1.3. PROPORCIONALIDAD

DIBUJO TÉCNICO IBLOQUE 1: TRAZADOS GEOMÉTRICOS

_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS

1. PROPORCIONALIDAD ENTRE SEGMENTOS: CONCEPTOS FUNDAMENTALES. EL TEOREMA DE TALES Y SU APLICACIÓN PRÁCTICA: CÁLCULO GRÁFICO DEL CUARTO, TERCERO Y MEDIO PROPORCIONAL. TEOREMAS DE LA ALTURA Y EL CATETO.

1.1.PROPORCIONALIDAD ENTRE SEGMENTOS: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

CONCEPTO DE PROPORCIONALIDADDos magnitudes son proporcionales cuando existe cualquier relación entre ellas, y esta relación es constante (K)En proporcionalidad existen tres conceptos importantes:

Razón: relación establecida entre dos magnitudes, a/b=k Términos: las dos magnitudes comparadas, a y b Proporción: es la igualdad de dos razones, a/b=c/d

Dada una proporción a/b=c/d, los segmentos a y d son extremos y los segmentos b y c son medios.

PROPORCIONALIDAD DIRECTASon las que aumentan o disminuyen guardando la misma relación. Esto se puede expresar también diciendo que dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando el cociente de valores a y b es constante. A ese cociente lo denominamos razón.

Se puede expresar:a1/b1= a2/b2= a3/b3=…=k

donde a y b , c y d son directamente proporcionales

Si a y b son iguales k=1.

PROPORCIONALIDAD INVERSASon aquellas en las que cuando una aumenta la otra disminuye en la misma proporción. Esto se puede expresar también, diciendo que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando varían manteniendo su producto constante. A ese producto se le llama razón.

Se puede expresar: a1 a2 a3

------- = -------- = -------- =...=k; a1·b1= a2·b2= a3·b3=…=k1/b1 1/b2 1/b3

donde a y b , c y d son inversamente proporcionales

PROPORCIÓN CONTINUASe denomina proporción continua a aquella en la que los medios o los extremos se repiten, como:

a/b=b/c

siendo consecuente en la primera razón y antecedente en la segunda.

1


_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS1.2. EL TEOREMA DE THALES Y SU APLICACIÓN PRÁCTICA

EL TEOREMA DE THALESEl Teorema de Thales dice:

Los segmentos determinados por un haz de rectas paralelas interceptadas en su intersección con rectas concurrentes, son directamente proporcionales

Si las rectas paralelas son equidistantes, los segmentos comprendidos sobre cada recta son iguales:

Si las rectas paralelas no son equidistantes, los segmentos comprendidos sobre cada recta son directamente proporcionales:

APLICACIÓN PRÁCTICA1. División de un segmento en un número cualquiera de partes iguales

2. División de un segmento en partes proporcionales a otros dados

2


_______________________________________________________________________________________________


3. Segmento cuarto proporcional a otros tres dadosDados tres segmentos a, b y c, se llama cuarto proporcional al segmento x que verifica la proporción: b·c

a/b= c/x ; x= --------- a

Aplicación del segmento cuarto proporcional.- Si a=1, tenemos x=b·c, por lo que con esta construcción podemos calcular el producto de dos segmentos.

4. Segmento tercero proporcional a otros dos dados

3


_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALASDados dos segmentos a y b, se llama tercero proporcional a otro segmento x, tal que: b2

a/b=b/x; x= --------- a

Aplicación del segmento tercero proporcional- Determinar el cuadrado de un segmento. Esta construcción es análoga a la anterior haciendo que el primer segmento sea la unidad: si a=1, entonces 1/b=b/x se puede expresar x=b2

5. Media proporcional de dos segmentosEl segmento media proporcional de dos segmentos es otro segmento x que cumple la siguiente proporción:

a/x= x/b; x2=a·b

El segmento media proporcional podemos hallarlo:- aplicando el teorema del cateto- aplicando el teorema de la hipotenusa- por potencia de un punto respecto de una circunferencia

Teorema del cateto

4


_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALASUn cateto es el segmento media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Teorema de la alturaLa altura sobre la hipotenusa es la media proporcional entre los segmentos en que la divide

Aplicación del segmento media proporcional- Determinar la raíz cuadrada de un segmento. Esta construcción es análoga a la anterior haciendo que el primer segmento sea la unidad: si a=1, entonces a=x; a=x·x; 1·a=x·x; 1/x=x/a

5

Trazado:

Sobre una recta llevamos los segmentos uno a continuación del otro, y dibujamos la semicircunferencia de a+b. Por P levantamos la perpendicular al diámetro que al cortar, que al cortar a la curva en C, determina la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo ACB, que es el medio proporcional buscado x.

Trazado:

Sobre el segmento mayor a, llevamos el menor b, y dibujamos una semicircunferencia de diámetro igual al segmento a.Levantamos la perpendicular por P, y al cortar cotar a la curva en C nos determina un triángulo rectángulo ACB, cuyo cateto AC es el medio proporcional buscado x.


_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS2. SEMEJANZA. CONCEPTO Y CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS SEMEJANTES.

CONCEPTO DE SEMEJANZADos figuras son semejantes cuando sus ángulos son iguales y sus lados proporcionales. Cada punto de ellas tiene su correspondiente en la otra.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS SEMEJANTES1er procedimiento: a partir de un punto exteriorConstrucción de un polígono semejante al dado ABCDE, siendo la razón de semejanza 3/5

2er procedimiento: a partir de un vértice de la figuraConstrucción de un polígono semejante al dado ABCDE, siendo la razón de semejanza 2/3

6


_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS3er procedimiento: método de la cuadrícula

7


_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS3. ESCALAS. CONCEPTO, CONSTRUCCIÓN Y APLICACIONES PRÁCTICAS

La superficie limitada de los formaos empleados en los dibujos, no permite la representación de los objetos a su tamaño real, en unos casos habrá que reducir las dimensiones y en otros casos ampliarlas.

Por ello utilizamos las escalas, que no es más que la aplicación práctica del concepto de proporción.

CONCEPTO DE ESCALAEs la relación entre la longitud de un segmento dibujado y la longitud de ese mismo segmento en la realidad.Se representa mediante una E seguida de una fracción, de manera que el numerador indica el tamaño del dibujo y el denominador la longitud real del objeto:

Escala= ; E=

- Puede expresarse en forma de fracción:7/10

- Puede indicarse con una expresión decimal:0,7

- O mediante el porcentaje del aumento o disminución:70%

CLASES DE ESCALAS-Escala natural: las medidas del dibujo son iguales que las reales. En la escala natural el numerador y el denominador de la expresión fraccionada son iguales:

1/1-Escala de reducción: el dibujo es más pequeño que el objeto. En la escala de reducción el numerador de la expresión fraccionada, es más pequeño que el denominador:

1/2; 1/3; 1/5….-Escala de ampliación: el dibujo es más grande que el objeto. En la escala de ampliación el numerador de la expresión fraccionada, es más grande que el denominador:

2/1; 3/1; 5/1…

ESCALAS NORMALIZADASExisten escalas normalizadas, con el objetivo de que exista una fácil comprensión en el intercambio de dibujos:ESCALAS DE REDUCCIÓN ESCALA NATURAL ESCALA DE AMPLIACIÓN

1/5 50/11/50 5/11/500

1/5.0001/50.000

1/11/2 20/1

1/20 2/11/200

1/2.0001/20.000

1/10 10/11/100

1/1.0001/10.000

8


_______________________________________________________________________________________________


ESCALAS GRÁFICASAunque para la aplicación de una escala bastaría con utilizar la fórmula arriba indicada, es mucho más práctico, construir una escala gráfica que nos permita utilizarla a modo de regla.

CONSTRUCCIÓN DE ESCALAS GRÁFICASEl mejor modo de comprender su realización y construcción es a través de un ejemplo práctico.

Ejemplo práctico:Vamos a emplear la escala de reducción 1/5

1. Reducimos la fracción a su expresión decimal:

E=1/5= 0,2

2. De las fracciones equivalentes tomamos una que sea manejable:

0,2 = 0,2/1 = 2/10 = 20/100

Esto quiere decir:Dibujo Realidad 0,2 1 2 10 20 100

3. Sobre una recta llevamos segmentos de 20mm numerándolos de 100 en 100, dejando el primero sin numerar, y dividimos el primer segmento en diez partes para realizar la contraescala:

4. Medimos a escala 1/5 un segmento que mide 120mm:

Medida real Medida a escala 1/5= 120mm = 24mm

= 360mm = 75mm

9


_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALASEjercicio de aplicación: Dibujar la escala gráfica de 3/5 y medir sobre ella un segmento de 125mm

1


_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALASESCALA INTERMEDIAEn ocasiones se necesita transformar un dibujo realizado a escala 1/20, por ejemplo, y se quiere, a la vez, volverlo a hacer a escala 1/25. Existirá entre las dos escalas antedichas una intermedia. Siempre en estos casos, podemos aplicar que:

Ef = Ed·Eief = escala final.ed = escala del dibujo.e i = escala intermedia.

Por tanto, en este caso, se tendrá:

Ei = Ef/Ed = 1/25 : 1/20 = 4/5.

Luego, al dibujo dado (a escala 1/20) tendríamos que aplicarle una escala de reducción 4/5 para obtener el dibujo deseado (a escala 1/25).

11


_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALASEjercicio de aplicación: Dibuja las vistas necearias para la representación de la pieza dada en perspectiva isométrica, a la escala indicada sin tener en cuentqa el coeficiente de reducción.

1


_______________________________________________________________________________________________

U.D. 3. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALASNOTA.- Algunas designaciones, así como los dibujan se deben completar en las clases.

BIBLIOGRAFÍA

-Dibujo Técnico 1, editorial EDITEX, 1º Bachillerato, Jon Arrate, Francisco Javier Gutiérrez,

José Ramón Gutiérrez, Gaspar Regato

-Trazado Geométrico, Mario Gonzáles Monsalve y Julián Palencia Cortés.

13

1.3. PROPORCIONALIDAD

Documents

Transcript of 1.3. PROPORCIONALIDAD