con qu aceleracin lo ve caer.

Sol. a/ 7,16 m/s2. b/ 350 N. c/ 5 m/s2 en direccin de la Normal y sentido opuesto.

Ejercicio 62.- Un cuerpo de 15 kg est apoyado sobre un plano inclinado 30, que puede girar alrededor del cateto vertical. El cuerpo est sujeto al eje con una cuerda de 4 m de longitud. Hallar:

a/ La tensin cuando gira a 10 r.p.m.

b/ La velocidad angular necesaria para que el cuerpo no se apoye en el plano.

c/ Para qu velocidad la cuerda girar en un plano horizontal. Cunto valdra la tensin?

Sol. a/ T = 79,11 N. b/ (= 2,24 rad/s. c/ Nunca. (

Ejercicio 63.- La Luna emplea 27,32 das en describir una rbita en torno a la Tierra. RT = 6.370 km. Calcula la distancia de la Tierra a la Luna. Sol. 380.000 kmEjercicio 64.- La Agencia Espacial Europea ha descubierto un misterioso planetoide sin atmsfera y totalmente esfrico, de masa M y radio R, ambos conocidos, junto al valor de G. Si situamos una sonda en rbita rasante sobre su superficie, calcula:

a/ Su velocidad y perodo de rotacin.

b/ Aceleracin tangencial y normal.

Sol. a/ . . b/ . aT = 0Ejercicio 65.- El transbordador espacial Atlantis describe una rbita circular a una altura de 350 km sobre la superficie de la Tierra. RTierra = 6.370 km. Calcula:

a/ Su velocidad.

b/ Su perodo de rotacin.

Sol. a/ 7.692,5 m/s. b/ 91,48 minutos

Ejercicio 66.- Calcula la velocidad que adquiere el sistema de la figura al cabo de 2 s partiendo del reposo.Sol. v = 6,46 m/s

Ejercicio 67.- Un depsito de 20 kg se mueve a una velocidad de 15 m/s por una superficie horizontal sin rozamiento. Verticalmente cae agua en el depsito con un caudal de 1 L/s. Hallar:

a/ La expresin de la velocidad del depsito en funcin del tiempo.

b/ Velocidad cuando lleva 30 L.

Sol. a/ v = 300/(20 + t). b/ 6 m/sEjercicio 68.- Subimos un cuerpo por un plano inclinado mediante una fuerza horizontal F. Si = 0,2 y la relacin de la fuerza al peso del cuerpo (F/P) es 1,5, para qu ngulo sube con velocidad constante?

Sol. ( = 45

Ejercicio 69.- En una va horizontal hay un vagn plataforma de 2000 kg. En la va hay 10 personas de 70 kg de peso medio cada una. Si estas personas van corriendo en fila india con velocidad de 3 m/s y saltan al extremo de la plataforma, calcular:

a/ La velocidad de la plataforma, si inicialmente estaba en reposo.

b/ Si sera lo mismo correr y saltar todos juntos o bien separados como en a)

c/ Razonar las mismas cuestiones si inicialmente la plataforma se mova a 2 m/s y las personas corren en sentido opuesto con v = 3 m/s.

Sol. a/ v = 0,78 m/s. b/ Igual. c/ v = - 0,703 m/s

Ejercicio 70.- Calcular la masa M y su aceleracin para que m2 no se mueva. Las masas de cuerdas y poleas son despreciables. Datos: m1 = 1 kg; m2 = 0,5 kg. Sol. a = 3,33 m/s2. M = 0,62 kg

Ejercicio 71.- Por la garganta de una polea sin masa pasa un hilo cuyos extremos estn unidos a dos masa de 2 y 5 kg respectivamente, que estn en reposo sobre el suelo. Si se consigue que la polea con los dos cuerpos ascienda con velocidad constante, calcular:

a/ La fuerza necesaria vertical y hacia arriba que tiene que actuar sobre el eje de la polea.

b/ Las tensiones de las cuerdas y la aceleracin de cada cuerpo y del CM.

Sol. a/ F = 57,1 N. aCM = -1,84 m/s2 hacia abajo.

Ejercicio 72.- En las Olimpiadas de Mxico de 1968, Bob Beamon bati el rcord mundial de salto de longitud con un salto de 8,90 m. Se afirm que la altitud de Mxico (2000 m sobre el nivel del mar) influy decisivamente en la marca. Cunto hubiera saltado a nivel del mar? RT = 6.370 km.

Sol. 8,894 m.

Problema 73.- Una persona tira horizontalmente de una cuerda que pasa por la garganta de una polea colgada de una cuerda unida a un techo. Del otro extremo de la cuerda pende verticalmente un cuerpo de masa m = 10 kg, que asciende con una aceleracin a = g/4 donde g = 9,8 m/s2. La polea y la cuerda son de masa despreciable. Se pide:

a/ Cul es la fuerza con que tira la persona?

b/ La tensin de la cuerda que sujeta a la polea y el ngulo que forma con la vertical.

Sol. a/ F = 122,5 N. b/ T = 173,24 N. ( = 45

Problema 74.- Una masa mA = 2 kg situada sobre una mesa, est unida mediante una cuerda y a travs de una polea a una masa mB = 4 kg que pende en el aire. El coeficiente de rozamiento es ( = 0,2. Calcula:

a/ La aceleracin con que se mueven.

b/ Si se repite la experiencia en el interior de un ascensor que desciende con a = 2 m/s2, calcula la nueva aceleracin que se observa en los cuerpos para un pasajero del ascensor.c/ Calcula qu relacin debe existir entre los valores de mA y mB con ( para que al subir el ascensor con cualquier aceleracin, los cuerpos se detengan en su movimiento.Sol. a/ a = 6 m/s2. b/ a = 4,8 m/s2. c/ mA( = mBProblema 75.- Una bala de masa m y velocidad v, se incrusta en un bloque de madera de masa M que se encuentra en reposo en una superficie horizontal. Como consecuencia del impacto, el bloque se desliza una distancia x hasta que se detiene. Si el coeficiente de rozamiento es , calcula:

a/ La frmula para calcular la velocidad de la bala en funcin de los datos anteriores. En una experiencia real, m = 0,1 kg, M = 5 kg, = 0,3 y x = 2 m. Calcula v.

b/ La bala es disparada por una escopeta de 5 kg .Calcula su retroceso.

Sol.: a/ = 176,67 m/s. b/ Vescopeta = 3,53 m/sProblema 76.- Calcula la fuerza gravitatoria entre un camin de 1000 toneladas y un hombre de 70 kg situados a 10 m de distancia. Calcula la fuerza que ejerce la Luna sobre cada uno de ellos.

dTierra-Luna = 380.000 km. MLuna = MTierra/81. G = 6,6710-11 Nm2/kg2. RTierra = 6,37106 mSol. Fcam-hom = 46,710-6 N. FLuna-hom = 2,3810-3 N. FLuna-cam = 34 NProblema 77.- Calcula el peso de un cuerpo de masa 70 kg en a/ la superficie de la Tierra, b/ a 100 km de altura y c/ en un punto situado a una altura igual al radio terrestre.Sol. a/ FSuperficie = 686 N; g = g0 = 9,8 m/s2. b/ F100 = 675,4 N. g = 9,65 m/s2. c/ F500 = 636,1 N. g = 9,1 m/s2. d/ FRT = 171,5 N. g = 2,45 m/s2. e/ F60RT = 0,18 N. g = 0,0026 m/s2Problema 78.- La fuerza F = 50 N acta sobre el cuerpo A durante 10 s. El sistema est inicialmente en reposo y el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es ( = 0,1. mA = 5 kg. mB = 2 kg. mC = 3 kg. Calcular:

a/ La aceleracin del sistema.

b/ Tensiones.

c/ Tiempo que tardan en pararse.Sol.: a/ a = 4 m/s2. b/ T((C = 15 N. TB(A = 25 N. c/ t = 40 sProblema 79.- El sistema est inicialmente en reposo, el ngulo del plano inclinado es (, el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es ( y las masas mA y mB. La constante recuperadora del muelle es k. Se pide:

a/ Demuestra que la aceleracin con que descienden es independiente del valor de las masas.

b/ Calcula el estiramiento del muelle.

c/ Para que valor de ( descienden con v = constante.

Sol.: a/ a = g(sen ( cos ((). b/ T = 0. c/ (= tg (

Problema 80.- El sistema est inicialmente en reposo, el ngulo del plano inclinado es de 30 y el coeficiente de rozamiento entre A y el suelo es (A = 0,1, y entre B y el suelo (A = 0,2. mA = 6 kg. mB = 2 kg.Calcular:

a/ La aceleracin con que descienden.

b/ La tensin de la cuerda.

c/ El valor del ngulo necesario para que desciendan con velocidad constante.

d/ Responde a los apartados anteriores si intercambiamos las posiciones de A y B.

Sol.: a/ a = 3,92 m/s2. b/ T = 1,284 N. c/ ( = 7,125. d/ a = 3,91 m/s2. T = 0.Problema 81.- El sistema est inicialmente en reposo y el coeficiente de rozamiento es ( = 0,1. mC = 5 kg. mB = 2 kg. mA= 3 kg. Calcular:

a/ La aceleracin del sistema.

b/ Tensiones.

Sol.: a/ a = 1,8 m/s2. b/ TA = 41 N. TC = 35,4 N

Problema 82.- El sistema est inicialmente en reposo y el coeficiente de rozamiento es ( = 0,1. mA = 5 kg. mB = 2 kg. mC = 3 kg. ( = 60. ( = 30. Calcular:

a/ La aceleracin del sistema.

b/ Tensiones.

Sol.: a = 5,355 m/s2. b/ T = 22,44 N

La Fsica aristotlica y la Fsica del sentido comnLa civilizacin griega produjo una concepcin del mundo y un sistema poltico y social que impuls a los individuos a indagar libremente sobre la naturaleza de las cosas. Los filsofos griegos creen que la razn es la va para el conocimiento sistemtico, y no los sentimientos ni las posibilidades adivinatorias, fantaseadoras o sobrenaturales de la mente humana. Esta creencia en la suficiencia de la razn para explicar el mundo, se denomina racionalismo. Utilizan un modelo axiomtico e hipottico-deductivo para la produccin de conocimientos cientficos; son sistemas de razonamiento con mecanismos de demostracin con los que, a partir de unas hiptesis que se suponen ciertas y no se demuestran, se deducen lgicamente las consecuencias. Por ejemplo, de los cinco postulados de Euclides se deducen todos los teoremas de la geometra. Por lo comn, las explicaciones racionalistas coexistieron con interpretaciones basadas en creencias mgico-religiosas; todava hoy mucha gente cree en el horscopo, o en otras formas de conocimiento irracional.Desde el principio aparecieron dos escuelas que pretenden, utilizando la razn, explicar de forma general el ser y el cambio de las cosas, basadas en distintas visiones del mundo:

1. Para unos, existe un mundo exterior objetivo e independiente del hombre, cuyos misterios podan ser dilucidados. Para ello, se utiliza la razn de forma rigurosa sobre datos de observacin. Los fsicos griegos inician esta va que prosigue a travs de los sofistas (Anaxgoras: el hombre es la medida de todas las cosas), atomistas, Aristteles que utiliza la observacin sistemtica, concluyendo con Arqumedes que llega a emplear la experimentacin como forma de interrogar a la naturaleza. A partir de entonces, y como consecuencia del cambio poltico-religioso que supone el triunfo del cristianismo en Roma, esta va fue silenciada y sustituida por verdades impuestas desde la autoridad poltico-religiosa. El mundo concreto observable y constatable y, por tanto, las necesidades materiales humanas (enfermedades, pobreza, ignorancia...) quedaba totalmente ignorado ante los dogmas de fe. El discurso religioso impona aseveraciones indiscutibles, mientras el discurso filosfico impona temas y modos de pensamiento que eran inmunes a toda crtica, a todo anlisis.

El racionalismo empirista reaparece a partir de Galileo en el S XVII, continua con el Empirismo y la Ilustracin, llegando a nuestros das en la forma que hoy llamamos Ciencia.

2. Para otros, ese mundo aparentemente objetivo era engaoso. Creen que todo conocimiento seguro procede exclusivamente de la razn, porque la informacin procedente de los sentidos est sujeta a error. Rechazan la observacin/experimentacin, no les interesa el estudio de los fenmenos, sino el conocimiento de las esencias. Tienen una visin esttica (no existe el cambio) y dualista de la realidad (est compuesta de materia y espritu). Esta corriente filosfica aparece con Parmnides y los pitagricos y pasando por Platn y el primer Aristteles es adoptada por la Iglesia y atraviesa toda la cultura occidental (dominndola totalmente hasta el S XVII) hasta nuestros das, a travs de todas las escolsticas, metafsicas, romanticismos e idealismos.

Para otros, finalmente, el conocimiento total y definitivo del mundo era una ambicin utpica, un proyecto desmedido en relacin con las escasas capacidades de la mente humana y con la vasta complejidad del mundo (el escepticismo y agnosticismo, en general). Naturalmente, no produjeron conocimientos.Los principales representantes de la primera escuela son:

* Los fsicos griegos, para explicar el cambio buscan un principio, una sustancia (arj) capaz de transformarse dando lugar a todo lo existente. Este principio era el agua para Tales, aire para Anaxmenes o fuego para Herclito. Empdocles propone los tres anteriores y adems el elemento tierra. La combinacin de los 4 elementos que se desordenaron y mezclaron primordialmente da lugar a las cosas existentes.

* Herclito: lo nico que existe es el movimiento. No te puedes baar dos veces en el mismo ro. Las cosas nacen del equilibrio en la lucha de contrarios.

* Los atomistas Leucipo y Demcrito: creen que el mundo y todas las cosas estn formadas por distintas combinaciones de vaco y tomos con formas distintas, que se agitan y transforman.

Los principales representantes de la segunda escuela metafsica son:

* Parmnides cree que slo existe el ser inmvil e inmutable. El ser es y la nada no es.

* Los pitagricos encontraron relaciones entre las frecuencias musicales, la longitud de las cuerdas vibrantes, los nmeros y las rbitas planetarias, entre la geometra y la naturaleza. Pensaron que la nica realidad, subyacente detrs de todos los fenmenos, era la numrica.

Descubrieron los cuatro slidos perfectos: tetraedro, octaedro, cubo y dodecaedro y un quinto el icosaedro, que mantuvieron en secreto. Buscando la realidad numrica, asimilaron los cinco slidos perfectos a los cinco planetas. Posteriormente, la cosmogona aristotlica llev la analoga a los cinco elementos, los cuatro de Empdocles ms uno muy sutil que es elemento del mundo celeste, la quintaesencia, y lo llamaron ter.

* Platn es heredero de los pitagricos. La realidad son las Formas y la geometra es la ciencia pura. En la puerta de su Academia escribi: Slo apto para los gemetras. Crea que el mundo real no es el de la vida cotidiana, porque los datos de nuestros sentidos son como la visin de sombras sobre la pared oscura del fondo de una caverna, imagen degradada de la realidad resplandeciente y pura del mundo de las ideas del exterior de la cueva. Si la informacin que nos suministran nuestros sentidos es engaosa, no podremos extraer informacin veraz de los hechos observables; por tanto, no sirve de nada el mtodo experimental (disear y medir empricamente para estudiar los problemas de la naturaleza). Para l, el mtodo cientfico no es til. Es mejor utilizar la razn para obtener conocimientos seguros.

Aristteles es el ltimo gran representante de la segunda escuela en el mundo griego, pero hace un esfuerzo de adaptacin de las teoras platnicas a las evidencias de los sentidos. Para l, la Tierra est en reposo en el centro del universo. Est formada por una esfera de piedra (tierra) rodeada de capas concntricas ms exteriores de agua, aire y fuego. Ms all se encuentra de mundo celeste, con las esferas de cristal de roca (orbes) que sustentan a la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas. Es el lugar de la perfeccin, de lo inmutable y eterno. Y en ese lugar, el movimiento de los planetas es circular y uniforme, el ms natural y perfecto posible.

En la regin sublunar se ha producido una mezcla primordial de los elementos. Como consecuencia toda esta regin es la zona de lo contingente, est sujeta a los cambios, a la degeneracin y a la muerte. Este proceso continuar hasta que se alcance el equilibrio, y cada cosa encuentre su lugar natural.

La Qumica para Aristteles: los elementos se pueden transformar unos en otros; cada uno de ellos aporta propiedades (seco/hmedo, caliente/fro) segn la cantidad que hay en cada cuerpo. En esta concepcin de mezclas de esencias o propiedades, se basa la idea medieval de fabricar oro (metal amarillo) mezclando la esencia amarilla del azufre con la metlica del mercurio. Hoy, con la teora atmica, esta hiptesis parece irracional; sin embargo, es una analoga con la experiencia comprobada en el campo de la biologa de la mezcla de los caracteres genticos en la reproduccin de los seres vivos: los hijos poseen mezclas de los caracteres de los padres.

En su Fsica, Aristteles explica el movimiento natural de los cuerpos con la hiptesis de que lo igual tiende a lo igual. La tendencia natural de las piedras es la de caer hacia abajo (donde est su lugar natural: la esfera de tierra) debido a su propiedad de gravedad, quedando en reposo al llegar al suelo, que es el estado al que naturalmente llegan todos los cuerpos; por el contrario, el vapor de agua, el humo o el fuego ascienden en busca de su esfera natural debido a su propiedad de levedad. Parece deducirse que cuanto mayor masa (y por tanto gravedad) tenga un cuerpo con ms rapidez caer a tierra.

La Fsica aristotlica superpone a las teoras platnicas una observacin superficial de los fenmenos. No mide ni comprueba sus afirmaciones (muchas son falsas); son una visin intuitiva de los fenmenos tan cercana a la del sentido comn de las personas, que como se podr comprobar en las pruebas siguientes, resultar muy difcil para los estudiantes cambiar su paradigma mecnico aristotlico por el newtoniano.

Prueba de preconceptos aristotlicos1.- Explicar que se necesita para que un cuerpo permanezca en movimiento.

2.- Indicar cules de los siguientes movimientos pueden considerarse "naturales" y cules "forzados" o "violentos": a/ Cada libre de una piedra en el aire. b/ Movimiento ascendente de las rocas arrojadas por un volcn. c/ Descenso de un globo del que se tira hacia abajo mediante un cable. d/ Ascensin del humo. e/ Giro de la Luna alrededor de la Tierra.

3.- Se dejan caer dos cuerpos simultneamente, desde la misma altura y sin velocidad inicial. Si sus masas son distintas y no hay rozamientos, qu puede decirse de los tiempos respectivos de llegada al suelo?

4.- Sealar las diferencias y semejanzas existentes entre los movimientos de los objetos terrestres (situados en la superficie de la Tierra o en sus proximidades) y el de los cuerpos celestes como la Luna.

5.- Comenta: Las fuerzas son las causas de los movimientos de los cuerpos.

6.- El viga de un barco se deja caer el catalejo desde lo alto del palo mayor. Cae siempre en cubierta? Cmo se debe mover el barco para que caiga en el mar?

7.- Da alguna prueba de la rotacin diaria de la Tierra. Si rota, por qu al hacer un tiro vertical el proyectil cae en el mismo sitio del disparo, y no en otro punto de la superficie de la Tierra? Por qu al rotar no se queda atrs la atmsfera y no se notan fuertes vientos en la superficie?

8.- Aristteles deca que, cuando un cuerpo se mueve, existe un motor (una causa eficiente) que lo ha movido. Este motor es movido por otro, por lo que sucesivamente hemos de remontarnos a un primer motor inmvil (una causa final) causa de todos los movimientos, que los Escolsticos identifican con Dios. Qu opinas t de todo esto?

9/ El nio lanza verticalmente una pelota que al subir pasa por el punto A, al llegar a B, punto ms alto, se detiene momentneamente y luego al bajar, pasa por C.

a/ En el punto A, cuando la pelota sube, qu dibujo corresponde a las fuerzas sobre la pelota?

b/ En el punto B, con la pelota momentneamente en reposo, qu dibujo corresponde a las fuerzas sobre la pelota?

c/ En el punto C, cuando la pelota baja, qu dibujo corresponde a las fuerzas sobre la pelota?

10/ La Luna gira en torno a la Tierra con velocidad constante en una rbita circular. Qu dibujo representa a las fuerzas que actan sobre la Luna?

m

(

F

A

B

0

Fm2

x2

P2

P1

x1

Fm1

Estirado

Comprimido

Relajado

0

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

R

O

(

(

EMBED EQUATION

m

Oi

Oni

EMBED EQUATION

EMBED EQUATION

EMBED EQUATION

h = 3 m

R

r

vA

vB

vC

m

EMBED EQUATION

EMBED EQUATION

m1

m2

xCM

x1

x2

CM

m2

x1

x2

xCM

x3

CM

y1

yCM

y2

y3

m1

m3

M

O

m

r

EMBED EQUATION

EMBED EQUATION

Tierra

1 kg

EMBED Equation.3

1 kg

EMBED Equation.3

h

O

RT

EMBED EQUATION

O

d

EMBED EQUATION

EMBED EQUATION

P

(

(

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

O

EMBED Equation.3

d

2 m

A

6 m

B

x

4 - x

60

m

M

F

L

R

(

F

1

2

m1

m2

a

m

M

v

F

m2

m1

30

m

Tierra

r = RT + h

Luna

5 kg

8 kg

37

( = 0,2

M

m2

m1

P1

P2

F

F

(

mA

mB

F

A

B

C

A

B

A

B

C

B

A

A

B

1

2

3

4

5

iguales

1

2

3

4

5

iguales

fuerza nula

1

2

3

4

5

fuerza nula

5

4

3

2

1

(

(

PAGE 121Leccin 8. Dinmica

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