1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales

Se dice que una funcin cualquiera, definida en algn intervalo I, es solucin de una ecuacin diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuacin la reduce a una identidad.

En otras palabras, una solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuacin. Es decir,

para todo del intervalo I.

Ejemplo

La funcin es una solucin de la ecuacin no lineal

En . Puesto que

vemos que

para todo nmero real.

Ejemplo

La funcin es una solucin de la ecuacin no lineal en . Para comprender esto se evalan

y

Obsrvese que

para todo nmero real.

Ntese que en los ejemplos anteriores la funcin constante y = 0, , satisface asimismo la ecuacin diferencial dada. A una solucin de una ecuacin diferencial que es idntica a cero en un intervalo I, se le denomina a menudo solucin trivial.

Tipos de soluciones

Solucin n-paramtrica. Si la solucin contiene n parmetros se le llama solucin n-paramtrica o familia n-paramtrica de soluciones. De hecho al resolver una ecuacin de n-simo orden se espera obtener una solucin con n parmetros.

Solucin particular. Es una solucin que se obtiene a partir de una solucin n-paramtrica dndole valores a los parmetros.

Solucin singular. Es una solucin que no se puede obtener a partir de una solucin n-paramtrica.

Solucin general. Si la nica solucin de una ecuacin diferencial es una familia n-paramtrica de soluciones, es decir no existe solucin singular para tal ecuacin, entonces se dice que tal solucin es la solucin general de la ecuacin diferencial.

Solucin explcita. Si la incgnita y viene despejada en funcin de la variable independiente x.

Solucin implcita. Si la solucin no es explcita se dice que es una solucin implcita.

Ejemplo

Sol. explcita

Sol. explcita

Sol. Sol. n-paramtrica (n=1)

Sol. Sol. particular Sol. y = 0 Sol. singular

Sol. Sol. implcita