INSTITUCIÓN EDUCATIVA RUFINO JOSÉ CUERVO - CENTRO

DOCENTE: Víctor de Jesús Osorio Rodríguez

ÁREA: Matemáticas

TEMA: Geometría Analítica: La Recta Logro: Encuentra la ecuación de una recta conociendo dos puntos.

Identifica Cuando dos rectas son paralelas y cuando son perpendiculares Tópico Generativo

1. Comprendo que las rectas se representan por ecuaciones de primer grado.

2. Identifico la pendiente y el intercepto y en la ecuación de la recta y=mx+b.

3. Grafico la recta en el plano cartesiano, a partir de la ecuación dada.

4. Determino cuando dos rectas son paralelas de acuerdo a su pendiente.

5. Demuestro si dos rectas son perpendiculares, hallando su pendiente.

Desempeños de comprensión

1. Identificar la pendiente, el intercepto y en cualquier ecuación de la recta.

2. Graficar cualquier recta correctamente en el plano cartesiano.

3. Determinar las características de las ecuaciones de primer grado.

4. Hallar la ecuación de la recta dados la pendiente y un punto o dos puntos.

Lee comprensivamente.

LA RECTA

Uno de los propósitos de Rene Descartes, cuando introdujo la Geometría Analítica,

era representar los objetos geométricos por entes algebraicos. Un punto fue así

representado por un par de números (x, y) y una línea (curva o recta) por una

ecuación en las variables x e y. Lo esencial es que la ecuación se satisface

únicamente con las coordenadas de los puntos sobre la curva que ella representa.

Un problema básico en Geometría Analítica es describir la ecuación que representa

un tipo de curva específico. En esta sección veremos que una recta está

representada por una ecuación de primer grado.

Por ejemplo, en una recta vertical, paralela al eje y, todos sus puntos están a una

misma distancia, digamos a, del eje y. Esto significa que todos los puntos en ella

tienen una misma abscisa x - a. El signo de a depende de si la recta está a la derecha

o a la izquierda del eje y. Así, la ecuación x = a representa una recta vertical (paralela

al eje y)

Análogamente, si una recta es paralela al eje x, todos sus puntos tienen una misma

ordenada y=b, con lo cual, la ecuación y = b representa dicha recta.

Como vemos, las rectas paralelas a los ejes se representan por ecuaciones de primer

grado, muy simples, de la forma x = a o, y = b.

Para rectas no paralelas a ninguno de los ejes, consideraremos dos casos, los cuales

llevan a dos formas de ecuaciones. Se conocen como la forma pendiente-punto y la

forma punto-punto.

“SI QUIERES

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0

0

xx

yym

)( 00 xxmyy

bmxy

0 C By Ax

La idea que aplicaremos en cada caso es la siguiente: Buscamos una propiedad

geométrica de la recta, que se pueda traducir al lenguaje de coordenadas, y

derivamos de ella una ecuación.

FORMA PENDIENTE-PUNTO

De Geometría Euclidiana sabemos que hay una única recta que pasa por un punto

dado y tiene una dirección específica. En la sección anterior discutimos el concepto de

ángulo de inclinación de una recta. Dicho ángulo marca justamente la dirección en la

cual están los puntos de la recta. Toda vez que la pendiente determina la inclinación,

una recta puede describirse por su pendiente y un punto sobre ella.

Supongamos que una recta tiene pendiente m y contiene el punto (x0,y0) como se

muestra en la figura 2. Un punto (x,y) , distinto de (x0,y0), está sobre la recta si y sólo

si, De aquí obtenerlos la ecuación de la recta en términos de su

pendiente y un punto: (1)

La ecuación (1) se llama la forma pendiente-punto de la ecuación de la recta que tiene

pendiente m y pasa por el punto (x0,y0). De modo que, si tenemos las coordenadas de

un punto y el valor de la pendiente, la ecuación de la recta con estos parámetros se

obtiene directamente sustituyendo esos valores en la fórmula (1).

Ejemplo1

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,5) y tiene pendiente 4/3.

Solución

Sustituyendo en la fórmula (1) obtenemos ))2((

3

45 xy

, esto es, 2343 xy

La forma pendiente-punto tiene un caso especial en el cual el punto es la intersección

de la recta con el eje y. Si la recta intercepta el eje y en b y tiene pendiente m,

entonces, (0, b) es un punto de la recta y de acuerdo con (1), su ecuación es:

Esta es la forma pendiente-intercepto, en la cual el coeficiente de x es la pendiente de

la recta y el término constante es el intercepto y. Bajo este contexto, si la ecuación de

una recta tiene la forma general: despejando y, podemos conocer su

pendiente y el intercepto y. Usualmente, a esta ecuación se le llama la ecuación

general de la recta.

Figura 2

Ejemplo2

Hallemos el intercepto- y de la recta pasa por (-1, 4) con pendiente 2.

SOLUCIÓN

Usando (1) encontramos y - 4 = 2x + 2. Despejando y obtenemos y = 2x + 6

Así, el intercepto-y es b = 6.

EJERCICIO 1

Encuentre la ecuación de la recta que tiene las siguientes propiedades:

a) Tiene pendiente 2 y pasa por (-3,5)

b) Pasa por el origen y tiene pendiente 2/3

c) Corta el eje y en el punto 5 y tiene pendiente -7/2

d) Corta el eje x en el punto —4 y tiene pendiente 2 ;

e) Es paralela al eje x y pasa por (1,3)

f) Tiene pendiente -2/3 e intercepto-y 5

g) Tiene pendiente 0 e intercepto-y -2

h) Pasa por (1,3) y es paralela al eje y ;

i) Pasa por (1, -5) y es paralela a la recta x + 3y - 5 = 0

j) Es paralela con 2x - 3y = 1 y pasa por (2,7)

k) Pasa por (2, -1) y es perpendicular a y= (l/3)x + 2

l) Pasa por el punto (5, 3) y es paralela a la recta que une los puntos (2,-l) y (-3,1)

m) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta que une. los puntos (1,3) y (-2,7)

EJERCICIO 1

Para cada par de rectas, dadas a continuación, determine si son paralelas. En caso

contrario, encuentre el punto de intersección y trace la Gráfica

a) 052 yx , 0463 xy

b) 01 yx , 1 yx

c) 043 yx , 043 yx

FORMA PUNTO-PUNTO

El hecho que dos puntos determinan una única recta se puede usar para expresarla

por medio de una ecuación en términos de las coordenadas de los dos puntos que la

determinan.

El problema de encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,1) y (2,7)

se puede resolver en dos pasos. Primero empleamos la fórmula para la pendiente

estudiada en la sección anterior. Así, obtenemos 23

6

)1(2

17

m , así 2m

Después, conociendo la pendiente (m), y tomando uno cualquiera de los dos puntos

dados, usamos la fórmula pendiente – punto. Usando el punto (2, 7) vemos que

)2(27 xy o, 032 xy .

Ejemplo3 Hallemos la ecuación de la recta que intercepta el eje x en (a, 0) y el

eje y en (0, b), asumiendo que 0a y 0b .

Solución

Corno hemos visto, el número b se llama el intercepto-y.

Por su parte, el número a se llama el intercepto x (ver figura 3)

Usando la forma punto-punto con (x1,y1)= (a,0) y (x2, y2) = (0, b)

obtenemos: )(0

00 ax

a

by

De ahí resulta bx + ay =ab

Ya que 0a y 0b , podemos dividir por ab, resultando la siguiente ecuación conocida como

la forma dos interceptos: 1b

y

a

x

Ejercicio 2

Encuentre la ecuación de la recta con las siguientes propiedades:

a) Pasa por los puntos (2,-4) y (-5,6)

b) Pasa por (-3, -8) y (1,1)

c) Pasa por los puntos (3,-1) y (-2,5)

d) Pasa por el origen y por ( -3, - 7) ;

e) Intercepta los ejes x e y en 3 y 5, respectivamente;

f) El intercepto-x es -3 y el intercepto-y es – 5 Tomado de Precálculo: Dumar Villa

Luz Elena Zapata Análisis del texto

Interpretación 1. ¿Quién era René Descartes y cuál era su propósito al introducir la geometría

analítica?

2. ¿Cuál es uno de los problemas básicos de la geometría analítica?

3. ¿Cuál es la característica de las rectas paralelas al eje y?

4. ¿Cuál es la característica de las rectas paralelas al eje x?

5. ¿Cuándo puedo utilizar la forma punto – punto?

6. ¿Cuándo puedo utilizar la forma punto – pendiente?

Argumentación 1. ¿Por qué es importante la geometría analítica?

2. ¿Por qué es necesario tener la pendiente para hallar la ecuación de una recta?

3. ¿Por qué la pendiente se puede expresar mediante la fórmula

12

12

xx

yym

?

Proposición 1. ¿Si se necesita representar gráficamente cualquier recta, que pasos debes seguir?

2. ¿Si tenemos dos puntos de una recta, podemos utilizar las dos formas vistas para

hallar su ecuación?

Recuerda:

“Debes vivir un presente lleno de esfuerzo y valentía, así tendrás un grato pasado para recordar y

un futuro promisorio” Víctor

RESUELVE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS 1. ¿Cuáles son las ecuaciones que se denominan de primer grado?

2. ¿A qué se refiere el texto cuando hace referencia a la geometría euclidiana?

3. ¿Hay otro tipo de geometrías?

4. Consulta acerca de rectas paralelas y rectas perpendiculares.