08 ODE 2014

7/21/2019 08 ODE 2014

1/24

Juan Manuel de Rosas 325 Tel/Fax (+54 3755) 422 179 422 170 www.fo!e"a.una#.edu.a" e$#al% fa&n'fo!e"a.una#.edu.a"*330 ,!e"- Msones "'enna

Universidad Nacional de Misiones

SOLUCIN NUMRICA DE PROBLEMASDE VALOR INICIAL

Dr. Ing. Aldo Luis Caballero MSc. Ing. Corina Feltan

ltima versin: septiembre de 2014

El problema de Cauchy

Como es bien conocido, muchos problemas de ingeniera tratan con fenmenos o

procesos que pueden representarse o modelarse matemticamente mediante una

ecuacin diferencial ordinaria de primer orden:

),(' xtfx = !1"

#onde x$ es la derivada primera de xrespecto de t%

&l denominado problema de Cauch' consiste en hallar la funcin x ( x!t" que

satisface la ecuacin diferencial !1" ' la condicin inicial x!t0" ( x0%

)tros problemas, se modelan mediante ecuaciones diferenciales de orden n:

],,",',,[ )1n()n( = xxxxtfx K !2"

*iendo x!n"la derivada de orden n de xcon respecto a t%

&n este caso el problema es hallar la solucin x( x!t" que satisface la ecuacin

diferencial !2" ' las condiciones iniciales x!t0" ( x0, x$!t0" ( x$0, x+!t0" ( x+0, %%% , x!n1"

!t0" ()1n(

0

x %

7/21/2019 08 ODE 2014

2/24

SOLUCIN NUMRICA DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" (

-ambi.n se presentan, con bastante frecuencia, situaciones en las que se

requiere resolver un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden:

( )

( )

( )

=

=

=

n21pn

n2122

n2111

,,,,'

,,,,'

,,,,'

xxxtfx

xxxtfx

xxxtfx

K

M

K

K

!/"

ara el que se necesita hallar las funciones x1!t", x2!t", %%% , xn!t" que satisfacen

simultneamente las n ecuaciones diferenciales !/" con sus respectivas

condiciones iniciales x1!t0" ( x1!0", x2!t0" ( x2!0", %%% , xn!t0" ( xn!0"%

na ecuacin diferencial de orden n puede reducirse a un sistema de n

ecuaciones diferenciales de primer orden mediante sustitucin de variables% &sto

puede verificarse llevando a cabo en !2" los siguientes reemplaos:

1xx= , 2' xx= , 3" xx = , %%% , n)n( xx = !4"

&s mu' simple comprobar as que las e3presiones !2" ' !/" son equivalentes%

&n definitiva, cualquier problema de sistemas de ecuaciones diferenciales

ordinarias de cualquier orden puede reducirse a otro sistema de ecuaciones

diferenciales de primer orden realiando la sustitucin de variables que seaconveniente%

*i bien ha' m.todos que permiten hallar la solucin analtica e3plcita de

ecuaciones diferenciales com5nmente denominada solucin exacta, esos

procedimientos son bastante limitados ' no permiten resolver las ecuaciones que

se presentan en la ma'ora de los problemas reales de ingeniera% &n estos casos

resultan realmente importantes las t.cnicas num.ricas%

Soluc+,- -um.r+ca por med+o de la /er+e de #aylor

&l desarrollo en serie de -a'lor de la funcin x!t" alrededor de t( t0, considerando

hasta el t.rmino de orden m61, es:

)(!1)(m

)()("

!2

)()('

!1

)()()( 0

)1m(

1m

0

0

2

0

0

0

0 txtt

txtt

txtt

txtx ++

+

++

+

+= K !7"

*i se tiene en cuenta la !1" la e3presin precedente puede escribirse como:

7/21/2019 08 ODE 2014

3/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" 0

),(!1)(m

)(),('

!2

)(),(

!1

)()()( 00

)m(

1m

0

00

2

0

00

0

0 xtftt

xtftt

xtftt

txtx +

++

+

+=

+

K !8"

9aciendo las sustituciones:

00 )( xtx = !"

htt = )( 0 !;"

),(!1)(m

)(),('

!2

)(),(

!1

)(),,( 00

)m(1m

0

00

2

0

00

0

m xtftt

xtftt

xtftt

hxtT +

++

+

=

+

K !

7/21/2019 08 ODE 2014

4/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" *

t?61( t?6 h se calcula seg5n:

),,( &&m&1& hxtTxx +=+ !1/"

)bs.rvese que en este planteamiento se ha tomado el desarrollo en serie hasta elt.rmino que contiene la derivada m.sima, por ese motivo se dice que se trata de

un m.todo num.rico de resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias de

orden m%

=a frmula de -a'lor con resto establece que el error que se comete al calcular

x?61, si el valor de x? es e3acto !este error com5nmente se llama error local"

cuando se emplea un m.todo de orden m es:

[ ] 1&&&&&)m(

1m

&)1(m

1m

)(,!)1m(

)(!)1m(

+

+

+

+

7/21/2019 08 ODE 2014

5/24



),(),,( &&&&1 xtfhhxtT = !18"

=levando !18" a !17" se obtiene la llamada frmula de &uler:

),( &&&1& xtfhxx +=+ !1"

&l error local de este m.todo es:

[ ])(,'2

&&

2

xfh

E = !1;"

*i se despeBaf!t?,x?" de !1" se obtiene:

&&1&

&& g),( == +

hxxxtf !1

7/21/2019 08 ODE 2014

6/24



=

n

2

1

'

'

'

'

x

x

x

Mx A

=

),,,,(

),,,,(

),,,,(

),(

n,2,1n

n,2,12

n,2,11

xxxtf

xxxtf

xxxtf

t

K

M

K

K

xf !21"

&sta forma de escritura hace evidente que el m.todo de &uler puede

generaliarse para un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden como:

+=

+=

+

+

htt

th

&1&

&&&1& ),( xfxx (22)

) en forma escalar:

+=

+=

+=

+=

+

+

+

+

htt

xxxtfhxx

xxxtfhxx

xxxtfhxx

&1&

)&(n)&(2)&(1&n)&(n)1&(n

)&(n)&(2)&(1&2)&(2)1&(2

)&(n)&(2)&(1&1)&(1)1&(1

),,,,(

),,,,(

),,,,(

K

M

K

K

!2/"

El m.1odo de Euler me4orado

&l m.todo de &uler meBorado consiste en determinar primero un valor au3iliar

*

1&+x ' a continuacin, sobre la base del mismo, calcular el valor de x?61 de la

solucin para el valor t?61 de la variable independiente% ara un sistema de

ecuaciones el m.todo de &uler meBorado puede escribirse en la notacin matricial

como:

[ ]

+=

++=

+=

+

+++

+

htt

tth

th

&1&

*

1&1&&&&1&

&&&

*

1&

),(),(2

),(

xfxfxx

xfxx

!24"

7/21/2019 08 ODE 2014

7/24



>eom.tricamente puede decirse que la integracin avana desde t?hasta t?6h2

por la lnea de pendiente f!t?,x?",

movi.ndose luego desde t?6h2

hasta t?61( t?6h por la lnea de

pendiente f!t?61,*

1&+x "% &sto se

ilustra en la figura / para la

evolucin desde t( t0 hasta t(

t1% Dtese que el valor au3iliar

*

1&+x coincide con el valor x?61

calculado mediante el m.todo

de &ulerA en tanto que, como es

notorio, con el m.todo de &uler

meBorado se consigue una

significativa meBor apro3imacin% =os procedimientos de estas caractersticas, es

decir aquellos que predicen primero un valor de la solucin ' luego lo corrigen, se

denominan mtodos predictor-correctorA el m.todo de &uler meBorado es el ms

sencillo de ellos% uesto que el mismo surge de considerar la serie de -a'lor con

m ( 2, en consecuencia, el error local en este caso ' de acuerdo con la e3presin

!14" es del orden de h/%

E4emplo/ de apl+cac+,- de lo/ m.1odo/ de Euler y Euler me4orado

@ modo de eBemplos de aplicacin de estos m.todos se confeccionaron dos

programas mu' sencillos para resolver la ecuacin diferencial:

( )IRVLtd

Id=

1

!27"

Como es conocido, la ecuacin

diferencial en cuestin constitu'e el

modelo matemtico de un circuito

serie R-L e3citado mediante una

fuente de voltaBe constante Vcomo

el que se muestra en la figura 4 '

su solucin analtica es:

Figura 3: nerpreacin geomrica delmodo de uler me+orado%

0t htt += 01

2

h

2

h

t

0x

*

1x

1x

x

modo de uler

modo de uler me+orado

),( xtf

Figura : -ircuio del e+emplo%

S

I

.$2/%0=L

= 1R12=V

7/21/2019 08 ODE 2014

8/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" &

=

tL

R

R

VI e1 !28"

&s obvio que este problema no e3ige la aplicacin de m.todos num.ricos, no

obstante, se lo ha considerado porque, al ser conocida la solucin analtica, es

mu' sencillo realiar la comparacin de los resultados obtenidos num.ricamente

con la corrientemente denominada solucin exacta%

*eg5n la frmula de &uler !1", para la ecuacin diferencial en estudio, la

solucin en el paso n5mero ?61 es:

( )&&1& IRVL

hII +=+ !2"

or lo tanto, el algoritmo secuencial correspondiente al m.todo de &uler para

resolver la ecuacin diferencial en un intervalo 0 tT ( 7=E !cinco veces la

constante de tiempo del circuito" puede escribirse en notacin matemtica

convencional como:

000 === I;t;k !2;%a"

R

LTt = 70 !2;%b"

( )kk!k IRVL

hII +=+ !2;%c"

htt kk +=+1 !2;%d"

1+= kk !2;%e"

Fientras que para el m.todo de &uler meBorado se tiene:

000 === I;t;k !2

7/21/2019 08 ODE 2014

9/24



&n los grficos de la figura 7 se dan los resultados obtenidos mediante el m.todo

de &uler utiliando dos pasos de integracin diferentes% &n ambos casos se ha

representado tambi.n la solucin analtica, indicndose el valor absoluto del

m3imo error relativo porcentual de la solucin num.rica referida a la analtica

considerada como e3acta%

uede observarse en los grficos de la figura 7 que con un paso de integracin h

( 0%1 s se tienen errores verdaderamente apreciables, en este caso el m3imo

valor absoluto del error relativo porcentual supera el 21G% Do obstante, si el paso

se reduce a h( 0%001 s el error se reduce significativamente, apenas superando

el 0%2G% Ha en este caso, ' seg5n la escala empleada para representar los

grficos, la curva obtenida num.ricamente prcticamente se superpone a la

analtica%

&n la figura 8 se muestran los resultados obtenidos mediante el m.todo de &uler

meBorado con los mismos pasos de integracin que en el caso precedente% uede

notarse la sensible disminucin del error respecto del m.todo de &uler%

@dvi.rtase que con h ( 0%001 s el valor absoluto del m3imo error relativo

porcentual es menor que / diemil.simas !/ millon.simas por unidad"%

7/21/2019 08 ODE 2014

10/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )%

Figura /: Solucin numrica de la ecuacin dierencial de uncircuioR-L erie eciado con una uene de ola+e

conane aplicando el modo de uler%

0 0%2 0% 0% 0%4 1 1%2 1%0

2

4

10

12

t [s]

I [A]

Paso de integracin h = 0.00 s

Va!or a"so!#to de! error re!ati$o %&xi%o= 0.'00( )

5odo de uler

Solucin analica

0 0%2 0% 0% 0%4 1 1%2 1%0

2

4

10

12

t [s]

I [A]

5odo de uler

Solucin analica

Paso de integracin h = 0. s

Va!or a"so!#to de! error re!ati$o %&xi%o= '.('*+ )

7/21/2019 08 ODE 2014

11/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" ))

Figura : Solucin numrica de la ecuacin dierencial de uncircuioR-Lerie eciado con una uene de ola+e

conane aplicando el modo de uler me+orado

0 0%2 0% 0% 0%4 1 1%2 1%0

2

4

10

12

t [s]

I [A]

Paso de integracin h = 0. s

Va!or a"so!#to de! error re!ati$o %&xi%o= '.*(,' )

5odo de uler me+orado

Solucin analica

0 0%2 0% 0% 0%4 1 1%2 1%0

2

4

10

12

t [s]

I [A]

Paso de integracin h = 0.00 s

Va!or a"so!#to de! error re!ati$o %&xi%o= 0.000',,*( )

5odo de uler me+orado

Solucin analica

7/21/2019 08 ODE 2014

12/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )(

Selecc+,- del pa/o7 error 8lobal y e/1ab+l+dad -um.r+ca

@nteriormente se seIal que el error local en el paso ?61 se eval5a a partir del

valor e3acto de la solucin en el paso ?% *in embargo, conforme el proceso de

clculo num.rico de la solucin de una ecuacin diferencial avana, los erroreslocales se propagan punto a punto% &l error as acumulado se denomina error

glo#al% &ntonces, si se utilia repetidas veces un paso h durante un cierto

intervalo tde la variable independiente, como el error local es del orden de h2en

el m.todo de &uler ' de h/en el m.todo de &uler modificado, los errores globales

de dichos m.todos son del orden de !t$h"h2( h ' !t$h"h/( h2, respectivamente%

=a acumulacin de errores puede tambi.n dar lugar al problema que se conoce

con el nombre de inesta#ilidad numrica, el cual merece especial atencin por

cuanto puede conducir a conclusiones totalmente errneas en muchos

problemas de ingeniera relacionados con fenmenos transitorios ' la estabilidad

de sistemas%

Como en la ingeniera las ecuaciones diferenciales adquieren importancia en la

medida en que ellas constitu'en modelos matemticos que permiten resolver

problemas que ocurren en el mundo fsico, para aclarar los conceptos de

estabilidad !o inestabilidad" num.rica, es conveniente primero analiar el

significado de la estabilidad en sistemas fsicos% *iguiendo esta lnea ' parae3plicarlo del modo ms sencillo posible, puede decirse que un sistema es

estable si al ser perturbado, estando en una situacin inicial de estado estable,

evoluciona hacia otra condicin de estado estable similar o diferente de la inicial%

n eBemplo concreto de sistema estable es el caso del circuito el.ctrico de la

figura 4% &l mismo se encuentra inicialmente en r.gimen permanente sin

e3citacin hasta que, en un cierto instante tomado como referencia !t ( 0", se

cierra la llave % introduci.ndose una perturbacin determinada por el voltaBeconstante VA la intensidad de corriente evoluciona entonces creciendo en el

tiempo con una tendencia definida a estabiliarse finalmente en el valor V$R( 12

@% *in embargo, si el problema se estudia mediante el m.todo de &uler utiliando

un paso h( 0%7 s se obtiene la respuesta oscilante que se e3pone en la figura ,

la cual no solamente est afectada de una error tremendamente grande !del

orden de 7000G" sino que, adems, no tiende a un nuevo estado estable%

*i se sabe a ciencia cierta que el sistema es estable, Jporqu. la solucin obtenida

mediante el m.todo de &uler muestra un comportamiento inestableK% =a

7/21/2019 08 ODE 2014

13/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )0

respuesta a este interrogante es: porque se ha producido inesta#ilidad numrica%

&s decir, los errores locales se fueron acumulando paso a paso de manera que el

error global conduce a una solucin totalmente aleBada de la realidad% Lnclusive,

si h se aumenta todava ms, las oscilaciones pueden ir aumentando en

amplitud ' aleBarse cada ve ms de la solucin verdadera en lugar de converger

hacia ella%

&ste eBemplo, aunque mu' sencillo, pone de manifiesto la importancia de

analiar la estabilidad num.rica de los sistemas de resolucin de ecuacionesdiferenciales% &l estudio riguroso del problema de la estabilidad num.rica e3ige

analiar las ecuaciones diferenciales correspondientes a cada casoA no obstante,

a efectos de formular criterios comparativos sobre la estabilidad de los diferentes

m.todos, en la matemtica num.rica se acostumbra a tomar como referencia la

siguiente ecuacin testigo:

xAtd

xd=

!/0"

0 0%/ 1 1%/ 2 2%/ 3 3%/ 0

/

10

1/

20

2/

t [s]

I [A]

Paso de

integracin h = 0. s

Va!or a"so!#to de! error

re!ati$o %&xi%o= 000.,,,, )

5odo de uler

Solucin analica

Figura 6: nea7ilidad numrica en el modo de uler%

7/21/2019 08 ODE 2014

14/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )*

H luego e3tender al caso general los resultados obtenidos para ella%

=a solucin analtica de esta ecuacin testigo es:

tAxtx = e)( 0 (31)

H el valor absoluto de la misma es decreciente para valores positivos de &, desde

el punto de vista de la estabilidad esto significa que la solucin de la ecuacin

testigo es estable cuando se verifica la condicin &M 0%

*i ahora se aplica el m.todo de &uler a la ecuacin !/0" se tiene:

( ) &&&1& 1 xhAxAhxx ==+ !/2"

Como el coeficiente & es positivo, la frmula precedente conducir a valores

decrecientes de la solucin solamente si se cumple:

11

7/21/2019 08 ODE 2014

15/24



ingeniera hablar de valores absolutamente e3actos no tiene sentido !puesto que

siempre habr al menos un valor medido ' toda medicin implica

inevitablemente un error", se comprende que algunas veces es preferible trabaBar

con modelos ms sencillos ' con menor cantidad de parmetros que pueden

medirse o estimarse con e3actitud adecuada, que con modelos mu' detallados

cu'os parmetros son mu' difciles de medir o estimar con la e3actitud

apropiadaA se trata simplemente de un problema de propagacin de errores%

&l aumento del error ' la tendencia a la inestabilidad num.rica con el

incremento del paso implican la necesidad de seleccionar h lo suficientemente

pequeIo% &sto parece tener una solucin simple: utiliar valores de h mu'

pequeIos% *in embargo, cuando menor sea el paso de integracin, ma'or ser la

cantidad de clculos que debern efectuarse para encontrar la solucin en unintervalo dado de la variable independienteA esto implicar ma'ores esfueros de

computacin, tanto en tiempo de clculo como en requerimientos de memoria%

&n problemas sencillos como el eBemplo planteado precedentemente ello no

representa ma'ores inconvenientesA sin embargo, en muchos problemas reales

de ingeniera deben resolverse sistemas de ecuaciones diferenciales de grandes

dimensiones, por lo que el problema de la seleccin del tamaIo del paso de

integracin debe resolverse buscando compatibiliar eficientemente los errores de

clculo con los requerimientos de tiempo de computacin ' capacidad de

memoria%

9a' diferentes maneras de seleccionar el paso de integracin adecuado para

cada m.todo, algunos ms rigurosos que otros% *in embargo, una manera

sencilla de programar la seleccin del paso consiste en tomar inicialmente un

valor determinado de h!raonablemente escogido de acuerdo con los conceptos

e3puestos hasta aqu", se avana un paso con ese incremento ' luego se repite el

clculo del mismo punto pero con paso h2A si la diferencia entre los resultadoses significativa el paso se reduce a h4, ' as sucesivamente hasta que la

diferencia entre los resultados de los clculos con uno u otro paso sea

despreciable% n procedimiento similar puede emplearse en sentido inverso, es

decir, ampliando el paso% &sta modalidad de aBustar el paso, si la comprobacin

se realia para todos los puntos, puede hacer que los programas de clculo sean

relativamente lentos, por ello usualmente se acostumbra a realiar la verificacin

cada cierto n5mero de pasos%

7/21/2019 08 ODE 2014

16/24



Lo/ m.1odo/ de Ru-8e9:u11a

=os m.todos de EungeNutta son quis los ms populares entre los

procedimientos num.ricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias%

&llos tambi.n se basan en la serie de -a'lor, aunque permiten construir meBores

apro3imaciones de Tm!t?,x?,h" que el m.todo de &uler sin que ellas contengan

derivadas def!t,x"%

=a frmula general de los m.todos de EungeNutta es:

),,( &&m&1& hxtRxx +=+ !/8"

#onde la funcin Rm!t?,x?,h" se obtiene mediante una combinacin lineal con

coeficientes constantespide ciertas funciones ki!h", con i ( 1, 2, %%% , m%

=

=m

1i

ii&&m )(),,( h/hxtR !/"

#onde:

),( &&1 xtfh =

)](,[ 121&2&2 h"xhatfh ++=

)]()(,[ 232131&3&3 h"h"xhatfh +++= !/;"

M

)]()()(,[ )1m(m)1m(m22m11m&m&m h"h"h"xhatfh -- +++++= K

=as constantesp1,p2, %%% ,pm, a1, a2, %%% , am, #21, #/1, #/2, %%% , #m!mO1"se obtienen

de la condicin de coincidencia entre la e3presin !/" con el desarrollo de -a'lor%

Do es difcil demostrar que para m ( 1 la formulacin de EungeNutta es

equivalente al m.todo de &uler%

7/21/2019 08 ODE 2014

17/24



M.1odo de Ru-8e9:u11a de /e8u-do orde-

Con m ( 2 se obtiene el llamado esquema de EungeNutta de segundo orden, el

que puede escribirse generaliado para un sistema de ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer orden como:

( )

+=

++=

++=

=

+

+

htt

hth

th

&1&

21&1&

1&&2

&&1

2

1

),(

),(

kkxx

kxfk

xfk

!/

7/21/2019 08 ODE 2014

18/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" )&

M.1odo de Ru-8e9:u11a de cuar1o orde-[m = #! EL"h'$!E%"h

#$&

( )

( )

( )

+=

++++=

++=

++=

++=

=

+

+

htt

hth

hth

hth

th

&1&

321&1&

3&&

2&&3

1&&2

&&1

22

1

,

2,

2

2,

2

,

kkkkxx

kxfk

kxfk

kxfk

xfk

(1)

M.1odo de Ru-8e9:u11a de ;u+-1o orde-[m = '! EL"h($!E%"h

'$&

( )

( )

+=

+++++=

++=

++=

++=

++=

=

+

+

htt

h

hhtf

htf

htf

htf

tf

&1&

/321&1&

1&&/

3&&

2&&3

1&&2

&&1

12

1

4

6

8

3/

2

6

8

11

,6

,

6

6

,

6

6

2,

6

2

,

kkkkkxx

kxk

kxk

kxk

kxk

xk

!42"

&ntre los m.todos de EungeNutta, los ms frecuentemente utiliados son los desegundo ' cuarto orden%

=a estabilidad num.rica del m.todo de EungeNutta de segundo orden para la

ecuacin testigo !/0" est condicionada por la relacin:

Ah

2< !4/"

&n tanto que para el esquema de EungeNutta de cuarto orden es:

7/21/2019 08 ODE 2014

19/24



A

h64/%2

< !44"

or lo tanto, estos m.todos son al igual que los de &uler condicionalmente

establesA es decir, no son afectados por inestabilidad num.rica si se cumple lacondicin de tomar hlo suficientemente pequeIo%

Eichardson desarroll una frmula para evaluar el error de truncamiento

acumulado que se propaga en el curso de la integracin mediante los m.todos de

EungeNutta, para el caso del procedimiento de cuarto orden ' e3presada en

t.rminos del error absoluto Ea determinado por la diferencia entre el valor

calculado ' el valor verdadero de la variable de estadox dicha frmula es:

1/

)2()(a

hh = xx

E !47"

"El co-4u-1o de

7/21/2019 08 ODE 2014

20/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" (%

ode23es una implementacin del m.todo de EungeNutta en sus rdenes dos

' tres, puede ser ms eficiente que ode47 con tolerancias crudas ' con la

presencia de rigide moderada%

ode113es un algoritmo de orden variable basado en las frmulas de @dams

Pashforth ' @damsFoulton% uede ser ms efica que ode47 con tolerancias

severas, especialmente cuando la funcin es difcil de evaluar%

=os tres algoritmos precedentes son 5tiles para resolver sistemas de ecuaciones

que no sean rgidos o presenten una rigide moderada% ara ecuaciones con

rigide importante se recomiendan los que se dan a continuacin%

ode15s es un esquema predictorcorrector de orden variable basado en las

frmulas de diferenciacin num.rica% )pcionalmente tambi.n utilia las

frmulas de diferenciacin hacia atrs conocidas como m.todo de >ear,

aunque en este caso es menos eficiente% Cuando ode45 falla !inestabilidad

num.rica, por eBemplo" o es mu' ineficiente, se sugiere emplear ode15s% &ste

esquema funciona mu' bien para resolver sistemas rgidos o problemas

diferencialesalgebraicos%

ode23s est basado en una modificacin de la frmula de Eosenbroc? de

orden dos ' constitu'e una alternativa al algoritmo anterior% Como se trata de

un m.todo de paso simple puede ser ms efica que el mismo con tolerancias

crudas ' para algunos problemas rgidos en los que ode15sno es efectivo%

ode23tes una versin de la regla trapeoidal que recomienda para problemas

moderadamente rgidos ' cuando se necesita una solucin sin

amortiguamiento num.rico% uede resolver tambi.n sistemas de ecuaciones

diferenciales ' algebraicas%

ode23tbutilia una frmula de EungeNutta con una primera fase que es un

paso de la regla trapeoidal ' una segunda fase basada en la frmula de

diferenciacin num.rica hacia atrs de segundo orden% ara tolerancias

crudas puede ser ms eficiente que ode15s%

S+-1a>+/

7/21/2019 08 ODE 2014

21/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" ()

=a sinta3is para el empleo de los algoritmos presentados en el epgrafe anterior

en MATLABes:

Qt,xR ( ode!S!3,t" T,-o,Uo,opciones"

odees alguno de los algoritmos entre los presentados anteriormente%

S!3,t" T es una funcin annima definida por el usuario para evaluar el

miembro derecho del sistema de ecuaciones diferenciales que se necesita

resolver% -odos los algoritmos pueden resolver sistemas de ecuaciones de la

forma x$ ( f!t,x" o problemas que involucran una matri de masa M, de la

forma M!t,x"x$ ( f!t,x"% ode23s resuelve 5nicamente con matri de masa

constanteA ode15s ' ode23tpueden resolver problemas con una matri de

masa que es singular, por eBemplo, sistemas de ecuaciones diferenciales '

algebraicas%

or eBemplo, para el sistema de dos ecuaciones diferenciales que se da a

continuacin:

[ ]

=

=

12

2

2

1

&r&a)2en(9m

1

!

d

dd

d

Vue corresponde al problema

representado grficamente en la

figura , sometido a la accin de

una fuera peridica senoidal de

amplitud Wm ' frecuencia f, un

resorte de constante ?r ' un

amortiguador de constante ?a%

)bs.rvese que, en realidad, se trata de un sistema de segundo orden que se ha

llevado a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden mediante

las sustituciones de variables indicada por !4"% @s planteado el problema, 31da

la posicin de la masa ' 32su velocidad%

Figura 8: Siema maa;reore;amoriguador%

&a &r

)2en(9m9 = !1

7/21/2019 08 ODE 2014

22/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" ((

=a funcin annimaS!3,t" Talmacena en T las funciones, en nuestro caso de

estudio, el sistema de ecuaciones diferenciales,se define como:

@ ( Q0 1A?r> ?a>RA P ( Q0A1>RA

S!t,3"Q@XQ3!1"A3!2"R6 PXWmXsin!2XpiXfXt"

-o es una matri fila que indica el intervalo de la variables independiente en

el cual se requiere resolver el problema:

-o ( Qti tfR

#onde ti ' tf son un n5meros reales representativos de los e3tremos inferior '

superior del intervalo !ti Ytf"% ara obtener la solucin para ciertos valores

determinados de la variable independiente ti, t1, t2, %%% , tf, !todos crecientes o

decrecientes" se utilia:

-o ( Qti t1 t2 %%%tfR

Uo es el vector de condiciones iniciales% ara un sistema de n ecuaciones

diferenciales:

Uo ( Qx1Ax2Ax/A %%% AxnR

#onde x1, x2, x/, %%%, xn son los n5meros representativos de los valores de las

condiciones iniciales%

opcionespermite establecer parmetros de integracin opcionales mediante

la utiliacin de la funcin odeset% Do es obligatorio utiliar esta posibilidadA

si ella no se emplea los algoritmos toman sus valores por defecto% =a sinta3is

a emplear es:

opciones( odeset!Zropiedad 1Z,[alor 1,Zropiedad 2Z,[alor 2,%%%"

\ropiedad 1$, \ropiedad 2$, etc% son los nombres de las propiedades que se

requieren adecuar o acondicionarA [alor 1, [alor 2, %%% etc% son los valores

asignados a tales propiedades%

=as propiedades que pueden acondicionarse dependen del algoritmo empleado '

de la versin de MATLABcon la que se trabaBe, por ese motivo ' teniendo en

7/21/2019 08 ODE 2014

23/24


MODELACIN EN INENIER!A " MA#ERIAL DID$C#ICO No%&" A'o (%)*" (0

cuenta que este es un seminario introductorio, aqu solamente se tratan las ms

generales%

RelTol!tolerancia de error relativo": &s el valor de tolerancia que se aplica a

todas las componentes del vector solucin% &l error estimado e en cada paso ?del proceso de integracin satisface la condicin e!?"

ma3!Eel-olXabs!3!?"",@bs-ol!?""% *u valor por defecto es 110/%

AbsTol!tolerancia de error absoluto": *i se indica como un escalar, su valor

se aplica a todas las componentes del vector solucin, mientras que si se

especifica como un vector sus componentes se aplican a cada uno de los

componentes del vector solucin% *u valor por defecto es 1108%

MaxStep!paso m3imo": &s la magnitud lmite superior del tamaIo del paso

que puede utiliar el algoritmo% *u valor por defecto es la d.cima parte del

intervalo de solucin -o%

InitialStep !paso inicial": &s el tamaIo sugerido para el paso inicial% &l

algoritmo prueba este paso primero, pero si es demasiado grande usa un paso

ms pequeIo%

@dems de estas propiedades, el algoritmo ode15s permite acondicionar las

siguientes:

MaxOde!orden m3imo": &s el orden m3imo de la formulacin empleada,

puede ser 1 ] 2 ] / ] 4 ] 7% or defecto es 7%

B!" !Pac?guard#ifferentiation Tormula": ermite especificar si se deben

utiliar las frmulas de diferenciacin hacia atrs !P#T", en lugar de las

frmulas de diferenciacin num.rica !D#T"% &sta 5ltimas se consideran por

defecto, es decir que el valor por defecto de esta propiedad en on, la

alternativa es off%

B+bl+o8ra

7/21/2019 08 ODE 2014

24/24


+e,s%i- E% +atem,ticas aan'adas para ingenier.a% -raduccin al &spaIol del

original en Lngl.s por ^os. 9ernn .re Castellanos% Dovena reimpresin%

&ditorial =imusa% F.3ico, 1

08 ODE 2014

Documents

Transcript of 08 ODE 2014