13_1 - Estabilidade - Funcao de Tranf e Espaco de Estado

Introduo - EstabilidadeO Conceito de Estabilidade

Anlise de Estabilidade via Funo de Transferncia Anlise de Estabilidade via Espao de Estado

Aula 9

Carlos AmaralCristiano Quevedo Andrea

UTFPR - Universidade Tecnolgica Federal do ParanDAELT - Departamento Acadmico de Eletrotcnica

Curitiba, Abril de 2012.

UTFPR - DAELT Sistema de Controle



Resumo

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Introduo - Estabilidade

O Conceito de Estabilidade

Anlise de Estabilidade via Funo de Transferncia

Anlise de Estabilidade via Espao de Estado




Assegurar a estabilidade em malha fechada questo central no projeto de sistema de controle, Um sistema estvel deve apresentar uma sada limitada para uma dada entrada limitada, A estabilidade de um sistema relaciona-se com as razes da equao caracterstica da funo de transferncia do sistema, O mtodo de Routh-Rorwitz introduzido como ferramenta til na determinao de estabilidade de sistemas.




Do ponto de vista prtico, sistema instveis no tem utilidade, logo, projeto em sistemas de controle devem resultar sistemas estveis em malha fechada, Algumas plantas so instveis em malha aberta. Entretanto, utilizando a realimentao, pode-se estabilizar estes sistemas. Para plantas estveis em malha aberta utiliza-se a realimentao para atingir desempenho em regime transitrio e em regime permanente. Analisando-se sistemas realimentados, pode-se dizer se eles so estveis ou no. Este tipo de caracterizao estvel/no estvel denominado de estabilidade absoluta, Dado um sistema estvel em malha fechada, possvel caracterizar adicionalmente o grau de estabilidade e isto referido como estabilidade relativa.




O conceito de estabilidade pode ser ilustrado pela figura abaixo:

Deslocando ligeiramente o cone ilustrado em (a), o mesmo volta a sua posio de equilbrio, neste caso os sistema estvel, Em (b), deslocando-se o ligeiramente o cone, ele gira sobre sua geratriz e deste modo se deslocando de sua posio original. Neste caso dito que o sistema tem estabilidade neutra, Em (c), se o cone for abandonado ele cai para um dos lados. Neste caso o sistema dito ser instvel.




A estabilidade em sistemas dinmicos semelhante ao caso do cone, Especificamente, segue-se da definio de estabilidade que um sistema linear se e somente se o valor absoluto da resposta impulsional, g(t ), integrada sobre uma faixa infinita for finita,

|g(t)|dt Finita

A localizao dos plos de um sistema no plano s indica a resposta transitrio resultante, Plos no semiplano s esquerdo resultam em respostasdecrescentes a perturbaes de entrada, De modo semelhante, plos simples sobre o eixo j e no semiplano da direita resultam em respostas neutras e crescentes respectivamente, a uma perturbao de entrada.




ESTABILIDADE NO PLANO s

EXEMPLO - SISTEMA PASSOU DE ESTVEL PARA INSTVEL




Uma funo de transferncia de malha fechada pode ser descrita como:

sendo q(s) = (s) = 0 a equao caracterstica cuja as razes so plos de malha fechada do sistema. A resposta a uma entrada impulso, considerando N = 0 dada da seguinte forma,




Note na expresso anterior que k so os plos do sistema de malha fechada. Deste modo, uma condio necessria e suficiente para um sistema com realimentao ser estvel que todos os plos da funo de transferncia do sistema tenha parte real negativa.

Um sistema estvel se todos os plos estiverem no semiplano s esquerdo,

Caso o sistema possua plos no semiplano s direito, ento, serdenominado de instvel, Se a equao caracterstica possuir razes simples sobre o eixo imaginrio com todas as outras razes no semiplano s esquerdo, a sada em regime permanente ter oscilaes mantidas para uma entrada limitada. Neste caso, se a entrada for senoidal com frequncia igual a magnitude das razes no eixo j, a sada ser instvel.

O sistema do item anterior denominado de marginalmente estvel, uma vez que somente certas entradas limitadas faro a sada ser ilimitada.




O sistema dito instvel se possuir raiz no semiplano s direito ou possui razes j repetidas,

Considere o sistema SISO (Single Input Single Output) descritoa seguir:

sendo g(t ) a resposta impulsiva. Uma entrada u(t ) dito limitada se

|u(t)| um < .

BIBO (BOUND INPUT BOUND OUTPUT) ESTABILIDADE Um sistema dito BIBO estvel se para toda entrada limitada aplicada existe uma sada limitada correspondente. Esta estabilidade somente definida para resposta ao estado zero e aplicvel somente se o sistema est inicialmente relaxado.




TeoremaO sistema SISO descrito em (1) BIBO estvel se e somente se g(t ) absolutamente integrvel em [0, ), ou

sendo M uma constante.

TeoremaSe o sistema com resposta impulsiva g(t ) BIBO estvel, ento, quando t ,

1 A sada resultante por u(t ) = a, para t 0, se aproxima de G(0)a,sendo G(s) a transformada de Laplace de g(t ).

2 A sada resultante por u(t ) = sen(0t ), para t 0, se aproxima de

|G(j0)|sen(0t + G(j0)).




TeoremaUm sistema SISO com funo de transferncia prpria, G(s), BIBO estvel se e somente se todos os plos de G(s) tem parte real negativa ou equivalentemente pertena ao semiplano s esquerdo.

Em geral, para analisar a estabilidade em sistemas descritos na forma de funo de transferncia temos que encontrar as razes do polinmio caracterstico. Neste contexto, quando o polinmio tem grau 2 ou 1, o clculo da raiz simples. Entretanto quando o grau do polinmio aumenta torna-se complicado encontrar as razes por mtodos analticos, e deste modo analisar a estabilidade nestes casos. Assim, para estas situaes, o critrio de estabilidade de Houth-Horwitz uma ferramenta muito importante. No critrio de estabilidade de Houth-Horwitz no necessrio calcular as razes do polinmio caracterstico no processo de anlise de estabilidade em sistemas dinmicos.




CRITRIO DE ESTABILIDADE DE HOUTH-HORWITZ Considere a equao caracterstica de um sistema,

(s) = q(s) = ansn + an1sn1 + + a1s + a0 = 0. (2)

Reescrevendo-se (2), temos,

an(s r1)(s r2) (s rn) = 0. (3)

Aplicando a propriedade distributiva em (3), obtm

ansn an(r1 + r2 + + rn)sn1 + an(r1r2 + r2r3 + r1r3 )sn2+an(r1r2r3 + r1r2r4 )sn2 + + an(1)nr1r2r3 rn = 0. (4)

Analisando (4) observamos que todos os coeficientes dopolinmio devem ter o mesmo sinal se todos as razesestiverem no semiplano s esquerdo.




Ainda, em (4) necessrio para um sistema estvel que todos os coeficientes sejam no-nulos. Os dois requisitos citados anteriormente so necessrios, mas no suficiente. O critrio de estabilidade de Houth-Horwitz uma metodologia necessria e suficiente para analisar a estabilidade em sistemas dinmicos lineares. Considere a equao caracterstica dada por:

A equao acima pode ser descrita na forma tabular do seguinte modo,




sendo,

OCRITRIO DE ROUTH-RORWITZ ESTABELECE QUE O NMERO DE RAZES DE q(s) COM PARTE REAL POSITIVA IGUAL AO NMERO DE TROCA DE SINAIS DA PRIMEIRA COLUNADA TABELA DE ROUTH.




Exemplo:

OCRITRIO DE ROUTH-RORWITZ ESTABELECE QUE O NMERO DE RAZES DE q(s) COM PARTE REAL POSITIVA IGUAL AO NMERO DE TROCA DE SINAIS DA PRIMEIRA COLUNADA TABELA DE ROUTH.




CASO 1 - NENHUM ELEMENTO NULO NA PRIMEIRA COLUNA




CASO 2 - ZEROS NA PRIMEIRA COLUNA ENQUANTO ALGUNS DOS OUTROS ELEMENTOS DA LINHA QUE CONTM UM ZERO NA PRIMEIRA COLUNA SO NO NULOS




CASO 3 - ZEROS NA PRIMEIRA COLUNA, E OS OUTROS ELEMENTOS DA LINHA QUE CONTM ZERO SO TAMBM IGUAIS A ZERO

O Caso 3 ocorre nas seguintes situaes: q(s) = (s + )(s ) ou q(s) = (s + j)(s j).

Este problema e contornado utilizando o polinmio auxiliar. Considere o sistema de terceira ordem,




Quando K = 8 o sistema marginalmente estvel, isto , possui duas razes sobre o eixo j. Neste caso, este exemplo se enquadra no caso 3, em outras palavras, existe uma linha com zeros na tabela de Routh. O polinmio auxiliar, U(s), a equao que precede a linha de zeros. Assim,

CASO 4 - EQUAO CARACTERSTICA COM RAZES REPETIDAS NO EIXO jConsidere o seguinte polinmio caracterstico,




sendo 0. Observe a ausncia da troca de sinal, o que uma condio que indica falsamente que o sistema marginalmente estvel. O polinmio auxiliar da linha s1 (s2 + 1) e o polinmio auxiliar da linha s3 (s4 + 2s2 + 1) = (s2 + 1)2, indicando razes repetidas sobre o eixo j, logo o sistema instvel.




Exemplo Entrega: Considere o seguinte sistema de controle.

qual a relao entre K e a para que o sistema ilustrado acima seja estvel? Resp:

a (60K)(K +6) 36K

(5)




ESTABILIDADE RELATIVA DE SISTEMAS DE CONTROLE COM REALIMENTAO

A verificao da estabilidade via critrio de Routh-Hurwitz fornece apenas uma resposta parcial a questo de estabilidade. Caso o sistema seja estvel, necessrio verificar a estabilidade relativa, isto , necessrio investigar o amortecimento relativo de cada uma das razes da equao caracterstica.




Na Figura ilustrada a seguir, a raz r2 mais estvel do que as razes r1 e r1.




Deslocamento de EixosConsidere:

q(s) = s3 + 4s2 + 6s + 4 Seja sn = s + 2. Neste caso o arranjo de Routh no obtm ocorrncia de zeros na primeira coluna. Entretanto para o caso de sn = s + 1 tem-se:




Considere o sistema descrito na forma de espao de estado,

x (t ) = Ax (t ) + Bu(t )

y (t ) = Cx (t ) + Du(t ) (6)

com funo de transferncia dado por,

G(s) = C(sI A)1B + D

ou

G(s) = 1

det(sI A) C [adj (sI A) B] + D


(7)



O sistema descrito em (6) possui a seguinte soluo,

Resposta a Entrada Zero | {z } Resposta ao Estado Zero

Neste caso a anlise de estabilidade realizada da seguinte maneira:

Considerando a Resposta a Entrada Zero (estabilidade interna):

Marginalmente estvelAssintoticamente estvel

Considerando a Resposta ao Estado Zero (estabilidade externa):

BIBO estabilidade




ESTABILIDADE INTERNA Considere o sistema relaxado descrito como:

x (t ) = Ax (t ) (8)

O sistema descrito em (8) marginalmente estvel se todas os autovalores de A tem parte real negativa ou nula. Sendo as razes com parte real nula raiz simples do polinmio mnimo de A. Por outro lado, o sistema (8) assintoticamente estvel se todos os autovalores de A tem parte real negativa.

ESTABILIDADE EXTERNA Foi visto que cada plo de G(s) tambm um autovalor de A. Assim, se todo autovalor de A tem parte real negativa, ento todo plo de G(s) tem plo com parte real negativa e assim (6) BIBO estvel.




OUTRA INTERPRETAO DE ESTABILIDADE


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