ECUACIONES ODE y DAE

Tema 2

Indice

z Introduccinz Clasificacin de ecuaciones DAEz Linealizacin de DAEsz Indices de DAEszMtodos numricos de ODEs y DAEsz Softwares de resolucin de ODEs y

DAEs

Introduccin

Etapas a seguir en el proceso de modelado:

1. Descomposicin de sistemas en subsistemas.

2. Aplicacin de leyes de conservacin (masa, momento, energa,) en cada subsistema y ecuaciones constitutivas de cada elemento.

3. Obtencin de ecuaciones diferenciales.4. Programacin de ecuaciones a travs de

software apropiado (SIMULINK, Modelica,)

Introduccin

z Modelado de Sistemas dinmicos conduce a ecuaciones diferenciales-algebraicas de dos tipos:

z 1. Ecuaciones ODE

en forma explicita, f no lineal en general.

0)0( ),( xxtxfdtxd ==

Motor de CC

Introduccin

z 2. Ecuaciones DAE

en forma implicita, F no lineal en general.

z Ecuaciones ODE caso particular de ecuaciones DAE,

z En general si existe

Ground1

R=R

1

Resistor1

C=C

1

Capacitor1

C=C

2

Capacitor2

SignalVoltag... R=R2

Resistor2

0)0( 0),,( xxtdtxdxF ==

Circuito Elctrico

),( entonces , txgdtxd

xF =

Introduccin

z La integracin de ecuaciones ODE se realizar por aplicacin de los mtodos numricos estandar (Euler, Trapezoidal,RK,)

z La integracin de ecuaciones DAE ofrece mayor dificultad. Precisan de tratamiento particular para aplicar mtodos de ODE.

Ecuaciones del Varactor

Introduccin

Introduccin

z Es habitual encontrar sistemas fsicos definidos por DAEs:

z 1. Circuitos elctricos y mecanicos con ligaduras

z 2. Anlisis de perturbaciones en sistemas ODE

Introduccin

z 3. Optimizacin de sistemas dinmicos

z 4. Ecuaciones de Euler-Lagrange

entre los ms frecuentes.

Clasificacin de Ecuaciones DAE

z Las diferentes tipos de ecuaciones DAE son en general casos particulaes de la forma implcita general

z I. DAE Implicita Lineal (Cuasi-Lineal)

z II. DAE en forma de Perturbacin Singular

Clasificacin de Ecuaciones DAE

z III. DAE Semiexplcita

caso particular de II con = 0.

z IV. DAE Lineal

Linealizacin de DAEs

z Suponen un mtodo para la resolucin de DAE empleando formas linealizadas en torno a t = tj

z Aproximacin por

z si E es regular (existe inversa) entonces tenemos una ODE.

0)0( 0),,( zztzzF ==&

Indices de DAEs

z Para el caso general

el ndice diferencial m es el numero de derivaciones requeridas para obtener la solucin en forma de ODE explicita

z Para obtener despejada es necesario derivar m veces la entrada.

z&

Indices de DAEs

z El indice diferencial indica la dificultad en la resolucin de la DAE.

z Para el caso semiexplcito se puede tambin obtener la solucin en forma de ODE explicita en funcin del indice diferencial

z 1. Indice m = 0

Resolucin directa de la DAE que es en realidad una ODE

Indices de DAEs

z 2. Indice m = 1

Derivando una vez

y en caso de que sea regular

Indices de DAEs

z 2. Indice m = 2

Derivando dos veces, y en caso de

y en caso de que sea regular

Indices de DAEs

z Asociado a la transformacin de DAE a ODE aparece el establecimiento de condiciones iniciales

z 1. Indice m = 1

para x =x(0), y =y(0)

z 2. Indice m = 2

para x =x(0), y =y(0)

Mtodos Numricos de ODEs y DAEs

z Son mtodos aproximativos debido a errores de discretizacin y redondeo.

z Mtodos Numricos para ODEs

z El objetivo de los mtodos numricos de integracin es obtener, a partir de un sistema continuo expresado mediante el sistema de ecuaciones diferenciales ODE de primer orden en espacio de estado

una secuencia de valores del vector de estado que aproximan la solucin del sistema de ecuaciones anterior, siendo el intervalo de integracin y f no lineal en general.

),( txfdtxd =

)(,),(),( 21 itxtxtx K

1= ii tth

Mtodos Numricos de ODEs y DAEs

z Es comn a todos estos mtodos la resolucin del sistema de ecuaciones diferenciales por integracin entre los puntos y segn

z En funcin de la aproximacin de f en el intervalo de integracin surgen los diferentes mtodos de integracin.

rit 1+it

+

+

=11

)()(

)(

i

ri

i

ri

t

t

tx

tx

dttfxd

+

+= +1

)()()( 1i

ri

t

trii dttftxtx

Mtodos Numricos de ODEs y DAEs

z Los mtodos de integracin se clasifican en explcitos (forward) e implcitos (backward), en funcin de la dependencia de

z Ejemplo:

)( 1+itx

xdtdx =

iii x

hxx =+1

1)1(1